En análisis numérico, el método de Bairstow es un algoritmo eficiente de búsqueda de las raíces de un polinomio real de grado arbitrario. Es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un polinomio 
  
    
      
         
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ f_{n}(x)}
   se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático 

  
    
      
         
        
          f
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        −
        r
        x
        −
        s
      
    
    {\displaystyle \ f_{2}(x)=x^{2}-rx-s}
   y  
  
    
      
         
        
          f
          
            n
            −
            2
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ f_{n-2}(x)}
  El procedimiento general para el método de Bairstow es el siguiente. Dado:

  
    
      
         
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ f_{n}(x)}
    y    
  
    
      
         
        
          r
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \ r_{0}}
     y    
  
    
      
         
        
          s
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \ s_{0}}
  1.  Utilizando el método de Newton Raphson se calcula:
  
    
      
         
        
          f
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        −
        r
        x
        −
        s
      
    
    {\displaystyle \ f_{2}(x)=x^{2}-rx-s}
    y 
  
    
      
         
        
          f
          
            n
            −
            2
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ f_{n-2}(x)}
  , tal que, el residuo de 
  
    
      
        
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
          /
        
        
          f
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \,f_{n}(x)/f_{2}(x),}
   sea igual a cero.2. Se determinan la raíces 
  
    
      
         
        
          f
          
            2
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ f_{2}(x)}
   , utilizando la fórmula general.
3. Se calcula 
  
    
      
         
        
          f
          
            n
            −
            2
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
          /
        
        
          f
          
            2
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ f_{n-2}(x)=f_{n}(x)/f_{2}(x)}
  
4. Se hace 
  
    
      
         
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        :=
        
          f
          
            n
            −
            2
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ f_{n}(x):=f_{n-2}(x)}
  
5. Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2; en caso contrario, terminamos.La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces de un polinomio (reales e imaginarias).
Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división sintética. Así dado:

  
    
      
         
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        x
        +
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \ f_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}
  

Al dividir entre  
  
    
      
         
        
          f
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        −
        r
        x
        −
        s
      
    
    {\displaystyle \ f_{2}(x)=x^{2}-rx-s}
   , se tiene como resultado el siguiente polinomio:

  
    
      
         
        
          f
          
            n
            −
            2
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          b
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
            −
            2
          
        
        +
        
          b
          
            n
            −
            1
          
        
        
          x
          
            n
            −
            3
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          b
          
            3
          
        
        x
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ f_{n-2}(x)=b_{n}x^{n-2}+b_{n-1}x^{n-3}+...+b_{3}x+b_{2}}
  

con un residuo 
  
    
      
        
        R
        =
        
          b
          
            1
          
        
        
          x
          −
          r
        
        +
        
          b
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \,R=b_{1}{x-r}+b_{0},}
   , el residuo será cero solo si 
  
    
      
        
        
          b
          
            1
          
        
        y
        
          b
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \,b_{1}yb_{0},}
   lo son.
Los términos b, se calculan utilizando división sintética, la cual puede resolverse utilizando la siguiente relación de recurrencia:

  
    
      
        
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \,b_{n}=a_{n},}
  

  
    
      
        
        
          b
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        r
        
          b
          
            n
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \,b_{n-1}=a_{n-1}+rb_{n},}
  

  
    
      
        
        
          b
          
            i
          
        
        =
        
          a
          
            i
          
        
        +
        r
        
          b
          
            i
            +
            1
          
        
        +
        s
        
          b
          
            i
            +
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \,b_{i}=a_{i}+rb_{i+1}+sb_{i+2},}
  

Una manera de determinar los valores de r y s que hacen cero el residuo es utilizar el método de Newton-Raphson. Para ello necesitamos una aproximación lineal de 
  
    
      
         
        
          b
          
            1
          
        
        y
        
          b
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \ b_{1}yb_{0},}
   respecto a r y s la cual calculamos utilizando la serie de Taylor

  
    
      
         
        
          b
          
            1
          
        
        (
        r
        +
        d
        r
        ,
        s
        +
        d
        s
        )
        =
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                b
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              r
            
          
        
        d
        r
        +
        
          
            
              ∂
              
                b
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              s
            
          
        
        d
        s
      
    
    {\displaystyle \ b_{1}(r+dr,s+ds)=b_{1}+{\frac {\partial b_{1}}{\partial r}}dr+{\frac {\partial b_{1}}{\partial s}}ds}
  

  
    
      
         
        
          b
          
            0
          
        
        (
        r
        +
        d
        r
        ,
        s
        +
        d
        s
        )
        =
        
          b
          
            0
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                b
                
                  0
                
              
            
            
              ∂
              r
            
          
        
        d
        r
        +
        
          
            
              ∂
              
                b
                
                  0
                
              
            
            
              ∂
              s
            
          
        
        d
        s
      
    
    {\displaystyle \ b_{0}(r+dr,s+ds)=b_{0}+{\frac {\partial b_{0}}{\partial r}}dr+{\frac {\partial b_{0}}{\partial s}}ds}
  

donde los valores de r y s están dados y se calculan los incrementos dr y ds que hacen a 
  
    
      
         
        
          b
          
            1
          
        
        (
        r
        +
        d
        r
        ,
        s
        +
        d
        s
        )
      
    
    {\displaystyle \ b_{1}(r+dr,s+ds)}
     y  
  
    
      
         
        
          b
          
            0
          
        
        (
        r
        +
        d
        r
        ,
        s
        +
        d
        r
        )
      
    
    {\displaystyle \ b_{0}(r+dr,s+dr)}
     igual a cero. El sistema de ecuaciones que se tiene que resolver es:

  
    
      
         
        
          
            
              ∂
              
                b
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              r
            
          
        
        d
        r
        +
        
          
            
              ∂
              
                b
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              s
            
          
        
        d
        s
        =
        −
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \ {\frac {\partial b_{1}}{\partial r}}dr+{\frac {\partial b_{1}}{\partial s}}ds=-b_{1}}
  

  
    
      
         
        
          
            
              ∂
              
                b
                
                  0
                
              
            
            
              ∂
              r
            
          
        
        d
        r
        +
        
          
            
              ∂
              
                b
                
                  0
                
              
            
            
              ∂
              s
            
          
        
        d
        s
        =
        −
        
          b
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \ {\frac {\partial b_{0}}{\partial r}}dr+{\frac {\partial b_{0}}{\partial s}}ds=-b_{0}}
  

Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden obtener haciendo un procedimiento similar a la división sintética, así:

  
    
      
         
        
          c
          
            n
          
        
        =
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \ c_{n}=b_{n}}
  

  
    
      
         
        
          c
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        r
        
          c
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \ c_{n-1}=b_{n-1}+rc_{n}}
  

  
    
      
         
        
          c
          
            i
          
        
        =
        
          b
          
            i
          
        
        +
        r
        
          c
          
            i
            +
            1
          
        
        +
        s
        
          c
          
            i
            +
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ c_{i}=b_{i}+rc_{i+1}+sc_{i+2}}
  

donde:

  
    
      
         
        
          
            
              ∂
              
                b
                
                  0
                
              
            
            
              ∂
              r
            
          
        
        =
        
          c
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \ {\frac {\partial b_{0}}{\partial r}}=c_{1}}
  

  
    
      
         
        
          
            
              ∂
              
                b
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              r
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                b
                
                  0
                
              
            
            
              ∂
              s
            
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ {\frac {\partial b_{1}}{\partial r}}={\frac {\partial b_{0}}{\partial s}}=c_{2}}
  

  
    
      
         
        
          
            
              ∂
              
                b
                
                  1
                
              
            
            
              ∂
              s
            
          
        
        =
        
          c
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \ {\frac {\partial b_{1}}{\partial s}}=c_{3}}