Here is a LaTeX source file containing the proof:
```latex
\begin{document}

\textbf{Statement:}
Choosing two random integers and multiplying them together results in an even number with probability $\frac{3}{4}$.\\

\textbf{Proof:}
Let's call the two randomly chosen integers $x$ and $y$. 
The probability that each is odd is $\frac{1}{2}$. 
However, we know that in order to get an odd number from multiplication, 
both multiplicands must be odd.
As such, the probability that the product is odd is $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$,
since the two random integers are independently chosen.
Due to the fact that all natural numbers are even or odd,
and the probability that the product is odd is $\frac{1}{4}$, 
we can infer that the probability that the product is even is $1 - \frac{1}{4}$, or $\frac{3}{4}$.
This completes the proof.

\end{document}
```
นี่คือไฟล์ต้นฉบับ LaTeX ที่มีการพิสูจน์: ```latex \begin{document} \textbf{Statement:} การเลือกจำนวนเต็มสุ่มสองตัวแล้วคูณเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์เป็นเลขคู่ที่มีความน่าจะเป็น $\frac{3}{4}$ .\\ \textbf{Proof:} ลองเรียกจำนวนเต็มสองตัวที่สุ่มเลือก $x$ และ $y$ ความน่าจะเป็นที่แต่ละอันเป็นเลขคี่คือ $\frac{1}{2}$ อย่างไรก็ตาม เรารู้ว่าเพื่อที่จะได้เลขคี่จากการคูณ ตัวคูณทั้งสองต้องเป็นเลขคี่ ด้วยเหตุนี้ ความน่าจะเป็นที่ผลคูณจะเป็นเลขคี่คือ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ เนื่องจากจำนวนเต็มสุ่มสองตัวจะถูกเลือกอย่างอิสระ เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเป็นคู่หรือคี่ และความน่าจะเป็นที่ผลคูณจะเป็นคี่คือ $\frac{1}{4}$ เราสามารถอนุมานได้ว่าความน่าจะเป็นที่ผลคูณจะเป็นคู่คือ $1 - \frac{ 1}{4}$ หรือ $\frac{3}{4}$ เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์ \end{เอกสาร} ```
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence