El método de factorización de Euler es un método de factorización basado en la representación de un entero positivo 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   como la suma de dos cuadrados de dos maneras distintas:

  
    
      
        N
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle N=a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}
  Aunque la factorización algebraica de números binomiales no sirve para factorizar sumas de dos cuadrados (en efecto un número que se puede expresar de una forma como suma de dos cuadrados es un número primo) si se pueden hallar dos representaciones distintas de un número como suma de dos cuadrados se sigue de ahí una factorización:
Partiendo de 
  
    
      
        N
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle N=a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}
  
se resta 
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{2}+c^{2}}
   a ambos lados de la igualdad para crear una diferencia de dos cuadrados:

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          d
          
            2
          
        
        −
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}-c^{2}=d^{2}-b^{2}}
  y de ahí se sigue que:

  
    
      
        (
        a
        −
        c
        )
        ⋅
        (
        a
        +
        c
        )
        =
        (
        d
        −
        b
        )
        ⋅
        (
        d
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a-c)\cdot (a+c)=(d-b)\cdot (d+b)}
  Supóngase sin pérdida de generalidad que 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   y 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   son ambos pares o bien ambos impares, de forma que su diferencia es par. Ahora se define una constante 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   igual al máximo común divisor de 
  
    
      
        (
        a
        −
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (a-c)}
   y 
  
    
      
        (
        d
        −
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (d-b)}
   de forma que:

  
    
      
        (
        a
        −
        c
        )
        =
        k
        l
      
    
    {\displaystyle (a-c)=kl}
   y 
  
    
      
        (
        d
        −
        b
        )
        =
        k
        m
      
    
    {\displaystyle (d-b)=km}
  , con 
  
    
      
        mcd
        ⁡
        (
        l
        ,
        m
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \operatorname {mcd} (l,m)=1}
  de forma que, tras sustituir en la expresión anterior quedaría la siguiente ecuación:

  
    
      
        l
        ⋅
        (
        a
        +
        c
        )
        =
        m
        ⋅
        (
        d
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle l\cdot (a+c)=m\cdot (d+b)}
  Como 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
   y 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   son primos entre sí, se supone que 
  
    
      
        (
        a
        +
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (a+c)}
   es divisible por 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  , lo que nos daría como expresiones:

  
    
      
        (
        a
        +
        c
        )
        =
        m
        n
      
    
    {\displaystyle (a+c)=mn}
   y;

  
    
      
        (
        d
        +
        b
        )
        =
        l
        n
      
    
    {\displaystyle (d+b)=ln}
  La factorización del número original 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   se puede mostrar que podría ser igual a:

  
    
      
        N
        =
        
          [
          
            
              
                (
                
                  
                    k
                    2
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                (
                
                  
                    n
                    2
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
          ]
        
        ⋅
        (
        
          m
          
            2
          
        
        +
        
          l
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle N=\left[\left({\frac {k}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}\right]\cdot (m^{2}+l^{2})}