user
Tarkastellaan 10 henkilön ryhmää {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J}, josta on tarkoitus valita 4 henkilön komitea. Kun otetaan huomioon, että (1) A:ta ja B:tä ei pidä valita yhdessä ja että (2) A:ta, C:tä ja F:ää ei pidä valita yhdessä, kuinka monta tapaa on valita tällainen komitea?
assistant
Binomiteoria on kombinatoriikan yhteydessä voimakas matemaattinen periaate, jonka avulla voimme laajentaa lausekkeita muodossa (a + b)^n, jossa a ja b ovat mitä tahansa reaalilukuja ja n on ei-negatiivinen kokonaisluku. Lause tarjoaa systemaattisen tavan löytää termien kertoimet binomilausekkeen laajennetussa muodossa.

Binomiteorian mukaan mille tahansa ei-negatiiviselle kokonaisluvulle 'n' ja mille tahansa reaaliluvuille 'a' ja 'b':

(a + b)^n = Σ [C(n, k) * a^(n-k) * b^k]

jossa yhteenlasku (Σ) kulkee k = 0:sta k = n:ään ja C(n, k) edustaa binomikerrointa, joka on tapojen lukumäärä valita "k" kohdetta "n" kohteen joukosta, jota kutsutaan myös nimellä "n valitsee k" tai C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), jossa '!' tarkoittaa faktoriaalifunktiota.

Binomikertoimet voidaan esittää myös Pascalin kolmion avulla, joka on kolmion muotoinen numerosarja, jossa kukin luku on suoraan sen yläpuolella olevien kahden luvun summa. Pascalin kolmion n:s rivi sisältää (a + b)^n:n binomilaajennuksen kertoimet.

Kombinatoriikassa binomiteoriaa käytetään laskentaongelmien ratkaisemiseen, kuten esineiden järjestämistapojen lukumäärän, tietyn kokoisten osajoukkojen lukumäärän ja tiettyjen tulosten todennäköisyyden määrittämiseen kokeissa.

Esimerkiksi käyttämällä binomialiteoria voimme löytää (a + b)^4:n laajennuksen:

(a + b)^4 = C(4, 0) * a^4 * b^0 + C(4, 1) * a^3 * b^1 + C(4, 2) * a^2 * b^2 + C(4, 3) * a^1 * b^3 + C(4, 4) * a^0 * b^4
           = 1 * a^4 + 4 * a^3 * b + 6 * a^2 * b^2 + 4 * a * b^3 + 1 * b^4
 Vastaus on siis: 176