Let's denote the set of bounded linear operators from E to F by B(E,F). We need to show that B(E,F) is complete with respect to the operator norm. Let (Tn) be a Cauchy sequence in B(E,F). Then for any ε > 0, there exists N such that for all n,m ≥ N, we have ||Tn - Tm|| < ε. 

Now let x ∈ E be arbitrary and fixed. Then we have ||Tnx - Tmx|| ≤ ||Tn - Tm|| ||x|| < ε ||x||. This shows that (Tnx) is a Cauchy sequence in F. Since F is a Banach space, it follows that (Tnx) converges to some element Tx ∈ F.

We claim that the map T: E → F defined by Tx = lim(Tnx) is a bounded linear operator and that Tn → T in the operator norm.

Linearity of T follows from linearity of each Tn and the fact that limits preserve linear operations. To see that T is bounded, note that for any n ≥ N and any x ∈ E we have ||Tx|| = lim(||Tnx||) ≤ lim(||Tn - TN|| ||x|| + ||TNx||) ≤ ε ||x|| + ||TNx||. Taking supremum over all x with ||x|| = 1 shows that ||T|| ≤ ε + ||TN|| < ∞.

Finally, let's show that Tn → T in the operator norm. For any n ≥ N and any x ∈ E we have
    | | |Tx - Tnx| | |
    = | | |lim(Tmx) - Tnx| | |
    ≤ lim(| | |Tmx - Tnx| | |
    ≤ lim(| | |(Tm-Tn)x| | |
    ≤ lim(| |(Tm-Tn)| *|x|)
    = 0

This shows that for any n ≥ N we have
    max{0 <= k <= n} (| |(Tk-T)|| ) 
    <= max{0 <= k <= N} (| |(Tk-T)|| ) + ε

Since this holds for all ε > 0 it follows that Tk → T in the operator norm as k → ∞.

Thus we have shown that every Cauchy sequence in B(E,F) converges to an element of B(E,F), so B(E,F) is complete with respect to the operator norm and hence a Banach space.
ลองแสดงเซตของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตจาก E ถึง F ด้วย B(E,F) เราต้องแสดงว่า B(E,F) สมบูรณ์ด้วยความเคารพต่อบรรทัดฐานของผู้ปฏิบัติงาน ให้ (Tn) เป็นลำดับโคชีใน B(E,F) จากนั้นสำหรับ ε > 0 ใดๆ จะมี N อยู่ โดยที่สำหรับ n,m ≥ N ทั้งหมด เรามี ||Tn - Tm|| < ε. ตอนนี้ให้ x ∈ E เป็นไปโดยพลการและแก้ไข จากนั้นเราก็มี ||Tnx - Tmx|| ≤ ||Tn - Tm|| ||x|| < ε ||x||. นี่แสดงให้เห็นว่า (Tnx) เป็นลำดับ Cauchy ใน F เนื่องจาก F คือปริภูมิ Banach จึงตามมาว่า (Tnx) มาบรรจบกับองค์ประกอบบางตัว Tx ∈ F เราอ้างว่าแผนที่ T: E → F กำหนดโดย Tx = lim( Tnx) เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต และ Tn → T อยู่ในบรรทัดฐานของตัวดำเนินการ ความเป็นเชิงเส้นของ T ตามมาจากความเป็นเชิงเส้นของแต่ละ Tn และข้อเท็จจริงที่ว่าขีดจำกัดจะคงการดำเนินการเชิงเส้นไว้ หากต้องการดูว่า T มีขอบเขต โปรดทราบว่าสำหรับ n ≥ N และ x ∈ E ใดๆ เรามี ||Tx|| = lim(||Tnx||) ≤ lim(||Tn - TN|| ||x|| + ||TNx||) ≤ ε ||x|| + ||TNx||. ครองตำแหน่งสูงสุดเหนือ x ทั้งหมดด้วย ||x|| = 1 แสดงว่า ||T|| ≤ ε + ||TN|| < ∞ สุดท้ายนี้ ลองแสดงว่า Tn → T อยู่ในบรรทัดฐานของตัวดำเนินการ สำหรับ n ≥ N และ x ∈ E ใดๆ เรามี | | |Tx - Tnx| | | = | | |lim(Tmx) - Tnx| | | ≤ lim(| | |Tmx - Tnx| | | ≤ lim(| | |(Tm-Tn)x| | | ≤ lim(| |(Tm-Tn)| *|x|) = 0 นี่แสดงว่าสำหรับค่าใดๆ n ≥ N เรามีค่าสูงสุด{0 <= k <= n} (| |(Tk-T)|| ) <= max{0 <= k <= N} (| |(Tk-T)|| ) + ε เนื่องจากค่านี้มีค่าทั้งหมด ε > 0 จึงเป็นไปตามที่ Tk → T อยู่ในบรรทัดฐานของตัวดำเนินการเป็น k → ∞ ดังนั้นเราได้แสดงให้เห็นว่าทุกลำดับ Cauchy ใน B(E,F) มาบรรจบกันที่องค์ประกอบของ B(E,F) ดังนั้น B(E,F) จึงสมบูรณ์ด้วยความเคารพต่อบรรทัดฐานของตัวดำเนินการและด้วยเหตุนี้จึงเป็นช่องว่างของ Banach
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence