اولین پژوهش ریاضی محض خود که بسیار از انجام آن خوش حالم با وجود محدودیت هایی که وجود داشت و دارد. این پژوهش را در سال انجام دادم و در دو ساله ی و میتوانم در زمینه نظریه اعداد، خود را یکی از نوابیغ آن زمان معرفی کنم بدین معنی که اراده ی آن را داشتم از مسایل حل نشده (با آن سواد کم خود) مسیله ای یا حتی مسایلی را به اثبات رسانم. خوش حالم از اینکه توانستم در مقدمه شروع خود از جهان نوابیغ عبور کنم که باعث می شود این نوع تفکر افراد را بهتر درک نمایم و با دغدغه و چالش هایی که این افراد با آن سرکار دارند آشنا شوم و در زمینه آسیب شناسی این موضوع هم بسیار علاقمند به انجام تحقیق و کار شدم چرا که من نظری مخالف با نظر اساتید محترم و دوستانی که در این موضوع اظهار نظر می نمایند دارم زیرا نظر اساتید این است که این گونه افراد از راهی که در پیش گرفته اند باید صرف نظر کنند و به مسیر آموزشی ای راه پیدا کنند که بیان میشود: نظر متفاوتی که من در این انتخاب مسیر برای این افراد دارم آن است که مسیر آموزش را باید بروند اما در کنار آموزش، به صورتی که به آموزششان لطمه وارد نشود، اهداف پژوهشی، به عبارتی ایده های ریاضی خود را کار کنند و ذهنشان را از اهدافشان دور نگه ندارند و خطا را دقیقا همان جایی میدانم که دوستان نوابیغ بخواهند از مسیر خود بازمانند و به صورت مستقل مسیر آموزش را در پیش بگیرند. اینک برگردیم سر اصل مطلب که صحبت در مورد است. شرح مقدماتی مسیله را فاکتور میگیرم و در این مورد صحبتی نمی کنم چرا که تکرار سخن میباشد و میتوانید در ویکی پدیا انگلیسی مطالعه نمایید. مفهومی که از مسیله میتوان بدست آورد را به صورت زیر بیان می نمایم: آیا برای هر عدد گویای مثبت با صورت عدد ، میتوان حداقل یک افراز سه جزیی با جمعوندهایی به صورت کسر واحد بیان نمود؟ محوریت کار خود را در ریاضیات مطالعه و تفکر بروی مسایل و مبادی ریاضیات میدانم چنانکه خواندن مسایل به تنهایی، چالش هایی را به وجود می آورد که میتواند شخص یا اشخاصی را برای مدتی نامعین در ابهام نگه دارد، همانگونه که مبادی ریاضیات به تنهایی مورد مطالعه قرار بگیرد. با بیان مسیله به صورت سوالی که مطرح نمودم، بررسی در مورد آن دیگر چندان نامفهوم نخواهد بود. به همین دلیل در مقاله ی نگارش شده سعی بر آن داشتم که درک مطالب بسیار راحت و اکثر مطالب برای افرادی که ممکن است مثل شخص بنده زبان انگلیسی قوی نداشته باشند، قابل درک و فهم باشد. قصد دارم بررسی های خود را با توجه به تجربه هایی که کسب نمودم، بیان نمایم: صفر آغاز کار، اندیشیدن در مورد مساله و سیر کردن در باب مفاهیم و مبادی ریاضیات برای بدست آوردن مفهومی اولیه یا مجموعه مفاهیمی از مسیله است و طرح کردن سوال، بنابر مفهوم یا مفاهیمی که از آن بدست آورده ایم. برای آغاز کار، در مورد مسیله ای، اولین راهکار رفتن سمت موضوعاتی است که کلیدواژه های آن ها در صورت سوال مطرح شده است در مسیله اردوش - استراوس میتوان دریافت که محوریت، حالت خاصی از افرازهای اعداد گویا میباشند، بنابراین در اولین مرحله به سمت موضوع افرازها سوق داده می شویم. در کتب ترکیبیات اعم از اصول و فنون ترکیبیات ترجمه ی آقای دکتر یاسر احمدی فولادی و ترکیبیات آقای علی رضا علیپور و در نظریه اعداد کتاب نظریه تحلیلی اعداد ترجمه ی آقایان عالم زاده و رحیم زاده آنچه که ارایه شده، بحث بر سر افرازهای اعداد صحیح مثبت است و درباره افراز اعداد گویا متاسفانه اطلاعاتی نتوانستم با جست و جو کردن در منابع مطالعاتی در دسترس بدست آورم اما گزاره بدیهی را که متوجه آن گشتم بدین صورت بود: با استفاده از این گزاره، قضایای را مطرح و اثبات نمودم که چگونه این امر در حالت کلی امکان پذیر خواهد بود. استدلالی که در تمام مقالات نوشته شده در این زمینه مشاهده کردم، بود، که شامل دو روش، یکی و دیگری بود که به دلیل جواب نداشتن مسیله برای عدد یک و همچنین بنابر تعریف روش شینزل، تعداد معادلات خوش تعریفی که از این روش برای معادله در دامنه اعداد طبیعی بزرگتر از یک بدست میاد، نامتناهی است و در روش شینزل هر معادله خوش تعریف مجموعه ای از اعداد طبیعی را پوشش میدهد، از این رو مسیله تاکنون به طور کامل جواب داده نشده است. منظور از معادله خوش تعریف بدین معناست که اگر معادله اردوش - استراوس را به فرم ریاضی زیر در نظر بگیریم: برای هر مقدار n در دامنه تعریف شده، مقادیر مخرج کسر های واحد معین و مشخص باشد. راه حلی را که برای نامتناهی بودن تعداد معادلات خوش تعریف اردوش - استراوس به روش شینزل به ذهنم آمد، تعمیم روش شینزل بود، به همین دلیل روش شینزل را تعمیم دادم بدین صورت که دامنه هر معادله خوش تعریف، خانواده ای از نامتناهی زیر مجموعه اعداد طبیعی را پوشش میدهد. بدین صورت میتوان بنابر معادلات خوش تعریفی را با دامنه ای از بیان نمود. موضوع بعدی، روش های بدست آوردن معادلات خوش تعریف بود که در آغاز کار با طرح سوال و رفتن به سمت موضوع افرازها توانستم یک روش را بدست آورم که به صورت کلی از افرازهای اعداد صحیح، افرازهای اعداد گویا را بدست آورد اما هدفم آن بود که بتوانم راهکارهای دیگری را بدست آورم چون بنابر همان تفکرات ریاضی معتقدم که در بشر کثرت در جای جای آن وجود دارد. البته در تمام روند، افرازها فضای ذهنی من را درگیر خود کرده بودند و بدیهی است که روش های دیگر تا حد بسیاری الهام گرفته از این موضوع باشند. روش دوم بود که نظر من را به خود جلب کرد و این جلب کردن همان طور که بیان نمودم از افراز ها نشیت می گرفت. اتحاد a = a که یک افراز در تعداد افرازهای هر عدد شمرده میشود. در این اتحاد با افزدون متغیرهای کمکی میتوان معادلات خوش تعریف بیان نمود که در قضیه ای از مقاله بیان نموده ام و همچنین اتحادهای دیگری را هم بیان کردم که میتوانید در مقاله بررسی کنید. روش سوم، بدست آوردن معادلات خوش تعریف از میباشد که در این روش هر معادله خوش تعریف بر مبنای آن افراز از آن عدد طبیعی بدست خواهد آمد (که البته هر افراز میتواند مجموعه ای متناهی از معادلات خوش تعریف ایجاد کند) که به شخصه خود به این روش علاقمندم و احساس میکنم ویژگی های بسیاری در این روش نفهته است که اهلش را میطلبد برای استخراج آن ها. معادله اردوش - استراوس آن قدر مطالب در دل خود نهفته دارد که بنظرم در مورد همین یک معادله میشود واقعا کتاب ها و مقالات به رشته تحریر در آورد و بسیار بر این امر بیان شده معتقدم و سعی بر آن داشته ام مقاله به گونه ای باشد که برای افراد علاقمند به این موضوع ابزاری مناسب و خوبی برای شروع به کارکردن و برداشتن قدم های بعدی مسیله مثمرثمر واقع گردد. ویژگی هایی از معادلات خوش تعریف که برای خود من واقعا جذاب بودند و در مقاله آن ها را بیان نموده ام موارد زیر میباشند: - بیان کردن حالات گوناگون از یک معادله - بیان معادله هایی برای اعداد، اعداد و اعداد - بیان معادله هایی برای اعداد به فرم در حالت های گوناگون (که این فرم از اعداد را به صورت مجموع دو کسر گویا در نظر بگیریم و یا حالت دیگر به صورت ضرب دو عدد طبیعی) - بیان معادلاتی با دامنه اعداد و عددی به همه دوستان علاقمند پیشنهاد می کنم که از گزینه آخر به سادگی عبور نکنند واقعا این ویژگی زیبایی حیرت آوری دارد. یک مورد آن است که هر مثلث نامتقارن عددی مورد نظر دامنه ی دو معادله خوش تعریف از معادله اردوش - استراوس را پوشش میدهد (اعداد مورب به سمت راست دامنه یک معادله خوش تعریف و اعداد مورب به سمت چپ دامنه معادله خوش تعریف دیگر است) و هر مثلث متقارن عددی مورد نظر دامنه ی یک معادله خوش تعریف از معادله اردوش - استراوس را پوشش میدهد. ویژگی چهارم به صورت تعمیم یافته در مقاله بیان گردیده است به همین دلیل هر آنچه تاکنون بیان نمودم به صورت در مقاله بیان شده است. برای مثال در مورد مثلث متقارن و نامتقان بیان نموده ام که چگونه میتوان نامتناهی مثلث را با این دو خاصیت بیان کرد که ساختار چیدمان آن ها معادلاتی خوش تعریف از تعمیم معادله خوش تعریف اردوش - استراوس باشد. از این موارد بگذریم سوال اصلی مطرح میگردد که. بنابر آنچه تاکنون به صورت خلاصه بیان نمودم میتوان گفت: همان طور که بیان کردیم افراز اعداد گویای مثبت از افراز اعداد صحیح مثبت بدست خواهند آمد اما نکته بسیار مهمی وجود دارد که اگر شما در نظر بگیرید، در این صورت n نمیتواند همه اعداد طبیعی را پوشش دهد! مثال این گزاره میباشد که نشان داده می شود این اعداد از افرازهای اعداد صحیح مثبت با اندازه های صحیح مثبت بدست نخواهند آمد و برای بدست آوردن آن ها باید افرازهای اعداد صحیح مثبت را تعمیم بدهیم بدین صورت که در نظر بگیریم. در این صورت دامنه n بسیار بزرگتر خواهد شد. اما یک مشکل وجود دارد که اجازه نمیدهد با این روش های بیان شده مقادیر n در این تعمیم افرازهای اعداد صحیح مثبت مشخص شود. آن مشکل این است: همان طور که در آغاز صحبت بیان نمودم، استدلال کلی ما اثبات به روش تفکیک حالات است اما این تفکیک حالات براساس مجموعه ی اعداد صحیح مثبت به پیمانه m انجام میگیرد که براین اساس مجموعه هایی را بدست می آوریم و هر مجموعه میتواند حالات مختلفی داشته باشد: - ممکن است آن مجموعه تمام اعدادش از افرازهای اعداد صحیح مثبت با اندازه های گویا بدست آید مانند زیر مجموعه اعداد مدنظر از مجموعه اعداد مرسن - ممکن است آن مجموعه تمام اعدادش از افرازهای اعداد صحیح مثبت با اندازه های صحیح بدست آید ممکن است بپرسید که اعداد صحیح، خود اعدادی گویا هم میباشد پس چرا اینجا بدین شکل نوشته است؟ جواب این سوال را میتوانید در مقاله مفصل، با مثال و استدلال ببینید. خلاصه میتوانم بیان کنم منظور از اندازه های گویا این است که حداقل یک زوج اعداد گویا از اندازه های یک افراز وجود داشته باشد که صورت و مخرج آن ها نسبت بهم اول باشد و مجموع هر زوج از آن ها برابر با یک عدد طبیعی باشد. - ممکن است در یک مجموعه ادغامی از اعداد باشد که بخشی از آن ها از اندازه های صحیح و بخشی دیگر از اندازه های گویا بدست می آیند. مجموعه هایی به فرم مورد سوم از دسته مجموعه هایی هستند که نمیتوان برای آن ها معادلات خوش تعریف بیان نمود، چرا که ادغامی از دو حالت مختلف افراز اعداد صحیح مثبت در یک مجموعه هستند. در اینصورت تنها روش ممکن، افراز مجموعه و جدا کردن این اعداد از هم است. به دلیل وجود مورد سوم است که ناکارآمدی برخی از استدلال های دیگر هم بدست می آید. برای مثال در روش شینزل که به واسطه تعریف ناپذیری عدد یک، نامتناهی معادله خوش تعریف بدست می آید، میتوانستیم با نبود مورد سوم با استفاده از استقراء، معادله را برای سوال پاسخی کامل دهیم که وجود این مورد ما را از این روش باز داشت و همچنین استدلال های دیگری که وجود دارند و پاسخ کامل نمیدهند، به دلیل وجود این مورد میباشد. بنابراین تنها راهکار پاسخ به سوال تعیین مقادیر n در این استدلال، این است که رابطه ای جدید، که هم ارز با رابطه افرازها باشد، بدست آوریم و بر اساس رابطه ی هم ارز پاسخ کاملی بر این سوال دهیم. در غیر این صورت باید استدلال را تغییر داد. از همه دوستانی که وقت گذاشتند همه یا بخشی از این متن را مطالعه نمودند سپاس فراوان دارم و امیدوارم توانسته باشم به دوستانی که به پژوهش در این زمینه می پردازند، با ارایه محتوای مقاله و تجربیات قبلی خود، در پیشبرد قدم های بزرگتر در این مسیله موثر بوده و مطالب شیرین و جذابی را از این معادله در خدمت دیگر دوستانم ارایه کرده باشم. پیش مقاله این نوشته را میتوانید از سایت دریافت نماید. و آخرین ویرایش این مقاله در این صفحه قرار داده خواهد شد به زودی.