El Teorema de Bolzano establece que si una función continua f(x) toma valores de signos opuestos en los extremos de un intervalo cerrado [a, b], entonces existe al menos un valor c en el interior del intervalo [a, b] tal que f(c) = 0. Esto significa que si la función cambia de signo en los extremos del intervalo entonces hay una raíz, pero que la función también podría tener más de una raíz en el intervalo o no tener ninguna. En esos casos, se necesitan pruebas adicionales para confirmar la existencia o no existencia de las raíces.
 ทฤษฎีบทของโบลซาโนระบุว่าหากฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) รับค่าของเครื่องหมายตรงข้ามที่ปลายของช่วงปิด [a, b] แล้วจะมีค่า c อย่างน้อยหนึ่งค่าภายในช่วง [a, b] โดยที่ f(c) = 0 ซึ่งหมายความว่าหากฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมายที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลา ก็จะมีราก แต่ฟังก์ชันนั้นอาจมีรากมากกว่าหนึ่งอันในช่วงนั้นหรือไม่มีเลยก็ได้ ในกรณีดังกล่าว จำเป็นต้องมีการทดสอบเพิ่มเติมเพื่อยืนยันการมีอยู่หรือไม่มีอยู่ของราก
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence