En teoría de números, el lema de Siegel afirma la existencia de una solución no nula y de tamaño controlado de un sistema lineal a coeficientes enteros. 
El ejemplo más ilustrativo es el siguiente: sea 
  
    
      
        A
        =
        (
        
          a
          
            i
            ,
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A=(a_{i,j})}
   una matriz de n filas y m columnas, con coeficientes enteros (relativos) de valor absoluto menor que M, si n > m entonces el sistema lineal 

  
    
      
        ∑
        
          a
          
            i
            ,
            j
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \sum a_{i,j}x_{i}=0}
  

admite una solución 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        ∈
        
          
            Z
          
          
            n
          
        
        −
        {
        0
        }
      
    
    {\displaystyle (x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}-\{0\}}
   tal que 

  
    
      
        
          max
          
            i
          
        
        
          |
        
        
          x
          
            i
          
        
        
          |
        
        <
        (
        n
        M
        
          )
          
            
              m
              
                n
                −
                m
              
            
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \max _{i}|x_{i}|<(nM)^{\frac {m}{n-m}}+1}
  .

La demostración se basa en el principio del palomar de Dirichlet. Se utiliza con frecuencia para la prueba de ejemplos de números trascendentales. Carl Ludwig Siegel publicó este lema en 1929;[1]​ 
es un teorema de existencia puro.