Ύψος τριγώνου
 Θεώρημα: Σε κάθε τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } , τα ύψη A H A , B H B , Γ H Γ {\displaystyle \mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} } συντρέχουν. Θεωρούμε H ′ {\displaystyle \mathrm {H} '} την τομή των B H B {\displaystyle \mathrm {BH_{B}} } και Γ H Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} } . Το τετράπλευρο B Γ H B H Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma H_{B}H_{\Gamma }}}} είναι εγγράψιμο, αφού η B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} φαίνεται από δύο ίσες (ως ορθές) γωνίες την ∠ B H Γ Γ {\displaystyle \angle \mathrm {BH_{\Gamma }\Gamma } } και ∠ Γ H B B {\displaystyle \angle \mathrm {\Gamma H_{B}B} } . Άρα, ∠ H Γ H B B = ∠ H Γ Γ B {\displaystyle {\rm {\angle H_{\Gamma }H_{B}B=\angle H_{\Gamma }\Gamma B}}} , ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο.Το τετράπλευρο A H Γ H B H ′ {\displaystyle {\rm {AH_{\Gamma }H_{B}H'}}} είναι εγγράψιμο, καθώς οι απέναντι πλευρές του είναι παραπληρωματικές. Άρα ∠ H Γ A H ′ = ∠ H Γ H B H ′ {\displaystyle {\rm {\angle H_{\Gamma }AH'=\angle H_{\Gamma }H_{B}H'}}} .Τέλος, έχουμε ότι ∠ A H ′ H Γ = ∠ H A ′ H ′ Γ {\displaystyle {\rm {\angle AH'H_{\Gamma }=\angle H_{A}'H'\Gamma }}} ως κατακορυφήν γωνίες και ∠ H A ′ H ′ Γ = 90 o − H ′ A H Γ = 90 o − H ′ Γ H A {\displaystyle {\rm {\angle H_{A}'H'\Gamma =90^{o}-H'AH_{\Gamma }=90^{o}-H'\Gamma H_{A}}}} . Συνεπώς, η A H A ′ Γ {\displaystyle {\rm {AH_{A}'\Gamma }}} είναι ορθή και άρα το A H ′ {\displaystyle {\rm {AH'}}} είναι ύψος. Ξανά θεωρούμε H ′ {\displaystyle \mathrm {H} '} την τομή των B H B {\displaystyle \mathrm {BH_{B}} } και Γ H Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} } . Θεωρούμε τα διανύσματα a , b , c , h {\displaystyle a,b,c,h} των σημείων A , B , Γ , H {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } ,\mathrm {H} } αντίστοιχα. Αφού B H B {\displaystyle \mathrm {BH_{B}} } είναι ύψος έχουμε ότι B H ′ → ⋅ A Γ → = 0 ⇒ ( h − b ) ⋅ ( c − a ) = 0 {\displaystyle {\vec {\rm {BH'}}}\cdot {\vec {\rm {A\Gamma }}}=0\Rightarrow (h-b)\cdot (c-a)=0} .Αφού Γ H Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} } είναι ύψος έχουμε ότι Γ H ′ → ⋅ A B → = 0 ⇒ ( h − c ) ⋅ ( b − a ) = 0 {\displaystyle {\vec {\rm {\Gamma H'}}}\cdot {\vec {\rm {AB}}}=0\Rightarrow (h-c)\cdot (b-a)=0} .Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις λαμβάνουμε ότι ( h ⋅ c − b ⋅ c − a ⋅ h + a ⋅ b ) − ( h ⋅ b − c ⋅ b − a ⋅ h + a ⋅ c ) = 0 {\displaystyle (h\cdot c-b\cdot c-a\cdot h+a\cdot b)-(h\cdot b-c\cdot b-a\cdot h+a\cdot c)=0} ,που συνεπάγεται ότι ( c − b ) ⋅ ( h − a ) = 0 ⇒ B Γ → ⋅ A H ′ → = 0 {\displaystyle (c-b)\cdot (h-a)=0\Rightarrow {\vec {\rm {B\Gamma }}}\cdot {\vec {\rm {AH'}}}=0} ,και άρα το A H ′ {\displaystyle \mathrm {AH'} } είναι ύψος και H ′ {\displaystyle \mathrm {H} '} είναι το ορθόκεντρο. Τα τρίγωνα A H B B {\displaystyle \mathrm {AH_{B}B} } και A H Γ Γ {\displaystyle \mathrm {AH_{\Gamma }\Gamma } } είναι όμοια καθώς έχουν μία ορθή και την A ^ {\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}} ίση. Επομένως, A B A Γ = A H B A H Γ {\displaystyle {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}={\frac {\mathrm {AH_{B}} }{\mathrm {AH_{\Gamma }} }}} .Αντίστοιχα, B A B Γ = B H A B H Γ {\displaystyle {\frac {\mathrm {BA} }{\mathrm {B\Gamma } }}={\frac {\mathrm {BH_{A}} }{\mathrm {BH_{\Gamma }} }}\quad } και Γ B Γ A = Γ H B Γ H A {\displaystyle \quad {\frac {\mathrm {\Gamma B} }{\mathrm {\Gamma A} }}={\frac {\mathrm {\Gamma H_{B}} }{\mathrm {\Gamma H_{A}} }}} .Επομένως, A H B H B Γ ⋅ B H Γ H Γ A ⋅ Γ H A H A B = A Γ A B ⋅ B A B Γ ⋅ Γ B Γ A = 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {AH_{B}} }{\mathrm {H_{B}\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {BH_{\Gamma }} }{\mathrm {H_{\Gamma }A} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma H_{A}} }{\mathrm {H_{A}B} }}={\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {AB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BA} }{\mathrm {B\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma B} }{\mathrm {\Gamma A} }}=1} ,και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα, προκύπτει ότι τα τρία ύψη συντρέχουν. (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο G {\displaystyle \mathrm {G} } , το ορθόκεντρο H {\displaystyle \mathrm {H} } και το περίκεντρο O {\displaystyle \mathrm {O} } είναι συγγραμμικά και H G = 2 ⋅ G O {\displaystyle \mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {GO} } . (Κύκλος του Όιλερ) Το σημεία H A , H B , H Γ {\displaystyle \mathrm {H_{\mathrm {A} }} ,\mathrm {H_{\mathrm {B} }} ,\mathrm {H_{\mathrm {\Gamma } }} } , τα μέσα των A H , B H , Γ H {\displaystyle \mathrm {AH} ,\mathrm {BH} ,\mathrm {\Gamma H} } και τα μέσα των πλευρών ανήκουν στον ίδιο κύκλο. (Θεώρημα Νάγκελ) Αν O {\displaystyle \mathrm {O} } είναι το περίκεντρο του τριγώνου, τότε H A H B ⊥ O Γ {\displaystyle \mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{B}} \perp \mathrm {O\Gamma } } , H B H Γ ⊥ O A {\displaystyle \quad \mathrm {H_{B}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA} \quad } και H A H Γ ⊥ O B {\displaystyle \quad \mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OB} } .Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.:77:270 Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.:76 Το ορθόκεντρο είναι το σημείο P {\displaystyle \mathrm {P} } που ελαχιστοποιεί την ακόλουθη συνάρτηση: f ( P ) = P A + P B + P Γ + P H A + P H B + P H Γ {\displaystyle f(\mathrm {P} )=\mathrm {PA} +\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma } +\mathrm {PH_{A}} +\mathrm {PH_{B}} +\mathrm {PH_{\Gamma }} } .Σε ένα τρίγωνο δύο ύψη είναι ίσα ανν το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Από τον τύπο του Ήρωνα προκύπτει ότι u A = 2 α ⋅ τ ⋅ ( τ − α ) ⋅ ( τ − β ) ⋅ ( τ − γ ) {\displaystyle u_{\mathrm {A} }={\frac {2}{\alpha }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}} , όπου τ = 1 2 ⋅ ( α + β + γ ) {\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )} είναι η ημιπερίμετρος.Επίσης, ισχύουν οι παρακάτω τριγωνομετρικές σχέσεις: u A = α ⋅ sin ⁡ B ⋅ sin ⁡ Γ sin ⁡ A {\displaystyle u_{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\sin {\rm {B}}\cdot \sin {\rm {\Gamma }}}{\sin {\rm {A}}}}} , u B = β ⋅ sin ⁡ Γ ⋅ sin ⁡ A sin ⁡ B {\displaystyle \quad u_{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\rm {A}}}{\sin {\rm {B}}}}} και u Γ = γ ⋅ sin ⁡ A ⋅ sin ⁡ B sin ⁡ Γ {\displaystyle \quad u_{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\rm {A}}\cdot \sin {\rm {B}}}{\sin {\rm {\Gamma }}}}} .Έστω E {\displaystyle \mathrm {E} } το εμβαδό του τριγώνου και A ^ > 90 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}>90^{o}} , τότε:47 A H 2 = α ⋅ ( β 2 + γ 2 − α 2 ) 4 E {\displaystyle \mathrm {AH} ^{2}={\frac {\alpha \cdot (\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2})}{4\mathrm {E} }}} , και αν A < 90 o {\displaystyle \mathrm {A} <90^{o}} , τότε A H 2 = α ⋅ ( α 2 − β 2 − γ 2 ) 4 E {\displaystyle \mathrm {AH} ^{2}={\frac {\alpha \cdot (\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2})}{4\mathrm {E} }}} .Αν R {\displaystyle R} η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε A H 2 + B H 2 + Γ H 2 = 12 R 2 − ( α 2 + β 2 + γ 2 ) {\displaystyle \mathrm {AH} ^{2}+\mathrm {BH} ^{2}+\mathrm {\Gamma H} ^{2}=12R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})} Αν H {\displaystyle \mathrm {H} } το ορθόκεντρο, G {\displaystyle \mathrm {G} } το βαρύκεντρο, ( O , R ) {\displaystyle (\mathrm {O} ,R)} ο περιγεγραμμένος, ( I , ρ ) {\displaystyle (\mathrm {I} ,\rho )} o εγγεγραμμένος και ( I A , ρ A ) {\displaystyle (\mathrm {I_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })} ο παρεγγεγραμμένος κύκλος, τότε:47 O H 2 = 9 R 2 − ( α 2 + β 2 + γ 2 ) {\displaystyle \mathrm {OH} ^{2}=9R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})} , H G 2 = 4 R 2 − 4 ⋅ ( α 2 + β 2 + γ 2 ) {\displaystyle \mathrm {HG} ^{2}=4R^{2}-4\cdot (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})} , H I 2 = 2 ρ 2 − 4 R 2 cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ Γ {\displaystyle \mathrm {HI} ^{2}=2\rho ^{2}-4R^{2}\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} \cos \mathrm {\Gamma } } , H I A 2 = 2 ρ A 2 − 4 R 2 cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ Γ {\displaystyle \mathrm {HI_{A}} ^{2}=2\rho _{\mathrm {A} }^{2}-4R^{2}\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} \cos \mathrm {\Gamma } } .Για τα ύψη A H A , B H B , Γ H Γ {\displaystyle \mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} } , ισχύει ότι A H ⋅ H H A = B H ⋅ H H B = Γ H ⋅ H H Γ {\displaystyle \mathrm {AH} \cdot \mathrm {HH_{A}} =\mathrm {BH} \cdot \mathrm {HH_{B}} =\mathrm {\Gamma H} \cdot \mathrm {HH_{\Gamma }} } , A H H H A + B H H H B + Γ H H H Γ = 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {AH} }{\mathrm {HH_{A}} }}+{\frac {\mathrm {BH} }{\mathrm {HH_{B}} }}+{\frac {\mathrm {\Gamma H} }{\mathrm {HH_{\Gamma }} }}=1} . ( u A + u B + u Γ ) ⋅ ( 1 u A + 1 u B + 1 u Γ ) = ( α + β + γ ) ⋅ ( 1 α + 1 β + 1 γ ) {\displaystyle (u_{\mathrm {A} }+u_{\mathrm {B} }+u_{\mathrm {\Gamma } })\cdot \left({\frac {1}{u_{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {\Gamma } }}}\right)=(\alpha +\beta +\gamma )\cdot \left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}\right)} . Αν μ A {\displaystyle \mu _{\mathrm {A} }} η διάμεσος τριγώνου A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με β > γ {\displaystyle \beta >\gamma } , τότε u A ⋅ μ A = β 2 − γ 2 2 α {\displaystyle u_{\mathrm {A} }\cdot \mu _{\mathrm {A} }={\frac {\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\alpha }}} .Αν ρ {\displaystyle \rho } η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και ρ A , ρ B , ρ Γ {\displaystyle \rho _{\mathrm {A} },\rho _{\mathrm {B} },\rho _{\mathrm {\Gamma } }} οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων, τότε:46 1 ρ A = 1 u B + 1 u Γ − 1 u A {\displaystyle {\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }}}={\frac {1}{u_{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {\Gamma } }}}-{\frac {1}{u_{\mathrm {A} }}}} , 1 ρ A + 1 ρ B + 1 ρ Γ = 1 ρ = 1 u A + 1 u B + 1 u Γ {\displaystyle {\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {\Gamma } }}}={\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{u_{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {\Gamma } }}}} , 1 ρ 2 + 1 ρ A 2 + 1 ρ B 2 + 1 ρ Γ 2 = 4 ⋅ ( 1 u A 2 + 1 u B 2 + 1 u Γ 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {B} }^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {\Gamma } }^{2}}}=4\cdot \left({\frac {1}{u_{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {B} }^{2}}}+{\frac {1}{u_{\mathrm {\Gamma } }^{2}}}\right)} . Σε κάθε τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με α > β > γ {\displaystyle \alpha >\beta >\gamma } έχουμε ότι: u A < u B < u Γ . {\displaystyle u_{\mathrm {A} }<u_{\mathrm {B} }<u_{\mathrm {\Gamma } }.} Το τρίγωνο H A H B H Γ {\displaystyle \mathrm {H_{A}H_{B}H_{\Gamma }} } λέγεται ορθικό (ή αλλιώς ποδικό) τρίγωνο του τριγώνου A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } . Διάμεσος Διχοτόμος γωνίας Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος Ορθικό τρίγωνο Ορθοκεντρική τετράδα Ορθοκεντρικό τετράπλευρο
Στην γεωμετρία, το ύψος ενός τριγώνου ως προς μία κορυφή είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει αυτή την κορυφή προς την απέναντι πλευρά και είναι κάθετο σε αυτή. Κάθε τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } έχει τρία ύψη A H A , B H B , Γ H Γ {\displaystyle \mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} } τα οποία συντρέχουν στο σημείο που ονομάζεται ορθόκεντρο. Τα ύψη συνήθως συμβολίζονται ως u A , u B , u Γ {\displaystyle u_{\rm {A}},u_{\rm {B}},u_{\rm {\Gamma }}} ή u α , u β , u γ {\displaystyle u_{\alpha },u_{\beta },u_{\gamma }} αντίστοιχα.