La paradoja de Banach–Tarski es un teorema en geometría teórica de conjuntos cuyo enunciado es el siguiente:

A continuación vemos una versión más contundente del teorema:

Informalmente esto se dice con frecuencia de la siguiente forma:

Esta última forma se llama la "paradoja del guisante y el Sol."
La razón por la que se considera una paradoja a este teorema es porque contradice la intuición geométrica básica. "Doblar la bola" dividiéndola en partes y removiéndolas por rotaciones, sin ningún estiramiento, curvatura, o adición de nuevos puntos, parece ser imposible, ya que todas estas operaciones conservan el volumen.
Al contrario de la mayoría de teoremas de geometría, este resultado depende de forma crítica de la elección de los axiomas de la teoría de conjuntos.
Únicamente puede demostrarse usando el axioma de elección,[2]​ que permite la construcción de conjuntos no medibles, es decir, colecciones de puntos que no tienen un volumen en el sentido ordinario y que para su construcción requerirían un número infinito de elecciones.
En 2005 se demostró que las piezas de la descomposición pueden elegirse de tal forma que puedan moverse continuamente sin solaparse entre sí.[3]​