text:
Ôn tập kiến thức kỹ năng giải đề thi đại học 2010
Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40
lượt xem 143
download
Ôn tập kiến thức kỹ năng giải đề thi đại học 2010
" Ôn tập kiến thức kỹ năng giải đề thi đại học 2010 " mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Ôn tập kiến thức kỹ năng giải đề thi đại học 2010
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp For EvaluationKHOA PH N I. TÓM T T GIÁO Only. A. ð I S I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình b c hai Cho phương trình b c hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3) có ∆ = b2 − 4ac . b 1) ∆ < 0 : (3) vô nghi m. 2) ∆ = 0 : (3) có nghi m kép x = − . 2a −b ± ∆ −b ± b2 − 4ac 3) ∆ > 0 : (3) có hai nghi m phân bi t x1,2 = = . 2a 2a ð nh lý Vi–et (thu n và ñ o) S = x + x = − b 1) Cho phương trình ax + bx + c = 0 có hai nghi m x1, x2 thì 1 2 2 a. P = x .x = c 1 2 a S = x + y 2) N u bi t thì x, y là nghi m c a phương trình X2 − SX + P = 0 . P = x.y 2. B ng xét d u c a tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0, ∆ > 0 : 2) a < 0, ∆ > 0 : x −∞ x1 x2 +∞ x −∞ x1 x2 +∞ f(x) + 0 – 0 + f(x) – 0 + 0 – 3) a > 0, ∆ = 0 : 4) a < 0, ∆ = 0 : x −∞ xkép +∞ x −∞ xkép +∞ f(x) + 0 + f(x) – 0 – 5) a > 0, ∆ < 0 : 6) a < 0, ∆ < 0 : x −∞ +∞ x −∞ +∞ f(x) + f(x) – 3. B ng bi n thiên c a hàm s b c hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0: 2) a < 0: b b x −∞ − +∞ x −∞ − +∞ 2a 2a f(x) +∞ +∞ f(x) Cð CT −∞ −∞ 4. So sánh nghi m c a tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c v i m t s x < α < x2 < β 1) af(α) < 0 ⇔ x1 < α < x 2 2) f(α ).f(β) < 0 ⇔ 1 α < x1 < β < x2 ∆ > 0 ∆ > 0 3) af(α) > 0 ⇔ α < x1 < x2 4) af(α) > 0 ⇔ x1 < x2 < α S >α S 2
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 7.2. Phương trình b c b n ñ c bi t For Evaluation Only. a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) (5) Phương pháp gi i: ð t t = x2, t ≥ 0 . (5) ⇔ at2 + bt + c = 0. b) Phương trình có d ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e v i a + c = b + d (6) Phương pháp gi i: ð t t = (x + a)(x + c), ñưa (6) v phương trình b c 2 theo t. c) Phương trình có d ng (x + a)4 + (x + b)4 = c (7) a+b Phương pháp gi i: ð t t = x + , ñưa (7) v phương trình trùng phương theo t. 2 d) Phương trình trùng phương ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = 0 ( a ≠ 0 ) (8) Phương pháp gi i 1 + bx ± 1 + c = 0 . Bư c 1. Chia 2 v cho x2, (8) ⇔ a x2 + x 2 x 1 Bư c 2. ð t t = x ± , ñưa (8) v phương trình b c hai theo t. x P(x) 8. B t phương trình h u t >0 Q(x) Bư c 1. L p tr c xét d u chung cho P(x) và Q(x). Bư c 2. D a vào tr c xét d u ñ k t lu n nghi m. 9. ði u ki n ñ phương trình có nghi m trong kho ng (a; b) a) ð nh lý 1 Hàm s f(x) liên t c trên [a; b] th a f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghi m trong (a; b) (ngư c l i không ñúng). b) ð nh lý 2 Hàm s f(x) liên t c trên [a; b] và có f / (x) > 0 (ho c f / (x) < 0 ) trong kho ng (a, b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghi m trong (a, b) . II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T . 1. Các h ng ñ ng th c c n nh A, A ≥ 0 B 2 3B2 1) A2 = A = ; 2) A2 ± AB + B2 = A ± + ; −A, A < 0 2 4 2 3) (A ± B) = A ± B ± 3AB ( A ± B ) ; 3 3 3 2 x + b − ∆ . 4) ax + bx + c = a 2a 4a 2. Phương trình và b t phương trình ch a giá tr tuy t ñ i B ≥ 0 1) A = B ⇔ A2 = B2 ⇔ A = ±B ; 2) A = B ⇔ ; 3) A < B ⇔ − B < A < B ; A = ±B B > 0 B ≥ 0 4) A < B ⇔ ; 5) A > B ⇔ B < 0 ∨ . −B < A < B A < −B ∨ A > B 3. Phương trình và b t phương trình vô t A ≥ 0 ∨ B ≥ 0 1) A = B ⇔ ; 2) A = B ⇔ B ≥ 0 ∧ A = B2 ; 3) A + B = 0 ⇔ A = B = 0 ; A = B A ≥ 0 ∧ B ≥ 0 ∧ C ≥ 0 B ≥ 0 4) A + B = C ⇔ ñưa v d ng A = B ; 5) A > B ⇔ ; ( ) 2 A+ B =C A > B A ≥ 0 ∧ B > 0 B < 0 B ≥ 0 6) AB⇔ ∨ ; 8) 3 A< 3 B ⇔ A < B; A < B2 A ≥ 0 A > B2 A ≥ 0 ∨ B ≥ 0 B ≥ 0 10) 2n A = 2n B ⇔ A =B⇔ 2n +1 9) A = B ⇔ A = B2n +1 ; ; 11) 2n . A = B A = B2n III. PHƯƠNG TRÌNH – B T PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1. Hàm s mũ y = ax (a > 0) 1) Mi n xác ñ nh D = ℝ 2) Mi n giá tr G = (0; +∞) 3) 0< a< 1: Hàm ngh ch bi n trên ℝ 4) a > 1: Hàm s ñ ng bi n trên ℝ lim a x = +∞, lim a x = 0 lim a x = 0, lim a x = +∞ x →−∞ x →+∞ x →−∞ x →+∞ Trang 2
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. M t s công th c c n nh (gi s các ñi u ki n ñư c th a) 1 1) a 0 = 1 (a ≠ 0) ; 2) a−n = ; 3) a m .a n = a m + n ; 4) a m : a n = a m−n ; an a m am m 5) ( a ) = a ; 7) = n n 6) (ab) = a .b ; 8) a n = a m . m m.n m m m ; b b m 2. Hàm s logarit y = logax (0 < a ≠ 1) : y = logax ⇔ x = ay 1) Mi n xác ñ nh D = (0; +∞) 2) Mi n giá tr G = ℝ 3) 0 < a < 1: Hàm ngh ch bi n trên D 4) a > 1: Hàm s ñ ng bi n trên D lim y = +∞, lim y = −∞ lim y = −∞, lim y = +∞ x → 0+ x →+∞ x → 0+ x →+∞ M t s công th c c n nh (gi s các ñi u ki n ñư c th a) 1) a loga x = x ; 2) eln x = x ; 3) a logb c = c logb a ; 4) log a x2n = 2n log a x ; β 1 log c b 5) log aα b β = log a b ; 6) log a b = ; 7) log a b = ; 8) log a b.log b c = log a c ; α log b a log c a 9) log a (bc) = log a b + log a c ; b 10) log a = log a b − log a c . c 3. Phương trình và b t phương trình mũ cơ b n a = 1 a f(x) = b b > 0 ∀x ∈ ℝ : f(x), g(x) ∈ ℝ 1) ⇔ ; 2) a f(x) = a g(x) ⇔ ; 0 < a ≠ 1 f(x) = log a b 0 < a ≠ 1 f(x) = g(x) b > 0 b > 0 a f(x) > b f(x) < log b a f(x) > b f(x) > log b 3) ⇔ a ; 4) ⇔ a ; 0 < a < 1 b ≤ 0 a > 1 b ≤ 0 ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ a f(x) > a g(x) a f(x) > a g(x) 5) ⇔ f(x) < g(x) ; 6) ⇔ f(x) > g(x) . 0 < a < 1 a > 1 4. Phương trình và b t phương trình logarit cơ b n log f(x) = b log f(x) = log a g(x) f(x) > 0 1) a ⇔ f(x) = a b ; 2) a ⇔ ; 0 < a ≠ 1 0 < a ≠ 1 f(x) = g(x) log f(x) > b log f(x) > b 3) a ⇔ 0 < f(x) < a b ; 4) a ⇔ f(x) > a b ; 0 < a < 1 a > 1 log f(x) > log a g(x) log f(x) > log a g(x) 5) a ⇔ 0 < f(x) < g(x); 6) a ⇔ f(x) > g(x) > 0. 0 < a < 1 a > 1 IV. H PHƯƠNG TRÌNH a x + b1y = c1 Nh c l i: H phương trình b c nh t hai n 1 . a 2 x + b2 y = c 2 Trang 3
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp a1 b1 c b1 a c1 For Evaluation Only. ð t D= , Dx = 1 , Dy = 1 . a2 b2 c2 b2 a2 c2 x = Dx / D 1) D ≠ 0 : H phương trình có nghi m duy nh t . y = Dy / D 2) D = 0, Dx ≠ 0 ho c Dy ≠ 0 : H phương trình vô nghi m. 3) D = Dx = Dy = 0: H có vô s nghi m th a a1x + b1y = c1 ho c a2x + b2y = c2. 1. H phương trình ñ ng c p Phương pháp chung 1) Nh n xét y = 0 có th a h phương trình không, n u có tìm x và thu ñư c nghi m. 2) V i y ≠ 0 , ñ t x = ty thay vào h phương trình gi i tìm t, y và x. 3) Th l i nghi m. x 2 + xy + y 2 = 1 y 3 − x 3 = 7 Ví d : 2 , 2 . 2x − xy + y = 2 2x y + 3xy = 16 2 2 2. H phương trình ñ i x ng lo i I (c 2 phương trình ñ u ñ i x ng) Phương pháp chung 1) Xét ñi u ki n, ñ t S = x + y, P = xy (S2 ≥ 4P) . 2) Gi i h tìm S, P r i dùng Vi–et ñ o tìm x, y. x 2 y + xy2 = 30 Ví d : 3 . x + y 3 = 35 3. H phương trình ñ i x ng lo i II a. D ng 1 (ñ i v trí x và y thì phương trình này tr thành phương trình kia) Phương pháp chung Cách 1. Tr hai phương trình cho nhau, ñưa v phương trình tích, gi i x theo y (hay ngư c l i) r i th vào m t trong hai phương trình c a h . x 3 + 2x = y 2x + 3 + 4 − y = 4 Ví d : 3 , . y + 2y = x 2y + 3 + 4 − x = 4 Cách 2 (n u cách 1 không th c hi n ñư c) C ng và tr l n lư t hai phương trình ñưa v h m i tương ñương g m hai phương trình tích (thông thư ng tương ñương v i 4 h m i). x 3 − 2x = y Ví d : 3 . y − 2y = x Cách 3. S d ng hàm s ñơn ñi u ñ suy ra x = y. 2x + 3 + 4 − y = 4 x = sin y Ví d : , . 2y + 3 + 4 − x = 4 y = sin x b. D ng 2 (ch có 1 phương trình ñ i x ng) Cách 1 ðưa phương trình ñ i x ng v d ng tích, gi i y theo x th vào phương trình còn l i. x − 1 = y − 1 Ví d : x y . 2 2x − xy − 1 = 0 Cách 2 Thư ng ñưa v d ng f(x) = f(y) ⇔ x = y v i hàm f(x) ñơn ñi u. ex − ey = y − x Ví d : 2 . x y − 3y − 18 = 0 4. H phương trình ch a mũ – logarit và d ng khác Tùy t ng trư ng h p c th ch n phương pháp thích h p (thư ng dùng phương pháp th ). V. B T ð NG TH C CAUCHY 1. B t ñ ng th c Cauchy hai s a+b Cho hai s không âm a và b, ta có: ≥ ab. ð ng th c x y ra khi a = b. 2 Trang 4
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2. B t ñ ng th c Cauchy n s For Evaluation Only. a1 + a 2 + ... + a n Cho n s không âm a1, a2,…, an ta có: ≥ n a1.a 2 ...a n . ð ng th c khi a1 = a2 = … = an. n Chú ý: a + a2 + ... + a n n . B t ñ ng th c Cauchy ngư c a1 .a2 ...a n ≤ 1 n VI. S PH C 1. S ph c và các phép tính cơ b n a) ð nh nghĩa s ph c M i bi u th c d ng a + bi , trong ñó a, b ∈ ℝ , i2 = −1 ñư c g i là m t s ph c. ð i v i s ph c z = a + bi , ta nói a là ph n th c, b là ph n o c a z. T p h p các s ph c ký hi u là ℂ = { a + bi a, b ∈ ℝ, i2 = −1 } . b) S ph c b ng nhau a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d . c) Bi u di n hình h c s ph c M i s ph c z = a + bi hoàn toàn ñư c xác b i m t c p s th c (a; b) . ði m M(a; b) trong h t a ñ vuông góc Oxy ñư c g i là ñi m bi u di n s ph c z = a + bi . d) Môñun c a s ph c Gi s s ph c z = a + bi ñư c bi u di n b i ñi m M(a; b) trên m t ph ng t a ñ Oxy. ð dài c a OM ñư c g i là môñun c a s ph c z và ký hi u là z . V y a + bi = a 2 + b2 . e) S ph c liên h p Cho s ph c z = a + bi . Ta g i a − bi là s ph c liên h p c a z và ký hi u là z = a − bi . NH N XÉT 1) Trên m t ph ng t a ñ ñi m bi u di n hai s ph c liên h p ñ i x ng v i nhau qua tr c Ox. 2) z = a + bi ⇒ z = a − bi ⇒ z = a + bi hay z = z . 3) z = a2 + (−b)2 = a 2 + b2 = z . f) Các phép tính cơ b n 1) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; 2) (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. 3) (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i; 4) z + z = (a + bi) + (a − bi) = 2a ; 2 z1 z .z z .z 5) z.z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = z ; 6) = 1 2 = 1 2 , z2 ≠ 0 . z2 2 z2 .z2 z2 Chú ý i) Phép nhân hai s ph c ñư c th c hi n theo quy t c nhân ña th c r i thay i2 = −1 trong k t qu nh n ñư c. ii) Phép c ng và phép nhân các s ph c có t t c các tính ch t c a phép c ng và phép nhân các s th c. c + di iii) Trong th c hành, ñ tính thương , ta nhân c t và m u v i s ph c liên h p c a a + bi . a + bi 4i) S th c a âm có hai căn b c hai là ±i a . g) Phương trình b c hai v i h s th c Cho phương trình b c hai ax2 + bx + c = 0 v i a, b, c ∈ ℝ , a ≠ 0 . Bi t s c a phương trình là ∆ = b2 − 4ac . b a) Khi ∆ = 0 , phương trình có m t nghi m th c x = − . 2a Trang 5
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. −b ± ∆ b) Khi ∆ > 0 , phương trình có hai nghi m th c phân bi t xác ñ nh b i công th c x1,2 = . 2a −b ± i ∆ c) Khi ∆ < 0 , phương trình có hai nghi m ph c phân bi t xác ñ nh b i công th c x1,2 = . 2a 2. D ng lư ng giác c a s ph c và ng d ng a) D ng lư ng giác c a s ph c i) Cho s ph c z khác 0 có ñi m bi u di n trên m t ph ng t a ñ là M. S ño (radian) c a góc lư ng giác tia ñ u Ox, tia cu i OM ñư c g i là m t acgumen c a z. ii) Cho s ph c z có moñun r và acgumen là φ thì z = r(cosφ + isinφ) ñư c g i là d ng lư ng giác c a z. b) Nhân và chia hai s ph c Cho hai s ph c z = r(cosφ + isinφ) và z’ = r’(cosφ’ + isinφ’), ta có: z' r' zz’ = r.r’[cos(φ + φ’) + isin(φ + φ’)] và = [cos(ϕ '− ϕ) + i sin(ϕ '− ϕ)] (r > 0). z r c) Công th c Moivre: zn = rn (cos nϕ + i sin nϕ) . d) Căn b c hai c a s ph c ϕ ϕ ϕ ϕ r cos + i sin và r cos + π + i sin + π . S ph c z dư i d ng lư ng giác (r > 0) có hai căn b c hai là: 2 2 2 2 ………………………………………………………. B. LƯ NG GIÁC I. CUNG VÀ GÓC – CÔNG TH C LƯ NG GIÁC 1. Quan h gi a ñ và radial (rad) π 180 0 1 = rad, 1 rad = 180 π 2. B ng chuy n ñ i thư ng dùng ð 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 π π π π 2π 3π 5π Radial π 6 4 3 2 3 4 6 3. Bi u di n cung – góc lư ng giác k2π k.360 N u cung (ho c góc) lư ng giác AM có s ño là α + (ho c a 0 + ) v i k ∈ ℤ , n ∈ ℕ+ thì có n ñi m M trên n n ñư ng tròn lư ng giác cách ñ u nhau. 4. B ng giá tr lư ng giác c a cung (góc) ñ c bi t Cung (góc) π π π π α 0 6 4 3 2 1 2 3 sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 cos α 1 0 2 2 2 3 tan α 0 1 3 3 3 cot α 3 1 0 3 5. Cung (góc) liên k t 5.1. Cung (góc) ñ i nhau 1) cos(−x) = cos x ; 2) sin(−x) = − sin x ; 3) tan(−x) = − tan x ; 4) cot(−x) = − cot x . 5.2. Cung (góc) bù nhau 1) cos(π − x) = − cos x ; 2) sin(π − x) = sin x ; 3) tan(π − x) = − tan x ; 4) cot(π − x) = − cot x . 5.3. Cung (góc) ph nhau π π π π 1) cos − x = sin x ; 2) sin − x = cos x ; 3) tan − x = cot x ; 4) cot − x = tan x . 2 2 2 2 5.4. Cung (góc) hơn kém nhau π 1) cos(x + π) = − cos x ; 2) sin(x + π) = − sin x ; 3) tan(x + π) = tan x ; 4) cot(x + π) = cot x . Trang 6
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp π For Evaluation Only. 5.5. Cung (góc) hơn kém nhau 2 π π π π 1) cos x + = − sin x ; 2) sin x + = cos x ; 3) tan x + = − cot x ; 4) cot x + = − tan x . 2 2 2 2 6. Công th c cơ b n 1 1 1) sin2x + cos2x = 1; 2) tgx.cotgx = 1; 3) 1 + tan 2 x = ; 4) 1 + cot2 x = . 2 cos x sin 2 x 7. Công th c c ng tan x ± tan y 1) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y ; 2) sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y ; 3) tan(x ± y) = . 1 ∓ tan x.tan y 8. Công th c nhân ñôi 2 tan x 1) cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x; 2) sin2x = 2sinxcosx; 3) tan 2x = . 1 − tan 2 x 9. Công th c nhân ba 3 tan x − tan 3 x 1) cos3x = 4cos3x – 3cosx; 2) sin3x = 3sinx – 4sin3x; 3) tan 3x = . 1 − 3 tan 2 x 10. Công th c h b c 1 + cos 2x 1 − cos 2x 3 cos x + cos 3x 3 sin x − sin 3x 1) cos2 x = ; 2) sin2 x = ; 3) cos3 x = ; 4) sin 3 x = . 2 2 4 4 x 11. Công th c bi u di n sinx, cosx, tgx theo t = tg 2 2t 1 − t2 2t 1) sin x = ; 2) cos x = ; 3) tan x = . 1+ t 2 1+ t 2 1 − t2 12. Công th c bi n ñ i tích thành t ng 1 1 1) cos x cos y = [cos(x − y) + cos(x + y)] ; 2) sin x sin y = [cos(x − y) − cos(x + y)] ; 2 2 1 3) sin x cos y = [sin(x − y) + sin(x + y)] . 2 13. Công th c bi n ñ i t ng thành tích x+y x−y x+y x−y 1) cos x + cos y = 2 cos cos ; 2) cos x − cos y = −2 sin sin ; 2 2 2 2 x+y x−y x+y x−y 3) sin x + sin y = 2 sin cos ; 4) sin x − sin y = 2 cos sin ; 2 2 2 2 sin(x ± y) sin(y ± x) 5) tan x ± tan y = ; 6) cot x ± cot y = . cos x cos y sin x sin y 14. Công th c ñ c bi t c n nh 1 3 1) 1 + sin2x = (sinx + cosx)2; 2) 1 – sin2x = (sinx – cosx)2; 3) sin4x + cos4x = 1 – sin22x; 4) sin6x + cos6x = 1 – sin22x. 2 4 5) sin x + cos x = 2 sin ( x + π / 4 ) = 2 cos ( x − π / 4 ) ; 6) sin x − cos x = 2 sin ( x − π / 4 ) = − 2 cos ( x + π / 4 ) . II. PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC 1. Phương trình lư ng giác cơ b n x = α + k2π x = α + k2π 1) cos x = cos α ⇔ ,k ∈ Z 2) sin x = sin α ⇔ ,k ∈ Z x = −α + k2π x = π − α+k2π 3) tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z 4) cot x = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z Phương trình cơ b n ñ c bi t c n nh π 4) sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z 1) cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z 2 π 5) sin x = 1 ⇔ x = + k2π, k ∈ Z 2) cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z 2 π 3) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z 6) sin x = −1 ⇔ x = − + k2π, k ∈ Z 2 Trang 7
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2. Các d ng phương trình lư ng giác For Evaluation Only. 2.1. D ng b c hai theo m t hàm s lư ng giác 1) acos2x + bcosx + c = 0 3) a.tan2x + b.tanx + c = 0 2 2) asin x + bsinx + c = 0 4) a.cot2x + b.cotx + c = 0 Phương pháp gi i toán Bư c 1. ð t n ph t = cosx (ho c t = sinx, t = tanx, t = cotx) và ñi u ki n c a t (n u có). Bư c 2. ðưa phương trình v d ng at2 + bt + c = 0. Chú ý N u 1 phương trình lư ng giác ñư c bi n ñ i thành 2 phương trình cơ b n tr lên thì sau khi gi i xong, ta ph i d a vào ñư ng tròn lư ng giác ñ t ng h p nghi m (n u có). 2.2. D ng b c nh t theo sinx và cosx asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0) Phương pháp gi i toán b Cách 1. Chia hai v (*) cho a và ñ t = tan α . a c c (*) ⇔ sin x + tan α cos x = ⇔ sin(x + α) = cos α . a a a b Cách 2. Chia hai v (*) cho a2 + b2 và ñ t = cos α, = sin α . a +b 2 2 a + b2 2 c c (*) ⇔ sin x cos α + cos x sin α = ⇔ sin(x + α ) = . a +b 2 2 a + b2 2 Chú ý: ði u ki n ñ phương trình có nghi m là: a2 + b 2 ≥ c2 2.3. D ng ñ ng c p (thu n nh t) theo sinx và cosx a) ð ng c p b c hai asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*) Phương pháp gi i toán π Cách 1. Ki m tra x = + kπ có là nghi m c a (*) không (n u có ta thu ñư c nghi m). 2 π V i x ≠ + kπ , chia hai v c a (*) cho cos2x: (*) ⇔ atan2x + btanx + c = 0. 2 Cách 2. Dùng công th c h b c và nhân ñôi, ta ñưa (*) v b c nh t theo sin2x và cos2x. b) ð ng c p b c cao (gi i tương t ) 2.4. D ng ñ i x ng ñ i v i sinx và cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) Phương pháp gi i toán π t2 − 1 Bư c 1. ð t t = sinx + cosx = 2 sin x + ⇒ − 2 ≤ t ≤ 2 và sin x cos x = . 4 2 Bư c 2. Thay vào (*) r i ta gi i phương trình b c hai theo t. Chú ý Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách gi i tương t v i t = sinx – cosx. 2.5. D ng phương trình khác Không có cách gi i t ng quát, tùy t ng bài toán c th ta dùng công th c bi n ñ i ñ ñưa v các d ng ñã bi t cách gi i. III. GI I TOÁN TRONG TAM GIÁC 1. Liên h các góc trong tam giác ABC A π B+C A = π − (B + C) = − 2 2 2 B 1) A + B + C = π ⇒ B = π − (C + A) A+B+C π = π−C+A 2) = ⇒ C = π − (A + B) 2 2 2 2 2 C π A+B = − 2 2 2 2. Các ñ nh lý trong tam giác ABC. Trong ∆ABC , ta ký hi u: 1) a, b, c l n lư t là các c nh ñ i di n các góc A, B, C. 4) ma, mb, mc l n lư t là ñ dài các trung tuy n xu t phát t các ñ nh A, B, C. 2) R, r l n lư t là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p và n i ti p. 5) ha, hb, hc l n lư t là ñ dài các ñư ng cao xu t phát t các a+b+c ñ nh A, B, C. 3) p = là n a chu vi ∆ABC . 6) S là di n tích c a ∆ABC . 2 Trang 8
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2.1. ð nh lý Phythagore (Pitago) For Evaluation Only. Cho ∆ABC vuông t i A và ñư ng cao AH, ta có: a2 = b 2 + c2 H qu 1 1 1 1) BA2 = BH.BC, CA2 = CH.CB 2) AH.BC = AB.AC 3) = + 2 2 AH AB AC2 2.2. ð nh lý hàm s cosin 1) a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 2) b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB 3) c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC 2.3. ð nh lý hàm s sin a b c = = = 2R sin A sin B sin C 3. Công th c tính ñ dài ñư ng trung tuy n 2b2 + 2c2 − a2 2a2 + 2c2 − b2 1) m a = ; 2) m b = ; 4 4 2a2 + 2b2 − c2 3 2 3) m c = ; 4) m2 + m2 + m 2 = a b c (a + b2 + c2 ) . 4 4 4. Công th c tính di n tích 1 1 1 1 1 1 1) S = ah a = bh b = ch c ; 2) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B ; 2 2 2 2 2 2 abc 3) S = p.r; 4) S = ; 5) S = p(p − a)(p − b)(p − c) . 4R …………………………………………….. C. GI I TÍCH I. TÍNH CH N – L C A HÀM S ð nh nghĩa 1) T p h p D ⊂ ℝ ñư c g i là ñ i x ng ⇔ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D . 2) Cho hàm s y = f(x) có MXð D ⊂ ℝ ñ i x ng a) f(x) ñư c g i là hàm s ch n ⇔ f(−x) = f(x), ∀x ∈ D . b) f(x) ñư c g i là hàm s l ⇔ f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D . Chú ý ð th c a hàm s l ñ i x ng qua g c t a ñ . ð th c a hàm s ch n ñ i x ng qua tr c tung. II. ð O HÀM – VI PHÂN C A HÀM S 1. Quy t c tính ñ o hàm Cho u(x), v(x), w(x) là các hàm s theo bi n s x và có ñ o hàm. Ta có: 1) (a.u)/ = a.u/ (a ∈ ℝ) 2) (u ± v)/ = u/ ± v/ 3) (u.v)/ = u/ .v + u.v/ , (u.v.w)/ = u/ .v.w + u.v/ .w + u.v.w/ u / u/ .v − u.v/ a / v/ 4) = (v ≠ 0) , = −a. (v ≠ 0, a ∈ ℝ) . v v2 v v2 2. B ng ñ o hàm c a các hàm s sơ c p (hàm s ñư c cho b i 1 công th c) ð o hàm c a các hàm s sơ c p cơ b n ð o hàm c a hàm s h p u = u(x) 1) ( xα ) = α.xα−1 1) ( uα ) = α.u/ .u α−1 / / 1 / 1 1 / u/ 2) = − 2) = − x x2 u u2 u/ ( x) 1 / ( u) / 3) = 3) = 2 x 2 u 4) ( sin x ) = cos x 4) ( sin u ) = u/ .cos u / / 5) ( cos x ) = − sin x 5) ( cos u ) = −u/ .sin u / / 1 u/ 6) ( tan x ) = / 6) ( tan u ) = / = 1 + tan2 x = u/ (1 + tan 2 u) cos2 x cos2 u Trang 9
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp −1 For Evaluation Only. −u / 7) ( cot x ) = / 7) ( cot u ) = / = −(1 + cot2 x) = −u/ (1 + cot2u) sin2 x sin2 u 8) ( e x ) = ex 8) ( eu ) = u/ .eu / / 9) ( a x ) = a x .ln a 9) ( a u ) = u/ .a u .ln a / / 1 u/ 10) ( ln x ) / 10) ( ln u ) / = = x u 1 u/ 11) ( log a x ) / 11) ( log a u ) / = = x.ln a u.ln a 3. Vi phân df(x) = f / (x)dx hay dy = y/dx . III. HÀM S ðƠN ðI U – C C TR C A HÀM S 1. Hàm s ñơn ñi u ax + b Tr y = , các hàm s còn l i (b c 3, b c 4, b c 2/1) ta dùng k t qu sau: cx + d f(x) ñ ng bi n trên kho ng (a; b) ⇔ f / (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) . f(x) ngh ch bi n trên kho ng (a; b) ⇔ f / (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) . 2. C c tr c a hàm s ð nh lý 1. Cho y = f(x) xác ñ nh trên kho ng (a; b) ch a x0. N u f(x) ñ t c c tr t i x0 và có ñ o hàm t i x0 thì f / (x 0 ) = 0 . Chú ý a) Hàm s có th ñ t c c tr t i x0 nhưng không có ñ o hàm t i x0. b) Hàm s có f / (x 0 ) = 0 nhưng có th không ñ t c c tr t i x0. ð nh lý 2. Cho hàm s f(x) có ñ o hàm trong kho ng ch a x0 a) N u f / (x) ñ i d u t + sang – t i x = x 0 thì f(x) ñ t c c ñ i t i x0 b) N u f / (x) ñ i d u t – sang + t i x = x 0 thì f(x) ñ t c c ti u t i x0 ð nh lý 3. Cho hàm s f(x) có ñ o hàm ñ n c p hai liên t c trong kho ng ch a x0 f / (x ) = 0 f / (x ) = 0 a) N u // 0 thì f(x) ñ t c c ti u t i x0; b) N u // 0 thì f(x) ñ t c c ti u t i x0. f (x 0 ) > 0 f (x 0 ) > 0 3. ðư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a ñ th hàm s (tham kh o) a) Hàm s b c ba Cho hàm s y = ax3 + bx2 + cx + d có ñ th (C). Gi s (C) có hai ñi m c c tr là A(x1; y1) và B(x2; y2) trong ñó x1, x2 là nghi m c a phương trình y/ = 0 , ñ vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua A và B ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Chia y cho y/ ta ñư c y = (px + q)y/ + αx + β (*). y = (px + q).y/ ( x ) + αx + β y = αx1 + β Bư c 2. Th t a ñ c a A và B vào (*) ta có: 1 1 1 1 ⇔ 1 . y2 = (px2 + q).y ( x 2 ) + αx2 + β / y 2 = αx 2 + β Bư c 3. ðư ng th ng (AB) : y = αx + β . Chú ý: Giá tr c c tr là yCT = αxCT + β . ax 2 + bx + c b) Hàm s h u t y = (tham kh o) dx + e ax 2 + bx + c Cho hàm s y = có ñ th (C). Gi s (C) có hai ñi m c c tr là A(x1; y1) và B(x2; y2) trong ñó x1, x2 là nghi m dx + e c a phương trình y/ = 0 , ñ vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua A và B ta th c hi n các bư c sau: U/ V − UV/ Bư c 1. ð t U = ax2 + bx + c, V = dx + e ta có y/ = (*). V2 Bư c 2. Th t a ñ c a A và B vào (*) ta có: U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/(x1,2 ) y/ (x1,2 ) = ⇒ U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/ (x1,2 ) = 0 2 V (x1,2 ) Trang 10
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp U(x1,2 ) U/ (x1,2 ) For Evaluation Only. 2a b ⇒ y1,2 = = = x + . V(x1,2 ) V/ (x1,2 ) d 1,2 d 2a b Bư c 3. ðư ng th ng (AB) : y = x+ . d d Chú ý: Giá tr c c tr là yCT = ( 2a / d ) xCT + ( b / d ) . IV. GIÁ TR NH NH T – GIÁ TR L N NH T C A HÀM S Phương pháp gi i toán 1. Hàm s liên t c trên ño n [a; b] Cho hàm s y = f(x) liên t c trên ño n [a; b]. ð tìm giá tr l n nh t (max) và giá tr nh nh t (min) c a f(x) trên ño n [a; b] ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Gi i phương trình f / (x) = 0 (tìm ñi m t i h n). Gi s có n nghi m x1; x2; …; xn thu c ño n [a; b] (ta lo i các nghi m n m ngoài ño n [a; b]). Bư c 2. Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b). Bư c 3. Giá tr l n nh t, nh nh t trong các giá tr bư c 2 là các giá tr tương ng c n tìm. Chú ý: a) ð cho g n ta dùng ký hi u fmin , fmax thay cho min f(x), max f(x) . x∈ X x∈ X b) N u ñ bài chưa cho ño n [a; b] thì ta ph i tìm MXð c a hàm s trư c khi làm bư c 1. c) Có th ñ i bi n s t = t(x) và vi t y = f(x) = g(t(x)) . G i T là mi n giá tr c a hàm t(x) (thư ng g i là ñi u ki n c a t ñ i v i x) thì: min f(x) = min g(t) , max f(x) = max g(t) . x∈ X t∈T x∈ X t∈T 2. Hàm s liên t c trên kho ng (a; b) ho c trên ℝ Cho hàm s y = f(x) liên t c trên D = (a; b) ho c D = ℝ ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Gi i f / (x) = 0 (tìm ñi m t i h n). Gi s có n nghi m x1; x2; …; xn thu c D (ta lo i các nghi m không thu c D). Bư c 2. Tính lim f(x) = L1 , f(x1), f(x2), …, f(xn), lim f(x) = L2 . x → a+ x → b− Bư c 3. 1) min { f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x n )} < min { L1, L2 } ⇒ fmin = min { f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x n )} (1). 2) max { f(x1 ), f(x2 ),..., f(x n )} > max { L1, L2 } ⇒ fmax = max { f(x1 ), f(x2 ),..., f(x n )} (2). 3) N u không th a (1) (ho c (2)) thì hàm s không ñ t min (ho c max). Chú ý: Có th l p b ng bi n thiên c a hàm s f(x) thay cho bư c 3. V. TI P TUY N V I ð TH HÀM S 1. Ti p tuy n t i ñi m M(x0; y0) thu c ñư ng cong (C): y = f(x) Bư c 1. Ki m tra ñi m M thu c ñư ng cong (C). Bư c 2. Áp d ng công th c y − y 0 = f / (x 0 )( x − x 0 ) . 2. Ti p tuy n v i ñư ng cong (C): y = f(x) bi t h s góc là k Bư c 1. Gi i phương trình f / (x) = k ⇒ x 0 ⇒ y 0 ⇒ M(x 0 ; y 0 ) là ti p ñi m. Bư c 2. Áp d ng công th c y − y 0 = k ( x − x 0 ) . 3. Ti p tuy n ñi qua ñi m M(x0; y0) v i ñư ng cong (C): y = f(x) (M có th thu c (C)) Bư c 1. Ti p tuy n qua ñi m M có d ng (d): y = k(x – x0) + y0. f(x) = k(x − x 0 ) + y 0 (1) Bư c 2. (d) ti p xúc (C) khi và ch khi h phương trình sau có nghi m: / . f (x) = k (2) Bư c 3. Gi i h phương trình trên b ng cách th k t (2) vào (1), gi i x và th tr l i (2) ñ tìm k. Cu i cùng th k vào phương trình c a (d). VI. ð TH C A HÀM S CH A GIÁ TR TUY T ð I 1. ð th hàm s y = f ( x ) (hàm s ch n) G i (C) : y = f(x) và (C1 ) : y = f ( x ) ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. V ñ th (C) và ch gi l i ph n ñ th n m phía bên ph i tr c tung. Bư c 2. L y ñ i x ng ph n ñ th bư c 1 qua tr c tung ta ñư c ñ th (C1). 2. ð th hàm s y = f(x) G i (C) : y = f(x) và (C2 ) : y = f(x) ta th c hi n các bư c sau: Trang 11
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp Bư c 1. V ñ th (C). For Evaluation Only. Bư c 2. Gi l i ph n ñ th c a (C) n m phía trên tr c hoành. L y ñ i x ng ph n ñ th n m phía dư i tr c hoành c a (C) qua tr c hoành ta ñư c ñ th (C2). 3. ð th hàm s y = f ( x ) G i (C1 ) : y = f ( x ) , (C2 ) : y = f(x) và (C3 ) : y = f ( x ) . D th y ñ v (C3) ta th c hi n các bư c v (C1) r i (C2) (ho c (C2) r i (C1)). …………………………………………… D. HÌNH H C Chương I. HÌNH H C PH NG I. PHƯƠNG PHÁP T A ð TRONG M T PH NG Cho a = (a1 ; a 2 ), b = (b1 ; b2 ) , ta có: 1) a ± b = (a1 ± b1 ; a 2 ± b2 ) . 2) ka = (ka1 ; ka2 ), k ∈ ℝ . a1 a2 a a 3) a b ⇔ a = k.b ⇔ = 0 ⇔ a1b2 − a2 b1 = 0 ⇔ 1 = 2 (b1 ≠ 0 ≠ b2 ) . b1 b2 b1 b2 2 4) a.b = a1b1 + a2 b2 . 5) a = a1 + a 2 ⇒ a = 2 2 a1 + a 2 . 2 2 a.b a1b1 + a2 b2 6) a.b = a b cos(a, b) ⇒ cos(a, b) = = a b 2 a1 + a2 b1 + b2 2 2 2 ⇒ a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 = 0 . ( xB − x A ) + ( yB − yA ) . 2 2 7) AB = (x B − x A ; y B − y A ) ⇒ AB = x − k.x B y A − k.y B . 8) ði m M chia ño n AB theo t s k ⇔ MA = k.MB ⇒ M A ; 1−k 1−k x + xB yA + yB . 9) ði m I là trung ñi m c a ño n AB thì I A ; 2 2 x + x B + xC y A + y B + yC . 10) T a ñ tr ng tâm G c a ∆ABC là G A ; 3 3 II. ðƯ NG TH NG 1. Phương trình ñư ng th ng 1.1. Phương trình t ng quát Phương trình t ng quát c a ñư ng th ng (d) có d ng Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 > 0 ) . 1) u = (−B; A) ho c u = (B; −A) là vectơ ch phương (VTCP) c a (d). 2) n = (A; B) là vectơ pháp tuy n (VTPT) c a (d). 3) (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và n = (A; B) thì (d): pt(d) : A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) = 0 . 1.2. Phương trình tham s (ptts) x = x 0 + u1t (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP u = (u1 ; u2 ) thì ptts(d) : (t ∈ ℝ) . y = y 0 + u 2t 1.3. Phương trình chính t c (ptct) x − x0 y − y0 (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP u = (u1 ; u2 ) v i u1u 2 ≠ 0 thì ptct(d) : = . u1 u2 1.4. Phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m x − xA y − yA x − xB y − yB pt(AB) : = ho c pt(AB) : = . x B − xA yB − yA x B − xA yB − yA 1.5. Phương trình ño n ch n x y Cho (d) ñi qua A(a; 0), B(0; b) (a ≠ 0 ≠ b) thì pt(d) : + = 1. a b 1.6. ð c bi t pt(Ox) : y = 0 , pt(Oy) : x = 0 . Trang 12
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2. M t s tính ch t For Evaluation Only. Cho hai ñư ng th ng (d1): A1x + B1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0. 2.1. V trí tương ñ i c a hai ñư ng th ng A B1 A B 1) (d1) c t (d2) ⇔ 1 ≠ 0 ⇔ A1B2 ≠ A2B1 . Ho c 1 ≠ 1 ( A2 ≠ 0 ≠ B2 ) . A2 B2 A2 B2 A1 B1 B1 C1 C1 A1 2) (d1) song song (d2) ⇔ = 0, ≠ 0 ho c ≠ 0. A2 B2 B2 C2 C2 A2 A1 B1 B1 C1 C1 A1 3) (d1) trùng (d2) ⇔ = = = 0. A2 B2 B2 C2 C2 A2 2.2. Góc gi a hai ñư ng th ng n1 .n2 G i ϕ, n1, n2 là góc và VTPT c a (d1) và (d2), ta có: cos ϕ = . n1 . n 2 Ax 0 + By 0 + C 2.3. Kho ng cách t M0 (x 0 ; y 0 ) ñ n (d): d(M0 ; (d)) = . A2 + B2 III. ðƯ NG TRÒN 1. Phương trình ñư ng tròn Cho ñư ng tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R. 1.1. Phương trình chính t c (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2. 1.2. Phương trình t ng quát (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, R = a 2 + b2 − c . 2. V trí tương ñ i c a ñư ng th ng và ñư ng tròn Cho (d): Ax + By + C = 0 và (C) tâm I bán kính R, ta có 3 v trí tương ñ i sau ñây: 1) (d) ti p xúc (C) ⇔ d(I; (d)) = R. 2) (d) c t (C) t i hai ñi m phân bi t ⇔ d(I; (d)) < R. 3) (d) không c t (C) ⇔ d(I; (d)) > R. 3. V trí tương ñ i c a hai ñư ng tròn Cho (C1) tâm I1 bán kính R1 và (C2) tâm I2 bán kính R2, ta có 5 v trí tương ñ i sau ñây: 1) (C1) và (C2) ngoài nhau ⇔ I1I2 > R1 + R2. 2) (C1) ti p xúc ngoài v i (C2) ⇔ I1I2 = R1 + R2. 3) (C1) c t (C2) t i hai ñi m phân bi t ⇔ R1 − R 2 < I1I2 < R1 + R 2 . 4) (C1) ti p xúc trong v i (C2) ⇔ I1I2 = R1 − R 2 . 5) (C1) và (C2) ch a nhau ⇔ I1I2 < R1 − R 2 . IV. CÁC ðƯ NG CONIC 1. ELIP 1.1. ð nh nghĩa Cho hai ñi m c ñ nh F1, F2 v i F1F2 = 2c và h ng s 2a (a > c > 0). T p (E) là m t elip n u M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a . 1) F1, F2 là 2 tiêu ñi m. 2) F1F2 = 2c là tiêu c . 3) A1(– a; 0), A2(a; 0), B1(0;–b), B2(0; b) là 4 ñ nh c a elip. x2 y2 1.2. Phương trình chính t c: (E) : + = 1 . Trong ñó, b2 = a2 – c2 và a > b > 0. a2 b2 1.3. Bán kính qua tiêu ñi m x2 y2 c c Cho ñi m M thu c (E) : + = 1 ta có MF1 = a + x , MF2 = a − x M . a 2 b 2 a M a 1.4. Tâm sai c a 2 − b2 e= = ( e < 1) . a a 1.5. ðư ng chu n c a elip a a2 a a2 (∆1 ) : x = − ⇔ x = − , (∆2 ) : x = ⇔ x = . e c e c 1.6. Ti p tuy n v i elip ði u ki n ti p xúc x2 y2 Cho ñư ng th ng (d): Ax + By + C = 0 và elip (E): + = 1 ta có: (d) ti p xúc (E) ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 (C ≠ 0) . 2 2 a b Trang 13
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2. HYPERPOL For Evaluation Only. 2.1. ð nh nghĩa Cho hai ñi m c ñ nh F1, F2 v i F1F2 = 2c và h ng s 2a (c > a > 0). T p (H) là m t hyperpol n u M ∈ (H) ⇔ MF1 − MF2 = 2a . 1) F1(– c; 0), F2(c; 0) là 2 tiêu ñi m. 2) F1F2 = 2c là tiêu c . 3) A1(– a; 0), A2(a; 0) là 2 ñ nh thu c tr c th c. B1(0;–b), B2(0; b) là 2 ñ nh thu c tr c o. 2.2. Phương trình chính t c (H) x2 y2 − = 1 , c2 = a2 + b2. 2 2 a b 2.3. Bán kính qua tiêu ñi m 1) M thu c nhánh ph i (xM > 0): MF1 = exM + a, MF2 = exM – a. 2) M thu c nhánh trái (xM < 0): MF1 = – exM – a, MF2 = – exM + a. c 2.4. Tâm sai: e = > 1 a a a2 2.5. ðư ng chu n: x = ± = ± e c b 2.6. Ti m c n: y = ± x a 2.7. ði u ki n ti p xúc v i ñư ng th ng: a2A2 – b2B2 = C2 (C ≠ 0) x2 y2 x2 y2 Chú ý: − = −1 là hyperpol liên h p c a − = 1. a2 b2 a2 b2 3. PARAPOL 3.1. ð nh nghĩa Cho ñư ng th ng c ñ nh ( ∆ ) và ñi m F ∉ ( ∆ ) c ñ nh. T p (P) là m t parapol n u M ∈ (P) ⇔ MF = d ( M, ∆ ) . p 1) F ; 0 là tiêu ñi m, ( ∆ ) là ñư ng chu n. 2 2) p = d ( F, ∆ ) là tham s tiêu. 3) O(0; 0) là ñ nh và MF là bán kính qua tiêu ñi m c a M (M thu c parapol). 3.2. Phương trình chính t c (P): y2 = 2px (p > 0). 3.3. Tâm sai: e = 1. p 3.4. ðư ng chu n: x = − . 2 3.4. ði u ki n ti p xúc: 2AC = B2p. 3.5. Các d ng parapol khác: y2 = – 2px, x2 = 2py, x2 = – 2py (p > 0). Chương II. CÁC TÍNH CH T VÀ CÔNG TH C CƠ B N TRONG HÌNH H C KHÔNG GIAN 1. Quan h song song Trong không gian cho các ñư ng th ng a, b, c và m t ph ng (P), (Q), (R). Ta có: 1) a // b ⇔ a, b ñ ng ph ng và a ∩ b = Ø; 2) a // (P) ⇔ a ∩ (P) = Ø; 3) a // (P) ⇔ a ⊄ (P) và ∃b ⊂ (P) : a // b; 4) (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = Ø; 5) (P) // (Q) ⇔ ∃a, b ⊂ (P) , a c t b: a, b // (Q); 6) a // (P) và (P) ∩ (Q) = b ⇒ a // b; 7) (P) // (Q), (R) ∩ (P) = a và (R) ∩ (Q) = b ⇒ a // b; 8) a ⊂ (P) , b ⊂ (Q) , a // b và (P) ∩ (Q) = c ⇒ a // b // c. 2. Quan h vuông góc Trong không gian cho các ñư ng th ng a, b, c và m t ph ng (P), (Q), (R). Ta có: 1) a ⊥ b ⇔ (a, b) = 900 ; 2) a ⊥ (P) ⇔ ∃b, c ⊂ (P) , b c t c: a ⊥ b , a ⊥ c ; 3) (P) ⊥ (Q) ⇔ ∃a ⊂ (P) : a ⊥ (Q) ; 4) (P) // (Q), a ⊥ (P) ⇒ a ⊥ (Q) ; 5) (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R) và (P) ∩ (Q) = a ⇒ a ⊥ (R) ; 6) Ch(P)a = b, c ⊂ (P) và c ⊥ b ⇒ c ⊥ a (ð nh lý 3 ñư ng vuông góc). Trang 14
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 3. Th tích For Evaluation Only. 1) Th tích kh i lăng tr : V = Sh (S: di n tích ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 1 2) Th tích kh i chóp: V = Sh (S: di n tích ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 3 1 1 3) Th tích kh i nón: V = Sh = πR 2h (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 3 3 4) Th tích kh i tr : V = Sh = πR 2h (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 4 5) Th tích kh i c u: V = πR 3 (R: bán kính ñáy). 3 6) Cho kh i t di n S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC l y l n lư t các ñi m A’, B’, C’ khác S. V SA ' SB' SC ' Khi ñó S.A ' B' C ' = . . . VS.ABC SA SB SC 4. Di n tích 1) Di n tích xung quanh hình nón: Sxq = πRl (R: bán kính ñáy, l: ñ dài ñư ng sinh). 2) Di n tích toàn ph n hình nón: Stp = πR(R + l) (R: bán kính ñáy, l: ñ dài ñư ng sinh). 3) Di n tích xung quanh hình tr : Sxq = 2πRh (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 4) Di n tích toàn ph n hình tr : Stp = 2πR(R + h) (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 5) Di n tích m t c u: S = 4πR 2 (R: bán kính ñáy). Chương III. PHƯƠNG PHÁP T A ð TRONG KHÔNG GIAN I. CÔNG TH C CƠ B N Cho a = (a1 ; a2 ; a 3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ) ta có: 1) a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a 3 ± b3 ) . 2) k.a = (ka1 ; ka 2 ; ka 3 ), k ∈ R . 2 3) Tích vô hư ng a.b = a1b1 + a2 b2 + a 3b 3 . 4) a = a1 + a2 + a 2 ⇒ a = 2 2 3 a1 + a2 + a 2 . 2 2 3 ( xB − xA ) + ( y B − y A ) + ( zB − zA ) . 2 2 2 5) AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA) ⇒ AB = a.b a1b1 + a2 b2 + a 3b 3 6) cos(a, b) = = a.b 2 a1 + a2 + a2 b1 + b2 + b2 2 3 2 2 3 ⇒ a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a 3 b3 = 0 . a a3 a a1 a a2 7) Tích có hư ng a, b = 2 ; 3 ; 1 . b2 b3 b3 b1 b1 b2 a a a 8) a cùng phương b ⇔ a = k.b ⇔ a, b = 0 ⇔ 1 = 2 = 3 ( b1, b2 , b 3 ≠ 0 ) . b1 b2 b3 9) a, b ⊥ a, a, b ⊥ b . a, b 10) a, b = a . b .sin(a, b) ⇒ sin(a, b) = . a.b 11) a, b, c ñ ng ph ng ⇔ a, b c = 0. x − k.x B y A − k.y B zA − k.zB . 12) ði m M chia ño n AB theo t s k ⇔ MA = k.MB ⇒ M A ; ; 1−k 1−k 1−k x + x B y A + y B zA + zB . 13) ði m I là trung ñi m c a ño n AB thì I A ; ; 2 2 2 x + x B + xC y A + y B + yC zA + zB + zC . 14) T a ñ tr ng tâm G c a ∆ABC : G A ; ; 3 3 3 15) Tr ng tâm G c a t di n ABCD th a GA + GB + GC + GD = 0 và có t a ñ : x + x B + xC + x D y A + y B + yC + y D zA + zB + zC + zD . G A ; ; 4 4 4 Trang 15
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 1 For Evaluation Only. 16) Di n tích ∆ABC là S∆ABC = AB, AC . 2 17) Th tích hình h p ABCD.A’B’C’D’: VABCD.A ' B' C' D ' = AB, AD .AA ' . 1 18) Th tích t di n ABCD: VABCD = AB, AC .AD . 6 DE.AB = 0 19) DE ⊥ (ABC) ⇔ ho c DE AB, AC . DE.AC = 0 DE. AB, AC = 0 20) DE (ABC) ⇔ D ∉ (ABC) ∨ E ∉ (ABC). AB.CD 21) Góc α gi a ñư ng th ng AB và CD th a cos α = cos AB, CD ( )= AB.CD . MA, AB 22) Kho ng cách gi a ñi m M và ñư ng th ng AB là d ( M, AB ) = . AB AB, CD .AC 23) Kho ng cách gi a AB và CD chéo nhau: d ( AB, CD ) = . AB, CD II. M T PH NG 1. Vector pháp tuy n và c p vector ch phương c a m t ph ng ð nh nghĩa 1 Vector n ≠ 0 vuông góc v i m t ph ng (α ) là pháp vector c a (α ) . ð nh nghĩa 2 Hai vector a, b không cùng phương, khác 0 và n m trên (α ) (ho c các m t ph ng ch a a, b song song v i (α ) ) là c p vector ch phương (VTCP) c a (α ) . Chú ý 1) N u a, b là c p VTCP c a (α ) thì n = a, b là pháp vector c a (α ) . 2) N u ba ñi m A, B, C ∈ (α) và không th ng hàng thì n = AB, AC là PVT c a (α ) . 2. Phương trình t ng quát c a m t ph ng Cho m t ph ng (α ) ñi qua ñi m M0(x0; y0; z0) và nh n n = (A; B; C) làm pháp vectơ thì phương trình t ng quát c a (α ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. Chú ý N u m t ph ng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì n = (A; B; C) là pháp vector. 3. Các trư ng h p riêng a) M t ph ng t a ñ (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0. b) M t ph ng ch n 3 tr c t a ñ Cho (α ) c t các tr c Ox, Oy, Oz l n lư t t i A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) ( a, b, c ≠ 0 ) thì phương trình m t x y z ph ng (α) : + + = 1 (g i là phương trình theo ño n ch n). a b c 4. V trí tương ñ i c a hai m t ph ng Cho hai m t ph ng (α ) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (β) : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 có các pháp vector tương ng là nα = ( A1 ; B1 ; C1 ), n β = ( A2 ; B2 ; C2 ) . 1) (α ) c t (β) ⇔ n α , n β không cùng phương ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 . A1 B C D 2) (α ) trùng v i (β) ⇔ = 1 = 1 = 1. A2 B2 C2 D2 A1 B C D 3) (α ) song song v i (β) ⇔ = 1 = 1 ≠ 1. A2 B2 C2 D2 Trang 16
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp III. ðƯ NG TH NG For Evaluation Only. 1. ð nh nghĩa Vector u ≠ 0 ñư c g i là vector ch phương (VTCP) c a ñư ng th ng d n u u n m trên d ho c ñư ng th ng ch a u song song v i d. Chú ý ðư ng th ng trong không gian không có pháp vector. 2. Phương trình tham s c a ñư ng th ng x = x + u t 0 1 d qua M(x0; y0; z0) và có VTCP u = (u1 ; u 2 ; u 3 ) thì: ptts d : y = y 0 + u2 t (t ∈ ℝ) . z = z + u t 0 3 3. Phương trình chính t c c a ñư ng th ng d qua M(x0; y0; z0) và có VTCP u = (u1 ; u 2 ; u 3 ) v i u1u2u 3 ≠ 0 thì x − x0 y − y0 z − z0 ptct d : = = . u1 u2 u3 5. V trí tương ñ i c a hai ñư ng th ng Cho hai ñư ng th ng d1, d2 có VTCP là u1, u 2 . G i ñi m M1 ∈ d1 và M2 ∈ d2 , ta có: a) Trư ng h p 1: d1 và d2 ñ ng ph ng ⇔ u1, u2 M1M2 = 0 . u , u M M = 0 và u , u ≠ 0 (không cùng phương). 1) d1 c t d2 ⇔ 1 2 1 2 1 2 2) d1 song song v i d2 ⇔ u1, u2 = 0 và M1 ∉ d2 (ho c M2 ∉ d1 ). u , u = 0 và M ∈ d (ho c M ∈ d ). 3) d1 trùng v i d2 ⇔ 1 2 1 2 2 1 b) Trư ng h p 2: d1 chéo d2 ⇔ u1, u2 M1M2 ≠ 0 (không ñ ng ph ng). Chú ý: Ta có th xét h phương trình c a d1 và d2 ñ suy ra v trí tương ñ i như sau: 1) H phương trình có nghi m duy nh t ⇔ d1 c t d2. 2) H phương trình có vô s nghi m ⇔ d1 trùng d2. 3) H phương trình vô nghi m và a1, a 2 cùng phương ⇔ d1 song song v i d2. 4) H phương trình vô nghi m và a1, a 2 không cùng phương ⇔ d1 và d2 chéo nhau. 6. V trí tương ñ i c a ñư ng th ng và m t ph ng Cho ñư ng th ng d ñi qua ñi m M và có VTCP u , m t ph ng (α ) có VTPT n . 1) d c t (α ) ⇔ u.n ≠ 0 (ho c h phương trình có nghi m duy nh t). 2) d (α ) ⇔ u.n = 0 và M ∉ (α ) (ho c h phương trình vô nghi m). 3) d ⊂ (α ) ⇔ u.n = 0 và M ∈ (α ) (ho c h phương trình có vô s nghi m). 4) d ⊥ (α) ⇔ u n ⇔ u, n = 0 . IV. KHO NG CÁCH VÀ GÓC 1. Kho ng cách a) Kho ng cách t M(x0; y0; z0) ñ n m t ph ng (P): Ax + By + Cz + D = 0 Ax 0 + By 0 + Cz0 + D d M, (P) = . A2 + B2 + C2 MA, a b) Kho ng cách t M ñ n ñư ng th ng d: d(M, d) = , (A ∈ d) . a Chú ý: Ta có th tìm hình chi u H c a M trên d và d(M, d) = MH. c) Kho ng cách gi a d1 song song d2 (M1 ∈ d1, M2 ∈ d2 ) : d(d1, d2) = d(M1, d2) = d(M2, d1) d) Kho ng cách gi a ñư ng th ng d và m t ph ng (P) song song (M ∈ d) : d[d, (P)] = d[M, (P)] e) Kho ng cách gi a hai m t ph ng (P), (Q) song song ( M1 ∈ ( P ) , M2 ∈ ( Q ) ) : d[(P), (Q)] = d[M1, (Q)] = d[M2, (P)] Trang 17
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp a For Evaluation Only. , a .M M f) Kho ng cách gi a d1 chéo d2: d(d1, d2 ) = 1 2 1 2 , (M1 ∈ d1, M2 ∈ d2 ) . a , a 1 2 2. Góc Công th c cơ b n: a.b = a b cos a, b u1 .u2 ( ) a) Góc gi a d1 và d2: cos d1, d2 = cos u1, u2 = u1 u2 . Chú ý: 1) d1 ( d2 ⇒ d1, d2 = 00 . ) 2) d1 ⊥ d2 ⇔ u1 .u2 = 0 . n P .nQ b) Góc gi a hai m t ph ng: cos ( ( P ), ( Q ) ) = cos n P, nQ = n P nQ . Chú ý: 1) ( P ) ( Q ) ⇒ ( ( P ), ( Q ) ) = 00 . 2) ( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ n P .n Q = 0 . u d .n P c) Góc gi a ñư ng th ng và m t ph ng: sin d, ( ( P )) = cos u d , n P = ud nP . Chú ý: 1) d ⊂ ( α ) ho c d ( P ) ⇒ ud .n P = 0. 2) d ⊥ ( P ) ⇔ u d , n P = 0 . V. M T C U 1. Phương trình chính t c c a m t c u M t c u (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình chính t c là: (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2. Phương trình t ng quát c a m t c u (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 M t c u (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R = a 2 + b2 + c2 − d > 0 . 3. V trí tương ñ i c a m t ph ng và m t c u Cho m t ph ng (P) và m t c u (S) tâm I, bán kính R ta có: a) M t ph ng không c t m t c u ⇔ d I,(P) > R . b) M t ph ng ti p xúc m t c u ⇔ d I,(P) = R . c) M t ph ng c t m t c u theo giao tuy n là ñư ng tròn ⇔ d I,(P) < R . Chú ý: Khi I ∈ ( P ) thì giao tuy n là ñư ng tròn l n có bán kính b ng bán kính m t c u. …………………………………………………. E. TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM 1. Tính ch t ( ∫ f(x)dx ) / 1) = f(x) ; 2) ∫ a.f(x)dx = a.∫ f(x)dx (a ≠ 0) ; 3) ∫ f(x) ± g(x) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx . 2. B ng nguyên hàm Nguyên hàm c a hàm s cơ b n Nguyên hàm m r ng, u = u(x) 1) ∫ a.dx = ax + C, a∈ℝ 1) ∫ adu = au + C, a∈ℝ x α+1 uα+1 2) ∫ xα dx = α +1 + C, α ≠ −1 2) ∫ uα du = α +1 + C, α ≠ −1 dx du 3) ∫ x = ln x + C, x ≠ 0 3) ∫ u = ln u + C, u ≠ 0 dx 1 du 1 4) ∫ x2 =− +C x 4) ∫ u2 =− +C u Trang 18
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp dx For Evaluation Only. du 5) ∫ x = 2 x +C 5) ∫ u =2 u +C 6) ∫ exdx = ex + C 6) ∫ eudu = eu + C ax au 7) ∫ a x dx = ln a + C 7) ∫ audu = ln a + C 8) ∫ cos xdx = sin x + C 8) ∫ cos udu = sin u + C 9) ∫ sin xdx = − cos x + C 9) ∫ sin udu = − cos u + C 1 du 10) ∫ cos2 x dx = tan x + C 10) ∫ cos2 u = tan u + C 1 du 11) ∫ sin2 x dx = − cot x + C 11) ∫ sin2 u = − cot u + C ð c bi t 1 N u ∫ f(x)dx = F(x) + C thì ∫ f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C . Các công th c thư ng g p: 1 (ax + b)α+1 dx 1 1) ∫ (ax + b)α dx = a . α +1 +C; 2) ∫ ax + b = a .ln ax + b + C; 1 ax + b 1 3) ∫ eax+b = a .e +C; 4) ∫ cos(ax + b)dx = a .sin(ax + b) + C ; 1 dx 1 5) ∫ sin(ax + b)dx = − .cos(ax + b) + C ; a 6) ∫ cos (ax + b) 2 = .tg(ax + b) + C . a II. PHƯƠNG PHÁP ð I BI N S 1. ð nh nghĩa Cho hàm s f(x) liên t c trên kho ng ( α; β ) và F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) trên kho ng ñó, v i a, b ∈ ( α; β ) ta g i hi u F(b) − F(a) là tích phân t a ñ n b c a f(x). b b Ký hi u: ∫ f(x)dx = F(b) − F(a) = F(x) a (công th c Newton - Leibniz). a b b b Nh n xét: ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = ... = F(b) − F(a) . a a a 2. Tính ch t Cho hai hàm s f(x), g(x) liên t c trên kho ng ( α; β ) và a, b, c ∈ ( α; β ) ta có: a b a 1) ∫ f(x)dx = 0 ; 2) ∫ f(x)dx = −∫ f(x)dx ; a a b b b b c b 3) ∫ k.f(x)dx = k ∫ f(x)dx ∀k ∈ ℝ ; 4) ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . a a a a c b b b 5) ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx ; a a a b b 6) f(x) ≥ 0 ∀x ∈ a; b ⇒ ∫ f(x)dx ≥ 0 , f(x) ≤ 0 ∀x ∈ a; b ⇒ ∫ f(x)dx ≤ 0 ; a a b b 7) f(x) ≥ g(x) ∀x ∈ a; b ⇒ ∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx ; a a b 8) m ≤ f(x) ≤ M ∀x ∈ a; b ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a) ; a t 9) N u t bi n thiên trên [a; b] thì G(t)=∫ f(x)dx là m t nguyên hàm c a f(t) th a G(a) = 0. a Trang 19
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 3. Các k t qu c n nh For Evaluation Only. a 1) V i a > 0 , hàm s f(x) l và liên t c trên ño n [–a; a] thì ∫ f(x)dx = 0 . −a a a 2) V i a > 0 , hàm s f(x) ch n và liên t c trên ño n [–a; a] thì ∫ f(x)dx = 2∫ f(x)dx . −a 0 III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N 1. Công th c b b b ∫ udv = uv a − ∫ vdu (1) a a 2. Phương pháp gi i toán b Gi s c n tính tích phân ∫ f(x)g(x)dx ta th c hi n như sau: a Bư c 1. ð t u = f(x), dv = g(x)dx (ho c ngư c l i) sao cho d tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du = u/ (x)dx không b quá ph c t p. Hơn n a, tích phân ∫ vdu ph i tính ñư c. a Bư c 2. Thay vào công th c (1) ñ tính k t qu . ð c bi t: b b b 1) ∫ P(x)sin axdx, ∫ P(x)cos axdx, ∫ eax .P(x)dx , (P(x): ña th c) ta ñ t u = P(x) . a a a b 2) ∫ P(x)lnα xdx ta ñ t u = ln α x . a ln x Chú ý: log a x = . ln a IV. TÍCH PHÂN CH A GIÁ TR TUY T ð I Phương pháp gi i toán b Gi s c n tính tích phân I = ∫ f(x) dx , ta th c hi n các bư c sau: a Bư c 1 L p b ng xét d u (BXD) c a hàm s f(x) trên ño n [a; b], gi s f(x) có BXD: x a x1 x2 b f(x) + 0 – 0 + Bư c 2 b x1 x2 b Tính I = ∫ f(x) dx = ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . a a x1 x2 Chú ý: N u trong kho ng (a; b) phương trình f(x) = 0 không có nghi m thì: b b ∫ f(x) dx = ∫ f(x)dx a a V. NG D NG C A TÍCH PHÂN 1. Tính di n tích hình ph ng 1.1. Trư ng h p 1 Di n tích hình ph ng S gi i h n b i các ñư ng y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là: b S= ∫ f(x) − g(x) dx a Trang 20
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Hướng dẫn giải đề thi đại học môn Hoá khối B năm 2009
23 p | 2002 | 679
-
Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán khối B năm 2012 (có đáp án)
5 p | 744 | 315
-
Rèn luyện kỹ năng giải đề thi đại học 2010
13 p | 283 | 177
-
Đáp án và đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán khối D năm 2013
8 p | 374 | 120
-
ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_01
10 p | 95 | 43
-
ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_02
10 p | 66 | 29
-
ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_03
10 p | 80 | 28
-
ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_04
10 p | 62 | 17
-
ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_05
4 p | 65 | 15
-
ÔN LUYỆN KIẾN THỨC THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI NĂM 2011 - PRACTICE TEST 3
6 p | 50 | 5
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Vật lý: Đề số 12
0 p | 19 | 4
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Vật lý: Đề số 15
0 p | 16 | 3
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Ngữ văn: Đề số 07
0 p | 15 | 2
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Ngữ văn: Đề số 05
0 p | 14 | 2
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Vật lý: Đề số 09
0 p | 16 | 2
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Vật lý: Đề số 02
0 p | 10 | 2
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Ngữ văn: Đề số 12
0 p | 18 | 2

markdown:
# Ôn tập kiến thức kỹ năng giải đề thi đại học 2010
Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40
lượt xem 143
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2010/20100828/trungtran4/80x100/on_tap_kien_thuc_ki_nang_giai_de_thi_dai_hoc_cao_dang_2010_1081.jpg)
##
Ôn tập kiến thức kỹ năng giải đề thi đại học 2010
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](http://static.tlvnimg.com/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
" Ôn tập kiến thức kỹ năng giải đề thi đại học 2010 " mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Ôn tập kiến thức kỹ năng giải đề thi đại học 2010
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp For EvaluationKHOA PH N I. TÓM T T GIÁO Only. A. ð I S I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình b c hai Cho phương trình b c hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3) có ∆ = b2 − 4ac . b 1) ∆ < 0 : (3) vô nghi m. 2) ∆ = 0 : (3) có nghi m kép x = − . 2a −b ± ∆ −b ± b2 − 4ac 3) ∆ > 0 : (3) có hai nghi m phân bi t x1,2 = = . 2a 2a ð nh lý Vi–et (thu n và ñ o) S = x + x = − b 1) Cho phương trình ax + bx + c = 0 có hai nghi m x1, x2 thì 1 2 2 a. P = x .x = c 1 2 a S = x + y 2) N u bi t thì x, y là nghi m c a phương trình X2 − SX + P = 0 . P = x.y 2. B ng xét d u c a tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0, ∆ > 0 : 2) a < 0, ∆ > 0 : x −∞ x1 x2 +∞ x −∞ x1 x2 +∞ f(x) + 0 – 0 + f(x) – 0 + 0 – 3) a > 0, ∆ = 0 : 4) a < 0, ∆ = 0 : x −∞ xkép +∞ x −∞ xkép +∞ f(x) + 0 + f(x) – 0 – 5) a > 0, ∆ < 0 : 6) a < 0, ∆ < 0 : x −∞ +∞ x −∞ +∞ f(x) + f(x) – 3. B ng bi n thiên c a hàm s b c hai f(x) = ax2 + bx + c 1) a > 0: 2) a < 0: b b x −∞ − +∞ x −∞ − +∞ 2a 2a f(x) +∞ +∞ f(x) Cð CT −∞ −∞ 4. So sánh nghi m c a tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c v i m t s x < α < x2 < β 1) af(α) < 0 ⇔ x1 < α < x 2 2) f(α ).f(β) < 0 ⇔ 1 α < x1 < β < x2 ∆ > 0 ∆ > 0 3) af(α) > 0 ⇔ α < x1 < x2 4) af(α) > 0 ⇔ x1 < x2 < α S >α S 2
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 7.2. Phương trình b c b n ñ c bi t For Evaluation Only. a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) (5) Phương pháp gi i: ð t t = x2, t ≥ 0 . (5) ⇔ at2 + bt + c = 0. b) Phương trình có d ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e v i a + c = b + d (6) Phương pháp gi i: ð t t = (x + a)(x + c), ñưa (6) v phương trình b c 2 theo t. c) Phương trình có d ng (x + a)4 + (x + b)4 = c (7) a+b Phương pháp gi i: ð t t = x + , ñưa (7) v phương trình trùng phương theo t. 2 d) Phương trình trùng phương ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = 0 ( a ≠ 0 ) (8) Phương pháp gi i 1 + bx ± 1 + c = 0 . Bư c 1. Chia 2 v cho x2, (8) ⇔ a x2 + x 2 x 1 Bư c 2. ð t t = x ± , ñưa (8) v phương trình b c hai theo t. x P(x) 8. B t phương trình h u t >0 Q(x) Bư c 1. L p tr c xét d u chung cho P(x) và Q(x). Bư c 2. D a vào tr c xét d u ñ k t lu n nghi m. 9. ði u ki n ñ phương trình có nghi m trong kho ng (a; b) a) ð nh lý 1 Hàm s f(x) liên t c trên [a; b] th a f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghi m trong (a; b) (ngư c l i không ñúng). b) ð nh lý 2 Hàm s f(x) liên t c trên [a; b] và có f / (x) > 0 (ho c f / (x) < 0 ) trong kho ng (a, b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghi m trong (a, b) . II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T . 1. Các h ng ñ ng th c c n nh A, A ≥ 0 B 2 3B2 1) A2 = A = ; 2) A2 ± AB + B2 = A ± + ; −A, A < 0 2 4 2 3) (A ± B) = A ± B ± 3AB ( A ± B ) ; 3 3 3 2 x + b − ∆ . 4) ax + bx + c = a 2a 4a 2. Phương trình và b t phương trình ch a giá tr tuy t ñ i B ≥ 0 1) A = B ⇔ A2 = B2 ⇔ A = ±B ; 2) A = B ⇔ ; 3) A < B ⇔ − B < A < B ; A = ±B B > 0 B ≥ 0 4) A < B ⇔ ; 5) A > B ⇔ B < 0 ∨ . −B < A < B A < −B ∨ A > B 3. Phương trình và b t phương trình vô t A ≥ 0 ∨ B ≥ 0 1) A = B ⇔ ; 2) A = B ⇔ B ≥ 0 ∧ A = B2 ; 3) A + B = 0 ⇔ A = B = 0 ; A = B A ≥ 0 ∧ B ≥ 0 ∧ C ≥ 0 B ≥ 0 4) A + B = C ⇔ ñưa v d ng A = B ; 5) A > B ⇔ ; ( ) 2 A+ B =C A > B A ≥ 0 ∧ B > 0 B < 0 B ≥ 0 6) AB⇔ ∨ ; 8) 3 A< 3 B ⇔ A < B; A < B2 A ≥ 0 A > B2 A ≥ 0 ∨ B ≥ 0 B ≥ 0 10) 2n A = 2n B ⇔ A =B⇔ 2n +1 9) A = B ⇔ A = B2n +1 ; ; 11) 2n . A = B A = B2n III. PHƯƠNG TRÌNH – B T PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1. Hàm s mũ y = ax (a > 0) 1) Mi n xác ñ nh D = ℝ 2) Mi n giá tr G = (0; +∞) 3) 0< a< 1: Hàm ngh ch bi n trên ℝ 4) a > 1: Hàm s ñ ng bi n trên ℝ lim a x = +∞, lim a x = 0 lim a x = 0, lim a x = +∞ x →−∞ x →+∞ x →−∞ x →+∞ Trang 2
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. M t s công th c c n nh (gi s các ñi u ki n ñư c th a) 1 1) a 0 = 1 (a ≠ 0) ; 2) a−n = ; 3) a m .a n = a m + n ; 4) a m : a n = a m−n ; an a m am m 5) ( a ) = a ; 7) = n n 6) (ab) = a .b ; 8) a n = a m . m m.n m m m ; b b m 2. Hàm s logarit y = logax (0 < a ≠ 1) : y = logax ⇔ x = ay 1) Mi n xác ñ nh D = (0; +∞) 2) Mi n giá tr G = ℝ 3) 0 < a < 1: Hàm ngh ch bi n trên D 4) a > 1: Hàm s ñ ng bi n trên D lim y = +∞, lim y = −∞ lim y = −∞, lim y = +∞ x → 0+ x →+∞ x → 0+ x →+∞ M t s công th c c n nh (gi s các ñi u ki n ñư c th a) 1) a loga x = x ; 2) eln x = x ; 3) a logb c = c logb a ; 4) log a x2n = 2n log a x ; β 1 log c b 5) log aα b β = log a b ; 6) log a b = ; 7) log a b = ; 8) log a b.log b c = log a c ; α log b a log c a 9) log a (bc) = log a b + log a c ; b 10) log a = log a b − log a c . c 3. Phương trình và b t phương trình mũ cơ b n a = 1 a f(x) = b b > 0 ∀x ∈ ℝ : f(x), g(x) ∈ ℝ 1) ⇔ ; 2) a f(x) = a g(x) ⇔ ; 0 < a ≠ 1 f(x) = log a b 0 < a ≠ 1 f(x) = g(x) b > 0 b > 0 a f(x) > b f(x) < log b a f(x) > b f(x) > log b 3) ⇔ a ; 4) ⇔ a ; 0 < a < 1 b ≤ 0 a > 1 b ≤ 0 ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ ∀x ∈ ℝ : f(x) ∈ ℝ a f(x) > a g(x) a f(x) > a g(x) 5) ⇔ f(x) < g(x) ; 6) ⇔ f(x) > g(x) . 0 < a < 1 a > 1 4. Phương trình và b t phương trình logarit cơ b n log f(x) = b log f(x) = log a g(x) f(x) > 0 1) a ⇔ f(x) = a b ; 2) a ⇔ ; 0 < a ≠ 1 0 < a ≠ 1 f(x) = g(x) log f(x) > b log f(x) > b 3) a ⇔ 0 < f(x) < a b ; 4) a ⇔ f(x) > a b ; 0 < a < 1 a > 1 log f(x) > log a g(x) log f(x) > log a g(x) 5) a ⇔ 0 < f(x) < g(x); 6) a ⇔ f(x) > g(x) > 0. 0 < a < 1 a > 1 IV. H PHƯƠNG TRÌNH a x + b1y = c1 Nh c l i: H phương trình b c nh t hai n 1 . a 2 x + b2 y = c 2 Trang 3
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp a1 b1 c b1 a c1 For Evaluation Only. ð t D= , Dx = 1 , Dy = 1 . a2 b2 c2 b2 a2 c2 x = Dx / D 1) D ≠ 0 : H phương trình có nghi m duy nh t . y = Dy / D 2) D = 0, Dx ≠ 0 ho c Dy ≠ 0 : H phương trình vô nghi m. 3) D = Dx = Dy = 0: H có vô s nghi m th a a1x + b1y = c1 ho c a2x + b2y = c2. 1. H phương trình ñ ng c p Phương pháp chung 1) Nh n xét y = 0 có th a h phương trình không, n u có tìm x và thu ñư c nghi m. 2) V i y ≠ 0 , ñ t x = ty thay vào h phương trình gi i tìm t, y và x. 3) Th l i nghi m. x 2 + xy + y 2 = 1 y 3 − x 3 = 7 Ví d : 2 , 2 . 2x − xy + y = 2 2x y + 3xy = 16 2 2 2. H phương trình ñ i x ng lo i I (c 2 phương trình ñ u ñ i x ng) Phương pháp chung 1) Xét ñi u ki n, ñ t S = x + y, P = xy (S2 ≥ 4P) . 2) Gi i h tìm S, P r i dùng Vi–et ñ o tìm x, y. x 2 y + xy2 = 30 Ví d : 3 . x + y 3 = 35 3. H phương trình ñ i x ng lo i II a. D ng 1 (ñ i v trí x và y thì phương trình này tr thành phương trình kia) Phương pháp chung Cách 1. Tr hai phương trình cho nhau, ñưa v phương trình tích, gi i x theo y (hay ngư c l i) r i th vào m t trong hai phương trình c a h . x 3 + 2x = y 2x + 3 + 4 − y = 4 Ví d : 3 , . y + 2y = x 2y + 3 + 4 − x = 4 Cách 2 (n u cách 1 không th c hi n ñư c) C ng và tr l n lư t hai phương trình ñưa v h m i tương ñương g m hai phương trình tích (thông thư ng tương ñương v i 4 h m i). x 3 − 2x = y Ví d : 3 . y − 2y = x Cách 3. S d ng hàm s ñơn ñi u ñ suy ra x = y. 2x + 3 + 4 − y = 4 x = sin y Ví d : , . 2y + 3 + 4 − x = 4 y = sin x b. D ng 2 (ch có 1 phương trình ñ i x ng) Cách 1 ðưa phương trình ñ i x ng v d ng tích, gi i y theo x th vào phương trình còn l i. x − 1 = y − 1 Ví d : x y . 2 2x − xy − 1 = 0 Cách 2 Thư ng ñưa v d ng f(x) = f(y) ⇔ x = y v i hàm f(x) ñơn ñi u. ex − ey = y − x Ví d : 2 . x y − 3y − 18 = 0 4. H phương trình ch a mũ – logarit và d ng khác Tùy t ng trư ng h p c th ch n phương pháp thích h p (thư ng dùng phương pháp th ). V. B T ð NG TH C CAUCHY 1. B t ñ ng th c Cauchy hai s a+b Cho hai s không âm a và b, ta có: ≥ ab. ð ng th c x y ra khi a = b. 2 Trang 4
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2. B t ñ ng th c Cauchy n s For Evaluation Only. a1 + a 2 + ... + a n Cho n s không âm a1, a2,…, an ta có: ≥ n a1.a 2 ...a n . ð ng th c khi a1 = a2 = … = an. n Chú ý: a + a2 + ... + a n n . B t ñ ng th c Cauchy ngư c a1 .a2 ...a n ≤ 1 n VI. S PH C 1. S ph c và các phép tính cơ b n a) ð nh nghĩa s ph c M i bi u th c d ng a + bi , trong ñó a, b ∈ ℝ , i2 = −1 ñư c g i là m t s ph c. ð i v i s ph c z = a + bi , ta nói a là ph n th c, b là ph n o c a z. T p h p các s ph c ký hi u là ℂ = { a + bi a, b ∈ ℝ, i2 = −1 } . b) S ph c b ng nhau a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d . c) Bi u di n hình h c s ph c M i s ph c z = a + bi hoàn toàn ñư c xác b i m t c p s th c (a; b) . ði m M(a; b) trong h t a ñ vuông góc Oxy ñư c g i là ñi m bi u di n s ph c z = a + bi . d) Môñun c a s ph c Gi s s ph c z = a + bi ñư c bi u di n b i ñi m M(a; b) trên m t ph ng t a ñ Oxy. ð dài c a OM ñư c g i là môñun c a s ph c z và ký hi u là z . V y a + bi = a 2 + b2 . e) S ph c liên h p Cho s ph c z = a + bi . Ta g i a − bi là s ph c liên h p c a z và ký hi u là z = a − bi . NH N XÉT 1) Trên m t ph ng t a ñ ñi m bi u di n hai s ph c liên h p ñ i x ng v i nhau qua tr c Ox. 2) z = a + bi ⇒ z = a − bi ⇒ z = a + bi hay z = z . 3) z = a2 + (−b)2 = a 2 + b2 = z . f) Các phép tính cơ b n 1) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; 2) (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. 3) (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i; 4) z + z = (a + bi) + (a − bi) = 2a ; 2 z1 z .z z .z 5) z.z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = z ; 6) = 1 2 = 1 2 , z2 ≠ 0 . z2 2 z2 .z2 z2 Chú ý i) Phép nhân hai s ph c ñư c th c hi n theo quy t c nhân ña th c r i thay i2 = −1 trong k t qu nh n ñư c. ii) Phép c ng và phép nhân các s ph c có t t c các tính ch t c a phép c ng và phép nhân các s th c. c + di iii) Trong th c hành, ñ tính thương , ta nhân c t và m u v i s ph c liên h p c a a + bi . a + bi 4i) S th c a âm có hai căn b c hai là ±i a . g) Phương trình b c hai v i h s th c Cho phương trình b c hai ax2 + bx + c = 0 v i a, b, c ∈ ℝ , a ≠ 0 . Bi t s c a phương trình là ∆ = b2 − 4ac . b a) Khi ∆ = 0 , phương trình có m t nghi m th c x = − . 2a Trang 5
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp For Evaluation Only. −b ± ∆ b) Khi ∆ > 0 , phương trình có hai nghi m th c phân bi t xác ñ nh b i công th c x1,2 = . 2a −b ± i ∆ c) Khi ∆ < 0 , phương trình có hai nghi m ph c phân bi t xác ñ nh b i công th c x1,2 = . 2a 2. D ng lư ng giác c a s ph c và ng d ng a) D ng lư ng giác c a s ph c i) Cho s ph c z khác 0 có ñi m bi u di n trên m t ph ng t a ñ là M. S ño (radian) c a góc lư ng giác tia ñ u Ox, tia cu i OM ñư c g i là m t acgumen c a z. ii) Cho s ph c z có moñun r và acgumen là φ thì z = r(cosφ + isinφ) ñư c g i là d ng lư ng giác c a z. b) Nhân và chia hai s ph c Cho hai s ph c z = r(cosφ + isinφ) và z’ = r’(cosφ’ + isinφ’), ta có: z' r' zz’ = r.r’[cos(φ + φ’) + isin(φ + φ’)] và = [cos(ϕ '− ϕ) + i sin(ϕ '− ϕ)] (r > 0). z r c) Công th c Moivre: zn = rn (cos nϕ + i sin nϕ) . d) Căn b c hai c a s ph c ϕ ϕ ϕ ϕ r cos + i sin và r cos + π + i sin + π . S ph c z dư i d ng lư ng giác (r > 0) có hai căn b c hai là: 2 2 2 2 ………………………………………………………. B. LƯ NG GIÁC I. CUNG VÀ GÓC – CÔNG TH C LƯ NG GIÁC 1. Quan h gi a ñ và radial (rad) π 180 0 1 = rad, 1 rad = 180 π 2. B ng chuy n ñ i thư ng dùng ð 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 π π π π 2π 3π 5π Radial π 6 4 3 2 3 4 6 3. Bi u di n cung – góc lư ng giác k2π k.360 N u cung (ho c góc) lư ng giác AM có s ño là α + (ho c a 0 + ) v i k ∈ ℤ , n ∈ ℕ+ thì có n ñi m M trên n n ñư ng tròn lư ng giác cách ñ u nhau. 4. B ng giá tr lư ng giác c a cung (góc) ñ c bi t Cung (góc) π π π π α 0 6 4 3 2 1 2 3 sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 cos α 1 0 2 2 2 3 tan α 0 1 3 3 3 cot α 3 1 0 3 5. Cung (góc) liên k t 5.1. Cung (góc) ñ i nhau 1) cos(−x) = cos x ; 2) sin(−x) = − sin x ; 3) tan(−x) = − tan x ; 4) cot(−x) = − cot x . 5.2. Cung (góc) bù nhau 1) cos(π − x) = − cos x ; 2) sin(π − x) = sin x ; 3) tan(π − x) = − tan x ; 4) cot(π − x) = − cot x . 5.3. Cung (góc) ph nhau π π π π 1) cos − x = sin x ; 2) sin − x = cos x ; 3) tan − x = cot x ; 4) cot − x = tan x . 2 2 2 2 5.4. Cung (góc) hơn kém nhau π 1) cos(x + π) = − cos x ; 2) sin(x + π) = − sin x ; 3) tan(x + π) = tan x ; 4) cot(x + π) = cot x . Trang 6
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp π For Evaluation Only. 5.5. Cung (góc) hơn kém nhau 2 π π π π 1) cos x + = − sin x ; 2) sin x + = cos x ; 3) tan x + = − cot x ; 4) cot x + = − tan x . 2 2 2 2 6. Công th c cơ b n 1 1 1) sin2x + cos2x = 1; 2) tgx.cotgx = 1; 3) 1 + tan 2 x = ; 4) 1 + cot2 x = . 2 cos x sin 2 x 7. Công th c c ng tan x ± tan y 1) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y ; 2) sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y ; 3) tan(x ± y) = . 1 ∓ tan x.tan y 8. Công th c nhân ñôi 2 tan x 1) cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x; 2) sin2x = 2sinxcosx; 3) tan 2x = . 1 − tan 2 x 9. Công th c nhân ba 3 tan x − tan 3 x 1) cos3x = 4cos3x – 3cosx; 2) sin3x = 3sinx – 4sin3x; 3) tan 3x = . 1 − 3 tan 2 x 10. Công th c h b c 1 + cos 2x 1 − cos 2x 3 cos x + cos 3x 3 sin x − sin 3x 1) cos2 x = ; 2) sin2 x = ; 3) cos3 x = ; 4) sin 3 x = . 2 2 4 4 x 11. Công th c bi u di n sinx, cosx, tgx theo t = tg 2 2t 1 − t2 2t 1) sin x = ; 2) cos x = ; 3) tan x = . 1+ t 2 1+ t 2 1 − t2 12. Công th c bi n ñ i tích thành t ng 1 1 1) cos x cos y = [cos(x − y) + cos(x + y)] ; 2) sin x sin y = [cos(x − y) − cos(x + y)] ; 2 2 1 3) sin x cos y = [sin(x − y) + sin(x + y)] . 2 13. Công th c bi n ñ i t ng thành tích x+y x−y x+y x−y 1) cos x + cos y = 2 cos cos ; 2) cos x − cos y = −2 sin sin ; 2 2 2 2 x+y x−y x+y x−y 3) sin x + sin y = 2 sin cos ; 4) sin x − sin y = 2 cos sin ; 2 2 2 2 sin(x ± y) sin(y ± x) 5) tan x ± tan y = ; 6) cot x ± cot y = . cos x cos y sin x sin y 14. Công th c ñ c bi t c n nh 1 3 1) 1 + sin2x = (sinx + cosx)2; 2) 1 – sin2x = (sinx – cosx)2; 3) sin4x + cos4x = 1 – sin22x; 4) sin6x + cos6x = 1 – sin22x. 2 4 5) sin x + cos x = 2 sin ( x + π / 4 ) = 2 cos ( x − π / 4 ) ; 6) sin x − cos x = 2 sin ( x − π / 4 ) = − 2 cos ( x + π / 4 ) . II. PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC 1. Phương trình lư ng giác cơ b n x = α + k2π x = α + k2π 1) cos x = cos α ⇔ ,k ∈ Z 2) sin x = sin α ⇔ ,k ∈ Z x = −α + k2π x = π − α+k2π 3) tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z 4) cot x = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z Phương trình cơ b n ñ c bi t c n nh π 4) sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z 1) cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z 2 π 5) sin x = 1 ⇔ x = + k2π, k ∈ Z 2) cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z 2 π 3) cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z 6) sin x = −1 ⇔ x = − + k2π, k ∈ Z 2 Trang 7
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2. Các d ng phương trình lư ng giác For Evaluation Only. 2.1. D ng b c hai theo m t hàm s lư ng giác 1) acos2x + bcosx + c = 0 3) a.tan2x + b.tanx + c = 0 2 2) asin x + bsinx + c = 0 4) a.cot2x + b.cotx + c = 0 Phương pháp gi i toán Bư c 1. ð t n ph t = cosx (ho c t = sinx, t = tanx, t = cotx) và ñi u ki n c a t (n u có). Bư c 2. ðưa phương trình v d ng at2 + bt + c = 0. Chú ý N u 1 phương trình lư ng giác ñư c bi n ñ i thành 2 phương trình cơ b n tr lên thì sau khi gi i xong, ta ph i d a vào ñư ng tròn lư ng giác ñ t ng h p nghi m (n u có). 2.2. D ng b c nh t theo sinx và cosx asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0) Phương pháp gi i toán b Cách 1. Chia hai v (*) cho a và ñ t = tan α . a c c (*) ⇔ sin x + tan α cos x = ⇔ sin(x + α) = cos α . a a a b Cách 2. Chia hai v (*) cho a2 + b2 và ñ t = cos α, = sin α . a +b 2 2 a + b2 2 c c (*) ⇔ sin x cos α + cos x sin α = ⇔ sin(x + α ) = . a +b 2 2 a + b2 2 Chú ý: ði u ki n ñ phương trình có nghi m là: a2 + b 2 ≥ c2 2.3. D ng ñ ng c p (thu n nh t) theo sinx và cosx a) ð ng c p b c hai asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*) Phương pháp gi i toán π Cách 1. Ki m tra x = + kπ có là nghi m c a (*) không (n u có ta thu ñư c nghi m). 2 π V i x ≠ + kπ , chia hai v c a (*) cho cos2x: (*) ⇔ atan2x + btanx + c = 0. 2 Cách 2. Dùng công th c h b c và nhân ñôi, ta ñưa (*) v b c nh t theo sin2x và cos2x. b) ð ng c p b c cao (gi i tương t ) 2.4. D ng ñ i x ng ñ i v i sinx và cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) Phương pháp gi i toán π t2 − 1 Bư c 1. ð t t = sinx + cosx = 2 sin x + ⇒ − 2 ≤ t ≤ 2 và sin x cos x = . 4 2 Bư c 2. Thay vào (*) r i ta gi i phương trình b c hai theo t. Chú ý Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách gi i tương t v i t = sinx – cosx. 2.5. D ng phương trình khác Không có cách gi i t ng quát, tùy t ng bài toán c th ta dùng công th c bi n ñ i ñ ñưa v các d ng ñã bi t cách gi i. III. GI I TOÁN TRONG TAM GIÁC 1. Liên h các góc trong tam giác ABC A π B+C A = π − (B + C) = − 2 2 2 B 1) A + B + C = π ⇒ B = π − (C + A) A+B+C π = π−C+A 2) = ⇒ C = π − (A + B) 2 2 2 2 2 C π A+B = − 2 2 2 2. Các ñ nh lý trong tam giác ABC. Trong ∆ABC , ta ký hi u: 1) a, b, c l n lư t là các c nh ñ i di n các góc A, B, C. 4) ma, mb, mc l n lư t là ñ dài các trung tuy n xu t phát t các ñ nh A, B, C. 2) R, r l n lư t là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p và n i ti p. 5) ha, hb, hc l n lư t là ñ dài các ñư ng cao xu t phát t các a+b+c ñ nh A, B, C. 3) p = là n a chu vi ∆ABC . 6) S là di n tích c a ∆ABC . 2 Trang 8
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2.1. ð nh lý Phythagore (Pitago) For Evaluation Only. Cho ∆ABC vuông t i A và ñư ng cao AH, ta có: a2 = b 2 + c2 H qu 1 1 1 1) BA2 = BH.BC, CA2 = CH.CB 2) AH.BC = AB.AC 3) = + 2 2 AH AB AC2 2.2. ð nh lý hàm s cosin 1) a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 2) b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB 3) c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC 2.3. ð nh lý hàm s sin a b c = = = 2R sin A sin B sin C 3. Công th c tính ñ dài ñư ng trung tuy n 2b2 + 2c2 − a2 2a2 + 2c2 − b2 1) m a = ; 2) m b = ; 4 4 2a2 + 2b2 − c2 3 2 3) m c = ; 4) m2 + m2 + m 2 = a b c (a + b2 + c2 ) . 4 4 4. Công th c tính di n tích 1 1 1 1 1 1 1) S = ah a = bh b = ch c ; 2) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B ; 2 2 2 2 2 2 abc 3) S = p.r; 4) S = ; 5) S = p(p − a)(p − b)(p − c) . 4R …………………………………………….. C. GI I TÍCH I. TÍNH CH N – L C A HÀM S ð nh nghĩa 1) T p h p D ⊂ ℝ ñư c g i là ñ i x ng ⇔ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D . 2) Cho hàm s y = f(x) có MXð D ⊂ ℝ ñ i x ng a) f(x) ñư c g i là hàm s ch n ⇔ f(−x) = f(x), ∀x ∈ D . b) f(x) ñư c g i là hàm s l ⇔ f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D . Chú ý ð th c a hàm s l ñ i x ng qua g c t a ñ . ð th c a hàm s ch n ñ i x ng qua tr c tung. II. ð O HÀM – VI PHÂN C A HÀM S 1. Quy t c tính ñ o hàm Cho u(x), v(x), w(x) là các hàm s theo bi n s x và có ñ o hàm. Ta có: 1) (a.u)/ = a.u/ (a ∈ ℝ) 2) (u ± v)/ = u/ ± v/ 3) (u.v)/ = u/ .v + u.v/ , (u.v.w)/ = u/ .v.w + u.v/ .w + u.v.w/ u / u/ .v − u.v/ a / v/ 4) = (v ≠ 0) , = −a. (v ≠ 0, a ∈ ℝ) . v v2 v v2 2. B ng ñ o hàm c a các hàm s sơ c p (hàm s ñư c cho b i 1 công th c) ð o hàm c a các hàm s sơ c p cơ b n ð o hàm c a hàm s h p u = u(x) 1) ( xα ) = α.xα−1 1) ( uα ) = α.u/ .u α−1 / / 1 / 1 1 / u/ 2) = − 2) = − x x2 u u2 u/ ( x) 1 / ( u) / 3) = 3) = 2 x 2 u 4) ( sin x ) = cos x 4) ( sin u ) = u/ .cos u / / 5) ( cos x ) = − sin x 5) ( cos u ) = −u/ .sin u / / 1 u/ 6) ( tan x ) = / 6) ( tan u ) = / = 1 + tan2 x = u/ (1 + tan 2 u) cos2 x cos2 u Trang 9
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp −1 For Evaluation Only. −u / 7) ( cot x ) = / 7) ( cot u ) = / = −(1 + cot2 x) = −u/ (1 + cot2u) sin2 x sin2 u 8) ( e x ) = ex 8) ( eu ) = u/ .eu / / 9) ( a x ) = a x .ln a 9) ( a u ) = u/ .a u .ln a / / 1 u/ 10) ( ln x ) / 10) ( ln u ) / = = x u 1 u/ 11) ( log a x ) / 11) ( log a u ) / = = x.ln a u.ln a 3. Vi phân df(x) = f / (x)dx hay dy = y/dx . III. HÀM S ðƠN ðI U – C C TR C A HÀM S 1. Hàm s ñơn ñi u ax + b Tr y = , các hàm s còn l i (b c 3, b c 4, b c 2/1) ta dùng k t qu sau: cx + d f(x) ñ ng bi n trên kho ng (a; b) ⇔ f / (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) . f(x) ngh ch bi n trên kho ng (a; b) ⇔ f / (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) . 2. C c tr c a hàm s ð nh lý 1. Cho y = f(x) xác ñ nh trên kho ng (a; b) ch a x0. N u f(x) ñ t c c tr t i x0 và có ñ o hàm t i x0 thì f / (x 0 ) = 0 . Chú ý a) Hàm s có th ñ t c c tr t i x0 nhưng không có ñ o hàm t i x0. b) Hàm s có f / (x 0 ) = 0 nhưng có th không ñ t c c tr t i x0. ð nh lý 2. Cho hàm s f(x) có ñ o hàm trong kho ng ch a x0 a) N u f / (x) ñ i d u t + sang – t i x = x 0 thì f(x) ñ t c c ñ i t i x0 b) N u f / (x) ñ i d u t – sang + t i x = x 0 thì f(x) ñ t c c ti u t i x0 ð nh lý 3. Cho hàm s f(x) có ñ o hàm ñ n c p hai liên t c trong kho ng ch a x0 f / (x ) = 0 f / (x ) = 0 a) N u // 0 thì f(x) ñ t c c ti u t i x0; b) N u // 0 thì f(x) ñ t c c ti u t i x0. f (x 0 ) > 0 f (x 0 ) > 0 3. ðư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a ñ th hàm s (tham kh o) a) Hàm s b c ba Cho hàm s y = ax3 + bx2 + cx + d có ñ th (C). Gi s (C) có hai ñi m c c tr là A(x1; y1) và B(x2; y2) trong ñó x1, x2 là nghi m c a phương trình y/ = 0 , ñ vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua A và B ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Chia y cho y/ ta ñư c y = (px + q)y/ + αx + β (*). y = (px + q).y/ ( x ) + αx + β y = αx1 + β Bư c 2. Th t a ñ c a A và B vào (*) ta có: 1 1 1 1 ⇔ 1 . y2 = (px2 + q).y ( x 2 ) + αx2 + β / y 2 = αx 2 + β Bư c 3. ðư ng th ng (AB) : y = αx + β . Chú ý: Giá tr c c tr là yCT = αxCT + β . ax 2 + bx + c b) Hàm s h u t y = (tham kh o) dx + e ax 2 + bx + c Cho hàm s y = có ñ th (C). Gi s (C) có hai ñi m c c tr là A(x1; y1) và B(x2; y2) trong ñó x1, x2 là nghi m dx + e c a phương trình y/ = 0 , ñ vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua A và B ta th c hi n các bư c sau: U/ V − UV/ Bư c 1. ð t U = ax2 + bx + c, V = dx + e ta có y/ = (*). V2 Bư c 2. Th t a ñ c a A và B vào (*) ta có: U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/(x1,2 ) y/ (x1,2 ) = ⇒ U/ (x1,2 ).V(x1,2 ) − U(x1,2 ).V/ (x1,2 ) = 0 2 V (x1,2 ) Trang 10
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp U(x1,2 ) U/ (x1,2 ) For Evaluation Only. 2a b ⇒ y1,2 = = = x + . V(x1,2 ) V/ (x1,2 ) d 1,2 d 2a b Bư c 3. ðư ng th ng (AB) : y = x+ . d d Chú ý: Giá tr c c tr là yCT = ( 2a / d ) xCT + ( b / d ) . IV. GIÁ TR NH NH T – GIÁ TR L N NH T C A HÀM S Phương pháp gi i toán 1. Hàm s liên t c trên ño n [a; b] Cho hàm s y = f(x) liên t c trên ño n [a; b]. ð tìm giá tr l n nh t (max) và giá tr nh nh t (min) c a f(x) trên ño n [a; b] ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Gi i phương trình f / (x) = 0 (tìm ñi m t i h n). Gi s có n nghi m x1; x2; …; xn thu c ño n [a; b] (ta lo i các nghi m n m ngoài ño n [a; b]). Bư c 2. Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b). Bư c 3. Giá tr l n nh t, nh nh t trong các giá tr bư c 2 là các giá tr tương ng c n tìm. Chú ý: a) ð cho g n ta dùng ký hi u fmin , fmax thay cho min f(x), max f(x) . x∈ X x∈ X b) N u ñ bài chưa cho ño n [a; b] thì ta ph i tìm MXð c a hàm s trư c khi làm bư c 1. c) Có th ñ i bi n s t = t(x) và vi t y = f(x) = g(t(x)) . G i T là mi n giá tr c a hàm t(x) (thư ng g i là ñi u ki n c a t ñ i v i x) thì: min f(x) = min g(t) , max f(x) = max g(t) . x∈ X t∈T x∈ X t∈T 2. Hàm s liên t c trên kho ng (a; b) ho c trên ℝ Cho hàm s y = f(x) liên t c trên D = (a; b) ho c D = ℝ ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. Gi i f / (x) = 0 (tìm ñi m t i h n). Gi s có n nghi m x1; x2; …; xn thu c D (ta lo i các nghi m không thu c D). Bư c 2. Tính lim f(x) = L1 , f(x1), f(x2), …, f(xn), lim f(x) = L2 . x → a+ x → b− Bư c 3. 1) min { f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x n )} < min { L1, L2 } ⇒ fmin = min { f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x n )} (1). 2) max { f(x1 ), f(x2 ),..., f(x n )} > max { L1, L2 } ⇒ fmax = max { f(x1 ), f(x2 ),..., f(x n )} (2). 3) N u không th a (1) (ho c (2)) thì hàm s không ñ t min (ho c max). Chú ý: Có th l p b ng bi n thiên c a hàm s f(x) thay cho bư c 3. V. TI P TUY N V I ð TH HÀM S 1. Ti p tuy n t i ñi m M(x0; y0) thu c ñư ng cong (C): y = f(x) Bư c 1. Ki m tra ñi m M thu c ñư ng cong (C). Bư c 2. Áp d ng công th c y − y 0 = f / (x 0 )( x − x 0 ) . 2. Ti p tuy n v i ñư ng cong (C): y = f(x) bi t h s góc là k Bư c 1. Gi i phương trình f / (x) = k ⇒ x 0 ⇒ y 0 ⇒ M(x 0 ; y 0 ) là ti p ñi m. Bư c 2. Áp d ng công th c y − y 0 = k ( x − x 0 ) . 3. Ti p tuy n ñi qua ñi m M(x0; y0) v i ñư ng cong (C): y = f(x) (M có th thu c (C)) Bư c 1. Ti p tuy n qua ñi m M có d ng (d): y = k(x – x0) + y0. f(x) = k(x − x 0 ) + y 0 (1) Bư c 2. (d) ti p xúc (C) khi và ch khi h phương trình sau có nghi m: / . f (x) = k (2) Bư c 3. Gi i h phương trình trên b ng cách th k t (2) vào (1), gi i x và th tr l i (2) ñ tìm k. Cu i cùng th k vào phương trình c a (d). VI. ð TH C A HÀM S CH A GIÁ TR TUY T ð I 1. ð th hàm s y = f ( x ) (hàm s ch n) G i (C) : y = f(x) và (C1 ) : y = f ( x ) ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1. V ñ th (C) và ch gi l i ph n ñ th n m phía bên ph i tr c tung. Bư c 2. L y ñ i x ng ph n ñ th bư c 1 qua tr c tung ta ñư c ñ th (C1). 2. ð th hàm s y = f(x) G i (C) : y = f(x) và (C2 ) : y = f(x) ta th c hi n các bư c sau: Trang 11
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp Bư c 1. V ñ th (C). For Evaluation Only. Bư c 2. Gi l i ph n ñ th c a (C) n m phía trên tr c hoành. L y ñ i x ng ph n ñ th n m phía dư i tr c hoành c a (C) qua tr c hoành ta ñư c ñ th (C2). 3. ð th hàm s y = f ( x ) G i (C1 ) : y = f ( x ) , (C2 ) : y = f(x) và (C3 ) : y = f ( x ) . D th y ñ v (C3) ta th c hi n các bư c v (C1) r i (C2) (ho c (C2) r i (C1)). …………………………………………… D. HÌNH H C Chương I. HÌNH H C PH NG I. PHƯƠNG PHÁP T A ð TRONG M T PH NG Cho a = (a1 ; a 2 ), b = (b1 ; b2 ) , ta có: 1) a ± b = (a1 ± b1 ; a 2 ± b2 ) . 2) ka = (ka1 ; ka2 ), k ∈ ℝ . a1 a2 a a 3) a b ⇔ a = k.b ⇔ = 0 ⇔ a1b2 − a2 b1 = 0 ⇔ 1 = 2 (b1 ≠ 0 ≠ b2 ) . b1 b2 b1 b2 2 4) a.b = a1b1 + a2 b2 . 5) a = a1 + a 2 ⇒ a = 2 2 a1 + a 2 . 2 2 a.b a1b1 + a2 b2 6) a.b = a b cos(a, b) ⇒ cos(a, b) = = a b 2 a1 + a2 b1 + b2 2 2 2 ⇒ a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 = 0 . ( xB − x A ) + ( yB − yA ) . 2 2 7) AB = (x B − x A ; y B − y A ) ⇒ AB = x − k.x B y A − k.y B . 8) ði m M chia ño n AB theo t s k ⇔ MA = k.MB ⇒ M A ; 1−k 1−k x + xB yA + yB . 9) ði m I là trung ñi m c a ño n AB thì I A ; 2 2 x + x B + xC y A + y B + yC . 10) T a ñ tr ng tâm G c a ∆ABC là G A ; 3 3 II. ðƯ NG TH NG 1. Phương trình ñư ng th ng 1.1. Phương trình t ng quát Phương trình t ng quát c a ñư ng th ng (d) có d ng Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 > 0 ) . 1) u = (−B; A) ho c u = (B; −A) là vectơ ch phương (VTCP) c a (d). 2) n = (A; B) là vectơ pháp tuy n (VTPT) c a (d). 3) (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và n = (A; B) thì (d): pt(d) : A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) = 0 . 1.2. Phương trình tham s (ptts) x = x 0 + u1t (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP u = (u1 ; u2 ) thì ptts(d) : (t ∈ ℝ) . y = y 0 + u 2t 1.3. Phương trình chính t c (ptct) x − x0 y − y0 (d) ñi qua M0 (x 0 ; y 0 ) và có VTCP u = (u1 ; u2 ) v i u1u 2 ≠ 0 thì ptct(d) : = . u1 u2 1.4. Phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m x − xA y − yA x − xB y − yB pt(AB) : = ho c pt(AB) : = . x B − xA yB − yA x B − xA yB − yA 1.5. Phương trình ño n ch n x y Cho (d) ñi qua A(a; 0), B(0; b) (a ≠ 0 ≠ b) thì pt(d) : + = 1. a b 1.6. ð c bi t pt(Ox) : y = 0 , pt(Oy) : x = 0 . Trang 12
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2. M t s tính ch t For Evaluation Only. Cho hai ñư ng th ng (d1): A1x + B1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0. 2.1. V trí tương ñ i c a hai ñư ng th ng A B1 A B 1) (d1) c t (d2) ⇔ 1 ≠ 0 ⇔ A1B2 ≠ A2B1 . Ho c 1 ≠ 1 ( A2 ≠ 0 ≠ B2 ) . A2 B2 A2 B2 A1 B1 B1 C1 C1 A1 2) (d1) song song (d2) ⇔ = 0, ≠ 0 ho c ≠ 0. A2 B2 B2 C2 C2 A2 A1 B1 B1 C1 C1 A1 3) (d1) trùng (d2) ⇔ = = = 0. A2 B2 B2 C2 C2 A2 2.2. Góc gi a hai ñư ng th ng n1 .n2 G i ϕ, n1, n2 là góc và VTPT c a (d1) và (d2), ta có: cos ϕ = . n1 . n 2 Ax 0 + By 0 + C 2.3. Kho ng cách t M0 (x 0 ; y 0 ) ñ n (d): d(M0 ; (d)) = . A2 + B2 III. ðƯ NG TRÒN 1. Phương trình ñư ng tròn Cho ñư ng tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R. 1.1. Phương trình chính t c (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2. 1.2. Phương trình t ng quát (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, R = a 2 + b2 − c . 2. V trí tương ñ i c a ñư ng th ng và ñư ng tròn Cho (d): Ax + By + C = 0 và (C) tâm I bán kính R, ta có 3 v trí tương ñ i sau ñây: 1) (d) ti p xúc (C) ⇔ d(I; (d)) = R. 2) (d) c t (C) t i hai ñi m phân bi t ⇔ d(I; (d)) < R. 3) (d) không c t (C) ⇔ d(I; (d)) > R. 3. V trí tương ñ i c a hai ñư ng tròn Cho (C1) tâm I1 bán kính R1 và (C2) tâm I2 bán kính R2, ta có 5 v trí tương ñ i sau ñây: 1) (C1) và (C2) ngoài nhau ⇔ I1I2 > R1 + R2. 2) (C1) ti p xúc ngoài v i (C2) ⇔ I1I2 = R1 + R2. 3) (C1) c t (C2) t i hai ñi m phân bi t ⇔ R1 − R 2 < I1I2 < R1 + R 2 . 4) (C1) ti p xúc trong v i (C2) ⇔ I1I2 = R1 − R 2 . 5) (C1) và (C2) ch a nhau ⇔ I1I2 < R1 − R 2 . IV. CÁC ðƯ NG CONIC 1. ELIP 1.1. ð nh nghĩa Cho hai ñi m c ñ nh F1, F2 v i F1F2 = 2c và h ng s 2a (a > c > 0). T p (E) là m t elip n u M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a . 1) F1, F2 là 2 tiêu ñi m. 2) F1F2 = 2c là tiêu c . 3) A1(– a; 0), A2(a; 0), B1(0;–b), B2(0; b) là 4 ñ nh c a elip. x2 y2 1.2. Phương trình chính t c: (E) : + = 1 . Trong ñó, b2 = a2 – c2 và a > b > 0. a2 b2 1.3. Bán kính qua tiêu ñi m x2 y2 c c Cho ñi m M thu c (E) : + = 1 ta có MF1 = a + x , MF2 = a − x M . a 2 b 2 a M a 1.4. Tâm sai c a 2 − b2 e= = ( e < 1) . a a 1.5. ðư ng chu n c a elip a a2 a a2 (∆1 ) : x = − ⇔ x = − , (∆2 ) : x = ⇔ x = . e c e c 1.6. Ti p tuy n v i elip ði u ki n ti p xúc x2 y2 Cho ñư ng th ng (d): Ax + By + C = 0 và elip (E): + = 1 ta có: (d) ti p xúc (E) ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 (C ≠ 0) . 2 2 a b Trang 13
