Irrational numbers are real numbers that cannot be expressed as a ratio of two integers. They are called irrational because they cannot be written as a simple fraction. Here are some key points to keep in mind about irrational numbers:

- Irrational numbers are infinite and non-repeating decimal numbers.
- Some examples of irrational numbers include pi, the square root of 2, and the golden ratio.
- An irrational number can be expressed as a decimal, but it will never repeat or terminate.
- Irrational numbers can be identified by attempting to write them as a simple fraction. If the number cannot be expressed as a ratio of two integers, it is irrational.
- There are an infinite number of irrational numbers, and they are denser on the number line than rational numbers.
- Irrational numbers have many applications in mathematics, including in trigonometry, calculus, and geometry.

It is important to understand that irrational numbers are not "crazy" or nonsensical; they simply cannot be written as a ratio of two integers. One way to think about irrational numbers is as numbers whose positive integer multiples never hit an integer, but these multiples come arbitrarily close to integers. Another way to think about irrational numbers is as the slope of a line that misses all other points on the integer grid in R2. 

It is also worth noting that irrational numbers can be multiplied together to result in a rational number. For example, the square root of 2 multiplied by itself is 2, a rational number.
จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงที่ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัวได้ พวกมันถูกเรียกว่าไม่มีเหตุผลเพราะไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนอย่างง่ายได้ ต่อไปนี้เป็นประเด็นสำคัญที่ควรคำนึงถึงเกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะ: - จำนวนอตรรกยะคือจำนวนอนันต์และไม่ซ้ำทศนิยม - ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ ได้แก่ พาย รากที่สองของ 2 และอัตราส่วนทองคำ - จำนวนอตรรกยะสามารถแสดงเป็นทศนิยมได้ แต่จะไม่เกิดซ้ำหรือยุติ - จำนวนอตรรกยะสามารถระบุได้โดยการพยายามเขียนเป็นเศษส่วนอย่างง่าย หากไม่สามารถแสดงตัวเลขเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัวได้ แสดงว่าเป็นจำนวนตรรกยะ - จำนวนอตรรกยะมีจำนวนอนันต์ และบนเส้นจำนวนจะมีความหนาแน่นมากกว่าจำนวนตรรกยะ - จำนวนอตรรกยะมีประโยชน์หลายอย่างในคณิตศาสตร์ รวมถึงในวิชาตรีโกณมิติ แคลคูลัส และเรขาคณิต สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าจำนวนอตรรกยะไม่ใช่ "บ้า" หรือไร้สาระ ไม่สามารถเขียนเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัวได้ วิธีคิดเกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะวิธีหนึ่งคือตัวเลขที่มีค่าทวีคูณของจำนวนเต็มบวกไม่เคยถึงจำนวนเต็ม แต่จำนวนทวีคูณเหล่านี้มาใกล้กับจำนวนเต็มตามอำเภอใจ วิธีคิดเกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะอีกวิธีหนึ่งคือความชันของเส้นตรงที่พลาดจุดอื่นๆ ทั้งหมดในตารางจำนวนเต็มใน R2 เป็นที่น่าสังเกตว่าสามารถคูณจำนวนอตรรกยะเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น รากที่สองของ 2 คูณด้วยตัวมันเองคือ 2 ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence