이 절에서는 양자 컴퓨터의 능력에 대해 현재 알려진 수학적인 결과를 조사한다. 이 결과는 양자 컴퓨터와 관계된 계산 복잡도 이론과 계산 이론에서 나온 것이다.

양자컴퓨터의 언어는 00,01,10,11이다.

양자 컴퓨터가 효율적으로 풀 수 있는 문제군을 BQP라 한다. 여기서 효율적이란, '정해진 오차범위 내에서 다항 시간 안에' 푼다는 뜻이다. 양자 컴퓨터는 확률적 알고리즘을 실행할 뿐이므로 양자 컴퓨터에 대한 BQP는 기존 컴퓨터에 대한 BPP에 대응한다. BPP는 오차 확률을 1/4로 제한하며 다항 시간에 풀 수 있는 문제의 집합으로 정의된다. 양자 컴퓨터가 문제를 "푼다"는 것은 모든 예제에 대해 높은 확률로 올바른 결과가 나온다는 뜻이다. 그 결과가 다항 시간에 나왔다면 그 문제는 BQP에 속한다.

BQP는 NP-완전과 서로소 집합이고, P가 BQP의 진부분집합일 것으로 추정되나 아직 증명되지는 않았다. 소인수 분해와 이산 로그 문제가 BQP에 속한다. 두 문제 모두 NP문제이고, BPP가 아닐 것으로 추정되므로 P에도 속하지 않는다. 또한 NP-완전도 아닐 것으로 추정된다. 양자 컴퓨터가 NP-완전 문제를 다항 시간에 풀 수 있다는 잘못된 인식이 널리 퍼져 있으나 확실히 증명된 바는 없다. 양자 컴퓨터도 NP-완전 문제는 다항 시간에 풀 수 없다는 견해가 일반적이다.

양자 컴퓨터의 연산자는 벡터에 특정한 행렬을 곱해서 바꾸는 것으로 생각할 수 있다. 행렬을 곱하는 연산은 선형 연산이다. 대니얼 S. 에이브럼스와 세트 로이드는 양자 컴퓨터가 '비선형' 연산자로 설계될 수 있다면 NP-완전 문제를 다항 시간에 풀 수 있음을 보였다. #P-완전 문제 역시 가능하다. 그러나 그러한 기계는 불가능하다고 보았다.

양자 컴퓨터가 기존 컴퓨터보다 빠를 수는 있지만, 기존 컴퓨터로 풀 수 없는 문제는 양자 컴퓨터 역시 풀 수 없다. 충분한 시간과 메모리가 주어지더라도 사실상 마찬가지이다. 튜링 기계가 양자 컴퓨터를 시뮬레이트할 수 있기 때문에 양자 컴퓨터가 정지 문제 같은 결정 불가능 문제를 풀 수는 없다. '표준' 양자 컴퓨터의 존재가 처치-튜링 명제를 반증하지는 않는다. 

최근에 수많은 연구자들이 양자 역학을 하이퍼 계산에 사용할 수 있는지를 연구하기 시작하였다. 즉, 결정 불가능 문제를 풀 수 있을지를 연구하는 것이다. 그러한 주장은 이론적으로도 가능하지 않을 것으로 보는 회의적인 견해가 많다.
양자 컴퓨터에서 "모든 예제의 정답을 맞출 가능성이 높다"의 의미를 가진 말은?
"푼다" 푼다