La transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.
En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   con otra función 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   definida de la manera siguiente:

  
    
      
        g
        (
        ξ
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        
          e
          
            −
            i
            ξ
            
            x
          
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle g(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i\xi \,x}dx}
  Donde 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   es 
  
    
      
        
          
            
              L
              
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle {L^{1}}}
  , es decir, 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica, las variables 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   y 
  
    
      
        ξ
      
    
    {\displaystyle \xi }
   suelen estar asociadas a dimensiones como el tiempo —segundos— y frecuencia —hercios— respectivamente, si se utiliza la fórmula alternativa:

  
    
      
        g
        (
        ξ
        )
        =
        
          
            
              β
              
                2
                π
              
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        
          e
          
            −
            i
            β
            ξ
            
            x
          
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle g(\xi )={\sqrt {\frac {\beta }{2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i\beta \xi \,x}dx}
  la constante 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la matemática, ciencia e ingeniería como la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   corresponde al espectro de frecuencias de la señal 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  .
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.