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 2. HYPERPOL For Evaluation Only. 2.1. ð nh nghĩa Cho hai ñi m c ñ nh F1, F2 v i F1F2 = 2c và h ng s 2a (c > a > 0). T p (H) là m t hyperpol n u M ∈ (H) ⇔ MF1 − MF2 = 2a . 1) F1(– c; 0), F2(c; 0) là 2 tiêu ñi m. 2) F1F2 = 2c là tiêu c . 3) A1(– a; 0), A2(a; 0) là 2 ñ nh thu c tr c th c. B1(0;–b), B2(0; b) là 2 ñ nh thu c tr c o. 2.2. Phương trình chính t c (H) x2 y2 − = 1 , c2 = a2 + b2. 2 2 a b 2.3. Bán kính qua tiêu ñi m 1) M thu c nhánh ph i (xM > 0): MF1 = exM + a, MF2 = exM – a. 2) M thu c nhánh trái (xM < 0): MF1 = – exM – a, MF2 = – exM + a. c 2.4. Tâm sai: e = > 1 a a a2 2.5. ðư ng chu n: x = ± = ± e c b 2.6. Ti m c n: y = ± x a 2.7. ði u ki n ti p xúc v i ñư ng th ng: a2A2 – b2B2 = C2 (C ≠ 0) x2 y2 x2 y2 Chú ý: − = −1 là hyperpol liên h p c a − = 1. a2 b2 a2 b2 3. PARAPOL 3.1. ð nh nghĩa Cho ñư ng th ng c ñ nh ( ∆ ) và ñi m F ∉ ( ∆ ) c ñ nh. T p (P) là m t parapol n u M ∈ (P) ⇔ MF = d ( M, ∆ ) . p 1) F ; 0 là tiêu ñi m, ( ∆ ) là ñư ng chu n. 2 2) p = d ( F, ∆ ) là tham s tiêu. 3) O(0; 0) là ñ nh và MF là bán kính qua tiêu ñi m c a M (M thu c parapol). 3.2. Phương trình chính t c (P): y2 = 2px (p > 0). 3.3. Tâm sai: e = 1. p 3.4. ðư ng chu n: x = − . 2 3.4. ði u ki n ti p xúc: 2AC = B2p. 3.5. Các d ng parapol khác: y2 = – 2px, x2 = 2py, x2 = – 2py (p > 0). Chương II. CÁC TÍNH CH T VÀ CÔNG TH C CƠ B N TRONG HÌNH H C KHÔNG GIAN 1. Quan h song song Trong không gian cho các ñư ng th ng a, b, c và m t ph ng (P), (Q), (R). Ta có: 1) a // b ⇔ a, b ñ ng ph ng và a ∩ b = Ø; 2) a // (P) ⇔ a ∩ (P) = Ø; 3) a // (P) ⇔ a ⊄ (P) và ∃b ⊂ (P) : a // b; 4) (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = Ø; 5) (P) // (Q) ⇔ ∃a, b ⊂ (P) , a c t b: a, b // (Q); 6) a // (P) và (P) ∩ (Q) = b ⇒ a // b; 7) (P) // (Q), (R) ∩ (P) = a và (R) ∩ (Q) = b ⇒ a // b; 8) a ⊂ (P) , b ⊂ (Q) , a // b và (P) ∩ (Q) = c ⇒ a // b // c. 2. Quan h vuông góc Trong không gian cho các ñư ng th ng a, b, c và m t ph ng (P), (Q), (R). Ta có: 1) a ⊥ b ⇔ (a, b) = 900 ; 2) a ⊥ (P) ⇔ ∃b, c ⊂ (P) , b c t c: a ⊥ b , a ⊥ c ; 3) (P) ⊥ (Q) ⇔ ∃a ⊂ (P) : a ⊥ (Q) ; 4) (P) // (Q), a ⊥ (P) ⇒ a ⊥ (Q) ; 5) (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R) và (P) ∩ (Q) = a ⇒ a ⊥ (R) ; 6) Ch(P)a = b, c ⊂ (P) và c ⊥ b ⇒ c ⊥ a (ð nh lý 3 ñư ng vuông góc). Trang 14
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 3. Th tích For Evaluation Only. 1) Th tích kh i lăng tr : V = Sh (S: di n tích ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 1 2) Th tích kh i chóp: V = Sh (S: di n tích ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 3 1 1 3) Th tích kh i nón: V = Sh = πR 2h (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 3 3 4) Th tích kh i tr : V = Sh = πR 2h (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 4 5) Th tích kh i c u: V = πR 3 (R: bán kính ñáy). 3 6) Cho kh i t di n S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC l y l n lư t các ñi m A’, B’, C’ khác S. V SA ' SB' SC ' Khi ñó S.A ' B' C ' = . . . VS.ABC SA SB SC 4. Di n tích 1) Di n tích xung quanh hình nón: Sxq = πRl (R: bán kính ñáy, l: ñ dài ñư ng sinh). 2) Di n tích toàn ph n hình nón: Stp = πR(R + l) (R: bán kính ñáy, l: ñ dài ñư ng sinh). 3) Di n tích xung quanh hình tr : Sxq = 2πRh (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 4) Di n tích toàn ph n hình tr : Stp = 2πR(R + h) (R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñư ng cao). 5) Di n tích m t c u: S = 4πR 2 (R: bán kính ñáy). Chương III. PHƯƠNG PHÁP T A ð TRONG KHÔNG GIAN I. CÔNG TH C CƠ B N Cho a = (a1 ; a2 ; a 3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ) ta có: 1) a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a 3 ± b3 ) . 2) k.a = (ka1 ; ka 2 ; ka 3 ), k ∈ R . 2 3) Tích vô hư ng a.b = a1b1 + a2 b2 + a 3b 3 . 4) a = a1 + a2 + a 2 ⇒ a = 2 2 3 a1 + a2 + a 2 . 2 2 3 ( xB − xA ) + ( y B − y A ) + ( zB − zA ) . 2 2 2 5) AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA) ⇒ AB = a.b a1b1 + a2 b2 + a 3b 3 6) cos(a, b) = = a.b 2 a1 + a2 + a2 b1 + b2 + b2 2 3 2 2 3 ⇒ a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a 3 b3 = 0 . a a3 a a1 a a2 7) Tích có hư ng a, b = 2 ; 3 ; 1 . b2 b3 b3 b1 b1 b2 a a a 8) a cùng phương b ⇔ a = k.b ⇔ a, b = 0 ⇔ 1 = 2 = 3 ( b1, b2 , b 3 ≠ 0 ) . b1 b2 b3 9) a, b ⊥ a, a, b ⊥ b . a, b 10) a, b = a . b .sin(a, b) ⇒ sin(a, b) = . a.b 11) a, b, c ñ ng ph ng ⇔ a, b c = 0. x − k.x B y A − k.y B zA − k.zB . 12) ði m M chia ño n AB theo t s k ⇔ MA = k.MB ⇒ M A ; ; 1−k 1−k 1−k x + x B y A + y B zA + zB . 13) ði m I là trung ñi m c a ño n AB thì I A ; ; 2 2 2 x + x B + xC y A + y B + yC zA + zB + zC . 14) T a ñ tr ng tâm G c a ∆ABC : G A ; ; 3 3 3 15) Tr ng tâm G c a t di n ABCD th a GA + GB + GC + GD = 0 và có t a ñ : x + x B + xC + x D y A + y B + yC + y D zA + zB + zC + zD . G A ; ; 4 4 4 Trang 15
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 1 For Evaluation Only. 16) Di n tích ∆ABC là S∆ABC = AB, AC . 2 17) Th tích hình h p ABCD.A’B’C’D’: VABCD.A ' B' C' D ' = AB, AD .AA ' . 1 18) Th tích t di n ABCD: VABCD = AB, AC .AD . 6 DE.AB = 0 19) DE ⊥ (ABC) ⇔ ho c DE AB, AC . DE.AC = 0 DE. AB, AC = 0 20) DE (ABC) ⇔ D ∉ (ABC) ∨ E ∉ (ABC). AB.CD 21) Góc α gi a ñư ng th ng AB và CD th a cos α = cos AB, CD ( )= AB.CD . MA, AB 22) Kho ng cách gi a ñi m M và ñư ng th ng AB là d ( M, AB ) = . AB AB, CD .AC 23) Kho ng cách gi a AB và CD chéo nhau: d ( AB, CD ) = . AB, CD II. M T PH NG 1. Vector pháp tuy n và c p vector ch phương c a m t ph ng ð nh nghĩa 1 Vector n ≠ 0 vuông góc v i m t ph ng (α ) là pháp vector c a (α ) . ð nh nghĩa 2 Hai vector a, b không cùng phương, khác 0 và n m trên (α ) (ho c các m t ph ng ch a a, b song song v i (α ) ) là c p vector ch phương (VTCP) c a (α ) . Chú ý 1) N u a, b là c p VTCP c a (α ) thì n = a, b là pháp vector c a (α ) . 2) N u ba ñi m A, B, C ∈ (α) và không th ng hàng thì n = AB, AC là PVT c a (α ) . 2. Phương trình t ng quát c a m t ph ng Cho m t ph ng (α ) ñi qua ñi m M0(x0; y0; z0) và nh n n = (A; B; C) làm pháp vectơ thì phương trình t ng quát c a (α ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. Chú ý N u m t ph ng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì n = (A; B; C) là pháp vector. 3. Các trư ng h p riêng a) M t ph ng t a ñ (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0. b) M t ph ng ch n 3 tr c t a ñ Cho (α ) c t các tr c Ox, Oy, Oz l n lư t t i A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) ( a, b, c ≠ 0 ) thì phương trình m t x y z ph ng (α) : + + = 1 (g i là phương trình theo ño n ch n). a b c 4. V trí tương ñ i c a hai m t ph ng Cho hai m t ph ng (α ) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (β) : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 có các pháp vector tương ng là nα = ( A1 ; B1 ; C1 ), n β = ( A2 ; B2 ; C2 ) . 1) (α ) c t (β) ⇔ n α , n β không cùng phương ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 . A1 B C D 2) (α ) trùng v i (β) ⇔ = 1 = 1 = 1. A2 B2 C2 D2 A1 B C D 3) (α ) song song v i (β) ⇔ = 1 = 1 ≠ 1. A2 B2 C2 D2 Trang 16
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp III. ðƯ NG TH NG For Evaluation Only. 1. ð nh nghĩa Vector u ≠ 0 ñư c g i là vector ch phương (VTCP) c a ñư ng th ng d n u u n m trên d ho c ñư ng th ng ch a u song song v i d. Chú ý ðư ng th ng trong không gian không có pháp vector. 2. Phương trình tham s c a ñư ng th ng x = x + u t 0 1 d qua M(x0; y0; z0) và có VTCP u = (u1 ; u 2 ; u 3 ) thì: ptts d : y = y 0 + u2 t (t ∈ ℝ) . z = z + u t 0 3 3. Phương trình chính t c c a ñư ng th ng d qua M(x0; y0; z0) và có VTCP u = (u1 ; u 2 ; u 3 ) v i u1u2u 3 ≠ 0 thì x − x0 y − y0 z − z0 ptct d : = = . u1 u2 u3 5. V trí tương ñ i c a hai ñư ng th ng Cho hai ñư ng th ng d1, d2 có VTCP là u1, u 2 . G i ñi m M1 ∈ d1 và M2 ∈ d2 , ta có: a) Trư ng h p 1: d1 và d2 ñ ng ph ng ⇔ u1, u2 M1M2 = 0 . u , u M M = 0 và u , u ≠ 0 (không cùng phương). 1) d1 c t d2 ⇔ 1 2 1 2 1 2 2) d1 song song v i d2 ⇔ u1, u2 = 0 và M1 ∉ d2 (ho c M2 ∉ d1 ). u , u = 0 và M ∈ d (ho c M ∈ d ). 3) d1 trùng v i d2 ⇔ 1 2 1 2 2 1 b) Trư ng h p 2: d1 chéo d2 ⇔ u1, u2 M1M2 ≠ 0 (không ñ ng ph ng). Chú ý: Ta có th xét h phương trình c a d1 và d2 ñ suy ra v trí tương ñ i như sau: 1) H phương trình có nghi m duy nh t ⇔ d1 c t d2. 2) H phương trình có vô s nghi m ⇔ d1 trùng d2. 3) H phương trình vô nghi m và a1, a 2 cùng phương ⇔ d1 song song v i d2. 4) H phương trình vô nghi m và a1, a 2 không cùng phương ⇔ d1 và d2 chéo nhau. 6. V trí tương ñ i c a ñư ng th ng và m t ph ng Cho ñư ng th ng d ñi qua ñi m M và có VTCP u , m t ph ng (α ) có VTPT n . 1) d c t (α ) ⇔ u.n ≠ 0 (ho c h phương trình có nghi m duy nh t). 2) d (α ) ⇔ u.n = 0 và M ∉ (α ) (ho c h phương trình vô nghi m). 3) d ⊂ (α ) ⇔ u.n = 0 và M ∈ (α ) (ho c h phương trình có vô s nghi m). 4) d ⊥ (α) ⇔ u n ⇔ u, n = 0 . IV. KHO NG CÁCH VÀ GÓC 1. Kho ng cách a) Kho ng cách t M(x0; y0; z0) ñ n m t ph ng (P): Ax + By + Cz + D = 0 Ax 0 + By 0 + Cz0 + D d M, (P) = . A2 + B2 + C2 MA, a b) Kho ng cách t M ñ n ñư ng th ng d: d(M, d) = , (A ∈ d) . a Chú ý: Ta có th tìm hình chi u H c a M trên d và d(M, d) = MH. c) Kho ng cách gi a d1 song song d2 (M1 ∈ d1, M2 ∈ d2 ) : d(d1, d2) = d(M1, d2) = d(M2, d1) d) Kho ng cách gi a ñư ng th ng d và m t ph ng (P) song song (M ∈ d) : d[d, (P)] = d[M, (P)] e) Kho ng cách gi a hai m t ph ng (P), (Q) song song ( M1 ∈ ( P ) , M2 ∈ ( Q ) ) : d[(P), (Q)] = d[M1, (Q)] = d[M2, (P)] Trang 17
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp a For Evaluation Only. , a .M M f) Kho ng cách gi a d1 chéo d2: d(d1, d2 ) = 1 2 1 2 , (M1 ∈ d1, M2 ∈ d2 ) . a , a 1 2 2. Góc Công th c cơ b n: a.b = a b cos a, b u1 .u2 ( ) a) Góc gi a d1 và d2: cos d1, d2 = cos u1, u2 = u1 u2 . Chú ý: 1) d1 ( d2 ⇒ d1, d2 = 00 . ) 2) d1 ⊥ d2 ⇔ u1 .u2 = 0 . n P .nQ b) Góc gi a hai m t ph ng: cos ( ( P ), ( Q ) ) = cos n P, nQ = n P nQ . Chú ý: 1) ( P ) ( Q ) ⇒ ( ( P ), ( Q ) ) = 00 . 2) ( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ n P .n Q = 0 . u d .n P c) Góc gi a ñư ng th ng và m t ph ng: sin d, ( ( P )) = cos u d , n P = ud nP . Chú ý: 1) d ⊂ ( α ) ho c d ( P ) ⇒ ud .n P = 0. 2) d ⊥ ( P ) ⇔ u d , n P = 0 . V. M T C U 1. Phương trình chính t c c a m t c u M t c u (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình chính t c là: (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2. Phương trình t ng quát c a m t c u (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 M t c u (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R = a 2 + b2 + c2 − d > 0 . 3. V trí tương ñ i c a m t ph ng và m t c u Cho m t ph ng (P) và m t c u (S) tâm I, bán kính R ta có: a) M t ph ng không c t m t c u ⇔ d I,(P) > R . b) M t ph ng ti p xúc m t c u ⇔ d I,(P) = R . c) M t ph ng c t m t c u theo giao tuy n là ñư ng tròn ⇔ d I,(P) < R . Chú ý: Khi I ∈ ( P ) thì giao tuy n là ñư ng tròn l n có bán kính b ng bán kính m t c u. …………………………………………………. E. TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM 1. Tính ch t ( ∫ f(x)dx ) / 1) = f(x) ; 2) ∫ a.f(x)dx = a.∫ f(x)dx (a ≠ 0) ; 3) ∫ f(x) ± g(x) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx . 2. B ng nguyên hàm Nguyên hàm c a hàm s cơ b n Nguyên hàm m r ng, u = u(x) 1) ∫ a.dx = ax + C, a∈ℝ 1) ∫ adu = au + C, a∈ℝ x α+1 uα+1 2) ∫ xα dx = α +1 + C, α ≠ −1 2) ∫ uα du = α +1 + C, α ≠ −1 dx du 3) ∫ x = ln x + C, x ≠ 0 3) ∫ u = ln u + C, u ≠ 0 dx 1 du 1 4) ∫ x2 =− +C x 4) ∫ u2 =− +C u Trang 18
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp dx For Evaluation Only. du 5) ∫ x = 2 x +C 5) ∫ u =2 u +C 6) ∫ exdx = ex + C 6) ∫ eudu = eu + C ax au 7) ∫ a x dx = ln a + C 7) ∫ audu = ln a + C 8) ∫ cos xdx = sin x + C 8) ∫ cos udu = sin u + C 9) ∫ sin xdx = − cos x + C 9) ∫ sin udu = − cos u + C 1 du 10) ∫ cos2 x dx = tan x + C 10) ∫ cos2 u = tan u + C 1 du 11) ∫ sin2 x dx = − cot x + C 11) ∫ sin2 u = − cot u + C ð c bi t 1 N u ∫ f(x)dx = F(x) + C thì ∫ f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C . Các công th c thư ng g p: 1 (ax + b)α+1 dx 1 1) ∫ (ax + b)α dx = a . α +1 +C; 2) ∫ ax + b = a .ln ax + b + C; 1 ax + b 1 3) ∫ eax+b = a .e +C; 4) ∫ cos(ax + b)dx = a .sin(ax + b) + C ; 1 dx 1 5) ∫ sin(ax + b)dx = − .cos(ax + b) + C ; a 6) ∫ cos (ax + b) 2 = .tg(ax + b) + C . a II. PHƯƠNG PHÁP ð I BI N S 1. ð nh nghĩa Cho hàm s f(x) liên t c trên kho ng ( α; β ) và F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) trên kho ng ñó, v i a, b ∈ ( α; β ) ta g i hi u F(b) − F(a) là tích phân t a ñ n b c a f(x). b b Ký hi u: ∫ f(x)dx = F(b) − F(a) = F(x) a (công th c Newton - Leibniz). a b b b Nh n xét: ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = ... = F(b) − F(a) . a a a 2. Tính ch t Cho hai hàm s f(x), g(x) liên t c trên kho ng ( α; β ) và a, b, c ∈ ( α; β ) ta có: a b a 1) ∫ f(x)dx = 0 ; 2) ∫ f(x)dx = −∫ f(x)dx ; a a b b b b c b 3) ∫ k.f(x)dx = k ∫ f(x)dx ∀k ∈ ℝ ; 4) ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . a a a a c b b b 5) ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx ; a a a b b 6) f(x) ≥ 0 ∀x ∈ a; b ⇒ ∫ f(x)dx ≥ 0 , f(x) ≤ 0 ∀x ∈ a; b ⇒ ∫ f(x)dx ≤ 0 ; a a b b 7) f(x) ≥ g(x) ∀x ∈ a; b ⇒ ∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx ; a a b 8) m ≤ f(x) ≤ M ∀x ∈ a; b ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a) ; a t 9) N u t bi n thiên trên [a; b] thì G(t)=∫ f(x)dx là m t nguyên hàm c a f(t) th a G(a) = 0. a Trang 19
- Edited by Foxit Reader ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010 toác naêm 2009 15 Boä ñeà toaùn caáp 3. Các k t qu c n nh For Evaluation Only. a 1) V i a > 0 , hàm s f(x) l và liên t c trên ño n [–a; a] thì ∫ f(x)dx = 0 . −a a a 2) V i a > 0 , hàm s f(x) ch n và liên t c trên ño n [–a; a] thì ∫ f(x)dx = 2∫ f(x)dx . −a 0 III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N 1. Công th c b b b ∫ udv = uv a − ∫ vdu (1) a a 2. Phương pháp gi i toán b Gi s c n tính tích phân ∫ f(x)g(x)dx ta th c hi n như sau: a Bư c 1. ð t u = f(x), dv = g(x)dx (ho c ngư c l i) sao cho d tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du = u/ (x)dx không b quá ph c t p. Hơn n a, tích phân ∫ vdu ph i tính ñư c. a Bư c 2. Thay vào công th c (1) ñ tính k t qu . ð c bi t: b b b 1) ∫ P(x)sin axdx, ∫ P(x)cos axdx, ∫ eax .P(x)dx , (P(x): ña th c) ta ñ t u = P(x) . a a a b 2) ∫ P(x)lnα xdx ta ñ t u = ln α x . a ln x Chú ý: log a x = . ln a IV. TÍCH PHÂN CH A GIÁ TR TUY T ð I Phương pháp gi i toán b Gi s c n tính tích phân I = ∫ f(x) dx , ta th c hi n các bư c sau: a Bư c 1 L p b ng xét d u (BXD) c a hàm s f(x) trên ño n [a; b], gi s f(x) có BXD: x a x1 x2 b f(x) + 0 – 0 + Bư c 2 b x1 x2 b Tính I = ∫ f(x) dx = ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . a a x1 x2 Chú ý: N u trong kho ng (a; b) phương trình f(x) = 0 không có nghi m thì: b b ∫ f(x) dx = ∫ f(x)dx a a V. NG D NG C A TÍCH PHÂN 1. Tính di n tích hình ph ng 1.1. Trư ng h p 1 Di n tích hình ph ng S gi i h n b i các ñư ng y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là: b S= ∫ f(x) − g(x) dx a Trang 20
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Hướng dẫn giải đề thi đại học môn Hoá khối B năm 2009
23 p |
2002 |
679
-
Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán khối B năm 2012 (có đáp án)
5 p |
744 |
315
-
Rèn luyện kỹ năng giải đề thi đại học 2010
13 p |
283 |
177
-
Đáp án và đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán khối D năm 2013
8 p |
374 |
120
-
ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_01
10 p |
95 |
43
-
ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_02
10 p |
66 |
29
-
ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_03
10 p |
80 |
28
-
ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_04
10 p |
62 |
17
-
ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_05
4 p |
65 |
15
-
ÔN LUYỆN KIẾN THỨC THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI NĂM 2011 - PRACTICE TEST 3
6 p |
50 |
5
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Vật lý: Đề số 12
0 p |
19 |
4
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Vật lý: Đề số 15
0 p |
16 |
3
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Ngữ văn: Đề số 07
0 p |
15 |
2
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Ngữ văn: Đề số 05
0 p |
14 |
2
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Vật lý: Đề số 09
0 p |
16 |
2
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Vật lý: Đề số 02
0 p |
10 |
2
-
Luyện thi đại học KIT 2 môn Ngữ văn: Đề số 12
0 p |
18 |
2

Set-Cookie: TLDEVNamespace=73krr1gqgd1vmkqd6oubr88pr2; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly


text:
Thông báo - Sự kiện
- Hướng dẫn xây dựng Kế hoạch và dự toán ngân sách nhà nước năm 2018
- Thông báo bổ sung về việc tuyển chọn, xét giao trực tiếp tổ chức và cá nhân thực hiện nhiệm vụ KHCN thuộc dự án “Xây dựng và áp dụng TC, QCKT”, dự án “Thúc đẩy hoạt động NS và CL” thuộc Chương trình quốc gia 712 (thực hiện từ năm 2017)
- Thông tư 116/2015/TT-BTC Quy đinh công tác quản lý tài chính đối với việc tư vấn, xây dựng, áp dụng, duy trì và cải tiến Hệ thống QLCL theo TCVN ISO 9001:2008 vào hoạt động của các cơ quan, tổ chức thuộc hệ thống hành chính nhà nước
- Thông báo về việc tuyển chọn, xét giao trực tiếp tổ chức và cá nhân thực hiện nhiệm vụ KHCN thuộc Dự án 2. “Thúc đẩy hoạt động NS và CL
- Kết quả tuyển chọn, xét giao trực tiếp tổ chức, cá nhân chủ trì nhiệm vụ thực hiện từ năm 2017 thuộc dự án “Xây dựng và áp dụng TC, QCKT” và dự án “Thúc đẩy hoạt động NSCL” thuộc Chương trình quốc gia 712
Thăm dò ý kiến
Theo bạn, trong các nội dung đào tạo và tư vấn sau, nội dung nào các doanh nghiệp VN sẽ cần hơn ?

markdown:
Công bố biện pháp phòng ngừa vi phạm về đo lường
| |![]()
###
[Thông báo - Sự kiện]
![ ](img/corner-left.png)
![ ](img/corner-right.png)
[Hướng dẫn xây dựng Kế hoạch và dự toán ngân sách nhà nước năm 2018](bai-viet-huong-dan-xay-dung-ke-hoach-va-du-toan-ngan-sach-nha-nuoc-nam-2018_ae89a4e2.aspx) [Thông báo bổ sung về việc tuyển chọn, xét giao trực tiếp tổ chức và cá nhân thực hiện nhiệm vụ KHCN thuộc dự án “Xây dựng và áp dụng TC, QCKT”, dự án “Thúc đẩy hoạt động NS và CL” thuộc Chương trình quốc gia 712 (thực hiện từ năm 2017)](bai-viet-thong-bao-bo-sung-ve-viec-tuyen-chon-xet-giao-truc-tiep-to-chuc-va-ca-nhan-thuc-hien-nhiem_b4600872.aspx) [Thông tư 116/2015/TT-BTC Quy đinh công tác quản lý tài chính đối với việc tư vấn, xây dựng, áp dụng, duy trì và cải tiến Hệ thống QLCL theo TCVN ISO 9001:2008 vào hoạt động của các cơ quan, tổ chức thuộc hệ thống hành chính nhà nước](bai-viet-thong-tu-1162015ttbtc-quy-dinh-cong-tac-quan-ly-tai-chinh-doi-voi-viec-tu-van-xay-dung-ap-dung_c628d498.aspx) [Thông báo về việc tuyển chọn, xét giao trực tiếp tổ chức và cá nhân thực hiện nhiệm vụ KHCN thuộc Dự án 2. “Thúc đẩy hoạt động NS và CL](bai-viet-thong-bao-ve-viec-tuyen-chon-xet-giao-truc-tiep-to-chuc-va-ca-nhan-thuc-hien-nhiem-vu-khcn_fad41d01.aspx) [Kết quả tuyển chọn, xét giao trực tiếp tổ chức, cá nhân chủ trì nhiệm vụ thực hiện từ năm 2017 thuộc dự án “Xây dựng và áp dụng TC, QCKT” và dự án “Thúc đẩy hoạt động NSCL” thuộc Chương trình quốc gia 712](bai-viet-ket-qua-tuyen-chon-xet-giao-truc-tiep-to-chuc-ca-nhan-chu-tri-nhiem-vu-thuc-hien-tu-nam_3e58d580.aspx)
###
[Thăm dò ý kiến]
![ ](img/corner-left.png)
![ ](img/corner-right.png)
**Theo bạn, trong các nội dung đào tạo và tư vấn sau, nội dung nào các doanh nghiệp VN sẽ cần hơn ?**

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Cache-Control: private

Content-Type: text/html; charset=utf-8

Connection: close


text:
Diễn Đàn Teen Vip 9/6 NBK
Tìm kiếm
Display results as :
Số bài
Chủ đề
Advanced Search
News & Announcements
Gallery & Others
Top Poster
Thanked
Newest Member
Top Starter
luv_luv73
vyxjnh
EmilL.I.N.H
minhkhang
huynhlinh
tramkute
Bài Viết Mới
Tab mới
Thống kê
Ừ, Là Thế Đấy - LinhSady - M-TP - Hoàng Kê - LinGuc
lĂg xÊ dÙm mẤy kOn bẠn
sƠ mY cẶp
mỤ trÂm rƯợn
áO fÔg đỆp khÓ đỠ
puẦn xẮn gẤu chO tEengirl cÁ tÝnh
trO` liu` liNh~
tỨ đỸ
Cách Post Ảnh Vào 4rum
Chu' Y' Ve` Viec Dang Ki'
lƠi` thU' tỘi gỮi tỚi bỌn bÂy[bÀ 8....bÀ 10]
đY suỐi nhÀ chA sỨc mUi á
Hot bOy lop' 8
lớp 8/6 0ff
Ao" thun..
giay` kute =]]]
Kì 1: Cô nàng có hai nhân cách
c0^ gAi' dEo bOm` dO~
cho vào khung hot girl đc. chứ ạ hehe
lop" 8-6... all my love
luv_luv73
luv_luv73
vyxjnh
tramkute
luv_luv73
luv_luv73
vyxjnh
vyxjnh
EmilL.I.N.H
EmilL.I.N.H
tramkute
vyxjnh
luv_luv73
EmilL.I.N.H
vyxjnh
luv_luv73
luv_luv73
luv_luv73
luv_luv73
luv_luv73
Gửi đến :
Nội dung thông điệp
...
Share
|
lop" 8-6... all my love
#1
Mon Mar 22, 2010 9:24 am
độc ác no.1
luv_luv73
Admin
Cấp bậc thành viên
Danh vọng:
30%/1000%
Tài năng:20%/100%
Posts
:
30
Birthday
:
27/07/1996
Join date
:
19/12/2009
Age
:
20
Đến từ
:
bvtt
Job/hobbies
:
sờ tiu đình
Status
:
độc ác no.1
Tiêu đề:
lop" 8-6... all my love
to" i* lop" 8-6 niu` lom"
nhiu do" du? chua*
)
Copy đường link gửi cho bạn bè !
lop" 8-6... all my love - http://teen8-6.8forum.biz/t8-topic . Cùng đọc bài này nhé!. Yên tâm là không có virus đâu nha (^v^) !!!
lop" 8-6... all my love
Trang
1
trong tổng số
1
trang
* Viết tiếng Việt có dấu, là tôn trọng người đọc.* Chia sẻ bài sưu tầm có ghi rõ nguồn, là tôn trọng người viết.* Thực hiện những điều trên, là tôn trọng chính mình.
-Nếu chèn smilies có vấn đề thì bấm A/a trên phải khung viết bài
Diễn Đàn Teen Vip 9/6 NBK
::
Diễn Đàn
::
Thông Điệp Yêu Thương
Quyền của bạn
Bạn
không có quyền
trả lời bài viết
© Diễn đàn phát triển bởi: Nguyễn Huỳnh Linh-
Nguyễn Huỳnh Linh.™ -::+::-
Email: huynhlinh20012000@yahoo.Com
và
Các Thành Viên.
.
+ Các tài liệu, hình ảnh, dữ liệu... đưa lên có bản quyền thuộc về chủ sở hữu.
+ -::+::- Real FC -::+::- là một hệ thống mở, chúng tôi sẽ không chịu trách nhiệm về nội dung đăng tải do người dùng đưa lên.
+ Truy cập, sử dụng website này nghĩa là bạn đã chấp nhận
Quy Định
của Diễn đàn.
Unikey |
Đọc file PDF |
Winrar |
IDM 5.12 |
Learning English |
BWportal |
NCIEC |
VOANews |
BBC |
Lời nhạc QT |
Liên hệ::

WARC-Truncated: length

X-XSS-Protection: 1; mode=block

Cache-Control: no-cache

X-Content-Type-Options: nosniff

Pragma: no-cache

Vary: User-Agent

P3P: CP="IDC DSP COR ADM DEVi TAIi PSA PSD IVAi IVDi CONi HIS OUR IND CNT"


text:
- Hoạt động cuối:
- 2/2/16
- Tham gia ngày:
- 25/1/16
- Bài viết:
- 3
- Đã được thích:
- 0
- Giới tính:
- Nam
- Sinh nhật:
- 1/11/83 (Tuổi: 33)
Chia sẻ trang này
Vĩnh Trà(1 )Số người xác thực(1)
- Vĩnh Trà được nhìn thấy lần cuối:
- 2/2/16
- Địa Chỉ:
- an tịnh trảng bàng tây ninh
- SĐT:
- 0934115300
-
- Đang tải...
- Đang tải...
-
Giới thiệu
- Giới tính:
- Nam
- Sinh nhật:
- 1/11/83 (Tuổi: 33)
- SĐT:
- 0934115300
- Địa Chỉ:
- an tịnh trảng bàng tây ninh
Tương tác
- Đang tải...
- Đang tải...
- Đang tải...

markdown:
![ Vĩnh Trà](http://thegioidoco.net/styles/default/xenforo/avatars/avatar_male_l.png)
- Hoạt động cuối:
- 2/2/16
- Tham gia ngày:
- 25/1/16
- Bài viết:
- 3
- Đã được thích:
- 0
- Giới tính:
- Nam
- Sinh nhật:
- 1/11/83 (Tuổi: 33)
### Chia sẻ trang này
# Vĩnh Trà(1 )
*Số người xác thực(1)*
- Vĩnh Trà được nhìn thấy lần cuối:
- 2/2/16
- Địa Chỉ:
- an tịnh trảng bàng tây ninh
- SĐT:
- 0934115300
-
- Đang tải...
- Đang tải...
-
### Giới thiệu
- Giới tính:
- Nam
- Sinh nhật:
- 1/11/83 (Tuổi: 33)
- SĐT:
- 0934115300
- Địa Chỉ:
- an tịnh trảng bàng tây ninh
### Tương tác
- Đang tải...
- Đang tải...
- Đang tải...

Server: nginx

Content-Type: text/html; charset=UTF-8

Vary: Accept-Encoding

Cache-control: private, max-age=0

X-Frame-Options: SAMEORIGIN