En álgebra lineal, la fórmula de Leibniz expresa el determinante de una matriz cuadrada en términos de permutaciones de los elementos de la matriz. La fórmula debe su nombre a Gottfried Leibniz, la fórmula para una matriz de orden 
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
   es:

  
    
      
        det
        (
        A
        )
        =
        
          ∑
          
            σ
            ∈
            
              S
              
                n
              
            
          
        
        sgn
        ⁡
        (
        σ
        )
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            σ
            (
            i
            )
            ,
            i
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i},}
  donde

  
    
      
        A
        =
        (
        
          a
          
            i
            j
          
        
        
          )
          
            i
            ,
            j
            =
            1
            ,
            …
            ,
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}
  y donde sgn es la función signo de permutaciones en el grupo de permutación Sn, que devuelve +1 si la permutación es par y −1 si es impar.
Otra notación común usada para la fórmula utiliza símbolos de Levi-Civita y la notación de Einstein, quedando:

  
    
      
        det
        (
        A
        )
        =
        
          ϵ
          
            
              i
              
                1
              
            
            ⋯
            
              i
              
                n
              
            
          
        
        
          
            a
          
          
            1
            
              i
              
                1
              
            
          
        
        ⋯
        
          
            a
          
          
            n
            
              i
              
                n
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \det(A)=\epsilon ^{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}},}
  que puede ser más familiar para los físicos.
Evaluar directamente la fórmula de Leibniz requiere 
  
    
      
        Ω
        (
        n
        !
        ⋅
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \Omega (n!\cdot n)}
   operaciones en general. Esto es, necesita un número de operaciones asintóticamente proporcional a n factorial, ya que n! es el número de permutaciones de orden n, lo que resulta aparatoso para valores grandes de n. En su lugar, el determinante se puede evaluar en O(n3) operaciones mediante la descomposición LU de la matriz (
  
    
      
        A
        =
        L
        U
      
    
    {\displaystyle A=LU}
  , normalmente a través de la eliminación gaussiana o métodos similares). En ese caso, 
  
    
      
        det
        A
        =
        (
        det
        L
        )
        (
        det
        U
        )
      
    
    {\displaystyle \det A=(\det L)(\det U)}
  , y los determinantes de las matrices triangulares L y U serán los productos de las entradas de sus respectivas diagonales principales. En la práctica de álgebra lineal, sin embargo, rara vez se requiere el cálculo explícito del determinante. Ver, por ejemplo, Trefethen y Bau (1997).