Τζαμσίντ αλ Κασί
 Ο (αλ-)Κασί υπήρξε ένας από τους καλύτερους μαθηματικούς στην ιστορία της Περσικής Αυτοκρατορίας. Γεννήθηκε στο Κασάν του κεντρικού Ιράν περί το 1380. Η κατάσταση εκεί για τον πολιτισμό βελτιώθηκε μετά τον θάνατο του Ταμερλάνου το 1405, καθώς ο γιος του Σαχρούχ Μιρζά που τον διαδέχθηκε και η σύζυγός του Γκοχαρσάντ ενδιαφέρονταν πολύ για τις επιστήμες και ενθάρρυναν τη σε βάθος μελέτη τους στην αυλή τους. Αυτό δημιούργησε ένα θαυμάσιο περιβάλλον για τον νεαρό αλ-Κασί ώστε να αρχίσει τη σταδιοδρομία του ως μαθηματικός. Ο γιος των παραπάνω και εγγονός του Ταμερλάνου, ο Ούλουγκ Μπεγκ, ίδρυσε μια σχολή ανώτερων μελετών στην πρωτεύουσά του Σαμαρκάνδη και προσεκάλεσε πολυάριθμους αστρονόμους και μαθηματικούς του ισλαμικού κόσμου να διδάξουν και να ερευνήσουν εκεί. Το 1414 ο Κασί άρχισε να ασχολείται εκεί, όπου και εκπόνησε το καλύτερο μέρος του έργου του. Ο Κασί εργαζόταν πάνω στη «Risala al-watar wa’l-jaib» («Πραγματεία των χορδών και των ημιτόνων») όταν απεβίωσε αιφνίδια σε ηλικία 49 ετών. Μερικοί ερευνητές πιστεύουν ότι ίσως ο Ούλουγκ Μπεγκ διέταξε τη δολοφονία του, ενώ άλλοι υποστηρίζουν ότι πέθανε από παθολογικά αίτια. Ο Κασί συνέταξε ένα «ζιτζ» (Zij, κατάλογος παραμέτρων για τον υπολογισμό των θέσεων του Ηλίου, της Σελήνης, των πλανητών και αστέρων) με τίτλο Χακανί ζιτζ, που βασίζεται στο προγενέστερο Ζιτζ-ι Ιλχανί του αλ-Τουσί. Στο έργο του αυτό ο Κασί ευχαριστεί τον σουλτάνο και αστρονόμο Ούλουγκ Μπεγκ που τον είχε προσκαλέσει να εργασθεί στο αστεροσκοπειο του και στη σχολή του. Στη συνέχεια, παραθέτει πίνακες ημιτόνων με ακρίβεια 4 εξηκονταδικών ψηφίων (ισοδύναμη με ακρίβεια 8 δεκαδικών ψηφίων) ανά μοίρα γωνίας, καθώς και διαφορές ανά λεπτό της μοίρας. Υπολόγισε επίσης πίνακες μετασχηματισμών ανάμεσα σε συστήματα συντεταγμένων της ουράνιας σφαίρας, όπως ο μετασχηματισμός από τις εκλειπτικές συντεταγμένες στις ισημερινές συντεταγμένες. Ο Κασί έγραψε αυτό το βιβλίο, γνωστό και ως Sullam al-Sama ή Resaleh-ye Kamaliyyeh (= «Η κλίμακα των ουρανών») με θέμα την αντιμετώπιση των δυσκολιών που είχαν συναντήσει οι προγενέστεροί του στον προσδιορισμό των αποστάσεων και των διαστάσεων των ουράνιων σωμάτων, στα οποία συμπεριλαμβάνει και τη Γη. Αναγράφει ότι τελείωσε τη συγγραφή του την αντίστοιχη ημερομηνία της 1ης Μαρτίου του 1407. Το 1416 ο Κασί συνέγραψε την Πραγματεία επί αστρονομικών παρατηρησιακών οργάνων, όπου περιγράφει ποικιλία διάφορετικών οργάνων, μεταξύ των οποίων το τρίγωνο και τον σφαιρικό αστρολάβο, το όργανο υπολογισμού ημιτόνων (και της ποσότητας 1–συνημίτονο) του Urdi, τον αστρονομικό εξάντα του Αμπού Μαχμούντ Χοτζαντί, τον εξάντα Φαχρί στο Αστεροσκοπείο του Ούλουγκ Μπεγκ στη Σαμαρκάνδη, ένα διπλό όργανο για τον υπολογισμό αζιμουθίου και ύψους που είχε επινοήσει ο ίδιος ο Κασί, και έναν μικρό σφαιρικό αστρολάβο με ενσωματωμένο δείκτη (alhidade), που επίσης είχε επινοήσει. Ο Κασί επινόησε και την «Πλάκα των συνόδων», ένα αναλογικό υπολογιστικό όργανο που χρησιμοποιήθηκε για να προσδιορίζει τον χρόνο της ημέρας κατά τον οποίο θα συνέβαιναν πλανητικές σύνοδοι και για γραμμικές παρεμβολές. Ο Κασί επινόησε επίσης έναν μηχανικό πλανητικό υπολογιστή, τον οποίο ονόμασε «Πλάκα των Ζωνών». Η διάταξη αυτή μπορούσε να επιλύσει γραφικά ορισμένα πλανητικά προβλήματα, όπως την πρόβλεψη του αληθινού μήκους του Ηλίου, της Σελήνης και των πλανητών κινούμενων σε ελλειπτικές τροχιές, αλλά των εκλειπτικών πλατών των παραπάνων. Το όργανο αυτό είχε ενσωματωμένο δείκτη και κανόνα. Στη γαλλική γλώσσα ο Νόμος των συνημιτόνων ονομάζεται Théorème d'Al-Kashi (θεώρημα του αλ-Κασί), καθώς ο Κασί ήταν ο πρώτος που τον διετύπωσε καθαρά σε μία μορφή κατάλληλη για τριγωνισμό. Στην Πραγματεία των χορδών και των ημιτόνων ο Κασί υπολογίζει το ημίτονο της γωνίας 1° με σχεδόν ίση ακρίβεια όση και το π. Αυτός ήταν ο ακριβέστερος προσδιορισμός του sin1° μέχρι τότε και δεν βελτιώθηκε μέχρι τον Τακί αλ-ντιν τον 16ο αιώνα. Στην άλγεβρα και στην αριθμητική ανάλυση ο Κασί ανέπτυξε μία μέθοδο διαδοχικών προσεγγίσεων για την επίλυση κυβικών εξισώσεων, που ανακαλύφθηκε στην Ευρώπη μετά τον 16ο αιώνα.Μια μέθοδος αλγεβρικώς ισοδύναμη με τη μέθοδο Νιούτον-Ράφσον ήταν ήδη γνωστή στον προγενέστερο Σαράφ αλ-ντιν αλ-Τούσι. Ο Κασί τη βελτίωσε χρησιμοποιώντας μία μορφή της για να επιλύσει την x P − N = 0 {\displaystyle x^{P}-N=0} , δηλαδή να βρει ρίζες του N. Στον δυτικό κόσμο, μία παρόμοια μέθοδος περιγράφηκε 200 και πλέον χρόνια αργότερα από τον Χένρυ Μπρίγκς στην Trigonometria Britannica (1633).Προκειμένου να προσδιορίσει το ημίτονο της 1° ο Κασί κατέληξε στην παρακάτω σχέση, που συχνά αποδίδεται στον Βιέτ: sin ⁡ 3 ϕ = 3 sin ⁡ ϕ − 4 sin 3 ⁡ ϕ {\displaystyle \sin 3\phi =3\sin \phi -4\sin ^{3}\phi \,\!} Υπολογισμός του 2π Ο Κασί προσέγγισε αριθμητικά τον αριθμό 2π με ακρίβεια 9 εξηκονταδικών ψηφίων (16 δεκαδικών) το έτος 1424. Ο Κασί είχε έτσι υπολογίσει το π με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια από όση οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί (3 δεκαδικά ψηφία από τον Πτολεμαίο, 150 μ.Χ.), οι Κινέζοι μαθηματικοί (7 δεκαδικά ψηφία από τον Τσου Τσονγκτσί, 480 μ.Χ.) ή οι Ινδοί (11 δεκαδικά ψηφία από τον Μαντάβα της Σανγκαμαγκράμα, περ. 1400). Η ακρίβεια του αλ-Κασί δεν ξεπεράστηκε μέχρι τον υπολογισμό 20 δεκαδικών ψηφίων του π από τον Λούντολφ φαν Κάυλεν 180 χρόνια αργότερα. Ο σκοπός του αλ-Κασί ήταν να υπολογίσει τη σταθερά αυτή με τέτοια ακρίβεια ώστε η περιφέρεια του μεγαλύτερου δυνατού κύκλου (της εκλειπτικής) να υπολογιζόταν με την ακρίβεια διαμέτρου τρίχας (η καλύτερη αντιληπτή τότε). Δεκαδικά κλάσματα Συζητώντας τα δεκαδικά κλάσματα ο Ντιρκ Γιαν Στρυκ γράφει τα εξής: «Η εισαγωγή των δεκαδικών κλασμάτων ως κοινή υπολογιστική πρακτική μπορεί να χρονολογηθεί πίσω στη φλαμανδική φυλλάδα De Thiende (1585) και στη γαλλική της μετάφραση υπό τον τίτλο La Disme του Φλαμανδού μαθηματικού Σίμον Στέβιν (1548-1620)... ...Είναι αλήθεια πως τα δεκαδικά κλάσματα χρησιμοποιήθηκαν από τους Κινέζους αρκετούς αιώνες πριν από τον Στέβιν και ότι ο Πέρσης αστρονόμος Αλ-Κασί χρησιμοποίησε τόσο εξηκονταδικά όσο και δεκαδικά κλάσματα με μεγάλη ευχέρεια στην Κλείδα της Αριθμητικής του (Σαμαρκάνδη, αρχές του 15ου αιώνα).» Το Τρίγωνο του Χαγιάμ Εξετάζοντας το Τρίγωνο του Πασκάλ, γνωστό στην Περσία ως «Τρίγωνο του Χαγιάμ, ο Στρυκ σημειώνει (σελ. 21): «Οι ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών μελετήθηκαν από τον Πέρση μαθηματικό Τζασμίντ Αλ-Κασί στην Κλείδα της Αριθμητικής του (περ. 1425). Τόσο στην Κίνα, όσο και στην Περσία, η γνώση αυτών των ιδιοτήτων μπορεί να είναι πολύ παλαιότερη. Αυτή η γνώση μοιράστηκε και σε μερικούς μαθηματικούς της Αναγέννησης, και βλέπουμε το Τρίγωνο του Πασκάλ στην πρώτη σελίδα της γερμανικής αριθμητικής του Απιανού το 1527. Μετά από αυτό, βρίσκουμε το τρίγωνο και τις ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών σε αρκετούς άλλους συγγραφείς.» Το 2009 η IRIB παρήγαγε και πρόβαλε μία βιογραφική ιστορική κινηματογραφημένη σειρά για τη ζωή και την εποχή του αλ-Κασί, με τίτλο Nardebām-e Āsmān (= «Η κλίμακα των ουρανών»). Η σειρά αποτελείται από 15 μέρη των 45 λεπτών. Σκηνοθετήθηκε από τον Μοχάμαντ-Χοσεΐν Λατίφι, ενώ η παραγωγή είναι του Μοσέν Αλί-Ακμπάρι. Ο ρόλος του ενήλικου Κασί παίζεται από τον ηθοποιό Βαχίντ Τζαλιλβάντ. Kennedy, Edward S. (1947), «Al-Kashi's Plate of Conjunctions», Isis 38 (1–2): 56–59, doi:10.1086/348036 Kennedy, Edward S. (1950), «A Fifteenth-Century Planetary Computer: al-Kashi's "Tabaq al-Manateq" I. Motion of the Sun and Moon in Longitude», Isis 41 (2): 180–183, doi:10.1086/349146 Kennedy, Edward S. (1951), «An Islamic Computer for Planetary Latitudes», Journal of the American Oriental Society (American Oriental Society) 71 (1): 13–21, doi:10.2307/595221 Kennedy, Edward S. (1952), «A Fifteenth-Century Planetary Computer: al-Kashi's "Tabaq al-Maneteq" II: Longitudes, Distances, and Equations of the Planets», Isis 43 (1): 42–50, doi:10.1086/349363 Schmidl, Petra G. (2007). «Kāshī: Ghiyāth (al‐Milla wa‐) al‐Dīn Jamshīd ibn Masʿūd ibn Maḥmūd al‐Kāshī [al‐Kāshānī]». Στο: Thomas Hockey, επιμ. The Biographical Encyclopedia of Astronomers. Νέα Υόρκη: Springer, σσ. 613–5. ISBN 978-0-387-31022-0. http://islamsci.mcgill.ca/RASI/BEA/Kashi_BEA.htm. (σε PDF) Για τον Κασανί, Iran Chamber Society Η «απόλυτη» μαθηματική βιογραφία του αλ-Κασί στο MacTutor History of Mathematics archive, Πανεπιστήμιο του Σαιντ Άντριους
Ο Γκιγιάτ αλ-ντιν Τζαμσίντ Μασούντ αλ Κασί ή Αλ-Κασανί (Ghiyāth al-Dīn Jamshīd Masʿūd al-Kāshī, al-Kāshānī περσ. غیاث الدین جمشید کاشانی ,περ. 1380 – 22 Ιουνίου 1429) ήταν Πέρσης αστρονόμος και μαθηματικός. Μεγάλο μέρος του έργου του δεν έχει μεταφρασθεί σε ευρωπαϊκή γλώσσα και άλλο μεγάλο μέρος του παραμένει ανέκδοτο σε οποιαδήποτε μορφή.