The fundamental theorem of algebra states that every non-constant polynomial with complex coefficients has at least one complex root.

Proof:
We will prove this theorem by contradiction. Suppose there exists a non-constant polynomial P(z) with complex coefficients that has no complex roots. Since P(z) is non-constant, it has a highest degree term, let's say az^n. We can assume that a is not equal to zero, otherwise, P(z) would be a constant polynomial.

Consider the function f(z) = 1/P(z). This function is well-defined for all z except for the roots of P(z). Since P(z) has no complex roots, f(z) is a continuous and bounded function on the complex plane. Therefore, by Liouville's theorem, f(z) is a constant function.

Let the constant value of f(z) be c. Then we have:

1/P(z) = c
P(z) = 1/c

Since P(z) is a non-constant polynomial, it has a highest degree term, let's say bz^m. We can assume that b is not equal to zero, otherwise, P(z) would be a constant polynomial. Substituting this into the equation above, we get:

bz^m = 1/c

But the left-hand side of this equation approaches infinity as z approaches infinity or negative infinity, which is a contradiction with the right-hand side being a non-zero complex number. Therefore, our assumption that P(z) has no complex roots must be false, and the fundamental theorem of algebra holds.

This completes the proof.
ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตระบุว่าพหุนามที่ไม่คงที่ทุกตัวที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนจะมีรากที่ซับซ้อนอย่างน้อยหนึ่งราก หลักฐาน: เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ด้วยความขัดแย้ง สมมติว่ามีพหุนาม P(z) ที่ไม่คงที่ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนและไม่มีรากที่ซับซ้อน เนื่องจาก P(z) ไม่คงที่ มันจึงมีเทอมดีกรีสูงสุด สมมุติว่า az^n เราสามารถสรุปได้ว่า a ไม่เท่ากับศูนย์ ไม่เช่นนั้น P(z) จะเป็นพหุนามคงที่ พิจารณาฟังก์ชัน f(z) = 1/P(z) ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้อย่างดีสำหรับ z ทั้งหมด ยกเว้นรากของ P(z) เนื่องจาก P(z) ไม่มีรากที่ซับซ้อน f(z) จึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีขอบเขตบนระนาบเชิงซ้อน ดังนั้น ตามทฤษฎีบทของลิอูวิลล์ f(z) จึงเป็นฟังก์ชันคงที่ ปล่อยให้ค่าคงที่ของ f(z) เป็น c จากนั้นเราจะได้: 1/P(z) = c P(z) = 1/c เนื่องจาก P(z) เป็นพหุนามที่ไม่คงที่ จึงมีเทอมดีกรีสูงสุด สมมุติว่า bz^m เราสามารถสรุปได้ว่า b ไม่เท่ากับศูนย์ ไม่เช่นนั้น P(z) จะเป็นพหุนามคงที่ เมื่อแทนค่านี้ลงในสมการข้างต้น เราจะได้: bz^m = 1/c แต่ทางซ้ายมือของสมการนี้เข้าใกล้อนันต์เมื่อ z เข้าใกล้อนันต์หรืออนันต์ลบ ซึ่งขัดแย้งกับทางขวามือว่าไม่ใช่- จำนวนเชิงซ้อนเป็นศูนย์ ดังนั้น สมมติฐานของเราที่ว่า P(z) ไม่มีรากที่ซับซ้อนจะต้องเป็นเท็จ และทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตยังคงอยู่ เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence