Integration is an inverse operation to taking a derivative;  in mathematical notation, we can note that  when `F(x)+C = ∫ f(x)` then we also know that`d/dt (F(x)+C) =f(x)`

When taking a derivative of the function `f(x)` with respect to a variable `x`, the constant `C` -- or,  the part of the original function `f` that does not depend on `x`, does not enter the derivative function `f(x)`. Hence, the information about the constant C is lost when taking a derivative of the function `F(x)+C`. We call this constant, "the constant of integration". The operator `∫ ` cannot recover the constant `C` by itself.

Despite the fact that the operation of integration cannot generate the value of the constant by itself, it is often possible to derive it from another source. 

A typical source for the constant of interest is looking at the `boundary condition`.  An example `boundary condition` is knowing that `F(x)=0` at `x=0`, or in other words, `F(0)=0`. Having this extra information, we can solve for the constant C. In this example:

```
x*ln(x)-x+C = 0
```

where `x=0`,
yielding:
```
0*ln(0)-0+C=0,
```

Although the `ln(0)` is undefined, we only take it `0` times. Hence, the problem simplifies to:
```
C=0
```

The example presented is not the only possible boundary condition. One could provide a value of the function at some point other than `x=0` or some more complex constraint. 

Please also note that in many practical problems, recovering the constant C is not necessary; sometimes it may be sufficient to assume that `C==0` or leave it for the downstream considerations to decide.
บูรณาการเป็นการดำเนินการผกผันกับการหาอนุพันธ์ ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เราสามารถสังเกตได้ว่าเมื่อ `F(x)+C = ∫ f(x)` เราก็รู้เช่นกันว่า `d/dt (F(x)+C) =f(x)` เมื่อหาอนุพันธ์ ของฟังก์ชัน `f(x)` เทียบกับตัวแปร `x` ค่าคงที่ `C` -- หรือส่วนของฟังก์ชันเดิม `f` ที่ไม่ขึ้นอยู่กับ `x` จะไม่ป้อนอนุพันธ์ ฟังก์ชัน `ฉ(x)` ดังนั้น ข้อมูลเกี่ยวกับค่าคงที่ C จะหายไปเมื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน `F(x)+C` เราเรียกค่าคงที่นี้ว่า "ค่าคงที่ของการบูรณาการ" ตัวดำเนินการ `∫ ` ไม่สามารถกู้คืนค่าคงที่ `C` ได้ด้วยตัวเอง แม้ว่าการดำเนินการบูรณาการจะไม่สามารถสร้างค่าของค่าคงที่ได้ด้วยตัวเอง แต่ก็มักจะเป็นไปได้ที่จะได้มาจากแหล่งอื่น แหล่งที่มาทั่วไปของค่าคงที่ที่น่าสนใจคือการดูที่ "เงื่อนไขขอบเขต" ตัวอย่าง `เงื่อนไขขอบเขต` คือการรู้ว่า `F(x)=0` ที่ `x=0` หรืออีกนัยหนึ่งคือ `F(0)=0` เมื่อมีข้อมูลเพิ่มเติมนี้ เราก็สามารถแก้ค่าคงที่ C ได้ ในตัวอย่างนี้: ``` x*ln(x)-x+C = 0 ``` โดยที่ `x=0`, ให้ผล: ``` 0*ln (0)-0+C=0, ``` แม้ว่า `ln(0)` จะไม่ได้ถูกกำหนดไว้ แต่เราจะใช้มันเพียง `0` ครั้งเท่านั้น ดังนั้น ปัญหาจึงลดความซับซ้อนลงเป็น: ``` C=0 ``` ตัวอย่างที่นำเสนอไม่ใช่เพียงเงื่อนไขขอบเขตที่เป็นไปได้เท่านั้น เราสามารถระบุค่าของฟังก์ชัน ณ จุดอื่นที่ไม่ใช่ `x=0` หรือข้อจำกัดที่ซับซ้อนกว่านี้ได้ โปรดทราบด้วยว่าในปัญหาในทางปฏิบัติหลายประการ การกู้คืน C ค่าคงที่นั้นไม่จำเป็น บางครั้งอาจเพียงพอที่จะสรุปได้ว่า `C==0` หรือปล่อยให้การพิจารณาขั้นปลายน้ำตัดสินใจ
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence