Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению {\displaystyle (0,1)\times S^{2}}(0,1)\times S^{2}), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии {\displaystyle M}M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие {\displaystyle M}M можно представить как набор сферических пространственных форм {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}S^{3}/\Gamma _{i}, соединённых друг с другом трубками {\displaystyle [0,1]\times S^{2}}[0,1]\times S^{2}. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что {\displaystyle M}M диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}S^{3}/\Gamma _{i} и более того все {\displaystyle \Gamma _{i}}\Gamma _{i} тривиальны. Таким образом, {\displaystyle M}M является связной суммой набора сфер, то есть сферой.
การไหลของ Ricci เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเฉพาะที่คล้ายกับสมการความร้อน ช่วยให้คุณสามารถเปลี่ยนรูปเมตริก Riemannian บนท่อร่วมไอดีได้ แต่ในกระบวนการเปลี่ยนรูปการก่อตัวของ "เอกพจน์" เป็นไปได้ - จุดที่ความโค้งมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดและการเปลี่ยนรูปไม่สามารถดำเนินต่อไปได้ ขั้นตอนหลักในการพิสูจน์คือการจำแนกภาวะเอกฐานดังกล่าวในกรณีเชิงสามมิติ เมื่อเข้าใกล้สภาวะเอกฐาน การไหลจะหยุดลงและทำ "การผ่าตัด" - ชิ้นส่วนเล็กๆ ที่เชื่อมต่ออยู่จะถูกโยนออกหรือ "คอ" ถูกตัดออก (นั่นคือ ส่วนที่ต่างกันของบริเวณเปิดไปยังผลิตภัณฑ์โดยตรง {\displaystyle (0,1 )\times S^{2}}(0,1 )\times S^{2}) และผลลัพธ์สองรูจะถูกผนึกด้วยลูกบอลสองลูก ดังนั้นหน่วยเมตริกของท่อร่วมผลลัพธ์จึงค่อนข้างราบรื่น - หลังจากนั้นการเสียรูปยังคงดำเนินต่อไป ตามกระแสริชชี่ กระบวนการที่อธิบายไว้ข้างต้นเรียกว่า Ricci Flow พร้อมการผ่าตัด การจำแนกภาวะเอกฐานช่วยให้เราสรุปได้ว่า "ชิ้นส่วนที่ถูกโยนทิ้ง" แต่ละชิ้นมีความแตกต่างกันไปเป็นรูปแบบอวกาศทรงกลม เมื่อพิสูจน์การคาดเดาของปัวน์กาเร เราจะเริ่มต้นด้วยหน่วยเมตริกรีแมนเนียนตามอำเภอใจบนท่อร่วมสามมิติที่เชื่อมต่ออย่างง่ายๆ {\displaystyle M}M และใช้การไหลของริชชี่กับการผ่าตัด ขั้นตอนสำคัญคือการพิสูจน์ว่ากระบวนการนี้ "ทิ้ง" ทุกสิ่ง ซึ่งหมายความว่าท่อร่วมดั้งเดิม {\displaystyle M}M สามารถแสดงเป็นชุดของรูปแบบเชิงพื้นที่ทรงกลม {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}S^{3}/\Gamma _{i} , เชื่อมต่อถึงกันกับเพื่อนด้วยไปป์ {\displaystyle [0,1]\times S^{2}}[0,1]\times S^{2} การคำนวณกลุ่มพื้นฐานแสดงให้เห็นว่า {\displaystyle M}M นั้นแตกต่างกับผลรวมที่เชื่อมโยงกันของเซตของรูปแบบเชิงพื้นที่ {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}S^{3}/\Gamma _ {i} และยิ่งไปกว่านั้น {\displaystyle \Gamma _{i}}\Gamma _{i} ทั้งหมดเป็นเรื่องเล็กน้อย ดังนั้น {\displaystyle M}M คือผลบวกที่เชื่อมต่อกันของเซตของทรงกลม ซึ่งก็คือทรงกลม
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence