En álgebra, la división de polinomios (también división polinomial o división polinómica) es un algoritmo que permite dividir un polinomio entre otro polinomio que no sea nulo.
El algoritmo es una versión generalizada de la técnica aritmética de división larga. Es fácilmente realizable a mano, porque separa un problema de división complejo, en otros más pequeños.
Sean los polinomios 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   y 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x)}
  , donde 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x)}
   no es el polinomio nulo, entonces existe un único par de polinomios 
  
    
      
        q
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle q(x)}
   y 
  
    
      
        r
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle r(x)}
   tal que:

  
    
      
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        q
        (
        x
        )
        +
        
          
            
              r
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}}
  

o la más conocida

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        g
        (
        x
        )
        ⋅
        q
        (
        x
        )
        +
        r
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)}
  

con el grado de 
  
    
      
        r
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle r(x)}
   menor que el grado de 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x)}
   y el grado de 
  
    
      
        q
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle q(x)}
   es la diferencia entre el grado de f y de g (para 
  
    
      
        
          gr
        
        (
        f
        )
        ≥
        
          gr
        
        (
        g
        )
      
    
    {\displaystyle {\text{gr}}(f)\geq {\text{gr}}(g)}
   en el caso general 
  
    
      
        
          gr
        
        (
        q
        )
        =
        ⟨
        
          gr
        
        (
        f
        )
        −
        
          gr
        
        (
        g
        )
        
          ⟩
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle {\text{gr}}(q)=\langle {\text{gr}}(f)-{\text{gr}}(g)\rangle _{+}}
   ). La división sintética permite obtener el cociente 
  
    
      
        q
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle q(x)}
   y el resto 
  
    
      
        r
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle r(x)}
   dado un dividendo 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   y un divisor 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle g(x)}
  . El problema se expresa como un problema de división no algebraico:[cita requerida]

  
    
      
        g
        (
        x
        )
        
          
            
              |
              f
              (
              x
              )
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle g(x){\overline {\vert f(x)}}}
  

Todos los términos con exponentes menores que el mayor deben escribirse explícitamente, incluso si sus coeficientes son cero.