Sure, here is a detailed proof of the law of cosines:

Given: A triangle ABC with side lengths a, b, and c and angle C between sides a and b.

To prove: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)

Proof:

1. Draw the altitude from A to BC. Call the foot of the altitude D.
By the Pythagorean theorem, AD^2 = a^2 - (a/2)^2 = a^2/4.

2. Draw the altitude from B to AC. Call the foot of the altitude E.
By the Pythagorean theorem, BE^2 = b^2 - (b/2)^2 = b^2/4.

3. Triangle ADE is similar to triangle ABC (both have a right angle and the angle at A is common).
So, AD/DE = a/b.

4. Squaring both sides of the proportion in step 3, we get:
(AD)^2 / (DE)^2 = (a)^2 / (b)^2

5. Substituting the expressions for AD^2 and BE^2 from steps 1 and 2, we get:
a^2/4 / b^2/4 = a^2 / b^2

6. Simplifying, we get:
1 = 1

7. Multiplying both sides by 4, we get:
a^2 = b^2

8. Adding a^2 to both sides, we get:
a^2 + b^2 = c^2      (by the Pythagorean theorem)

9. Subtracting a^2 from both sides, we get:
b^2 - a^2 = c^2 - a^2

10. Factorizing the left-hand side, we get:
a(b - a) = (c - a)(c + a)

11. Dividing both sides by (b - a) and simplifying, we get:
a = (c + a) / 2

12. Substituting in the expression for a from step 11, we get:
b = (c - a) / 2

13. Substituting the expressions for a and b from steps 11 and 12 into the original Pythagorean theorem a^2 + b^2 = c^2, we get:
c^2 = (c + a)^2 / 4 + (c - a)^2 / 4
= c^2 + a^2 - 2ac

14. Rearranging the terms, we get the desired result:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)

Q.E.D.
แน่นอนว่า นี่คือข้อพิสูจน์โดยละเอียดเกี่ยวกับกฎของโคไซน์: ให้ไว้: สามเหลี่ยม ABC ที่มีความยาวด้าน a, b และ c และมุม C ระหว่างด้าน a และ b เพื่อพิสูจน์: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C) พิสูจน์: 1. วาดระดับความสูงจาก A ถึง BC เรียกตีนระดับความสูง D ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส AD^2 = a^2 - (a/2)^2 = a^2/4 2. วาดระดับความสูงจาก B ถึง AC เรียกตีนของระดับความสูง E ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส BE^2 = b^2 - (b/2)^2 = b^2/4 3. สามเหลี่ยม ADE คล้ายกับสามเหลี่ยม ABC (ทั้งสองมีมุมฉากและมุมที่ A เป็นเรื่องปกติ) ดังนั้น AD/DE = a/b 4. เมื่อยกกำลังสองทั้งสองด้านของสัดส่วนในขั้นตอนที่ 3 จะได้: (AD)^2 / (DE)^2 = (a)^2 / (b)^2 5. แทนนิพจน์ของ AD^2 และ BE^ 2 จากขั้นตอนที่ 1 และ 2 เราได้: a^2/4 / b^2/4 = a^2 / b^2 6. ลดรูปเราจะได้: 1 = 1 7. เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย 4 เราจะได้: a^2 = b^2 8. เมื่อบวก a^2 ทั้งสองข้าง เราจะได้: a^2 + b^2 = c^2 (ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส) 9. ลบ a^2 จากทั้งสองข้าง เราจะได้: b^2 - a^2 = c^2 - a^2 10. เมื่อแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือ เราจะได้: a(b - a) = (c - a)(c + a) 11. หารทั้งสองข้างด้วย (b - a) และทำให้ง่ายขึ้น เราได้: a = (c + a) / 2 12. เมื่อแทนที่นิพจน์สำหรับ a จากขั้นตอนที่ 11 เราจะได้: b = (c - a) / 2 13. การแทนที่นิพจน์สำหรับ a และ b จากขั้นตอนที่ 11 และ 12 ไปสู่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดั้งเดิม a^2 + b^2 = c^2 เราจะได้: c^2 = (c + a)^2 / 4 + (c - a)^2 / 4 = c^2 + a^2 - 2ac 14. การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ เราได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C) QED
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence