1.	Основные понятия:

•	Открытое множество: подмножество A⊆R такое, что для каждой точки x в A существует некоторая её окрестность соответствующая ε>0.

•	Открытое покрытие множества: множество открытых множеств, удовлетворяющее условию A⊆∪𝒞.

2.	Лемма Гейне-Бореля:

•	Лемма гласит, что для любого открытого покрытия 𝒞 отрезка [0,1] существует конечное подпокрытие 𝒞'.

•	Доказательство леммы следует из рассмотрения множества B, содержащего все b такие, что существует конечное подпокрытие 𝒞'⊆𝒞 для [0,b].

•	Очевидно, что 1∈B, так как мы можем построить ε₀>0, удовлетворяющее условиям открытого множества, и показать, что [0,ε₀)⊆B.

•	Затем мы можем показать, что точная верхняя грань b₀ существует и выполняет условие: b₀ >= max{b₁, b₂, ..., bₙ}. Это может быть доказано путем представления b₀ как максимум из функций b₁, b₂, ..., bₙ и, следовательно, что b₀ является верхней гранью этих функций. Таким образом, мы можем утверждать, что b₀ является точной верхней гранью B.
1. แนวคิดพื้นฐาน: • เซตเปิด: เซตย่อย A⊆R โดยที่แต่ละจุด x ใน A จะมีย่านใกล้เคียงบางส่วนที่สอดคล้องกับ ε>0 • ฝาครอบชุดเปิด: ชุดชุดเปิดที่ตรงตามเงื่อนไข A⊆∪𝒞 2. บทแทรกของไฮเนอ-บอเรล: • บทแทรกระบุว่าสำหรับปกที่เปิดใดๆ 𝒞 ของเซกเมนต์ [0,1] จะมีเนื้อหาย่อยที่มีขอบเขตจำกัด 𝒞' • การพิสูจน์บทแทรกตามมาจากการพิจารณาเซต B ที่มี b ทั้งหมด โดยมีซับคัฟเวอร์จำกัด 𝒞'⊆𝒞 สำหรับ [0,b] • แน่นอน 1∈B เนื่องจากเราสามารถสร้าง ε₀>0 ที่ตรงตามเงื่อนไขเซตเปิดและแสดงว่า [0,ε₀)⊆B • จากนั้นเราสามารถแสดงว่าค่าสูงสุด b₀ มีอยู่และเป็นไปตามเงื่อนไข: b₀ >= max{b₁, b₂, ..., bₙ} สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการแทน b₀ ว่าเป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชัน b₁, b₂, ..., bₙ และด้วยเหตุนี้ b₀ จึงเป็นขอบเขตบนของฟังก์ชันเหล่านี้ ดังนั้นเราจึงสามารถอ้างได้ว่า b₀ เป็นค่าสูงสุดของ B
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence