Батько — антиквар Параджанян Йосиф Сергійович, мати — Бежанова (Бежанян) Сірануш Давидівна. Професія антиквара передавалася з покоління в покоління, і глава сім'ї — Йосип Параджанян — сподівався, що його діти підуть слідами предків. Сергій обрав інший шлях, і батько не зміг йому цього пробачити. Але вишуканий смак і вміння відрізнити справжню річ від підробки передалися, і це потім неодноразово ставало у пригоді Сергієві, коли він, сидячи без роботи, підробляв скуповуванням антикваріату.