Sure, here's a formal induction proof to show that $T(n)=O(n^3)$ using the Big O notation:

Let $c = 15$ and $n_0 = 1$. Then, for all $n \ge n_0$ we have:

$$T(n) = 15n^3 + n^2 + 4 \le 15n^3 + n^3 + n^3 = 31n^3.$$

Thus, we have $T(n) \le 31n^3$ for all $n \ge n_0$, and it follows that $T(n) = O(n^3)$.

Here's how the above proof would look in LaTeX:
Let $c = 15$ and $n_0 = 1$. Then, for all $n \ge n_0$, we have:

$$T(n) = 15n^3 + n^2 + 4 \le 15n^3 + n^3 + n^3 = 31n^3.$$

Thus, we have $T(n) \le 31n^3$ for all $n \ge n_0$, and it follows that $T(n) = O(n^3)$.
แน่นอนว่า นี่คือข้อพิสูจน์การปฐมนิเทศอย่างเป็นทางการเพื่อแสดงว่า $T(n)=O(n^3)$ โดยใช้สัญลักษณ์ Big O: ให้ $c = 15$ และ $n_0 = 1$ จากนั้น สำหรับ $n \ge n_0$ ทั้งหมด เรามี: $$T(n) = 15n^3 + n^2 + 4 \le 15n^3 + n^3 + n^3 = 31n^3.$$ ดังนั้น เรามี $T(n) \le 31n^3$ สำหรับ $n \ge n_0$ ทั้งหมด และเป็นไปตามนั้น $T(n) = O(n^3)$ ต่อไปนี้คือลักษณะของข้อพิสูจน์ข้างต้นใน LaTeX: ให้ $c = 15$ และ $n_0 = 1$ จากนั้น สำหรับ $n \ge n_0$ ทั้งหมด เรามี: $$T(n) = 15n^3 + n^2 + 4 \le 15n^3 + n^3 + n^3 = 31n^3.$$ ดังนั้นเราจึงมี $T(n) \le 31n^3$ สำหรับ $n \ge n_0$ ทั้งหมด และเป็นไปตามนั้น $T(n) = O(n^3)$
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence