In mathematics, a partition of a set is a way of dividing the set into smaller subsets, called cells, such that every element in the set belongs to exactly one cell. In the context of a curve, a partition of the interval [a,b] refers to a division of the interval into subintervals, such that each subinterval contains at least one endpoint of the curve.

For example, consider a curve defined over the interval [0,1]. A possible partition of [0,1] could be [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1], meaning that the interval [0,1] is divided into four subintervals [0, 0.25], [0.25, 0.5], [0.5, 0.75], and [0.75, 1]. In this case, the partition P would be [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1].

The term "all possible partitions P of [a,b]" means that the length of the inscribed polygonal path Π(P) must be less than M for any division of [a,b] into subintervals, regardless of the size or number of subintervals. This requirement ensures that the curve can be approximated by a series of straight line segments with a total length that is bounded, regardless of the level of accuracy desired.
ในทางคณิตศาสตร์ การแบ่งพาร์ติชั่นของเซตเป็นวิธีหนึ่งในการแบ่งเซตออกเป็นเซตย่อยเล็กๆ ที่เรียกว่าเซลล์ เพื่อให้ทุกองค์ประกอบในชุดเป็นของเซลล์เดียวเท่านั้น ในบริบทของเส้นโค้ง พาร์ติชันของช่วง [a,b] หมายถึงการแบ่งช่วงออกเป็นช่วงย่อย โดยแต่ละช่วงย่อยจะมีจุดสิ้นสุดของเส้นโค้งอย่างน้อยหนึ่งจุด ตัวอย่างเช่น พิจารณาเส้นโค้งที่กำหนดในช่วงเวลา [0,1] พาร์ติชันที่เป็นไปได้ของ [0,1] อาจเป็น [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1] ซึ่งหมายความว่าช่วง [0,1] แบ่งออกเป็นสี่ช่วงย่อย [0, 0.25], [0.25, 0.5], [ 0.5, 0.75] และ [0.75, 1] ในกรณีนี้ พาร์ติชัน P จะเป็น [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1] คำว่า "พาร์ติชัน P ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ [a,b]" หมายความว่าความยาวของเส้นทางรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ Π(P) จะต้องน้อยกว่า M สำหรับการแบ่ง [a,b] ใดๆ ให้เป็นช่วงย่อย โดยไม่คำนึงถึงขนาดหรือจำนวน ของช่วงเวลาย่อย ข้อกำหนดนี้ช่วยให้แน่ใจว่าเส้นโค้งสามารถประมาณได้โดยชุดส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวรวมที่ผูกไว้ โดยไม่คำนึงถึงระดับความแม่นยำที่ต้องการ
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence