En matemáticas, la Fórmula de Abel-Plana es una fórmula descubierta independiente por Abel (1823) y Plana (1820) en la que se expresa resultado de una serie en función de ciertas integrales. En concreto:

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        n
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
        +
        
          
            1
            2
          
        
        f
        (
        0
        )
        +
        i
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              i
              y
              )
              −
              f
              (
              −
              i
              y
              )
            
            
              
                e
                
                  2
                  π
                  y
                
              
              −
              1
            
          
        
        
        d
        y
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx+{\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{e^{2\pi y}-1}}\,dy.}
  

Esta fórmula es válida para funciones 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
   que sean holomorfas en la región 
  
    
      
        
          Re
        
        (
        z
        )
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle {\text{Re}}(z)\geq 0}
   del plano complejo que satisfagan una condición de crecimiento adecuado en esta región. Por ejemplo, es condición suficiente asumir que 
  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        z
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |f(z)|}
   está acotada por 
  
    
      
        C
        
          /
        
        
          |
        
        z
        
          
            |
          
          
            1
            +
            ϵ
          
        
      
    
    {\displaystyle C/|z|^{1+\epsilon }}
   en esta región para alguna constante 
  
    
      
        C
        >
        0
      
    
    {\displaystyle C>0}
  , aunque la fórmula sigue siendo válida para cotas mucho menos estrictas. (Olver, 1997, p.290).
Por ejemplo, se puede expresar a la función zeta de Hurwitz como

  
    
      
        ζ
        (
        s
        ,
        α
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              (
              n
              +
              α
              
                )
                
                  s
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              α
              
                1
                −
                s
              
            
            
              s
              −
              1
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                α
                
                  s
                
              
            
          
        
        +
        2
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  s
                  arctan
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      
                        y
                        α
                      
                    
                    )
                  
                
                )
              
            
            
              (
              
                y
                
                  2
                
              
              +
              
                α
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  
                    s
                    2
                  
                
              
            
          
        
        
          
            
              d
              y
            
            
              
                e
                
                  2
                  π
                  y
                
              
              −
              1
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)\right)}{(y^{2}+\alpha ^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dy}{e^{2\pi y}-1}},}
  

fórmula válida 
  
    
      
        ∀
        s
        ∈
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \forall s\in \mathbb {C} }
  . En el caso particular 
  
    
      
        α
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \alpha =1}
   tenemos la función zeta de Riemann, que se puede escribir como:

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              s
              −
              1
            
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        +
        2
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                (
                
                  s
                  arctan
                  ⁡
                  
                    (
                    y
                    )
                  
                
                )
              
            
            
              (
              
                y
                
                  2
                
              
              +
              1
              
                )
                
                  
                    s
                    2
                  
                
              
            
          
        
        
          
            
              d
              y
            
            
              
                e
                
                  2
                  π
                  y
                
              
              −
              1
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan \left(y\right)\right)}{(y^{2}+1)^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dy}{e^{2\pi y}-1}},}
  

fórmula también válida 
  
    
      
        ∀
        s
        ∈
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \forall s\in \mathbb {C} }
  . Abel también desarrolló la siguiente fórmula para series alternantes:

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        f
        (
        n
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        f
        (
        0
        )
        +
        i
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              f
              (
              i
              y
              )
              −
              f
              (
              −
              i
              y
              )
            
            
              2
              sinh
              ⁡
              (
              π
              y
              )
            
          
        
        
        d
        y
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{2\sinh(\pi y)}}\,dy.}