Para factorizar el polinomio 6x⁵-4x⁴+2x²+10x-6, primero encontramos su factor común:

2(3x⁵-2x⁴+x²+5x-3)

Luego, podemos usar el algoritmo de Ruffini para encontrar raíces posibles y factorizar el polinomio. Sin embargo, dado que el polinomio tiene coeficientes fraccionarios, en lugar de buscar raíces posibles, podemos utilizar el método de factorización de Sylvester para encontrar factores de manera más sencilla. Este método se basa en la siguiente propiedad: si un polinomio se puede escribir como producto de dos polinomios con coeficientes enteros, entonces los coeficientes del polinomio original deben ser múltiplos de los coeficientes del producto de los dos polinomios.

Para utilizar el método de Sylvester, escribimos el polinomio original y su reverso como dos columnas de coeficientes. Luego, construimos una matriz de Sylvester, donde las entradas se obtienen tomando productos de los coeficientes correspondientes de las dos columnas. A continuación, buscamos un factor común de los determinantes de las submatrices cuadradas de la matriz de Sylvester, comenzando con la submatriz más grande y reduciendo su tamaño. Cada factor común corresponde a un factor del polinomio original.

La factorización del polinomio en los diferentes anillos es la siguiente:

En C[x]:
2(x-1)(x+1)(x+√(3)i)(x-√(3)i)(3x-1)

En R[x]:
2(x-1)(x+1)(x+√(3))(x-√(3))(3x-1)

En Q[x]:
2(x-1)(x+1)(x+√(3))(x-√(3))(3x-1)

En Z[x]:
2(x-1)(x+1)(3x-1)

En F_5[x]:
(x+2)(2x+1)(x+3)(x+4)(x+1)

Es importante tener en cuenta que en Z[x] y en F_5[x], la factorización no es única, ya que existen diferentes formas de escribir un número como producto de factores primos.
หากต้องการแยกตัวประกอบพหุนาม 6x⁵-4x⁴+2x²+10x-6 ก่อนอื่นเราจะหาตัวประกอบร่วมของมันก่อน: 2(3x⁵-2x⁴+x²+5x-3) จากนั้น เราสามารถใช้อัลกอริทึมของรัฟฟินีเพื่อค้นหารากที่เป็นไปได้และแยกตัวประกอบพหุนามได้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากพหุนามมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน แทนที่จะมองหารากที่เป็นไปได้ เราจึงใช้วิธีแยกตัวประกอบของซิลเวสเตอร์เพื่อหาตัวประกอบได้ง่ายขึ้น วิธีการนี้ใช้คุณสมบัติต่อไปนี้: หากสามารถเขียนพหุนามเป็นผลคูณของพหุนามสองตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มได้ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามดั้งเดิมจะต้องเป็นทวีคูณของสัมประสิทธิ์ของผลคูณของพหุนามทั้งสองตัว หากต้องการใช้วิธีการของซิลเวสเตอร์ เราจะเขียนพหุนามดั้งเดิมและค่าผกผันของมันเป็นค่าสัมประสิทธิ์สองคอลัมน์ ต่อไป เราสร้างเมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ โดยที่ค่าต่างๆ จะได้มาจากผลคูณของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของทั้งสองคอลัมน์ ต่อไป เราจะมองหาปัจจัยร่วมของปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์ย่อยแบบสี่เหลี่ยมของเมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ โดยเริ่มจากเมทริกซ์ย่อยที่ใหญ่ที่สุดและลดขนาดลง ตัวประกอบร่วมแต่ละตัวจะสอดคล้องกับตัวประกอบของพหุนามดั้งเดิม การแยกตัวประกอบของพหุนามในวงแหวนต่างๆ มีดังนี้: ใน C[x]: 2(x-1)(x+1)(x+√(3)i)(x-√(3)i)(3x- 1 ) ใน R[x]: 2(x-1)(x+1)(x+√(3))(x-√(3))(3x-1) ใน Q[x]: 2(x-1 ) (x+1)(x+√(3))(x-√(3))(3x-1) ใน Z[x]: 2(x-1)(x+1)(3x-1) ใน F_5 [ x]: (x+2)(2x+1)(x+3)(x+4)(x+1) สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าใน Z[x] และใน F_5[x] การแยกตัวประกอบคือ ไม่ซ้ำกัน เนื่องจากมีหลายวิธีในการเขียนตัวเลขเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence