L'anneau endomorphique est un objet algébrique important en cryptographie basée sur la théorie des courbes elliptiques. Un anneau endomorphique d'une courbe elliptique E est un sous-anneau de l'anneau d'endomorphismes de E, qui est l'ensemble des endomorphismes de E qui préservent la structure de groupe de E.

D'autre part, un graphe d'isogénies supersingulaires est un graphe qui représente les isogénies entre courbes elliptiques supersingulières sur un corps fini. Les nœuds du graphe représentent les courbes elliptiques, et les arêtes représentent les isogénies entre les courbes.

Le lien entre ces deux objets vient du fait que l'anneau endomorphique d'une courbe elliptique supersingulière est un anneau de type cyclotomique. Cela signifie qu'il est isomorphe à un quotient de l'anneau des entiers d'un corps cyclotomique. De plus, il est connu que les anneaux cyclotomiques sont étroitement liés à la théorie des nombres et à la géométrie algébrique.

En utilisant ces résultats, on peut montrer que le problème de l'anneau endomorphique est équivalent à celui d'un chemin à travers un graphe d'isogénies supersingulaires. Plus précisément, trouver un isomorphisme d'un anneau endomorphique à un anneau d'entiers dans un corps cyclotomique est équivalent à trouver un chemin dans le graphe d'isogénies supersingulaires entre deux courbes elliptiques supersingulières données.

En résumé, le lien entre le problème de l'anneau endomorphique et le graphe d'isogénies supersingulaires découle de la structure algébrique de l'anneau d'endomorphismes et de la géométrie des courbes elliptiques supersingulières.
วงแหวนเอนโดมอร์ฟิกเป็นวัตถุพีชคณิตที่สำคัญในการเข้ารหัสตามทฤษฎีของเส้นโค้งรูปไข่ วงแหวนเอนโดมอร์ฟิกของเส้นโค้งรูปไข่ E เป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของ E ซึ่งเป็นเซตของเอนโดมอร์ฟิซึมของ E ที่คงโครงสร้างกลุ่มของ E ไว้ ในทางกลับกัน กราฟ d ไอโซจีนีเหนือเอกพจน์คือกราฟที่แสดงถึง ไอโซจีนีระหว่างเส้นโค้งรูปไข่เหนือเอกพจน์บนสนามที่มีขอบเขตจำกัด โหนดของกราฟแสดงถึงเส้นโค้งรูปวงรี และขอบแสดงถึงลักษณะเฉพาะระหว่างเส้นโค้ง ความเชื่อมโยงระหว่างวัตถุทั้งสองนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าวงแหวนเอนโดมอร์ฟิกของเส้นโค้งรูปไข่เหนือเอกพจน์เป็นวงแหวนประเภทไซโคลโตมิก ซึ่งหมายความว่ามันเป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลหารของวงแหวนของจำนวนเต็มของสนามไซโคลโตมิก นอกจากนี้ วงแหวนไซโคลโตมิกยังเป็นที่รู้จักกันว่ามีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต จากการใช้ผลลัพธ์เหล่านี้ เราสามารถแสดงให้เห็นว่าปัญหาวงแหวนเอนโดมอร์ฟิกนั้นเทียบเท่ากับปัญหาของเส้นทางผ่านกราฟของไอโซจีนีที่เหนือเอกพจน์ แม่นยำยิ่งขึ้น การค้นหาไอโซมอร์ฟิซึมจากวงแหวนเอนโดมอร์ฟิกไปจนถึงวงแหวนของจำนวนเต็มในสนามไซโคลโตมิกนั้นเทียบเท่ากับการค้นหาเส้นทางในกราฟของไอโซจีนีเหนือเอกพจน์ระหว่างเส้นโค้งรูปไข่เหนือเอกพจน์สองเส้นโค้งที่กำหนด โดยสรุป ความเชื่อมโยงระหว่างปัญหาวงแหวนเอนโดมอร์ฟิกและกราฟไอโซจีนีเหนือเอกพจน์เกิดขึ้นจากโครงสร้างพีชคณิตของวงแหวนเอนโดมอร์ฟิกและเรขาคณิตของเส้นโค้งรูปไข่เหนือเอกพจน์
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence