Недовіра до аксіоми вибору підсилюється тим, що наслідки, що випливають з неї, можуть бути дуже контрінтуітивними і парадоксальними, наприклад, процедура Банаха-Тарського, що використовує аксіому вибору, дозводяє розділити тривимірну кулю на п'ять шматків, і зібрати з них дві кулі такого самого розміру. Система фон Неймана — Бернайса — Геделя Система аксіом Неймана — Бернайса — Геделя (NBG) є розширенням ZFC. Поняття, сформульовані в ZFC можуть бути доведені тоді, і тільки тоді, якщо вони можуть бути доведені в NBG.