Теорема Гейне-Бореля утверждает, что часть вещественной прямой является обобщенной тогда и только тогда, когда она замкнута и ограничена. Чтобы подтвердить это, мы начнем с установления утвердительного направления. Пусть F - подмножество вещественной прямой, замкнутое и ограниченное. Мы хотим доказать, что F компактно. Для этого мы воспользуемся определением компактности, которое гласит, что подмножество вещественной прямой компактно, если каждое открытое покрытие F имеет конечное подмножество. Пусть U - открытое покрытие F. Учитывая, что F замкнуто, существует число M такое, что все точки F лежат между -M и M. Поскольку U - открытое покрытие, оно охватывает открытое множество O, включающее -M, и открытое множество P, включающее M. То, что F замкнуто, означает, что оно включает все граничные точки. Следовательно, O и P находятся в U и охватывают всю F. Из того, что U конечна, следует, что U имеет конечное подмножество, а именно O и P.
Теперь установим обратное. Пусть F - компактное подмножество вещественной прямой. Нам нужно доказать, что F замкнуто и ограничено. Чтобы доказать, что F замкнуто, пусть x - предельная точка F. Учитывая, что F компактно, оно покрыто некоторым открытым покрытием U. Поскольку x - предельная точка F, существует некоторое открытое множество O в U такое, что x находится в O. Поскольку U покрывает F, O должно пересекать F. Поскольку x находится в O и O пересекает F, x должно находиться в F. Следовательно, F замкнуто. Чтобы доказать, что F замкнута, пусть x - точка в F. F компактна, ее покрывает некоторое открытое покрытие U. Учитывая, что x находится в F, существует некоторое открытое множество O в U такое, что x находится в O. Учитывая, что U покрывает F, O должно пересекать F. O открыто, существуют два действительных числа, a и b, такие, что a < x < b, и O - открытый интервал (a, b). Следовательно, F замкнуто.
В заключение мы установили, что подмножество вещественной прямой компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено, что является леммой Гейне-Бореля.
ทฤษฎีบทไฮเนอ-โบเรลระบุว่าส่วนหนึ่งของเส้นจริงนั้นถูกทำให้เป็นลักษณะทั่วไปก็ต่อเมื่อมันถูกปิดและมีขอบเขตเท่านั้น เพื่อยืนยันสิ่งนี้ เราเริ่มต้นด้วยการกำหนดทิศทางที่ยืนยัน ให้ F เป็นสับเซตของเส้นจริง ปิดและมีขอบเขต เราต้องการพิสูจน์ว่า F มีขนาดกะทัดรัด ในการทำเช่นนี้ เราใช้คำจำกัดความของความกะทัดรัด ซึ่งระบุว่าเซตย่อยของเส้นจริงจะมีขนาดกะทัดรัด หาก F ทุกค่าที่เปิดอยู่มีเซตย่อยที่มีขอบเขตจำกัด ให้ U เป็นหน้าปกเปิดของ F เมื่อพิจารณาว่า F ปิดอยู่ จะมีตัวเลข M โดยที่จุด F ทั้งหมดอยู่ระหว่าง -M และ M เนื่องจาก U เป็นหน้าปกเปิด จึงครอบคลุมเซตเปิด O รวมถึง -M และ เซตเปิด P รวมถึง M ความจริงที่ว่า F ปิดอยู่หมายความว่าจะรวมจุดขอบเขตทั้งหมด ดังนั้น O และ P จึงอยู่ใน U และครอบคลุม F ทั้งหมด เนื่องจาก U มีขอบเขตจำกัด จึงตามมาว่า U มีสับเซตจำกัด นั่นคือ O และ P ทีนี้ให้เราสร้างบทสนทนากัน ให้ F เป็นสับเซตกระทัดรัดของเส้นจริง เราต้องพิสูจน์ว่า F ปิดและมีขอบเขต เพื่อพิสูจน์ว่า F ปิดอยู่ ให้ x เป็นจุดลิมิตของ F เนื่องจาก F มีขนาดกะทัดรัด จึงถูกคลุมด้วยฝาครอบเปิด U บางจุด เนื่องจาก x เป็นจุดลิมิตของ F จึงมีเซต O ที่เปิดอยู่บางชุดใน U โดยที่ x อยู่ใน O เนื่องจาก U ครอบคลุม F ดังนั้น O จะต้องตัดกัน F เนื่องจาก x อยู่ใน O และ O ตัดกัน F ดังนั้น x ต้องอยู่ใน F ดังนั้น F จึงถูกปิด เพื่อพิสูจน์ว่า F ปิดอยู่ ให้ x เป็นจุดใน F โดย F นั้นกะทัดรัดและคลุมด้วยฝาครอบเปิด U บางส่วน เมื่อพิจารณาว่า x อยู่ใน F ก็จะมีเซตเปิด O บางตัวใน U โดยที่ x อยู่ใน O เมื่อพิจารณาว่า U ครอบคลุม F, O ต้องตัดกัน F. O เปิดอยู่ มีจำนวนจริงสองตัว คือ a และ b โดยที่ a < x < b และ O เป็นช่วงเปิด (a, b) ดังนั้น F จึงถูกปิด โดยสรุป เราได้กำหนดไว้ว่าเซตย่อยของเส้นจริงจะมีขนาดกะทัดรัดก็ต่อเมื่อมันถูกปิดและมีขอบเขตเท่านั้น ซึ่งก็คือบทแทรกไฮเนอ-โบเรล
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence