Зауважимо зокрема що Формула Стірлінґа є просто першим наближенням для ряду Стірлінґа. Спеціальні формули та при Доведення Грубо кажучи, найпростішу версію формули Стірлінґа можна швидко отримати, наближаючи суму до інтегралу Повна формула разом із точною похибкою може бути отримана наступним чином. Замість наближення , розглядається логарифм натуральний оскільки він є функцією, яка повільно змінюється Від правої частини рівняння віднімаємо і наближуємо методом трапецій інтеграл Похибка в цьому наближенні задається формулою Ейлера—Маклорена