La fórmula de Faà di Bruno es una identidad que generaliza la regla de la cadena a derivadas de orden superior, llamada así en honor al matemático italiano  Francesco Faà di Bruno (1825-1888) , aunque él no fue el primero en afirmar o demostrar la fórmula. En 1800, más de 50 años antes de Faà di Bruno, el matemático francés Louis François Antoine Arbogast (1759-1803) declaró la fórmula en un libro de cálculo,[1]​ considerada la primera referencia publicada al respecto sobre el tema.[2]​ 
Quizás, la forma más conocida de la fórmula Faa di Bruno dice que:

  
    
      
        
          
            
              d
              
                n
              
            
            
              d
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        f
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        =
        ∑
        
          
            
              n
              !
            
            
              
                m
                
                  1
                
              
              !
              
              1
              
                !
                
                  
                    m
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
              
                m
                
                  2
                
              
              !
              
              2
              
                !
                
                  
                    m
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
              ⋯
              
              
                m
                
                  n
                
              
              !
              
              n
              
                !
                
                  
                    m
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
        
        ⋅
        
          f
          
            (
            
              m
              
                1
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              m
              
                n
              
            
            )
          
        
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        ⋅
        
          ∏
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            (
            
              
                g
                
                  (
                  j
                  )
                
              
              (
              x
              )
            
            )
          
          
            
              m
              
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}}}
  ,

donde la suma es sobre todas las n-tuplas de enteros no negativos (m1, …, mn) que satisfacen la restricción:

  
    
      
        1
        ⋅
        
          m
          
            1
          
        
        +
        2
        ⋅
        
          m
          
            2
          
        
        +
        3
        ⋅
        
          m
          
            3
          
        
        +
        ⋯
        +
        n
        ⋅
        
          m
          
            n
          
        
        =
        n
        .
        
      
    
    {\displaystyle 1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.\,}
  .

A veces, para darle un patrón memorable, esta está escrita en una forma en la que los coeficientes que tienen la interpretación combinatoria que se discuten a continuación son menos explícitos:

  
    
      
        
          
            
              d
              
                n
              
            
            
              d
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        f
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        =
        ∑
        
          
            
              n
              !
            
            
              
                m
                
                  1
                
              
              !
              
              
                m
                
                  2
                
              
              !
              
              ⋯
              
              
                m
                
                  n
                
              
              !
            
          
        
        ⋅
        
          f
          
            (
            
              m
              
                1
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              m
              
                n
              
            
            )
          
        
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        ⋅
        
          ∏
          
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    g
                    
                      (
                      j
                      )
                    
                  
                  (
                  x
                  )
                
                
                  j
                  !
                
              
            
            )
          
          
            
              m
              
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}}
  .

Combinando los términos con el mismo valor de m1 + m2 + ... + mn = k y notando que m j tiene que ser cero para j > n − k + 1 proporciona una fórmula algo más sencilla en términos de Polinomios de Bell Bn,k(x1,...,xn−k+1):

  
    
      
        
          
            
              d
              
                n
              
            
            
              d
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        f
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          f
          
            (
            k
            )
          
        
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        ⋅
        
          B
          
            n
            ,
            k
          
        
        
          (
          
            
              g
              ′
            
            (
            x
            )
            ,
            
              g
              ″
            
            (
            x
            )
            ,
            …
            ,
            
              g
              
                (
                n
                −
                k
                +
                1
                )
              
            
            (
            x
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right)}
  .

