Однак, незабаром стало ясно, що цьому методу притаманні певні обмеження. У 1880-х роках, Г. Кантор спробував систематично класифікувати нескінченні множини (наприклад, множина всіх раціональних чисел, множина дійсних чисел і т. д.) шляхом їх порівняльної кількісної оцінки, приписуючи їм т. зв. трансфінітні числа. При цьому, він виявив в теорії множин протиріччя. Таким чином, до початку 20-го століття, математикам довелося мати справу з проблемою їх дозволу, а також з іншими проблемами підстав їх науки, такими, як неявне використання т. зв. аксіоми вибору.