Гипотеза Пуанкаре говорит о том, что каждое гладкое компактное односвязное трёхмерное многообразие (без границы) диффеоморфно трёхмерной сфере $S^3$. Связанная с ней гипотеза о геометризации говорит о том, что любое ориентированное гладкое связное компактное трёхмерное многообразие может быть получено из 8 модельных многообразий постоянной кривизны применением конечного количества следующих трёх операций: взятие фактор-многообразия по подгруппе группы изометрий, склеиванию двух многообразий вдоль двумерной сферы $S^2$ и склеиванию двух многообразий вдоль двумерного тора $T^2$. До Перельмана было известно, что гипотеза Пуанкаре вытекает из гипотезы о геометризации. Перельман опубликовал 3 работы, в которых он по сути завершил работу по доказательству гипотезы о геометризации с помощью исследования потоков Риччи.

Для двумерных многообразий есть теорема униформизации (Пуанкаре, Кёбе, 1907 г.): на каждой связной компактной поверхности $M$ можно задать метрику постоянной кривизны $g$. Из неё следует, что любое компактное связное двумерное многообразие диффеоморфно фактор-многообразию одного из трёх модельных многообразий постоянной кривизны, $S^2$ (сфера с кривизной 1), $R^2$ (Евклидова плоскость с кривизной 0), или $H^2$ (гиперболическая плоскость с кривизной -1), по одной из подгрупп группы изометрий этого Римонова многообразия. Из этой теоремы несложно получить классификацию всех двумерных связных компактных многообразий без границ.

Существует много способов доказать теорему униформизации, например, с использованием сложных аналитических инструментов, таких как теорема об отображении Римана. Идея проекта доказательства гипотезы о геометризации и гипотезы Пуанкаре, начатая Гамильноном в 1980-ых и (по сути) завершенная Перельманом основана на доказательстве теоремы униформизации с использованием потока Риччи.
การคาดคะเนของปัวน์กาเรระบุว่าขนาดกะทัดรัดเรียบทุกอันเพียงแค่เชื่อมต่อท่อร่วมสามมิติ (โดยไม่มีขอบเขต) นั้นแตกต่างไปจากทรงกลมสามมิติ $S^3$ การคาดเดาทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกล่าวว่าท่อร่วมสามมิติที่มีการเชื่อมต่อเรียบเรียบใดๆ สามารถหาได้จากท่อร่วมแบบจำลอง 8 ท่อที่มีความโค้งคงที่โดยการใช้จำนวนจำกัดในการดำเนินการสามประการต่อไปนี้: การรับปัจจัยร่วมโดยกลุ่มย่อยของกลุ่มไอโซเมทริก โดยติดกาวสองตัว มากมายตามทรงกลมสองมิติ $ S^2$ และติดกาวสองอันไปตามพรูสองมิติ $T^2$ ก่อน Perelman เป็นที่ทราบกันดีว่าการคาดเดาของ Poincaré เป็นไปตามสมมติฐานของ geometrization Perelman ตีพิมพ์บทความ 3 ฉบับซึ่งเขาได้ทำงานพิสูจน์สมมติฐานเรขาคณิตโดยใช้การศึกษาการไหลของ Ricci สำเร็จแล้ว สำหรับท่อร่วมสองมิติ มีทฤษฎีบทการทำให้สม่ำเสมอ (Poincaré และ Koebe, 1907): บนพื้นผิวขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อกัน $M$ หนึ่งตัวสามารถกำหนดหน่วยเมตริกของความโค้งคงที่ $g$ เป็นไปตามนั้นท่อร่วมสองมิติที่เชื่อมต่อกันขนาดกะทัดรัดใดๆ จะแตกต่างไปจากท่อร่วมปัจจัยของหนึ่งในสามท่อร่วมแบบจำลองที่มีความโค้งคงที่, $S^2$ (ทรงกลมที่มีความโค้ง 1), $R^2$ (ระนาบยุคลิดที่มีความโค้ง 0 ) หรือ $H ^2$ (ระนาบไฮเปอร์โบลิกที่มีความโค้ง -1) ตามกลุ่มย่อยกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งของกลุ่มไอโซเมทของท่อร่วม Rimon นี้ จากทฤษฎีบทนี้ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะจำแนกประเภทของท่อร่วมขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อสองมิติทั้งหมดโดยไม่มีขอบเขต มีหลายวิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูป ตัวอย่างเช่น การใช้เครื่องมือวิเคราะห์ที่ซับซ้อน เช่น ทฤษฎีบทแผนที่รีมันน์ แนวคิดเบื้องหลังโครงการเพื่อพิสูจน์การคาดเดาทางเรขาคณิตและการคาดเดาของPoincaré ซึ่งเริ่มต้นโดย Hamilnon ในทศวรรษปี 1980 และ (โดยพื้นฐานแล้ว) เสร็จสมบูรณ์โดย Perelman มีพื้นฐานอยู่บนการพิสูจน์ทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกภาพโดยใช้ Ricci Flow
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence