En matemática, una serie de Bell es una serie de potencias formal utilizada para estudiar la propiedades de funciones aritméticas. Las series de Bell fueron introducidas y desarrolladas por Eric Temple Bell.
Dada una función aritmética 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   y un número primo 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  , se define la serie de potencias formal 
  
    
      
        
          f
          
            p
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f_{p}(x)}
  , llamada serie de Bell de 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   módulo 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   como:

  
    
      
        
          f
          
            p
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        
          p
          
            n
          
        
        )
        
          x
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}
  Se puede demostrar que dos funciones multiplicativas son idénticas si todas sus series de Bell son iguales; esto a veces se llama teorema de unicidad. Dadas las funciones mutiplicativas 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   y 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  , se tiene que 
  
    
      
        f
        =
        g
      
    
    {\displaystyle f=g}
   si y sólo si:

  
    
      
        
          f
          
            p
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          g
          
            p
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f_{p}(x)=g_{p}(x)}
   para todos los primos 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  .Dos series pueden ser multiplicadas (a veces llamado como teorema de multiplicación): Para dos funciones aritméticas cualesquiera 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   y 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  , sea 
  
    
      
        h
        =
        f
        ∗
        g
      
    
    {\displaystyle h=f*g}
   su convolución de Dirichlet. Entonces, para cada primo 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  , se tiene que: 

  
    
      
        
          h
          
            p
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          f
          
            p
          
        
        (
        x
        )
        
          g
          
            p
          
        
        (
        x
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,}
  En particular, esto convierte en trivial el encontrar la serie de Bell de una inversa de Dirichlet.
Si 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   es completamente multiplicativa, entonces: 

  
    
      
        
          f
          
            p
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              f
              (
              p
              )
              x
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.}