Here is the step-by-step procedure for finding the likelihood function and maximum likelihood estimators (MLEs) for parameters of a normal distribution:

1. Specify the probability density function (PDF) of a normal distribution with parameters $\mu$ and $\sigma^2$.
The PDF is: $f(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

2. Given a random sample $x_1, x_2, ..., x_n$ of size $n$ from this distribution, the likelihood function is the joint probability density of the sample evaluated at the observed values:
$L(\mu,\sigma^2|x_1, x_2, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i|\mu,\sigma^2)$

3. Take the natural logarithm of the likelihood function:
$l(\mu,\sigma^2|x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n} \log f(x_i|\mu,\sigma^2)$

4. Find the MLEs by maximizing the log-likelihood function:
$\hat{\mu}, \hat{\sigma^2} = \arg \max_{\mu,\sigma^2} l(\mu,\sigma^2|x_1, x_2, ..., x_n)$
ต่อไปนี้เป็นขั้นตอนทีละขั้นตอนในการค้นหาฟังก์ชันความน่าจะเป็นและตัวประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด (MLE) สำหรับพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบปกติ: 1. ระบุฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) ของการแจกแจงแบบปกติด้วยพารามิเตอร์ $\mu$ และ $ \ซิกม่า^2$ PDF คือ: $f(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^ 2}{2\sigma^2}}$ 2 เมื่อพิจารณาตัวอย่างสุ่ม $x_1, x_2, ..., x_n$ ขนาด $n$ จากการแจกแจงนี้ ฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นร่วมของกลุ่มตัวอย่างที่ประเมินที่ ค่าที่สังเกตได้: $L(\mu,\sigma^2|x_1, x_2, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i|\mu,\sigma^2)$ 3. หาลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชันความน่าจะเป็น: $l(\mu,\sigma^2|x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n} \log f(x_i| \mu,\sigma^2)$ 4. ค้นหา MLE โดยเพิ่มฟังก์ชัน log-likelihood ให้สูงสุด: $\hat{\mu}, \hat{\sigma^2} = \arg \max_{\mu,\sigma^ 2} ลิตร(\mu,\sigma^2|x_1, x_2, ..., x_n)$
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence