The Proper Orthogonal Decomposition (POD) Galerkin Reduced Order Model (ROM) is a technique used to reduce the computational complexity of Finite Element Analysis (FEA). It involves the use of a low-dimensional subspace of the original FEA space to approximate the solution of the full problem. The method can be summarized in three steps: (1) construction of the reduced basis using POD, (2) projection of the linear operators into the reduced basis, and (3) projection of the nonlinear operators into the reduced basis.

Scalar Product with the Mass Matrix:
The POD-Galerkin ROM method starts with defining a scalar product with the mass matrix of the system. The mass matrix is a positive definite matrix that relates the velocity and acceleration of the system. The scalar product is defined as:

⟨u,v⟩_M = ∫ Ω u v dΩ

where Ω is the domain of the system, u and v are functions defined on Ω, and M is the mass matrix. This scalar product defines the norm of the system and the inner product used in the POD method.

Proper Orthogonal Decomposition (POD):
The POD is a mathematical technique used to extract the dominant features of a set of data. In the context of FEA, POD is used to extract the dominant modes of the system from a set of snapshots of the solution. These snapshots are obtained by solving the FEA problem for different input parameters or initial conditions. The POD method then extracts the dominant modes of the system by performing a Singular Value Decomposition (SVD) on the snapshot matrix. The SVD of the snapshot matrix X is given by:

X = UΣV^T

where U and V are orthogonal matrices, and Σ is a diagonal matrix containing the singular values of X. The dominant modes of the system are contained in the first few columns of U and V, corresponding to the largest singular values in Σ.

Projection of Linear Operators:
After the reduced basis is constructed using the POD method, the linear operators of the system can be projected into the reduced basis. The linear operators are the stiffness matrix K and the damping matrix C, which are defined by:

Ku = f
Cv = -Ku_dot

where u and v are the displacement and velocity vectors of the system, f is the force vector, and u_dot is the time derivative of u. To project the linear operators into the reduced basis, we define the reduced stiffness and damping matrices, K_r and C_r, as:

K_r = Φ^T K Φ
C_r = Φ^T C Φ

where Φ is the matrix containing the reduced basis vectors, and Φ^T is its transpose. The reduced system can then be written as:

K_r u_r = f_r
C_r v_r = -K_r u_r_dot

where u_r and v_r are the reduced displacement and velocity vectors, and f_r is the reduced force vector.

Projection of Nonlinear Operators:
The projection of the nonlinear operators into the reduced basis is more complicated than the projection of the linear operators. The nonlinear operators are the result of the nonlinear terms in the governing equations, and they cannot be projected directly into the reduced basis. Instead, the nonlinear terms are approximated using a Galerkin projection, which involves projecting the nonlinear terms onto the reduced basis. The Galerkin projection of the nonlinear term is given by:

N(u) ≈ Φ^T N(Φu)

where N(u) is the nonlinear term of the governing equation, Φ is the matrix containing the reduced basis vectors, and Φu is the approximation of the full solution u in the reduced basis. The projected nonlinear term is then added to the reduced linear system, resulting in the reduced nonlinear system:

K_r u_r = f_r + Φ^T N(Φu_r)
C_r v_r = -K_r u_r_dot

where N(Φu_r) is the Galerkin projection of the nonlinear term onto the reduced basis.

In summary, the POD-Galerkin ROM method involves the construction of a reduced basis using the POD method, followed by the projection of the linear and nonlinear operators into the reduced basis. The reduced system can then be solved using standard numerical techniques. The method provides a significant reduction in computational cost compared to the full FEA problem, while maintaining a high degree of accuracy.
แบบจำลองลำดับการสลายตัวมุมฉากที่เหมาะสม (POD) Galerkin (ROM) เป็นเทคนิคที่ใช้เพื่อลดความซับซ้อนในการคำนวณของการวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด (FEA) มันเกี่ยวข้องกับการใช้พื้นที่ย่อยมิติต่ำของพื้นที่ FEA ดั้งเดิมเพื่อประมาณวิธีแก้ปัญหาของปัญหาทั้งหมด วิธีการสามารถสรุปได้เป็น 3 ขั้นตอน: (1) การสร้างพื้นฐานแบบรีดิวซ์โดยใช้ POD (2) การฉายภาพตัวดำเนินการเชิงเส้นให้เป็นเกณฑ์รีดิวซ์ และ (3) การฉายภาพตัวดำเนินการแบบไม่เชิงเส้นเป็นเกณฑ์รีดิวซ์ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่มีเมทริกซ์มวล: วิธี POD-Galerkin ROM เริ่มต้นด้วยการกำหนดผลิตภัณฑ์สเกลาร์ด้วยเมทริกซ์มวลของระบบ เมทริกซ์มวลเป็นเมทริกซ์ที่แน่นอนเชิงบวกซึ่งสัมพันธ์กับความเร็วและความเร่งของระบบ ผลคูณสเกลาร์ถูกกำหนดเป็น: ⟨u,v⟩_M = ∫ Ω uv dΩ โดยที่ Ω คือโดเมนของระบบ u และ v เป็นฟังก์ชันที่กำหนดบน Ω และ M คือเมทริกซ์มวล ผลคูณสเกลาร์นี้กำหนดบรรทัดฐานของระบบและผลิตภัณฑ์ภายในที่ใช้ในวิธี POD การสลายตัวแบบมุมฉากที่เหมาะสม (POD): POD เป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการแยกคุณลักษณะเด่นของชุดข้อมูล ในบริบทของ FEA นั้น POD ใช้เพื่อแยกโหมดที่โดดเด่นของระบบออกจากชุดสแน็ปช็อตของโซลูชัน สแน็ปช็อตเหล่านี้ได้มาจากการแก้ปัญหา FEA สำหรับพารามิเตอร์อินพุตหรือเงื่อนไขเริ่มต้นที่แตกต่างกัน จากนั้นวิธี POD จะแยกโหมดที่โดดเด่นของระบบโดยดำเนินการ Singular Value Decomposition (SVD) บนเมทริกซ์สแน็ปช็อต SVD ของเมทริกซ์สแน็ปช็อต X กำหนดโดย: X = UΣV^T โดยที่ U และ V เป็นเมทริกซ์มุมฉาก และ Σ คือเมทริกซ์แนวทแยงที่มีค่าเอกพจน์ของ X โหมดเด่นของระบบจะอยู่ในสองสามคอลัมน์แรก ของ U และ V ซึ่งสอดคล้องกับค่าเอกพจน์ที่ใหญ่ที่สุดใน Σ การฉายภาพตัวดำเนินการเชิงเส้น: หลังจากสร้างพื้นฐานแบบรีดิวซ์โดยใช้วิธี POD แล้ว ตัวดำเนินการเชิงเส้นของระบบสามารถฉายภาพเป็นพื้นฐานแบบรีดิวซ์ได้ ตัวดำเนินการเชิงเส้นคือเมทริกซ์ความแข็ง K และเมทริกซ์การทำให้หมาด ๆ C ซึ่งกำหนดโดย: Ku = f Cv = -Ku_dot โดยที่ u และ v เป็นเวกเตอร์การกระจัดและความเร็วของระบบ f คือเวกเตอร์แรง และ u_dot คือ อนุพันธ์ของเวลาของคุณ ในการฉายตัวดำเนินการเชิงเส้นให้เป็นค่าพื้นฐานที่ลดลง เราจะกำหนดเมทริกซ์ความแข็งที่ลดลงและการหน่วง K_r และ C_r ดังที่: K_r = Φ^TK Φ C_r = Φ^TC Φ โดยที่ Φ คือเมทริกซ์ที่มีเวกเตอร์พื้นฐานที่ลดลง และ Φ ^T คือทรานสโพสของมัน ระบบรีดิวซ์สามารถเขียนเป็น: K_r u_r = f_r C_r v_r = -K_r u_r_dot โดยที่ u_r และ v_r เป็นเวกเตอร์การกระจัดและความเร็วที่ลดลง และ f_r คือเวกเตอร์แรงรีดิวซ์ การฉายภาพของตัวดำเนินการไม่เชิงเส้น: การฉายภาพของตัวดำเนินการไม่เชิงเส้นเป็นค่าพื้นฐานที่ลดลงนั้นซับซ้อนกว่าการฉายภาพของตัวดำเนินการเชิงเส้น ตัวดำเนินการไม่เชิงเส้นเป็นผลจากพจน์ไม่เชิงเส้นในสมการควบคุม และไม่สามารถฉายลงในค่าฐานลดรูปได้โดยตรง แต่เงื่อนไขที่ไม่เชิงเส้นจะถูกประมาณโดยใช้การฉายภาพ Galerkin ซึ่งเกี่ยวข้องกับการฉายเงื่อนไขที่ไม่เชิงเส้นบนพื้นฐานที่ลดลง เส้นโครง Galerkin ของพจน์ไม่เชิงเส้นให้ไว้โดย: N(u) หยาบคาย Φ^TN(Φu) โดยที่ N(u) คือพจน์ไม่เชิงเส้นของสมการควบคุม Φ คือเมทริกซ์ที่มีเวกเตอร์พื้นฐานรีดิวซ์ และ Φu คือ การประมาณสารละลายทั้งหมด u ในแบบรีดิวซ์ จากนั้นพจน์ที่ไม่เชิงเส้นที่คาดการณ์ไว้จะถูกเพิ่มเข้าไปในระบบเชิงเส้นตรงแบบรีดิวซ์ ส่งผลให้ระบบไม่เชิงเส้นลดลง: K_r u_r = f_r + Φ^TN(Φu_r) C_r v_r = -K_r u_r_dot โดยที่ N(Φu_r) คือเส้นโครง Galerkin ของพจน์ที่ไม่เชิงเส้น บนพื้นฐานที่ลดลง โดยสรุป วิธี POD-Galerkin ROM เกี่ยวข้องกับการสร้างพื้นฐานแบบรีดิวซ์โดยใช้วิธี POD ตามด้วยการฉายภาพของตัวดำเนินการเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นเป็นพื้นฐานรีดิวซ์ ระบบรีดิวซ์สามารถแก้ไขได้โดยใช้เทคนิคตัวเลขมาตรฐาน วิธีการนี้ช่วยลดต้นทุนการคำนวณลงได้มากเมื่อเทียบกับปัญหา FEA แบบเต็ม โดยยังคงรักษาระดับความแม่นยำในระดับสูงไว้ได้
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence