To prove that (a^2 + b^2) / (ab + 1) is the square of an integer, we need to show that it is an integer and that its square root is an integer.

First, note that (a^2 + b^2) / (ab + 1) is an integer if and only if (a^2 + b^2) - k(ab + 1) = 0 for some integer k. Rearranging, we get:

a^2 - kab + b^2 - k = 0

Viewing this as a quadratic equation in a, the discriminant must be a perfect square, that is:

k^2 - 4(b^2 - k) = m^2 for some integer m.

Simplifying, we get:

k^2 - 4b^2 + 4k - m^2 = 0

This is a quadratic equation in k, and its discriminant must also be a perfect square, that is:

16b^2 - 4m^2 = n^2 for some integer n.

This can be rewritten as:

(4b + n)(4b - n) = 4m^2

Since 4b + n and 4b - n are both even, we can write them as 2r and 2s, respectively, for some integers r and s. Then we have:

rs = m^2 / 4

and

b = (r + s) / 2

Substituting into the original equation, we get:

a^2 - (r + s)a + [(r - s) / 2]^2 = 0

This is a quadratic equation in a, and its discriminant must also be a perfect square, that is:

(r + s)^2 - 4[(r - s) / 2]^2 = t^2 for some integer t.

Simplifying, we get:

(r - s)^2 + t^2 = (r + s)^2

This is the Pythagorean theorem, and its solutions are:

r = uv, s = uw, t = u(v^2 - w^2)

where u, v, and w are positive integers with v > w and (v - w) odd.

Therefore, we have:

b = (r + s) / 2 = uwv

and

a = (r - s) / 2 = u(v^2 - w^2)

Thus, we have shown that (a^2 + b^2) / (ab + 1) is an integer, and its square root is:

(a^2 + b^2) / (ab + 1) = (u^2v^2 + u^2w^2) / u^2vw + 1 = (v^2 + w^2) / vw + 1 = (v/w)^2 + 1

which is clearly an integer. Therefore, (a^2 + b^2) / (ab + 1) is the square of an integer.
เพื่อพิสูจน์ว่า (a^2 + b^2) / (ab + 1) คือกำลังสองของจำนวนเต็ม เราต้องแสดงว่ามันคือจำนวนเต็มและรากที่สองของมันคือจำนวนเต็ม ขั้นแรก โปรดทราบว่า (a^2 + b^2) / (ab + 1) เป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อ (a^2 + b^2) - k(ab + 1) = 0 สำหรับจำนวนเต็ม k เมื่อจัดเรียงใหม่ เราจะได้: a^2 - kab + b^2 - k = 0 เมื่อมองนี่เป็นสมการกำลังสองใน a ตัวจำแนกต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ นั่นคือ: k^2 - 4(b^2 - k) = m^2 สำหรับจำนวนเต็ม m เมื่อจัดรูปให้ง่ายขึ้น เราจะได้: k^2 - 4b^2 + 4k - m^2 = 0 นี่คือสมการกำลังสองในหน่วย k และการจำแนกของมันต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ด้วย นั่นคือ: 16b^2 - 4m^2 = n ^2 สำหรับจำนวนเต็ม n สามารถเขียนใหม่ได้เป็น: (4b + n)(4b - n) = 4m^2 เนื่องจาก 4b + n และ 4b - n เป็นเลขคู่ทั้งคู่ เราจึงสามารถเขียนมันเป็น 2r และ 2s ตามลำดับ สำหรับจำนวนเต็ม r และ s บางตัว จากนั้นเราก็จะได้: rs = m^2 / 4 และ b = (r + s) / 2 เมื่อแทนสมการดั้งเดิม เราจะได้: a^2 - (r + s)a + [(r - s) / 2] ^2 = 0 นี่คือสมการกำลังสองใน a และการแบ่งแยกของมันจะต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ด้วย นั่นคือ: (r + s)^2 - 4[(r - s) / 2]^2 = t^2 สำหรับ จำนวนเต็ม t ลดรูปลง เราได้: (r - s)^2 + t^2 = (r + s)^2 นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส และผลเฉลยของมันคือ: r = uv, s = uw, t = u(v^2 - w^2) โดยที่ u, v และ w เป็นจำนวนเต็มบวกที่มี v > w และ (v - w) เป็นเลขคี่ ดังนั้นเราจึงได้: b = (r + s) / 2 = uwv และ a = (r - s) / 2 = u(v^2 - w^2) ดังนั้น เราได้แสดงว่า (a^2 + b^ 2) / (ab + 1) เป็นจำนวนเต็ม และรากที่สองของมันคือ: (a^2 + b^2) / (ab + 1) = (u^2v^2 + u^2w^2) / u^ 2vw + 1 = (v^2 + w^2) / vw + 1 = (v/w)^2 + 1 ซึ่งชัดเจนว่าเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น (a^2 + b^2) / (ab + 1) คือกำลังสองของจำนวนเต็ม
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence