Αξιωματικό σχήμα του διαχωρισμού
 Μια περίπτωση του σχήματος περιλαμβάνεται για κάθε τύπο φ στη γλώσσα της θεωρίας συνόλων με ελεύθερες μεταβλητές μεταξύ των x, w1, ..., wn, A. Έτσι το Β δεν εμφανίζεται ελεύθερο στο φ. Στην τυπική γλώσσα της θεωρίας συνόλων, το αξιωματικό σχήμα είναι: ∀ w 1 , … , w n ∀ A ∃ B ∀ x ( x ∈ B ⇔ [ x ∈ A ∧ φ ( x , w 1 , … , w n , A ) ] ) {\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow [x\in A\land \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])} ή με άλλα λόγια : Δεδομένου ενός συνόλου Α, υπάρχει ένα σύνολο Β (υποσύνολο του Α) τέτοιο ώστε, δεδομένου ενός συνόλου x, το x είναι μέλος του Β αν και μόνο αν το x είναι μέλος του Α και το φ ισχύει για το x. Ας σημειωθεί ότι υπάρχει ένα αξίωμα για κάθε κατηγόρημα φ, οπότε πρόκειται για ένα σχήμα αξιωμάτων. Σημειώστε ότι υπάρχει ένα αξίωμα για κάθε τέτοιο κατηγόρημα φ- επομένως, πρόκειται για ένα αξιωματικό σχήμα. Για να κατανοηθεί αυτό το αξιωματικό σχήμα, σημειώστε ότι το σύνολο Β πρέπει να είναι υποσύνολο του Α. Έτσι, αυτό που δηλώνει στην πραγματικότητα το αξιωματικό σχήμα είναι ότι, δεδομένου ενός συνόλου Α και ενός κατηγορήματος φ {\displaystyle \varphi } , μπορεί να βρεθεί ένα υποσύνολο Β του Α του οποίου τα μέλη είναι ακριβώς τα μέλη του Α που ικανοποιούν το φ {\displaystyle \varphi } . Σύμφωνα με το αξίωμα της επεκτασιμότητας το σύνολο αυτό είναι μοναδικό. Συνήθως συμβολίζουμε αυτό το σύνολο χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό set-builder ως B = { x ∈ A | φ ( x ) } {\displaystyle B=\{x\in A|\varphi (x)\}} . Έτσι, η ουσία του αξιώματος είναι: Κάθε υποκατηγορία ενός συνόλου που ορίζεται από ένα κατηγόρημα είναι η ίδια ένα σύνολο.Η προηγούμενη μορφή διαχωρισμού εισήχθη το 1930 από τον Θόραλφ Σκόλεμ ως βελτίωση μιας προηγούμενης μορφής του Ζερμέλο.Το αξιωματικό σχήμα προδιαγραφής είναι χαρακτηριστικό των συστημάτων αξιωματικής θεωρίας συνόλων που σχετίζονται με τη συνήθη θεωρία συνόλων ZFC, αλλά συνήθως δεν εμφανίζεται σε ριζικά διαφορετικά συστήματα εναλλακτικής θεωρίας συνόλων. Για παράδειγμα, τα Νέα Θεμέλια και η θετική θεωρία συνόλων χρησιμοποιούν διαφορετικούς περιορισμούς του αξιώματος της κατανόησης της αφελής θεωρίας συνόλων. Η Εναλλακτική Θεωρία Συνόλων του Βοπένκα κάνει ειδική αναφορά στο γεγονός ότι επιτρέπει κατάλληλες υποκατηγορίες συνόλων, που ονομάζονται ημισύνολα. Ακόμη και σε συστήματα που σχετίζονται με τη ZFC, το σχήμα αυτό περιορίζεται μερικές φορές σε τύπους με περιορισμένους ποσοδείκτες, όπως στη θεωρία συνόλων Κρίπκε-Πλάτεκ με urelements. Το αξιωματικό σχήμα του διαχωρισμού μπορεί σχεδόν να προκύψει από το αξιωματικό σχήμα της αντικατάστασης.Πρώτον, ας θυμηθούμε αυτό το αξιωματικό σχήμα: ∀ A ∃ B ∀ C ( C ∈ B ⟺ ∃ D [ D ∈ A ∧ C = F ( D ) ] ) {\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall C\,(C\in B\iff \exists D\,[D\in A\land C=F(D)])} για κάθε λειτουργικό κατηγόρημα F σε μία μεταβλητή που δεν χρησιμοποιεί τα σύμβολα A, B, C ή D. Δεδομένου ενός κατάλληλου κατηγορήματος P για το αξίωμα της εξειδίκευσης, ορίστε την απεικόνιση F με F(D) = D αν το P(D) είναι αληθές και F(D) = E αν το P(D) είναι ψευδές, όπου E είναι οποιοδήποτε μέλος του A τέτοιο ώστε το P(E) να είναι αληθές. Τότε το σύνολο Β που εγγυάται το αξίωμα της αντικατάστασης είναι ακριβώς το σύνολο Β που απαιτείται για το αξίωμα της εξειδίκευσης. Το μόνο πρόβλημα είναι αν δεν υπάρχει τέτοιο E. Αλλά σε αυτή την περίπτωση, το σύνολο Β που απαιτείται για το αξίωμα του διαχωρισμού είναι το κενό σύνολο, οπότε το αξίωμα του διαχωρισμού προκύπτει από το αξίωμα της αντικατάστασης μαζί με το αξίωμα του κενού συνόλου. Για το λόγο αυτό, το αξιωματικό σχήμα της εξειδίκευσης συχνά παραλείπεται από τους σύγχρονους καταλόγους των αξιωμάτων Ζερμέλο-Φράνκελ. Ωστόσο, εξακολουθεί να είναι σημαντικό για ιστορικούς λόγους και για σύγκριση με εναλλακτικές αξιωματικοποιήσεις της θεωρίας συνόλων, όπως μπορούμε να δούμε για παράδειγμα στις επόμενες ενότητες. Το αξιωματικό σχήμα της απεριόριστης κατανόησης έχει ως εξής: ∀ w 1 , … , w n ∃ B ∀ x ( x ∈ B ⇔ φ ( x , w 1 , … , w n ) ) {\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))} δηλαδή: Υπάρχει ένα σύνολο B του οποίου τα μέλη είναι ακριβώς εκείνα τα αντικείμενα που ικανοποιούν το κατηγόρημα φ.}}. Αυτό το σύνολο B είναι και πάλι μοναδικό και συνήθως συμβολίζεται ως {x : φ(x, w1, ..., wb)}. Αυτό το αξιωματικό σχήμα χρησιμοποιήθηκε σιωπηρά στις πρώτες μέρες της αφελής θεωρίας συνόλων, πριν υιοθετηθεί μια αυστηρή αξιωματοποίηση. Δυστυχώς, οδηγεί άμεσα στο παράδοξο του Ράσελ θεωρώντας ότι το φ(x) είναι το ¬(x ∈ x) (δηλαδή η ιδιότητα ότι το σύνολο x δεν είναι μέλος του εαυτού του). Επομένως, καμία χρήσιμη αξιωματοποίηση της θεωρίας συνόλων δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει την απεριόριστη κατανόηση. Το πέρασμα από την κλασική λογική στη διαισθητική λογική δεν βοηθάει, καθώς η απόδειξη του παραδόξου του Ράσελ είναι διαισθητικά έγκυρη. Η αποδοχή μόνο του αξιωματικού σχήματος των προδιαγραφών ήταν η αρχή της αξιωματικής θεωρίας συνόλων. Τα περισσότερα από τα άλλα αξιώματα των Ζερμέλο-Φράνκελ (αλλά όχι το αξίωμα της επεκτασιμότητας, το αξίωμα της κανονικότητας ή το αξίωμα της επιλογής) κατέστησαν στη συνέχεια απαραίτητα για να αναπληρώσουν κάποια από αυτά που χάθηκαν με την αλλαγή του αξιωματικού σχήματος της κατανόησης στο αξιωματικό σχήμα της προδιαγραφής - καθένα από αυτά τα αξιώματα δηλώνει ότι ένα ορισμένο σύνολο υπάρχει και ορίζει αυτό το σύνολο δίνοντας ένα κατηγόρημα που πρέπει να ικανοποιούν τα μέλη του, δηλαδή είναι μια ειδική περίπτωση του αξιωματικού σχήματος της κατανόησης. Επίσης, είναι δυνατόν να αποτραπεί το σχήμα από το να είναι ασυνεπές περιορίζοντας σε ποιους τύπους μπορεί να εφαρμοστεί, όπως για παράδειγμα μόνο σε στρωματοποιημένους τύπους στα Νέα Θεμέλια (βλ. παρακάτω) ή μόνο σε θετικούς τύπους (τύπους με μόνο σύνδεσμο, διάζευξη, ποσοτικοποίηση και ατομικούς τύπους) στη θετική θεωρία συνόλων. Οι θετικοί τύποι, ωστόσο, συνήθως δεν είναι σε θέση να εκφράσουν ορισμένα πράγματα που οι περισσότερες θεωρίες μπορούν- για παράδειγμα, δεν υπάρχει συμπλήρωμα ή σχετικό συμπλήρωμα στη θετική θεωρία συνόλων. Στη θεωρία συνόλων φον Νόιμαν-Μπερνέζ-Γκέντελ γίνεται διαχωρισμός μεταξύ συνόλων και κλάσεων. Μια κλάση C είναι σύνολο αν και μόνο αν ανήκει σε κάποια κλάση E. Σε αυτή τη θεωρία, υπάρχει ένα σχήμα θεωρημάτων που έχει ως εξής ∃ D ∀ C ( [ C ∈ D ] ⟺ [ P ( C ) ∧ ∃ E ( C ∈ E ) ] ) , {\displaystyle \exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,} δηλαδή, Υπάρχει μια κλάση D τέτοια ώστε κάθε κλάση C να είναι μέλος της D αν και μόνο αν η C είναι ένα σύνολο που ικανοποιεί το P.υπό την προϋπόθεση ότι οι ποσοδείκτες στο κατηγόρημα P περιορίζονται σε σύνολα. Αυτό το θεωρητικό σχήμα είναι από μόνο του μια περιορισμένη μορφή κατανόησης, η οποία αποφεύγει το παράδοξο του Ράσελ λόγω της απαίτησης ότι το C πρέπει να είναι σύνολο. Στη συνέχεια, η προδιαγραφή για τα ίδια τα σύνολα μπορεί να γραφτεί ως ένα μόνο αξίωμα Αυτό το θεωρητικό σχήμα είναι από μόνο του μια περιορισμένη μορφή κατανόησης, η οποία αποφεύγει το παράδοξο του Ράσελ εξαιτίας της απαίτησης ότι C πρέπει να είναι ένα σύνολο. Στη συνέχεια, η προδιαγραφή για τα ίδια τα σύνολα μπορεί να γραφτεί ως ένα μόνο αξίωμα ∀ D ∀ A ( ∃ E [ A ∈ E ] ⟹ ∃ B [ ∃ E ( B ∈ E ) ∧ ∀ C ( C ∈ B ⟺ [ C ∈ A ∧ C ∈ D ] ) ] ) , {\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,} δηλαδή, Για κάθε κλάση D και για κάθε σύνολο A, υπάρχει ένα σύνολο B του οποίου τα μέλη είναι ακριβώς οι κλάσεις που είναι μέλη τόσο της A όσο και της D.ή ακόμα πιο απλά Η τομή μιας κλάσης D και ενός συνόλου A είναι η ίδια ένα σύνολο B.Σε αυτό το αξίωμα, το κατηγόρημα P αντικαθίσταται από την κλάση D, η οποία μπορεί να ποσοτικοποιηθεί. Ένα άλλο απλούστερο αξίωμα που επιτυγχάνει το ίδιο αποτέλεσμα είναι ∀ A ∀ B ( [ ∃ E ( A ∈ E ) ∧ ∀ C ( C ∈ B ⟹ C ∈ A ) ] ⟹ ∃ E [ B ∈ E ] ) , {\displaystyle \forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,} δηλαδή, Μια υποκατηγορία ενός συνόλου είναι ένα σύνολο. Σε μια τυποποιημένη γλώσσα όπου τα κατηγορήματα μπορούν να ποσοτικοποιηθούν, το αξιωματικό σχήμα των προδιαγραφών γίνεται ένα απλό αξίωμα. Αυτό είναι περίπου το ίδιο τέχνασμα που χρησιμοποιήθηκε στα αξιώματα NBG της προηγούμενης ενότητας, όπου το κατηγόρημα αντικαταστάθηκε από μια κλάση η οποία στη συνέχεια ποσοτικοποιήθηκε.Στη λογική δεύτερης τάξης και στη λογική ανώτερης τάξης με σημασιολογία ανώτερης τάξης, το αξίωμα των προδιαγραφών είναι μια λογική εγκυρότητα και δεν χρειάζεται να συμπεριληφθεί ρητά σε μια θεωρία. Στην προσέγγιση των Νέων Θεμελιώσεων στη θεωρία συνόλων, στην οποία πρωτοστάτησε ο Ουίλαρντ βαν Όρμαν Κουίν, το αξίωμα της κατανόησης για ένα δεδομένο κατηγόρημα παίρνει την απεριόριστη μορφή, αλλά τα κατηγόρια που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο σχήμα είναι τα ίδια περιορισμένα. Το κατηγόρημα (το (C δεν είναι στο (C) είναι απαγορευμένο, επειδή το ίδιο σύμβολο (C εμφανίζεται και στις δύο πλευρές του συμβόλου συμμετοχής (και επομένως σε διαφορετικούς "σχετικούς τύπους"- το παράδοξο του Ράσελ αποφεύγεται έτσι. Ωστόσο, αν υποθέσουμε ότι το P(C) είναι (C = C), το οποίο επιτρέπεται, μπορούμε να σχηματίσουμε ένα σύνολο όλων των συνόλων Crossley, J.bN.· Ash, C. J.· Brickhill, C. J.· Stillwell, J. C.· Williams, N. H. (1972). What is mathematical logic?. London-Oxford-New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-888087-1. Zbl 0251.02001. Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, New Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (ISBN 0-387-90092-6) (Springer-Verlag edition). Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. (ISBN 3-540-44085-2). Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. (ISBN 0-444-86839-9). Οικοδομήσιμο Σύμπαν
Σε πολλές διαδεδομένες εκδόσεις της αξιωματικής θεωρίας συνόλων, το Αξιωματικό σχήμα της προδιαγραφής, επίσης γνωστό ως Αξιωματικό σχήμα του διαχωρισμού, αξιωματικό σχήμα των υποσυνόλων ή αξιωματικό σχήμα της περιορισμένης κατανόησης, είναι ένα αξιωματικό σχήμα που δηλώνει ότι κάθε ορίσιμη υποκατηγορία ενός συνόλου είναι σύνολο. Ορισμένοι μαθηματικοί το αποκαλούν ως αξίωμα της κατανόησης, αν και άλλοι χρησιμοποιούν αυτόν τον όρο για την απεριόριστη κατανόηση, που αναλύεται παρακάτω. Δεδομένου ότι η περιορισμένη κατανόηση απέφυγε το παράδοξο του Ράσελ, αρκετοί μαθηματικοί, συμπεριλαμβανομένων των Ζερμέλο, Φράενκελ και Γκέντελ, το θεωρούσαν το πιο σημαντικό αξίωμα της θεωρίας συνόλων.