The equation of a line in 3-space can be written as

L = P + tV,

where P is a point on the line, V is the direction vector of the line, and t is a real number.

To find the equation of the line that is formed by the intersection of two planes, we need to first find a point that lies on the line of intersection. This can be done by solving the two plane equations simultaneously. Once we have a point that lies on the line, we need to find the direction vector of the line. This can be done by finding the cross product of the two plane normal vectors. Finally, we can plug the point P and the direction vector V into the equation of the line above.

Let's say we have the following equations for our two planes:

P1: 2x + 3y - 5z = 10 
P2: 4x - y + 2z = 8

To find a point that lies on the line of intersection, we can solve the two plane equations simultaneously. We can do this by subtracting the two equations to get the following:
2x + 4y - 6z = 2

This equation can be rewritten in the form of x = ..., y = ..., and z = ..., where the right side of the equation is equal to 2. We can then solve for x, y, and z to get the point P = (1, -1, 1/3).

Now we need to find the direction vector of the line. We can do this by finding the cross product of the two plane normal vectors. The normal vectors of the two planes are:

P1: (2, 3, -5)
P2: (4, -1, 2)

The cross product of these two vectors is (14, -4, -18). This is the direction vector V of the line.

Finally, we can plug P and V into the equation of the line to get the equation of the line of intersection:

L = (1, -1, 1/3) + t(14, -4, -18)
สมการของเส้นตรงในปริภูมิ 3 มิติสามารถเขียนได้เป็น L = P + tV โดยที่ P คือจุดบนเส้นตรง V คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง และ t คือจำนวนจริง ในการค้นหาสมการของเส้นตรงที่เกิดจากจุดตัดของระนาบสองระนาบ อันดับแรกเราต้องหาจุดที่อยู่บนเส้นตัดกันก่อน ซึ่งสามารถทำได้โดยการแก้สมการระนาบทั้งสองพร้อมกัน เมื่อเรามีจุดที่อยู่บนเส้นตรงแล้ว เราจำเป็นต้องหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ซึ่งสามารถทำได้โดยการค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ปกติของระนาบทั้งสอง สุดท้าย เราสามารถแทนจุด P และเวกเตอร์ทิศทาง V เข้ากับสมการของเส้นด้านบนได้ สมมติว่าเรามีสมการต่อไปนี้สำหรับระนาบทั้งสองของเรา: P1: 2x + 3y - 5z = 10 P2: 4x - y + 2z = 8 เพื่อหาจุดที่อยู่บนเส้นตัด เราสามารถแก้สมการระนาบทั้งสองพร้อมกันได้ . เราสามารถทำได้โดยการลบสมการทั้งสองออกเพื่อให้ได้ค่าต่อไปนี้: 2x + 4y - 6z = 2 สมการนี้สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปของ x = ..., y = ..., และ z = ... โดยที่ ทางด้านขวาของสมการเท่ากับ 2 จากนั้นเราสามารถแก้หา x, y และ z เพื่อให้ได้จุด P = (1, -1, 1/3) ตอนนี้เราต้องหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เราสามารถทำได้โดยการหาผลคูณของเวกเตอร์ปกติของระนาบทั้งสอง เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบทั้งสองคือ: P1: (2, 3, -5) P2: (4, -1, 2) ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ทั้งสองนี้คือ (14, -4, -18) นี่คือเวกเตอร์ทิศทาง V ของเส้นตรง สุดท้าย เราสามารถแทนค่า P และ V เข้าไปในสมการของเส้นตรงเพื่อให้ได้สมการของเส้นตัด: L = (1, -1, 1/3) + t(14, -4, -18)
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence