Σημείο Νάγκελ
 Έστω I A , I A ′ , I A ″ {\displaystyle \mathrm {I_{A}} ,\mathrm {I_{A}'} ,\mathrm {I_{A}''} } οι προβολές του παρακέντρου J A {\displaystyle \mathrm {J_{A}} } στις πλευρές B Γ , A B , A Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } ,\mathrm {AB} ,\mathrm {A\Gamma } } του τριγώνου A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } . Τότε, A I A ″ = A I A ‴ {\displaystyle \mathrm {AI_{A}''} =\mathrm {AI_{A}'''} } , B I A ′ = B I A ″ = x {\displaystyle \mathrm {BI_{A}'} =\mathrm {BI_{A}''} =x} και Γ I A ′ = Γ I A ‴ {\displaystyle \mathrm {\Gamma I_{A}'} =\mathrm {\Gamma I_{A}'''} } ως οι εφαπτομένες των A , B , Γ {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } } στον παρεγγεγραμμένου κύκλου που αντιστοιχεί στην κορυφή A {\displaystyle \mathrm {A} } . Από τις παραπάνω ισότητες έχουμε ότι γ + x = β + y {\displaystyle \gamma +x=\beta +y} και x + y = α {\displaystyle x+y=\alpha } .Συνδυάζοντας τις δύο λαμβάνουμε ότι x = α + β − γ 2 = τ − γ {\displaystyle x={\frac {\alpha +\beta -\gamma }{2}}=\tau -\gamma \quad } και y = α − β + γ 2 = τ − β {\displaystyle \quad y={\frac {\alpha -\beta +\gamma }{2}}=\tau -\beta } ,όπου τ = 1 2 ⋅ ( α + β + γ ) {\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )} είναι η ημιπερίμετρος. Αντίστοιχα, για τις προβολές I B ′ {\displaystyle \mathrm {I_{B}'} } και I Γ ′ {\displaystyle \mathrm {I_{\Gamma }'} } , λαμβάνουμε ότι A I Γ ′ = τ − β {\displaystyle \mathrm {AI_{\Gamma }'} =\tau -\beta } , A I B ′ = τ − γ {\displaystyle \mathrm {AI_{B}'} =\tau -\gamma } και {\displaystyle } και B I Γ ′ = Γ I B ′ = τ − α {\displaystyle \mathrm {BI_{\Gamma }'} =\mathrm {\Gamma I_{B}'} =\tau -\alpha } . Επομένως, A I B ′ Γ I B ′ ⋅ Γ I A ′ B I A ′ ⋅ B I Γ ′ A I Γ ′ = τ − γ τ − α ⋅ τ − β τ − γ ⋅ τ − α τ − β = 1 {\displaystyle {\rm {{\frac {AI_{B}'}{\Gamma I_{B}'}}\cdot {\frac {\Gamma I_{A}'}{BI_{A}'}}\cdot {\frac {BI_{\Gamma }'}{AI_{\Gamma }'}}}}={\frac {\tau -\gamma }{\tau -\alpha }}\cdot {\frac {\tau -\beta }{\tau -\gamma }}\cdot {\frac {\tau -\alpha }{\tau -\beta }}=1} ,και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα έχουμε ότι τα A I A ′ {\displaystyle \mathrm {AI_{A}'} } , B I B ′ {\displaystyle \mathrm {BI_{B}'} } και Γ I Γ ′ {\displaystyle \mathrm {\Gamma I_{\Gamma }'} } συντρέχουν. Εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου Σημείο Gergonne Θεώρημα του Τσέβα Σημείο Νάγκελ Το σημείο Νάγκελ του τριγώνου
Στην γεωμετρία, σε κάθε τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } το σημείο Νάγκελ (αναφέρεται συχνά ως σημείο Nagel) είναι το σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων A I A ′ , B I B ′ , Γ I Γ ′ {\displaystyle \mathrm {AI_{A}'} ,\mathrm {BI_{B}'} ,\mathrm {\Gamma I_{\Gamma }'} } , όπου I A ′ , I B ′ , I Γ ′ {\displaystyle \mathrm {I_{A}'} ,\mathrm {I_{B}'} ,\mathrm {I_{\Gamma }'} } τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με τις πλευρές του τριγώνου.Το σημείο παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Κρίστιαν Χάινριχ φον Νάγκελ (γερμανικά: Christian Heinrich von Nagel‎).