Θεώρημα van Schooten
 Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο A B P Γ {\displaystyle {\rm {ABP\Gamma }}} έχουμε ότι P A ⋅ B Γ = P B ⋅ A Γ + P Γ ⋅ A B . {\displaystyle \mathrm {PA} \cdot \mathrm {B\Gamma } =\mathrm {PB} \cdot \mathrm {A\Gamma } +\mathrm {P\Gamma } \cdot \mathrm {AB} .} Αφού το τρίγωνο A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} είναι ισόπλευρο έχουμε ότι A B = B Γ = A Γ {\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {B\Gamma } =\mathrm {A\Gamma } } . Από την προηγούμενη σχέση, καταλήγουμε ότι P A = P B + P Γ . {\displaystyle \mathrm {PA} =\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma } .} Θεωρούμε το σημείο E {\displaystyle \mathrm {E} } του περιγεγραμμένου κύκλου ώστε ∠ P B E = 60 o {\displaystyle \angle \mathrm {PBE} =60^{o}} . Τότε, ∠ A P B = ∠ A Γ B = 60 o {\displaystyle \angle \mathrm {APB} =\angle \mathrm {A\Gamma B} =60^{o}} ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επομένως, το τρίγωνο Δ B P {\displaystyle \mathrm {\Delta BP} } είναι ισόπλευρο. Αντίστοιχα, ∠ A E B = ∠ A P B = 60 o {\displaystyle \angle \mathrm {AEB} =\angle \mathrm {APB} =60^{o}} και ∠ P A E = ∠ P B E = 60 o {\displaystyle \angle \mathrm {PAE} =\angle \mathrm {PBE} =60^{o}} . Επομένως, το τρίγωνο A E Δ {\displaystyle \mathrm {AE\Delta } } είναι ισόπλευρο. Αφού ∠ P B Γ = ∠ P B Δ − ∠ Γ B Δ = 60 o − ∠ Γ B Δ {\displaystyle \angle \mathrm {PB\Gamma } =\angle \mathrm {PB\Delta } -\angle \mathrm {\Gamma B\Delta } =60^{o}-\angle \mathrm {\Gamma B\Delta } } και ∠ A B E = ∠ A B Γ − ∠ Γ B Δ = 60 o − ∠ Γ B Δ {\displaystyle \angle \mathrm {ABE} =\angle \mathrm {AB\Gamma } -\angle \mathrm {\Gamma B\Delta } =60^{o}-\angle \mathrm {\Gamma B\Delta } } , έχουμε ότι A E = P Γ {\displaystyle \mathrm {AE} =\mathrm {P\Gamma } } ως χορδές στις οποίες βαίνουν σε ίσες εγγεγραμμένες γωνίες. Άρα και P Γ = Δ E {\displaystyle {\rm {P\Gamma =\Delta E}}} . Καταλήγουμε ότι P A = P Δ + Δ A = P B + Δ E = P B + P Γ . {\displaystyle \mathrm {PA} =\mathrm {P\Delta } +\mathrm {\Delta A} =\mathrm {PB} +\mathrm {\Delta E} =\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma } .} Θεώρημα του Πτολεμαίου Θεώρημα Pompeiu Ισόπλευρο τρίγωνο Περιγεγραμμένος κύκλος Θεώρημα van Schooten και Pompeiu
Στην γεωμετρία, το θεώρημα van Schooten λέει ότι για οποιοδήποτε σημείο P {\displaystyle \mathrm {P} } του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισόπλευρου τριγώνου A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } , ισχύει ότι η μεγαλύτερη απόσταση από τις κορυφές του ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων του από τις άλλες δύο.Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Frans van Schooten.