I apologize for the confusion. Here's a simpler explanation with the steps in LaTeX.

The $n$th triangle number is the sum of the first $n$ positive integers. It can be written as:

$$T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n$$

To prove that the formula for $T(n)$ is $\frac{n(n+1)}{2}$, we can use the following steps:

Step 1: Write the sum forwards and backwards and add them together:

T(n) &= 1 + 2 + 3 + ... + n \\
T(n) &= n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 \\
\hline \\
2T(n) &= (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1)
\end{aligned}$$
There are $n$ terms in the sum, so we can simplify this to:
$$2T(n) = n(n+1)$$
Step 2: Divide both sides by 2 to get the formula for $T(n)$:
$$T(n) = \frac{n(n+1)}{2}$$
Here's the same explanation in a LaTeX block, which you can copy and paste into a LaTeX editor (such as Overleaf or ShareLaTeX) to visualize the equations:
```
The nth triangle number is the sum of the first n positive integers. It can be written as:
$$T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n$$
To prove that the formula for T(n) is n(n+1)/2, we can use the following steps:
Step 1: Write the sum forwards and backwards and add them together:
$$\begin{aligned}
T(n) &= 1 + 2 + 3 + ... + n \\
T(n) &= n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 \\
\hline \\
2T(n) &= (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1)
\end{aligned}$$
There are n terms in the sum, so we can simplify this to:
$$2T(n) = n(n+1)$$
Step 2: Divide both sides by 2 to get the formula for T(n):
$$T(n) = \frac{n(n+1)}{2}$$
```
ฉันขอโทษสำหรับความสับสน ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายที่ง่ายกว่าพร้อมขั้นตอนใน LaTeX จำนวนสามเหลี่ยม $n$th คือผลรวมของจำนวนเต็มบวก $n$ ตัวแรก สามารถเขียนเป็น: $$T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n$$ เพื่อพิสูจน์ว่าสูตรสำหรับ $T(n)$ คือ $\frac{n(n+1)} {2}$ เราสามารถใช้ขั้นตอนต่อไปนี้: ขั้นตอนที่ 1: เขียนผลรวมไปข้างหน้าและข้างหลังแล้วบวกเข้าด้วยกัน: T(n) &= 1 + 2 + 3 + ... + n \\ T(n) & = n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 \\ \hline \\ 2T(n) &= (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) \end{aligned}$$ ผลรวมมีเงื่อนไข $n$ ดังนั้นเราจึงสามารถจัดรูปให้ง่ายขึ้นเป็น: $$2T(n) = n(n+1)$$ ขั้นตอนที่ 2 : หารทั้งสองข้างด้วย 2 เพื่อให้ได้สูตรสำหรับ $T(n)$: $$T(n) = \frac{n(n+1)}{2}$$ ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายเดียวกันในบล็อก LaTeX ซึ่ง คุณสามารถคัดลอกและวางลงในโปรแกรมแก้ไข LaTeX (เช่น Overleaf หรือ ShareLaTeX) เพื่อให้สมการเห็นภาพ: ``` จำนวนสามเหลี่ยมที่ n คือผลรวมของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก สามารถเขียนเป็น: $$T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n$$ เพื่อพิสูจน์ว่าสูตรสำหรับ T(n) คือ n(n+1)/2 เราสามารถใช้ ขั้นตอนที่ 1: เขียนผลรวมไปข้างหน้าและข้างหลังแล้วบวกเข้าด้วยกัน: $$\begin{aligned} T(n) &= 1 + 2 + 3 + ... + n \\ T(n) &= n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 \\ \hline \\ 2T(n) &= (n+1) + (n+1) + (n+1) + .. . + (n+1) \end{aligned}$$ ผลรวมมี n พจน์ เราจึงสามารถจัดรูปให้เป็น: $$2T(n) = n(n+1)$$ ขั้นตอนที่ 2: หารทั้งสองข้าง คูณ 2 เพื่อให้ได้สูตรสำหรับ T(n): $$T(n) = \frac{n(n+1)}{2}$$ ```
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence