<|im_start|>system
You are a helpful AI assistant.<|im_end|>
<|im_start|>user
Каким образом Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре?<|im_end|>
<|im_start|>assistant
Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению {\displaystyle (0,1)\times S^{2}}(0,1)\times S^{2}), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии {\displaystyle M}M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие {\displaystyle M}M можно представить как набор сферических пространственных форм {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}S^{3}/\Gamma _{i}, соединённых друг с другом трубками {\displaystyle [0,1]\times S^{2}}[0,1]\times S^{2}. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что {\displaystyle M}M диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}S^{3}/\Gamma _{i} и более того все {\displaystyle \Gamma _{i}}\Gamma _{i} тривиальны. Таким образом, {\displaystyle M}M является связной суммой набора сфер, то есть сферой.<|im_end|>
<|im_start|>user
Иди поучись еще.<|im_end|>
<|im_start|>assistant
Гипотеза Пуанкаре говорит о том, что каждое гладкое компактное односвязное трёхмерное многообразие (без границы) диффеоморфно трёхмерной сфере $S^3$. Связанная с ней гипотеза о геометризации говорит о том, что любое ориентированное гладкое связное компактное трёхмерное многообразие может быть получено из 8 модельных многообразий постоянной кривизны применением конечного количества следующих трёх операций: взятие фактор-многообразия по подгруппе группы изометрий, склеиванию двух многообразий вдоль двумерной сферы $S^2$ и склеиванию двух многообразий вдоль двумерного тора $T^2$. До Перельмана было известно, что гипотеза Пуанкаре вытекает из гипотезы о геометризации. Перельман опубликовал 3 работы, в которых он по сути завершил работу по доказательству гипотезы о геометризации с помощью исследования потоков Риччи.

Для двумерных многообразий есть теорема униформизации (Пуанкаре, Кёбе, 1907 г.): на каждой связной компактной поверхности $M$ можно задать метрику постоянной кривизны $g$. Из неё следует, что любое компактное связное двумерное многообразие диффеоморфно фактор-многообразию одного из трёх модельных многообразий постоянной кривизны, $S^2$ (сфера с кривизной 1), $R^2$ (Евклидова плоскость с кривизной 0), или $H^2$ (гиперболическая плоскость с кривизной -1), по одной из подгрупп группы изометрий этого Римонова многообразия. Из этой теоремы несложно получить классификацию всех двумерных связных компактных многообразий без границ.

Существует много способов доказать теорему униформизации, например, с использованием сложных аналитических инструментов, таких как теорема об отображении Римана. Идея проекта доказательства гипотезы о геометризации и гипотезы Пуанкаре, начатая Гамильноном в 1980-ых и (по сути) завершенная Перельманом основана на доказательстве теоремы униформизации с использованием потока Риччи.<|im_end|>