La conjetura de Legendre, enunciada por Adrien-Marie Legendre, afirma que siempre existe un número primo entre 
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle n^{2}}
   y 
  
    
      
        (
        n
        +
        1
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (n+1)^{2}}
  . Esta conjetura forma parte de los problemas de Landau.
Chen Jingrun demostró en 1965 que siempre existe un número comprendido entre 
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle n^{2}}
   y 
  
    
      
        (
        n
        +
        1
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (n+1)^{2}}
   que sea primo o semiprimo, es decir, el producto de dos primos. Además, Iwaniec y Pintz[1]​ probaron en 1984 que siempre existe un número primo entre 
  
    
      
        n
        −
        
          n
          
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle n-n^{\theta }}
   y 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  , siendo 
  
    
      
        θ
        =
        23
        
          /
        
        42
        =
        0
        ,
        547...
      
    
    {\displaystyle \theta =23/42=0,547...}
  
La sucesión de los menores números primos mayores que 
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle n^{2}}
   (comenzando desde 1) es 2, 5, 11, 17, 29, 37, 53, 67, 83, 101, 127, 149, 173, 197, 227, 257, 293, 331, 367, 401.[2]​
El número de números primos comprendidos entre 
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle n^{2}}
   y 
  
    
      
        (
        n
        +
        1
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (n+1)^{2}}
   es 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 4, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 6, 9.[3]​