### Example 1: Find a root of the quadratic function f(x) = x^2 - 4

Define the function and its derivative:
f(x) = x^2 - 4
f'(x) = 2x

Choose an initial guess, say X0 = 1.

Apply the Newton-Raphson formula:
X1 = X0 - (f(X0) / f'(X0)) = 1 - ((1^2 - 4) / (2 * 1)) = 1 + 1.5 = 2.5

Iterate the process until the desired precision is reached:
X2 = X1 - (f(X1) / f'(X1)) = 2.5 - ((2.5^2 - 4) / (2 * 2.5)) ≈ 2.05

The method converges quickly, and after a few iterations, you'll find that the root is approximately 2, which is correct since the exact root is 2.

### Example 2: Find a root of the cubic function f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6

Define the function and its derivative:
f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6
f'(x) = 3x^2 - 12x + 11

Choose an initial guess, say X0 = 1.

Apply the Newton-Raphson formula:
X1 = X0 - (f(X0) / f'(X0)) = 1 - ((1 - 6 + 11 - 6) / (3 - 12 + 11)) = 1 - 0 = 1

Iterate the process until the desired precision is reached:
X2 = X1 - (f(X1) / f'(X1)) = 1 - ((1 - 6 + 11 - 6) / (3 - 12 + 11)) = 1 - 0 = 1

In this case, the method converged to the root in just one iteration, which is exactly 1. Note that the Newton-Raphson method may not always find all roots, and its success depends on the initial guess and the function's properties.
### ตัวอย่างที่ 1: ค้นหารากของฟังก์ชันกำลังสอง f(x) = x^2 - 4 กำหนดฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: f(x) = x^2 - 4 f'(x) = 2x เลือกค่าตั้งต้น เดาว่า X0 = 1 ใช้สูตรของนิวตัน-ราฟสัน: X1 = X0 - (f(X0) / f'(X0)) = 1 - ((1^2 - 4) / (2 * 1)) = 1 + 1.5 = 2.5 วนซ้ำกระบวนการจนกว่าจะถึงความแม่นยำที่ต้องการ: X2 = X1 - (f(X1) / f'(X1)) = 2.5 - ((2.5^2 - 4) / (2 * 2.5)) หยาบคาย 2.05 วิธีการมาบรรจบกันอย่างรวดเร็ว และหลังจากวนซ้ำไม่กี่ครั้ง คุณจะพบว่าค่ารากมีค่าประมาณ 2 ซึ่งถูกต้องเนื่องจากค่ารากที่แน่นอนคือ 2 ### ตัวอย่างที่ 2: ค้นหาค่ารากของฟังก์ชันลูกบาศก์ f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 กำหนดฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 f'(x) = 3x^2 - 12x + 11 เลือกชื่อเริ่มต้น เดาว่า X0 = 1 ใช้สูตรนิวตัน-ราฟสัน: X1 = X0 - (f(X0) / f'(X0)) = 1 - ((1 - 6 + 11 - 6) / (3 - 12 + 11 )) = 1 - 0 = 1 วนซ้ำกระบวนการจนกว่าจะถึงความแม่นยำที่ต้องการ: X2 = X1 - (f(X1) / f'(X1)) = 1 - ((1 - 6 + 11 - 6) / (3 - 12 + 11)) = 1 - 0 = 1 ในกรณีนี้ วิธีการรวมเข้ากับรากในการวนซ้ำเพียงครั้งเดียว ซึ่งเท่ากับ 1 พอดี โปรดทราบว่าวิธี Newton-Raphson อาจไม่สามารถหารากทั้งหมดได้เสมอไป และความสำเร็จขึ้นอยู่กับ เกี่ยวกับการเดาเริ่มต้นและคุณสมบัติของฟังก์ชัน
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence