Лінійними перетвореннями з такими властивостями є лише паралельні переноси та обертання системи координат. Паралельні переноси та обертання в площинах xy, yz, zx зводяться до переносу початку відліку простору та часу і звичайних просторових поворотів. Останні (повороти системи координат у трьох площинах tx, ty, tz) і є перетвореннями Лоренца. Якщо ввести «кут повороту» ψ, такий що , то перетворення Лоренца для систем K та K′ із паралельними осями можна записати в гіперболічній формі: