Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple solo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como

  
    
      
        x
        −
        2
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x-2=0}
  , la igualdad solo se cumple para 
  
    
      
        x
        =
        2
      
    
    {\displaystyle x=2}
  .
En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple solo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=f'(x)}
  , las soluciones serán las funciones 
  
    
      
        c
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle ce^{x}}
  , donde 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   es cualquier número real, ya que son las únicas funciones cuya derivada es igual a la función misma.
En su origen, son ecuaciones íntimamente ligadas a la resolución de cuestiones relacionadas con la física y con la geometría: las leyes del movimiento planetario (en el que intervienen distancias, velocidades y aceleraciones; o lo que es lo mismo, leyes de posición y sus derivadas primeras y segundas en función del tiempo); problemas relacionados con el equilibrio de un cable en suspensión (catenaria); la trayectoria de caída en el menor tiempo posible entre dos puntos dados (braquistocrona); o las leyes de difusión del calor.
La fascinación de matemáticos y físicos por este tipo de ecuaciones fue debida tanto a su utilidad práctica, como a la dificultad de encontrar soluciones analíticas en la inmensa mayoría de los casos: cada nuevo problema resoluble analíticamente descubierto, adquiría carta de naturaleza propia y notoriedad inmediata.
Con posterioridad a la fulgurante aparición hacia 1675 de las ecuaciones diferenciales de la mano primero de Leibniz y de Newton, y a continuación de sus sucesores, la búsqueda de métodos generales de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias se detuvo alrededor de 1775. Varios nuevos trabajos estaban todavía pendientes de realizarse utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias, principalmente aquellos resultantes de la solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Pero por más de cien años no volvieron a aparecer nuevos métodos tan importantes como los disponibles por entonces, hasta la introducción de los métodos operacionales y de la transformada de Laplace al final del siglo XIX. En realidad, el interés en métodos generales de solución se redujo debido a que, de una forma u otra, los métodos de resolución disponibles resultaban suficientes para las aplicaciones planteadas por entonces. Sin embargo aún se sentía la falta de rigor, y la aparición de nuevas aplicaciones conllevó a que esta masa de técnicas dispersas se consolidara en una teoría sólida.