Для формулировки леммы Гейне-Бореля мне потребуются понятия открытого множества и открытого покрытия множества R вещественных чисел. Открытое множество в R - это подмножество A⊆R такое что ∀x∈A∃ε>0∀y(|x-y|<ε→y∈A), то есть содержащее вместе со всякой точкой некоторую её окрестность. Открытое покрытие множества A⊆R это множество открытых множеств 𝒞 такое, что A⊆∪𝒞.

Лемма Гейне-Бореля. Для всякого открытого покрытия 𝒞 отрезка [0,1] найдется конечное подпокрытие 𝒞', то есть конечное подмножество 𝒞'⊆𝒞 являющееся открытым покрытием [0,1].
Доказательство. Рассмотрим множество B⊆[0,1] всех b таких, что существует конечное 𝒞'⊆𝒞 являющегося открытым покрытием [0,b]. Наша задача доказать, что 1∈B. Рассмотрим A₀∈𝒞 такое, что 0∈A₀. В силу открытости A  есть ε₀>0 такое, что ∀y(|0-y|<ε₀→y∈A₀), т.е. [0,ε₀)⊆A. Таким образом {A₀} является открытым покрытием [0,b] для всякого b<ε₀ и соответственно [0,ε₀)⊆B. В силу принципа существования точной верхней грани у B есть точная верхняя грань b₀. Очевидно, 0<ε₀≤b₀≤1. Для завершения доказательства далее мы покажем, что найдестя δ>0, что ∀b≤min(1,b₀+δ)(b∈B), от сюда с одной стороны будет следовать, что точная верхняя грань b₀ не могла быть меньше 1 (и соответственно b₀=1), а с другой стороны, что b₀∈B, что в комбинации завершит данное доказательство. Точка b₀ является элементом некоторого A∈𝒞 и в силу открытости A есть ε>0 такое, что ∀y(|b₀-y|<ε→y∈A). Положим δ=ε/2. Так как b₀ это точная верхняя грань B, найдется b₁∈B, что b₁≤b₀ и b₀-b₁<δ. Фиксируем конечное 𝒞'⊆𝒞 являющееся покрытием [0,b₁]. Заметим, что 𝒞'∪{A} является конечным покрытием [0,b₀+δ] и соответственно всякого [0,b] для b≤min(1,b₀+δ). Таким образом, ∀b≤min(1,b₀+δ)(b∈B), что и требовалось доказать.
ในการกำหนดบทแทรกไฮเนอ-โบเรล ฉันต้องการแนวคิดเกี่ยวกับเซตเปิดและการครอบคลุมเซต R ของจำนวนจริงแบบเปิด เซตเปิดใน R คือเซตย่อย A⊆R โดยที่ ∀x∈A∃ε>0∀y(|xy|<ε→y∈A) นั่นคือ ประกอบไปด้วยย่านใกล้เคียงบางส่วนของมัน ร่วมกับทุกจุด ฝาครอบที่เปิดอยู่ของเซต A⊆R คือเซตของเซตที่เปิด 𝒞 โดยที่ A⊆∪𝒞 ไฮน์-โบเรล เลมมา. สำหรับทุก ๆ ปกที่เปิด 𝒞 ของเซกเมนต์ [0,1] จะมีปกย่อยที่มีขอบเขตจำกัด 𝒞' นั่นคือเซตย่อยที่มีขอบเขตจำกัด 𝒞'⊆𝒞 ที่เป็นปกเปิด [0,1] การพิสูจน์. พิจารณาเซต B⊆[0,1] ของ b ทั้งหมดโดยให้มี 𝒞'⊆𝒞 ที่มีขอบเขตเปิด [0,b] งานของเราคือการพิสูจน์ว่า 1∈B พิจารณา A₀∈𝒞 โดยที่ 0∈A₀ เนื่องจากความเปิดกว้างของ A จึงทำให้มี ε₀>0 ที่ทำให้ ∀y(|0-y|<ε₀→y∈A₀) คือ [0,ε₀)⊆เอ ดังนั้น {A₀} จึงเป็นค่าเปิดของ [0,b] สำหรับทุก ๆ b<ε₀ และด้วยเหตุนี้ [0,ε₀)⊆B โดยอาศัยหลักการของการดำรงอยู่ของจุดสูงสุด B จึงมี b₀ สูงสุด แน่นอน 0<ε₀≤b₀≤1 เพื่อให้การพิสูจน์สมบูรณ์ เราจะแสดงเพิ่มเติมว่าเมื่อพบ δ>0 แล้ว ∀b≤min(1,b₀+δ)(b∈B) จากตรงนี้ ในด้านหนึ่ง มันจะตามมาว่าค่าสูงสุดของ b₀ ไม่สามารถ น้อยกว่า 1 ( และ b₀=1 ตามลำดับ) และในทางกลับกัน b₀∈B ซึ่งเมื่อรวมกันจะทำให้การพิสูจน์นี้สมบูรณ์ จุด b₀ เป็นองค์ประกอบของ A∈𝒞 บางตัว และเนื่องจากความเปิดของ A จึงมี ε>0 ในลักษณะที่ ∀y(|b₀-y|<ε→y∈A) ลองใส่ δ=ε/2 กัน เนื่องจาก b₀ เป็นค่าสูงสุดของ B จึงทำให้ b₁∈B มีค่า b₁≤b₀ และ b₀-b₁<δ เราแก้ไขค่าจำกัด 𝒞'⊆𝒞 ซึ่งเป็นค่าครอบคลุม [0,b₁] โปรดทราบว่า 𝒞'∪{A} เป็นการครอบคลุมแบบจำกัดของ [0,b₀+δ] และดังนั้น ของ [0,b] ใดๆ สำหรับ b≤min(1,b₀+δ) ดังนั้น ∀b≤min(1,b₀+δ)(b∈B) ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence