text:
Đề thi và đáp án thi chọn đội tuyển toán P2
Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45
lượt xem 32
download
Đề thi và đáp án thi chọn đội tuyển toán P2
Tham khảo tài liệu 'đề thi và đáp án thi chọn đội tuyển toán p2', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Đề thi và đáp án thi chọn đội tuyển toán P2
- 44 Chương 2. Đáp án tuy n sinh √ 2 √ Ta chú ý r ng √ = √1 = 2 − 1 và 2+ 2 2+1 √ √ √ √ 2 4+3 2 4 2+6 4+3 2 1 √ . √ = √ =1⇒ √ =√ . 2+ 2 2+ 2 6+4 2 2+ 2 2−1 √ Ta đ t t = ( 2 − 1)u thì (2) tr thành √ √ √ f ( 2 − 1)u+1 + f ( 2 − 1)u−1 = 2f ( 2 − 1)u ∀u (3) √ L i đ t f ( 2 − 1)u = g(u) thì (3) tr thành g(u + 1) + g(u − 1) = 2g(u) ∀u (4) ⇔g(u + 1) − g(u) = g(u) − g(u − 1) ∀u Đ t g(u + 1) − g(u) = h(u) thì h(u + 1) = h(u) ∀u. B ng quy n p d th y g(u + n) = nh(u) + g(u) Vy h(u) + k(u) v i 0 u0 trong đó, g(u) đư c xác đ nh theo (5). √ √ c) V i x < 0 ta đ t −(2 + 2)x = t = ( 2 − 1)u ta có f (x) = g log√2−1 |x| v i x
- 2.4. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1994 - 1995 45 Xét phân ho ch A= A(n1 ,n2 ,...,n1994 ) đây +) H p l y theo t t c các b có th t các s t nhiên (n1 , n2 , . . . , n1994) tho mãn n1 + 2n2 + · · · + 1994n1994 = 1994. +) A(n1 ,n2 ,...,n1994 ) là t p g m t t c các b có th t (a1, a2, . . . , a1993+1994) ∈ A và tho mãn đi u ki n là trong m i b có đúng nk nhóm k ∀k = 1, 1994. (Nhóm k đư c đ nh nghĩa là nhóm g m đúng k s 1 đ ng liên ti p trong b , nói khác đi là nhóm có 1 trong các d ng sau (1 . . . 1 0; 0 1 . . . 1 0; 0 1 . . . 1)). ks 1 ks 1 ks 1 Có 1993 CardA = C1993+1994 1994! CardA(n1 ,n2 ,...,n1994 ) = n1 !n2! . . . n1994!(1994 − n1 − · · · − n1994)! 1994! = n1 !n2! . . . n1994!(n2 + 2n3 + · · · + 1993n1994 )! Mà CardA = CardA(n1 ,n2 ,...,n1994 ) . Nên suy ra: 1 T = C 1993 1994! 1993+1994 . 2.4 Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1994 - 1995 Bài 1. Cho tam giác ABC v i m i đi m M, g i kho ng cách đ i s t M đ n đư ng th ng BC là ± (kho ng cách thông thư ng t M đ n BC), l y d u + hay − tuỳ theo M cùng phía hay khác phía v i A đ i v i BC (t t nhiên M thu c BC thì kho ng cách đó b ng không). Tương t cho kho ng cách đ i s t M đ n CA, AB. 1) Xét các đư ng tròn (AB1C1), (AB2 C2) như trong đ bài. Hãy ch ng minh tr c đ ng phương c a c p đư ng tròn đó là qu tích các đi m M mà các kho ng cách đ i s t M đ n AB và đ n CA t l v i γ vàβ.
- 46 Chương 2. Đáp án tuy n sinh − − → → Th c v y, l y h to đ vuông góc Oxy mà O ≡ A, B ∈ Ox+ , (AB, AC) = −→ −→ ϕ, 0 < ϕ < 180◦ . Khi đó AB = (1, 0), CA = (− cos ϕ, sin ϕ). G i c b B1 = (b1 cot ϕ, b1), B = (b cot ϕ, b ), 2 2 2 , c1 , c2 = 0, c1 = c2 , b1 , b2 = 0, b1 = b2 C1 = (c1 , 0), C2 (c2 , 0) −− −→ − → thì B1 B2 = β CA hay ((b2 − b1 ) cot ϕ, b2 − b1) = β(− cos ϕ, − sin ϕ) suy b ra b2 − b1 = −β sin ϕ. −−−→ −→ Ta cũng có C1 C2 = γ AB tương đương v i (c2 − c1, 0) = γ(1, 0) hay c c2 − c1 = γ. Đư ng tròn (AB1C1 ) đia qua A, C1 nên x2 + y 2 − c1 x − λ1 y = 0, nó đi qua B1 nên λ1 = b1 −c1sin2 ϕ cos ϕ , đư ng tròn (AB2 C2): x2 + y 2 − c2 x − λ2y = 0, sin ϕ λ2 = b2 −c2 sin ϕ cos ϕ . β Tr c đ ng phương hai đư ng tròn đó là (c2 − c1 )x + (λ2 − λ1 )y = 0 β + γ cos ϕ ⇔ γx − y=0 sin ϕ hay y x sin ϕ − y cos ϕ = γ β Đ ý r ng y là kho ng cách đ i s t M(x, y) đ n AB còn x sin ϕ − y cos ϕ là kho ng cách đ i s t M(x, y) đ n CA, ta suy ra đi u ph i ch ng minh. 2) V i m i đi m M, kí hi u X, Y, Z là kho ng cách đ i s t M đ n BC, CA, AB thì d th y aX + bY + cZ = 2S, (S là di n tích tam giác ABC) và ngư c l i (X, Y, Z) mà aX + bY + cZ = 2S xác đ nh m t đi m M duy nh t có các kho ng cách đ i s nói trên là X, Y, Z. Theo ph n 1), phương trình dA là Y = Z , c a dB là X = Z , c a dC β γ α γ là Z = Y . Đi m chung c a dA , dB , dC (n u có) là đi m M(X, Y, Z) mà α β
- 2.4. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1994 - 1995 47 (X, Y, Z) là nghi m c a h aX + bY + cZ = 2S X α =Y =Z β γ hay X Y Z 2S = = = α β γ aα + bβ + cγ h đó có nghi m (và ch có m t nghi m) khi và ch khi aα + bβ + cγ = 0. Chú ý: N u (AB1 C1), (AB2 C2) c t nhau t i A = A, có th ch ng minh ph n 1) (trong trư ng h p này) nh phép đ ng d ng thu n tâm A , bi n B1 thành C1, bi n B2 thành C2 và đ hoàn thi n 1) còn c n xét (AB1C1 ), (AB2C2 ) ti p xúc nhau. Bài 2. G i A là t p các giá tr n (n ≥ 3) đ đa th c Pn (x) kh quy. V i n ∈ A ta có Pn (x) = f (x).g(x) (*) trong đó f (x) = am xm + · · · + a1x + a0 g(x) = bs xs + · · · + b1 x + b0 Pn (x) = xn+1 + kxn − 870x2 + 1945x + 1995 m ≥ 1, s ≥ 1, m + s = n + 1 Ta s ch ng minh m = 1 ho c s = 1. Gi s có m ≥ 2 và s ≥ 2 suy ra m < n và s < n. Vì a0 b0 = 1995 chia h t cho 5 và không chia h t cho 25 nên ch có m t trong hai s a0, b0 là chia . h t cho 5, ch ng h n a0 . và b0 không chia h t cho 5. Trong dãy a0, a1, ..., am .5 g i r là ch s nh nh t đ ar không chia h t cho 5, (1 ≤ r ≤ m < n, chú ý t n t i r vì am b ng ±1). T (??) suy ra cr = ar b0 + ar−1 b1 + · · · + a0br . Do cách ch n r thì a0, a1, ..., ar−1 đ u chia h t cho 5, cr là h s c a xr trong . Pn (x) cũng chia h t cho 5, suy ra ar b0. đi u này mâu thu n v i ar , b0 đ u .5, không chia h t cho 5. V y gi s m ≥ 2 và s ≥ 2 là sai, suy ra ho c m = 1 ho c s = 1, lúc đó Pn (x) có nghi m nguyên v i ∀n ∈ A. Xét các trư ng h p sau a) N u |xn | ≥ 2 ∀n ∈ A. Khi đó t xn (x + k) = 870x2 − 1945x − 1995 ta có |870x2 − 1945x − 1995| |xn + k| = |xn |n
- 48 Chương 2. Đáp án tuy n sinh Vì A vô h n nên v i n ∈ A đ l n thì |xn + k| < 1 suy ra xn + k = 0 suy ra . . 870x2 − 1945xn − 1945 = 0 hay 174x2 − 389xn − 399 = 0. Vì 399. và 197. n n .3 .3 . nên xn . Đ t xn = 3y, ta có 522y 2 − 389y − 133 = 0 suy ra k = −3. .3. b) N u |xn | < 2, ∀n ∈ A thì xn ch có th là +1, −1. V i xn = 1 thì Pn (1) = 0 suy ra k = −3071. V i xn = −1 thì Pn (−1) = 0. T đó v i n ch n thì k = 821, còn v i n l thì k = −819. Th l i, th y n u k = −3, k = −3071 thì Pn (x) kh quy ∀n ≥ 3. N u k = 821 thì Pn (x) kh quy v i ∀n ch n. N u k = −819 thì Pn (x) kh quy v i ∀n l . Bài 3. Có a3 + b3 ≥ 2(ab)3/2 suy ra (a3 + b3)n ≥ 2n (ab)3n/2 ≥ 4(ab)3n/2 vì n ≥ 2. Vì v y, t (a3 + b3 )n = 4(ab)1995 ta đư c 3n ≤ 3990. Đ t (a, b) = d ta có a = da1 , b = db1 và (a1, b1 ) = 1. Khi đó, t (??) có d3n (a3 + b3 )n = 4d2990(a1 b1)1995 hay 1 1 (a3 + b3)n = 4d3990−3n (a1b1 )1995. 1 1 . . Suy ra (a3 + b3 )n . 1b1)1995 suy ra (a3 + b3)n . 1b1 )n (do n < 1995 vì 3n ≤ 1 1 .(a 1 1 .(a . 3990) suy ra a3 + b3. 1b1 . Do v y 1 1.a a3 . . a .. 1 .b1 1 .b1 ⇒ b3 . . b .. 1 .a1 1 .a1 (do (a1, b1) = 1) nên a1 = b1 = 1, l i do (a1, b1) = 1) suy ra a = b = d. Khi đó t (??) có 2n−2 = d3990−3n . Vì d > 1 nên suy ra d có d ng 2k v i k ≥ 1, và do đó n − 2 = k(3990 − 3n) hay n = 3990k+2 , và do đó 3k+1 1328 ∗ . . + 1. Do 1328 = 24 .83 và n = 1330 − 3k+1 . Vì n ∈ N nên 1328.3k 1 (mod 3) n u i ch n 1 (mod 3) n u i ch n 2i ≡ , 2i .83 ≡ 2 (mod 3) n u i l 2 (mod 3) n u i l nên suy ra 3k + 1 ∈ {22 , 24 , 2 × 83, 23 × 83}. V i 3k + 1 = 4 có k = 1 suy ra a = b = 2 và n = 998. V i 3k + 1 = 16 có k = 5 suy ra a = b = 25 và n = 1247. V i 3k + 1 = 166 có k = 55 suy ra a = b = 255 và n = 1322. V i 3k + 1 = 664 có k = 221 suy ra a = b = 2221 và n = 1328.
- 2.4. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1994 - 1995 49 Bài 4. Xét graph G có t p đ nh là t p g m n đi m đã cho và t p c nh là t p g m 1 (n2 − 3n + 4) đo n th ng đã cho. T gi thi t c a bài toán ta 2 th y trong G t n t i m t c nh mà sau khi b nó đi thì đư c G không liên thông. Gi s a và b là hai đ nh không liên thông v i nhau trong G . G i Va và Vb l n lư t là t p g m t t c các đ nh c a G mà liên thông v i a và b. Gi s |Va | = n1 và |Vb | = n2 . D th y, G có 1 (n2 − 3n + 2) c nh; n1 ≥ 1, n2 ≥ 1, n1 + n2 ≤ n và 2 1 2 1 1 1 (n − 3n + 2) ≤ n1 (n1 − 1) + n2 (n2 − 1) + (n − n1 − n2)(n − n1 − n2 − 1) 2 2 2 2 hay (n1 − 1)(1 − n2 ) + (n − n1 − n2 )(1 − n1 − n2 ) ≥ 0. Do đó (n1 − 1)(1 − n2 ) = 0 (n − n1 − n2 )(n1 + n2 − 1) = 0 V y n1 = n − 1, n2 = 1 ho c n2 = n − 1 và n1 = 1. T đó suy ra G có m t đ nh cô l p và (n − 1) đ nh mà b c c a m i đ nh b ng n − 2. Do đó G có m t đ nh b c 1, (n − 2) đ nh mà b c c a m i đ nh b ng n − 2 và m t đ nh có b c b ng n − 1. B i th chu trình đơn có đ dài l n nh t trong G là chu trình đơn đ dài n − 1 n u n ≥ 4, 0 n u n = 2ho c n = 3. Vy n−1 n u n≥4 kmax = 0 n u n = 2, n = 3 Bài 5. Gi s n + 1 = 2f (n) (1 + 2α), p + 1 = 2f (p)(1 + 2β) v i α, β ≥ 0. C p s (n, p) là c p s đ p khi và ch khi 2f (n) > p hay 2f (n) ≥ p + 1 (1) T đó ta có n + 1 = 2f (n) (1 + 2α) ≥ p + 1 suy ra n≥p (2) T (1) ta có 2f (n) ≥ p + 1 = 2f (p)(1 + 2β) suy ra 2f (n) ≥ 2f (p), thành th f (n) ≥ f (p). T đó . (n + 1). f (p) .2 (3) Ta c n tìm b ba s (n, p, q) sao cho ba c p s (n, p) (p, q) và (n+p+q, n) đ u là các c p s đ p. Gi s n + p + q + 1 = 2f (n+p+q) (1 + 2γ).
- 50 Chương 2. Đáp án tuy n sinh Theo (2) vì (n, p) và (p, q) là c p s đ p nên n + p + q + 1 ≤ 3n + 1. Vì (n + p + q, n) là c p s đ p nên 2f (n+p+q) ≥ n + 1 theo (1). K t h p các đi u ki n trên có 2f (n+p+q) (1 +2γ) = n + p + q +1 ≤ 3n + 1 ≤ 3(2f (n+p+q) − 1) +1 < 3.2f (n+p+q) suy ra 1 + 2γ < 3, và do đó 1 + 2γ = 1 hay n + p + q + 1 = 2f (n+p+q) (4) M t khác, 2f (n+p+q) ≥ n + 1 = 2f (n) (1 + 2α) suy ra f (n + p + q) ≥ f (n) (5) T 2f (n+p+q) = n + p + q + 1 = (n + 1) + (p + 1) + (q − 1) theo (3) và (5) . . . ta có (n + 1). f (p) và (p + 1). f (p) suy ra (q − 1). f (p), nhưng t c p s đ p .2 .2 .2 (p, q) có 2f (p) > q nên ch x y ra hai trư ng h p ho c q = 0 và f (p) = 0, ho c q = 1 và f (p) > 0. Xét q = 0 và f (p) = 0, t (4) có n + p + q + 1 = n + p + 1 = 2f (n+p+q) , đ ng th i n + p + 1 = (n + 1) + p = 2f (n) (1 + 2α) + p. . T (5) và 2f (n) (1 + 2α) + p suy ra p. f (n) mà 2f (n) > p nên p = 0. T .2 c p s đ p (n + p + q, n) = (n, n) suy ra n + 1 ≥ 2f (n) ≥ n + 1 suy ra n − 1 = 2f (n) = 2m . T l i, ta th y b ba s (n, p, q) = (2m − 1, 0, 0) th a mãn v i m ∈ Z và m ≥ 0. Xét q = 1 và f (p) > 0. T (4) ta có 2f (n+p+q) = n + p + q + 1 = (n + 1) + (p+1) = 2f (n) (1+2α)+2f (p) (1+2β). Chú ý r ng f (n+p+q) ≥ f (n) ≥ f (p) . suy ra 2f (p). f (n) nên f (p) = f (m). .2 T 2f (p) = 2f (n) ≥ p + 1 = 2f (p)(1 + 2β) suy ra 1 + 2β = 1 suy ra p+1 = 2f (p) . Ta có 2f (n+p+q) = n+p+q +1 = (n+1)(+(p+a) = n+1+2f (n) , suy ra n + 1 = 2f (n+p+q) − 2f (n) = 2k − 2m . Th l i ta th y, b ba s (n, p, q) = (2k − 2m − 1, 2m − 1, 1) th a mãn v i k, m ∈ Z và k > m ≥ 1. Bài 6. 1) Ta tính đ o hàm 2x(x3 − 3x + 3) f (x) = . 3(x2 − 1)2 D dàng ch ng minh đư c x3 − 3x + 3 > 0 ∀x > 1. T đó suy ra f (x) > 0 ∀x > 1 và do đó hàm f (x) đ ng bi n trên (1, +∞). Hơn n a l i có lim f (x) = −∞ và lim f (x) = +∞. N u suy ra f (x) v i t p xác đ nh x→1 + x→+∞ (1, +∞) s có t p giá tr là (−∞, +∞). T các k t qu trên, theo đ nh lí v hàm ngư c, ta suy ra t n t i hàm g(x) liên t c trên R, có t p giá tr là (1, +∞), và f (g(x)) = x, ∀x ∈ R.
- 2.5. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1995 - 1996 51 ti p theo, ta s ch ng minh g(x) > x, ∀x ∈ R. Th t v y, v i x ≤ 1 thì 3 g(x) > 1 ≥ x. V i x > 1 thì do x − f (x) = x −3x+3 nên x > f (x) ∀x > 1, 3(x2 −1) hay g(x) > x, (do tính đ ng bi n c a f (x) trên (1, +∞). 2) Kí hi u gn (x) = g(g(...g(x))...). Ta s tìm a dư i d ng a = gn (x0 ) v i x0 ∈ R. Khi đó a0 = gn (x0) a1 = f (x0 ) = gn−1 (x0 ) > 1 a2 = f (a1 ) = gn−2 (x0) > 1 ········· an−1 = g(x0) > 1 an = x0 V i x0 = ±1 thì an+1 f (x0 ). Do g(x) > x, ∀x nên a0 > a1 > a2 > · · · an . Suy ra n u ch n x0 sao cho x0 = ±1 và f (x0 ) = gn (x0) thì dãy {an } s là dãy tu n hoàn v i chu kỳ dương nh nh t b ng n + 1. Bây gi ta s ch ng minh t n t i x0 th a mãn các đi u ki n nói trên. Th t v y, xét hàm h(x) = f (x) − gn (x) trên (−1, 0]. Ta có h(0) = f (0) − gn (0) = 1 − gn (0) < 0, và limx→−1+ h(x) = +∞ (do gn (−1) là s xác đ nh). Hơn n a, do h(x) liên t c trên (−1, 0) c a phương trình h(x) = 0, ta có a > 1 và dãy {an } là dãy tu n hoàn v i chu kỳ dương bé nh t b ng 1995. 2.5 Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1995 - 1996 Bài 1. G i 3n đi m đã cho là A1, A2 , ..., A3n. Hi n nhiên trong m t ph ng ch a 3n đi m đó, ta có th d ng đư c đư ng th ng ∆ sao cho Ai ∈ ∆, / i = 1, 3n, A1, A2 , ..., A3n n m v cùng m t phía c a ∆; và ∆ không song song v i Ai Aj (∀inot = j ∈ {1, 2, ..., 3n}). Kí hi u dAi là kho ng cách t đi m Ai đ n ∆. Khi đó dAi = dAj (∀i = j ∈ {1, 2, ..., 3n}). Không m t tính t ng quát, gi s dA1 < dA2 < · · · < dA3n (1) Qua m i đi m A3i+1, i = 0, ..., n − 1, k đư ng th ng ∆i ∆ d dàng suy ra n tam giác A3j+1 A3j+2A3j+3 , i = 0, ..., n − 1 đôi m t r i nhau và m i đi m Ai , i = 1, 3n) là đ nh có đúng m t tam giác trong s n tam giác đó. Bây gi ta s ch ng minh t ng S di n tích c a n tam giác nói trên tho mãn S < 1 . Th t v y, xét A3i+1A3i+2 A3i+3, i ∈ {0, 1, ..., n − 1}) và g i Si 2 là di n tích c a nó. D th y có th d ng đư c hai đư ng th ng a, b cùng vuông góc v i ∆ và sao cho
- 52 Chương 2. Đáp án tuy n sinh 1) a đi qua đúng m t trong ba đi m A3i+1 , A3i+2, A3i+3 còn b đi qua ít nh t m t trong hai đi m còn l i. 2) c ba đi m A3i+1, A3i+2 , A3i+3 cùng n m trong d i ph ng (k c hai biên) b gi i h n b i a và b. Th thì n u g i {A} = a ∩ ∆i , {B} = a ∩ ∆i+1 , {C} = b ∩ ∆i+2 , {D} = b ∩ ∆i ta s có hình ch nh t ABCD ch a toàn b ∆A3i+1A3i+2A3i+3 . T đó Si < 1 SABCD = 1 AD.CD < 1 di 2 2 2 v i di là kho ng cách gi a hai đư ng th ng ∆i và ∆i+1 . T đó suy ra n−1 n−1 1 S= Si < 2 di ≤ 1 A1 A3n ≤ 1 . 2 2 i=0 i=0 (vì A1 A3n ≤ 1). Bài toán đư c ch ng minh. [n ] 2i+1 Bài 2. T an = 2 i=0 n 3i suy ra công th c t ng quát √ √ n (1 + 3)n − (1 − 3) an = √ . 2 3 Xét n ch n và n l . 1) V i n = 2k, ta có an = 2k uk v i √ √ (2 + 3)k − (2 − 3)k uk = √ (1) 2 3 Dãy {uk } tho mãn uk+2 = 4uk+1 (2) v i u1 = 1, u2 = 4 . G i g(k) là s l ∈ N l n nh t đ uk . l . .2 k T an = 2 un suy ra f (2k ) = k + g(h) (3) T (2) th y k l , suy ra uk l . V y k l thì g(k) = 0 (4) nghĩa là f (2k) = k n u k l (4 ) Xét k = 2m ch n thì √ √ m u2m = um .dm v i dm = (2 + 3)m + (2 − 3) (5)
- 2.5. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1995 - 1996 53 Dãy {dm } tho mãn dm+2 = 4dm+1 − dm v i d1 = 4, d2 = 14 (6) T (6) và vì dm ch n v i m i m nên suy ra dm+2 ≡ −dm (mod 8). N u m l , thì dm ≡ 4 (mod 8) (7) N u m ch n, thì dm ≡ 6 (mod 8) T (7) và u2m = um .dm suy ra g(m) + 2 n u m l g(2m) = (8) g(m) + 1 n u m ch n V i k = 2s h, h l thì t (8) và g(k) = 0 suy ra g(2s h) = g(2s−1 h) + 1 = · · · = g(2h) + s − 1 = g(h) + 2 + s − 1 = s + 1 (9) T (3), (9), và do (4 ta có k v ikl f (2k) = (10) k+s+1 v i k = 2s h, s ≥ 1, k l 2) V i n = 2k + 1. Ta th y dãy {an } tho mãn an+2 = 2an+1 + 2an , v i a1 = 1, a2 = 2. (11) Ta ch ng minh f (2k + 1) = k (12) b ng quy n p v i k = 0, 1 d th y đúng. Gi s đúng v i k. T (10) có f (2k) ≥ k và theo gi thi t quy n p f (2k + 1) = k nên a2(k+1)+1 = 2a2(k+1) + 2a2k+1 = 2.2k+1 .n + 2.2k N = 2k+1 (2M + N ) v i N l theo quy n p. V y f (2(k + 1) + 1) = k + 1 đúng v i k + 1. 3) Tìm m i n đ f (n) = 1996 N u 2k + 1, theo f (2k + 1) = k thì f (n) = f (2k + 1) = k = 1996 suy ra n = 3993. N u n = 2s+1 h v i h l . V i s = 0 suy ra f (2k) = k l không tho mãn v i s ≥ 1 suy ra f (2s+1 h) = 2s h + s + 1 = 1996 suy ra 2s h + s = 1995 suy ra h l và 1 ≤ s ≤ 9. Th th y s = 1, n = 3998 và s = 3, n = 3984 v i s = 5, 7, 9 không có nghi m. Đáp s n = 3984, n = 3998, n = 3993.
- 54 Chương 2. Đáp án tuy n sinh Bài 3. Đ t f (a, b, c) = (a + b + c)4 + a4 + b4 + c4 − 12abc(a + b + c) − 4 (a4 + b4 + c4 ) 7 = (a + b + c)4 + 3 (a4 + b4 + c4 ) − 12abc(a + b + c) 7 Vì f (a, b, c) = f (−a, −b, −c) nên ch c n xét f (a, b, c) t i a, b, c mà a+b+c ≥ 0. Khi đó ch có th x y ra m t trong ba trư ng h p sau N u a, b, c ≥ 0. Lúc này ta có a + b + c ≥ 3(abc)1/3 suy ra (a + b + c)4 ≥ 27abc(a + b + c) suy ra f (a, b, c) ≥ 15abc(a + b + c) ≥ 0 và f (a, b, c) = 0 khi và ch khi a = b = c = 0. N u có đúng m t trong ba s a, b, c là s âm. Khi đó có f (a, b, c) > 0. N u có đúng hai trong ba s a, b, c là s âm. Không gi m tính t ng quát, coi a, b, < 0 t a + b + c ≥ 0 suy ra c ≥ −a(+b) > 0. Đ t a = −α, b = −β v i α, β > 0, th thì c ≥ α + β và f (a, b, c) = f (−α, −β, c) = {c − (α + β)}4 + 3 (c4 + α4 + β 4) − 12αβc{c − (α + β)}. 7 Vì α, β > 0 nên α4 + β 4 ≥ 2( α+β )4 và 0 < α < β ≤ ( α+β )2 . Do đó ta có 2 2 đánh giá α+β 4 α+β 2 f (a, b, c) ≥ {c − (α + β)}4 + 3 {c4 + 2( 7 ) } − 12c( ) {c − (α + β)} 2 2 = (c − 2x)4 + 3 (c4 + 2x4 ) − 12cx2 (c − 2x) 7 trong đó x = α+β , x > 0. 2 Đ t c = tx, t c ≥ 2x suy ra t ≥ 2. V y ta ti p t c đánh giá f (a, b, c) f (a, b, c) ≥ x4{(t − 2)4 + 3 (t4 + 2) − 12t(t − 2)} 7 = x4{(t − 2)4 + (t4 + 2) − 12t(t − 2) − 4 (t4 + 2)} 7 = x {2(t − 1) + 16 − 7 (t + 2)} = 2x {(t − 1)4 − 2 t4 + 4 4 4 4 4 7 52 7 } Xét g(t) = (t−1)4 − 2 t4 + 52 trên [2, +∞). Ta có g (t) = 4{(t−1)3 − 2 t3}. D 7 7 7 1 2 th y r ng v i t ≥ 2 thì g (t) > 0 hay t > 1−t0 v i t0 = 7 , g (t) = 0 khi và 1 1 1 ch khi t = 1−t0 , g (t) < 0 khi và ch khi 2 ≤ t ≤ 1−t0 . Do đó g(t) ≥ g( 1−t0 ) v i t ≥ 2. Ta có 1 2 3 2 1 4 1 4 g( )= 7 −2 7 + 52 . 7 1 − t0 7 1 − t0 1 − t0
- 2.5. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1995 - 1996 55 3 2 Do t0 = 7 nên 1 2 1 4 2 1 g = 7 26 − (1 − t0( ) = 7 26 − 1 − t0 1 − t0 (1 − t0 )3 1 2 = 7 26 − . (1 − 3 2 )3 7 1 √ 2 4 . Th t v y, b t đ ng th c này tương Ta ch ng minh r ng 26 > 3 (1− 7 ) đương v i m i b t đ ng th c sau 2 33 1 1− − >0 7 26 2 1 3 1 1− − −3 >0 7 26 91 41 1 > √ 182 3 91 68921 > 66428. 1 V y nên g(t) ≥ g( 1−t0 ) > 0 ∀t ≥ 2. Tóm l i f (a, b, c) ≥ 0 ∀a, b, c ∈ R và f (0, 0, 0) = 0 nên mina,b,c∈R f (a, b, c) = 0 Bài 4. Chú ý r ng phép đ i x ng qua đư ng phân giác AB c a góc đ nh −→ − → − − −→ − −→ − hương (AH, AH ) bi n AH thành AH , còn phép đ i x ng qua đư ng phân −→ − → − − −→ − −→− −→ − giác ngoài AC c a góc (AH, AH ) thì bi n AH thành AH = −AH . Hình 1 1) Gi s SAB (M) = M1 , SBC (M1 ) = M2 , SCA (M2 ) = M . Đ t f = SCA .SBC .SAB . G i H, K, I l n lư t là hình chi u c a A, B, C xu ng c nh đ i di n. G i đư ng th ng IK là ∆. Ta s ch ra f : ∆ → ∆ và b o t n hư ng c a ∆.
- 56 Chương 2. Đáp án tuy n sinh a) Khi ABC không vuông thì H, K, I phân bi t, do đó AB, BC, CA là phân giác ngoài c a HKI. Khi có m t góc tù, ch ng h n ∠A > 90◦ thì BC là phân giác ngoài, còn CA, AB là phân giác trong HKI. The chú ý trên, d th y f : → và b o t n hư ng c a ∆. Hình 2 ◦ b) Khi C = H = K = 90 (C ≡ K) thì ∆ là đư ng th ng CI. c) Khi B = H = I = 90◦ (B ≡ I) thì ∆ là đư ng th ng BK. d) Khi A = K = I = 90◦ (A ≡ I ≡ K) thì ∆ là đư ng th ng đ i x ng c a đư ng th ng AH qua AB (hay qua AC) (Hình 1) 2) f | ∆ : ∆ → ∆ b o t n kho ng cách và hư ng nên f | ∆ là phép t nh ti n theo véctơ − nào đó (− →v → ∆) (xem hình 2: M, N ∈ ∆, M = v −− −→ − → −− f (M), N = f (N ) thì MM = N N = →) và hình 1: H ∈ ∆, H = f (H ) v −−−→ − →). thì H H = v V i M tuỳ ý, g i J là hình chi u vuông góc c a M xu ng ∆ thì f (J ) là −→ → hình chi u vuông góc c a f (M) xu ng ∆ và JJ = − . Do f đ o hư ng nên v M và f (M) = M n m khác phía đ i v i ∆ nên MM ≥ JJ = |− |, và n u → v M ∈ ∆ thì MM > JJ . V y t p h p các đi m M đ MM đ t giác tr bé / nh t là đư ng th ng ∆. 3) a) Khi l y liên ti p phép đ i x ng qua các tr c là hoán v vòng quanh ba c nh ABC đư c SAB ◦ SCA ◦ SBC = SAB ◦ f ◦ SAB SBC ◦ SAB ◦ SCA = SCA ◦ f ◦ SCA đ u có d ng Sx ◦ f ◦ Sx = g (Sx là phép đ i x ng qua tr c x). Đ t ∆ = Sx (∆) thì v i M0 ∈ ∆ kho ng cách −1 ρ(M0 , g(M0 )) = ρ(M0 , Sx ◦ f ◦ Sx (M0 )) = ρ(Sx (M0 ), f(Sx (M0)) = |− | ≤ ρ(M, f (M)) −1 −1 → v = ρ(M, Sx gSx (M)) = ρ(Sx (M), g(Sx (M))) V y kho ng cách ng n nh t đ i v i g = Sx ◦ f ◦ Sx cũng là |− |. → v
- 2.5. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1995 - 1996 57 b) Khi l y liên ti p phép đ i x ng qua các tr c theo th t sau: SAB .SBC , SCA = f −1 thì kho ng cách bé nh t c a MM cũng như đ i v i f đã xét trên. L y hoán v vòng quanh các tr c đ i x ng trên ta đư c SCA ◦ SAB ◦ SBC , SBC ◦ SCA ◦ SAB đ u có d ng Sx ◦ f −1 ◦ Sx = g nên theo a) kho ng cách ng n nh t đ i v i g cũng là − . → v Chú ý: Có th ch ng minh 1), 2): f là phép đ i x ng trư t, tr c ∆ đi qua trung đi m Mf (M) (M tuỳ ý) và xác đ nh đư c ∆ (m t cách hình h c) đ n k t qu như trên, véctơ trư t là − . → v Có th xét c th các trư ng h p tam giác ABC tương t trên đây, tính đư c kho ng cách bé nh t nói trên là |− | = a cos A+b cos B +c cos C, ch ng →v h n khi ABC có ba góc nh n thì |− | kà chu vi tam giác HIK nên |− | có → v →v → − | = IH + HK + KI. tính ch t đ i x ng đ i v i a, b, c và ∠A, ∠B, ∠C : | v Bài 5. Gi s s h c sinh đư c m i là 65 em. Ta đ t tương ng m i em v i m t đi m trên m t ph ng và hai em đư c đ t tương ng v i hai đi m khác nhau. V i m i c p, hai em chưa quen nhau ta n i hai đi m tương ng v i hai em đó b i m t đo n th ng. Khi đó ta đư c m t Graph đơn, vô hương, có 65 đ nh, b c m i đ nh không nh hơn 56 và v i hai đ nh k nhau b t kỳ luôn t n t i ít nh t m t đi m không k v i c hai đ nh y, có 65 đ nh và tho mãn 1) B c c a m i đ nh không l n hơn 8 2) V i hai đ nh không k nhau, t n t i ít nh t m t đ nh k v i c hai đ nh y. Xét G: xét đ nh A b t kỳ c a G và g i A1 , A2, ..., Ak (k ≤ 8) là t t c các đ nh k v i A. N u k ≤ 7 thì s có t i đa 72 = 49 đ nh mà m i đ nh k v i ít nh t m t trong các đ nh A1, A2, ..., Ak và không k v i A. Suy ra s đ nh c a G không vư t quá 49 + 7 + 9 = 57 < 65 trái v i gi thi t. V y ph i có k = 8, suy ra m i đ nh c a G có b c b ng 8. T đây, k t h p v i 2), ta đư c
- 58 Chương 2. Đáp án tuy n sinh i) Ai, Aj không k nhau ∀i = j ∈ {1, 2, ..., 8} ii) M i đ nh Ai , (i = 1, 8), ngoài A ra s k v i đúng b y đ nh khác và n u kí hi u Ait t = 1, 7) là b y đ nh y thì {Ai1 , ..., Ai7 } ∩ {Aj1 , ..., Aj7 } = ∅ (∀i ∈ j ∈ {1, 2, ..., 8}). / T đó suy ra trong G không có chu trình đơn đ dài 3 cũng như chu trình đơn đ i dài 4. Do v y Ait và Ais không k nhau (∀i = 1, 8), ∀t = s ∈ {1, 2, ..., 7}, và do đó n u Ait k Ajs (i = j) thì Ait không k Ajm m = s. T đó suy ra có t t c 14 3 = 14.7.8 chu trình đơn đ dài 6 đi qua A. 8 Vì A là đ nh b t kỳ c a G nên s chu trình đơn đ dài 6 trong G là 14.7.8.65 6 = 49.8.65 ∈ Z. Đi u vô lý. Vây không t n t i G và do đó không t n 3 / t i G tho mãn đ bài. Bài 6. Ta xét bài toán t ng quát v i x0 > 0 cho trư c b t kỳ. 1) V i a = 0 hi n nhiên xi = 0, ∀i > 0 dãy h i t . a 2) V i a > 0 kí hi u f (x) = 1+x2 và g(x) = f (f (x)). T đó suy ra f (x) là hàm gi m trên (0, +∞) nên g(x) là hàm tăng trên (0, ∞). Xét dãy {x2n } (ch s ch n). Đ t un = x2n thì un+1 = g(un ). Do g(x) tăng nên {un } là dãy đơn đi u (tăng ho c gi m). M t khác, 0 < un < a, nên luôn luôn t n t i lim un = limn→∞ x2n = l. L y gi i h n khi n → ∞ có g(l) = l (1) a) Ta ch ng minh 0 < a ≤ 2 thì dãy {xn } có gi i h n. Th t v y, gi s f (l) = v hay a = v + vl2 (2) Ta có f (f (l)) = f (v) tương đương v i f (v) = g(l) = l hay a = v + lv 2 (3) Tr (2) cho (3) đư c (v − l)(vl − 1) = 0. N u v = l thì vl = 1, thay vào (2) đư c v + l = a suy ra v.l là nghi m c a phương trình x2 − ax + 1 = 0. Vì a ≤ 2 nên a = 2 suy ra v = l = 1 trái đi u gi s . V y, v = l, t c là f (l) = l. T đó limx→∞ x2n+1 = limx→∞ x2n = f (l) = l = lim x2n . V y limn→∞ xn t n t i. b) Ta ch ng minh v i a > 2 thì dãy {xn } h i t khi và ch khi a = x3 +x1 . 2 a Th t v y, gi s a = x3 + x0 suy ra x0 = 1+x2 = x1 suy ra a = x3 + x1 suy 0 1 0 ra x2 = x1 ,.v..v... V y {xn } là dãy h ng, suy ra t n t i limn→∞ xn = x0. Ngư c l i, gi s t n t i limn→∞ xn = k. Qua gi i h n ta đư c f (k) = k hay a = k 3 + k, suy ra k là nghi m duy nh t c a x3 + x − a. Ta có (1 + x2 )2 (a − x) − a2x −(x2 + x − a)(x2 − ax + 1) g(x) − x = = . a2 + (1 + x2 )2 a2 + (1 + x2)2
- 2.6. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1996 - 1997 59 Vì a > 2 nên phương trình x2 − ax + 1 = 0 có hai nghi m phân bi t, α, β. Gi s α < β, ta th y α < k < β. Th t, v y vì a > 2 suy ra k > 1 do đó a − ak 2 < 0. Thay a = k 3 + k vào ta đư c k 3 + k − ak 2 < 0 hay α < k < β. D u c a g(x) − x là d u c a −(x − k)(x − α)(x − β). Ta có b ng xét d u c a g(x) − x như sau x α k β g(x) − x + 0 − 0 + 0 − Xét dãy un = x2n như trên thì dãy {un } là đơn đi u. Vì limn→∞ un = k nên ∃n0 đ α < un0 < β. N u α < un0 < k thì un0 +1 = g(un0 ) < un0 suy ra {un } là dãy gi m và un0 < k, do đó nó không h i t v k. Tương t n u k < un0 < β thì {un } là dãy tăng v i un0 > k do đó nó không h i t v k. V y ch có th un0 = k. Chú ý r ng n u ∃i: xi = k thì suy ra xi−1 = k. Th t a v y x0 = k = 1+x2 suy ra k(1 + x2 ) = a = k 2 + k suy ra x2 = k 2 suy i−1 i−1 i−1 ra xi−1 = k. Thành th un0 = k, do đó un = k hay x0 = k. Vì a = k 3 + k nên a = x3 + x0. Đi u ph i ch ng minh. 0 3) V i a < 0. Đ t yn = −xn. Khi đó −a |a| yn+1 − xn+1 = 2 = 2 . 1 + xn 1 + yn V y {xn } h i t khi và ch khi {yn } h i t . Vì yn > 0, ∀n ≥ 1 nên theo trên v i |a| ≤ 2 thì {yn } h i t . N u |a| > 2 thì {yn } h i t khi và ch khi |a| = y1 + y1 . Mà t (2.5) ta có |a| = y1 (1 + y0 ) = y1(1 + x2 ) suy ra x0 = y1 , 3 2 0 thành ra |a| = x3 + x0. 0 K t lu n: Dãy {x√ h i t khi và ch khi |a| ≤ 2 ho c |a| = x3 + x0 = √ n} 0 1997 1996 khi x0 = 1996. 2.6 Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1996 - 1997 Bài 1. G i O là tâm m t c u ngo i ti p ABCD. Đi u ki n xác đ nh đi m P là P A2 +a2 +b2 +c2 = P B 2 +b2 +c2 +a2 = P C 2 +c2 +a2 +b2 = P D2 +a2 +b2 +c2 . 1 1 1 1 1
- 60 Chương 2. Đáp án tuy n sinh Tính P A2 + a2 + b2 + c2 = P A2 + DA2 + BA2 + cA2 1 − 2 − 2 − 2 − 2 → − → → → = P A + DA + BA + CA −→ − → −→ − − → −−→ − → −→ − → = (P O + CA)2 + (DO + OA)2 + (BO + OA)2 + (CO + OA)2 −→ − → − − → → −→ −→ − − − → − → −→ = P O2 + 4OA2 + 2P O OA − 2OA2(OD + OB + OC + OA)+ −→ −→ − − −→ −→ 2OA2 + DO 2 + BO 2 + OC 2 − − − → → − → = P O2 + 9R2 + 2P O.OA.OE − − → − → − → = P O2 + 9R2 − 2OA(OE + OP ). − − → − → − → − → −→ − trong đó đ t OE = OA + OA + OC + OD (đi m E xác đ nh). Tính tương t đ i v i P B 2 + b2 + c2 + a2, P C 2 + c2 + a2 + b2, P D2 + a2 + b2 + c2. thì 1 1 1 2 2 ta đư c − − → −→ − → − − − − → → −→ − − − → −→ − → −→ − − − → − → OA(OE + OP ) = OB(OE + OD) = OC(OE + OP ) = OD(OE + OP ) − − → −→ − → − − − − → → − → −→ − − − → − → − → Ta có OA(OE + OP ) = OB(OE + OP hay (OA − OB)(OE + OP ) = 0 − − → − → −→ hay BA(OE 2 + OP ) = 0. T đó ta có − −→ − −→ → (OE + OP ).BA = 0 − −→ − −→ → (OE + OP ).CA = 0 − − → − −→ − → (OE + OP ).DA = 0 − −→ −→ − → −→ − − → hay là OE 2 + OP = 0 hay P O = OE. V y đi m P xác đ nh duy nh t. −→ − → −→ − → − − → → − − → → T P A2 = (P O 2 +OA)2 = P O 2 +OA2 +2P O.OA = P O2 +R2 +2P O.OA
- 2.6. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1996 - 1997 61 thì − − → → − −→ − → −→− P A2 + P B 2 + P C 2 + P D2 = 4P O2 + 4R2 + 2P O(OA + OB + OC + OD) − − → − → = 4P O2 + 4R2 + 2P O.OE = 4P O2 + 4R2 + 2P O2 = 6P O2 + 4R2 ≥ 4R2 . D u đ ng th c x y ra khi và ch khi P O2 = 0 hay P ≡ O. Khi đó ta có a2 + b2 + c2 = b2 + c2 + a2 = c2 + a2 + b2 = a2 + b2 + c2 1 1 1 1 1 1 hay a1 = a, b1 = b, c1 = c, t c là t di n ABCD g n đ u. Bài 2. 1) Gi s k là s sao cho có th thi t l p đư c h thông đư ng bay tho mãn các đi u ki n c a đ bài. Khi đó, t ng s đư ng bay tr c ti p gi a hai thành ph s là 25×k . Suy ra k ≡ 0 (mod 2). 2 Xét m t thành ph A b t kỳ. Theo gi thi t, t A có đư ng bay tr c ti p đên k thành ph khác, g i là A1, A2, ..., Ak . M i thành ph Ai , i = 1, k, l i có đư ng bay tr c ti p đ n k − 1 thành ph khác, (không k A). Hơn n a, ta l i có: N u t B đ n A không có đư ng bay tr c ti p thì t B ph i có đư ng bay tr c ti p đ n ít nh t m t thành ph Ai . T nh ng l p lu n trên suy ra, s thành ph ch có th t i đa là 1 + k + k(k − 1) = k 2 + 1. Như v y 25 ≤ k 2 + 1. K t h p v i k ≡ 0 (mod 2), suy ra k ≥ 6. 2) V i k = 6 ta s ch ra cách thi t l p h th ng đư ng bay tho mãn các đi u ki n c a đ bài. Chia 25 thành ph thành năm nhóm, m i nhóm g m năm thành ph . Các thành ph c a nhóm th i, i = 1, 5, ta kí hi u b i (i) (i) (i) (i) (i) A1 , A2 , A3 , A4 , A5 . V i các thành ph trong cùng nhóm i, ta thi t l p (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) các đư ng bay A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A5 , A5 A1 . Gi a các thành ph thu c hai nhóm i, j b t kỳ, i = j ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, xây d ng các đư ng (i) (j) (i) (j) (i) (j) (i) (j) (i) (j) bay sau A1 A1 , A2 A4 , A3 A2 , A4 A5 , A5 A3 .
- 62 Chương 2. Đáp án tuy n sinh B ng cách xây d ng các đư ng bay như trên, ta có: T thành ph A b t kỳ s có đư ng bay tr c ti p đ n đúng hai thành ph , trong cùng nhóm v i A và có đư ng bay tr c ti p đ n đúng b n thành ph khác nhóm v i A. Do v y t m i thành ph s có đư ng bay tr c ti p đ n đúng sáu thành ph khác. Hơn n a, v i A, B là hai thành ph b t kỳ mà gi a chúng không có đư ng bay tr c ti p ta th y: - N u A, B thu c cùng nhóm thì d th y luôn t n t i m t thành ph trong nhóm đó mà t C có đư ng bay tr c ti p đ n c A và B. - N u A, B không cùng nhóm thì qua hình v trên d dàng ki m tra đư c s t n t i c a thành ph C mà t C có đư ng bay tr c ti p đ n c A và B. 3) V y kmin = 6. Bài 3. Gi s α là s th c sao cho t n t i dãy vô h n các s t nhiên {an } tho mãn các đi u ki n c a đ bài. D th y α = 0 là m t s th c như v y. Do đó, đ tìm s α l n nh t, dư i đây ta ch xét α > 0. T gi thi t v dãy {an } suy ra ai + aj ≥ aα , ∀i, j ∈ N∗ . D n t i i+j 2a2i ≥ aαi+1 ∀i ∈ N 2 (1) N u α = 1 thì (1) tương đương v i m i b t đ ng th c sau 1 1 a 1−α a2i ≥ (2 1−α .a2i+1 )α ∀i ∈ N 1 1 a 1−α a2i ≤ (2 1−α .a2i )1/α ∀i ∈ N hay 1 1 a 1−α a2n ≤ (2 1−α .a2n−1 )1/α ∀i ∈ N∗ 1 1 n 1 n Suy ra 2 1−α .a2n ≤ (2 1−α a1)1/αn, ∀n ∈ N∗. Mà a2n > 19972 nên 2 1−α .19972 < 1 (2 1−α .a1)1/αn , ∀n ∈ N∗ , hay 1 1 1 ln 2 1−α + 2n ln 1997 < n ln(2 1−α .a1) ∀n ∈ N∗. α hay 1 1 1 1 ln 1997 < ln(2 1−α .a1) − ln 2 1−α ∀n ∈ N∗ (2) 2n .αn 2n T (2) suy ra α ≤ 1 , vì n u α > 1 2 2 thì, cho n → ∞, t (2) ta đư c ln 1997 ≤ 0, vô lý. n−1 N u α = 1 thì (1) cho ta a2i+1 ≤ 2a2i , ∀i ∈ N, hay a2n ≤ 2a2 . Suy ra n n a2n ≤ 2n a1, ∀n ∈ N∗ . Mà a2n > 19972 nên 19972 < 2n .a1, ∀n ∈ N∗, hay 2n ln 1997 < n ln 2 + ln a1, ∀n ∈ N∗. B t đ ng th c này tương đương v i n ln a1 ln 1997 < n . ln 2 + n ∀n ∈ N∗ (3) 2 2
- 2.6. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1996 - 1997 63 Cho n → ∞, t (3) ta đư c ln 1997 ≤ 0 (vô lý). Tóm l i, ta ph i có α ≤ 1 . 2 2) V i α = 1 ta s xây d ng dãy {an } tho mãn các đi u ki n c a đ 2 bài. Xét dãy {an } đư c xác đ nh b i a1 = 2 × 1997, a2 = 4 × 19972 − 2 và an+1 = 2 × 1997an − an−1 ∀n ≥ 2. D a vào phương trình đ c trưng và các s h ng ban đ u a1, a2 c a {an } d dàng tìm đư c an = pn + q n và n ∈ N∗ , √ √ trong đó p = 1997 + 19972 − 1 và q = 1997 − 19972 − 1. Suy ra an ∈ N, n ∈ N∗ và p+q n an = pn + q n ≥ 2 = 2 × 1997n > 1997n ∀n ∈ N∗ (4) 2 Ti p theo, ta s ch ng minh un = a[ n ] + a[ n+1 ], ∀n ≥ 2 (5) 2 2 Vì a[ n ] + a[ n+1 ] = n nên (5) tương đương v i 2 2 . a[ n ]−t + a[ n+1 ]+t . a[ n ] + a[ n+1 ] . ∀n ≥ 2, t ∈ {0, 1, ..., n 2 − 1} (6) 2 2 2 2 Do v y, đ ch ng minh (5), ta s ch ng minh (6). V i t = 0 thì (6) hi n nhiên đúng. V i t = 1, ta có: n u n = 2k thì . a[ n ]−1 + a[ n+1 ]+1 = ak−1 + ak+1 = 2 × 1997ak . k + ak ) .(a 2 2 hay . a[ n ]−1 + a[ n+1 ]+1 . a[ n ] + a[ n+1 ] . 2 2 2 2 N u n = 2k + 1 thì a[ n ]−1 + a[ n+1 ]+1 = ak−1 + ak+2 = 2 × 1997ak − ak+1 + 2 × 1997ak+1 − ak 2 2 . = (2 × 1997 − 1)(ak+1 + ak ). k+1 + ak ) .(a T đây suy ra (6) đúng. n Gi s ta đã có (6) đ n t mà 1 ≤ t ≤ 2 − 1. Ta s ch ng minh (6) cũng đúng v i t := t + 1. Th t v y, ta có a[ n ]−(t+1) + a[ n+1 ]+(t+1) = 2 × 1997a[ n ]−t − a[ n ]−t+1 + 2 2 2 2 + 2 × 1997a[ n+1 ]+t − a[ n+1 ]+t−1 2 2 = 2 × 1997 a[ n ]−t + a[ n+1 ]+t − a[ n ]−(t−1) + a[ n+1 ]+(t−1) 2 2 2 2
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Đề thi và đáp án cuộc thi Giải toán trên máy tính Casio cấp trường
8 p | 3153 | 949
-
20 Đề thi và đáp án thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh
16 p | 301 | 199
-
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN THI HSG TỈNH THÁI BÌNH 2009 - 2010
7 p | 790 | 179
-
Đề thi và đáp án học kì 1 môn toán lớp 11 TRƯỜNG THPT BÌNH ĐIỀN
6 p | 550 | 126
-
Đề thi và đáp án học kì 1 môn toán lớp 7 Trường THCS&THPT Tố Hữu
4 p | 1809 | 119
-
KÌ THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO TRƯỜNG PTNK 2008
5 p | 376 | 86
-
Đề thi và đáp án học kì 1 môn toán lớp 11 THCS&THPT HÀ
5 p | 139 | 45
-
Đề thi và đáp án Nghề phổ thông môn Kĩ thuật làm vườn (phần lý thuyết) - Sở GD & ĐT Tỉnh Đắc Nông (2010-2011)
7 p | 335 | 36
-
Đề thi và đáp án học kì 1 môn toán lớp 11Trường THPT Thừa Lưu
7 p | 136 | 31
-
Đề thi và đáp án thi học kì II môn Vật lý lớp 9 năm học 2012 - 2013 - Phòng GD&ĐT Đức Thọ
3 p | 140 | 29
-
Đề thi và đáp án thi học kì II môn Vật lý lớp 9 năm học 2011 - 2012 - Trường THCS Viên An Đông
4 p | 78 | 16
-
Đề thi và đáp án học kì 1 môn toán lớp 11CBTRƯỜNG THCS VÀ THPT TỐ HỮU
8 p | 89 | 15
-
Đề thi và đáp án học kì 1 môn toán lớp 11NCTRƯỜNG THCS & THPT TỐ HỮU
5 p | 108 | 14
-
Đề thi và đáp án thi học kì II môn Vật lý lớp 9 năm học 2012 - 2013
3 p | 59 | 13
-
Đề thi và đáp án thi giáo viên giỏi (giáo viên tiểu học)
13 p | 65 | 7
-
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN THI THỬ TN THPT Môn thi: Tiếng Anh
4 p | 46 | 6
-
Bộ đề thi và đáp án THPT quốc gia năm 2015
31 p | 20 | 1

markdown:
# Đề thi và đáp án thi chọn đội tuyển toán P2
Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45
lượt xem 32
download
![](http://image1.tailieu.vn/document/thumbnail/2010/20100716/trungtran1/80x100/de_thi_va_dap_an_chon_dt_toan_p2_8919.jpg)
##
Đề thi và đáp án thi chọn đội tuyển toán P2
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](http://static1.tailieu.vn/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
Tham khảo tài liệu 'đề thi và đáp án thi chọn đội tuyển toán p2', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Đề thi và đáp án thi chọn đội tuyển toán P2
- 44 Chương 2. Đáp án tuy n sinh √ 2 √ Ta chú ý r ng √ = √1 = 2 − 1 và 2+ 2 2+1 √ √ √ √ 2 4+3 2 4 2+6 4+3 2 1 √ . √ = √ =1⇒ √ =√ . 2+ 2 2+ 2 6+4 2 2+ 2 2−1 √ Ta đ t t = ( 2 − 1)u thì (2) tr thành √ √ √ f ( 2 − 1)u+1 + f ( 2 − 1)u−1 = 2f ( 2 − 1)u ∀u (3) √ L i đ t f ( 2 − 1)u = g(u) thì (3) tr thành g(u + 1) + g(u − 1) = 2g(u) ∀u (4) ⇔g(u + 1) − g(u) = g(u) − g(u − 1) ∀u Đ t g(u + 1) − g(u) = h(u) thì h(u + 1) = h(u) ∀u. B ng quy n p d th y g(u + n) = nh(u) + g(u) Vy h(u) + k(u) v i 0 u0 trong đó, g(u) đư c xác đ nh theo (5). √ √ c) V i x < 0 ta đ t −(2 + 2)x = t = ( 2 − 1)u ta có f (x) = g log√2−1 |x| v i x
- 2.4. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1994 - 1995 45 Xét phân ho ch A= A(n1 ,n2 ,...,n1994 ) đây +) H p l y theo t t c các b có th t các s t nhiên (n1 , n2 , . . . , n1994) tho mãn n1 + 2n2 + · · · + 1994n1994 = 1994. +) A(n1 ,n2 ,...,n1994 ) là t p g m t t c các b có th t (a1, a2, . . . , a1993+1994) ∈ A và tho mãn đi u ki n là trong m i b có đúng nk nhóm k ∀k = 1, 1994. (Nhóm k đư c đ nh nghĩa là nhóm g m đúng k s 1 đ ng liên ti p trong b , nói khác đi là nhóm có 1 trong các d ng sau (1 . . . 1 0; 0 1 . . . 1 0; 0 1 . . . 1)). ks 1 ks 1 ks 1 Có 1993 CardA = C1993+1994 1994! CardA(n1 ,n2 ,...,n1994 ) = n1 !n2! . . . n1994!(1994 − n1 − · · · − n1994)! 1994! = n1 !n2! . . . n1994!(n2 + 2n3 + · · · + 1993n1994 )! Mà CardA = CardA(n1 ,n2 ,...,n1994 ) . Nên suy ra: 1 T = C 1993 1994! 1993+1994 . 2.4 Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1994 - 1995 Bài 1. Cho tam giác ABC v i m i đi m M, g i kho ng cách đ i s t M đ n đư ng th ng BC là ± (kho ng cách thông thư ng t M đ n BC), l y d u + hay − tuỳ theo M cùng phía hay khác phía v i A đ i v i BC (t t nhiên M thu c BC thì kho ng cách đó b ng không). Tương t cho kho ng cách đ i s t M đ n CA, AB. 1) Xét các đư ng tròn (AB1C1), (AB2 C2) như trong đ bài. Hãy ch ng minh tr c đ ng phương c a c p đư ng tròn đó là qu tích các đi m M mà các kho ng cách đ i s t M đ n AB và đ n CA t l v i γ vàβ.
- 46 Chương 2. Đáp án tuy n sinh − − → → Th c v y, l y h to đ vuông góc Oxy mà O ≡ A, B ∈ Ox+ , (AB, AC) = −→ −→ ϕ, 0 < ϕ < 180◦ . Khi đó AB = (1, 0), CA = (− cos ϕ, sin ϕ). G i c b B1 = (b1 cot ϕ, b1), B = (b cot ϕ, b ), 2 2 2 , c1 , c2 = 0, c1 = c2 , b1 , b2 = 0, b1 = b2 C1 = (c1 , 0), C2 (c2 , 0) −− −→ − → thì B1 B2 = β CA hay ((b2 − b1 ) cot ϕ, b2 − b1) = β(− cos ϕ, − sin ϕ) suy b ra b2 − b1 = −β sin ϕ. −−−→ −→ Ta cũng có C1 C2 = γ AB tương đương v i (c2 − c1, 0) = γ(1, 0) hay c c2 − c1 = γ. Đư ng tròn (AB1C1 ) đia qua A, C1 nên x2 + y 2 − c1 x − λ1 y = 0, nó đi qua B1 nên λ1 = b1 −c1sin2 ϕ cos ϕ , đư ng tròn (AB2 C2): x2 + y 2 − c2 x − λ2y = 0, sin ϕ λ2 = b2 −c2 sin ϕ cos ϕ . β Tr c đ ng phương hai đư ng tròn đó là (c2 − c1 )x + (λ2 − λ1 )y = 0 β + γ cos ϕ ⇔ γx − y=0 sin ϕ hay y x sin ϕ − y cos ϕ = γ β Đ ý r ng y là kho ng cách đ i s t M(x, y) đ n AB còn x sin ϕ − y cos ϕ là kho ng cách đ i s t M(x, y) đ n CA, ta suy ra đi u ph i ch ng minh. 2) V i m i đi m M, kí hi u X, Y, Z là kho ng cách đ i s t M đ n BC, CA, AB thì d th y aX + bY + cZ = 2S, (S là di n tích tam giác ABC) và ngư c l i (X, Y, Z) mà aX + bY + cZ = 2S xác đ nh m t đi m M duy nh t có các kho ng cách đ i s nói trên là X, Y, Z. Theo ph n 1), phương trình dA là Y = Z , c a dB là X = Z , c a dC β γ α γ là Z = Y . Đi m chung c a dA , dB , dC (n u có) là đi m M(X, Y, Z) mà α β
- 2.4. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1994 - 1995 47 (X, Y, Z) là nghi m c a h aX + bY + cZ = 2S X α =Y =Z β γ hay X Y Z 2S = = = α β γ aα + bβ + cγ h đó có nghi m (và ch có m t nghi m) khi và ch khi aα + bβ + cγ = 0. Chú ý: N u (AB1 C1), (AB2 C2) c t nhau t i A = A, có th ch ng minh ph n 1) (trong trư ng h p này) nh phép đ ng d ng thu n tâm A , bi n B1 thành C1, bi n B2 thành C2 và đ hoàn thi n 1) còn c n xét (AB1C1 ), (AB2C2 ) ti p xúc nhau. Bài 2. G i A là t p các giá tr n (n ≥ 3) đ đa th c Pn (x) kh quy. V i n ∈ A ta có Pn (x) = f (x).g(x) (*) trong đó f (x) = am xm + · · · + a1x + a0 g(x) = bs xs + · · · + b1 x + b0 Pn (x) = xn+1 + kxn − 870x2 + 1945x + 1995 m ≥ 1, s ≥ 1, m + s = n + 1 Ta s ch ng minh m = 1 ho c s = 1. Gi s có m ≥ 2 và s ≥ 2 suy ra m < n và s < n. Vì a0 b0 = 1995 chia h t cho 5 và không chia h t cho 25 nên ch có m t trong hai s a0, b0 là chia . h t cho 5, ch ng h n a0 . và b0 không chia h t cho 5. Trong dãy a0, a1, ..., am .5 g i r là ch s nh nh t đ ar không chia h t cho 5, (1 ≤ r ≤ m < n, chú ý t n t i r vì am b ng ±1). T (??) suy ra cr = ar b0 + ar−1 b1 + · · · + a0br . Do cách ch n r thì a0, a1, ..., ar−1 đ u chia h t cho 5, cr là h s c a xr trong . Pn (x) cũng chia h t cho 5, suy ra ar b0. đi u này mâu thu n v i ar , b0 đ u .5, không chia h t cho 5. V y gi s m ≥ 2 và s ≥ 2 là sai, suy ra ho c m = 1 ho c s = 1, lúc đó Pn (x) có nghi m nguyên v i ∀n ∈ A. Xét các trư ng h p sau a) N u |xn | ≥ 2 ∀n ∈ A. Khi đó t xn (x + k) = 870x2 − 1945x − 1995 ta có |870x2 − 1945x − 1995| |xn + k| = |xn |n
- 48 Chương 2. Đáp án tuy n sinh Vì A vô h n nên v i n ∈ A đ l n thì |xn + k| < 1 suy ra xn + k = 0 suy ra . . 870x2 − 1945xn − 1945 = 0 hay 174x2 − 389xn − 399 = 0. Vì 399. và 197. n n .3 .3 . nên xn . Đ t xn = 3y, ta có 522y 2 − 389y − 133 = 0 suy ra k = −3. .3. b) N u |xn | < 2, ∀n ∈ A thì xn ch có th là +1, −1. V i xn = 1 thì Pn (1) = 0 suy ra k = −3071. V i xn = −1 thì Pn (−1) = 0. T đó v i n ch n thì k = 821, còn v i n l thì k = −819. Th l i, th y n u k = −3, k = −3071 thì Pn (x) kh quy ∀n ≥ 3. N u k = 821 thì Pn (x) kh quy v i ∀n ch n. N u k = −819 thì Pn (x) kh quy v i ∀n l . Bài 3. Có a3 + b3 ≥ 2(ab)3/2 suy ra (a3 + b3)n ≥ 2n (ab)3n/2 ≥ 4(ab)3n/2 vì n ≥ 2. Vì v y, t (a3 + b3 )n = 4(ab)1995 ta đư c 3n ≤ 3990. Đ t (a, b) = d ta có a = da1 , b = db1 và (a1, b1 ) = 1. Khi đó, t (??) có d3n (a3 + b3 )n = 4d2990(a1 b1)1995 hay 1 1 (a3 + b3)n = 4d3990−3n (a1b1 )1995. 1 1 . . Suy ra (a3 + b3 )n . 1b1)1995 suy ra (a3 + b3)n . 1b1 )n (do n < 1995 vì 3n ≤ 1 1 .(a 1 1 .(a . 3990) suy ra a3 + b3. 1b1 . Do v y 1 1.a a3 . . a .. 1 .b1 1 .b1 ⇒ b3 . . b .. 1 .a1 1 .a1 (do (a1, b1) = 1) nên a1 = b1 = 1, l i do (a1, b1) = 1) suy ra a = b = d. Khi đó t (??) có 2n−2 = d3990−3n . Vì d > 1 nên suy ra d có d ng 2k v i k ≥ 1, và do đó n − 2 = k(3990 − 3n) hay n = 3990k+2 , và do đó 3k+1 1328 ∗ . . + 1. Do 1328 = 24 .83 và n = 1330 − 3k+1 . Vì n ∈ N nên 1328.3k 1 (mod 3) n u i ch n 1 (mod 3) n u i ch n 2i ≡ , 2i .83 ≡ 2 (mod 3) n u i l 2 (mod 3) n u i l nên suy ra 3k + 1 ∈ {22 , 24 , 2 × 83, 23 × 83}. V i 3k + 1 = 4 có k = 1 suy ra a = b = 2 và n = 998. V i 3k + 1 = 16 có k = 5 suy ra a = b = 25 và n = 1247. V i 3k + 1 = 166 có k = 55 suy ra a = b = 255 và n = 1322. V i 3k + 1 = 664 có k = 221 suy ra a = b = 2221 và n = 1328.
- 2.4. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1994 - 1995 49 Bài 4. Xét graph G có t p đ nh là t p g m n đi m đã cho và t p c nh là t p g m 1 (n2 − 3n + 4) đo n th ng đã cho. T gi thi t c a bài toán ta 2 th y trong G t n t i m t c nh mà sau khi b nó đi thì đư c G không liên thông. Gi s a và b là hai đ nh không liên thông v i nhau trong G . G i Va và Vb l n lư t là t p g m t t c các đ nh c a G mà liên thông v i a và b. Gi s |Va | = n1 và |Vb | = n2 . D th y, G có 1 (n2 − 3n + 2) c nh; n1 ≥ 1, n2 ≥ 1, n1 + n2 ≤ n và 2 1 2 1 1 1 (n − 3n + 2) ≤ n1 (n1 − 1) + n2 (n2 − 1) + (n − n1 − n2)(n − n1 − n2 − 1) 2 2 2 2 hay (n1 − 1)(1 − n2 ) + (n − n1 − n2 )(1 − n1 − n2 ) ≥ 0. Do đó (n1 − 1)(1 − n2 ) = 0 (n − n1 − n2 )(n1 + n2 − 1) = 0 V y n1 = n − 1, n2 = 1 ho c n2 = n − 1 và n1 = 1. T đó suy ra G có m t đ nh cô l p và (n − 1) đ nh mà b c c a m i đ nh b ng n − 2. Do đó G có m t đ nh b c 1, (n − 2) đ nh mà b c c a m i đ nh b ng n − 2 và m t đ nh có b c b ng n − 1. B i th chu trình đơn có đ dài l n nh t trong G là chu trình đơn đ dài n − 1 n u n ≥ 4, 0 n u n = 2ho c n = 3. Vy n−1 n u n≥4 kmax = 0 n u n = 2, n = 3 Bài 5. Gi s n + 1 = 2f (n) (1 + 2α), p + 1 = 2f (p)(1 + 2β) v i α, β ≥ 0. C p s (n, p) là c p s đ p khi và ch khi 2f (n) > p hay 2f (n) ≥ p + 1 (1) T đó ta có n + 1 = 2f (n) (1 + 2α) ≥ p + 1 suy ra n≥p (2) T (1) ta có 2f (n) ≥ p + 1 = 2f (p)(1 + 2β) suy ra 2f (n) ≥ 2f (p), thành th f (n) ≥ f (p). T đó . (n + 1). f (p) .2 (3) Ta c n tìm b ba s (n, p, q) sao cho ba c p s (n, p) (p, q) và (n+p+q, n) đ u là các c p s đ p. Gi s n + p + q + 1 = 2f (n+p+q) (1 + 2γ).
- 50 Chương 2. Đáp án tuy n sinh Theo (2) vì (n, p) và (p, q) là c p s đ p nên n + p + q + 1 ≤ 3n + 1. Vì (n + p + q, n) là c p s đ p nên 2f (n+p+q) ≥ n + 1 theo (1). K t h p các đi u ki n trên có 2f (n+p+q) (1 +2γ) = n + p + q +1 ≤ 3n + 1 ≤ 3(2f (n+p+q) − 1) +1 < 3.2f (n+p+q) suy ra 1 + 2γ < 3, và do đó 1 + 2γ = 1 hay n + p + q + 1 = 2f (n+p+q) (4) M t khác, 2f (n+p+q) ≥ n + 1 = 2f (n) (1 + 2α) suy ra f (n + p + q) ≥ f (n) (5) T 2f (n+p+q) = n + p + q + 1 = (n + 1) + (p + 1) + (q − 1) theo (3) và (5) . . . ta có (n + 1). f (p) và (p + 1). f (p) suy ra (q − 1). f (p), nhưng t c p s đ p .2 .2 .2 (p, q) có 2f (p) > q nên ch x y ra hai trư ng h p ho c q = 0 và f (p) = 0, ho c q = 1 và f (p) > 0. Xét q = 0 và f (p) = 0, t (4) có n + p + q + 1 = n + p + 1 = 2f (n+p+q) , đ ng th i n + p + 1 = (n + 1) + p = 2f (n) (1 + 2α) + p. . T (5) và 2f (n) (1 + 2α) + p suy ra p. f (n) mà 2f (n) > p nên p = 0. T .2 c p s đ p (n + p + q, n) = (n, n) suy ra n + 1 ≥ 2f (n) ≥ n + 1 suy ra n − 1 = 2f (n) = 2m . T l i, ta th y b ba s (n, p, q) = (2m − 1, 0, 0) th a mãn v i m ∈ Z và m ≥ 0. Xét q = 1 và f (p) > 0. T (4) ta có 2f (n+p+q) = n + p + q + 1 = (n + 1) + (p+1) = 2f (n) (1+2α)+2f (p) (1+2β). Chú ý r ng f (n+p+q) ≥ f (n) ≥ f (p) . suy ra 2f (p). f (n) nên f (p) = f (m). .2 T 2f (p) = 2f (n) ≥ p + 1 = 2f (p)(1 + 2β) suy ra 1 + 2β = 1 suy ra p+1 = 2f (p) . Ta có 2f (n+p+q) = n+p+q +1 = (n+1)(+(p+a) = n+1+2f (n) , suy ra n + 1 = 2f (n+p+q) − 2f (n) = 2k − 2m . Th l i ta th y, b ba s (n, p, q) = (2k − 2m − 1, 2m − 1, 1) th a mãn v i k, m ∈ Z và k > m ≥ 1. Bài 6. 1) Ta tính đ o hàm 2x(x3 − 3x + 3) f (x) = . 3(x2 − 1)2 D dàng ch ng minh đư c x3 − 3x + 3 > 0 ∀x > 1. T đó suy ra f (x) > 0 ∀x > 1 và do đó hàm f (x) đ ng bi n trên (1, +∞). Hơn n a l i có lim f (x) = −∞ và lim f (x) = +∞. N u suy ra f (x) v i t p xác đ nh x→1 + x→+∞ (1, +∞) s có t p giá tr là (−∞, +∞). T các k t qu trên, theo đ nh lí v hàm ngư c, ta suy ra t n t i hàm g(x) liên t c trên R, có t p giá tr là (1, +∞), và f (g(x)) = x, ∀x ∈ R.
- 2.5. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1995 - 1996 51 ti p theo, ta s ch ng minh g(x) > x, ∀x ∈ R. Th t v y, v i x ≤ 1 thì 3 g(x) > 1 ≥ x. V i x > 1 thì do x − f (x) = x −3x+3 nên x > f (x) ∀x > 1, 3(x2 −1) hay g(x) > x, (do tính đ ng bi n c a f (x) trên (1, +∞). 2) Kí hi u gn (x) = g(g(...g(x))...). Ta s tìm a dư i d ng a = gn (x0 ) v i x0 ∈ R. Khi đó a0 = gn (x0) a1 = f (x0 ) = gn−1 (x0 ) > 1 a2 = f (a1 ) = gn−2 (x0) > 1 ········· an−1 = g(x0) > 1 an = x0 V i x0 = ±1 thì an+1 f (x0 ). Do g(x) > x, ∀x nên a0 > a1 > a2 > · · · an . Suy ra n u ch n x0 sao cho x0 = ±1 và f (x0 ) = gn (x0) thì dãy {an } s là dãy tu n hoàn v i chu kỳ dương nh nh t b ng n + 1. Bây gi ta s ch ng minh t n t i x0 th a mãn các đi u ki n nói trên. Th t v y, xét hàm h(x) = f (x) − gn (x) trên (−1, 0]. Ta có h(0) = f (0) − gn (0) = 1 − gn (0) < 0, và limx→−1+ h(x) = +∞ (do gn (−1) là s xác đ nh). Hơn n a, do h(x) liên t c trên (−1, 0) c a phương trình h(x) = 0, ta có a > 1 và dãy {an } là dãy tu n hoàn v i chu kỳ dương bé nh t b ng 1995. 2.5 Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1995 - 1996 Bài 1. G i 3n đi m đã cho là A1, A2 , ..., A3n. Hi n nhiên trong m t ph ng ch a 3n đi m đó, ta có th d ng đư c đư ng th ng ∆ sao cho Ai ∈ ∆, / i = 1, 3n, A1, A2 , ..., A3n n m v cùng m t phía c a ∆; và ∆ không song song v i Ai Aj (∀inot = j ∈ {1, 2, ..., 3n}). Kí hi u dAi là kho ng cách t đi m Ai đ n ∆. Khi đó dAi = dAj (∀i = j ∈ {1, 2, ..., 3n}). Không m t tính t ng quát, gi s dA1 < dA2 < · · · < dA3n (1) Qua m i đi m A3i+1, i = 0, ..., n − 1, k đư ng th ng ∆i ∆ d dàng suy ra n tam giác A3j+1 A3j+2A3j+3 , i = 0, ..., n − 1 đôi m t r i nhau và m i đi m Ai , i = 1, 3n) là đ nh có đúng m t tam giác trong s n tam giác đó. Bây gi ta s ch ng minh t ng S di n tích c a n tam giác nói trên tho mãn S < 1 . Th t v y, xét A3i+1A3i+2 A3i+3, i ∈ {0, 1, ..., n − 1}) và g i Si 2 là di n tích c a nó. D th y có th d ng đư c hai đư ng th ng a, b cùng vuông góc v i ∆ và sao cho
- 52 Chương 2. Đáp án tuy n sinh 1) a đi qua đúng m t trong ba đi m A3i+1 , A3i+2, A3i+3 còn b đi qua ít nh t m t trong hai đi m còn l i. 2) c ba đi m A3i+1, A3i+2 , A3i+3 cùng n m trong d i ph ng (k c hai biên) b gi i h n b i a và b. Th thì n u g i {A} = a ∩ ∆i , {B} = a ∩ ∆i+1 , {C} = b ∩ ∆i+2 , {D} = b ∩ ∆i ta s có hình ch nh t ABCD ch a toàn b ∆A3i+1A3i+2A3i+3 . T đó Si < 1 SABCD = 1 AD.CD < 1 di 2 2 2 v i di là kho ng cách gi a hai đư ng th ng ∆i và ∆i+1 . T đó suy ra n−1 n−1 1 S= Si < 2 di ≤ 1 A1 A3n ≤ 1 . 2 2 i=0 i=0 (vì A1 A3n ≤ 1). Bài toán đư c ch ng minh. [n ] 2i+1 Bài 2. T an = 2 i=0 n 3i suy ra công th c t ng quát √ √ n (1 + 3)n − (1 − 3) an = √ . 2 3 Xét n ch n và n l . 1) V i n = 2k, ta có an = 2k uk v i √ √ (2 + 3)k − (2 − 3)k uk = √ (1) 2 3 Dãy {uk } tho mãn uk+2 = 4uk+1 (2) v i u1 = 1, u2 = 4 . G i g(k) là s l ∈ N l n nh t đ uk . l . .2 k T an = 2 un suy ra f (2k ) = k + g(h) (3) T (2) th y k l , suy ra uk l . V y k l thì g(k) = 0 (4) nghĩa là f (2k) = k n u k l (4 ) Xét k = 2m ch n thì √ √ m u2m = um .dm v i dm = (2 + 3)m + (2 − 3) (5)
- 2.5. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1995 - 1996 53 Dãy {dm } tho mãn dm+2 = 4dm+1 − dm v i d1 = 4, d2 = 14 (6) T (6) và vì dm ch n v i m i m nên suy ra dm+2 ≡ −dm (mod 8). N u m l , thì dm ≡ 4 (mod 8) (7) N u m ch n, thì dm ≡ 6 (mod 8) T (7) và u2m = um .dm suy ra g(m) + 2 n u m l g(2m) = (8) g(m) + 1 n u m ch n V i k = 2s h, h l thì t (8) và g(k) = 0 suy ra g(2s h) = g(2s−1 h) + 1 = · · · = g(2h) + s − 1 = g(h) + 2 + s − 1 = s + 1 (9) T (3), (9), và do (4 ta có k v ikl f (2k) = (10) k+s+1 v i k = 2s h, s ≥ 1, k l 2) V i n = 2k + 1. Ta th y dãy {an } tho mãn an+2 = 2an+1 + 2an , v i a1 = 1, a2 = 2. (11) Ta ch ng minh f (2k + 1) = k (12) b ng quy n p v i k = 0, 1 d th y đúng. Gi s đúng v i k. T (10) có f (2k) ≥ k và theo gi thi t quy n p f (2k + 1) = k nên a2(k+1)+1 = 2a2(k+1) + 2a2k+1 = 2.2k+1 .n + 2.2k N = 2k+1 (2M + N ) v i N l theo quy n p. V y f (2(k + 1) + 1) = k + 1 đúng v i k + 1. 3) Tìm m i n đ f (n) = 1996 N u 2k + 1, theo f (2k + 1) = k thì f (n) = f (2k + 1) = k = 1996 suy ra n = 3993. N u n = 2s+1 h v i h l . V i s = 0 suy ra f (2k) = k l không tho mãn v i s ≥ 1 suy ra f (2s+1 h) = 2s h + s + 1 = 1996 suy ra 2s h + s = 1995 suy ra h l và 1 ≤ s ≤ 9. Th th y s = 1, n = 3998 và s = 3, n = 3984 v i s = 5, 7, 9 không có nghi m. Đáp s n = 3984, n = 3998, n = 3993.
- 54 Chương 2. Đáp án tuy n sinh Bài 3. Đ t f (a, b, c) = (a + b + c)4 + a4 + b4 + c4 − 12abc(a + b + c) − 4 (a4 + b4 + c4 ) 7 = (a + b + c)4 + 3 (a4 + b4 + c4 ) − 12abc(a + b + c) 7 Vì f (a, b, c) = f (−a, −b, −c) nên ch c n xét f (a, b, c) t i a, b, c mà a+b+c ≥ 0. Khi đó ch có th x y ra m t trong ba trư ng h p sau N u a, b, c ≥ 0. Lúc này ta có a + b + c ≥ 3(abc)1/3 suy ra (a + b + c)4 ≥ 27abc(a + b + c) suy ra f (a, b, c) ≥ 15abc(a + b + c) ≥ 0 và f (a, b, c) = 0 khi và ch khi a = b = c = 0. N u có đúng m t trong ba s a, b, c là s âm. Khi đó có f (a, b, c) > 0. N u có đúng hai trong ba s a, b, c là s âm. Không gi m tính t ng quát, coi a, b, < 0 t a + b + c ≥ 0 suy ra c ≥ −a(+b) > 0. Đ t a = −α, b = −β v i α, β > 0, th thì c ≥ α + β và f (a, b, c) = f (−α, −β, c) = {c − (α + β)}4 + 3 (c4 + α4 + β 4) − 12αβc{c − (α + β)}. 7 Vì α, β > 0 nên α4 + β 4 ≥ 2( α+β )4 và 0 < α < β ≤ ( α+β )2 . Do đó ta có 2 2 đánh giá α+β 4 α+β 2 f (a, b, c) ≥ {c − (α + β)}4 + 3 {c4 + 2( 7 ) } − 12c( ) {c − (α + β)} 2 2 = (c − 2x)4 + 3 (c4 + 2x4 ) − 12cx2 (c − 2x) 7 trong đó x = α+β , x > 0. 2 Đ t c = tx, t c ≥ 2x suy ra t ≥ 2. V y ta ti p t c đánh giá f (a, b, c) f (a, b, c) ≥ x4{(t − 2)4 + 3 (t4 + 2) − 12t(t − 2)} 7 = x4{(t − 2)4 + (t4 + 2) − 12t(t − 2) − 4 (t4 + 2)} 7 = x {2(t − 1) + 16 − 7 (t + 2)} = 2x {(t − 1)4 − 2 t4 + 4 4 4 4 4 7 52 7 } Xét g(t) = (t−1)4 − 2 t4 + 52 trên [2, +∞). Ta có g (t) = 4{(t−1)3 − 2 t3}. D 7 7 7 1 2 th y r ng v i t ≥ 2 thì g (t) > 0 hay t > 1−t0 v i t0 = 7 , g (t) = 0 khi và 1 1 1 ch khi t = 1−t0 , g (t) < 0 khi và ch khi 2 ≤ t ≤ 1−t0 . Do đó g(t) ≥ g( 1−t0 ) v i t ≥ 2. Ta có 1 2 3 2 1 4 1 4 g( )= 7 −2 7 + 52 . 7 1 − t0 7 1 − t0 1 − t0
- 2.5. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1995 - 1996 55 3 2 Do t0 = 7 nên 1 2 1 4 2 1 g = 7 26 − (1 − t0( ) = 7 26 − 1 − t0 1 − t0 (1 − t0 )3 1 2 = 7 26 − . (1 − 3 2 )3 7 1 √ 2 4 . Th t v y, b t đ ng th c này tương Ta ch ng minh r ng 26 > 3 (1− 7 ) đương v i m i b t đ ng th c sau 2 33 1 1− − >0 7 26 2 1 3 1 1− − −3 >0 7 26 91 41 1 > √ 182 3 91 68921 > 66428. 1 V y nên g(t) ≥ g( 1−t0 ) > 0 ∀t ≥ 2. Tóm l i f (a, b, c) ≥ 0 ∀a, b, c ∈ R và f (0, 0, 0) = 0 nên mina,b,c∈R f (a, b, c) = 0 Bài 4. Chú ý r ng phép đ i x ng qua đư ng phân giác AB c a góc đ nh −→ − → − − −→ − −→ − hương (AH, AH ) bi n AH thành AH , còn phép đ i x ng qua đư ng phân −→ − → − − −→ − −→− −→ − giác ngoài AC c a góc (AH, AH ) thì bi n AH thành AH = −AH . Hình 1 1) Gi s SAB (M) = M1 , SBC (M1 ) = M2 , SCA (M2 ) = M . Đ t f = SCA .SBC .SAB . G i H, K, I l n lư t là hình chi u c a A, B, C xu ng c nh đ i di n. G i đư ng th ng IK là ∆. Ta s ch ra f : ∆ → ∆ và b o t n hư ng c a ∆.
- 56 Chương 2. Đáp án tuy n sinh a) Khi ABC không vuông thì H, K, I phân bi t, do đó AB, BC, CA là phân giác ngoài c a HKI. Khi có m t góc tù, ch ng h n ∠A > 90◦ thì BC là phân giác ngoài, còn CA, AB là phân giác trong HKI. The chú ý trên, d th y f : → và b o t n hư ng c a ∆. Hình 2 ◦ b) Khi C = H = K = 90 (C ≡ K) thì ∆ là đư ng th ng CI. c) Khi B = H = I = 90◦ (B ≡ I) thì ∆ là đư ng th ng BK. d) Khi A = K = I = 90◦ (A ≡ I ≡ K) thì ∆ là đư ng th ng đ i x ng c a đư ng th ng AH qua AB (hay qua AC) (Hình 1) 2) f | ∆ : ∆ → ∆ b o t n kho ng cách và hư ng nên f | ∆ là phép t nh ti n theo véctơ − nào đó (− →v → ∆) (xem hình 2: M, N ∈ ∆, M = v −− −→ − → −− f (M), N = f (N ) thì MM = N N = →) và hình 1: H ∈ ∆, H = f (H ) v −−−→ − →). thì H H = v V i M tuỳ ý, g i J là hình chi u vuông góc c a M xu ng ∆ thì f (J ) là −→ → hình chi u vuông góc c a f (M) xu ng ∆ và JJ = − . Do f đ o hư ng nên v M và f (M) = M n m khác phía đ i v i ∆ nên MM ≥ JJ = |− |, và n u → v M ∈ ∆ thì MM > JJ . V y t p h p các đi m M đ MM đ t giác tr bé / nh t là đư ng th ng ∆. 3) a) Khi l y liên ti p phép đ i x ng qua các tr c là hoán v vòng quanh ba c nh ABC đư c SAB ◦ SCA ◦ SBC = SAB ◦ f ◦ SAB SBC ◦ SAB ◦ SCA = SCA ◦ f ◦ SCA đ u có d ng Sx ◦ f ◦ Sx = g (Sx là phép đ i x ng qua tr c x). Đ t ∆ = Sx (∆) thì v i M0 ∈ ∆ kho ng cách −1 ρ(M0 , g(M0 )) = ρ(M0 , Sx ◦ f ◦ Sx (M0 )) = ρ(Sx (M0 ), f(Sx (M0)) = |− | ≤ ρ(M, f (M)) −1 −1 → v = ρ(M, Sx gSx (M)) = ρ(Sx (M), g(Sx (M))) V y kho ng cách ng n nh t đ i v i g = Sx ◦ f ◦ Sx cũng là |− |. → v
- 2.5. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1995 - 1996 57 b) Khi l y liên ti p phép đ i x ng qua các tr c theo th t sau: SAB .SBC , SCA = f −1 thì kho ng cách bé nh t c a MM cũng như đ i v i f đã xét trên. L y hoán v vòng quanh các tr c đ i x ng trên ta đư c SCA ◦ SAB ◦ SBC , SBC ◦ SCA ◦ SAB đ u có d ng Sx ◦ f −1 ◦ Sx = g nên theo a) kho ng cách ng n nh t đ i v i g cũng là − . → v Chú ý: Có th ch ng minh 1), 2): f là phép đ i x ng trư t, tr c ∆ đi qua trung đi m Mf (M) (M tuỳ ý) và xác đ nh đư c ∆ (m t cách hình h c) đ n k t qu như trên, véctơ trư t là − . → v Có th xét c th các trư ng h p tam giác ABC tương t trên đây, tính đư c kho ng cách bé nh t nói trên là |− | = a cos A+b cos B +c cos C, ch ng →v h n khi ABC có ba góc nh n thì |− | kà chu vi tam giác HIK nên |− | có → v →v → − | = IH + HK + KI. tính ch t đ i x ng đ i v i a, b, c và ∠A, ∠B, ∠C : | v Bài 5. Gi s s h c sinh đư c m i là 65 em. Ta đ t tương ng m i em v i m t đi m trên m t ph ng và hai em đư c đ t tương ng v i hai đi m khác nhau. V i m i c p, hai em chưa quen nhau ta n i hai đi m tương ng v i hai em đó b i m t đo n th ng. Khi đó ta đư c m t Graph đơn, vô hương, có 65 đ nh, b c m i đ nh không nh hơn 56 và v i hai đ nh k nhau b t kỳ luôn t n t i ít nh t m t đi m không k v i c hai đ nh y, có 65 đ nh và tho mãn 1) B c c a m i đ nh không l n hơn 8 2) V i hai đ nh không k nhau, t n t i ít nh t m t đ nh k v i c hai đ nh y. Xét G: xét đ nh A b t kỳ c a G và g i A1 , A2, ..., Ak (k ≤ 8) là t t c các đ nh k v i A. N u k ≤ 7 thì s có t i đa 72 = 49 đ nh mà m i đ nh k v i ít nh t m t trong các đ nh A1, A2, ..., Ak và không k v i A. Suy ra s đ nh c a G không vư t quá 49 + 7 + 9 = 57 < 65 trái v i gi thi t. V y ph i có k = 8, suy ra m i đ nh c a G có b c b ng 8. T đây, k t h p v i 2), ta đư c
- 58 Chương 2. Đáp án tuy n sinh i) Ai, Aj không k nhau ∀i = j ∈ {1, 2, ..., 8} ii) M i đ nh Ai , (i = 1, 8), ngoài A ra s k v i đúng b y đ nh khác và n u kí hi u Ait t = 1, 7) là b y đ nh y thì {Ai1 , ..., Ai7 } ∩ {Aj1 , ..., Aj7 } = ∅ (∀i ∈ j ∈ {1, 2, ..., 8}). / T đó suy ra trong G không có chu trình đơn đ dài 3 cũng như chu trình đơn đ i dài 4. Do v y Ait và Ais không k nhau (∀i = 1, 8), ∀t = s ∈ {1, 2, ..., 7}, và do đó n u Ait k Ajs (i = j) thì Ait không k Ajm m = s. T đó suy ra có t t c 14 3 = 14.7.8 chu trình đơn đ dài 6 đi qua A. 8 Vì A là đ nh b t kỳ c a G nên s chu trình đơn đ dài 6 trong G là 14.7.8.65 6 = 49.8.65 ∈ Z. Đi u vô lý. Vây không t n t i G và do đó không t n 3 / t i G tho mãn đ bài. Bài 6. Ta xét bài toán t ng quát v i x0 > 0 cho trư c b t kỳ. 1) V i a = 0 hi n nhiên xi = 0, ∀i > 0 dãy h i t . a 2) V i a > 0 kí hi u f (x) = 1+x2 và g(x) = f (f (x)). T đó suy ra f (x) là hàm gi m trên (0, +∞) nên g(x) là hàm tăng trên (0, ∞). Xét dãy {x2n } (ch s ch n). Đ t un = x2n thì un+1 = g(un ). Do g(x) tăng nên {un } là dãy đơn đi u (tăng ho c gi m). M t khác, 0 < un < a, nên luôn luôn t n t i lim un = limn→∞ x2n = l. L y gi i h n khi n → ∞ có g(l) = l (1) a) Ta ch ng minh 0 < a ≤ 2 thì dãy {xn } có gi i h n. Th t v y, gi s f (l) = v hay a = v + vl2 (2) Ta có f (f (l)) = f (v) tương đương v i f (v) = g(l) = l hay a = v + lv 2 (3) Tr (2) cho (3) đư c (v − l)(vl − 1) = 0. N u v = l thì vl = 1, thay vào (2) đư c v + l = a suy ra v.l là nghi m c a phương trình x2 − ax + 1 = 0. Vì a ≤ 2 nên a = 2 suy ra v = l = 1 trái đi u gi s . V y, v = l, t c là f (l) = l. T đó limx→∞ x2n+1 = limx→∞ x2n = f (l) = l = lim x2n . V y limn→∞ xn t n t i. b) Ta ch ng minh v i a > 2 thì dãy {xn } h i t khi và ch khi a = x3 +x1 . 2 a Th t v y, gi s a = x3 + x0 suy ra x0 = 1+x2 = x1 suy ra a = x3 + x1 suy 0 1 0 ra x2 = x1 ,.v..v... V y {xn } là dãy h ng, suy ra t n t i limn→∞ xn = x0. Ngư c l i, gi s t n t i limn→∞ xn = k. Qua gi i h n ta đư c f (k) = k hay a = k 3 + k, suy ra k là nghi m duy nh t c a x3 + x − a. Ta có (1 + x2 )2 (a − x) − a2x −(x2 + x − a)(x2 − ax + 1) g(x) − x = = . a2 + (1 + x2 )2 a2 + (1 + x2)2
- 2.6. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1996 - 1997 59 Vì a > 2 nên phương trình x2 − ax + 1 = 0 có hai nghi m phân bi t, α, β. Gi s α < β, ta th y α < k < β. Th t, v y vì a > 2 suy ra k > 1 do đó a − ak 2 < 0. Thay a = k 3 + k vào ta đư c k 3 + k − ak 2 < 0 hay α < k < β. D u c a g(x) − x là d u c a −(x − k)(x − α)(x − β). Ta có b ng xét d u c a g(x) − x như sau x α k β g(x) − x + 0 − 0 + 0 − Xét dãy un = x2n như trên thì dãy {un } là đơn đi u. Vì limn→∞ un = k nên ∃n0 đ α < un0 < β. N u α < un0 < k thì un0 +1 = g(un0 ) < un0 suy ra {un } là dãy gi m và un0 < k, do đó nó không h i t v k. Tương t n u k < un0 < β thì {un } là dãy tăng v i un0 > k do đó nó không h i t v k. V y ch có th un0 = k. Chú ý r ng n u ∃i: xi = k thì suy ra xi−1 = k. Th t a v y x0 = k = 1+x2 suy ra k(1 + x2 ) = a = k 2 + k suy ra x2 = k 2 suy i−1 i−1 i−1 ra xi−1 = k. Thành th un0 = k, do đó un = k hay x0 = k. Vì a = k 3 + k nên a = x3 + x0. Đi u ph i ch ng minh. 0 3) V i a < 0. Đ t yn = −xn. Khi đó −a |a| yn+1 − xn+1 = 2 = 2 . 1 + xn 1 + yn V y {xn } h i t khi và ch khi {yn } h i t . Vì yn > 0, ∀n ≥ 1 nên theo trên v i |a| ≤ 2 thì {yn } h i t . N u |a| > 2 thì {yn } h i t khi và ch khi |a| = y1 + y1 . Mà t (2.5) ta có |a| = y1 (1 + y0 ) = y1(1 + x2 ) suy ra x0 = y1 , 3 2 0 thành ra |a| = x3 + x0. 0 K t lu n: Dãy {x√ h i t khi và ch khi |a| ≤ 2 ho c |a| = x3 + x0 = √ n} 0 1997 1996 khi x0 = 1996. 2.6 Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1996 - 1997 Bài 1. G i O là tâm m t c u ngo i ti p ABCD. Đi u ki n xác đ nh đi m P là P A2 +a2 +b2 +c2 = P B 2 +b2 +c2 +a2 = P C 2 +c2 +a2 +b2 = P D2 +a2 +b2 +c2 . 1 1 1 1 1
- 60 Chương 2. Đáp án tuy n sinh Tính P A2 + a2 + b2 + c2 = P A2 + DA2 + BA2 + cA2 1 − 2 − 2 − 2 − 2 → − → → → = P A + DA + BA + CA −→ − → −→ − − → −−→ − → −→ − → = (P O + CA)2 + (DO + OA)2 + (BO + OA)2 + (CO + OA)2 −→ − → − − → → −→ −→ − − − → − → −→ = P O2 + 4OA2 + 2P O OA − 2OA2(OD + OB + OC + OA)+ −→ −→ − − −→ −→ 2OA2 + DO 2 + BO 2 + OC 2 − − − → → − → = P O2 + 9R2 + 2P O.OA.OE − − → − → − → = P O2 + 9R2 − 2OA(OE + OP ). − − → − → − → − → −→ − trong đó đ t OE = OA + OA + OC + OD (đi m E xác đ nh). Tính tương t đ i v i P B 2 + b2 + c2 + a2, P C 2 + c2 + a2 + b2, P D2 + a2 + b2 + c2. thì 1 1 1 2 2 ta đư c − − → −→ − → − − − − → → −→ − − − → −→ − → −→ − − − → − → OA(OE + OP ) = OB(OE + OD) = OC(OE + OP ) = OD(OE + OP ) − − → −→ − → − − − − → → − → −→ − − − → − → − → Ta có OA(OE + OP ) = OB(OE + OP hay (OA − OB)(OE + OP ) = 0 − − → − → −→ hay BA(OE 2 + OP ) = 0. T đó ta có − −→ − −→ → (OE + OP ).BA = 0 − −→ − −→ → (OE + OP ).CA = 0 − − → − −→ − → (OE + OP ).DA = 0 − −→ −→ − → −→ − − → hay là OE 2 + OP = 0 hay P O = OE. V y đi m P xác đ nh duy nh t. −→ − → −→ − → − − → → − − → → T P A2 = (P O 2 +OA)2 = P O 2 +OA2 +2P O.OA = P O2 +R2 +2P O.OA
- 2.6. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1996 - 1997 61 thì − − → → − −→ − → −→− P A2 + P B 2 + P C 2 + P D2 = 4P O2 + 4R2 + 2P O(OA + OB + OC + OD) − − → − → = 4P O2 + 4R2 + 2P O.OE = 4P O2 + 4R2 + 2P O2 = 6P O2 + 4R2 ≥ 4R2 . D u đ ng th c x y ra khi và ch khi P O2 = 0 hay P ≡ O. Khi đó ta có a2 + b2 + c2 = b2 + c2 + a2 = c2 + a2 + b2 = a2 + b2 + c2 1 1 1 1 1 1 hay a1 = a, b1 = b, c1 = c, t c là t di n ABCD g n đ u. Bài 2. 1) Gi s k là s sao cho có th thi t l p đư c h thông đư ng bay tho mãn các đi u ki n c a đ bài. Khi đó, t ng s đư ng bay tr c ti p gi a hai thành ph s là 25×k . Suy ra k ≡ 0 (mod 2). 2 Xét m t thành ph A b t kỳ. Theo gi thi t, t A có đư ng bay tr c ti p đên k thành ph khác, g i là A1, A2, ..., Ak . M i thành ph Ai , i = 1, k, l i có đư ng bay tr c ti p đ n k − 1 thành ph khác, (không k A). Hơn n a, ta l i có: N u t B đ n A không có đư ng bay tr c ti p thì t B ph i có đư ng bay tr c ti p đ n ít nh t m t thành ph Ai . T nh ng l p lu n trên suy ra, s thành ph ch có th t i đa là 1 + k + k(k − 1) = k 2 + 1. Như v y 25 ≤ k 2 + 1. K t h p v i k ≡ 0 (mod 2), suy ra k ≥ 6. 2) V i k = 6 ta s ch ra cách thi t l p h th ng đư ng bay tho mãn các đi u ki n c a đ bài. Chia 25 thành ph thành năm nhóm, m i nhóm g m năm thành ph . Các thành ph c a nhóm th i, i = 1, 5, ta kí hi u b i (i) (i) (i) (i) (i) A1 , A2 , A3 , A4 , A5 . V i các thành ph trong cùng nhóm i, ta thi t l p (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) các đư ng bay A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A5 , A5 A1 . Gi a các thành ph thu c hai nhóm i, j b t kỳ, i = j ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, xây d ng các đư ng (i) (j) (i) (j) (i) (j) (i) (j) (i) (j) bay sau A1 A1 , A2 A4 , A3 A2 , A4 A5 , A5 A3 .
- 62 Chương 2. Đáp án tuy n sinh B ng cách xây d ng các đư ng bay như trên, ta có: T thành ph A b t kỳ s có đư ng bay tr c ti p đ n đúng hai thành ph , trong cùng nhóm v i A và có đư ng bay tr c ti p đ n đúng b n thành ph khác nhóm v i A. Do v y t m i thành ph s có đư ng bay tr c ti p đ n đúng sáu thành ph khác. Hơn n a, v i A, B là hai thành ph b t kỳ mà gi a chúng không có đư ng bay tr c ti p ta th y: - N u A, B thu c cùng nhóm thì d th y luôn t n t i m t thành ph trong nhóm đó mà t C có đư ng bay tr c ti p đ n c A và B. - N u A, B không cùng nhóm thì qua hình v trên d dàng ki m tra đư c s t n t i c a thành ph C mà t C có đư ng bay tr c ti p đ n c A và B. 3) V y kmin = 6. Bài 3. Gi s α là s th c sao cho t n t i dãy vô h n các s t nhiên {an } tho mãn các đi u ki n c a đ bài. D th y α = 0 là m t s th c như v y. Do đó, đ tìm s α l n nh t, dư i đây ta ch xét α > 0. T gi thi t v dãy {an } suy ra ai + aj ≥ aα , ∀i, j ∈ N∗ . D n t i i+j 2a2i ≥ aαi+1 ∀i ∈ N 2 (1) N u α = 1 thì (1) tương đương v i m i b t đ ng th c sau 1 1 a 1−α a2i ≥ (2 1−α .a2i+1 )α ∀i ∈ N 1 1 a 1−α a2i ≤ (2 1−α .a2i )1/α ∀i ∈ N hay 1 1 a 1−α a2n ≤ (2 1−α .a2n−1 )1/α ∀i ∈ N∗ 1 1 n 1 n Suy ra 2 1−α .a2n ≤ (2 1−α a1)1/αn, ∀n ∈ N∗. Mà a2n > 19972 nên 2 1−α .19972 < 1 (2 1−α .a1)1/αn , ∀n ∈ N∗ , hay 1 1 1 ln 2 1−α + 2n ln 1997 < n ln(2 1−α .a1) ∀n ∈ N∗. α hay 1 1 1 1 ln 1997 < ln(2 1−α .a1) − ln 2 1−α ∀n ∈ N∗ (2) 2n .αn 2n T (2) suy ra α ≤ 1 , vì n u α > 1 2 2 thì, cho n → ∞, t (2) ta đư c ln 1997 ≤ 0, vô lý. n−1 N u α = 1 thì (1) cho ta a2i+1 ≤ 2a2i , ∀i ∈ N, hay a2n ≤ 2a2 . Suy ra n n a2n ≤ 2n a1, ∀n ∈ N∗ . Mà a2n > 19972 nên 19972 < 2n .a1, ∀n ∈ N∗, hay 2n ln 1997 < n ln 2 + ln a1, ∀n ∈ N∗. B t đ ng th c này tương đương v i n ln a1 ln 1997 < n . ln 2 + n ∀n ∈ N∗ (3) 2 2
- 2.6. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1996 - 1997 63 Cho n → ∞, t (3) ta đư c ln 1997 ≤ 0 (vô lý). Tóm l i, ta ph i có α ≤ 1 . 2 2) V i α = 1 ta s xây d ng dãy {an } tho mãn các đi u ki n c a đ 2 bài. Xét dãy {an } đư c xác đ nh b i a1 = 2 × 1997, a2 = 4 × 19972 − 2 và an+1 = 2 × 1997an − an−1 ∀n ≥ 2. D a vào phương trình đ c trưng và các s h ng ban đ u a1, a2 c a {an } d dàng tìm đư c an = pn + q n và n ∈ N∗ , √ √ trong đó p = 1997 + 19972 − 1 và q = 1997 − 19972 − 1. Suy ra an ∈ N, n ∈ N∗ và p+q n an = pn + q n ≥ 2 = 2 × 1997n > 1997n ∀n ∈ N∗ (4) 2 Ti p theo, ta s ch ng minh un = a[ n ] + a[ n+1 ], ∀n ≥ 2 (5) 2 2 Vì a[ n ] + a[ n+1 ] = n nên (5) tương đương v i 2 2 . a[ n ]−t + a[ n+1 ]+t . a[ n ] + a[ n+1 ] . ∀n ≥ 2, t ∈ {0, 1, ..., n 2 − 1} (6) 2 2 2 2 Do v y, đ ch ng minh (5), ta s ch ng minh (6). V i t = 0 thì (6) hi n nhiên đúng. V i t = 1, ta có: n u n = 2k thì . a[ n ]−1 + a[ n+1 ]+1 = ak−1 + ak+1 = 2 × 1997ak . k + ak ) .(a 2 2 hay . a[ n ]−1 + a[ n+1 ]+1 . a[ n ] + a[ n+1 ] . 2 2 2 2 N u n = 2k + 1 thì a[ n ]−1 + a[ n+1 ]+1 = ak−1 + ak+2 = 2 × 1997ak − ak+1 + 2 × 1997ak+1 − ak 2 2 . = (2 × 1997 − 1)(ak+1 + ak ). k+1 + ak ) .(a T đây suy ra (6) đúng. n Gi s ta đã có (6) đ n t mà 1 ≤ t ≤ 2 − 1. Ta s ch ng minh (6) cũng đúng v i t := t + 1. Th t v y, ta có a[ n ]−(t+1) + a[ n+1 ]+(t+1) = 2 × 1997a[ n ]−t − a[ n ]−t+1 + 2 2 2 2 + 2 × 1997a[ n+1 ]+t − a[ n+1 ]+t−1 2 2 = 2 × 1997 a[ n ]−t + a[ n+1 ]+t − a[ n ]−(t−1) + a[ n+1 ]+(t−1) 2 2 2 2
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Đề thi và đáp án cuộc thi Giải toán trên máy tính Casio cấp trường
8 p |
3153 |
949
-
20 Đề thi và đáp án thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh
16 p |
301 |
199
-
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN THI HSG TỈNH THÁI BÌNH 2009 - 2010
7 p |
790 |
179
-
Đề thi và đáp án học kì 1 môn toán lớp 11 TRƯỜNG THPT BÌNH ĐIỀN
6 p |
550 |
126
-
Đề thi và đáp án học kì 1 môn toán lớp 7 Trường THCS&THPT Tố Hữu
4 p |
1809 |
119
-
KÌ THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO TRƯỜNG PTNK 2008
5 p |
376 |
86
-
Đề thi và đáp án học kì 1 môn toán lớp 11 THCS&THPT HÀ
5 p |
139 |
45
-
Đề thi và đáp án Nghề phổ thông môn Kĩ thuật làm vườn (phần lý thuyết) - Sở GD & ĐT Tỉnh Đắc Nông (2010-2011)
7 p |
335 |
36
-
Đề thi và đáp án học kì 1 môn toán lớp 11Trường THPT Thừa Lưu
7 p |
136 |
31
-
Đề thi và đáp án thi học kì II môn Vật lý lớp 9 năm học 2012 - 2013 - Phòng GD&ĐT Đức Thọ
3 p |
140 |
29
-
Đề thi và đáp án thi học kì II môn Vật lý lớp 9 năm học 2011 - 2012 - Trường THCS Viên An Đông
4 p |
78 |
16
-
Đề thi và đáp án học kì 1 môn toán lớp 11CBTRƯỜNG THCS VÀ THPT TỐ HỮU
8 p |
89 |
15
-
Đề thi và đáp án học kì 1 môn toán lớp 11NCTRƯỜNG THCS & THPT TỐ HỮU
5 p |
108 |
14
-
Đề thi và đáp án thi học kì II môn Vật lý lớp 9 năm học 2012 - 2013
3 p |
59 |
13
-
Đề thi và đáp án thi giáo viên giỏi (giáo viên tiểu học)
13 p |
65 |
7
-
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN THI THỬ TN THPT Môn thi: Tiếng Anh
4 p |
46 |
6
-
Bộ đề thi và đáp án THPT quốc gia năm 2015
31 p |
20 |
1

Server: Apache/2.2.31 (CentOS)

Set-Cookie: TLDEVNamespace=beospg6t8d93ai4fjfiojred04; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly

Vary: Accept-Encoding


text:
Quyết định số 3649/2001/QĐ-BYT
Chia sẻ: Son Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4
54
lượt xem 2
download
lượt xem 2
download
Quyết định số 3649/2001/QĐ-BYT
Mô tả tài liệu
Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Quyết định số 3649/2001/QĐ-BYT về việc công bố danh sách bổ sung đợt 2 năm 2001 gồm 6 công ty nước ngoài đăng ký hoạt động về thuốc và nguyên liệu làm thuốc tại Việt Nam do Bộ Y tế ban hành do Bộ trưởng Bộ Y tế ban hành
Chủ đề:
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

markdown:
# Quyết định số 3649/2001/QĐ-BYT
Chia sẻ: Son Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4
54
lượt xem 2
download
lượt xem 2
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2009/20091130/lawttyt8/80x100/2418.jpg)
##
Quyết định số 3649/2001/QĐ-BYT
Mô tả tài liệu
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](http://static.tlvnimg.com/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
Quyết định số 3649/2001/QĐ-BYT về việc công bố danh sách bổ sung đợt 2 năm 2001 gồm 6 công ty nước ngoài đăng ký hoạt động về thuốc và nguyên liệu làm thuốc tại Việt Nam do Bộ Y tế ban hành do Bộ trưởng Bộ Y tế ban hành
Chủ đề:
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Identified-Payload-Type: application/xhtml+xml

