While it is difficult to definitively rank unsolved problems in mathematics by importance, here is a list of 20 significant open questions that have captivated mathematicians and researchers:

1. The Riemann Hypothesis: Concerns the distribution of prime numbers and the location of non-trivial zeros of the Riemann zeta function.

2. P vs NP Problem: Asks whether problems whose solutions can be quickly verified (NP) are also those that can be quickly solved (P).

3. The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture: Relates the algebraic and analytic properties of elliptic curves and their rational points.

4. The Hodge Conjecture: Involves the relationship between algebraic cycles and cohomology classes of smooth projective algebraic varieties.

5. The Navier-Stokes Existence and Smoothness Problem: Concerns the existence and smoothness of solutions to the Navier-Stokes equations, which describe fluid motion.

6. The Yang-Mills Existence and Mass Gap Problem: Seeks a rigorous mathematical foundation for the Yang-Mills theory and the existence of a mass gap in quantum field theory.

7. The Goldbach Conjecture: Posits that every even integer greater than 2 can be expressed as the sum of two prime numbers.

8. The Twin Prime Conjecture: Asks whether there are infinitely many pairs of prime numbers that differ by 2.

9. The Collatz Conjecture: Concerns the behavior of the Collatz function and whether, for all positive integers, its iterations will eventually reach the number 1.

10. The abc Conjecture: Relates to the sum and product of co-prime integers and their radical.

11. The Connes Embedding Problem: Involves whether all separable type II1 factors can be embedded into the ultrapower of the hyperfinite type II1 factor.

12. The Erdős–Straus Conjecture: States that for every integer n ≥ 2, there exist positive integers x, y, and z such that 4/n = 1/x + 1/y + 1/z.

13. The Hadwiger-Nelson Problem: Asks for the minimum number of colors needed to color the plane such that no two points at distance 1 from each other have the same color.

14. The Kruskal-Katona Conjecture: Relates to the number of k-element sets in a family of sets ordered by inclusion.

15. The Littlewood Conjecture: Involves simultaneous Diophantine approximation and the behavior of certain irrational numbers.

16. The Mahler Conjecture: Concerns the volume of convex bodies and their polar duals in n-dimensional Euclidean space.

17. The Poincaré Conjecture (in higher dimensions): While the original Poincaré Conjecture has been proven for 3-manifolds, the question remains open in dimensions greater than four.

18. The Schanuel Conjecture: Relates to transcendental number theory and algebraically independent complex numbers.

19. The Sylvester-Gallai Conjecture in higher dimensions: Asks whether, for any finite set of points in a higher-dimensional Euclidean space, there is a line that contains exactly two of the points.

20. The Union-Closed Sets Conjecture (Frankl's Conjecture): Posits that for every finite union-closed family of sets, there exists an element that belongs to at least half of the sets in the family.
แม้ว่าจะเป็นเรื่องยากที่จะจัดอันดับปัญหาที่ยังไม่แก้ในวิชาคณิตศาสตร์ตามความสำคัญอย่างชัดเจน แต่นี่คือรายการคำถามปลายเปิดสำคัญ 20 ข้อที่ดึงดูดใจนักคณิตศาสตร์และนักวิจัย: 1. สมมติฐานของรีมันน์: กังวลเกี่ยวกับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะและตำแหน่งของศูนย์ที่ไม่สำคัญ ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ 2. ปัญหา P กับ NP: ถามว่าปัญหาที่สามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็ว (NP) เป็นปัญหาที่สามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็ว (P) หรือไม่ 3. การคาดเดาของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์: เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติเชิงพีชคณิตและการวิเคราะห์ของเส้นโค้งรูปวงรีและจุดเหตุผล 4. การคาดเดาแบบฮอดจ์: เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ระหว่างวัฏจักรพีชคณิตและคลาสโคโฮโมวิทยาของพันธุ์พีชคณิตแบบฉายภาพเรียบ 5. ปัญหาการดำรงอยู่และความราบรื่นของเนเวียร์-สโตกส์: กังวลถึงความมีอยู่และความราบรื่นของคำตอบของสมการเนเวียร์-สโตกส์ ซึ่งอธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล 6. การดำรงอยู่ของ Yang-Mills และปัญหาช่องว่างมวล: แสวงหารากฐานทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดสำหรับทฤษฎี Yang-Mills และการดำรงอยู่ของช่องว่างมวลในทฤษฎีสนามควอนตัม 7. การคาดเดาของ Goldbach: สมมุติว่าจำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนที่มากกว่า 2 สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัวได้ 8. The Twin Prime Conjecture: ถามว่ามีจำนวนเฉพาะหลายคู่ที่ต่างกันด้วย 2 มีจำนวนอนันต์หรือไม่ 9. The Collatz Conjecture: กังวลถึงพฤติกรรมของฟังก์ชัน Collatz และการวนซ้ำของฟังก์ชัน Collatz จะไปถึงจำนวนนั้นสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมดหรือไม่ 1. 10. การคาดเดา abc: เกี่ยวข้องกับผลรวมและผลคูณของจำนวนเต็มร่วมไพรม์และรากของพวกมัน 11. ปัญหาการฝัง Connes: เกี่ยวข้องกับการว่าปัจจัยประเภท II1 ที่แยกได้ทั้งหมดสามารถฝังลงในกำลังพิเศษของปัจจัย Hyperfinite ประเภท II1 หรือไม่ 12. การคาดเดาแบบแอร์ดอมส์–สเตราส์: กล่าวว่าสำหรับจำนวนเต็มทุกจำนวน n ≥ 2 จะมีจำนวนเต็มบวก x, y และ z โดยที่ 4/n = 1/x + 1/y + 1/z 13. ปัญหาแฮดวิเกอร์-เนลสัน: ถามถึงจำนวนสีขั้นต่ำที่จำเป็นในการระบายสีระนาบ โดยที่ไม่มีจุดสองจุดที่ห่างจากกัน 1 จุดจะมีสีเดียวกัน 14. การคาดเดาของ Kruskal-Katona: เกี่ยวข้องกับจำนวนเซตขององค์ประกอบ k ในตระกูลของเซตโดยเรียงลำดับโดยการรวม 15. The Littlewood Conjecture: เกี่ยวข้องกับการประมาณไดโอแฟนไทน์พร้อมกันและพฤติกรรมของจำนวนอตรรกยะบางจำนวน 16. การคาดเดาของมาห์เลอร์: เกี่ยวกับปริมาตรของวัตถุนูนและขั้วคู่ของพวกมันในปริภูมิยูคลิดขนาด n มิติ 17. การคาดเดาของPoincaré (ในมิติที่สูงกว่า): แม้ว่าการคาดเดาของPoincaréดั้งเดิมจะได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามี 3 ท่อ แต่คำถามยังคงเปิดอยู่ในมิติที่มากกว่าสี่ 18. The Schanuel Conjecture: เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวนเหนือธรรมชาติและจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นอิสระจากพีชคณิต 19. การคาดเดาของซิลเวสเตอร์-กัลไลในมิติที่สูงกว่า: ถามว่าสำหรับเซตของจุดอันจำกัดใดๆ ในปริภูมิยูคลิดในมิติที่สูงกว่า มีเส้นตรงที่ประกอบด้วยจุดสองจุดพอดีหรือไม่ 20. The Union-Closed Set Conjecture (การคาดเดาของ Frankl): ตั้งสมมติฐานว่าทุกตระกูลของเซตที่ปิดด้วยสหภาพที่มีขอบเขตจำกัด จะมีองค์ประกอบหนึ่งที่เป็นของอย่างน้อยครึ่งหนึ่งของเซตในตระกูล
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence