En matemática, la constante de Gauss, denotada mediante la letra G, es definida como la inversa de la media aritmético-geométrica de 1 y la raíz cuadrada de 2:

  
    
      
        G
        =
        
          
            1
            
              
                a
                g
                m
              
              (
              1
              ,
              
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        =
        0
        ,
        8346268
        …
      
    
    {\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0,8346268\dots }
  La constante es así llamada en honor a Carl Friedrich Gauss, quien, el 30 de mayo de 1799, descubrió que

  
    
      
        G
        =
        
          
            2
            π
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          
            
              d
              x
            
            
              1
              −
              
                x
                
                  4
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
  así pues:

  
    
      
        G
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          B
        
        (
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    4
                  
                
              
            
          
        
        ,
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}})}
  donde B denota la función beta de Euler.