Una integral de línea consiste en reducir el área de integración a una curva. Se espera que la integral sobre esa curva no dependa de la parametrización de la curva. Hay dos tipos de integrales de curva. La primera consiste en integrar una función escalar y la segunda en integrar un campo vectorial.
Tomemos la curva $\gamma:[0,1]\rightarrow B$, donde $B$ es una variedad real. Si $f:B\rightarrow\mathbb{R}$ y $\vec\xi:B\rightarrow T(B)$ entonces la integral de línea de $f$ es:
$$
I_1=\int_{\gamma}fdl=\int_0^1f(\gamma(t))\parallel\gamma'(t)\parallel dt,
$$
mientras que la integral sobre el campo vectorial $\vec\xi$ es:
$$
I_2=\int_{\gamma}\vec\xi\cdot dl=\int_0^1\vec\xi(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt
$$
 อินทิกรัลเส้นประกอบด้วยการลดพื้นที่อินทิกรัลให้เป็นเส้นโค้ง เป็นที่คาดกันว่าอินทิกรัลเหนือเส้นโค้งนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นโค้ง อินทิกรัลเส้นโค้งมีสองประเภท ส่วนแรกประกอบด้วยการรวมฟังก์ชันสเกลาร์ และส่วนที่สองคือการรวมฟิลด์เวกเตอร์ ลองใช้เส้นโค้ง $\gamma:[0,1]\ลูกศรขวา B$ โดยที่ $B$ คือความหลากหลายที่แท้จริง ถ้า $f:B\rightarrow\mathbb{R}$ และ $\vec\xi:B\rightarrow T(B)$ แล้วอินทิกรัลบรรทัดของ $f$ จะเป็น: $$ I_1=\int_{\gamma}fdl = \int_0^1f(\gamma(t))\parallel\gamma'(t)\parallel dt, $$ ในขณะที่อินทิกรัลเหนือสนามเวกเตอร์ $\vec\xi$ คือ: $$ I_2=\int_{\ gamma} \vec\xi\cdot dl=\int_0^1\vec\xi(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt $$
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence