Theorem: For any integer n ≥ 2, the number n! (the factorial of n) is divisible by n.

Proof:

Step 1) We prove this by strong mathematical induction. The base case is n = 2. Here, 2! = 2, which is divisible by 2, so the statement is true for n = 2.

Step 2) Now assume the statement is true for some arbitrary integer k ≥ 2. That is, assume k! is divisible by k.

Step 3) We need to show that (k + 1)! is also divisible by (k + 1). By the definition of factorial, we have:

(k + 1)! = (k + 1) × k!

Step 4) Since k! is divisible by k (by assumption), there exists some integer m such that:

k! = mk

for some m.

Step 5) Substituting this into the expression for (k + 1)!, we have:

(k + 1)! = (k + 1) × (mk) = (k + 1)m × k

Since (k + 1)m and k are both integers, this shows that (k + 1)! is divisible by (k + 1).

Step 6) Therefore, by the principle of strong mathematical induction, the statement is true for all integers n ≥ 2.

That's the outline of a proof by strong mathematical induction showing that for any n ≥ 2, the factorial n! is divisible by n. Of course, this could be elaborated with more mathematical precision and rigour, but this captures the key steps of the inductive argument.
ทฤษฎีบท: สำหรับจำนวนเต็มใดๆ n ≥ 2 ตัวเลข n! (แฟกทอเรียลของ n) หารด้วย n ลงตัว พิสูจน์: ขั้นตอนที่ 1) เราพิสูจน์สิ่งนี้ด้วยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่ง กรณีฐานคือ n = 2 นี่ 2! = 2 ซึ่งหารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้น ประโยคนี้เป็นจริงสำหรับ n = 2 ขั้นที่ 2) ทีนี้ สมมติว่าประโยคเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มใดๆ ก็ได้ k ≥ 2 นั่นคือ สมมุติว่า k! หารด้วย k ลงตัว ขั้นตอนที่ 3) เราต้องแสดงสิ่งนั้น (k + 1)! ก็หารด้วย (k + 1) ได้เช่นกัน ตามคำจำกัดความของแฟกทอเรียล เราได้: (k + 1)! = (k + 1) × k! ขั้นตอนที่ 4) เนื่องจาก k! หารด้วย k ลงตัว (โดยสมมุติฐาน) มีจำนวนเต็ม m บางตัวที่: k! = mk สำหรับบาง m ขั้นตอนที่ 5) แทนที่สิ่งนี้ลงในนิพจน์สำหรับ (k + 1)! เราได้: (k + 1)! = (k + 1) × (mk) = (k + 1)m × k เนื่องจาก (k + 1)m และ k เป็นจำนวนเต็มทั้งคู่ จึงแสดงว่า (k + 1)! หารด้วย (k + 1) ลงตัว ขั้นตอนที่ 6) ดังนั้น ตามหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์แบบเข้มข้น ประโยคดังกล่าวจะเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม n ≥ 2 ทั้งหมด นั่นคือโครงร่างของการพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์แบบเข้ม ซึ่งแสดงให้เห็นว่าสำหรับ n ≥ 2 ใดๆ จะเป็นแฟกทอเรียล n! หารด้วย n ลงตัว แน่นอนว่าสิ่งนี้สามารถอธิบายรายละเอียดได้ด้วยความแม่นยำและความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์มากขึ้น แต่สิ่งนี้จะรวบรวมขั้นตอนสำคัญของข้อโต้แย้งแบบอุปนัย
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence