The given equation is a functional equation with a recursive definition of function f.

To solve this equation, we can use the method of generating functions. We define the generating function F(x) as:

F(x) = f(0) + f(1)x + f(2)x^2/2! + f(3)x^3/3! + ...

Multiplying both sides of the original equation by x^k/k! and summing over all k, we get:

∑(k>=0) f(k) x^k/k! = ∑(k>=0) f(k-1) x^k/k! + an ∑(k>=0) x^k/k!

Using the generating function F(x) and its derivatives, we can simplify this expression as:

F'(x) = F(x) + an * e^x

Solving this differential equation, we get:

F(x) = c * e^x - an

where c is a constant of integration. To determine c, we use the initial condition f(0) = 1, which gives:

F(0) = f(0) = 1

c = 1 + an

Therefore, the generating function F(x) is:

F(x) = (1 + an) * e^x - an

We can then use the generating function to find the coefficients of the function f. Taking the k-th derivative of F(x) and evaluating it at x=0, we get:

f(k) = [x^k/k!] F(x) |x=0
= [(1+an) * x^k/k! e^x - an * x^k/k!] |x=0
= (1+an) * f(k-1) - an * δ(k,0)

where δ(k,0) is the Kronecker delta, which equals 1 if k=0 and 0 otherwise.

Therefore, the first derivative of f is:

f'(k) = (1+an) * f(k-1) - an * δ(k,0)

And the second derivative of f is:

f''(k) = (1+an) * f'(k-1) = (1+an)^2 * f(k-2) - an * (1+an) * δ(k-1,0)
สมการที่กำหนดคือสมการฟังก์ชันที่มีคำจำกัดความแบบเรียกซ้ำของฟังก์ชัน f ในการแก้สมการนี้ เราสามารถใช้วิธีสร้างฟังก์ชันได้ เรากำหนดฟังก์ชันการสร้าง F(x) เป็น: F(x) = f(0) + f(1)x + f(2)x^2/2! + ฉ(3)x^3/3! + ... คูณทั้งสองด้านของสมการดั้งเดิมด้วย x^k/k! และเมื่อรวม k ทั้งหมดเข้าด้วยกัน เราจะได้: ∑(k>=0) f(k) x^k/k! = ∑(k>=0) ฉ(k-1) x^k/k! + ∑(k>=0) x^k/k! เมื่อใช้ฟังก์ชันการสร้าง F(x) และอนุพันธ์ของมัน เราสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์นี้ได้ดังนี้: F'(x) = F(x) + an * e^x เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้ เราจะได้: F(x) = c * e^x - โดยที่ c คือค่าคงที่ของการอินทิเกรต เพื่อกำหนด c เราใช้เงื่อนไขเริ่มต้น f(0) = 1 ซึ่งให้: F(0) = f(0) = 1 c = 1 + an ดังนั้น ฟังก์ชันการสร้าง F(x) คือ: F(x) = (1 + an) * e^x - an จากนั้น เราสามารถใช้ฟังก์ชันสร้างเพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชัน f ได้ เมื่อหาอนุพันธ์อันดับที่ k ของ F(x) แล้วประเมินที่ x=0 เราจะได้: f(k) = [x^k/k!] F(x) |x=0 = [(1+an) * x^เค/เค! e^x - an * x^k/k!] |x=0 = (1+an) * f(k-1) - an * δ(k,0) โดยที่ δ(k,0) คือเดลต้าโครเนกเกอร์ ซึ่งเท่ากับ 1 ถ้า k=0 และ 0 มิฉะนั้น ดังนั้น อนุพันธ์อันดับหนึ่งของ f คือ: f'(k) = (1+an) * f(k-1) - an * δ(k,0) และอนุพันธ์อันดับสองของ f คือ: f''(k) = (1+อัน) * f'(k-1) = (1+อัน)^2 * f(k-2) - an * (1+อัน) * δ(k-1,0)
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence