Оценить точную вероятность того, что все собственные значения матрицы имеют положительную вещественную часть, является довольно сложной задачей. Это может быть подсчитано только в частных случаях для определенных классов матриц.

Однако, асимптотика при $n\to \infty$ может быть приближенно оценена с помощью методов теории рандомизированных матриц. В этой области исследований было показано, что вероятность того, что все собственные значения положительны, стремится к единице экспоненциально быстро при $n\to \infty$. Это может быть интерпретировано как то, что в большинстве случаев случайные матрицы являются положительно определёнными с высокой вероятностью.

Однако следует отметить, что вышеупомянутая асимптотика предполагает использование определённых математических моделей и аппроксимаций, поэтому точность её может варьироваться.

Оценка вероятности, что все собственные значения случайной матрицы имеют положительную часть, является одной из актуальных задач в теории вероятностей и математической статистике. Она всё ещё не точно решена и является областью активных исследований.

На данный момент имеется множество подходов, включая асимптотическую оценку через интеграл Планче, результаты которой указывают на то, что вероятность стремится к нулю экспоненциально быстро при увеличении $n$. Также используются другие методы, такие как анализ неравновесий, теория малых порядков и аппроксимация матрицы с помощью рандомизированных матриц, показанная в примере выше.

В любом случае, точная оценка вероятности является высоко актуальной и сложной задачей.
การประมาณความน่าจะเป็นที่แน่นอนที่ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์มีส่วนจริงที่เป็นบวกนั้นเป็นงานที่ค่อนข้างยาก สามารถคำนวณได้ในกรณีพิเศษสำหรับเมทริกซ์บางประเภทเท่านั้น อย่างไรก็ตาม เส้นกำกับสำหรับ $n\to \infty$ สามารถประมาณได้โดยใช้วิธีการจากทฤษฎีเมทริกซ์แบบสุ่ม ในการวิจัยสาขานี้ ได้แสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นที่ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเป็นค่าบวกจะเข้าใกล้ค่าหนึ่งอย่างรวดเร็วแบบเอกซ์โพเนนเชียลเท่ากับ $n\to \infty$ สิ่งนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นความหมายว่าในกรณีส่วนใหญ่เมทริกซ์สุ่มจะมีค่าแน่นอนเชิงบวกและมีความน่าจะเป็นสูง อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าเส้นกำกับข้างต้นถือว่าใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์บางอย่างและการประมาณ ดังนั้นความถูกต้องอาจแตกต่างกันไป การประมาณความน่าจะเป็นที่ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์สุ่มจะมีส่วนที่เป็นบวกถือเป็นปัญหาเร่งด่วนประการหนึ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ ยังไม่ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์และเป็นสาขาของการวิจัยเชิงรุก ปัจจุบันมีหลายวิธี รวมถึงการประมาณเส้นกำกับผ่านอินทิกรัล Planche ผลลัพธ์ที่ได้บ่งชี้ว่าความน่าจะเป็นมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์อย่างรวดเร็วแบบทวีคูณเมื่อ $n$ เพิ่มขึ้น นอกจากนี้ ยังมีการใช้เทคนิคอื่นๆ เช่น การวิเคราะห์ความไม่สมดุล ทฤษฎีลำดับขนาดเล็ก และการประมาณเมทริกซ์โดยใช้เมทริกซ์แบบสุ่ม ดังแสดงในตัวอย่างด้านบน ไม่ว่าในกรณีใด การประมาณความน่าจะเป็นที่แม่นยำนั้นเป็นงานที่มีความเกี่ยวข้องและท้าทายสูง
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence