З 1799 Паоло Руффіні в низці робіт, присвячених цій темі, описав групу перестановок з п'яти елементів. У 1824 Нільс Абель довів теорему, що для рівнянь п'ятого і вищих степенів не існує загальної формули, що виражатиме корені через коефіцієнти в радикалах (теорема Абеля—Руффіні). Загальний розв'язок проблеми розв'язності алгебраїчних рівнянь отримав Еварист Галуа в 1830. Саме Галуа запровадив у своїх роботах термін «група» і почав використовувати властивості груп.