Afin de prouver cela, il convient de définir les 8 axiomes de Peano :
1- ∀x,¬(sx=0) | Cela veut donc dire 0 n’est le successeur de personne, c’est le premier entier
2- ∀x,(x=0∨∃y,x=s(y)) | Si on prend un nombre, soit il est nul, soit il est le successeur d’un autre
3- ∀x,∀y,(s(x)=s(y)⇒x=y) | Si les successeurs respectifs de deux nombres sont égaux alors ces deux nombres sont égaux. Dit autrement, la fonction successeur est injective !
4- ∀x,(x+0=x) | Ajouter 0 à tout nombre ne change pas ce nombre. Autrement dit, 0 est un élément neutre.
5- ∀x,∀y,(x+s(y)=s(x+y)) | Un nombre auquel on ajoute le successeur d’un autre nombre est égal au successeur de la somme de ces deux nombres
6- ∀x,x.0=0 | Tout nombre multiplié par 0 est égal à 0. 0 est un élément dit absorbant.
7- ∀x,∀y,(x.s(y)=(x.y)+x) | C’est en fait la distributivité de la multiplication qui est invoquée ici
8- Pour tout formule ϕ(x,x1​,…,xn​) à n+1 variables, ∀x1​,…,∀xn​,((φ(0,x1​,…,xn​)∧(∀x(φ(s(x),x1​,…,xn​))))⇒∀x,φ(x,x1​,…,xn​))​
Ce dernier axiome ressemble fortement à une propriété de récurrence.

On va donc utiliser pour cela certains des axiomes de Peano énoncés plus haut.
Partons de 1+1. On utilise le fait que 1 est le successeur de 0 :
1+1=1+s(0)

On utilise ensuite le cinquième axiome :
1+s(0)=s(1+0)

Puis le quatrième axiome :
s(1+0)=s(1)

On en conclut donc que
s(1)=2

Ainsi :
1+1=2
เพื่อที่จะพิสูจน์สิ่งนี้ จำเป็นต้องนิยามสัจพจน์ 8 ประการของ Peano: 1- ∀x,ฌ(sx=0) | ดังนั้น นี่หมายความว่า 0 ไม่ใช่ตัวตายตัวแทน แต่เป็นจำนวนเต็มตัวแรก 2- ∀x,(x=0∨∃y,x=s(y)) | หากเราหาตัวเลข มันจะเป็นศูนย์หรือเป็นตัวตายตัวแทนของอีก 3- ∀x,∀y,(s(x)=s(y)⇒x=y) | ถ้าตัวต่อของตัวเลขสองตัวเท่ากัน แสดงว่าตัวเลขสองตัวนี้จะเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันตัวตายตัวแทนคือ injective! 4- ∀x,(x+0=x) | การบวก 0 เข้ากับตัวเลขใดๆ จะไม่เปลี่ยนตัวเลขนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง 0 เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลาง 5- ∀x,∀y,(x+s(y)=s(x+y)) | 5- ∀x,∀y,(x+s(y)=s(x+y)) | จำนวนที่เราบวกตัวตายตัวแทนของอีกจำนวนหนึ่งจะเท่ากับตัวตายตัวแทนของผลรวมของตัวเลขสองตัวนี้ 6- ∀x,x.0=0 | จำนวนใดๆ คูณด้วย 0 จะเท่ากับ 0 0 เรียกว่าองค์ประกอบดูดซับ 7- ∀x,∀y,(xs(y)=(xy)+x) | 7- ∀x,∀y,(xs(y)=(xy)+x) | อันที่จริงมันคือการกระจายตัวของการคูณซึ่งถูกเรียกใช้ที่นี่ 8- สำหรับสูตรใดๆ ϕ(x,x1​,…,xn​) ที่มีตัวแปร n+1, ∀x1​,…,∀xn​,((φ ( 0,x1​,…,xn​)∧(∀x(φ(s(x),x1​,…,xn​)))) ⇒∀x,φ(x,x1​,…,xn​) ) สัจพจน์สุดท้ายนี้มีลักษณะคล้ายกับคุณสมบัติการเกิดซ้ำอย่างมาก ดังนั้นเราจึงใช้สัจพจน์ Peano บางส่วนที่ระบุไว้ข้างต้นสำหรับสิ่งนี้ เริ่มจาก 1+1 กันก่อน. เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า 1 เป็นตัวตายตัวแทนของ 0: 1+1=1+s(0) จากนั้นเราใช้สัจพจน์ที่ห้า: 1+s(0)=s(1+0) จากนั้นจึงใช้สัจพจน์ที่สี่: s(1 +0)=s(1) เราจึงสรุปได้ว่า s(1)=2 ดังนี้: 1+1=2
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence