En teoría de números, la conjetura de Cramér, formulada por el matemático sueco Harald Cramér en 1936,[1]​ dice que

  
    
      
        
          lim sup
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              
                p
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              −
              
                p
                
                  n
                
              
            
            
              (
              log
              ⁡
              
                p
                
                  n
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1}
  donde pn denota el n-ésimo número primo y "log" denota el logaritmo natural. Esta conjetura aún no ha sido demostrada ni refutada, y es improbable que lo sea en un futuro cercano. Se fundamenta en un modelo probabilístico (en esencia, una heurística) de los números primos, en el cual se presupone que la probabilidad de que un número natural sea primo es 
  
    
      
        
          
            
              1
              
                log
                ⁡
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{\log x}}}
  . Este modelo se conoce como el modelo de Cramér de los números primos. De ahí, se puede demostrar que la conjetura es cierta con probabilidad uno.[2]​
Shanks conjeturó la igualdad asintótica de diferencias maximales entre primos consecutivos, un enunciado más fuerte.[3]​
También Cramér formuló otra conjetura sobre diferencias entre primos consecutivos:

  
    
      
        
          p
          
            n
            +
            1
          
        
        −
        
          p
          
            n
          
        
        =
        
          
            O
          
        
        (
        
          
            
              p
              
                n
              
            
          
        
        
        log
        ⁡
        
          p
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n+1}-p_{n}={\mathcal {O}}({\sqrt {p_{n}}}\,\log p_{n})}
  que demostró presuponiendo la (aún por demostrar) hipótesis de Riemann.
Además, E. Westzynthius demostró en 1931 que[4]​

  
    
      
        
          lim sup
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              
                p
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              −
              
                p
                
                  n
                
              
            
            
              log
              ⁡
              
                p
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        ∞
        .
      
    
    {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}