A curve can be considered rectifiable between two points if it has a finite length. In other words, the curve can be thought of as a continuous mapping from an interval of real numbers to the plane, and its length can be defined as the supremum of the lengths of all piecewise linear approximations of the curve.

For a curve to be rectifiable, it must satisfy some additional conditions, such as being continuous and having a finite rate of change at each point along the curve. Additionally, the curve should not have any corners or cusps, as these would cause the length of the curve to become infinite.

In mathematical terms, if a curve is given by a continuous function f(t) for t in some interval [a, b], it is rectifiable if the integral of the magnitude of the derivative of f(t) with respect to t, from a to b, is finite:

∫_a^b ||f'(t)|| dt < ∞

where ||f'(t)|| is the magnitude of the derivative of f(t) at t and the integral is taken over the interval [a, b].
เส้นโค้งถือได้ว่าสามารถแก้ไขได้ระหว่างจุดสองจุดหากมีความยาวจำกัด กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นโค้งสามารถมองได้ว่าเป็นการจับคู่ที่ต่อเนื่องกันตั้งแต่ช่วงของจำนวนจริงจนถึงระนาบ และความยาวของเส้นโค้งสามารถกำหนดให้เป็นค่าสูงสุดของความยาวของการประมาณเชิงเส้นแบบเป็นชิ้น ๆ ของเส้นโค้งทั้งหมด เพื่อให้เส้นโค้งสามารถแก้ไขได้ จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขเพิ่มเติมบางประการ เช่น ความต่อเนื่องและมีอัตราการเปลี่ยนแปลงที่จำกัดในแต่ละจุดตลอดเส้นโค้ง นอกจากนี้ เส้นโค้งไม่ควรมีมุมหรือยอดแหลม เนื่องจากจะทำให้ความยาวของเส้นโค้งไม่มีที่สิ้นสุด ในแง่คณิตศาสตร์ ถ้าเส้นโค้งถูกกำหนดโดยฟังก์ชันต่อเนื่อง f(t) สำหรับ t ในช่วงเวลาหนึ่ง [a, b] สามารถแก้ไขได้ถ้าอินทิกรัลของขนาดของอนุพันธ์ของ f(t) เทียบกับ t จาก a ถึง b มีจำกัด: ∫_a^b ||f'(t)|| dt < ∞ โดยที่ ||f'(t)|| คือขนาดของอนุพันธ์ของ f(t) ที่ t และอินทิกรัลถูกยึดไปตลอดช่วง [a, b]
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence