The Newton-Raphson's method uses the formula:

    xn+1=xn−f(xn)f'(xn)

So we need to change the equation into a function. This is done by moving all terms to one side:

    f(x)=sinx−x2

And we need the derivative:

    f'(x)=cosx−2x

The easiest way to iterate is to use a calculator. Enter f(x) into Y1 and f'(x) into Y2. Then enter a very short program that does this:

    A−Y1(A)Y2(A)→A

You need a starting value, x1. Since the question is asking for a positive root, we know that sin(x) has a maximum value of 1 at x=π2 and x2 is 1 at x=1. So it is safe to say that the root is less than 1 and therefore will be the starting value. We don't want a starting value close to 0 because 0 is also a root but not positive. So enter the following into your calculator,

    1→A

Then execute the program until you get the desired accuracy:

    0.8913959953
    0.8769848448
    0.8767262985
    0.8767262154
    0.8767262154

We get 3 digits of accuracy after 2 iterations, 7 after 3 iterations, and 10 after 4 iterations. So the answer converges very quickly for this root.
วิธีของนิวตัน-ราฟสันใช้สูตร: xn+1=xn−f(xn)f'(xn) ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องเปลี่ยนสมการให้เป็นฟังก์ชัน ทำได้โดยการย้ายพจน์ทั้งหมดไปด้านหนึ่ง: f(x)=sinx−x2 และเราต้องการอนุพันธ์: f'(x)=cosx−2x วิธีที่ง่ายที่สุดในการวนซ้ำคือการใช้เครื่องคิดเลข ใส่ f(x) ใน Y1 และ f'(x) ใน Y2 จากนั้นป้อนโปรแกรมสั้นมากที่ทำสิ่งนี้: A−Y1(A)Y2(A)→A คุณต้องมีค่าเริ่มต้น x1 เนื่องจากคำถามต้องการรากที่เป็นบวก เราจึงรู้ว่า sin(x) มีค่าสูงสุดเป็น 1 ที่ x=π2 และ x2 คือ 1 ที่ x=1 ดังนั้นจึงปลอดภัยที่จะบอกว่ารูตมีค่าน้อยกว่า 1 ดังนั้น จะเป็นค่าเริ่มต้น เราไม่ต้องการให้ค่าเริ่มต้นใกล้กับ 0 เพราะ 0 ก็เป็นรากเช่นกันแต่ไม่ใช่ค่าบวก ดังนั้นให้ป้อนข้อมูลต่อไปนี้ลงในเครื่องคิดเลขของคุณ 1→A จากนั้นรันโปรแกรมจนกว่าคุณจะได้ความแม่นยำตามที่ต้องการ: 0.8913959953 0.8769848448 0.8767262985 0.8767262154 0.8767262154 เราได้ความแม่นยำ 3 หลักหลังจากการวนซ้ำ 2 ครั้ง, 7 หลังจาก 3 ครั้ง และ 10 หลังจาก 4 ครั้ง วาระการประชุม ดังนั้นคำตอบมาบรรจบกันอย่างรวดเร็วสำหรับรูตนี้
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence