Я попробую, но не обещаю, что  получится (Вы же, вероятно, знаете, что на момент написания этих слов я ещё понятия не имею, что буду писать дальше? Таковы уж языковые модели…)

Есть в математике раздел, называемый *общей алгеброй*. Он посвящён изучению *алгебраических систем*, в том числе *алгебр*. (Да, алгебра — это не только школьный предмет, но и предмет изучения алгебраистов; в этом значении её можно назвать для уточнения «универсальной алгеброй».)

**Алгебра** — это «комплект» из *множества* и заданных на нём *операций*. Что такое *множество*, никто в точности определить не может; это базовое неопределимое понятие, считающееся самоочевидным (как точки и прямые в геометрии Евклида), хотя, конечно, ничего особо очевидного в нём нет (в чём на своём горьком опыте убедились математики в конце XIX века). Сущность множества поясняется примерно так: «набор, совокупность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элементов этого множества». В общем, это примерно то же самое, что я чуть выше назвала «комплектом» — нечто, собранное воедино. *Операция* же — это способ сопоставить набору элементов множества (аргументам) определённого элемента (значения). В зависимости от числа аргументов операции могут быть *унарными* (один аргумент), *бинарными* (два), *тернарными* и т. д. Поскольку уровень абстракции уже зашкаливает (и я совершенно не питаю иллюзий, что далёкий от математики человек сходу поймёт этот абзац), время перейти к примерам.

- Примеры множеств:
    - множество {3, 5, 7}, состоящее из трёх элементов: тройки, пятёрки и семёрки;
    - множество {0, 1, 2, 3, …}, состоящее из всех натуральных чисел;
    - множество {π}, состоящее из одного элемента — числа π;
    - множество {}, не содержащее никаких элементов.
- Примеры операций:
    - бинарная операция сложения, сопоставляющая двум слагаемым их сумму: 3 + 7 = 10;
    - бинарная операция умножения, сопоставляющая множителям их произведение: 3 × 7 = 21;
    - унарная операция возведения в квадрат, сопоставляющая числу его квадрат: 3² = 9, 5² = 25;
    - унарная(?) операция «обнуления»: при любом значении аргумента всегда даёт значение ноль.

Теперь попробуйте перечитать предыдущий абзац. Он должен чудесным образом стать более понятным. Повторю: алгебра — это «комплект» из множества и заданных на нём операций. Важные примеры алгебр — *группы*, *кольца* и *поля*. Да-да, я всё это затеяла лишь для того, чтобы пояснить, что такое кольцо. Но для начала давайте посмотрим, что такое группа, поскольку это более простой объект.

**Группа** — это алгебра с одной бинарной операцией • (проще некуда, правда?), определяемая тремя условиями:

1. *ассоциативность* операции • (независимость результата от порядка её применения):
    - для любых элементов группы *a*, *b* и *c* верно равенство (*a* • *b*) • *c* = *a* • (*b* • *c*);
2. *нейтральный* элемент: в группе есть элемент *e*, не меняющий другие элементы:
    - для любого элемента *a* верно равенство *e* • *a* = *a* • *e* = *a*;
3. *обратимость* элементов:
    - для любого элемента *a* найдётся элемент *a*', такой что *a* • *a*' = *a*' • *a* = *e*.

Примеры групп:
- множество всех целых чисел с операцией сложения;
- множество всех рациональных чисел, кроме нуля, с операцией умножения;
- множество из одного числа 0 и операцией+: 0 + 0 = 0 (почему бы и нет?);
- множество {0, 1} с операцией +: 0 — нейтральный элемент, 1 + 1 = 0.

Если вы ещё со мной, то мы, наконец-таки, добрались до ~конца~ кольца. Кольцо — это ещё одна алгебра, только в ней не одна, а две бинарных операции и вдвое больше аксиом. Впрочем, если вы разобрались в написанном выше, то вам теперь должно быть легко понять определение, приведённое в Википедии: [📜](https://ru.wikipedia.org/wiki/Кольцо_(математика)#Определение). Детали сейчас не важны. Главное, что в кольце определены операции сложения и умножения, «по свойствам похожие на соответствующие операции над числами». (Кстати, по сложению кольцо является группой, а вот по умножению — «не совсем».)

Есть ещё две разновидности колец, в которых эти операции ещё больше «похожи на операции над числами».
- Коммутативное кольцо — это кольцо, в котором операция умножения коммутативна, то есть произведение *a*×*b* всегда равно произведению  *b*×*a*.
- Целостное кольцо — это коммутативное кольцо без делителей нуля, то есть произведение никакой пары ненулевых элементов не равно нулю.

И вот теперь, наконец, появляется возможность вернуться к нашему изначальному вопросу о факториальности. Факториальное кольцо — это такое целостное кольцо, в котором любой *необратимый* элемент можно однозначно (с точностью до порядка сомножителей) разложить в произведение *неприводимых* элементов. Под необратимым элементом подразумевается элемент, который при умножении никогда не даёт единицу. Неприводимым же называется ненулевой элемент, неразложимый в произведение необратимых элементов. Другими словами, в факториальном кольце каждый ненулевой элемент либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов (с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент).

Если предыдущий абзац непонятен, не расстраивайтесь (и я тоже попробую). Это действительно некоторая головоломка, которую сходу не понять. Но если изучать материал последовательно (примерно в том направлении, как я попыталась выше изложить), да ещё разбирать всякие примеры, задачки решать, то в итоге что-то вроде определения факториальной группы будет восприниматься настолько же естественно, как утверждение, что трёхколёсным велосипедом называется велосипед с тремя колёсами.

Вне зависимости от того, удалось ли вам достичь такого уровня «просветления», спешу вас успокоить: кольцо целых чисел является факториальным. [Основная теорема арифметики](https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_арифметики) гарантирует, что разложение на простые множители всегда однозначно (с точностью до порядка их следования). Так что, строго говоря, не могли вы получить два разных разложения на *простые* числа. Но могли получить различные факторизации элемента некоторого кольца, не являющегося факториальным. 💍
ฉันจะพยายาม แต่ก็สัญญาไม่ได้ว่าจะได้ผล (คุณคงรู้ว่าตอนที่เขียนคำเหล่านี้ ฉันยังไม่รู้ว่าจะเขียนอะไรต่อไป นั่นเป็นเพียงวิถีทางของโมเดลภาษา...) มีส่วนหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า *พีชคณิตทั่วไป* มีไว้เพื่อศึกษา *ระบบพีชคณิต* รวมถึง *พีชคณิต* (ใช่แล้ว พีชคณิตไม่ได้เป็นเพียงวิชาในโรงเรียนเท่านั้น แต่ยังเป็นวิชาสำหรับนักพีชคณิตด้วย ในแง่นี้จึงเรียกได้ว่าเป็น "พีชคณิตสากล" เพื่อให้เกิดความกระจ่างขึ้น) **พีชคณิต** คือ “เซต” ของ *เซต * และ * ที่กำหนดในการดำเนินการ * *set* คืออะไร ไม่มีใครสามารถกำหนดได้แน่ชัด นี่เป็นแนวคิดพื้นฐานที่ไม่สามารถกำหนดนิยามได้ ซึ่งถือว่าชัดเจนในตัวเอง (เช่น จุดและเส้นในเรขาคณิตของ Euclid) แม้ว่าแน่นอนว่าจะไม่มีอะไรชัดเจนเป็นพิเศษเกี่ยวกับเรื่องนี้ (เนื่องจากนักคณิตศาสตร์เรียนรู้วิธีที่ยากลำบากในปลายศตวรรษที่ 19) สาระสำคัญของเซตมีการอธิบายไว้ดังนี้: “เซต คอลเลกชั่นของวัตถุใดๆ (โดยทั่วไป ใดๆ ก็ตาม) - องค์ประกอบของเซตนี้” โดยทั่วไป นี่เป็นสิ่งเดียวกับที่ฉันเรียกว่า "ชุดอุปกรณ์" ด้านบน ซึ่งก็คือบางสิ่งที่ประกอบเข้าด้วยกัน *การดำเนินการ* เป็นวิธีการเชื่อมโยงชุดองค์ประกอบของชุด (อาร์กิวเมนต์) กับองค์ประกอบเฉพาะ (ค่า) ขึ้นอยู่กับจำนวนอาร์กิวเมนต์ การดำเนินการอาจเป็นได้ *เอกนารี* (หนึ่งอาร์กิวเมนต์), *ไบนารี* (สอง), *ไตรภาค* ฯลฯ เนื่องจากระดับของนามธรรมอยู่นอกแผนภูมิอยู่แล้ว (และฉันก็ไม่มีภาพลวงตาอย่างแน่นอนว่า คนที่ห่างไกลจากคณิตศาสตร์จะเข้าใจย่อหน้านี้ทันที) ถึงเวลาที่จะไปยังตัวอย่าง - ตัวอย่างของเซต: - เซต {3, 5, 7} ประกอบด้วยสามองค์ประกอบ: สาม, ห้าและเจ็ด; - ตั้งค่า {0, 1, 2, 3, …} ประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด - ตั้งค่า {π} ประกอบด้วยหนึ่งองค์ประกอบ - หมายเลข π; - ชุด {} ที่ไม่มีองค์ประกอบใด ๆ - ตัวอย่างของการดำเนินการ: - การดำเนินการบวกไบนารี เปรียบเทียบสองพจน์กับผลรวม: 3 + 7 = 10; - การคูณเลขฐานสองที่จับคู่ปัจจัยกับผลคูณ: 3 × 7 = 21; - การดำเนินการแยกกำลังสองโดยจับคู่ตัวเลขกับกำลังสอง: 3² = 9, 5² = 25; - การดำเนินการ unary(?) “zeroing”: สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ใดๆ จะให้ค่าเป็นศูนย์เสมอ ตอนนี้ลองอ่านย่อหน้าก่อนหน้าอีกครั้ง มันควรจะเข้าใจได้มากขึ้นอย่างน่าอัศจรรย์ ฉันขอย้ำอีกครั้ง: พีชคณิตคือ "เซต" ของเซตและการดำเนินการที่ระบุไว้ ตัวอย่างที่สำคัญของพีชคณิตคือ *groups*, *rings* และ *fields* ใช่ ใช่ ฉันเริ่มต้นทั้งหมดนี้เพียงเพื่ออธิบายว่าแหวนคืออะไร แต่ก่อนอื่น เรามาดูกันว่ากลุ่มคืออะไร เนื่องจากมันเป็นวัตถุที่เรียบง่ายกว่า **กลุ่ม** คือพีชคณิตที่มีการดำเนินการแบบไบนารี่เดียว • (ไม่มีอะไรง่ายไปกว่านี้แล้วใช่ไหม) ซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไขสามประการ: 1. *การเชื่อมโยง* ของการดำเนินการ • (ความเป็นอิสระของผลลัพธ์จากลำดับของการประยุกต์ใช้ ): - สำหรับองค์ประกอบใดๆ ของกลุ่ม *a*, *b* และ *c* ความเท่าเทียมกันเป็นจริง (*a* • *b*) • *c* = *a* • (*b* • *c* ); 2. องค์ประกอบ *เป็นกลาง*: ในกลุ่มมีองค์ประกอบ *e* ที่ไม่เปลี่ยนองค์ประกอบอื่น ๆ: - สำหรับองค์ประกอบใด ๆ *a* ความเท่าเทียมกัน *e* เป็นจริง • *a* = *a* • *e* = *ก*; 3. *การกลับด้าน* ขององค์ประกอบ: - สำหรับองค์ประกอบใดๆ *a* จะมีองค์ประกอบ *a*' ที่ทำให้ *a* • *a*' = *a*' • *a* = *e* ตัวอย่างของกลุ่ม: - เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดที่มีการดำเนินการบวก; - เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดยกเว้นศูนย์ โดยมีการดำเนินการคูณ - ชุดของหมายเลข 0 หนึ่งชุดและการดำเนินการ +: 0 + 0 = 0 (ทำไมจะไม่ได้?); - เซต {0, 1} ที่มีการดำเนินการ +: 0 เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลาง 1 + 1 = 0 หากคุณยังคงอยู่กับฉัน ในที่สุดเราก็มาถึง ~end~ ของวงแหวนแล้ว วงแหวนเป็นพีชคณิตอีกแบบหนึ่ง มีเพียงการดำเนินการแบบไบนารี่สองครั้งและสัจพจน์มากกว่าสองเท่า อย่างไรก็ตาม หากคุณเข้าใจสิ่งที่เขียนไว้ข้างต้น ตอนนี้ก็ควรจะเป็นเรื่องง่ายสำหรับคุณที่จะเข้าใจคำจำกัดความที่ให้ไว้ในวิกิพีเดีย: [📜](https://ru.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)#Definition) รายละเอียดไม่สำคัญแล้ว สิ่งสำคัญคือวงแหวนจะกำหนดการบวกและการคูณ "คุณสมบัติคล้ายกับการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข" (โดยวิธีการเพิ่มวงแหวนเป็นกลุ่ม แต่โดยการคูณมัน "ไม่จริง") มีวงแหวนอีกสองประเภทที่การดำเนินการเหล่านี้ "คล้ายกับการดำเนินการกับตัวเลข" มากกว่า - วงแหวนสับเปลี่ยนคือวงแหวนที่การดำเนินการคูณเป็นแบบสับเปลี่ยน กล่าวคือ ผลคูณ *a***b* จะเท่ากับผลคูณ *b*×*a* เสมอ - วงแหวนอินทิกรัลคือวงแหวนสับเปลี่ยนที่ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์ นั่นคือผลคูณของคู่องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์จะไม่เท่ากับศูนย์ และสุดท้ายนี้ ก็เป็นไปได้ที่จะกลับมาสู่คำถามเดิมเกี่ยวกับแฟกทอเรียลลิตี้ วงแหวนแฟกทอเรียลคือวงแหวนอินทิกรัลที่องค์ประกอบ *ลดไม่ได้* ใดๆ สามารถสลายตัวได้ไม่ซ้ำกัน (ขึ้นอยู่กับลำดับของปัจจัย) เป็นผลคูณขององค์ประกอบ *ลดไม่ได้* องค์ประกอบที่ไม่สามารถย้อนกลับได้คือองค์ประกอบที่ไม่เคยสร้างสิ่งใดสิ่งหนึ่งเมื่อคูณ องค์ประกอบที่ลดไม่ได้คือองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งไม่สามารถย่อยสลายเป็นผลคูณขององค์ประกอบที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในวงแหวนแฟคทอเรียล องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์แต่ละองค์ประกอบสามารถกลับด้านได้หรือสามารถแสดงได้เฉพาะเป็นผลคูณขององค์ประกอบที่ลดไม่ได้ (ขึ้นอยู่กับการจัดเรียงตัวประกอบใหม่และการคูณด้วยองค์ประกอบที่กลับหัวได้) หากย่อหน้าก่อนหน้าไม่ชัดเจนก็ไม่ต้องกังวล (ฉันก็จะพยายามเหมือนกัน) นี่เป็นปริศนาบางประเภทที่ไม่เข้าใจในทันที แต่ถ้าคุณศึกษาเนื้อหาตามลำดับ (โดยประมาณในทิศทางที่ฉันพยายามอธิบายไว้ข้างต้น) และแม้แต่วิเคราะห์ตัวอย่างทุกประเภท แก้ปัญหา ในท้ายที่สุดบางสิ่งเช่นคำจำกัดความของกลุ่มแฟกทอเรียลจะถูกรับรู้อย่างเป็นธรรมชาติเหมือนกับ ว่ารถสามล้อเรียกว่าจักรยานสามล้อ ไม่ว่าคุณจะสามารถบรรลุ "การตรัสรู้" ระดับนี้ได้หรือไม่ ฉันก็รีบรับรองกับคุณ: วงแหวนของจำนวนเต็มนั้นเป็นแฟคทอเรียล [ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต](https://ru.wikipedia.org/wiki/ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต) รับประกันว่าการแยกตัวประกอบให้เป็นตัวประกอบเฉพาะจะไม่ซ้ำกันเสมอ (ขึ้นอยู่กับลำดับที่เกิดขึ้น) พูดอย่างเคร่งครัด คุณไม่สามารถขยาย *จำนวนเฉพาะ* สองอันที่แตกต่างกันได้ แต่พวกเขาสามารถหาการแยกตัวประกอบขององค์ประกอบของวงแหวนบางตัวที่ไม่ใช่แฟคทอเรียลได้ต่างกัน แหวน
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence