The Newton-Raphson method is an iterative method that uses the tangent line at a given point to approximate the root of a function. The formula for this method is given by:
x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
where x_n is the current approximation of the root, f(x_n) is the value of the function at that point, and f'(x_n) is the derivative of the function at that point.

To estimate the roots of the function f(x) = sin(x) + x^2 to five decimal places of accuracy, we can use the following steps:

1. Choose a starting point x_0 close to the root
2. Evaluate f(x_0) and f'(x_0)
3. Use the formula x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) to update the approximation of the root
4. Repeat steps 2 and 3 until the desired accuracy is reached.

For example, let's choose x_0 = 1 as the starting point. We can then evaluate f(x_0) = sin(1) + 1^2 = 1.84147 and f'(x_0) = cos(1) + 2 = 2.41421.

x_1 = x_0 - f(x_0)/f'(x_0) = 1 - 1.84147/2.41421 = 0.882638

We can then evaluate f(x_1) and f'(x_1) and repeat the process until we reach the desired accuracy. After several iterations, we may find that the root of the function is approximately 0.86547405.
วิธีนิวตัน-ราฟสันเป็นวิธีการวนซ้ำที่ใช้เส้นสัมผัสที่จุดที่กำหนดเพื่อประมาณรากของฟังก์ชัน สูตรสำหรับวิธีนี้กำหนดโดย: x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) โดยที่ x_n คือการประมาณค่ารากในปัจจุบัน f(x_n) คือค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น point และ f'(x_n) คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น ในการประมาณค่ารากของฟังก์ชัน f(x) = sin(x) + x^2 ถึงความแม่นยำของทศนิยมห้าตำแหน่ง เราสามารถใช้ขั้นตอนต่อไปนี้: 1. เลือกจุดเริ่มต้น x_0 ใกล้กับราก 2. ประเมิน f( x_0) และ f'(x_0) 3. ใช้สูตร x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) เพื่ออัพเดตค่าประมาณของราก 4. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 และ 3 จนกระทั่งได้ความแม่นยำที่ต้องการ ถึง. ตัวอย่างเช่น ลองเลือก x_0 = 1 เป็นจุดเริ่มต้น จากนั้นเราสามารถหาค่า f(x_0) = sin(1) + 1^2 = 1.84147 และ f'(x_0) = cos(1) + 2 = 2.41421 x_1 = x_0 - f(x_0)/f'(x_0) = 1 - 1.84147/2.41421 = 0.882638 จากนั้นเราสามารถประเมิน f(x_1) และ f'(x_1) และทำซ้ำขั้นตอนนี้จนกว่าเราจะได้ความแม่นยำที่ต้องการ หลังจากวนซ้ำหลายครั้ง เราอาจพบว่ารากของฟังก์ชันมีค่าประมาณ 0.86547405
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence