To find the likelihood function for a normal distribution with median $\mu$ and variance $\sigma^2$, follow these steps:

Step 1: Write down the probability density function (PDF) of the normal distribution with median $\mu$ and variance $\sigma^2$. It is given by:

$f(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

This PDF describes the probability of observing a value of $x$ given the values of the parameters $\mu$ and $\sigma^2$.

Step 2: Assume that you have a set of independent and identically distributed (iid) observations $x_1, x_2, \dots, x_n$ from this normal distribution. The likelihood function is the joint probability density function of the observations, given the parameters $\mu$ and $\sigma^2$. Since the observations are iid, the likelihood function is given by the product of the PDFs of each observation:

$L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i | \mu, \sigma^2)$

Step 3: Substitute the PDF of the normal distribution into the likelihood function:

$L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Step 4: Take the natural logarithm of the likelihood function, which is a monotonic transformation, to simplify the calculations:

$\ln L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2$

Step 5: To find the maximum likelihood estimator (MLE) of the parameters $\mu$ and $\sigma^2$, we need to find the values of $\mu$ and $\sigma^2$ that maximize the likelihood function. This can be done by taking the partial derivatives of the log-likelihood function with respect to $\mu$ and $\sigma^2$, setting them equal to zero, and solving for the parameters.

Taking the partial derivative of the log-likelihood function with respect to $\mu$ and setting it equal to zero, we get:

$\frac{\partial}{\partial\mu}\ln L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu) = 0$

Solving for $\mu$, we get:

$\hat{\mu}{\text{MLE}} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n x_i$

Taking the partial derivative of the log-likelihood function with respect to $\sigma^2$ and setting it equal to zero, we get:

$\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\ln L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 =
หากต้องการค้นหาฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่ามัธยฐาน $\mu$ และความแปรปรวน $\sigma^2$ ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้ ขั้นตอนที่ 1: เขียนฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) ของการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่ามัธยฐาน $\mu$ และความแปรปรวน $\sigma^2$ กำหนดโดย: $f(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu) ^2}{2\sigma^2}}$ PDF นี้อธิบายความน่าจะเป็นของการสังเกตค่า $x$ เมื่อพิจารณาจากค่าของพารามิเตอร์ $\mu$ และ $\sigma^2$ ขั้นตอนที่ 2: สมมติว่าคุณมีชุดของการสังเกตที่เป็นอิสระและกระจายเหมือนกัน (iid) $x_1, x_2, \dots, x_n$ จากการแจกแจงแบบปกตินี้ ฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นร่วมของการสังเกต โดยพิจารณาจากพารามิเตอร์ $\mu$ และ $\sigma^2$ เนื่องจากการสังเกตเป็นแบบ iid ฟังก์ชันความน่าจะเป็นจึงถูกกำหนดโดยผลคูณของ PDF ของการสังเกตแต่ละครั้ง: $L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^ nf(x_i | \mu, \sigma^2)$ ขั้นตอนที่ 3: แทนที่ PDF ของการแจกแจงแบบปกติลงในฟังก์ชันความน่าจะเป็น: $L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \ prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ ขั้นตอนที่ 4: นำลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชันความน่าจะเป็นซึ่งเป็นการแปลงแบบโมโนโทนิกเพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น: $\ln L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = -\frac {n}{2}\ln(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2$ ขั้นตอนที่ 5 : ในการค้นหาตัวประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด (MLE) ของพารามิเตอร์ $\mu$ และ $\sigma^2$ เราจำเป็นต้องค้นหาค่าของ $\mu$ และ $\sigma^2$ ที่ทำให้ฟังก์ชันความน่าจะเป็นสูงสุด ซึ่งสามารถทำได้โดยการหาอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันล็อก-ความน่าจะเป็นด้วยความเคารพต่อ $\mu$ และ $\sigma^2$ ตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ และหาค่าพารามิเตอร์ เมื่อหาอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน log-likelihood เทียบกับ $\mu$ และตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ เราจะได้: $\frac{\partial}{\partial\mu}\ln L(\mu, \sigma^ 2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu) = 0$ เมื่อแก้โจทย์เพื่อให้ได้ $\mu$ เราจะได้ : $\hat{\mu}{\text{MLE}} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n x_i$ หาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน log-likelihood เทียบกับ $\ sigma^2$ และตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ เราจะได้: $\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\ln L(\mu, \sigma^2 | x_1, x_2, \dots, x_n) = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 =
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence