El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

La recta de Euler es una recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo;1​ incluye al punto de Exeter y al centro de la circunferencia de los nueve puntos notables de un triángulo escaleno.

Euler demostró que en cualquier triángulo el ortocentro, el circuncentro y el baricentro están alineados. Esta propiedad amplía su dominio de verdad para el centro de la circunferencia de los nueve puntos notables; que Euler no había demostrado para ese tiempo. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo no lo hacen, y la recta de Euler está determinado por dos cualesquiera de ellos. El centro de la circunferencia de los nueve puntos notables se encuentra a mitad de camino a lo largo de la línea de Euler entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia desde el centroide del circuncentro es un medio que desde el baricentro hasta el ortocentro.

Demostración
En un triángulo ABC, se determinan D como el punto medio del lado BC y E como el punto medio del lado CA. Entonces AD y BE son medianas que se intersecan en el baricentro G. Trazando las perpendiculares por D y E se localiza el circuncentro O.

A continuación se prolonga la recta OG (en dirección a G) hasta un punto P, de modo que PG tenga el doble de longitud de GO.

Al ser G baricentro, divide a las medianas en razón 2:1; es decir: AG=2GD. De este modo

Por otro lado, los ángulos AGP y DGO son opuestos por el vértice y por tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que los triángulos AGP y DGO son semejantes.

Pero de la semejanza se concluye que los ángulos PAG y ODG son iguales, y de este modo AP es paralela a OD. Finalmente, dado que OD es perpendicular a BC, entonces AP también lo será; es decir, AP es la altura del triángulo.

Por favor, ten en cuenta que solo puedo procesar texto, y no me es posible dibujar las imágenes que lo harían mas entendible, sin embargo puedes leer el siguiente articulo para obtener un entendimiento mas completo:

https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_de_Euler
ศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ เซนทรอยด์ และศูนย์กลางเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมไม่ด้านเท่ากันหมดอยู่ในแนวเดียวกัน คือเป็นเส้นเดียวกันเรียกว่าเส้นออยเลอร์ เส้นออยเลอร์คือเส้นที่ประกอบด้วยจุดออร์โธเซ็นเตอร์ จุดศูนย์กลางเส้นรอบวง และจุดศูนย์กลางแบรีของรูปสามเหลี่ยม1 ซึ่งรวมจุดเอ็กซีเตอร์และจุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงของจุดสังเกตทั้งเก้าจุดของรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ออยเลอร์แสดงให้เห็นว่าในรูปสามเหลี่ยมใดๆ มีศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ ศูนย์กลางเส้นรอบวง และศูนย์กลางแบรีอยู่ในแนวเดียวกัน คุณสมบัตินี้ขยายขอบเขตของความจริงไปสู่ศูนย์กลางของเส้นรอบวงของจุดสำคัญทั้งเก้า ซึ่งออยเลอร์ยังไม่ได้พิสูจน์ในเวลานั้น ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จุดทั้งสี่นี้ตรงกัน แต่ในสามเหลี่ยมอื่นไม่ตรงกัน และเส้นออยเลอร์จะถูกกำหนดโดยจุดสองจุดใดๆ จุดศูนย์กลางของวงกลมของจุดสังเกตทั้ง 9 จุดนั้นอยู่กึ่งกลางของเส้นออยเลอร์ระหว่างจุดออร์โธเซนเตอร์และจุดศูนย์กลางเส้นรอบวง และระยะห่างจากจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ถึงจุดศูนย์กลางเส้นรอบวงคือครึ่งหนึ่ง การสาธิต ในรูปสามเหลี่ยม ABC ให้กำหนดให้ D เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน BC และ E เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน CA จากนั้น AD และ BE เป็นค่ามัธยฐานที่ตัดกันที่จุดศูนย์ถ่วง G โดยการวาดเส้นตั้งฉากผ่าน D และ E จะพบว่าศูนย์กลางเส้นรอบวง O อยู่ ถัดไป เส้น OG จะถูกขยาย (ในทิศทางของ G) ไปยังจุด P ดังนั้น PG นั้นมีความยาวเป็นสองเท่าของ GO เนื่องจาก G เป็นจุดศูนย์ถ่วง จึงแบ่งค่ามัธยฐานเป็นอัตราส่วน 2:1 นั่นคือ: AG=2GD ด้วยวิธีนี้ ในทางกลับกัน มุม AGP และ DGO อยู่ตรงข้ามกันที่จุดยอด ดังนั้นจึงเท่ากัน การสังเกตทั้งสองนี้ช่วยให้เราสรุปได้ว่าสามเหลี่ยม AGP และ DGO มีความคล้ายคลึงกัน แต่จากความคล้ายคลึงกันสรุปได้ว่ามุม PAG และ ODG เท่ากัน ดังนั้น AP จึงขนานกับ OD สุดท้ายนี้ เนื่องจาก OD ตั้งฉากกับ BC ดังนั้น AP จึงต้องตั้งฉากด้วย นั่นคือ AP คือความสูงของรูปสามเหลี่ยม โปรดจำไว้ว่าฉันสามารถประมวลผลได้เฉพาะข้อความเท่านั้น และเป็นไปไม่ได้สำหรับฉันที่จะวาดภาพที่จะทำให้เข้าใจมากขึ้น อย่างไรก็ตาม คุณสามารถอ่านบทความต่อไปนี้เพื่อทำความเข้าใจให้ครบถ้วนยิ่งขึ้น: https://es.wikipedia .org/ วิกิ/ออยเลอร์_ไลน์
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence