En matemáticas, el teorema de la inversión de Fourier dice que para muchos tipos de funciones es posible recuperar una función a partir de su transformada de Fourier. Intuitivamente, puede verse como la afirmación de que si se conoce toda la información relativa a la frecuencia y la fase de una onda, entonces se puede reconstruir con precisión la onda original.[1]​
El teorema dice que si se tiene una función 
  
    
      
        f
        :
        
          R
        
        →
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }
   que satisface ciertas condiciones, y se usa la convención de la transformada de Fourier según la que

  
    
      
        (
        
          
            F
          
        
        f
        )
        (
        ξ
        )
        :=
        
          ∫
          
            
              R
            
          
        
        
          e
          
            −
            2
            π
            i
            y
            ⋅
            ξ
          
        
        
        f
        (
        y
        )
        
        d
        y
        ,
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}
  entonces

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            
              R
            
          
        
        
          e
          
            2
            π
            i
            x
            ⋅
            ξ
          
        
        
        (
        
          
            F
          
        
        f
        )
        (
        ξ
        )
        
        d
        ξ
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}
  En otras palabras, el teorema dice que

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            
              R
            
          
        
        
          ∫
          
            
              R
            
          
        
        
          e
          
            2
            π
            i
            (
            x
            −
            y
            )
            ⋅
            ξ
          
        
        
        f
        (
        y
        )
        
        d
        y
        
        d
        ξ
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}
  Esta última ecuación se denomina teorema integral de Fourier.
Otra forma de establecer el teorema es observar que si 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   es el operador de volcado, es decir, 
  
    
      
        (
        R
        f
        )
        (
        x
        )
        :=
        f
        (
        −
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (Rf)(x):=f(-x)}
  , entonces

  
    
      
        
          
            
              F
            
          
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            F
          
        
        R
        =
        R
        
          
            F
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.}
  El teorema se cumple si tanto 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   como su transformada de Fourier son absolutamente integrables (en el sentido de la integral de Lebesgue) y 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   es continua en el punto 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  . Sin embargo, incluso en condiciones más generales, se dispone de versiones del teorema de la inversión de Fourier. En estos casos, las integrales anteriores pueden no tener sentido, o el teorema puede ser válido para casi todos los 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   en lugar de para todo 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  .[2]​