One example of an NP-hard problem is the Traveling Salesman Problem (TSP), which involves finding the shortest possible route that visits every city in a given set exactly once and returns to the starting city. The TSP is NP-hard because it is not known to have a polynomial-time algorithm to solve it exactly for all instances, meaning that as the size of the problem increases, the time required to solve it grows exponentially.

On the other hand, an example of a P problem is finding the maximum or minimum value in an array of n numbers. This problem can be solved in linear time using a simple algorithm that compares each element of the array to the current maximum or minimum value and updates the value if necessary. This algorithm has a time complexity of O(n), which is considered a polynomial time.

To illustrate the difference in difficulty between these two types of problems, consider the following steps to solve each:

Traveling Salesman Problem (NP-hard)

Generate all possible permutations of the cities in the given set.
For each permutation, calculate the total distance of the route and store the shortest one found so far.
Return the shortest route found.
The TSP algorithm above has a time complexity of O(n!), which grows very quickly as the size of the problem increases, making it infeasible to solve for large instances.

Finding the maximum or minimum value in an array (P)

Set the current maximum or minimum value to the first element of the array.
Iterate over the remaining elements of the array, comparing each element to the current maximum or minimum value and updating it if necessary.
Return the maximum or minimum value found.
The algorithm to find the maximum or minimum value in an array above has a time complexity of O(n), which is a polynomial time, making it much easier to solve than the TSP.
ตัวอย่างหนึ่งของปัญหา NP-hard คือปัญหาพนักงานขายเดินทาง (TSP) ซึ่งเกี่ยวข้องกับการค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งจะไปเยี่ยมทุกเมืองในชุดที่กำหนดเพียงครั้งเดียวและกลับไปยังเมืองเริ่มต้น TSP เป็นแบบ NP-hard เนื่องจากไม่ทราบว่ามีอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนามเพื่อแก้ปัญหานี้ในทุกกรณี ซึ่งหมายความว่าเมื่อขนาดของปัญหาเพิ่มขึ้น เวลาที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหาก็จะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ ในทางกลับกัน ตัวอย่างของปัญหา P คือการค้นหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดในอาร์เรย์ที่มีจำนวน n ตัว ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้นโดยใช้อัลกอริธึมง่ายๆ ที่เปรียบเทียบแต่ละองค์ประกอบของอาร์เรย์กับค่าสูงสุดหรือต่ำสุดในปัจจุบัน และอัปเดตค่าหากจำเป็น อัลกอริธึมนี้มีความซับซ้อนของเวลา O(n) ซึ่งถือเป็นเวลาพหุนาม เพื่อแสดงให้เห็นความแตกต่างในความยากระหว่างปัญหาทั้งสองประเภทนี้ ให้พิจารณาขั้นตอนต่อไปนี้เพื่อแก้ปัญหาแต่ละข้อ: ปัญหาพนักงานขายเดินทาง (NP-ยาก) สร้างการเรียงสับเปลี่ยนเมืองที่เป็นไปได้ทั้งหมดในชุดที่กำหนด สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนแต่ละครั้ง ให้คำนวณระยะทางรวมของเส้นทางและจัดเก็บระยะทางที่สั้นที่สุดที่พบจนถึงตอนนี้ กลับเส้นทางที่สั้นที่สุดที่พบ อัลกอริธึม TSP ข้างต้นมีเวลาซับซ้อนเท่ากับ O(n!) ซึ่งจะขยายอย่างรวดเร็วเมื่อขนาดของปัญหาเพิ่มขึ้น ทำให้ไม่สามารถแก้ไขได้สำหรับอินสแตนซ์ขนาดใหญ่ การค้นหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดในอาร์เรย์ (P) ตั้งค่าสูงสุดหรือต่ำสุดในปัจจุบันเป็นองค์ประกอบแรกของอาร์เรย์ วนซ้ำองค์ประกอบที่เหลือของอาร์เรย์ เปรียบเทียบแต่ละองค์ประกอบกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดในปัจจุบัน และอัปเดตหากจำเป็น ส่งคืนค่าสูงสุดหรือต่ำสุดที่พบ อัลกอริธึมในการค้นหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดในอาร์เรย์ด้านบนมีความซับซ้อนของเวลาเป็น O(n) ซึ่งเป็นเวลาพหุนาม ทำให้แก้ไขได้ง่ายกว่า TSP มาก
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence