Efficacité des distributions instrumentales en équilibre dans un algorithme de type Metropolis-Hastings
Dans ce mémoire, nous nous intéressons à une nouvelle classe de distributions instrumentales informatives dans le cadre de l'algorithme Metropolis-Hastings. Ces distributions instrumentales, dites en équilibre, sont obtenues en ajoutant de l'information à propos de la distribution cible à une distribution instrumentale non informative. Une chaîne de Markov générée par une distribution instrumentale en équilibre est réversible par rapport à la densité cible sans devoir utiliser une probabilité d'acceptation dans deux cas extrêmes: le cas local lorsque la variance instrumentale tend vers 0 et le cas global lorsqu'elle tend vers l'infini. Il est nécessaire d'approximer les distributions instrumentales en équilibre afin de pouvoir les utiliser en pratique. Nous montrons que le cas local mène au Metropolis-adjusted Langevin algorithm (MALA), tandis que le cas global mène à une légère modification du MALA. Ces résultats permettent de concevoir un nouvel algorithme généralisant le MALA grâce à l'ajout d'un nouveau paramètre. En fonction de celui-ci, l'algorithme peut utiliser l'équilibre local ou global ou encore une interpolation entre ces deux cas. Nous étudions ensuite la paramétrisation optimale de cet algorithme en fonction de la dimension de la distribution cible sous deux régimes: le régime asymptotique puis le régime en dimensions finies. Diverses simulations permettent d'illustrer les résultats théoriques obtenus. De plus, une application du nouvel algorithme à un problème de régression logistique bayésienne permet de comparer son efficacité à des algorithmes existants. Les résultats obtenus sont satisfaisants autant d'un point de vue théorique que computationnel.
Metropolis-Hastings MALA Distributions instrumentales informatives équilibre local équilibre global