Сума декількох чисел ділиться на число Y тоді і тільки тоді, коли сума залишків цих чисел при діленні на Y також ділиться на Y. Іншими словами: (x0 + x1 + … + xk) mod Y = ((x0 mod Y) + (x1 mod Y) + … + (xk mod Y)) mod Y. Аналогічне співвідношення виконується і для множення: (x0 * x1 * … * xk) mod Y = ((x0 mod Y) * (x1 mod Y) * … * (xk mod Y)) mod Y. Останнім кроком у нашому доведенні буде помітити, що усі ступені числа 10 (1, 10, 100, 1000, …) дають у залишку 1 при діленні на 9.