En matemáticas, las constantes de Stieltjes 
  
    
      
        
          γ
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma _{k}}
   son los coeficientes de la expansión en serie de Laurent de la función zeta de Riemann:

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          
            1
            
              s
              −
              1
            
          
        
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        
          γ
          
            n
          
        
        
        (
        s
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}}
  Las constantes de Stieltjes se definen por el siguiente límite

  
    
      
        
          γ
          
            n
          
        
        =
        
          lim
          
            m
            →
            ∞
          
        
        
          
            [
            
              
                (
                
                  
                    ∑
                    
                      k
                      =
                      1
                    
                    
                      m
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          ln
                          
                            n
                          
                        
                        ⁡
                        k
                      
                      k
                    
                  
                
                )
              
              −
              
                
                  
                    
                      ln
                      
                        n
                        +
                        1
                      
                    
                    ⁡
                    m
                  
                  
                    n
                    +
                    1
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {\ln ^{n}k}{k}}\right)-{\frac {\ln ^{n+1}m}{n+1}}\right]}}
  (En el caso n = 0, el primer sumando requiere la evaluación de 00, que se toma como 1.)
La fórmula integral de Cauchy nos da la siguiente representación integral:

  
    
      
        
          γ
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
              n
              !
            
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
          e
          
            −
            n
            i
            x
          
        
        ζ
        
          (
          
            
              e
              
                i
                x
              
            
            +
            1
          
          )
        
        d
        x
        .
      
    
    {\displaystyle \gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.}
  Para el caso n = 0, se recupera la constante de Euler-Mascheroni 
  
    
      
        
          γ
          
            0
          
        
        =
        γ
        =
        0.577...
      
    
    {\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0.577...}
  .
Una aproximación de las primeras constantes viene dada por la siguiente tabla: