성인이 된 바나흐는 리비우로 이사하여, 리비우 공과대학교에서 공학을 공부하였다. 제1차 세계 대전이 발발하자, 바나흐는 왼손잡이이며 근시라는 이유로 군 징집을 면제받았다. 전중 러시아 군을 피해 바나흐는 크라쿠프로 피난하였으며, 크라쿠프에서 개인 강사로 일했다.

1916년에 크라쿠프에서 후고 스테인하우스가 바나흐의 재능을 우연히 발견하였다. 길을 걷고 있던 스테인하우스는 (당시에 최신 수학 이론이었던) “르베그 적분”이라는 용어를 누군가가 사용하는 것을 듣고, 이에 대하여 대화하던 바나흐와 오톤 마르친 니코딤을 발견하였다고 한다. 이후 바나흐와 니코딤과 스테인하우스는 공동 연구를 시작하였다. 스테인하우스의 주선으로 바나흐는 1920년에 리비우 대학교에서 박사 학위를 수여받았으며, 1922년에 리비우 대학교의 교수가 되었다.

1939년에 나치 독일과 소비에트 연방은 폴란드를 침략하였으며, 소비에트 연방은 리비우를 포함한 (당시) 폴란드 동부를 병합하였다. 바나흐는 소비에트 연방의 수학자들과 좋은 사이를 유지했던 관계로, 우크라이나어를 배우겠다는 맹세 아래 교수직을 지킬 수 있었다.
군 징집을 면제받은 인물이 1차 세계대전 당시 옮겨간 지역은?
크라쿠프