In calculus, both infinitesimals and limits are used to study the behavior of functions and solve problems.
\
Infinitesimals refer to infinitely small quantities. The idea behind infinitesimals is that you can imagine breaking up a function into an infinite number of tiny pieces, each of which is so small that it can be treated as zero. This allows you to perform calculations with these quantities, just like you would with regular numbers. However, the concept of infinitesimals was not rigorously defined until much later in the development of calculus.
\
Limits, on the other hand, are a more formal and precise approach to studying functions. A limit is the value that a function approaches as its input (x-value) gets closer and closer to a certain value. For example, if you take the limit of a function as x approaches 2, you are finding the value that the function approaches as x gets closer and closer to 2.
\
The main difference between infinitesimals and limits is in their level of rigor and formality. Infinitesimals were originally used as a way of thinking about calculus problems, but were not well-defined mathematically until later. Limits, on the other hand, provide a more rigorous and formal approach to calculus that is widely accepted in modern mathematics.
\
In summary, both infinitesimals and limits can be used to solve calculus problems, but limits provide a more rigorous and widely accepted approach.
ในแคลคูลัส จะใช้ทั้งค่าจิ๋วและลิมิตเพื่อศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันและแก้ปัญหา \ Infinitesimals หมายถึงปริมาณที่น้อยอย่างไม่สิ้นสุด แนวคิดเบื้องหลังสิ่งเล็กจิ๋วคือคุณสามารถจินตนาการได้ว่าแบ่งฟังก์ชันออกเป็นชิ้นเล็กๆ จำนวนอนันต์ ซึ่งแต่ละชิ้นมีขนาดเล็กมากจนถือเป็นศูนย์ได้ ซึ่งจะทำให้คุณสามารถคำนวณปริมาณเหล่านี้ได้ เช่นเดียวกับที่คุณคำนวณกับตัวเลขปกติ อย่างไรก็ตาม แนวคิดเรื่องสิ่งเล็กจิ๋วไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างเข้มงวด จนกระทั่งในการพัฒนาแคลคูลัสในเวลาต่อมา ในทางกลับกัน \ ลิมิต เป็นวิธีการศึกษาฟังก์ชันที่เป็นทางการและแม่นยำยิ่งขึ้น ขีดจำกัดคือค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เมื่ออินพุต (ค่า x) เข้าใกล้ค่าที่กำหนดมากขึ้นเรื่อยๆ ตัวอย่างเช่น หากคุณหาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 2 คุณจะพบค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เมื่อ x เข้าใกล้ 2 มากขึ้น \ ความแตกต่างหลักระหว่างค่าเล็กน้อยและลิมิตอยู่ที่ระดับความเข้มงวดและเป็นทางการ . เดิมที Infinitesimals ถูกใช้เป็นวิธีคิดเกี่ยวกับปัญหาแคลคูลัส แต่ยังไม่มีการกำหนดนิยามทางคณิตศาสตร์ไว้ชัดเจนจนกระทั่งต่อมา ในทางกลับกัน ลิมิตเป็นวิธีแคลคูลัสที่เข้มงวดและเป็นทางการมากขึ้น ซึ่งเป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวางในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ \ โดยสรุป สามารถใช้ทั้งค่าเล็กน้อยและค่าจำกัดเพื่อแก้ปัญหาแคลคูลัสได้ แต่ค่าจำกัดให้แนวทางที่เข้มงวดและเป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวาง
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence