PL9fwy3NUQKwasVXkhUjp6LPUI_sOpX-0N/4L2irOydHGA.srt

1
00:00:10,020 --> 00:00:15,610
بسم الله الرحمن الرحيم مواصلة ما ابتدأنا به في المرة

2
00:00:15,610 --> 00:00:20,670
الماضية وهو موضوع ال power series طبعًا ابتدينا

3
00:00:20,670 --> 00:00:25,230
فيه المرة الماضية وأخذنا على ذلك أربعة أمثلة و

4
00:00:25,230 --> 00:00:29,950
بنعطي الآن مثالًا بشكل آخر غير الأشكال الأربعة اللي

5
00:00:29,950 --> 00:00:34,790
شفناها في المرة الماضية المثال بقول ما يأتي هات لي

6
00:00:34,790 --> 00:00:40,250
فترة التقارب لل power series اللي قدامنا هذه and 

7
00:00:40,250 --> 00:00:44,290
find the sum of the series as a function وهات لي

8
00:00:44,290 --> 00:00:49,170
مجموع هذه المتسلسلة كدالة يبقى في الأول بدنا نروح

9
00:00:49,170 --> 00:00:55,650
نجيب فترة التقارب لهذه ال series يبقى solution

10
00:00:58,390 --> 00:01:02,470
حابين نتعرف على شكل ال series فبجي بقول summation

11
00:01:02,470 --> 00:01:07,330
من N equal zero to infinity لل X تربيع زائد واحد 

12
00:01:07,330 --> 00:01:13,250
على ثلاثة to the power N الحد الأول بواحد الحد

13
00:01:13,250 --> 00:01:19,110
الثاني X تربيع زائد واحد على ثلاثة الحد الثاني X

14
00:01:19,110 --> 00:01:24,220
تربيع زائد واحد على ثلاثة لكل تربيع بنبقى ماشي

15
00:01:24,220 --> 00:01:30,500
لغاية ما نوصل ل X تربيع زائد واحد على ثلاثة كله to

16
00:01:30,500 --> 00:01:38,080
the power N زائد إلى آخرين يبقى كتبنا ال series

17
00:01:38,080 --> 00:01:42,560
على الشكل اللي قدامنا السؤال هو هل هذه ال series هل هي

18
00:01:42,560 --> 00:01:46,040
من ال series الثلاث المشهورة اللي كنا بنتعامل

19
00:01:46,040 --> 00:01:51,770
معاها طيلة هذا ال chapter بالمرة النهائية يعني هذه

20
00:01:51,770 --> 00:01:55,070
ليست Geometric ليست P Series ليست Harmonic؟

21
00:01:55,070 --> 00:02:00,310
Geometric يعني يعني هي واحدة منها من الثلاث اقسم

22
00:02:00,310 --> 00:02:05,110
الحد هذا على هذا كده إيش بيطلع الجواب أكثر بها زي

23
00:02:05,110 --> 00:02:07,950
واحدة على ثلاثة اقسم هذا على هذا أكثر بها زي

24
00:02:07,950 --> 00:02:12,050
واحدة على ثلاثة يعني كده إذا هذه Geometric Series

25
00:02:12,050 --> 00:02:17,500
Converged إذا كان الأساس تبعها هذا ماله أقل من

26
00:02:17,500 --> 00:02:25,200
الواحد الصحيح يبقى هذه Convergent Geometric Series

27
00:02:25,200 --> 00:02:33,660
إذا كان absolute value لل R لو بدي أسوي absolute

28
00:02:33,660 --> 00:02:39,380
value لإكس تربيع زائد واحد على ثلاثة أقل من مين؟ أقل

29
00:02:39,380 --> 00:02:44,840
من واحد طيب هذه عمرها بتاخد قيمة سالبة تقول

30
00:02:44,840 --> 00:02:49,020
absolute value كتبناها والله شيلناها سياد يبقى هذا

31
00:02:49,020 --> 00:02:54,900
معناه أن ال X تربيع زائد واحد على ثلاثة أقل من مهم

32
00:02:54,900 --> 00:03:00,980
أقل من الواحد أو إن شئتم فقولوا أن هذه convert

33
00:03:00,980 --> 00:03:10,310
geometric إذا كان ال X تربيع زائد واحد أقل من من

34
00:03:10,310 --> 00:03:18,590
ثلاثة وإن شئتم فقولوا X تربيع أقل من اثنين وإذا

35
00:03:18,590 --> 00:03:23,570
أخذنا الجذر التربيعي بيصير absolute value ل X أقل من

36
00:03:23,570 --> 00:03:28,730
square root للاثنين يبقى باجي بقول له the series

37
00:03:28,730 --> 00:03:39,070
converge on the interval على الفترة هذه إيش

38
00:03:39,070 --> 00:03:44,910
معناها؟ X محصورة من سالب جذر اثنين وجذر اثنين، إذا

39
00:03:44,910 --> 00:03:52,380
على الفترة من سالب جذر اثنين إلى جذر اثنين يبقى أنت

40
00:03:52,380 --> 00:03:56,520
هنا من المطلوب الأول قال لي هات لي فترة التقارب لل

41
00:03:56,520 --> 00:04:05,720
power series اللي عندنا أيوة السؤال

42
00:04:05,720 --> 00:04:10,280
بيسأل بيقول أنت كانت بفترة مفتوحة بنعرفش تكون مغلقة

43
00:04:10,280 --> 00:04:15,740
بنقول له تعالى نشوف بنفعله بنفعش إيش سميناها ال

44
00:04:15,740 --> 00:04:20,060
series هذه؟ Geometric وانتش ال geometric converge

45
00:04:22,530 --> 00:04:30,510
طب لو كانت تساوي واحد يعني بنفع نجلها هي؟ هي بنفع؟

46
00:04:30,510 --> 00:04:36,450
خلاص ما يبقى مينفعش ليش؟ لأنه إذا كانت أكبر من أو

47
00:04:36,450 --> 00:04:40,230
تساوي واحد ال series مالها؟ بي vary بقدرش أقول

48
00:04:40,230 --> 00:04:45,170
closed interval وإنما بقول open interval طب

49
00:04:45,170 --> 00:04:48,730
انتهينا من المطلب الأول المطلب الثاني بيقول لي على فترة

50
00:04:48,730 --> 00:04:54,410
التقارب هذه بتجيب لي المجموع تبع السيريز هذه as a

51
00:04:54,410 --> 00:05:03,270
function باجيب أقول له it's sum المجموع تبعها as بدي

52
00:05:03,270 --> 00:05:09,330
أديله capital S capital S يساوي الحد الأول على

53
00:05:09,330 --> 00:05:14,970
واحد ناقص الأساس الأساس يقول X تربيع زائد واحد

54
00:05:14,970 --> 00:05:22,000
على ثلاثة هذه هي اللي هي بدها تساوي من ثلاثة على

55
00:05:22,000 --> 00:05:29,280
مين؟ على ثلاثة ناقص X تربيع ناقص واحد أو إن شئتم 

56
00:05:29,280 --> 00:05:37,700
فقولوا ثلاثة على اثنين ناقص X تربيع سؤال هو أليست

57
00:05:37,700 --> 00:05:45,500
هذه function في X يبقى بناء عليه المجموعة S as a

58
00:05:45,500 --> 00:05:51,480
function of X فالـ F of X بدّه يساوي ثلاثة على

59
00:05:51,480 --> 00:05:58,920
الاثنين ناقص X تربيع المطلوب الثاني من المثال

60
00:06:01,980 --> 00:06:06,340
الآن انتهينا من الجزء الأول من هذا ال section بدنا

61
00:06:06,340 --> 00:06:10,500
ننتقل إلى الجزء الثاني الجزء الثاني من هذا ال

62
00:06:10,500 --> 00:06:14,960
section هو differentiation term by term and

63
00:06:14,960 --> 00:06:22,620
integration term by term يبقى بدنا نيجي اللي هو

64
00:06:22,620 --> 00:06:27,100
differentiation term by term بالنسبة لل power

65
00:06:27,100 --> 00:06:35,000
series يبقى باجي بقول له term by term

66
00:06:35,000 --> 00:06:42,800
differentiation theorem

67
00:06:47,600 --> 00:06:55,200
النص التالي F summation من N equal zero to

68
00:06:55,200 --> 00:07:04,360
infinity ل C N X نقص ال A to the power N converge

69
00:07:04,360 --> 00:07:12,900
for ال A نقص ال R أقل من X أقل من ال A زائد ال R

70
00:07:12,900 --> 00:07:15,880
for some

71
00:07:17,290 --> 00:07:31,270
اللي greater than zero it defines بتعرف

72
00:07:31,270 --> 00:07:40,410
a function هنسميها f of x تساوي هذا ال summation

73
00:07:40,410 --> 00:07:46,050
اللي عندنا summation من n equal zero to infinity

74
00:07:46,560 --> 00:07:54,940
للـCN الـ X نقص الـ A to the power M والـ X بتتحرك

75
00:07:54,940 --> 00:08:04,280
في الفترة من الـ A سالب R إلى الـ A plus R This

76
00:08:04,280 --> 00:08:14,350
function has a derivatives Has derivatives of all

77
00:08:14,350 --> 00:08:19,650
orders

78
00:08:19,650 --> 00:08:31,670
من كل الرتب Inside the interval of convergence

79
00:08:44,360 --> 00:08:49,660
interval of convergence as follow كتابة

80
00:09:25,800 --> 00:09:28,920
النقطة الأولى هي term by term differentiation

81
00:09:28,920 --> 00:09:33,060
theorem والنقطة الثانية term by term integration

82
00:09:33,060 --> 00:09:38,300
theorem خلينا مع النقطة الأولى في الأول فباجي

83
00:09:38,300 --> 00:09:42,700
بقول لو كانت ال series اللي عندنا هذه convert على

84
00:09:42,700 --> 00:09:48,640
الفترة اللي عندنا من a-r أو ال x محصورة من a-r والـ

85
00:09:48,640 --> 00:09:53,160
A زائد R إذا بتذكروا وإحنا لما اتكلمنا في الجزء

86
00:09:53,160 --> 00:09:58,060
النظري تبع ال power series نقول لو عندنا فترة زي

87
00:09:58,060 --> 00:10:05,080
الفترة هذه وأجت A في منتصف الفترة كان هذا نصف قطر

88
00:10:05,080 --> 00:10:11,380
التقارب R وهذا نصف قطر التقارب R يبقى إحداثيات

89
00:10:11,380 --> 00:10:18,180
النقطة هذه A زائد R وإحداثيات النقطة هذه لإيه

90
00:10:18,180 --> 00:10:24,220
الناقصات بعد النقطة هذه ال series مختلفة وقبل

91
00:10:24,220 --> 00:10:29,160
النقطة هذه ال series كذلك مختلفة وفي الداخل هنا ال

92
00:10:29,160 --> 00:10:34,090
series مالها؟ مختلفة بالشكل اللي عندنا هذا فبقول لو

93
00:10:34,090 --> 00:10:37,510
ال series converge على الفترة اللي عندنا هذه it

94
00:10:37,510 --> 00:10:43,170
defines a function يعني ال series هذه يمكن كتابتها

95
00:10:43,170 --> 00:10:48,230
على شكل function f of x تساوي هذا ال summation

96
00:10:48,230 --> 00:10:52,450
صارت هذه فترة التقارب لهذه الدالة اللي هي تعتبر

97
00:10:52,450 --> 00:10:59,180
domain لمين؟ Domain للدالة F of X يعني إحنا لأن

98
00:10:59,180 --> 00:11:05,200
كتبنا ال function على شكل power series بقول لي هذه

99
00:11:05,200 --> 00:11:11,260
الدالة لها مشتقات من جميع الرتب خلال فترة التقارب

100
00:11:11,350 --> 00:11:17,250
تبع السيريز كيف؟ كالتالي يبقى إحنا لو جينا وقلنا

101
00:11:17,250 --> 00:11:24,830
هذا ال F of X اللي تساوي ال summation يبقى C0 زائد

102
00:11:24,830 --> 00:11:34,620
C1 في X نقص ال A زائد C2 في X نقص A لكل تربيع زائد C3

103
00:11:34,620 --> 00:11:44,200
في X نقص A لكل تكعيب زائد زائد CN في X نقص A to the

104
00:11:44,200 --> 00:11:50,430
power N زائد الآخرين يبقى هذا الـ function كتبناها

105
00:11:50,430 --> 00:11:54,090
على شكل ال power series اللي قدامي يعني اللي أنا

106
00:11:54,090 --> 00:12:00,690
بدي أبدأ اشتق لو قلت f prime of x يبقى الأول هذا

107
00:12:00,690 --> 00:12:07,870
مشتقته بقداش؟ مش هيظهر عندي C1 مقدار ثابت الـA

108
00:12:07,870 --> 00:12:15,010
مشتقتها بـ0 مشتقة الـX بـ1 في C1 مقدار ثابت C1 فقط

109
00:12:15,010 --> 00:12:23,690
C2 مقدار ثابت يبقى الأس في القوس مرفوع لنفس الأس

110
00:12:23,690 --> 00:12:27,810
مطروح منه واحد في تفاضل مداخل القوس اللي هو مقدار

111
00:12:27,810 --> 00:12:29,210
ثابت C1 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C1 مقدار ثابت C2

112
00:12:29,210 --> 00:12:33,130
مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار

113
00:12:33,130 --> 00:12:34,210
ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2

114
00:12:34,210 --> 00:12:36,110
ثابت C2 مقدار ثابت C2 مقدار ثابت C2 مزيد ثلاثة C

115
00:12:36,110 --> 00:12:42,050
ثلاثة X ناقص ال A لكل تربيع في مشتقة مداخل القوس

116
00:12:42,050 --> 00:12:51,030
اللي هو بقداش؟ بواحد زائد زائد N CN X ناقص ال A to

117
00:12:51,030 --> 00:12:58,070
the power N زائد واحد زائد الآخرين يبقى هذا الشغل

118
00:12:58,070 --> 00:13:04,570
اللي اشتغلنا اسمه differentiation term by term يبقى

119
00:13:04,570 --> 00:13:09,510
روحنا اشتقينا term by term كل series لغاية

120
00:13:09,510 --> 00:13:14,050
infinitive شو رأيك إني بقدر أكتب هذه المشتقة على

121
00:13:14,050 --> 00:13:18,430
شكل power series بدل ما هي بالشكل الكبير بدي

122
00:13:18,430 --> 00:13:24,490
أكتبها بالشكل الجديد يبقى summation وبروح بحط

123
00:13:24,490 --> 00:13:31,220
الحد النوني N في CN في ال X ناقص ال A to the power

124
00:13:31,220 --> 00:13:36,380
N زائد واحد من عند ال N تساوي أكثر قدره لغاية

125
00:13:36,380 --> 00:13:41,440
Infinity من أين بدنا نبدأ؟ من عندها تساوي قدره؟ 

126
00:13:41,440 --> 00:13:48,770
متأكدين؟ فما هو السبب؟ أنا موافق، بس ليش؟ أيوة لأن

127
00:13:48,770 --> 00:13:52,730
الحد الأول هذا طارِ يعني ال series نقصت حدًّا من 

128
00:13:52,730 --> 00:13:58,770
بداية ال series ومشان تتأكد ابدأ حط n بواحد اثنين

129
00:13:58,770 --> 00:14:02,130
ثلاثة في الصيغة اللي عندك شوف يطلع ال series اللي

130
00:14:02,130 --> 00:14:08,190
عندنا هذه ولا لأ فمثلا لو قلنا n بواحد C واحد ودق

131
00:14:08,190 --> 00:14:14,670
ال zero اللي بواحد يبقى الجواب بس جديد C واحد حط n 

132
00:14:14,670 --> 00:14:25,110
بـ 2 بصير 2C2 X ناقص A و S 1 يبقى 2C2 X ناقص A 2C2

133
00:14:25,110 --> 00:14:25,830
X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A

134
00:14:25,830 --> 00:14:27,450
2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص

135
00:14:27,450 --> 00:14:28,530
A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2

136
00:14:28,530 --> 00:14:28,610
ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2 X ناقص A 2C2

137
00:14:28,610 --> 00:14:33,930
2C2 X ناقص A 2C2

138
00:14:33,930 --> 00:14:39,130
X ناقص A

139
00:14:39,130 --> 00:14:40,590
2

140
00:14:45,040 --> 00:14:50,840
سي واحد مقدار ثابت يبقى مشتقته مع السلامة بصير هذا

141
00:14:50,840 --> 00:14:58,320
اثنين سي اثنين زائد ستة سي ثلاثة في ال X نقص ال A

142
00:14:58,320 --> 00:15:06,520
زائد زائد N في N نقص واحد في C N في ال X نقص ال A

143
00:15:06,520 --> 00:15:12,320
تدفع power N زائد اثنين زائد الآخرين نبدأ نكتب هذا

144
00:15:12,320 --> 00:15:18,740
على شكل summation من N تساوي أبصر قداش لغاية ال

145
00:15:18,740 --> 00:15:26,560
infinity لل N في ال N ناقص واحد في ال C N في ال X

146
00:15:26,560 --> 00:15:35,160
ناقص ال A to the power N minus two N من وين؟ من

147
00:15:35,160 --> 00:15:41,340
عند اثنين متأكدين؟ آه من عند اثنين لأنه طارت term

148
00:15:41,340 --> 00:15:46,120
الأول لأن هذا راح طيب شوف تعال تأكد كلامنا صح ولا

149
00:15:46,120 --> 00:15:50,640
لأ اثنين اثنين ناقص واحدة بواحد يبقى هذا كله

150
00:15:50,640 --> 00:15:55,300
بـ اثنين سي اثنين وهذا zero يبقى واحد يبقى الحد

151
00:15:55,300 --> 00:16:00,960
الأول اثنين سي اثنين مظبوط بعد اثنين حط ثلاثة بصير

152
00:16:00,960 --> 00:16:12,520
ثلاثة في اثنين اللي هو بستة C3X-A1 يبقى 6C3X-A1

153
00:16:12,520 --> 00:16:17,320
وهكذا يبقى شغلنا سليم مائة بالمائة بنطلع من هذا

154
00:16:17,320 --> 00:16:22,820
الكلام يبقى أنه عند الاشتقاق مرة ال index اللي تحت

155
00:16:22,820 --> 00:16:27,280
ال summation بينقص واحد اشتق كمان مرة، بنقص كمان واحد،

156
00:16:27,280 --> 00:16:31,440
اشتق كمان مرة، بنقص كمان واحد، وهكذا يعني لو

157
00:16:31,440 --> 00:16:37,140
اشتقيت N من ال K من المرات بيصير ال summation هذا

158
00:16:37,140 --> 00:16:43,620
من عند N تساوي K إلى Infinity وهذا بيصير K من

159
00:16:43,620 --> 00:16:50,020
المشتقات، تمام؟ طيب كويس، وهكذا لو استمرنا بهذه

160
00:16:50,020 --> 00:16:55,390
الطريقة، فمش بدنا نوصل ل R صار عندنا two series

161
00:16:55,390 --> 00:17:01,590
جداد وعندنا ال series الأصلية هي هذي converge على

162
00:17:01,590 --> 00:17:06,720
الفترة اللي عندنا هذي السيريز المشتقة التنتين هدول

163
00:17:06,720 --> 00:17:11,380
converge على نفس الفترة وكمان لو اشتقت مئة مرة

164
00:17:11,380 --> 00:17:16,680
كمان بعد ذلك برضه converge على مين يبقى ال series

165
00:17:16,680 --> 00:17:24,200
الأصلية ومشتقتها converge على نفس الفترة يبقى بدنا

166
00:17:24,200 --> 00:17:27,740
نشيل هذا بما يأتي فبروح بقول

167
00:17:34,410 --> 00:17:41,350
هذه الـ derived كل

168
00:17:41,350 --> 00:17:46,510
واحد من هذه السلسلة الوحيدة الوحيدة

169
00:17:46,510 --> 00:17:54,250
الوحيدة موجودة في كل موقع

170
00:17:54,250 --> 00:17:57,570
في كل

171
00:17:57,570 --> 00:17:58,350
موقع في كل موقع في كل موقع

172
00:18:08,230 --> 00:18:15,550
مقارنة مقارنة مقارنة مقارنة مقارنة

173
00:18:24,950 --> 00:18:32,430
original series يبقى كل من المتسلسلات المشتقة

174
00:18:32,430 --> 00:18:36,670
converge على نفس الفترة الاساسية الأصلية converge

175
00:18:36,670 --> 00:18:43,630
عليها نبدأ نيجي للنقطة الثانية والأخيرة في هذا ال

176
00:18:43,630 --> 00:18:50,770
section term by term integration theorem بعد ما

177
00:18:50,770 --> 00:18:54,030
فاضلنا بدنا نروح هنا نكامل

178
00:18:58,810 --> 00:19:05,930
بقول افترض أن suppose that suppose

179
00:19:05,930 --> 00:19:12,350
that ال F of X بده تساوي ال summation من N equal

180
00:19:12,350 --> 00:19:19,490
zero to infinity ل C N X نقص ال A to the power N

181
00:19:19,490 --> 00:19:30,510
converged for X اللي هي أكبر من ال A ناقص ال R وأقل

182
00:19:30,510 --> 00:19:38,270
من ال A زائد ال R وال R greater than zero

183
00:20:02,330 --> 00:20:09,770
نفس الفترة اللي عندنا هذه الـ A ناقص الـ R إلى

184
00:20:09,770 --> 00:20:19,270
الـ A زائد R and وفي نفس الوقت تكامل لل F of X DX

185
00:20:19,270 --> 00:20:25,890
بدي يساوي اللي هو summation من N equal zero to

186
00:20:25,890 --> 00:20:35,140
infinity لمين؟ للـCN X ناقص الـ A to the power n

187
00:20:35,140 --> 00:20:42,740
plus one على n plus one plus constant c على نفس

188
00:20:42,740 --> 00:20:53,220
الفترة اللي هو من a ناقص r إلى a زائد r examples

189
00:20:53,220 --> 00:20:59,040
consider

190
00:20:59,040 --> 00:20:59,960
the function

191
00:21:04,680 --> 00:21:12,160
يعتبر الدالة EO6 يساوي summation من N equal zero

192
00:21:12,160 --> 00:21:17,980
to infinity للـ x to the power n على n factorial

193
00:21:17,980 --> 00:21:25,260
اللي هي واحد زائد x زائد x تربيع على اثنين factorial x

194
00:21:25,260 --> 00:21:30,100
تكعيب على ثلاثة factorial زائد x أس n على n

195
00:21:30,100 --> 00:21:41,040
factorial زائد الآخرين that converge for all x

196
00:21:42,530 --> 00:21:53,770
المطلوب الأول show that بيّن لي أن مشتقة ال EO6 بده

197
00:21:53,770 --> 00:22:04,190
تساوي ال EO6 نمرا بيه show that بيّن لي تكامل ال EO6

198
00:22:04,190 --> 00:22:09,830
DX بده يساوي ال EO6 زائد constant C

199
00:22:38,330 --> 00:22:43,830
إحنا هنا كنا بنتكلم عن الاشتقاق لل power series و

200
00:22:43,830 --> 00:22:48,930
as a function محطوطة ال series اللي عندنا as a

201
00:22:48,930 --> 00:22:53,170
function على الشكل اللي عندنا هذا اشتقينا مرة و

202
00:22:53,170 --> 00:22:57,930
مرتين وفي كل مرة بتغير ال index اللي تحت ال

203
00:22:57,930 --> 00:23:04,550
summation كل اشتقاق بنقص ال index بمقدار واحد ال

204
00:23:04,550 --> 00:23:08,730
series المشتقة وال series الأصلية كلهم converge

205
00:23:08,730 --> 00:23:13,530
على نفس الفترة تعليل ال integration term by term

206
00:23:14,010 --> 00:23:20,430
يعني بدنا نكامل كل term من حدود ال series ونعرف ما

207
00:23:20,430 --> 00:23:25,870
هو شكل ال series الناتجة يفترض أن ال F of X مكتوبة

208
00:23:25,870 --> 00:23:30,190
عندي على شكل summation بهذا الشكل طبعًا يمكن

209
00:23:30,190 --> 00:23:35,420
تستغربوا أن ال function مكتوبة على شكل summation

210
00:23:35,420 --> 00:23:40,680
بهذا الشكل ولا تستغرب ولا حاجة المحاضرة القادمة إن

211
00:23:40,680 --> 00:23:45,720
شاء الله يعني ال section القادم كله كيفية كتابة ال

212
00:23:45,720 --> 00:23:50,780
functions على شكل power series وهذه اللي بنسميها

213
00:23:50,780 --> 00:23:56,430
taylor series و maclaurin series يبقى افترض أنه

214
00:23:56,430 --> 00:23:59,870
عنده function محطوط على شكل power series وهذي ت

215
00:23:59,870 --> 00:24:03,430
converge على نفس الفترة اللي عندنا هذي then

216
00:24:03,430 --> 00:24:08,710
summation على ال series هذي هذي شو بتفرق عن هذي سي

217
00:24:08,710 --> 00:24:13,250
إن مقدار ثابت زي ما هو يبقى أرفعنا للأس واحدة وقسمنا

218
00:24:13,250 --> 00:24:18,570
عليها على الأس الجديد يبقى كأنه إيش عملنا

219
00:24:18,570 --> 00:24:24,190
لهذه عاملنا لها تكامل كأنه كاملناها يبقى ال series

220
00:24:24,190 --> 00:24:30,050
هذي converge على نفس الفترة وبالتالي تكامل لل f of

221
00:24:30,050 --> 00:24:34,490
x dx يساوي النتيجة اللي عندنا هذي بالضبط تمامًا زائد

222
00:24:34,490 --> 00:24:39,770
constant زائد constant وعلى نفس ال interval اللي عندنا

223
00:24:42,060 --> 00:24:46,560
بناخذ أمثلة على ال differentiation term by term و

224
00:24:46,560 --> 00:24:52,420
ال integration term by term سواء جلي أو مجليش يعني

225
00:24:52,420 --> 00:24:54,740
مجليش استخدم ال differentiation أو استخدم ال

226
00:24:54,740 --> 00:24:59,730
integration أو أطالي مثلًا وبده حل بقول هنا اعتبر

227
00:24:59,730 --> 00:25:03,530
الدالة EO6 مكتوبة على شكل ال summation اللي عندنا

228
00:25:03,530 --> 00:25:07,770
هذا أو ال summation الطويل اللي عندنا هذا بقول

229
00:25:07,770 --> 00:25:10,910
كويسة اللي بتبقى converge على كل ال real line

230
00:25:10,910 --> 00:25:15,070
بالاستثناء يعني ال interval of convergence من سالب

231
00:25:15,070 --> 00:25:19,370
infinity إلى infinity وإحنا شوفنا في ال power

232
00:25:19,370 --> 00:25:23,510
series ممكن تكون ال series converge على كل ال real

233
00:25:23,510 --> 00:25:28,890
line بلا ستة نار المطلوب الأول بيقول إن مشتقة ال

234
00:25:28,890 --> 00:25:34,430
EO6 هي ال EO6 itself طب هذا خدناه أين؟

235
00:25:42,900 --> 00:25:46,640
أثبتنا إن مشتقة الـ EO6 هي الـ EO6 بس عن طريق الـ

236
00:25:46,640 --> 00:25:51,240
LEN هنا لا بدك تثبت عن طريق الـ Power Series اثنين

237
00:25:51,240 --> 00:25:57,100
بدك تثبت تكامل الـ EO6 هو بالـ EO6 itself زائد كنصة

238
00:25:57,100 --> 00:26:02,280
برضه باستخدام من الـ Power Series نقول كويس خلينا

239
00:26:02,280 --> 00:26:10,360
نمسك الأولى يبقى بداش أقول له D على D لل E وال 6

240
00:26:10,360 --> 00:26:15,940
يساوي بدي اشتق معناته هذه يعني بدي اشتق كل

241
00:26:15,940 --> 00:26:21,740
الحدود اللي عندنا مشتقة الواحد بقداش؟ صفر هذا،

242
00:26:21,740 --> 00:26:30,240
مشتقة ال X بواحد؟ اللي بعده 2x على 2 factorial زائد

243
00:26:30,240 --> 00:26:38,380
2x على 2 factorial زائد 3x تربيع على 3 factorial

244
00:26:38,380 --> 00:26:45,920
زائد n x أُس n ناقص واحد على n factorial زائد إلى

245
00:26:45,920 --> 00:26:54,760
آخرهم طيب تمام يبقى صار عندي D على DX لل EO6 يساوي

246
00:26:54,760 --> 00:27:03,400
واحد زائد هذه لو فكيتها عبارة عن اثنين في واحد factorial هذه ثلاثة في اثنين factorial هذه N

247
00:27:03,400 --> 00:27:10,100
في N ناقص واحد factorial يبقى الاثنين هتروح مع

248
00:27:10,100 --> 00:27:15,760
اثنين والثلاثة هتروح مع الثلاثة يبقى بيظل عندي

249
00:27:15,760 --> 00:27:20,840
زائد x على واحد factorial زائد x تربيع على اثنين

251
00:27:26,340 --> 00:27:32,660
factorial زائد x تكعيب على ثلاثة factorial زائد

252
00:27:32,660 --> 00:27:40,770
زائد بتروح الـ N مع الـ N يبقى X أس N minus الـ one N

253
00:27:40,770 --> 00:27:48,810
minus الـ one factorial بالشكل اللي عندنا هنا زائد

254
00:27:48,810 --> 00:27:54,350
إلى آخره يبقى الـ N بتروح اكتبها على شكل summation

255
00:27:54,350 --> 00:27:58,530
يبقى لو كتبتها على شكل summation بده يصير

256
00:27:58,530 --> 00:28:07,410
summation للحد هنا x أُس n-1 على n-1 factorial

257
00:28:07,410 --> 00:28:10,950
بالشكل اللي عندنا هذا طب الـ index اللي تحت الـ

258
00:28:10,950 --> 00:28:15,380
summation من وين بده يبدأ؟ عند الواحدة لو أصلا عندي

259
00:28:15,380 --> 00:28:21,580
zero طار أول term يبقى summation من N equal one to

260
00:28:21,580 --> 00:28:26,120
infinity بالفعل لو بدأت أحط N بواحد و اثنين و

261
00:28:26,120 --> 00:28:31,320
ثلاثة بلاقي الـ series اللي عندنا هذه يبقى لا يزال

262
00:28:31,320 --> 00:28:35,720
المشكلة عندنا قائمة هل الـ summation اللي احنا

263
00:28:35,720 --> 00:28:41,680
كتبناه هو الـ E و الـ six اللي احنا حكينا عليها هذه

264
00:28:43,190 --> 00:28:48,910
هي بالضبط و الله في خلاف اه في خلاف الـ index اللى

265
00:28:48,910 --> 00:28:53,630
فوق بيبدأ من عند الـ zero هذا الـ index بيبدأ من وين

266
00:28:53,630 --> 00:28:58,990
من عند الـ واحد ما نفعش بدها تتساوي بها بدها تكون

267
00:28:58,990 --> 00:29:07,790
زيها رسمًا بنقوله كويس إذا أصبح عندي D على DX للـ

268
00:29:07,790 --> 00:29:15,420
EO6 يساوي طلّال الـ summation هذاممكن أخليه يبدأ

269
00:29:15,420 --> 00:29:20,240
من اندزيرو لو شيلت كل N وحطيت مكانها N زائد واحد

270
00:29:20,240 --> 00:29:24,540
يبقى بدي أشيل كل N وحط مكانها N زائد واحد ده يصير

271
00:29:24,540 --> 00:29:31,310
N زائد واحد تساوي واحد الى infinity لل X أُس N زائد

272
00:29:31,310 --> 00:29:36,750
واحد وين ناقص واحد على N زائد واحد ناقص واحد

273
00:29:36,750 --> 00:29:42,390
factorial يبقى هذه الـ summation من عند N equal

274
00:29:42,390 --> 00:29:47,350
zero to infinity لل X to the power N على N

275
00:29:47,350 --> 00:29:52,270
factorial بروح واحد وسالب واحد وفوق واحد وسالب واحد

276
00:29:52,730 --> 00:29:57,310
مين هي هذه؟ مش هذه الصيغة لأن هذه بالضبط تماما

277
00:29:57,310 --> 00:30:04,570
يبقى هذه بدها تعطينا مين؟ EO6 وكأن هذا برهان آخر

278
00:30:04,570 --> 00:30:10,050
ليثبت أن الـ derivative لل EO6 بيعطينا مين؟ EO6

279
00:30:10,050 --> 00:30:19,720
itself خلص المطلوب A، روح للمطلوب B بنتكامل لل E أس

280
00:30:19,720 --> 00:30:26,040
X DX يبقى تكامل بدنا نشيل الـ E أس X ونحط المفكوك

281
00:30:26,040 --> 00:30:30,980
تبعها اللي هو واحد زائد X زائد X تربيع على اثنين

282
00:30:30,980 --> 00:30:37,020
factorial X تكعيب على ثلاثة factorial زائد X أس N

283
00:30:37,020 --> 00:30:41,980
على N factorial زائد إلى ما شاء الله كله بالنسبة

284
00:30:41,980 --> 00:30:50,780
لمن؟ إلى DX إذا أصبح تكامل ال EOSX DX بده يساوي

285
00:30:50,780 --> 00:30:57,820
بدنا نكامل الحد الأول تكامله كده؟ الثاني X تربيع

286
00:30:57,820 --> 00:31:03,160
على اثنين ثالث X تكعيب على ثلاثة في الاثنين

287
00:31:03,160 --> 00:31:08,920
factorial كما هي زيد الـ X ثلاثة بيصير X أس أربعة

288
00:31:08,920 --> 00:31:15,780
على أربعة في ثلاثة factorial كما هي زيد X أس N

289
00:31:15,780 --> 00:31:22,520
plus one على N plus one في الـ N factorial زيد إلى

290
00:31:22,520 --> 00:31:30,220
آخرى وهذه بيجيها كمان جداش يا شباب كونس فانتبه عدت

291
00:31:30,220 --> 00:31:40,000
كمّة فهذه بدأت ساوية طلع لي كويس هنا هـ هذه X هذه X

292
00:31:40,000 --> 00:31:44,460
تربيع اثنين هذه مش هتبقى قريب اثنين في واحد يعني

293
00:31:44,460 --> 00:31:50,180
اثنين factorial يبقى اثنين factorial وهذه واحد

294
00:31:50,180 --> 00:31:55,710
ثاني واحد factorial وهذه x تكعيب ثلاثة في اثنين

295
00:31:55,710 --> 00:32:01,010
factorial يعني ثلاثة factorial x أُص أربعة أربعة

296
00:32:01,010 --> 00:32:07,130
في ثلاثة factorial تعني أربعة factorial زائد هذه

297
00:32:07,130 --> 00:32:13,450
كمان بنفس الطريقة xn زائد واحد على n زائد واحد

298
00:32:13,450 --> 00:32:21,430
اللي هو factorial زائد الآخرى زائد constant C طيب

299
00:32:21,430 --> 00:32:27,670
الخطة أحطها على شكل summation يبقى هذه summation

300
00:32:27,670 --> 00:32:34,430
لمن؟ لل x to the power n plus one على n plus one

301
00:32:34,430 --> 00:32:41,490
factorial من عند n تساوي أبصر جداش ل infinity هل

302
00:32:41,490 --> 00:32:45,830
لما نكاملنا هنا الـ series هذه طار أي term من

303
00:32:45,830 --> 00:32:51,440
الترمات؟ لا كله ظلم زي ما هو إذا الـ index اللي تحت

304
00:32:51,440 --> 00:32:56,640
الـ summation بتغير والله بيبقى كما هو يبقى كما هو

305
00:32:56,640 --> 00:33:02,440
كما ذكرنا في الجزء النظري قبل قليل يبقى بدء ظلم

306
00:33:02,440 --> 00:33:09,660
عند n تساوي zero إلى infinity طيب زاد الـ constant

307
00:33:09,660 --> 00:33:10,220
C

308
00:33:13,470 --> 00:33:24,310
خليني أضغط و أقول C1 C1 C1 مثلًا هل هذا شكل الـ E و

309
00:33:24,310 --> 00:33:31,070
S X؟ طبعًا لا هذي بدها تبقى X أس N و هذي N factorial

310
00:33:31,070 --> 00:33:36,050
بسيطة الشغلة في دينها إذا بدي أشيل كل N و أكتب

311
00:33:36,050 --> 00:33:41,490
مكانها N ناقص واحد يبقى هذا الكلام يساوي الـ

312
00:33:41,490 --> 00:33:47,930
summation N ناقص واحد تساوي zero الى infinity لل X

313
00:33:47,930 --> 00:33:54,510
أس N ناقص واحد زائد واحد على N ناقص واحد زائد واحد

314
00:33:54,510 --> 00:34:00,390
كله factorial ويساوي الـ summation من N equal one

315
00:34:00,390 --> 00:34:06,290
to infinity لل X أس N على N factorial

316
00:34:08,940 --> 00:34:14,520
هل هادي يبقى .. طبعًا في constant C1 يبقى هنا زائد

317
00:34:14,520 --> 00:34:25,000
C1 وهنا زائد C1 هل هادي هي الـ exponential اللى

318
00:34:25,000 --> 00:34:30,470
عندنا هادي؟ لا، من هنا بتبدأ من وين؟ من اين دي

319
00:34:30,470 --> 00:34:35,230
Zero؟ من هنا بتبدأ من وين؟ بدنا حل هالمشكلة هذه

320
00:34:35,230 --> 00:34:40,170
وديها بالك بدك تحل وتحافظ على المكتسبات الوطنية

321
00:34:40,170 --> 00:34:45,350
اللي عندك هذه اللي حصلت عليها تلعبش يضيعش ودبر

322
00:34:45,350 --> 00:34:53,110
حالك بأي طريقة رياضية سليمة اقترح أن احنا في أي حد

323
00:34:55,870 --> 00:35:01,410
ممتاز أنا بدي شكل يعطيني الشكل هذا يعني بنفع احذف

324
00:35:01,410 --> 00:35:07,570
حد من الحدود من هنا نضيف نضيف مش نحذف طب ما هو

325
00:35:07,570 --> 00:35:13,390
الحد اللي جاي في بالك نضيفه كلام كويس الـ zero هل

326
00:35:13,390 --> 00:35:18,910
الـ zero بيغير من هذا الشكل بيغير بس ما تحطش zero

327
00:35:18,910 --> 00:35:23,310
حطه بشكل آخر اللي بدك تضيفه بدك تطرحه

328
00:35:26,950 --> 00:35:32,370
أنا لو روحت أضفت واحد و طرحت واحد كان أضفت كم؟

329
00:35:32,370 --> 00:35:39,050
zero ليش أي إشكالية بقول كويس إذا هذه بقدر

330
00:35:39,050 --> 00:35:43,950
أكتبها واحد زائد summation من N equal one to

331
00:35:43,950 --> 00:35:50,770
infinity لل X to the power N على N factorial زائد C

332
00:35:50,770 --> 00:35:57,010
one ناقص واحد يبقى أضفت واحد و طرحت واحد كأنه أضفت

333
00:35:57,010 --> 00:36:03,350
zero كمقترحة أحدكم لكن الـ zero حطيت واحد وسالب واحد

334
00:36:03,350 --> 00:36:10,550
طيب شوف لهذا شو بيساوي هذا summation من N equal

335
00:36:10,550 --> 00:36:15,890
zero to infinity لل X to the power N على N

336
00:36:15,890 --> 00:36:22,930
factorial هذا الجزء يعني هذا صحيح يقول لك ماشي مصدق

337
00:36:22,930 --> 00:36:30,170
جرب وضع N بزيرو فاكتوريا اللي بيجي داشر بواحد هنا

338
00:36:30,170 --> 00:36:33,570
X و Zero بواحد يبقى واحد على واحد بواحد اللي هو

339
00:36:33,570 --> 00:36:38,950
الحد الأول زائد وضع N بواحد بيجيب الحد الثاني و

340
00:36:38,950 --> 00:36:45,190
الحد الثالث والرابع يبقى بالكلام سليم مئة بالمئة

341
00:36:45,480 --> 00:36:51,220
بالله إن دي زائد مين زائد هذا كله يعتبر constant

342
00:36:51,220 --> 00:36:57,340
كمان بده يسميه C يبقى هذا زائد constant C و الـ C

343
00:36:57,340 --> 00:37:04,980
بده يساوي C one ناقص واحد أليست هذه هي الـ E و الـ 6

344
00:37:04,980 --> 00:37:13,500
زائد constant C تمام؟ لتركها بكويسها لترك هو اللي

345
00:37:13,500 --> 00:37:18,520
جدر اللي جدرنا بواسطته نوصل للصيغة المطلوبة

346
00:37:18,520 --> 00:37:23,960
ويتكامل EO6 يساوي EO6 زائد constant وبالتالي كأنه

347
00:37:23,960 --> 00:37:29,760
احنا أثبتنا أن تكامل EO6 يساوي EO6 زايد constant

348
00:37:29,760 --> 00:37:35,620
بطريقة غير الطريقة المتعرف عليها قبل ذلك في

349
00:37:35,620 --> 00:37:38,600
section 7 3

350
00:37:48,580 --> 00:37:57,740
طيب، هذا مثال يوضح كيف استخدمنا التكامل في الحصول

351
00:37:57,740 --> 00:38:03,560
على شكل الـ series وسليّة قبله كانت فاضل، أيوة ما

352
00:38:03,560 --> 00:38:10,450
الاخر خطوة هذه؟ ابدا، لحد اين تمام هذه؟ ضيف واحد

353
00:38:10,450 --> 00:38:16,970
واطرح واحد كأنك باقي في قداش هل تتغير القيمة؟ لا

354
00:38:16,970 --> 00:38:22,210
بدنا نضيف هي أضفنا واحد و طرحنا واحد الواحد هذا مع

355
00:38:22,210 --> 00:38:26,290
الـ summation بدي أجمعهم بـ summation واحد يبقى هي

356
00:38:26,290 --> 00:38:29,810
جمعتهم بـ summation واحد ممكن ولا مش ممكن تعالى

357
00:38:29,810 --> 00:38:35,670
نشوف حط N ب Zero بطلع الحد الأول عندك بواحد حط in

358
00:38:35,670 --> 00:38:38,310
من واحد إلى المقل النهائي بيعطيك الـ sub machine

359
00:38:38,310 --> 00:38:42,670
الثاني يبقى كلامنا سليم مئة بالمئة جينا على الـ C

360
00:38:42,670 --> 00:38:46,310
والنقص واحد هذا كله constant سميته constant z

361
00:38:46,310 --> 00:38:50,390
ويساوي من C sub machine هو الـ exponential function

362
00:38:50,390 --> 00:38:55,330
وده الـ constant يبقى فعلا تكامل E والـ 6 بـ E والـ 6 زائد

363
00:38:55,330 --> 00:39:01,230
constant C طيب برضه بيناعطيك كمان مثال على هذا

364
00:39:01,230 --> 00:39:07,010
الموضوع وفتح عينك كويس دجج معاي مثال رقم اثنين

365
00:39:07,010 --> 00:39:15,570
بيقول

366
00:39:15,570 --> 00:39:20,950
find a function

367
00:39:20,950 --> 00:39:29,730
f of x that represented

368
00:39:29,730 --> 00:39:31,690
by

369
00:39:37,510 --> 00:39:41,970
بعد عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية

370
00:39:41,970 --> 00:39:56,610
عملية عملية عملية عملية عملية

371
00:39:59,320 --> 00:40:05,580
the result استخدم النتيجة اللي حصلت عليها to find

372
00:40:05,580 --> 00:40:10,080
a

373
00:40:10,080 --> 00:40:16,240
power series that

374
00:40:16,240 --> 00:40:22,120
represent that represent

375
00:40:22,120 --> 00:40:25,240
that

376
00:40:25,240 --> 00:40:27,780
represent the following

377
00:40:33,020 --> 00:40:39,520
التي تمثل الدوالة التالية الدالة الأولى  نمرة A

378
00:40:39,520 --> 00:40:47,120
الـG of X يساوي واحد على واحد زائد X لكل تربيع

379
00:40:47,120 --> 00:40:56,660
نمرة B الـG of X بده يساوي Ln واحد زائد X

380
00:41:29,460 --> 00:41:35,240
هاتلي دالة تمثل هذه الـ Power Series

381
00:41:42,560 --> 00:41:48,140
بعد هيك النتيجة اللي تحصل عليها بدك تستخدمها في

382
00:41:48,140 --> 00:41:52,280
الحصول على power series لتو functions اللي عندك

383
00:41:52,280 --> 00:41:57,680
يعني عملية عكسية بتعطيني power series بدي أدلتها 

384
00:41:57,680 --> 00:42:01,460
تبعتها يبقى سعر اندي دالة و سعر power series بد

385
00:42:01,460 --> 00:42:07,160
تستخدم هذه النتيجة للحصول على شكل ال power series

386
00:42:07,160 --> 00:42:13,760
لها تين اتدلتينكم مطلوب عندي في السؤال؟ ثلاثة،

387
00:42:13,760 --> 00:42:17,480
خلّينا بالمطلوب الأول نجيبه وبعدين بروح ندور على A

388
00:42:17,480 --> 00:42:21,980
وB يبقى بدنا نيجي للمطلوب الأول قبل ما نبدأ بالمطلوب

389
00:42:21,980 --> 00:42:26,220
الأول بدي أعرف ما هو الشكل ال power series اللي

390
00:42:26,220 --> 00:42:30,700
معطهالي هذه يبقى باجي بقوله summation من n equal

391
00:42:30,700 --> 00:42:35,640
zero to infinity لسالب واحد to the power n لل x to

392
00:42:35,640 --> 00:42:41,680
the power n هذه واحد ناقص x زائد x تربيع ناقص x

393
00:42:41,680 --> 00:42:46,660
تكعيب زائد ناقص واحد to the power n x to the power

394
00:42:46,660 --> 00:42:54,300
n زائد إلى آخرين طيب السؤال هو مين ال series هذه هل

395
00:42:54,300 --> 00:42:59,540
واحدة هذه من التلاتة series المشهورة ال geometric

396
00:42:59,540 --> 00:43:07,240
ال P ال harmonic هذه واحدة منهم geometric ليش اجسم

397
00:43:07,240 --> 00:43:14,240
اي حد على السابق له بطلع كله سالب X يبقى هذه بقوله

398
00:43:14,240 --> 00:43:21,810
convert geometric series إذا كان ال absolute value

399
00:43:21,810 --> 00:43:26,910
ل R هو absolute value ل سلب X قداش absolute value

400
00:43:26,910 --> 00:43:32,410
ل سلب X أليس هو absolute value ل X وهذا يجب أن

401
00:43:32,410 --> 00:43:35,830
يكون أقل من واحد إذا كان ال absolute value ل X أقل

402
00:43:35,830 --> 00:43:37,950
من واحد إذا كان ال absolute value ل X أقل من واحد

403
00:43:37,950 --> 00:43:42,690
إذا كان ال absolute value ل X أقل من واحد إذا كان

404
00:43:42,690 --> 00:43:42,910
ال absolute value ل X أقل من واحد إذا كان ال

405
00:43:42,910 --> 00:43:46,030
absolute value ل X أقل من واحد إذا كان ال absolute

406
00:43:46,030 --> 00:43:55,900
value ل X أقل من واحد interval of convergence as

407
00:43:55,900 --> 00:43:58,120
سالب واحد و واحد

408
00:44:02,490 --> 00:44:06,490
يبقى الرياضة اصلا كده؟ برضه واحد بهمني شرية دي

409
00:44:06,490 --> 00:44:11,090
الصينة خلاص نجيبناله فترة التقارب تبع ال series

410
00:44:11,090 --> 00:44:16,070
يبقى على فترة التقارب من سلب واحد إلى واحد بقدر

411
00:44:16,070 --> 00:44:21,890
اوجد مجموع هذه ال series جالي هاتلي الدالة التي

412
00:44:21,890 --> 00:44:30,180
تمثل هذه ال power series يبقى باجي بقوله the sum of

413
00:44:30,180 --> 00:44:40,540
the series S ال S تساوي الحد الأول على واحد ناقص

414
00:44:40,540 --> 00:44:48,620
الأساس هذا شو بيعطينا؟ هذا بيعطينا أن ال S يساوي

415
00:44:48,620 --> 00:44:55,930
واحد على واحد زائد ال X أليس هذه function في X؟ صح

416
00:44:55,930 --> 00:45:03,190
ولا لا؟ يبقى هذه بدها تساوي ال F of X تمام تمام

417
00:45:03,190 --> 00:45:09,990
يبقى هاي كتبتله المجموع تبع ال series as a

418
00:45:09,990 --> 00:45:14,690
function هات ال F of X التي تمثل بال power series

419
00:45:14,690 --> 00:45:18,390
يبقى كأنه جمعت ال power series فطلها المجموع

420
00:45:18,390 --> 00:45:25,940
بالشكل هذا يبقى هذا الذي يساوي منF of X. إذا خلصنا

421
00:45:25,940 --> 00:45:31,680
المطلوب الأول جيبنا دالة ان ال power series عندها

422
00:45:31,680 --> 00:45:36,660
المُعطَع يبقى ال power series كان هبقى L 1 على 1

423
00:45:36,660 --> 00:45:42,660
زائد X. تمام؟ طبعا كويس. بدنا نيجي الآن للمطلوب

424
00:45:42,660 --> 00:45:48,700
الأول جاب المبدأ المطلوب الأول بدي أقوله f of x ليه

425
00:45:48,700 --> 00:45:54,280
واحد على واحد زائد x وليه بدي تساوي واحد ناقص x

426
00:45:54,280 --> 00:46:00,340
زائد x تربيع ناقص x تكعيب زائد ناقص one to the

427
00:46:00,340 --> 00:46:04,060
power n x to the power n زائد إلى آخرين

428
00:46:09,070 --> 00:46:16,440
هذه المقارنة هي نفس النتيجة بس المقارنة مربع يعني

429
00:46:16,440 --> 00:46:21,200
نربعها و نمشي الحال خلاصنا طيب خلنا نناقش احنا

430
00:46:21,200 --> 00:46:27,380
وياكم لو ترمين وربعتهم بتطلع تلت ترمات ودي سهل

431
00:46:27,380 --> 00:46:32,880
مربع الأول اتنين حصل ضرب اتنين مربع التاني سهل طيب

432
00:46:32,880 --> 00:46:38,680
لو كانوا تلاتة بيبدأ الحرارة ترتفع عندك بتقدروا

433
00:46:38,680 --> 00:46:43,620
تلت ترمات زي تلت ترمات اضربهم ببعض طيب لو قلت خلي

434
00:46:43,620 --> 00:46:50,080
تملك أربعة بتبقى النبض يرتفع، مش هيك؟ لو قولتلك خمس

435
00:46:50,080 --> 00:46:55,040
ترمات، ستة بعشر ترمات، وقول اه ورا دي بدي أقعد

436
00:46:55,040 --> 00:46:59,360
ساعتين وانا أضرب فيهم ولا تلت ساعات، فما بالك إذا

437
00:46:59,360 --> 00:47:04,080
كان مالة نهاية من الحدود، يبقى إحكاية إن ربي

438
00:47:04,080 --> 00:47:10,480
أحصفها على شجة ده بتوصلكش إلى نتيجة طبعا فادبر حالك

439
00:47:10,480 --> 00:47:14,380
شو موضوع ده هنا موضوع من derivative term by term

440
00:47:14,380 --> 00:47:18,920
او integration term by term بدي بسأل نفسي هل الدلة

441
00:47:18,920 --> 00:47:23,240
دي لو عملت لها derivative او integral بحصل على

442
00:47:23,240 --> 00:47:28,740
واحد على واحد زائد X لكل تربيع نشتاق نشتاق اذا لو

443
00:47:28,740 --> 00:47:33,040
اشتقنا بتطلع الدلة المطلوبة بقولك كويس يبقى اذا

444
00:47:33,040 --> 00:47:37,360
تعال نشتاق .. ماجالليش هو اشتق انا لحالة أرفقهذا

445
00:47:37,360 --> 00:47:41,640
يجب أن تبقى دقيق الملاحظة لما هو المطلوب، أما لو

446
00:47:41,640 --> 00:47:45,440
ربعتها تقول تربيها 12 أكل استراليزي، تقول يا الله

447
00:47:45,440 --> 00:47:49,010
من أعرف فيش حاجة مش عارف انت بيجي جيبلي ال series

448
00:47:49,010 --> 00:47:53,470
اللي تمثله هذه الدلة و بعدين جالك ايش مش جالك روح

449
00:47:53,470 --> 00:47:58,970
ربها جالك use the result يعني قيدك كيف تشتغل بقوله

450
00:47:58,970 --> 00:48:05,310
انا بروح اشتقها يبقى هذه ال F prime of X سالب واحد

451
00:48:05,310 --> 00:48:10,710
على واحد زائد X لكل تربيع what و ساوي أظن الأول

452
00:48:10,710 --> 00:48:18,520
بيروح ناقص واحد زيدي اتنين X ناقص ثلاثة X تربيع زيد

453
00:48:18,520 --> 00:48:25,360
أبصر مين؟ زائد ناقص واحد to the power N في ال N في

454
00:48:25,360 --> 00:48:29,140
ال X أس N ناقص واحد إلى ما شاء الله

455
00:48:31,830 --> 00:48:35,470
طب انا بديش سالب واحد على المقدار اللي عناها، بدي

456
00:48:35,470 --> 00:48:39,330
بياها مين؟ بالموجب، إذا بدي أضغط الطرفين كله في

457
00:48:39,330 --> 00:48:45,590
إشارة يبقى بيصير الـG of X اللي بده إياها واحد على

458
00:48:45,590 --> 00:48:52,030
واحد زائد X لكل تربيع يساوي واحد نقص اتنين اكس زائد

459
00:48:52,030 --> 00:48:58,370
تلاتة اكس تربيع نقص ابصر مين زائد نقص واحد قص ابصر

460
00:48:58,370 --> 00:49:04,990
جديش ان اكس نقص واحد زائد نقص واحد قص جديش

461
00:49:11,550 --> 00:49:15,650
أنا عندي ناقص واحد أس ان في الأصل وجدوا كمان إشارة

462
00:49:15,650 --> 00:49:18,770
سالب يعني كمان سالب واحد يبقى صير سالب واحد أس

463
00:49:18,770 --> 00:49:26,770
كده؟ N زائد واحد يبقى بصير أس N زائد واحد وهي هي

464
00:49:26,770 --> 00:49:32,870
سيدي على الشكل summation لناقص واحد أس N زائد واحد

465
00:49:32,870 --> 00:49:39,270
لل N X أس N ناقص واحد وال summation ببدأ من وين؟ من

466
00:49:39,270 --> 00:49:46,950
عند الواحد لأنه طار أول term تمام؟ اللي هي مين؟

467
00:49:46,950 --> 00:49:52,230
انت عندك سالب واحد قسين أجاله كمان سالب واحد قس

468
00:49:52,230 --> 00:49:58,290
واحد بصير كده؟ تساوة الأساسات بنجمع الأساس بصير N

469
00:49:58,290 --> 00:50:04,090
زائد واحد خلصنا؟ يبقى يا بيخليها زي هيك يا حابب

470
00:50:04,390 --> 00:50:09,450
أخلّيها من عند ال zero بروح بشيل كل N و بحط مكانها

471
00:50:09,450 --> 00:50:14,750
N زائد واحد حابب زيكي أهلا وسهلا بدكش تقولي ال

472
00:50:14,750 --> 00:50:20,110
summation من عند ال zero ل infinity لنقص واحد أس N

473
00:50:20,110 --> 00:50:29,180
زائد اتنين لل N زائد واحد لل X أس N يعني شيلت كل

474
00:50:29,180 --> 00:50:33,740
إنه حطيت مكانها، انزلت، كتبتها على الصيغة هذه، و

475
00:50:33,740 --> 00:50:38,560
الله على الصيغة هذه، الأتنين are the same طيب،

476
00:50:38,560 --> 00:50:43,200
خلصنا، نمر بيه؟ نمر بيه جالي هاتلي الدالة هذه،

477
00:50:43,200 --> 00:50:48,220
الدالة هذه عبارة عن إيش؟ تكامل الدالة هذه مظبوط إذا

478
00:50:48,220 --> 00:50:56,740
لو جي تقوله ها ال جي of X هي تكامل واحد على واحد

479
00:50:56,740 --> 00:51:02,200
زائد X DX معناته الدالة اللي فوق بدي أعملها إيش

480
00:51:02,200 --> 00:51:08,660
integration term by term يبقى X ناقص X تربيع على

481
00:51:08,660 --> 00:51:12,380
اتنين زائد X تكعيب على تلاتة

482
00:51:32,480 --> 00:51:39,300
يبقى هذا نتيجة التكامل بروح اضيف له زائد constant

483
00:51:39,300 --> 00:51:47,260
C كويس الان شوفيش النتيجة اللي حصلنا عليها الان

484
00:51:47,260 --> 00:51:52,580
قولنا زيادة كونستانسية احنا عندنا ال interval و ال

485
00:51:52,580 --> 00:51:56,840
convergence اللي هذى اتدالى من و لا وين يعني محتوى

486
00:51:56,840 --> 00:52:07,280
على ال zero كويس بدي بقوله at x يساوي zero بس قبل

487
00:52:07,280 --> 00:52:12,700
ال X يستوي Zero التكامل هذي بقداش أبلن absolute

488
00:52:12,700 --> 00:52:18,560
value ل 1 زائد X بدي أشوف هل ال absolute هذي

489
00:52:18,560 --> 00:52:22,510
ضرورية ولا ماهياش ضرورية احنا عندنا ال interval من

490
00:52:22,510 --> 00:52:28,210
واحد لسالب واحد لا بيساوي واحد ولا بيساوي سالب

491
00:52:28,210 --> 00:52:33,290
واحد إذا عمره المقدار بين القوسين بدي أخد قيمة

492
00:52:33,290 --> 00:52:38,670
سالبة مش إمكانية على ال interval من سالب واحد إلى

493
00:52:38,670 --> 00:52:44,970
واحد يعني أكبر من سالب واحد و أجل من واحد إذا لا

494
00:52:44,970 --> 00:52:51,660
يمكن هذا عمره ياخد قيمة سالبة يبقى هذا بده يساوي لن

495
00:52:51,660 --> 00:52:58,580
واحد زائد X on الفترة من سالب واحد إلى واحد يبقى

496
00:52:58,580 --> 00:53:05,660
ايش حصل عندنا حصل عندنا اللي هو لن وقبل لن واحد

497
00:53:05,660 --> 00:53:13,700
زائد X بالشكل أن هذا اللي هو g of x بده يسوي قداش x

498
00:53:13,700 --> 00:53:20,580
ناقص x تربيع على 2 زائد x تكعيب على 3 ناقص x أربع

499
00:53:20,580 --> 00:53:27,780
على 4 زائد ناقص 1 to the power n x أس n زائد 1 n

500
00:53:27,780 --> 00:53:33,140
زائد 1 زائد constant C الان zero موجود في الفترة

501
00:53:33,140 --> 00:53:37,260
عادية صحيح ولا لا ممكن أحسب ال constant عند ال

502
00:53:37,260 --> 00:53:45,160
zero فبجي بقوله at x يساوي zero وبيحط x بزيرو

503
00:53:45,160 --> 00:53:51,600
بظهر جداش لن الواحد لن الواحد اللي هو بزيرو زيرو

504
00:53:51,600 --> 00:53:57,200
زيرو كله زائد زيرو زائد زيرو زائد مش عارف إيه زائد

505
00:53:57,200 --> 00:54:01,560
ال constant c يبقى بناء عليها ال c جداش بده يساوي

506
00:54:01,560 --> 00:54:09,600
يبقى ال c بيساوي زيرو إذا أصبح عندي لن واحد زائد x

507
00:54:09,600 --> 00:54:21,210
هو x ناقص x تربيع على اتنين زائد x تكعيب على 3 ناقص x

508
00:54:21,210 --> 00:54:28,490
أس 4 على 4 زائد ناقص 1 to the power n x to the

509
00:54:28,490 --> 00:54:33,990
power n plus 1 على n plus 1 أو إذا حبيت تكتبها

510
00:54:33,990 --> 00:54:40,170
summation من عند ال n equal 0 to infinity لسالب 1

511
00:54:40,170 --> 00:54:47,620
to the power n ل x أس n زائد 1 على n زائد واحد

512
00:54:47,620 --> 00:54:54,240
انتهى ال section وإليكم أرقام المسائل يبقى

513
00:54:54,240 --> 00:55:08,640
exercises اللي هو عشرة exercises عشرة عشرة سبعة

514
00:55:08,640 --> 00:55:15,290
عشرة سبعة المسائل يا سيدي من واحد لتمانية وأربعين

515
00:55:15,290 --> 00:55:25,430
من واحد لتمانية وأربعين multiple of three الامتحان

516
00:55:25,430 --> 00:55:29,470
واصل حتى نهاية هذا ال section يعني ال section اللي

517
00:55:29,470 --> 00:55:35,030
نبدأ بكرا إن شاء الله مش داخل في الامتحان القادم

518
00:55:35,490 --> 00:55:40,350
يعني ابتداء من section تمانية تلاتة وحتى نهاية

519
00:55:40,350 --> 00:55:44,670
section عشرة سبعة إن شاء الله تعالى