Одночасно Лузін вивчав питання, чи можна представити будь-яку періодичну функцію, навіть таку, що має нескінченно багато точок розриву, в вигляді суми тригонометричного ряду, тобто суми нескінченної множини гармонійних коливань. До вище описаних проблем Лузін одержав низку значних результатів і в 1915 р. захистив дисертацію «Інтеграл і тригонометричний ряд», за яку йому відразу присудили науковий ступінь доктора чистої математики, минаючи існуючу на той час ступінь магістра.