Ядерная регрессия (калька с англ. “kernel regression”) — непараметрический статистический метод, позволяющий оценить условное математическое ожидание случайной величины. Его смысл заключается в поиске нелинейного отношения между парой случайных величин X и Y.

В любой непараметрической регрессии условное матожидание величины Y относительно величины X можно записать так:
{\displaystyle \operatorname {E} (Y|X)=m(X)},
где m — некая неизвестная функция.

В свою очередь, Надарая и Уотсон одновременно (в 1964 году) предложили оценивать m как локально взвешенное среднее, где веса определялись бы ядром. Оценка Надарая — Уотсона:
{\displaystyle {\widehat {m}}_{h}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})}}},
где K — ядро с шириной окна h. Знаменатель представляет собой весовой член с единичной суммой.

Получение для конкретного элемента выборки:
{\displaystyle \operatorname {E} (Y|X=x)=\int yf(y|x)dy=\int y{\frac {f(x,y)}{f(x)}}dy}.
Находя ядерную оценку плотности для совместного распределения f(x,y) и распределения f(x) с ядром K,
{\displaystyle {\hat {f}}(x,y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)},
{\displaystyle {\hat {f}}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)},
получаем:
{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)=\int {\frac {y\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}}dy},
{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)\int y\,K_{h}\left(y-y_{i}\right)dy}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}}},
{\displaystyle \operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)}}},

это и есть оценка Надарая — Уотсона.
การถดถอยเคอร์เนล (จากภาษาอังกฤษว่า "การถดถอยเคอร์เนล") เป็นวิธีการทางสถิติแบบไม่มีพารามิเตอร์ ซึ่งช่วยให้คุณสามารถประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แบบมีเงื่อนไขของตัวแปรสุ่มได้ ความหมายของมันคือการค้นหาความสัมพันธ์แบบไม่เชิงเส้นระหว่างคู่ของตัวแปรสุ่ม X และ Y ในการถดถอยแบบไม่มีพารามิเตอร์ใดๆ การคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของค่า Y ที่สัมพันธ์กับค่า X สามารถเขียนได้ดังนี้: {\displaystyle \operatorname {E} (Y|X)=m(X)} โดยที่ m คือฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก ในทางกลับกัน นาดารายาและวัตสันเสนอการประมาณค่า m พร้อมกัน (ในปี พ.ศ. 2507) เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเฉพาะที่ ซึ่งน้ำหนักจะถูกกำหนดโดยเคอร์เนล ค่าประมาณของนาดาราจ-วัตสัน: {\displaystyle {\widehat {m}__{h}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i} )y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})}}} โดยที่ K คือเคอร์เนลที่มีความกว้างของหน้าต่าง h ตัวส่วนคือคำถ่วงน้ำหนักที่มีผลรวมเป็นหน่วย การได้รับองค์ประกอบตัวอย่างเฉพาะ: {\displaystyle \operatorname {E} (Y|X=x)=\int yf(y|x)dy=\int y{\frac {f(x,y)}{f( x )}} ดี} การหาค่าประมาณความหนาแน่นของเคอร์เนลสำหรับการกระจายตัวของข้อต่อ f(x,y) และการแจกแจงของ f(x) ด้วยเคอร์เนล K, {\displaystyle {\hat {f}}(x,y)={\frac {1}{n }}\ ผลรวม _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)}, {\ displaystyle {\ หมวก {f}}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{i}\right) } เราได้รับ : {\displaystyle \operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)=\int {\frac {y\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left (x-x_ {i}\right)K_{h}\left(y-y_{i}\right)}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_ {i}\ right)}}dy}, {\displaystyle \operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}K_{h }\left( x-x_{i}\right)\int y\,K_{h}\left(y-y_{i}\right)dy}{\sum _{i=1}^{n}K_ {h}\ left(x-x_{i}\right)}}}, {\displaystyle \operatorname {\hat {E}} (Y|X=x)={\frac {\sum _{i=1 }^{n }K_{h}\left(x-x_{i}\right)y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}K_{h}\left(x-x_{ i}\right )}}} นี่คือค่าประมาณของ Nadaraj-Watson
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence