Наукові праці Щелкова присвячені фізіології та фізіологічній хімії. Вів наукову роботу з питань газів, що містяться в крові, проводив дослідження гемоглобіну в крові. Досліджував проблеми університетської освіти, працював над археологією та історією Харківської губернії .