En la primera parte sobre el tema se expuso el modelo teórico que sustenta a las finanzas modernas: 1) Las ideas de Bachelier sobre la independencia del cambio de los precios financieros y, por la ley de los grandes números, su distribución en la curva normal o de campana. 2) La Teoría de Markowitz sobre la construcción del portafolio. 3) El modelo de Sharpe respecto al Capital Asset Pricing Model. 4) Las ideas de Black y Scholes sobre la formación del precio de las opciones. En la segunda parte, se sometieron dichas ideas a un test con la evidencia empírica en las bolsas de valores, en los mercados cambiarios, en los precios de los commodities, donde se demostró la falta de capacidad predictiva de esos modelos tal como lo atestiguan las últimas 10 o 12 crisis financieras. En esta tercera parte, se expone un modelo alternativo proveniente de un análisis acucioso de los mercados financieros.	Benoit Mandelbrot, del que ya se habló en la primera parte, desarrolló una nueva herramienta matemática, los “fractals” y “multifractals”, es decir, el estudio de la rugosidad, de lo irregular y accidentado. “Fractals” viene del latín “fractus” e incluye “fraction” y “fragment”. “Multifractals” se da cuando en el cambio de un precio se presenta no solo un quiebre, sino varios. Los mercados distan de ser esa imagen de racionalidad, de contornos bien delineados, al contrario son dinámicos y son un mecanismo peligrosamente impredecible de transmisión de poder y riqueza.	En el mundo de Euclides hay puntos, líneas, planos y esferas, pero es una construcción mental donde las nubes son esferas, las montañas son conos, las líneas costeras son círculos y la luz viaja en línea recta. Ciertamente, desde un satélite una línea costera tiene contornos bien delineados y continuos, pero de cerca presenta todo tipo de rugosidades, de quebraduras y discontinuidades y su área se vuelve infinita. Esto lo demuestran los “fractals” que también ayudan a estudiar fenómenos sociales, como la devastación de la guerra y la paz, la distribución desigual de la riqueza, el poder de mercado de la industria.	En 1909, se publicó un estudio de Vilfredo Pareto más recordado por sus tesis sobre el equilibrio económico. El también estaba fascinado por los problemas del poder y la riqueza. ¿Cómo se obtenían el poder y la riqueza? ¿Cómo se distribuyen en la sociedad? ¿Qué uso le daba la élite? Reunió información sobre un gran número de países y de muchas épocas e hizo un gráfico con el ingreso en uno de los ejes y las personas en el otro eje. Encontró algo sorprendente. La sociedad no es una pirámide social con la proporción de ricos y pobres distribuidos a lo largo de una suave pendiente, entre una clase y otra. Todo lo contrario, es una curva muy gruesa en la base de la pirámide y muy angosta en la cúspide, no se parecía en nada a la curva de campana donde la riqueza sería distribuida según las leyes de las probabilidades. Se trata, según Pareto, de una ley social cuya distribución era más resultado de revoluciones, de políticas depredadoras, un mundo darwiniano. Los fascistas lo beatificaron y el occidente solo rec	En escala logarítmica, la curva de Pareto aparece como una línea recta de pendiente negativa igual a 0.5. La pendiente es también el exponente de una ley de potencia y su pendiente negativa se debe porque mucha riqueza se concentra en pocas manos. Esta ley de potencia la descubrió años después Mandelbrot al estudiar la distribución de los cambios de precios en una serie de activos financieros. Mandelbrot con esta evidencia empírica rechazó las ideas de Bachelier sobre la independencia de los cambios de precios y demostró que obedecían más a la ley exponencial de pendiente negativa. Si la pendiente es 0.5 la distribución es la de Bachelier, si es mayor a 0.5 hay dependencia en los cambios de precios, la distribución tiene memoria, el pasado afecta al presente y al futuro. No se trata solo de una posición inicial en el presente y de expectativas sobre el futuro, la historia es un factor determinante. Si es menor de 0.5 hay mucha volatilidad, pero se compensan las subas y las bajas en un proceso inestable.	De aquí surge la idea de que los precios exhiben escalamiento; o sea, que los cambios de precios no se distribuyen en forma contínua y predecible, sino que dan saltos, hacen zigzag, forman agrupaciones o clústeres, cambian de velocidad en su trayectoria. Es un comportamiento que le llamó ‘fractal’ o rugosidad dado que se repite a diferentes escalas, ya sea diaria, semanal, mensual, anual o en tiempo infinito. El escalamiento es lo que genera la cola gruesa con propiedades estadísticas muy distintas a las de la curva normal, no hay un valor medio, las desviaciones estándar pueden ser enormes, se vuelven impredecibles, si las fluctuaciones de precios se observan a escalas más reducidas, digamos en segundos o nanosegundos la volatilidad se asemeja a las subpartículas del mundo cuántico que aparecen y desaparecen sin causa ni efecto.	Esto se debe a que las personas presentan un comportamiento variopinto. Algunos son especuladores fugaces que aparecen y desaparecen cientos de veces al día. Otros son tesoreros corporativos que entran en contratos grandes para financiar alguna fusión o cubrir el riesgo de una exportación. Otros son banqueros centrales que negocian ocasionalmente. Hay inversionistas que compran y retienen por períodos largos. Cada uno opera en su propio tiempo, convergen en un momento, dando la impresión de una tendencia al equilibrio, el cual nunca se logra.	Se distinguen, entonces, dos maneras distintas que tiene el inversionista de modelar el riesgo que toma, una son las técnicas de Markowitz, que maximiza los rendimientos calculando cómo los activos en un portafolio se correlacionan entre sí; una diversificación correcta significa que algunos stocks hacen zig cuando otros hacen zag. La otra manera de modelar el riesgo es el método que se basa en que los precios exhiben dependencia, sus cambios presentan colas gruesas y escalan conforme la ley de la función exponencial.	El uso de las matemáticas ‘fractals’, aún en desarrollo, ha tenido también su zigzag. Al comienzo de los años 90 se pusieron de moda como consecuencia del crash de 1987 que obligó a buscar nuevas ideas explicativas. Como toda moda decayó solo para volver a levantarse a causa de las crisis subsiguientes. Como toda nueva ciencia todavía está en proceso y coexiste con la ortodoxia financiera. Quedan muchas cuestiones pendientes, he aquí algunas. Al analizar la inversión y medir el riesgo se usa la volatilidad y el grado de correlación entre los componentes del portafolio. La volatilidad se mide para construir portafolios y la correlación para medir toda clase de riesgos. Ambos parámetros hacen sentido si la curva es normal. Sin embargo, no es posible que una misma distribución de probabilidades describa cualquier tipo de activo financiero. Se requieren nuevas herramientas que discriminen por tipo de inversión.	Otro punto tiene que ver con la construcción de portafolios. En el Capital Asset Pricing Model de Sharpe el beneficio esperado de un activo se mide por el coeficiente beta; si beta es igual a uno se mueve a tono con el mercado, si mayor que uno es hipersensitivo al mercado, magnifica el riesgo, si es menor que uno es insensible al mercado y reduce el riesgo. Sin embargo, los cambios de precios se supone que son moderados e independientes. Si estos supuestos no se cumplen se tiene una receta para el desastre. Otra área que urge de nuevas ideas es el mercado de opciones, es decir, reemplazar el modelo Black y Scholes, cuya limitación básica es suponer una volatilidad constante. Ha habido progresos como los modelos GARCH, otros combinan métodos “ad hoc” con las ideas de Mandelbrot, es un campo en ebullición.	Considérese un último ejemplo. Proposición: Hay dependencia de precios en el tiempo que es a) un día, b) un trimestre, c) tres años, d) un tiempo infinito, e) ninguno de lo anterior. Cuál es la respuesta correcta, la respuesta correcta es que todas son válidas, esa es la complejidad en el mundo de las finanzas.