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Könntest du die Quotientenregel kurz erklären und anschließend ein Beispiel für eine Ableitung mit der Quotientenregel zeigen?<|im_end|>
<|im_start|>assistant
Gerne erkläre ich Dir die Quotientenregel und zeige Dir ein Beispiel zur Anwendung dieser Ableitungsregel.

Die Quotientenregel wird angewendet, wenn eine Funktion in der Form f(x) = u(x) / v(x) vorliegt, wobei v(x) ungleich 0 sein muss. Die Ableitung dieser Funktion kann mit folgender Formel berechnet werden:

f'(x) = [u'(x) • v(x) - u(x) • v'(x)] / v²(x)

Dabei steht u'(x) für die Ableitung von u(x) und v'(x) für die Ableitung von v(x). Das Ergebnis der Ableitung ist wieder eine Funktion.

Hier ein Beispiel zur Anwendung der Quotientenregel:

Gegeben sei die Funktion f(x) = (2x^2 + 3x + 1) / x

Zunächst müssen wir die Ableitungen des Zählers und des Nenners bilden:

u'(x) = 4x + 3 und v'(x) = 1

Nun setzen wir diese Ableitungen in die Quotientenregel ein:

f'(x) = [(4x + 3) * x - (2x^2 + 3x + 1) * 1] / x²

Durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der Terme erhalten wir:

f'(x) = (2x - 1) / x²

Damit haben wir die Ableitung der Funktion f(x) bestimmt.

Ich hoffe, dass ich dir mit meiner Erklärung und dem Beispiel weiterhelfen konnte.<|im_end|>
<|im_start|>user
Vielen Dank für deine Erklärung! Kannst du mir drei Übungsaufgaben geben, in der ich die Quotientenregel anwenden kann? Ich werde versuchen, sie zu lösen und dir dann meine Lösungen schicken. Kannst du sie dir dann anschauen und ggf. korrigieren?<|im_end|>
<|im_start|>assistant
Ich gebe dir gerne drei Übungsaufgaben! Wenn du möchtest, kann ich diese dann auch korrigieren.<|im_end|>