The Pythagorean theorem states that for a right triangle with catheti (legs) of length $a, b$ and a hypotenuse of length $c$:

$$
a^2 + b^2 = c^2 .
$$

Proof:
From four copies of a right triangle a square can be constructed by rotating and translating the copies in such a way that the hypotenuses are on the inside and the catheti on the outside. Such a square has a total area of $(a + b)^2$. Meanwhile the hypotenuses form a smaller square within the aforementioned square that has an area of $c^2$. Each copy of the right triangle has an area of $\frac{a b}{2}$. The area of the inner square must be equal to the area of the outer square minus the area of the four copies of the right triangle. This yields:

$$
(a + b)^2 - 4 \frac{a b}{2} = a^2 + 2 a b + b^2 - 2 a b = a^2 + b^2 \overset{!}{=} c^2.
$$

Q.E.D.
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่าสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีสายสวน (ขา) ยาว $a, b$ และด้านตรงข้ามมุมฉากที่ยาว $c$: $$ a^2 + b^2 = c^2 $$ พิสูจน์: จากสามเหลี่ยมมุมฉากสี่ชุด สามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้โดยการหมุนและแปลสำเนาในลักษณะที่ด้านตรงข้ามมุมฉากอยู่ด้านในและสายสวนอยู่ด้านนอก รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าวมีพื้นที่รวม $(a + b)^2$ ด้านตรงข้ามมุมฉากจะเกิดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กๆ ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าวซึ่งมีพื้นที่ $c^2$ แต่ละสำเนาของสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีพื้นที่ $\frac{ab}{2}$ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านในจะต้องเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอกลบด้วยพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสี่ชุด ผลลัพธ์ที่ได้: $$ (a + b)^2 - 4 \frac{ab}{2} = a^2 + 2 ab + b^2 - 2 ab = a^2 + b^2 \overset{!}{ =} ค^2 $$ คิวอีดี
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence