L'éclatement en géométrie algébrique, différentielle et symplectique
L'éclatement est une transformation jouant un rôle important en géométrie, car il permet de résoudre des  singularités, de relier des variétés birationnellement équivalentes, et de construire des variétés possédant des propriétés inédites.  Ce mémoire présente d'abord l'éclatement tel que développé en géométrie algébrique classique. Nous l'étudierons pour le cas des  variétés affines et (quasi-)projectives, en un point, et le long d'un idéal et d'une sous-variété. Nous poursuivrons en étudiant l'extension de cette construction à la catégorie  différentiable, sur les corps réels et complexes, en un point et le long d'une sous-variété. Nous conclurons cette section en  explorant un exemple de résolution de singularité. Ensuite nous passerons à la catégorie  symplectique, où nous ferons la même chose que pour le cas différentiable complexe, en portant une attention particulière à  la forme symplectique définie sur la variété. Nous terminerons en étudiant un théorème dû à François Lalonde, où l'éclatement  joue un rôle clé dans la démonstration. Ce théorème affirme que toute 4-variété fibrée par des 2-sphères sur une surface de  Riemann, et différente du produit cartésien de deux 2-sphères, peut être équipée d'une 2-forme qui lui confère une structure  symplectique réglée par des courbes holomorphes par rapport à sa structure presque complexe, et telle que l'aire symplectique de la base est inférieure à la capacité de la variété. La preuve repose  sur l'utilisation de l'éclatement symplectique. En effet, en éclatant symplectiquement une boule contenue dans la 4-variété, il est possible d'obtenir une fibration contenant deux sphères d'auto-intersection -1 distinctes: la pré-image du point où est fait l'éclatement complexe usuel, et la transformation propre de la fibre. Ces  dernières sont dites exceptionnelles, et donc il est possible de procéder à l'inverse de l'éclatement - la contraction - sur  chacune d'elles. En l'accomplissant sur la deuxième, nous obtenons une variété minimale, et en combinant les informations  sur les aires symplectiques de ses classes d'homologies et de celles de la variété originale nous obtenons le résultat.
Géométrie algébrique classique Éclatement réel Éclatement complexe Éclatement symplectique Éclatement le long d'une sous-variété