Connection: close

Pragma: no-cache

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Set-Cookie: TLDEVNamespace=95vv2gd6q0ebph8d7kpc7r1211; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


text:
Triển khai Vista – Phần 12: Tìm hiểu về triển khai Image
Chia sẻ: Hoang Nhan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4
lượt xem 3
download
Triển khai Vista – Phần 12: Tìm hiểu về triển khai Image
Trong hai phần trước của loạt bài này, chúng tôi đã giới thiệu cho các bạn về Windows Preinsallation Environment (Windows PE), cách tạo một Windows PE 2.1 CD khởi động và tùy chỉnh bằng Windows Automated Installation Kit (Windows AIK) version 1.1, phiên bản mang đến cho bạn rất nhiều công cụ để triển khai Windows Vista SP1 và Windows Server 2008. Trong phần này, chúng tôi sẽ kiểm tra cách thực hiện một triển khai image cơ bản của Windows Vista SP1 bằng tiện ích ImageX và Windows PE CD đã tạo trong phần trước....
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

markdown:
# Triển khai Vista – Phần 12: Tìm hiểu về triển khai Image
Chia sẻ: Hoang Nhan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4
lượt xem 3
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2009/20091022/nhan321/80x100/trien_khai_vista_phan_12_1179.jpg)
##
Triển khai Vista – Phần 12: Tìm hiểu về triển khai Image
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](http://static.tlvnimg.com/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
Trong hai phần trước của loạt bài này, chúng tôi đã giới thiệu cho các bạn về Windows Preinsallation Environment (Windows PE), cách tạo một Windows PE 2.1 CD khởi động và tùy chỉnh bằng Windows Automated Installation Kit (Windows AIK) version 1.1, phiên bản mang đến cho bạn rất nhiều công cụ để triển khai Windows Vista SP1 và Windows Server 2008. Trong phần này, chúng tôi sẽ kiểm tra cách thực hiện một triển khai image cơ bản của Windows Vista SP1 bằng tiện ích ImageX và Windows PE CD đã tạo trong phần trước....
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Set-Cookie: TLDEVNamespace=jbhfrqhb5qdsg0n1dh48siu7a0; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly


text:
Điều không nên nơi công sở
-
Cách thể hiện kém chuyên nghiệp không chỉ ảnh hưởng tới hình ảnh của bạn trong mắt mọi người mà còn hạn chế sự phát triển nghề nghiệp của bạn. Nói to không chỉ gây phiền toái mà còn chứng tỏ bạn không tôn trọng họ... (Ảm minh hoạ) Dưới đây là 7 điều bạn cần tránh nơi công sở: 1. Nghỉ trưa quá lâu Đây là một trong những việc làm phiền tới đồng nghiệp và sếp.
4p tkhoahuongduong 03-09-2010 165 65 Download
-
Để hòa hợp và phát triển tốt ở công sở, bạn chẳng những cần năng lực làm việc mà còn cần cả năng lực giao tiếp. Nó giúp bạn thể hiện khả năng kinh doanh, kinh nghiệm, sự chuyên nghiệp và chứng tỏ bạn là ai với sếp cũng như đồng nghiệp. Sau đây là những câu không nên nói: "Tôi không thể làm được..." Thay vì bạn nói "tôi không biết làm, tôi không thể làm được", hãy tìm cách trau dồi thêm hay tìm ra phương hướng, cách giải quyết.
3p bibocumi4 20-09-2012 39 8 Download
-
Cơ quan là nơi làm việc chung cho tất cả mọi người chứ không riêng cho bất cứ một người nào. Do đó bạn phải luôn cẩn thận trong hành động của mình, tránh làm phiền đồng nghiệp và cũng thể hiện bạn là một người văn minh, lịch sự. Sau đây là những điều bạn cần tránh khi làm việc nơi công sở. 1. Không quá lạm dụng email Email là một trong những hệ thống khó bảo mật nhất.
3p tkhoahuongduong 09-09-2010 154 67 Download
-
Môi trường công sở hiện nay ngày càng cởi mở và thoải mái hơn trước, mối quan hệ giữa cấp trên và cấp dưới cũng gần gũi, thân thiết hơn. Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa là nhân viên có thể tự do chia sẻ bất cứ điều gì mình nghĩ với cấp trên. Dưới đây là một số điều không nên nói với sếp dù môi trường công sở của bạn cởi mở hay sếp là người dễ tính ra sao: .Nhân viên đừng nên tự do chia sẻ bất cứ điều gì mình nghĩ với cấp trên. Ảnh:...
4p coeus75 03-01-2013 66 21 Download
-
Không đến mức lúc nào bạn cũng phải “uốn lưỡi 7 lần trước khi nói” ở công sở. Tuy nhiên, nếu tránh được một số ngôn từ không nên nói ra trong môi trường làm việc, khả năng thành công của bạn sẽ rộng mở hơn.
3p bibocumi35 25-03-2013 47 9 Download
-
1. Đừng bao giờ nhận xằng công lao của người khác: nhưng cũng đừng để người khác nhận xằng công lao của mình. Một thái độ trung thực và rõ ràng trong công việc sẽ được bạn bè đồng nghiệp và sếp quý mến. Đồng thời sếp cũng sẽ đánh giá rất cao việc bạn biết cách đứng ra bảo vệ quyền lợi của mình, vì chỉ khi bạn biết cách bảo vệ quyền lợi của mình bạn mới có thể bảo vệ được quyền lợi cho cơ quan khi được thăng tiến. 2.
3p bibocumi37 03-04-2013 46 9 Download
-
Môi trường công sở giống như một xã hội thu nhỏ với nhiều dạng người khác nhau. Mỗi người mỗi tính và không phải ai cũng “đẹp người đẹp nết”. Mâu thuẫn là điều khó tránh khỏi và nguyên nhân đều bắt nguồn từ những người “ăn cơm nhà vác tù và hàng tổng”. Toàn cầu hóa một cách nhanh chóng đã và đang biến công sở thành những trung tâm văn hóa đa màu sắc.
3p bibocumi33 13-03-2013 23 5 Download
-
Khi bước vào công ty, bạn nên bỏ hết mọi chuyện cá nhân lại phía sau và thể hiện một hình ảnh thật chuyên nghiệp. Cách thể hiện kém chuyên nghiệp không chỉ ảnh hưởng tới hình ảnh của bạn trong mắt mọi người mà còn hạn chế sự phát triển nghề nghiệp của bạn. Dưới đây là 7 điều bạn cần tránh nơi công sở:
4p khoqua_dai 11-06-2010 202 96 Download
-
Điện thoại là một trong những công cụ làm việc quan trọng không thể thiếu nơi công sở. Tuy nhiên, không phải ai cũng biết sử dụng chúng đúng cách và hiệu quả. Dưới đây là 10 điều bạn nên lưu ý khi sử dụng điện thoại: 1. Nói năng lịch sự và phát âm chuẩn Những từ ngữ như: "Xin vui lòng", "Cảm ơn"… không những làm cuộc nói chuyện trở nên lịch sự hơn mà còn giúp bạn dễ chiếm được thiện cảm của người bên kia đầu dây hơn. ...
4p khoqua_dai 11-06-2010 214 92 Download
-
Xung đột nơi công sở nảy sinh từ những chuyện tưởng chứng nhỏ nhặt ấy. Tuy nhiên, khi đã có mâu thuẫn xảy ra, mối quan hệ của bạn với đồng nghiệp sẽ trở nên phức tạp, khó dung hòa. Hằng ngày đối diện với nhau nhưng chẳng ai thấy thoải mái. Lúc đó, bạn mới hiểu hòa bình đáng quý đến mức nào. Vì thế, bạn hãy học cách điều hòa cảm xúc, để đẩy lùi những cuộc xung đột không đáng có.
3p bibocumi22 21-12-2012 43 6 Download
-
Sếp có vai trò quan trọng trong việc hình thành văn hóa công sở. Nếu môi trường làm việc hiện tại không phù hợp với phong cách của mình cũng như nhân viên, bạn nên thay đổi nó. Tuy nhiên, văn hóa công sở không phải là điều có thể thay đổi ngay lập tức.
5p surf_surf 27-01-2011 364 124 Download
-
Không phải chuyện gì bạn cũng có thể đem ra “tâm sự” với các đồng nghiệp đâu nhé, bởi chính bạn còn không thể kín miệng thì làm sao bạn có thể “bắt” họ giữ bí mật điều bạn nói. Đa số chị em công sở đều không trách khỏi việc “tám” chuyện với đồng nghiệp, bởi phần lớn thời gian của họ là ở văn phòng và làm việc cùng nhau, vì thế một số người đã nhầm lẫn giữa công việc và tình bạn.
5p maybay_thaboom 30-06-2010 135 53 Download
-
Bảy cách thể hiện kém chuyên nghiệp nơi công sở Khi bước vào công ty, bạn nên bỏ hết mọi chuyện cá nhân lại phía sau và thể hiện một hình ảnh thật chuyên nghiệp. Cách thể hiện kém chuyên nghiệp không chỉ ảnh hưởng tới hình ảnh của bạn trong mắt mọi người mà còn hạn chế sự phát triển nghề nghiệp của bạn. Dưới đây là 7 điều bạn cần tránh nơi công sở: 1. Nghỉ trưa quá lâu Đây là một trong những việc làm phiền tới đồng nghiệp và sếp.
1p phuvilong 08-07-2010 123 37 Download
-
Bạn quá mờ nhạt và không có tý “quyền lực” trong văn phòng khi đưa ra ý kiến, quyết định vấn đề. Tuy nhiên, trước khi đổ lỗi cho mọi người đánh giá thấp mình, bạn nên xem xét lại thái độ của bạn trong công việc. Hãy xác định những điều bạn mong muốn và cố gắng hoàn thiện (Ảnh minh hoạ) Dưới đây là 5 cách giúp bạn nâng cao “quyền lực” nơi công sở: 1.
3p tkhoahuongduong 03-09-2010 76 22 Download
-
Đáp lại áp lực căng thẳng đối với những kết quả ngắn hạn phải đạt được, những người làm việc cho các công ty thường có cách phản ứng mà đáng lẽ ra họ không nên làm như vậy. Chúng ta sử dụng tất cả các lý giải hợp lý để biện hộ cho những ứng xử như vậy - tất cả mọi thứ từ "mọi người đều làm thế" đến "không ai sẽ bị tổn thưởng bởi điều này" đến "tôi có thể bị sa thải nếu tôi có ý kiến phàn nàn". ...
4p khoqua_dai 11-06-2010 104 16 Download
-
Không ít người từng khóc ở công ty,khóc trước mặt bạn bè, đồng nghiệp, thậm chí là khóc trước mặt sếp. Đó là dấu hiệu bạn đang không kiềm chế nổi cảm xúc và dễ bị tổn thương. Và khi bình tĩnht rở lại, bạn cảm thấy điều đó thật tồi tệ, bạn hối tiếc vì lẽ ra không nên quá xúc động, không nên khóc ngay tại công ty như thế.
3p bibocumi33 13-03-2013 28 4 Download
-
Chốn công sở rất cần đến những cuộc nói chuyện, bàn luận thân mật, nhưng không bao gồm những cuộc trò chuyện qua điện thoại. Những cuộc gọi bất ngờ trong cuộc họp hay trong giờ ăn trưa cũng khiến cho đồng nghiệp cảm thấy khó chịu, đặc biệt là khi bạn nói quá to. Bên cạnh đó, việc nói to hay thô lỗ khi ăn cũng khiến bạn mất điểm trong mắt đồng nghiệp. Đặc biệt, vừa ăn vừa nói càng thực sự khiến bạn trở nên tồi tệ trong mắt các đồng nghiệp.
3p bibocumi37 04-04-2013 31 5 Download
-
Một hình ảnh chuyên nghiệp nơi công sở dựa trên nhiều yếu tố, bao gồm: cách ăn mặc, đi đứng, quan điểm, thái độ, sự ảnh hưởng tới người khác… Một số đặc điểm có thể làm người khác có ấn tượng xấu về bạn và điều này sẽ phá hỏng sự nghiệp của bạn. 1. Quan điểm phủ định Ăn mặc luộm thuộm, cách cư xử kém là những dấu hiệu tiêu biểu của một hình ảnh không chuyên nghiệp.
3p bibocumi18 07-12-2012 48 2 Download
-
Ngày nay cùng với sự phát triển của xã hội, của nền kinh tế hàng hóa nhiều thành phần, lĩnh hội kỹ năng giao tiếp trở thành đòi hỏi cấp thiết của nhiều ngành nghề, đặc biệt quan trọng nhất là những người làm công tác kinh doanh, nhân viên văn phòng, khách sạn, lễ tân… kỹ năng giao tiếp tốt là điều kiện của sự thành đạt trong những lĩnh vực này.
63p anhthiboo185 20-09-2012 601 218 Download
-
Lãnh đạo công ty không phải là kiểm soát viên hay quản giáo. Một người lãnh đạo có tài sẽ tạo điều kiện để nhân viên tự giác và nhiệt tình làm việc mà không cần có sự kiểm tra giám sát. “Làm đi!” Lẽ thường, không cần câu nói đó, nhân viên của bạn cũng hiểu được nhiệm vụ. Nhưng với sự nhấn mạnh như trên, bạn đặt họ vào thế bị hạ thấp tư cách, và điều đó khiến đa số nhân viên cho rằng họ bị sỉ nhục.
5p maybay_thaboom 01-07-2010 123 64 Download

markdown:
# Điều không nên nơi công sở
**Điều không nên nơi công sở**
-
Cách thể hiện kém chuyên nghiệp không chỉ ảnh hưởng tới hình ảnh của bạn trong mắt mọi người mà còn hạn chế sự phát triển nghề nghiệp của bạn. Nói to không chỉ gây phiền toái mà còn chứng tỏ bạn không tôn trọng họ... (Ảm minh hoạ) Dưới đây là 7 điều bạn cần tránh nơi công sở: 1. Nghỉ trưa quá lâu Đây là một trong những việc làm phiền tới đồng nghiệp và sếp.
4p
tkhoahuongduong
03-09-2010
165
65
Download
-
Để hòa hợp và phát triển tốt ở công sở, bạn chẳng những cần năng lực làm việc mà còn cần cả năng lực giao tiếp. Nó giúp bạn thể hiện khả năng kinh doanh, kinh nghiệm, sự chuyên nghiệp và chứng tỏ bạn là ai với sếp cũng như đồng nghiệp. Sau đây là những câu không nên nói: "Tôi không thể làm được..." Thay vì bạn nói "tôi không biết làm, tôi không thể làm được", hãy tìm cách trau dồi thêm hay tìm ra phương hướng, cách giải quyết.
3p
bibocumi4
20-09-2012
39
8
Download
-
Cơ quan là nơi làm việc chung cho tất cả mọi người chứ không riêng cho bất cứ một người nào. Do đó bạn phải luôn cẩn thận trong hành động của mình, tránh làm phiền đồng nghiệp và cũng thể hiện bạn là một người văn minh, lịch sự. Sau đây là những điều bạn cần tránh khi làm việc nơi công sở. 1. Không quá lạm dụng email Email là một trong những hệ thống khó bảo mật nhất.
3p
tkhoahuongduong
09-09-2010
154
67
Download
-
Môi trường công sở hiện nay ngày càng cởi mở và thoải mái hơn trước, mối quan hệ giữa cấp trên và cấp dưới cũng gần gũi, thân thiết hơn. Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa là nhân viên có thể tự do chia sẻ bất cứ điều gì mình nghĩ với cấp trên. Dưới đây là một số điều không nên nói với sếp dù môi trường công sở của bạn cởi mở hay sếp là người dễ tính ra sao: .Nhân viên đừng nên tự do chia sẻ bất cứ điều gì mình nghĩ với cấp trên. Ảnh:...
4p
coeus75
03-01-2013
66
21
Download
-
Không đến mức lúc nào bạn cũng phải “uốn lưỡi 7 lần trước khi nói” ở công sở. Tuy nhiên, nếu tránh được một số ngôn từ không nên nói ra trong môi trường làm việc, khả năng thành công của bạn sẽ rộng mở hơn.
3p
bibocumi35
25-03-2013
47
9
Download
-
1. Đừng bao giờ nhận xằng công lao của người khác: nhưng cũng đừng để người khác nhận xằng công lao của mình. Một thái độ trung thực và rõ ràng trong công việc sẽ được bạn bè đồng nghiệp và sếp quý mến. Đồng thời sếp cũng sẽ đánh giá rất cao việc bạn biết cách đứng ra bảo vệ quyền lợi của mình, vì chỉ khi bạn biết cách bảo vệ quyền lợi của mình bạn mới có thể bảo vệ được quyền lợi cho cơ quan khi được thăng tiến. 2.
3p
bibocumi37
03-04-2013
46
9
Download
-
Môi trường công sở giống như một xã hội thu nhỏ với nhiều dạng người khác nhau. Mỗi người mỗi tính và không phải ai cũng “đẹp người đẹp nết”. Mâu thuẫn là điều khó tránh khỏi và nguyên nhân đều bắt nguồn từ những người “ăn cơm nhà vác tù và hàng tổng”. Toàn cầu hóa một cách nhanh chóng đã và đang biến công sở thành những trung tâm văn hóa đa màu sắc.
3p
bibocumi33
13-03-2013
23
5
Download
-
Khi bước vào công ty, bạn nên bỏ hết mọi chuyện cá nhân lại phía sau và thể hiện một hình ảnh thật chuyên nghiệp. Cách thể hiện kém chuyên nghiệp không chỉ ảnh hưởng tới hình ảnh của bạn trong mắt mọi người mà còn hạn chế sự phát triển nghề nghiệp của bạn. Dưới đây là 7 điều bạn cần tránh nơi công sở:
4p
khoqua_dai
11-06-2010
202
96
Download
-
Điện thoại là một trong những công cụ làm việc quan trọng không thể thiếu nơi công sở. Tuy nhiên, không phải ai cũng biết sử dụng chúng đúng cách và hiệu quả. Dưới đây là 10 điều bạn nên lưu ý khi sử dụng điện thoại: 1. Nói năng lịch sự và phát âm chuẩn Những từ ngữ như: "Xin vui lòng", "Cảm ơn"… không những làm cuộc nói chuyện trở nên lịch sự hơn mà còn giúp bạn dễ chiếm được thiện cảm của người bên kia đầu dây hơn. ...
4p
khoqua_dai
11-06-2010
214
92
Download
-
Xung đột nơi công sở nảy sinh từ những chuyện tưởng chứng nhỏ nhặt ấy. Tuy nhiên, khi đã có mâu thuẫn xảy ra, mối quan hệ của bạn với đồng nghiệp sẽ trở nên phức tạp, khó dung hòa. Hằng ngày đối diện với nhau nhưng chẳng ai thấy thoải mái. Lúc đó, bạn mới hiểu hòa bình đáng quý đến mức nào. Vì thế, bạn hãy học cách điều hòa cảm xúc, để đẩy lùi những cuộc xung đột không đáng có.
3p
bibocumi22
21-12-2012
43
6
Download
-
Sếp có vai trò quan trọng trong việc hình thành văn hóa công sở. Nếu môi trường làm việc hiện tại không phù hợp với phong cách của mình cũng như nhân viên, bạn nên thay đổi nó. Tuy nhiên, văn hóa công sở không phải là điều có thể thay đổi ngay lập tức.
5p
surf_surf
27-01-2011
364
124
Download
-
Không phải chuyện gì bạn cũng có thể đem ra “tâm sự” với các đồng nghiệp đâu nhé, bởi chính bạn còn không thể kín miệng thì làm sao bạn có thể “bắt” họ giữ bí mật điều bạn nói. Đa số chị em công sở đều không trách khỏi việc “tám” chuyện với đồng nghiệp, bởi phần lớn thời gian của họ là ở văn phòng và làm việc cùng nhau, vì thế một số người đã nhầm lẫn giữa công việc và tình bạn.
5p
maybay_thaboom
30-06-2010
135
53
Download
-
Bảy cách thể hiện kém chuyên nghiệp nơi công sở Khi bước vào công ty, bạn nên bỏ hết mọi chuyện cá nhân lại phía sau và thể hiện một hình ảnh thật chuyên nghiệp. Cách thể hiện kém chuyên nghiệp không chỉ ảnh hưởng tới hình ảnh của bạn trong mắt mọi người mà còn hạn chế sự phát triển nghề nghiệp của bạn. Dưới đây là 7 điều bạn cần tránh nơi công sở: 1. Nghỉ trưa quá lâu Đây là một trong những việc làm phiền tới đồng nghiệp và sếp.
1p
phuvilong
08-07-2010
123
37
Download
-
Bạn quá mờ nhạt và không có tý “quyền lực” trong văn phòng khi đưa ra ý kiến, quyết định vấn đề. Tuy nhiên, trước khi đổ lỗi cho mọi người đánh giá thấp mình, bạn nên xem xét lại thái độ của bạn trong công việc. Hãy xác định những điều bạn mong muốn và cố gắng hoàn thiện (Ảnh minh hoạ) Dưới đây là 5 cách giúp bạn nâng cao “quyền lực” nơi công sở: 1.
3p
tkhoahuongduong
03-09-2010
76
22
Download
-
Đáp lại áp lực căng thẳng đối với những kết quả ngắn hạn phải đạt được, những người làm việc cho các công ty thường có cách phản ứng mà đáng lẽ ra họ không nên làm như vậy. Chúng ta sử dụng tất cả các lý giải hợp lý để biện hộ cho những ứng xử như vậy - tất cả mọi thứ từ "mọi người đều làm thế" đến "không ai sẽ bị tổn thưởng bởi điều này" đến "tôi có thể bị sa thải nếu tôi có ý kiến phàn nàn". ...
4p
khoqua_dai
11-06-2010
104
16
Download
-
Không ít người từng khóc ở công ty,khóc trước mặt bạn bè, đồng nghiệp, thậm chí là khóc trước mặt sếp. Đó là dấu hiệu bạn đang không kiềm chế nổi cảm xúc và dễ bị tổn thương. Và khi bình tĩnht rở lại, bạn cảm thấy điều đó thật tồi tệ, bạn hối tiếc vì lẽ ra không nên quá xúc động, không nên khóc ngay tại công ty như thế.
3p
bibocumi33
13-03-2013
28
4
Download
-
Chốn công sở rất cần đến những cuộc nói chuyện, bàn luận thân mật, nhưng không bao gồm những cuộc trò chuyện qua điện thoại. Những cuộc gọi bất ngờ trong cuộc họp hay trong giờ ăn trưa cũng khiến cho đồng nghiệp cảm thấy khó chịu, đặc biệt là khi bạn nói quá to. Bên cạnh đó, việc nói to hay thô lỗ khi ăn cũng khiến bạn mất điểm trong mắt đồng nghiệp. Đặc biệt, vừa ăn vừa nói càng thực sự khiến bạn trở nên tồi tệ trong mắt các đồng nghiệp.
3p
bibocumi37
04-04-2013
31
5
Download
-
Một hình ảnh chuyên nghiệp nơi công sở dựa trên nhiều yếu tố, bao gồm: cách ăn mặc, đi đứng, quan điểm, thái độ, sự ảnh hưởng tới người khác… Một số đặc điểm có thể làm người khác có ấn tượng xấu về bạn và điều này sẽ phá hỏng sự nghiệp của bạn. 1. Quan điểm phủ định Ăn mặc luộm thuộm, cách cư xử kém là những dấu hiệu tiêu biểu của một hình ảnh không chuyên nghiệp.
3p
bibocumi18
07-12-2012
48
2
Download
-
Ngày nay cùng với sự phát triển của xã hội, của nền kinh tế hàng hóa nhiều thành phần, lĩnh hội kỹ năng giao tiếp trở thành đòi hỏi cấp thiết của nhiều ngành nghề, đặc biệt quan trọng nhất là những người làm công tác kinh doanh, nhân viên văn phòng, khách sạn, lễ tân… kỹ năng giao tiếp tốt là điều kiện của sự thành đạt trong những lĩnh vực này.
63p
anhthiboo185
20-09-2012
601
218
Download
-
Lãnh đạo công ty không phải là kiểm soát viên hay quản giáo. Một người lãnh đạo có tài sẽ tạo điều kiện để nhân viên tự giác và nhiệt tình làm việc mà không cần có sự kiểm tra giám sát. “Làm đi!” Lẽ thường, không cần câu nói đó, nhân viên của bạn cũng hiểu được nhiệm vụ. Nhưng với sự nhấn mạnh như trên, bạn đặt họ vào thế bị hạ thấp tư cách, và điều đó khiến đa số nhân viên cho rằng họ bị sỉ nhục.
5p
maybay_thaboom
01-07-2010
123
64
Download

Set-Cookie: TLDEVNamespace=4d76h31vvefmana1266gnacp80; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly


text:
EVA tấm có được hiệu suất chống sốc tốt hơn PS, EPDM và vật liệu truyền thống khác, cũng như phù hợp với yêu cầu thân thiện với môi trường, và đó là lựa chọn tốt nhất cho bạn
Đặc điểm tuyệt vời của tấm mút eva
1.Độ bền trong nước: không thấm nước, ẩm ướt.
2.Chống nước biển, dầu mỡ, axit, muối và hóa chất khác, kháng sinh, không có mùi; không độc hại.
3.Chống sốc: tính linh hoạt cao, khả năng phục hồi, kéo dài sức đề kháng, có chức năng chống sốc tốt.
4.Chịu nhiệt: cách nhiệt, đóng băng.
5.Cách âm: cấu trúc kín tế bào cho sự hấp thụ âm thanh.
Công dụng và màu sắc các tấm mút eva
Tấm mút EVA rất thân thiện với môi trường: Vứt bỏ hoặc đốt không gây hại cho môi trường, đáp ứng tiêu chuẩn ROHS.
-Sử dụng rộng rãi cho đế, lót, dép, dép đi trong nhà, lốp xe đạp, đồ chơi bánh xe, rào cản tiếng ồn, phụ tùng ôtô, thể dục dụng cụ, tấm bảo vệ...vvv
-Dễ dàng dun nóng, cắt, kéo và các quá trình khác
-Được sử dụng nhiều trong nghành thêu chữ 3D, nổi đáp ứng các yều cầu như mền dễ xé, cứng xé không để lại chân, màu sắc trùng với chỉ thêu.
Ngoài các màu có sẵn, tâm thiên phú có thể sản xuất màu và độ so ( độ mềm, cứng ) theo yêu cầu khách hàng.
Liên hệ ngay với chúng tôi để tư vấn, báo giá sản phẩm.

markdown:
EVA tấm có được hiệu suất chống sốc tốt hơn PS, EPDM và vật liệu truyền thống khác, cũng như phù hợp với yêu cầu thân thiện với môi trường, và đó là lựa chọn tốt nhất cho bạn
## Đặc điểm tuyệt vời của tấm mút eva
1.Độ bền trong nước: không thấm nước, ẩm ướt.
2.Chống nước biển, dầu mỡ, axit, muối và hóa chất khác, kháng sinh, không có mùi; không độc hại.
3.Chống sốc: tính linh hoạt cao, khả năng phục hồi, kéo dài sức đề kháng, có chức năng chống sốc tốt.
4.Chịu nhiệt: cách nhiệt, đóng băng.
5.Cách âm: cấu trúc kín tế bào cho sự hấp thụ âm thanh.
### Công dụng và màu sắc các tấm mút eva
Tấm mút EVA rất thân thiện với môi trường: Vứt bỏ hoặc đốt không gây hại cho môi trường, đáp ứng tiêu chuẩn ROHS.
-Sử dụng rộng rãi cho đế, lót, dép, dép đi trong nhà, lốp xe đạp, đồ chơi bánh xe, rào cản tiếng ồn, phụ tùng ôtô, thể dục dụng cụ, tấm bảo vệ...vvv
-Dễ dàng dun nóng, cắt, kéo và các quá trình khác
-Được sử dụng nhiều trong nghành thêu chữ 3D, nổi đáp ứng các yều cầu như mền dễ xé, cứng xé không để lại chân, màu sắc trùng với chỉ thêu.
Ngoài các màu có sẵn, tâm thiên phú có thể sản xuất màu và độ so ( độ mềm, cứng ) theo yêu cầu khách hàng.
Liên hệ ngay với chúng tôi để tư vấn, báo giá sản phẩm.

WARC-Truncated: length

WARC-Identified-Payload-Type: text/html

Server: Apache

Set-Cookie: currency=USD; expires=Mon, 21-May-2018 11:47:56 GMT; path=/; domain=tamthienphu.com

Connection: Upgrade, close

Content-Type: text/html; charset=utf-8


text:
Nhà sản xuất:HERBALIFE
Mã sản phẩm:HCX05
Tình trạng:CÒN HÀNG
Giá thị trường :
600,000 VND
Giá bán : 430,000 VND
Herbalife Active Fiber Complex là hỗn hợp chất xơ hoạt hóa giúp cung cấp đầy đủ lượng chất xơ hòa tan và không hòa tan mang lại hiệu tiêu hóa khỏe mạnh và hấp thu dưỡng chất tối ưu cho cơ thể.
Chất xơ là một thành phần quan trong trong dinh dưỡng cơ thể mà bữa ăn hàng ngày của bạn thường bị thiếu hụt. Theo các chuyên gia dinh dưỡng, mỗi ngày cơ thể cần nạp ít nhất 25 – 30g chất xơ cho 1000 calo để hỗ trợ hệ tiêu hóa khỏe mạnh và phòng chống bệnh béo phì, tiểu đường tim mạch…
Hỗn hợp chất xơ Herbalife Active Fiber
Với mục đích mang tới bữa ăn lành mạnh và cung cấp đầy đủ chất xơ cho mọi người, các chuyên gia dinh dưỡng của Herbalife đã nghiên cứu ra sản phẩm mới Hỗn hợp chất xơ Active Fiber Complex với công thức dinh dưỡng phù hợp cho mọi đối tượng sử dụng.
1. ĐIỂM QUA NHỮNG THÀNH PHẦN CHÍNH HERBALIFE ACTIVE FIBER:
Chất xơ mía đường, maize dextrin, chất xơ từ cam quýt, chất xơ từ đậu nành, inulin, acid citric, natri, cacboxymethylcellulose, maltodextrin, silicon dioxit, caramen màu… giúp bổ sung nguồn chất xơ tối ưu và chức năng tiêu hóa khỏe mạnh.
Hương táo tự nhiên dễ uống bạn có thể hòa tan vào nước trái cây, hoặc trà hat bất kì thức uống bạn yêu thích.
2. MỘT SỐ TÁC DỤNG CHÍNH CỦA HỖN HỢP CHẤT XƠ HERBALIFE:
3. ĐỐI TƯỢNG SỬ DỤNG HERBALIFE ACTIVE FIBER COMPLEX:
4. CÁCH SỬ DỤNG SẢN PHẨM HỖN HỢP CHẤT XƠ HERBALIFE
Bảo quản: Nơi khô ráo thoáng mát.
Đối tượng sử dung: Người trưởng thành
Bảo quản: Đậy nắp chặt và để nơi khô ráo, thoáng mát.
Ngày sản xuất và hạn sử dung: Xem trên bao bì sản phẩm
Số xác nhận công bố: 25840/2014/ATTP – XNCB – Bộ y tế Việt Nam
Nhập khẩu và phân phối: Công ty TNHH Một Thành Viên Herbalife Việt Nam
Sản xuất: Tại Mỹ.
Khối lượng tịnh: 210g
Để biết thêm thông tin chi tiết về sản phẩm bạn có thể truy cập qua địa chỉ trang web: tamvietgroup.com. Đây chính là địa chỉ đáng tin cậy cho khách hàng trong các lĩnh vực: làm đẹp, giảm cân, tăng cân và chăm sóc sức khỏe…
Giá thị trường
750,000 VND
460,000 VNDxem
Giá thị trường
580,000 VND
350,000 VNDxem
Giá thị trường
1,550,000 VND
1,220,000 VNDxem
Giá thị trường
2,450,000 VND
1,140,000 VNDxem
Giá thị trường
1,747,000 VND
960,000 VNDxem
Giá thị trường
1,332,000 VND
750,000 VNDxem
Cholessen là sản phẩm đang được nhiều khách hàng tin tưởng sử dụng bởi hiệu quả cân bằng huyết áp, hạn chế nguy cơ mắc bệnh tiểu đường, thừa cân, máu nhiễm mỡ, gan nhiễm mỡ…Xem thêm
Sự phát triển chiều cao thường phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố bao gồm tâm – sinh lý bên trong cơ thể và môi trường sống xung quanh.Xem thêm

markdown:
Nhà sản xuất:HERBALIFE
Mã sản phẩm:HCX05
Tình trạng:CÒN HÀNG
Giá thị trường :
~~600,000 VND~~
Giá bán : 430,000 VND
[ là hỗn hợp chất xơ hoạt hóa giúp cung cấp đầy đủ lượng chất xơ hòa tan và không hòa tan mang lại hiệu tiêu hóa khỏe mạnh và hấp thu dưỡng chất tối ưu cho cơ thể. Herbalife Active Fiber Complex](http://tamvietgroup.com/hon-hop-chat-xo-herbalife-active-fiber/)
Chất xơ là một thành phần quan trong trong dinh dưỡng cơ thể mà bữa ăn hàng ngày của bạn thường bị thiếu hụt. Theo các chuyên gia dinh dưỡng, mỗi ngày cơ thể cần nạp ít nhất 25 – 30g chất xơ cho 1000 calo để hỗ trợ hệ tiêu hóa khỏe mạnh và phòng chống bệnh béo phì, tiểu đường tim mạch…
*Hỗn hợp chất xơ Herbalife Active Fiber*
Với mục đích mang tới bữa ăn lành mạnh và cung cấp đầy đủ chất xơ cho mọi người, các chuyên gia dinh dưỡng của Herbalife đã nghiên cứu ra sản phẩm mới
*Hỗn hợp chất xơ Active Fiber Complex *với công thức dinh dưỡng phù hợp cho mọi đối tượng sử dụng. **1. ĐIỂM QUA NHỮNG THÀNH PHẦN CHÍNH HERBALIFE ACTIVE FIBER:**
Chất xơ mía đường, maize dextrin, chất xơ từ cam quýt, chất xơ từ đậu nành, inulin, acid citric, natri, cacboxymethylcellulose, maltodextrin, silicon dioxit, caramen màu… giúp bổ sung nguồn chất xơ tối ưu và chức năng tiêu hóa khỏe mạnh.
Hương táo tự nhiên dễ uống bạn có thể hòa tan vào nước trái cây, hoặc trà hat bất kì thức uống bạn yêu thích.
**2. MỘT SỐ TÁC DỤNG CHÍNH CỦA HỖN HỢP CHẤT XƠ HERBALIFE:** **3. ĐỐI TƯỢNG SỬ DỤNG HERBALIFE ACTIVE FIBER COMPLEX:** **4. CÁCH SỬ DỤNG SẢN PHẨM HỖN HỢP CHẤT XƠ HERBALIFE ** **Bảo quản**: Nơi khô ráo thoáng mát. **Đối tượng sử dung**: Người trưởng thành **Bảo quản**: Đậy nắp chặt và để nơi khô ráo, thoáng mát. **Ngày sản xuất và hạn sử dung**: Xem trên bao bì sản phẩm **Số xác nhận công bố**: 25840/2014/ATTP – XNCB – Bộ y tế Việt Nam **Nhập khẩu và phân phối:** Công ty TNHH Một Thành Viên Herbalife Việt Nam **Sản xuất**: Tại Mỹ. **Khối lượng tịnh**: 210g
Để biết thêm thông tin chi tiết về sản phẩm bạn có thể truy cập qua địa chỉ trang web:
[. Đây chính là địa chỉ đáng tin cậy cho khách hàng trong các lĩnh vực: làm đẹp, giảm cân, tăng cân và chăm sóc sức khỏe… tamvietgroup.com](http://tamvietgroup.com)
Giá thị trường
~~750,000 VND~~
460,000 VND
Giá thị trường
~~580,000 VND~~
350,000 VND
Giá thị trường
~~1,550,000 VND~~
1,220,000 VND
Giá thị trường
~~2,450,000 VND~~
1,140,000 VND
Giá thị trường
~~1,747,000 VND~~
960,000 VND
Giá thị trường
~~1,332,000 VND~~
750,000 VND
Cholessen là sản phẩm đang được nhiều khách hàng tin tưởng sử dụng bởi hiệu quả cân bằng huyết áp, hạn chế nguy cơ mắc bệnh tiểu đường, thừa cân, máu nhiễm mỡ, gan nhiễm mỡ…
Sự phát triển chiều cao thường phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố bao gồm tâm – sinh lý bên trong cơ thể và môi trường sống xung quanh.

Accept-Ranges: bytes

Cache-Control: max-age=3, must-revalidate

X-Cache: HIT from Backend