Assume for the sake of contradiction that there exists an integer n greater than or equal to 2, such that the nth-root of 2, denoted by p/q, where p and q are coprime integers.

Then, we have:

p^n = 2q^n

Since 2 is a prime number, it can only be factored as 2 = 2^1, so the prime factorization of p^n and 2q^n must be identical. This implies that the prime factorization of p must contain only factors of 2 raised to a power that is a multiple of n.

But since p and q are coprime, the prime factorization of q^n must contain factors of primes other than 2. Thus, the prime factorization of 2q^n cannot be the same as that of p^n, a contradiction.

Therefore, our assumption that the nth-root of 2 is rational must be false, and thus the nth-root of 2 is irrational for all n greater than or equal to 2.
สมมุติว่ามีจำนวนเต็ม n มากกว่าหรือเท่ากับ 2 อยู่ โดยที่รากที่ n ของ 2 เขียนแทนด้วย p/q โดยที่ p และ q เป็นจำนวนเต็มโคไพรม์ จากนั้น เราได้: p^n = 2q^n เนื่องจาก 2 เป็นจำนวนเฉพาะ จึงสามารถแยกตัวประกอบได้เพียง 2 = 2^1 เท่านั้น ดังนั้นการแยกตัวประกอบเฉพาะของ p^n และ 2q^n จะต้องเหมือนกัน นี่บอกเป็นนัยว่าการแยกตัวประกอบเฉพาะของ p ต้องมีเฉพาะตัวประกอบของ 2 ยกกำลังซึ่งเป็นผลคูณของ n แต่เนื่องจาก p และ q เป็นไพรม์ร่วม การแยกตัวประกอบเฉพาะของ q^n จึงต้องประกอบด้วยตัวประกอบของจำนวนเฉพาะอื่นที่ไม่ใช่ 2 ดังนั้น การแยกตัวประกอบเฉพาะของ 2q^n จึงไม่สามารถเหมือนกับของ p^n ได้ ซึ่งขัดแย้งกัน ดังนั้น สมมุติฐานของเราว่ารากที่ n ของ 2 เป็นตรรกยะต้องเป็นเท็จ และด้วยเหตุนี้ รากที่ n ของ 2 จึงไม่มีเหตุผลสำหรับ n ทั้งหมดที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 2
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence