The reconstruction problem is ill-posed because it does not satisfy one or more of the three conditions for a well-posed problem: existence, uniqueness, and stability of the solution. For example, in CT imaging, if the number of projections is insufficient or the angular range is incomplete, then there may be no solution or multiple solutions that fit the measurements. Moreover, even if there is a unique solution, it may be highly sensitive to noise or errors in the measurements, leading to artifacts or distortions in the reconstructed image.

To resolve this problem in the computer, regularization and approximation methods are used. These methods introduce some prior information or constraints on the solution space to reduce its dimensionality and complexity1. For example, one can assume that the solution has some smoothness properties or sparsity patterns that can be enforced by adding a regularization term to the cost function2. Alternatively, one can approximate the inverse operator by using a truncated singular value decomposition (SVD) or a generalized inverse matrix that reduces its condition number1.

The resolution limits of image reconstruction depend on several factors, such as measurement noise level, sampling rate, detector size, and geometry. One way to derive these limits is to use Fourier analysis and examine how different spatial frequencies are affected by these factors. For example, in CT imaging, one can use the Radon transform and Fourier slice theorem to relate projections and images in the frequency domain. Then one can estimate how much information is lost due to noise filtering or limited angular range by looking at how different frequency components are attenuated or missing. Similarly, in MRI imaging, one can use k-space analysis and Nyquist theorem to relate Fourier coefficients and images in frequency domain. Then one can estimate how much information is lost due to undersampling or aliasing by looking at how different frequency components are distorted or overlapped.
ปัญหาการฟื้นฟูนั้นไม่ถูกต้อง เนื่องจากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขหนึ่งหรือหลายข้อจากสามเงื่อนไขสำหรับปัญหาที่ตั้งไว้อย่างดี นั่นคือ การมีอยู่ เอกลักษณ์ และความมั่นคงของวิธีแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น ในการถ่ายภาพ CT หากจำนวนเส้นโครงไม่เพียงพอหรือช่วงเชิงมุมไม่สมบูรณ์ ก็อาจไม่มีวิธีแก้ปัญหาหรือหลายวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะกับการวัด ยิ่งไปกว่านั้น แม้ว่าจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว แต่ก็อาจมีความไวสูงต่อสัญญาณรบกวนหรือข้อผิดพลาดในการวัด ซึ่งนำไปสู่สิ่งแปลกปลอมหรือการบิดเบือนในภาพที่สร้างขึ้นใหม่ เมื่อต้องการแก้ไขปัญหานี้ในคอมพิวเตอร์ จะใช้วิธีการทำให้เป็นมาตรฐานและการประมาณ วิธีการเหล่านี้จะแนะนำข้อมูลหรือข้อจำกัดก่อนหน้านี้เกี่ยวกับพื้นที่โซลูชันเพื่อลดมิติและความซับซ้อน1 ตัวอย่างเช่น เราสามารถสรุปได้ว่าโซลูชันมีคุณสมบัติความเรียบหรือรูปแบบการกระจายตัวที่สามารถบังคับใช้ได้โดยการเพิ่มเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานให้กับฟังก์ชันต้นทุน อีกทางหนึ่ง เราสามารถประมาณค่าโอเปอเรเตอร์ผกผันได้โดยใช้การสลายตัวของค่าเอกพจน์ที่ถูกตัดทอน (SVD) หรือเมทริกซ์ผกผันทั่วไปที่ลดเงื่อนไขหมายเลข 1 ขีดจำกัดความละเอียดของการสร้างภาพขึ้นใหม่ขึ้นอยู่กับหลายปัจจัย เช่น ระดับเสียงในการวัด อัตราการสุ่มตัวอย่าง ขนาดเครื่องตรวจจับ และรูปทรง วิธีหนึ่งในการได้มาซึ่งขีดจำกัดเหล่านี้คือการใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์และตรวจสอบว่าปัจจัยเหล่านี้ได้รับผลกระทบจากความถี่เชิงพื้นที่ที่แตกต่างกันอย่างไร ตัวอย่างเช่น ในการถ่ายภาพ CT เราสามารถใช้ทฤษฎีบทการแปลงเรดอนและฟูเรียร์สไลซ์เพื่อเชื่อมโยงการฉายภาพและภาพในโดเมนความถี่ จากนั้นเราสามารถประมาณได้ว่าข้อมูลสูญหายไปมากน้อยเพียงใดเนื่องจากการกรองสัญญาณรบกวนหรือช่วงเชิงมุมที่จำกัด โดยดูว่าส่วนประกอบความถี่ต่างๆ ถูกลดทอนหรือหายไปอย่างไร ในทำนองเดียวกัน ในการถ่ายภาพด้วย MRI เราสามารถใช้การวิเคราะห์ k-space และทฤษฎีบท Nyquist เพื่อเชื่อมโยงค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์และรูปภาพในโดเมนความถี่ จากนั้นเราสามารถประมาณได้ว่าข้อมูลสูญหายไปมากน้อยเพียงใดเนื่องจากการสุ่มตัวอย่างต่ำหรือนามแฝง โดยดูว่าส่วนประกอบความถี่ต่างๆ บิดเบี้ยวหรือทับซ้อนกันอย่างไร
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence