Cette manière très-simple de représenter une série procédant suivant les multiples du cosinus d'un arc donné et composée d'un nombre indéfini de termes, est fort usitée dans toutes les branches de l'analyse, et elle est d'un usage très-commode dans la théorie du système du monde, où l'on a souvent de pareilles suites à considérer.
La valeur précédente de R, deviendra ainsi
Revenons maintenant aux orbites supposées peu.
excentriques et peu inclinées les unes aux autres. On aura dans ce cas, d'après les valeurs du rayon vecteur et de la longitude vraie dans l'orbite elliptique, développées n° 25,
en représentant par u, u', v, v' de très-petites quantités dépendantes des excentricités et des inclinaisons.
Si l'on substitue ces valeurs dans la fonction R, et qu'on la développe par rapport aux puissances et aux produits de u, u', v, VI , z et z', il suffira de remplacer ensuite ces quantités par leurs valeurs pour avoir une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons, comme nous nous le sommes proposé. Mais la substitution que nous venons d'indiquer revient évidemment à donner aux quantités a, a', nt + e, n' t + e', qui entrent dans la fonction R, les accroissements au, a'u', v et v', et à joindre à la fonction qui en résultera les termes du développement de R dépendants des variables zet z'.
