Κβαντικός αριθμός
 Το σύνολο κβαντικών αριθμών που έχει μελετηθεί περισσότερο, είναι αυτό για ένα απλό ηλεκτρόνιο σε ένα άτομο: όχι μόνο επειδή είναι χρήσιμο στη χημεία, αλλά επειδή είναι ένα επιλύσιμο και ρεαλιστικό πρόβλημα, και, ως τέτοιο, βρίσκει ευρεία χρήση σε επιστημονικά βιβλία. Στη μη σχετικιστική κβαντική μηχανική, η Χαμιλτονιανή του συστήματος αυτού αποτελείται από την κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου και τη δυναμική ενέργεια που υπάρχει εξ' αιτίας της δύναμης Κουλόμπ ανάμεσα στα νουκλεόνια και το ηλεκτρόνιο. Η κινητική ενέργεια μπορεί να χωριστεί σε δύο κομμάτια, το πρώτο από τα οποία οφείλεται στη στροφορμή, J, του ηλεκτρονίου γύρω από τον ατομικό πυρήνα. Από τη στιγμή που το δυναμικό Κουλόμπ είναι σφαιρικά συμμετρικό, η Χαμιλτονιανή μετατίθεται με την ποσότητα J2. Η ίδια η J2 μετατίθεται με οποιαδήποτε από τις συνιστώσες του διανύσματος της στροφορμής, που για λόγους σύμβασης επιλέγεται να είναι η Jz. Αυτοί είναι και οι μόνοι τελεστές του προβλήματος οι οποίοι μετατίθενται, οπότε και έχουμε τρεις κβαντικούς αριθμούς. Αυτοί είναι γνωστοί ως: Ο κύριος κβαντικός αριθμός (n = 1, 2, 3, 4 ...), που εκφράζει την ιδιοτιμή της H χωρίς το κομμάτι της J2. Ο αριθμός αυτός έχει δηλαδή εξάρτηση μόνο από την απόσταση ανάμεσα στο ηλεκτρόνιο και τον πυρήνα του ατόμου (δηλαδή την ακτινική συντεταγμένη r). Η μέση απόσταση αυξάνεται ανάλογα με το n, οπότε λέμε, κατά σύμβαση, ότι κβαντικές καταστάσεις με διαφορετικούς κύριους κβαντικούς αριθμούς ανήκουν σε διαφορετικούς "φλοιούς". Όσο πιο μεγάλος είναι ο κύριος κβαντικός αριθμός ενός ηλεκτρονίου, τόσο πιο μεγάλη είναι η μέση απόστασή του από τον ατομικό πυρήνα. Για παράδειγμα, εάν n=7, τότε το ηλεκτρόνιο βρίσκεται στον φλοιό Q, δηλαδή στον πιο μακρινό από τον ατομικό πυρήνα φλοιό. Ο μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων που μπορούν να βρεθούν σε έναν φλοιό δίνεται από τον τύπο 2n2. Ο αζιμουθιακός κβαντικός αριθμός (l = 0, 1, ..., n-1) (επίσης γνωστός και ως κβαντικός αριθμός της στροφορμής ή τροχιακός κβαντικός αριθμός), μας δίνει την τροχιακή στροφορμή μέσω της σχέσης L 2 = l ( l + 1 ) ( h / 2 π ) 2 {\displaystyle L^{2}=l(l+1)(h/{2\pi })^{2}\,} , όπου h είναι η σταθερά του Πλανκ. Ο αζιμουθιακός κβαντικός αριθμός είναι πολύ σημαντικός στη χημεία, καθώς περιγράφει το σχήμα των ατομικών τροχιακών και επηρεάζει πολύ τη φύση των χημικών δεσμών. Συνήθως, η περίπτωση l=0 καλείται s-τροχιακό, η l = 1 p-τροχιακό, η l=2 d-τροχιακό και η l=3 f-τροχιακό. Ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός (ml = -l, -l+1, ... 0 ... ,l-1 ,l) είναι η ιδιοτιμή L z = m l / 2 π {\displaystyle L_{z}=m_{l}/{2\pi }} . Ο αριθμός αυτός μας δίνει την τιμή της προβολής της τροχιακής στροφορμής, σε ένα συγκεκριμένο άξονα.Πειραματικά αποτελέσματα, κυρίως από τη φασματοσκοπία, είχαν δείξει ότι μόνο μέχρι δύο ηλεκτρόνια μπορούν να βρίσκονται στην ίδια τροχιά. Ο Βόλφγκανγκ Πάουλι εισήγαγε τότε την περίφημη απαγορευτική αρχή, η οποία πήρε και το όνομά του, ώστε να συγκλίνει η θεωρία με τα πειραματικά αποτελέσματα. Η εισαγωγή της απαγορευτικής αρχής, σύμφωνα με την οποία δύο ηλεκτρόνια δεν μπορούν να βρίσκονται στην ίδια κβαντική κατάσταση, απαιτούσε την εισαγωγή ενός τέταρτου κβαντικού αριθμού, άγνωστου έως τότε. Η νέα ιδιότητα του ηλεκτρονίου, στην οποία αντιστοιχούσε ο νέος κβαντικός αριθμός, ονομάστηκε σπιν, και η φυσική της σημασία δεν αναγνωρίστηκε αμέσως. Αργότερα μόνο, κατανοήθηκε πως πρόκειται για μια εσωτερική ιδιότητα την οποία έχουν όλα τα σωματίδια και η οποία δεν έχει ανάλογο στην κλασική φυσική. Έχουμε λοιπόν τον τέταρτο κβαντικό αριθμό, ο οποίος είναι: Ο κβαντικός αριθμός του σπιν (ms = -1/2 ή +1/2), η ιδιοστροφορμή του ηλεκτρονίου. Ο αριθμός αυτός μας δίνει την προβολή του σπιν s = 1/2, πάνω σε συγκεκριμένο άξονα.Για να συνοψίσουμε, η κβαντική κατάσταση ενός ηλεκτρονίου προσδιορίζεται από τους κβαντικούς αριθμούς: Όταν κάποιος λάβει υπ' όψιν του την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς, οι l, m και s δεν μετατίθενται πλέον με τη Χαμιλτονιανή, και η τιμή τους αλλάζει με το πέρασμα του χρόνου. Οπότε, πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένα νέο σύνολο κβαντικών αριθμών. Αυτό το σύνολο περιλαμβάνει Τον κβαντικό αριθμό της ολικής στροφορμής (j = 1/2,3/2 ... n−1/2), ο οποίος δίνει την ολική στροφορμή μέσω της σχέσης J 2 = j ( j + 1 ) ( h / 2 π ) {\displaystyle J^{2}=j(j+1)(h/2\pi )\,} , όπου h είναι η σταθερά του Πλανκ. Την προβολή της ολικής στροφορμής σε ένα άξονα (mj = -j,-j+1... j), που είναι ανάλογη με τον κβαντικό αριθμό m, και ικανοποιεί τη σχέση m j = m l + m s {\displaystyle m_{j}=m_{l}+m_{s}} . Την Αρτιότητα. Αυτή είναι η ιδιοτιμή κάτω από αντιστροφή των αξόνων, και είναι θετική (+1) για καταστάσεις που προέρχονται από περιττά l και αρνητική (-1) για καταστάσεις που προέρχονται από άρτια l.Για παράδειγμα, έστω ότι έχουμε τις ακόλουθες οκτώ καταστάσεις, που ορίζονται από τους κβαντικούς αριθμούς: (1) l = 1, ml = 1, ms = +1/2 (2) l = 1, ml = 1, ms = -1/2 (3) l = 1, ml = 0, ms = +1/2 (4) l = 1, ml = 0, ms = -1/2 (5) l = 1, ml = -1, ms = +1/2 (6) l = 1, ml = -1, ms = -1/2 (7) l = 0, ml = 0, ms = +1/2 (8) l = 0, ml = 0, ms = -1/2Η κβαντική κατάσταση του συστήματος μπορεί να περιγραφεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των οκτώ καταστάσεων. Όμως, παρουσία της αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς, εάν θέλει κάποιος να περιγράψει το ίδιο σύστημα με οκτώ καταστάσεις που είναι ιδιοδιανύσματα της Χαμιλτονιανής, θα έπρεπε να πάρει τις παρακάτω οκτώ καταστάσεις: j = 3/2, mj = 3/2, άρτια αρτιότητα (προέρχεται από την κατάσταση (1)) j = 3/2, mj = 1/2, άρτια αρτιότητα (προέρχεται από τις καταστάσεις (2) και (3)) j = 3/2, mj = -1/2, άρτια αρτιότητα (προέρχεται από τις καταστάσεις (4) και (5)) j = 3/2, mj = -3/2, άρτια αρτιότητα (προέρχεται από την κατάσταση (6)) j = 1/2, mj = 1/2, άρτια αρτιότητα (προέρχεται από τις καταστάσεις (2) και (3)) j = 1/2, mj = -1/2, άρτια αρτιότητα (προέρχεται από τις καταστάσεις (4) και (5)) j = 1/2, mj = 1/2, περιττή αρτιότητα (προέρχεται από την κατάσταση (7)) j = 1/2, mj = -1/2, περιττή αρτιότητα (προέρχεται από την κατάσταση (8)) Τα στοιχειώδη σωματίδια περιέχουν αρκετούς εσωτερικούς κβαντικούς αριθμούς. Όμως, πρέπει να γίνει κατανοητό ότι τα στοιχειώδη σωματίδια είναι κβαντικές καταστάσεις του καθιερωμένου μοντέλου της σωματιδιακής φυσικής, οπότε οι κβαντικοί αριθμοί αυτών των σωματιδίων υπακούν στην ίδια σχέση με τη Χαμιλτονιανή αυτού του μοντέλου, όπως οι κβαντικοί αριθμοί του μοντέλου του Μπορ για τη Χαμιλτονιανή του. Με άλλα λόγια, κάθε κβαντικός αριθμός αντικατοπτρίζει και μια συμμετρία του προβλήματος. Τυπικοί κβαντικοί αριθμοί που σχετίζονται με συμμετρίες του χωροχρόνου είναι το σπιν (που σχετίζεται με τη συμμετρία στροφής), η αρτιότητα, η C-αρτιότητα και η Τ-αρτιότητα (που σχετίζεται με τη συμμετρία Πουανκαρέ του χωροχρόνου). Τυπικές εσωτερικές συμμετρίες είναι οι λεπτονικοί και οι βαρυονικοί αριθμοί ή το ηλεκτρικό φορτίο. Dirac, Paul A.M. (1982). Principles of quantum mechanics. Oxford University Press. ISBN 0-19-852011-5. Quantum Numbers and Electron Configurations Quantum numbers for the hydrogen atom Lecture notes on quantum numbers David J. Griffiths (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2η έκδοση). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. Francis Halzen· Alan D. Martin (1984). QUARKS AND LEPTONS: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2. The particle data group
Οι κβαντικοί αριθμοί είναι κάποιοι αριθμοί που αντιστοιχούν σε φυσικές ποσότητες (όπως η ενέργεια, η στροφορμή και το σπιν), οι οποίες διατηρούνται σε ένα κβαντικό σύστημα με την πάροδο του χρόνου, και οι οποίοι περιγράφουν τις τιμές που λαμβάνουν οι αντίστοιχες αυτές φυσικές ποσότητες. Από τη στιγμή που οποιοδήποτε κβαντικό σύστημα μπορεί να έχει έναν ή περισσότερους κβαντικούς αριθμούς, δεν έχει νόημα η παράθεση μιας λίστας με όλους τους κβαντικούς αριθμούς που υπάρχουν.