An integral is sometimes known as an "anti-derivative", this is as it is the reverse of differentiation. An expression like f(x) = ∫ g(x) dx could be read as "What function f results in g when differentiated?" Since the derivative of a monomial (x to some power) follows the d/dx ( x^{N+1} ) = (N+1) x^N rule when differentiated, we can deduce that if the result is x^N, than the thing differentiated must have been x^{N+1}/N+1 or ∫ x^N dx = x^{N+1}/N+1, though note, the derivative of x^{N+1} + C has the same result, since d/dx (C) = 0 for any constant, hence ∫ x^N dx = x^{N+1}/N+1 + C. With this we can say that f(u) = ∫ u du = (u^2)/2 + C, where we can only determine C if we know more about f, such as if we knew that f(1) = 2, then 2 = (1^2)/2 + C would suggest C = 3/4.
อินทิกรัลบางครั้งเรียกว่า "แอนติเดริเวทีฟ" ซึ่งเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการหาอนุพันธ์ สำนวนเช่น f(x) = ∫ g(x) dx สามารถอ่านได้ว่า "ฟังก์ชันใดที่ f ให้ผลลัพธ์เป็น g เมื่อหาอนุพันธ์" เนื่องจากอนุพันธ์ของโมโนเมียล (x ยกกำลังบางค่า) เป็นไปตามกฎ d/dx ( x^{N+1} ) = (N+1) x^N เมื่อหาอนุพันธ์ เราสามารถอนุมานได้ว่าหากผลลัพธ์คือ x^N กว่าสิ่งที่แยกความแตกต่างต้องเป็น x^{N+1}/N+1 หรือ ∫ x^N dx = x^{N+1}/N+1 แม้ว่าหมายเหตุ อนุพันธ์ของ x^{N+1 } + C ให้ผลลัพธ์เหมือนกัน เนื่องจาก d/dx (C) = 0 สำหรับค่าคงที่ใดๆ ดังนั้น ∫ x^N dx = x^{N+1}/N+1 + C ด้วยวิธีนี้ เราสามารถพูดได้ว่า f( u) = ∫ u du = (u^2)/2 + C โดยที่เราจะระบุ C ได้ก็ต่อเมื่อเรารู้ f มากขึ้น เช่น ถ้าเรารู้ว่า f(1) = 2 แล้ว 2 = (1^2 )/2 + C จะแนะนำ C = 3/4
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence