Stabilité des chocs non classiques pour des lois de conservation non convexes
En premier lieu, nous étudions l’existence et les propriétés des ondes de choc réalisées comme limite d’une régularisation linéaire de type diffusion-dispersion pour la classe des lois de conservation hyperbolique avec un flux générique non convexe ayant un nombre arbitraire de points d’inflexion. Nous introduisons la construction d’une famille de fonctions cinétiques, basée sur la généralisation de la règle de surface égale de Maxwell. Notre résultat principal est une caractérisation (par une fonction cinétique) de tous les chocs admissibles : pour chaque état de gauche et chaque vitesse de choc, nous montrons qu’il existe un choc non classique avec des oscillations arbitraires. De plus, nous énonçons les conditions dans lesquelles une discontinuité est admissible et nous décrivons la famille de toutes les solutions au problème de Riemann. Ce travail constitue une extension des travaux effectués par Bedjaoui, Chalons, Coquel et LeFloch concernant les gaz isentropiques avec une loi d’état de Van der Walls couvrant le cas de deux points d’inflexion. Ensuite, nous nous intéressons à l’existence d’une classe de solutions non classiques au problème de valeur initiale pour les systèmes hyperboliques de lois de conservation non linéaires dans une variable spatiale. Les solutions considérées présentent un modèle de "splitting/merging" constitué d’ondes classiques et non classiques qui interagissent ensemble. Notre analyse s’appuie sur un nouveau solveur de Riemann non classique qui est motivé par une fonction cinétique et par un critère de nucléation qui choisit entre le régime classique et non classique. Toutes les solutions satisfont une seule inégalité d’entropie associée à une paire entropie-flux d’entropie donnée. La preuve d’existence de la stabilité non linéaire s’appuie sur l’introduction de nouvelles fonctionnelles qui mesurent de façon appropriée la variation totale et le potentiel d’interaction des ondes non classiques et classiques. Ce travail est une généralisation des travaux effectués par Laforest- LeFloch qui ont déjà établi l’existence de solutions d’entropie non classiques pour les équations scalaires.
Loi de conservation hyperbolique Flux non convexe Régularisation diffusion-dispersion Choc non classique Fonction cinétique Nucléation