En matemáticas, y en particular en cálculo tensorial, se define el símbolo de Levi-Civita, también llamado el símbolo de permutación, símbolo alternante o tensor de Levi-Civita, como sigue:

  
    
      
        
          ϵ
          
            i
            j
            k
          
        
        =
        
          {
          
            
              
                
                  +
                  1
                
                
                  
                    
                      si 
                    
                  
                  (
                  i
                  ,
                  j
                  ,
                  k
                  )
                  
                    
                       es 
                    
                  
                  (
                  1
                  ,
                  2
                  ,
                  3
                  )
                  ,
                  (
                  2
                  ,
                  3
                  ,
                  1
                  )
                  
                    
                       o 
                    
                  
                  (
                  3
                  ,
                  1
                  ,
                  2
                  )
                
              
              
                
                  −
                  1
                
                
                  
                    
                      si 
                    
                  
                  (
                  i
                  ,
                  j
                  ,
                  k
                  )
                  
                    
                       es 
                    
                  
                  (
                  3
                  ,
                  2
                  ,
                  1
                  )
                  ,
                  (
                  1
                  ,
                  3
                  ,
                  2
                  )
                  
                    
                       o 
                    
                  
                  (
                  2
                  ,
                  1
                  ,
                  3
                  )
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    
                      de otro modo 
                    
                  
                  i
                  =
                  j
                  
                     o 
                  
                  j
                  =
                  k
                  
                     o 
                  
                  k
                  =
                  i
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ es }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ o }}(3,1,2)\\-1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ es }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ o }}(2,1,3)\\0&{\mbox{de otro modo }}i=j{\text{ o }}j=k{\text{ o }}k=i\end{matrix}}\right.}
  

nombrado así por Tullio Levi-Civita.  Se utiliza en muchas áreas de las matemáticas y en física.  Por ejemplo, en álgebra lineal, el  producto vectorial de dos vectores se puede escribir como:

  
    
      
        
          a
          ×
          b
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      e
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      e
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      e
                      
                        3
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    b
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    b
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                j
                ,
                k
                =
                1
              
              
                3
              
            
            
              ϵ
              
                i
                j
                k
              
            
            
              a
              
                j
              
            
            
              b
              
                k
              
            
          
          )
        
        
          
            e
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\right)\mathbf {e} _{i}}
  

o más simplemente:

  
    
      
        
          a
          ×
          b
        
        =
        
          c
        
        ,
         
        
          c
          
            i
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
            ,
            k
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          ϵ
          
            i
            j
            k
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        
          b
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}
  

esta última expresión puede ser simplificada más usando la notación de Einstein, convención en la que se puede omitir el símbolo de sumatoria. El tensor cuyas componentes son dadas por el símbolo de Levi-Civita (un tensor covariante de rango 3) a veces se llama el tensor de permutación.