Euclidean geometry and hyperbolic geometry are two different types of geometry, each based on different assumptions and axioms. Here are some of the key differences between them:

1. Parallel lines: In Euclidean geometry, parallel lines never meet, and the sum of the interior angles of a triangle is always 180 degrees. In hyperbolic geometry, however, parallel lines can intersect, and the sum of the interior angles of a triangle is always less than 180 degrees.

2. Space curvature: Euclidean geometry assumes that space is flat, whereas hyperbolic geometry assumes that space is curved. In hyperbolic geometry, the curvature is negative, which means that the angles of a triangle add up to less than 180 degrees.

3. Distance: In Euclidean geometry, the distance between two points is the straight line between them. In hyperbolic geometry, the distance between two points is measured along the curve of the space, which is curved.

4. Geometry of circles: Euclidean geometry and hyperbolic geometry have different rules for circles. In Euclidean geometry, a circle is defined as the set of all points that are equidistant from a given center point. In hyperbolic geometry, a circle is defined as the set of all points that are closer to a given center point than a certain distance.

Overall, hyperbolic geometry provides an alternative model of space that is very different from Euclidean geometry. Hyperbolic geometry has many applications in physics, computer graphics, and other fields.
เรขาคณิตแบบยุคลิดและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกเป็นเรขาคณิตสองประเภทที่แตกต่างกัน โดยแต่ละประเภทมีพื้นฐานอยู่บนสมมติฐานและสัจพจน์ที่แตกต่างกัน ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างเส้นเหล่านี้มีดังนี้ 1. เส้นขนาน: ในเรขาคณิตแบบยุคลิด เส้นขนานไม่เคยบรรจบกัน และผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับ 180 องศาเสมอ อย่างไรก็ตาม ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก เส้นขนานสามารถตัดกันได้ และผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมจะน้อยกว่า 180 องศาเสมอ 2. ความโค้งของอวกาศ: เรขาคณิตแบบยุคลิดถือว่าพื้นที่นั้นแบน ในขณะที่เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกถือว่าพื้นที่นั้นโค้ง ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ความโค้งจะเป็นลบ ซึ่งหมายความว่ามุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้น้อยกว่า 180 องศา 3. ระยะทาง: ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือเส้นตรงระหว่างจุดเหล่านั้น ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดจะวัดตามแนวโค้งของปริภูมิซึ่งเป็นส่วนโค้ง 4. เรขาคณิตของวงกลม: เรขาคณิตแบบยุคลิดและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีกฎเกณฑ์ที่แตกต่างกันสำหรับวงกลม ในเรขาคณิตแบบยุคลิด วงกลมถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดทั้งหมดที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดศูนย์กลางที่กำหนด ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก วงกลมถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ใกล้กับจุดศูนย์กลางที่กำหนดมากกว่าระยะห่างที่กำหนด โดยรวมแล้ว เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกถือเป็นแบบจำลองทางเลือกของอวกาศที่แตกต่างจากเรขาคณิตแบบยุคลิดอย่างมาก เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีการนำไปใช้งานมากมายในฟิสิกส์ คอมพิวเตอร์กราฟิก และสาขาอื่นๆ
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence