Нейману належить чітке математичне формулювання принципів квантової механіки, зокрема, її ймовірнісна інтерпретація; його праця «Математичні основи квантової механіки» (Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, 1932) вважається класичною. 1932 року Нейман довів еквівалентність хвильової та матричної механіки. Дослідження основ квантової механіки спонукало його до глибшого вивчення теорії операторів і створення теорії необмежених операторів.