Надалі математиків почало бентежити те, що вони припускають існування континууму дійсних чисел без доказу. Розв'язуючи цю проблему, Ріхард Дедекінд сконструював означення ірраціонального числа як переріз Дедекінда, таким чином заповнивши «прогалини» в раціональних числах і утворивши повний метричний простір: континуум дійсних чисел. Приблизно тоді ж спроби уточнити теореми інтегрування за Ріманом призвели до вивчення розривів дійсних функцій.