Je désigne par M une borne supérieure quelconque des erreurs n. Dans la pratique on tâche de donner à M une valeur aussi petite que possible.
Je désigne par X, Y et Z les solutions des équations normales des moindres carrés, et par R,les valeurs correspondantes de r,-.
Je désigne enfin par R Terreur moyenne, c'est-à-dire la moyenne arithmétique des carrés R, 2:
Deux notions nouvelles, l'approximation quadratique] et l'hyperbole indicatrice m'ont permis de traiter rigoureusement la méthode des moindres carrés (1).
Je distingue les trois cas suivants :
R= M R &lt; M R &gt; M
Le cas R = M est le plus intéressant. En effet, je démontre que dans ce cas les solutions X, Y, Z des moindres carrés sont les valeurs rigoureusement exactes des inconnues.
Le cas R &lt; M est le cas habituel.
Je démontre que dans ce cas, les solutions des moindres carrés sont les valeurs les plus approximatives, quadratiquement, des inconnues
et ont des approximations de la forme Q y M2 — R 2.
Enfin, je prouve que le cas R &gt; M est absurde, de sorte qu'on ne peut le rencontrer dans la pratique que si les observateurs attribuent à leurs mesures un degré de précision qu'elles n'ont pas.
On se figure communément que les équations de condition sont d'aMtant meilleures que l'erreur moyenne R est plus voisine de zéro. Mon travail établit que les équations sont d'autant meilleures que Fl est plus voisin, non de zéro, mais de M. »
(Il II est établi dans mon travail que les ordonnées de la branche supérieure de cette hyperbole eont dés bornes supérieures de x et que les ordonnées de la branche inférieure en sont des bornes inférieures.
