En matemáticas, el producto de Cauchy, (en honor a Augustin Louis Cauchy), de dos series estrictamente formales (aunque no necesariamente convergentes)

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        ,
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          b
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n},}
  
por lo general, de números reales o complejos, se define mediante una convolución discreta. Siendo el producto de Cauchy:

  
    
      
        
          (
          
            
              ∑
              
                n
                =
                0
              
              
                ∞
              
            
            
              a
              
                n
              
            
          
          )
        
        ⋅
        
          (
          
            
              ∑
              
                n
                =
                0
              
              
                ∞
              
            
            
              b
              
                n
              
            
          
          )
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          c
          
            n
          
        
        ,
        
        
          d
          o
          n
          d
          e
        
         
        
          c
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            k
          
        
        
          b
          
            n
            −
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n},\qquad \mathrm {donde} \ c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}
  para n = 0, 1, 2,...

"Formal" significa que las series se manipulan sin prestar atención a aspectos de convergencia. No es preciso que las series sean convergentes. Véase por ejemplo Serie de potencias formal.
Es de esperar, que por analogía con las sumas finitas, en el caso en que las dos series fueran convergentes, la suma de la serie infinita

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          c
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}
  
sea igual al producto

  
    
      
        
          (
          
            
              ∑
              
                n
                =
                0
              
              
                ∞
              
            
            
              a
              
                n
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                n
                =
                0
              
              
                ∞
              
            
            
              b
              
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)}
  
de la misma manera en que esto sería correcto cuando cada una de las dos sumas que se multiplican posee un número finito de términos.
En casos suficientemente bien comportados, se cumple con la expresión anterior. Pero —y este es un punto importante— el producto de Cauchy de dos sucesiones existe aún en el caso de que una o ambas de las series infinitas correspondientes no fueran convergentes.