Las constantes Du Bois Reymond, (Paul David Gustav) 
  
    
      
        
          C
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{n}}
   están definidas por

  
    
      
        
          C
          
            n
          
        
        ≡
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          |
          
            
              
                d
                
                  d
                  t
                
              
            
            
              
                (
                
                  
                    
                      sin
                      ⁡
                      t
                    
                    t
                  
                
                )
              
              
                n
              
            
          
          |
        
        
        d
        t
        −
        1
      
    
    {\displaystyle C_{n}\equiv \int _{0}^{\infty }\left|{{d \over dt}\left({\sin t \over t}\right)^{n}}\right|\,dt-1}
  Estas constantes pueden también escribirse como:

  
    
      
        
          C
          
            n
          
        
        =
        2
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        (
        1
        +
        
          x
          
            k
          
          
            2
          
        
        
          )
          
            (
            −
            n
            
              /
            
            2
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{n}=2\sum _{k=1}^{\infty }(1+x_{k}^{2})^{(-n/2)}}
  donde  
  
    
      
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{k}}
   es la k-ésima raíz de 

  
    
      
        t
        =
        tan
        ⁡
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle t=\tan(t)}
  Además tenemos la siguiente serie

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              x
              
                k
              
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            10
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over x_{k}^{2}}={1 \over 10}}
  En el siguiente gráfico se ve la representación de la función

  
    
      
        
          |
          
            
              
                d
                
                  d
                  t
                
              
            
            
              
                (
                
                  
                    
                      sin
                      ⁡
                      t
                    
                    t
                  
                
                )
              
              
                n
              
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|{{d \over dt}\left({\sin t \over t}\right)^{n}}\right|}
  para los primeros cuatro valores de 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  

La integración numérica de esta función es difícil. Los cuatro primeros valores de estas constantes son:

  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{1}}
   diverge 

  
    
      
        
          C
          
            2
          
        
        ≈
        0.1945
      
    
    {\displaystyle C_{2}\approx 0.1945}
  

  
    
      
        
          C
          
            3
          
        
        ≈
        0.028254
      
    
    {\displaystyle C_{3}\approx 0.028254}
  

  
    
      
        
          C
          
            4
          
        
        ≈
        0.00524054
      
    
    {\displaystyle C_{4}\approx 0.00524054}
  

Las constantes pares de Bois Reymond pueden ser calculadas analíticamente como polinomios en 
  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{2}}
  .

  
    
      
        
          C
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          e
          
            2
          
        
        −
        7
        )
      
    
    {\displaystyle C_{2}={1 \over 2}(e^{2}-7)}
  
  
    
      
        
          C
          
            4
          
        
        =
        
          
            1
            8
          
        
        (
        
          e
          
            4
          
        
        −
        4
        
          e
          
            2
          
        
        −
        25
        )
      
    
    {\displaystyle C_{4}={1 \over 8}(e^{4}-4e^{2}-25)}