En mathématiques, lorsqu'on parle d'un anneau principal R et de ses modules, le fait que tout sous-module d'un module libre est lui-même libre est une conséquence de la définition de la liberté pour les modules sur un anneau principal.

Un R-module est dit libre si tout élément du module peut être représenté par une combinaison linéaire finie d'éléments libres du module. Ces éléments libres sont appelés une base pour le module.

Supposons que M soit un R-module libre avec une base B. Si N est un sous-module de M, alors pour tout élément n de N, il existe une combinaison linéaire finie d'éléments de B qui peuvent être utilisés pour représenter n. Cela signifie que N peut également être considéré comme un R-module libre avec une base qui consiste en une sous-séquence finie des éléments de B.

En résumé, si M est un R-module libre avec une base B, alors tout sous-module N de M est également un R-module libre, car il peut toujours être représenté par une combinaison linéaire finie d'éléments de B.
ในทางคณิตศาสตร์ เมื่อเราพูดถึงวงแหวนหลัก R และโมดูลของมัน ความจริงที่ว่าโมดูลย่อยใดๆ ของโมดูลอิสระนั้นเป็นอิสระนั้นเป็นผลมาจากคำจำกัดความของอิสรภาพสำหรับโมดูลบนวงแหวนหลัก โมดูล R ได้รับการกล่าวขานว่าเป็นอิสระหากองค์ประกอบใดๆ ของโมดูลสามารถแสดงด้วยการรวมเชิงเส้นที่มีขอบเขตจำกัดขององค์ประกอบอิสระของโมดูล องค์ประกอบอิสระเหล่านี้เรียกว่าฐานสำหรับโมดูล สมมติว่า M เป็นโมดูล R อิสระที่มีฐาน B ถ้า N เป็นโมดูลย่อยของ M ดังนั้นสำหรับองค์ประกอบใดๆ ของ n ของ N จะมีผลรวมเชิงเส้นจำกัดขององค์ประกอบของ B ที่สามารถนำมาใช้แทน n ได้ ซึ่งหมายความว่า N ยังถือได้ว่าเป็นโมดูล R อิสระที่มีพื้นฐานที่ประกอบด้วยลำดับย่อยอันจำกัดขององค์ประกอบของ B โดยสรุป ถ้า M เป็นโมดูล R อิสระที่มีพื้นฐาน B แล้วโมดูลลำดับย่อยใดๆ N ของ M ก็เป็นโมดูล R อิสระเช่นกัน เนื่องจากสามารถแสดงได้ด้วยผลรวมเชิงเส้นจำกัดขององค์ประกอบของ B
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence