Наприклад, вивчивши властивості операцій додавання і множення над множинами раціональних, дійсних і комплексних чисел, математики створили загальне поняття поля — множини, де визначено ці дві операції, причому виконуються їх звичайні властивості. Дослідження операції множення матриць призвело до виділення поняття групи, яке є нині одним з найважливіших не тільки в алгебрі, й у всій математиці. Розділи алгебри Елементарна алгебра — лінійні, квадратні, кубічні та рівняння 4-го степеня.