The Fundamental Theorem of Algebra states that any real-valued polynomial `p(x)` of degree `n > 2` can be divided by some quadratic polynomial with real coefficients. To prove this, we can use a Sturm-like chain that contains the coefficients of the polynomial, `Rp(x)(a, b)` and `Sp(x)(a, b)`, as consecutive terms. By taking a sufficiently large negative value of `b`, we can show that the roots of both `Rp(x)(a, b)` and `Sp(x)(a, b)` in the variable `a` are real-valued and alternating each other (interlacing property). This interlacing property can then be used to show that the locus of the roots of `Rp(x)(a, b)` and `Sp(x)(a, b)` must intersect for some real-valued `a` and `b < 0`. Therefore, the Fundamental Theorem of Algebra is proven.
ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตระบุว่าพหุนามมูลค่าจริงใดๆ `p(x)` ของดีกรี 'n > 2` สามารถหารด้วยพหุนามกำลังสองบางตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริงได้ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราสามารถใช้ลูกโซ่คล้ายสตอร์มที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม `Rp(x)(a, b)` และ `Sp(x)(a, b)` เป็นพจน์ที่ต่อเนื่องกัน เมื่อหาค่าลบที่มีขนาดใหญ่เพียงพอของ `b` เราจะสามารถแสดงได้ว่ารากของทั้ง `Rp(x)(a, b)` และ `Sp(x)(a, b)` ในตัวแปร `a` คือ มูลค่าจริงและสลับกัน (คุณสมบัติอินเทอร์เลซ) คุณสมบัติการอินเทอร์เลซนี้สามารถใช้เพื่อแสดงว่าตำแหน่งของรากของ `Rp(x)(a, b)` และ `Sp(x)(a, b)` ต้องตัดกันสำหรับ `a` ที่มีค่าจริงบางตัว และ `ข < 0`. ดังนั้นทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence