Nous avons encore besoin de connaître la solution du problème suivant : Étant données r fonctions f, ..., Ir des variables Xi, pu, telles qu'il existe d'autres fonctions Fi,..., Fr, U, donnant lieu avec les précédentes à l'identité (20), comment obtiendra-t-on ces nouvelles fonctions U, F,, Fr ?
Prenons pour nouvelles variables indépendantes fr et 2n — r quantités u., u2, U2n-r, formant avec Ii, ...,fr un système de 2n fonctions distinçtes. La relation (20) devient
et elle peut être remplacée par les 2n relations
Des formules (26) on déduira U par une quadrature, en supposant, bien entendu, que le problème soit possible, et on aura ensuite Fi, Fr au moyen des formules (2 7). Remarquons qu'on pçut toujours ajouter à U une fonction arbitraire de fi, ; ce qui était évident a priori. On peut donc énoncer la proposition suivante :
Soient ft, ...,fr des fonctions connues de Xi' ..., Xn, Pi' Pn, telles qu'il existe une relation de la forme
(20) dU + F,df, v + ... + Frdfr = pidxi + • • + p,dx,, &gt;
U s'obtient par une quadrature, et on a ensuite Fil ..., Fr par des différentiations seulement.
L'application de ces résultats aux équations aux dérivées partielles conduit à l'important théorème ci-dessous.
