En matemáticas, el Criterio de condensación de Cauchy es una prueba de convergencia para una serie infinita, que toma su nombre Augustin Louis Cauchy, matemático francés. Sea 

  
    
      
        
          
            a
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {a_{n}}}
  una serie monótona de números positivos decrecientes, entonces

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            a
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}}
  converge si y sólo si la serie 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            2
            
              n
            
          
          
            a
            
              
                2
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{2^{n}a_{2^{n}}}}
   converge. Por otra parte, en este caso tenemos

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        n
        )
        ≤
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          2
          
            n
          
        
        f
        (
        
          2
          
            n
          
        
        )
        ≤
        2
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        n
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).}
  Una visión geométrica es que nos aproximamos a la suma de trapecios en cada 
  
    
      
        
          2
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{n}}
  . Otra explicación es que, como en la analogía entre las sumas finitas e integrales, la "condensación" de los términos es análoga a una sustitución de una función exponencial. Esto se hace más evidente en ejemplos como

  
    
      
         
        f
        (
        n
        )
        =
        
          n
          
            −
            a
          
        
        (
        log
        ⁡
        n
        
          )
          
            −
            b
          
        
        (
        log
        ⁡
        log
        ⁡
        n
        
          )
          
            −
            c
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \ f(n)=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c}.}
  Aquí las series definitivamente convergen para un a > 1, y diverge para a < 1. Cuando a = 1, el criterio de transformación esencialmente da la serie

  
    
      
        ∑
        
          n
          
            −
            b
          
        
        (
        log
        ⁡
        n
        
          )
          
            −
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum n^{-b}(\log n)^{-c}}
  El logaritmo 'cambia hacia la izquierda'. Así entonces para a = 1, tenemos convergencia para b > 1, divergencia para b < 1. Cuando b = 1 el valor de c es necesario.