Here's a formal induction proof of $T(n)=O(n^3)$ in LaTeX:

\begin{proof}
We want to show that there exist positive constants $c$ and $n_0$ such that for all $n \geq n_0$, we have $T(n) \leq c \cdot n^3$.

We can choose $c = 15 + 1 + 4/n_0^3$ and $n_0 = 2$. Then, for all $n \geq n_0$,

\begin{align*}
T(n) &= 15n^3 + n^2 + 4 \
&\leq 15n^3 + n^3 + n^3 \
&= (15+1+1)n^3 \
&\leq 17n^3 \
&\leq c \cdot n^3.
\end{align*}

Therefore, $T(n) = O(n^3)$.
\end{proof}
นี่เป็นหลักฐานการเหนี่ยวนำอย่างเป็นทางการของ $T(n)=O(n^3)$ ใน LaTeX: \begin{proof} เราต้องการแสดงให้เห็นว่ามีค่าคงที่ที่เป็นบวก $c$ และ $n_0$ เช่นนั้นสำหรับ $n \ ทั้งหมด geq n_0$ เรามี $T(n) \leq c \cdot n^3$ เราสามารถเลือก $c = 15 + 1 + 4/n_0^3$ และ $n_0 = 2$ จากนั้น สำหรับ $n \geq n_0$ ทั้งหมด \begin{align*} T(n) &= 15n^3 + n^2 + 4 \ &\leq 15n^3 + n^3 + n^3 \ &= (15+1+1)n^3 \ &\leq 17n^3 \ &\leq c \cdot n^3 \end{align*} ดังนั้น $T(n) = O(n^3)$ \end{พิสูจน์}
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence