5. Equations simultanées du premier ordre. —Nous allons étendre les théorèmes d'existence à certains systèmes d'équations simultanées du premier ordre à une seule fonction inconnue, qui seront étudiés directement dans la suite de cet ouvrage. Soit S un système de r équations distinctes entre une fonction inconnue z, n variables indépendantes et les dérivées partielles du premier ordre de z par rapport à ces variables. En laissant de côté le cas banal où l'on pourrait déduire de ces équations une relation où ne figure aucune dérivée de la fonction inconnue, on peut toujours supposer ce système résolu par rapport à r de ces dérivées, par exemple par rapport aux dérivées , .... —— • Pour plus de clarté dans les nota
'tions, nous représenterons par y1...., ym les variables autres que
x1, x2, ..., Xr(m + r = n) et nous poserons qi = — . Le sys

tème S est donc de la forme
les variables x1, ..., xr sont. appelées variables principales, les variables y1, variables paramétriques, les dérivées — qui figurent, dans les premiers ,membres des équations (31) sont de même les dérivées principales, et les dérivées qqm les dérivées paramétriques (1). Cette distinction n'a d'ailleurs rien d'essentiel, puisque le système S peut, en général, être mis sous la forme (31) de plusieurs manières.
