La desigualdad de Hardy es una desigualdad matemática llamada así debido a G.H. Hardy. Esta desigualdad afirma que si 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          a
          
            3
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }
   es una sucesión de números reales no negativos que no es idénticamente nula, entonces para cualquier número real p > 1 se tiene

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  ⋯
                  +
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                
                n
              
            
            )
          
          
            p
          
        
        <
        
          
            (
            
              
                p
                
                  p
                  −
                  1
                
              
            
            )
          
          
            p
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
          
            p
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.}
  Una versión integral de la desigualdad de Hardy afirma que si f es una función integrable a valores no-negativos, entonces

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  1
                  x
                
              
              
                ∫
                
                  0
                
                
                  x
                
              
              f
              (
              t
              )
              
              d
              t
            
            )
          
          
            p
          
        
        
        d
        x
        ≤
        
          
            (
            
              
                p
                
                  p
                  −
                  1
                
              
            
            )
          
          
            p
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        
          )
          
            p
          
        
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx}
  con igualdad si y solo si f(x) = 0 casi en todas partes.