En matemática, la identidad de Proizvolov es una identidad relativa a la suma de diferencias de números enteros positivos. La identidad fue propuesta por Vyacheslav Proizvolov como un problema en las Olimpiadas Soviéticas de Estudiantes de 1985 (Savchev y Andreescu, 2002, p. 66).
Para formular la identidad, se toman los primeros 2N enteros positivos,

1, 2, 3, ..., 2N − 1, 2N,y se realiza una partición de ellos en dos subconjuntos de N números cada uno.  Se reagrupa un subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de menor a mayor (orden creciente):

  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        <
        
          A
          
            2
          
        
        <
        ⋯
        <
        
          A
          
            N
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle A_{1}<A_{2}<\cdots <A_{N}.}
  Se reagrupa el otro subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de mayor a menor (orden decreciente):

  
    
      
        
          B
          
            1
          
        
        >
        
          B
          
            2
          
        
        >
        ⋯
        >
        
          B
          
            N
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle B_{1}>B_{2}>\cdots >B_{N}.}
  Entonces la suma

  
    
      
        
          |
        
        
          A
          
            1
          
        
        −
        
          B
          
            1
          
        
        
          |
        
        +
        
          |
        
        
          A
          
            2
          
        
        −
        
          B
          
            2
          
        
        
          |
        
        +
        ⋯
        +
        
          |
        
        
          A
          
            N
          
        
        −
        
          B
          
            N
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |A_{1}-B_{1}|+|A_{2}-B_{2}|+\cdots +|A_{N}-B_{N}|}
  es siempre igual a N2.