Sure, I can give you an example where we can use the Newton Method to approximate the positive square root of two :

0. The polynomial f(x) = x²-2 is the 2nd degree polynomial we are going to use. Simple algebra tells us that its roots are -2^(1/2) and 2^(1/2). In order to use the method, we must compute the derivative of f(x), which is f'(x)=2x
1. The first step is to start with a guess of the value of one root. Usually, this guess is randomized but for the sake of simplicity let's use X0 = 2 where X denotes the root and 0 denotes that this is the starting approximate value of the root. Each successive number X1, X2 and so on will become the better approximate value of the square root of 2
2. The next step is to write the Newton Method formula using the algebraic formes of f(x) and f'(x) : 
Xk+1 = Xk - (f(Xk)/f'(Xk)) then becomes
Xk+1 = Xk - (Xk² -2) / (2 Xk)
This step is useful because we can sometimes simplify the formula using algebra. Each polynomial will have a different simplification but here we can put both termes over the same denominator 2Xk to obtain :
Xk+1 = (2Xk²) / (2Xk) - (Xk² -2) / (2 Xk)
Xk+1 = (2Xk² - Xk² + 2) / (2Xk)
Xk+1 = (Xk² +2) / (2Xk)
3. The next approximate value X1 is given by the formula X1 = X0 - f(X0) / f'(X0). In order to compute this number we must must input the value of X0 in the previous simplified formula in place of Xk. This yields :
X1 = (2² + 2) / (2*2) = 6/4 = 3/2 = 1.5
4. Now we repeat step 3 in a method called iteration where we find each subsequent approximation of X with the help of the previous one. This yields : 
X2 = ( (3/2)² + 2) / (2*(3/2)) = 17/12 = 1.41667
X3 = ( (17/12)² + 2) / (2* (17/12)) = 577/408 = 1.41422

This value X3 is already extremely close to the square root of 2 and is already a good approximation. If we compute the relative distance between the true value X and X3, we find :
(X-X3)/X = ( (577/408) - 2^(1/2) ) / (2^(1/2)) = 1.5E-6
which means that the error margin this approximation creates is about 0.00015 %

Be careful that the number of steps needed will depend on the initial guess. For example in our case where f(x)=x²-2, if we start with the guess x0 = 1000, the number of iterations to beat the previous error margin increases significally. In that case we need to go up to X12.

Be careful as well that this is a simple example and that some edge cases will arise when a polynomial admits multiple multiple roots close to each other, in which case this method may try to approximate two or more values at the same time.
แน่นอนว่า ฉันสามารถยกตัวอย่างให้เราใช้วิธีนิวตันเพื่อประมาณค่ารากที่สองที่เป็นบวกของ 2 : 0 ได้ พหุนาม f(x) = x²-2 คือพหุนามดีกรีที่ 2 ที่เราจะใช้ พีชคณิตอย่างง่ายบอกเราว่ารากของมันคือ -2^(1/2) และ 2^(1/2) ในการใช้วิธีการนี้ เราต้องคำนวณอนุพันธ์ของ f(x) ซึ่งก็คือ f'(x)=2x 1 ขั้นตอนแรกคือเริ่มต้นด้วยการเดาค่าของรากหนึ่งตัว โดยปกติแล้ว การเดานี้จะเป็นแบบสุ่ม แต่เพื่อความง่าย ให้ใช้ X0 = 2 โดยที่ X หมายถึงราก และ 0 หมายถึงนี่คือค่าเริ่มต้นโดยประมาณของราก จำนวน X1, X2 ตามลำดับแต่ละจำนวนจะกลายเป็นค่าประมาณที่ดีกว่าของรากที่สองของ 2 2 ขั้นตอนต่อไปคือการเขียนสูตรวิธีนิวตันโดยใช้รูปแบบพีชคณิตของ f(x) และ f'(x) : Xk +1 = Xk - (f(Xk)/f'(Xk)) จากนั้นจะกลายเป็น Xk+1 = Xk - (Xk² -2) / (2 Xk) ขั้นตอนนี้มีประโยชน์เนื่องจากบางครั้งเราสามารถลดความซับซ้อนของสูตรโดยใช้พีชคณิตได้ พหุนามแต่ละตัวจะมีการทำให้ง่ายขึ้นที่แตกต่างกัน แต่ที่นี่เราสามารถใส่ทั้งสองเทอมไว้เหนือตัวส่วนเดียวกัน 2Xk เพื่อให้ได้ : Xk+1 = (2Xk²) / (2Xk) - (Xk² -2) / (2 Xk) Xk+1 = (2Xk² - Xk² + 2) / (2Xk) Xk+1 = (Xk² +2) / (2Xk) 3. ค่าประมาณถัดไป X1 กำหนดโดยสูตร X1 = X0 - f(X0) / f'(X0) ในการคำนวณตัวเลขนี้ เราต้องป้อนค่า X0 ในสูตรแบบง่ายก่อนหน้าแทน Xk ผลลัพธ์ที่ได้ : X1 = (2² + 2) / (2*2) = 6/4 = 3/2 = 1.5 4. ตอนนี้เราทำซ้ำขั้นตอนที่ 3 ในวิธีการที่เรียกว่าการวนซ้ำ โดยเราจะค้นหาการประมาณค่า X ที่ตามมาแต่ละครั้งด้วยความช่วยเหลือของ อันก่อนหน้า ผลลัพธ์ที่ได้ : X2 = ( (3/2)² + 2) / (2*(3/2)) = 17/12 = 1.41667 X3 = ( (17/12)² + 2) / (2* (17/ 12)) = 577/408 = 1.41422 ค่า X3 นี้อยู่ใกล้กับรากที่สองของ 2 มากอยู่แล้ว และเป็นการประมาณที่ดีอยู่แล้ว หากเราคำนวณระยะทางสัมพัทธ์ระหว่างค่าจริง X และ X3 เราจะพบ : (X-X3)/X = ( (577/408) - 2^(1/2) ) / (2^(1/2)) = 1.5E-6 ซึ่งหมายความว่าค่าเผื่อข้อผิดพลาดที่การประมาณนี้สร้างขึ้นคือประมาณ 0.00015 % โปรดระวังว่าจำนวนขั้นตอนที่ต้องการจะขึ้นอยู่กับการเดาเบื้องต้น ตัวอย่างเช่น ในกรณีของเราที่ f(x)=x²-2 ถ้าเราเริ่มต้นด้วยการเดา x0 = 1,000 จำนวนการวนซ้ำเพื่อเอาชนะระยะขอบของข้อผิดพลาดก่อนหน้าจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก ในกรณีนี้ เราต้องขึ้นไปถึง X12 โปรดระวังด้วยว่านี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ และบางกรณีขอบจะเกิดขึ้นเมื่อพหุนามยอมรับหลายรากที่อยู่ใกล้กัน ในกรณีนี้ วิธีนี้อาจพยายามประมาณค่าตั้งแต่สองค่าขึ้นไปในเวลาเดียวกัน
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence