Para demostrar que el baricentro, ortocentro y circuncentro de un triángulo están alineados en la misma recta, podemos utilizar la propiedad de que el circuncentro es el punto medio del segmento que une el ortocentro y el baricentro.

Para demostrar esto, primero definamos los tres puntos:

-El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de las medianas del triángulo, es decir, el punto donde se encuentran las tres medianas que dividen al triángulo en tres partes iguales.
-El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo, es decir, el punto donde se encuentran las tres líneas perpendiculares que pasan por cada vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto.
-El circuncentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres mediatrices del triángulo, es decir, el punto donde se encuentran las tres líneas perpendiculares que pasan por el punto medio de cada lado del triángulo.

Ahora, si trazamos la mediana que une el vértice A del triángulo con el punto medio M del lado opuesto, sabemos que esta mediana pasa por el baricentro G del triángulo. De manera similar, si trazamos la altura que parte del vértice A y la mediatriz que pasa por el punto medio M del lado opuesto, sabemos que estas dos líneas se cruzan en el ortocentro H del triángulo.

Por último, si trazamos la mediatriz que pasa por el lado opuesto al vértice A, sabemos que esta mediatriz cruza el punto medio M del lado opuesto y el punto que coincide con la intersección de la altura que parte de A y la mediatriz perpendicular al lado opuesto, que es el punto O, el circuncentro del triángulo.

Entonces, sabemos que:

-La mediana que une el vértice A con el punto medio M del lado opuesto, pasa por el baricentro G.
-La altura que parte del vértice A y la mediatriz que pasa por el punto medio M del lado opuesto, se cruzan en el ortocentro H.
-La mediatriz que pasa por el lado opuesto al vértice A, cruza el punto medio M del lado opuesto y el circuncentro O.

Como O es el punto medio del segmento HG, entonces los puntos G, H y O están alineados en la misma recta. Por lo tanto, hemos demostrado que el baricentro, ortocentro y circuncentro de un triángulo están alineados en la misma recta.
เพื่อแสดงว่าแบรีเซ็นเตอร์ ออร์โธเซ็นเตอร์ และเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมอยู่ในแนวเดียวกัน เราสามารถใช้คุณสมบัติที่ศูนย์กลางเส้นรอบวงคือจุดกึ่งกลางของส่วนที่เชื่อมระหว่างออร์โธเซ็นเตอร์และแบรีเซ็นเตอร์ เพื่อสาธิตสิ่งนี้ ก่อนอื่นเรามานิยามจุดสามจุดกันก่อน: -จุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมคือจุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือจุดที่ค่ามัธยฐานทั้งสามที่แบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันมาบรรจบกัน -จุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของรูปสามเหลี่ยมคือจุดตัดของส่วนสูงสามด้านของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือจุดที่เส้นตั้งฉาก 3 เส้นที่ผ่านแต่ละจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมและผ่านจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมาบรรจบกัน -จุดศูนย์กลางเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมคือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง 3 เส้นของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือจุดที่เส้นตั้งฉาก 3 เส้นที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมมาบรรจบกัน ทีนี้ ถ้าเราวาดค่ามัธยฐานที่เชื่อมจุดยอด A ของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลาง M ของด้านตรงข้าม เรารู้ว่าค่ามัธยฐานนี้ผ่านจุดเซนทรอยด์ G ของสามเหลี่ยม ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราวาดระดับความสูงจากจุดยอด A และเส้นแบ่งครึ่งผ่านจุดกึ่งกลาง M ของด้านตรงข้าม เราจะรู้ว่าเส้นทั้งสองนี้ตัดกันที่จุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ H ของรูปสามเหลี่ยม สุดท้ายนี้ หากเราวาดเส้นแบ่งครึ่งที่ผ่านด้านตรงข้ามกับจุดยอด A เราจะรู้ว่าเส้นแบ่งครึ่งนี้ตัดผ่านจุดกึ่งกลาง M ของด้านตรงข้ามและจุดที่ตรงกับจุดตัดของความสูงที่เริ่มต้นจาก A และเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับ ด้านตรงข้ามคือจุด O ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นเราจึงรู้ว่า: -ค่ามัธยฐานที่เชื่อมจุดยอด A กับจุดกึ่งกลาง M ของด้านตรงข้าม ผ่านจุดศูนย์ถ่วง G -ความสูงที่เริ่มต้นจากจุดยอด A และเส้นแบ่งครึ่งที่ผ่านจุดกึ่งกลาง M ของ ด้านตรงข้าม ตัดกันที่จุดออร์โธเซ็นเตอร์ H - เส้นแบ่งครึ่งที่ผ่านด้านตรงข้ามจุดยอด A จะข้ามจุดกึ่งกลาง M ของด้านตรงข้ามและจุดศูนย์กลางเส้นรอบวง O เนื่องจาก O เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน HG ดังนั้นจุด G, H และหรืออยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นเราจึงได้แสดงให้เห็นว่าเซนทรอยด์ ออร์โทเซนเตอร์ และศูนย์กลางเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมนั้นอยู่ในแนวเดียวกัน
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence