PL9fwy3NUQKwYaToDpbPxaOdkUX3PS_VKf/3eQp6W53jbo.srt

1
00:00:00,000 --> 00:00:01,260
موسيقى

2
00:00:19,490 --> 00:00:23,670
بسم الله الرحمن الرحيم نعود الآن لإكمال ما ابتدأنا

3
00:00:23,670 --> 00:00:28,950
في المحاضرة الماضية وهو section 5-7 الذي يتحدث عن

4
00:00:28,950 --> 00:00:32,350
الـundetermined coefficients اللي هي طريقة

5
00:00:32,350 --> 00:00:38,110
المعاملات المجهولة لحل المعادلة التفاضلية بنحل بهذه 

6
00:00:38,110 --> 00:00:42,370
الطريقة إذا تحقق في المعادلة أمران الأمر الأول

7
00:00:42,370 --> 00:00:48,210
كانت المعاملات كلها ثوابت للمعادلة التفاضلية الأمر 

8
00:00:48,210 --> 00:00:53,450
الثاني شكل الـ F of X يبقى على شكل معين ما هو هذا

9
00:00:53,450 --> 00:00:57,810
الشكل؟ أحد ثلاثة أمور الأمر الأول أن يكون polynomial

10
00:00:57,810 --> 00:01:01,930
الأمر الثاني polynomial في exponential الأمر 

11
00:01:01,930 --> 00:01:07,170
الثالث polynomial في exponential في sin x أو cos x

12
00:01:07,170 --> 00:01:12,390
أو مجموعهما أو الفرق فيما بينهما وعطينا على ذلك في 

13
00:01:12,390 --> 00:01:17,270
المرة الماضية مثالين وهذا هو المثال رقم ثلاثة يبقى 

14
00:01:17,270 --> 00:01:21,270
بدنا نحل المعادلة التفاضلية اللي عندنا هذه ذكرنا 

15
00:01:21,270 --> 00:01:24,830
في المرة الماضية بنجزئها إلى جزئين بناخد الـ 

16
00:01:24,830 --> 00:01:28,730
homogeneous ومن ثم الـ non homogeneous differential 

17
00:01:28,730 --> 00:01:34,790
equation يبقى بداجي أقوله افترض أن Y تساوي E أس RX

18
00:01:34,790 --> 00:01:45,450
بيه solution of the homogeneous differential

19
00:01:45,450 --> 00:01:51,890
equation اللي هي المعادلة التالية Y W Prime زائد Y 

20
00:01:51,890 --> 00:01:57,450
يساوي Zero then the characteristic equation 

21
00:02:12,070 --> 00:02:18,010
الحل المتجانس يبقى 

22
00:02:22,280 --> 00:02:32,080
The Homogeneous Differential Equation is يساوي 

23
00:02:32,080 --> 00:02:40,580
يساوي يساوي

24
00:02:40,580 --> 00:02:44,700
يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي

25
00:02:44,700 --> 00:02:45,880
يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي

26
00:02:45,880 --> 00:02:47,560
يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي

27
00:02:47,560 --> 00:02:47,620
يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي يساوي

28
00:02:47,620 --> 00:02:51,060
يساوي يساوي

29
00:02:51,060 --> 00:02:56,550
يبقى أروح أدور على particular solution لحل 

30
00:02:56,550 --> 00:03:01,730
المعادلة اللي هي non homogeneous فباجي بقوله the 

31
00:03:01,730 --> 00:03:07,970
particular solution

32
00:03:07,970 --> 00:03:17,010
of the Differential equation start وبروح اللي فوق

33
00:03:17,010 --> 00:03:24,150
الأساسية هذه بسميها star (S) مديله الرمز YP وبدي

34
00:03:24,150 --> 00:03:31,510
بقول كتالي X to the power S V بأجي على شكل اللي هو

35
00:03:31,510 --> 00:03:35,650
الدالة اللي عندنا هذه رقم في sign يعني polynomial

36
00:03:35,650 --> 00:03:39,790
من الدرجة الصفرية مضروبة في sign إذا بدي أكتب

37
00:03:39,790 --> 00:03:43,630
polynomial من الدرجة الصفرية في sign زائد

38
00:03:43,630 --> 00:03:49,090
polynomial في cosine يبقى بقدر أقول هذه عبارة عن a 

39
00:03:49,090 --> 00:03:55,610
في cosine الـ x زائد b في sine الـ x بالشكل اللي

40
00:03:55,610 --> 00:04:04,280
عندنا هذا عندما أبحث عن قيمة S هل هي 0 أو 1 أو 2 أو 

41
00:04:04,280 --> 00:04:06,980
3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 

42
00:04:06,980 --> 00:04:10,500
3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 

43
00:04:10,500 --> 00:04:10,560
3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو

44
00:04:10,560 --> 00:04:10,600
3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو

45
00:04:10,600 --> 00:04:11,400
3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو

46
00:04:11,400 --> 00:04:11,720
3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو

47
00:04:11,720 --> 00:04:21,600
3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو 3 أو

48
00:04:24,720 --> 00:04:28,780
بواحد وشوف لو حطيتها بواحد بيظل فيه تشابه ولا بيكون

49
00:04:28,780 --> 00:04:34,980
انتهى هذا التشابه إذا لو حطيت S بواحد بيصير AX Cos

50
00:04:34,980 --> 00:04:41,400
وهنا BX Sin هل في أي term هنا يشبه أي term هنا

51
00:04:41,400 --> 00:04:48,920
طبعا لأ يبقى هنا here هنا الـ S تساوي واحد لما حط الـ

52
00:04:48,920 --> 00:04:53,740
S تساوي واحد بيكون أزلنا الشبه اللي موجود تماما ما

53
00:04:53,740 --> 00:04:56,880
بين الـ complementary solution و الـ particular

54
00:04:56,880 --> 00:05:02,600
solution يبقى بناء عليه هيصبح YP على الشكل التالي

55
00:05:02,600 --> 00:05:12,510
AX في cosine X زائد BX في sine X الآن بدنا نحدد

56
00:05:12,510 --> 00:05:19,010
قيمتين ثوابت الـ A و الـ B لذلك بدي اشتق مرة و اثنين

57
00:05:19,010 --> 00:05:26,590
و أعوض في المعادلة الأصلية يبقى بدي أخد Y P Prime

58
00:05:26,930 --> 00:05:34,310
هذه المشتقة حصل ضرب دالتين يبقى a في cos x ناقص ax 

59
00:05:34,310 --> 00:05:41,070
في sin x زائد كمان هذه حصل ضرب دالتين يبقى b في 

60
00:05:41,070 --> 00:05:50,100
sin x زائد bx في cos x يبقى اشتقنا كله من X و Cos X

61
00:05:50,100 --> 00:05:56,040
و X و Sin X كحاصل ضرب دالتين هذا حصلنا على Y' طبعا 

62
00:05:56,040 --> 00:06:00,020
ما فيش ولا term زي الثاني يبقى بيخلي كل شيء زي ما 

63
00:06:00,020 --> 00:06:06,500
هو بدنا نروح نجيب YPW' يبقى بدنا نشتق هذه بالسالب

64
00:06:06,500 --> 00:06:16,830
A Sin X وهذه السالب A Sin X بعد ذلك السالب ax في

65
00:06:16,830 --> 00:06:23,190
cos x اشتقت هذه حصل ضرب دالتين بنانيج اللي بعدها

66
00:06:23,190 --> 00:06:29,610
يبقى زائد b في cos x خلصنا منها بدأت أشتق هذه حصل

67
00:06:29,610 --> 00:06:38,190
ضرب دالتين يبقى زائد b في cos x ناقص bx في sin x

68
00:06:38,620 --> 00:06:42,780
يبقى اشتقناه حصل ضرب دالتين هنا في بعض العناصر 

69
00:06:42,780 --> 00:06:50,640
متشابهة هي عند هنا سالب اثنين a في sine الـ X وعندي 

70
00:06:50,640 --> 00:06:56,880
كمان زائد اثنين b في cosine الـ X هدول اثنين مع بعض

71
00:06:56,880 --> 00:07:03,720
وهدول اثنين مع بعض باقي عندي ناقص ax في cosine الـ 

72
00:07:03,720 --> 00:07:10,180
X وناقص bx في sine الـ X بعد ذلك اخذ المعلومات اللي 

73
00:07:10,180 --> 00:07:15,040
حصلت عليها و أعوض في المعادلة star يبقى هنا 

74
00:07:15,040 --> 00:07:23,320
substitute in 

75
00:07:23,320 --> 00:07:33,740
the differential equation star we get بنحصل على ما 

76
00:07:33,740 --> 00:07:34,200
يأتي

77
00:07:40,110 --> 00:07:43,630
يجب أن ازالة وي دابلي برايم واحط قيمتها وي دابلي 

78
00:07:43,630 --> 00:07:48,950
برايم هي حصلنا عليها يبقى ناقص اثنين اف صين

79
00:07:48,950 --> 00:07:55,980
الزاوية ثتا صين الزاوية X تمام؟ اللي بعدها زائد

80
00:07:55,980 --> 00:08:04,340
اثنين B في cosine الـ X اللي بعدها ناقص الـ AX في

81
00:08:04,340 --> 00:08:11,080
cosine الـ X ناقص الـ BX في sine الـ X هذا كله اللي

82
00:08:11,080 --> 00:08:17,400
أخدته مين؟ YW prime ضايق لنا مين؟ Y وين Y هايها؟ 

83
00:08:17,400 --> 00:08:24,560
بده أجمعهم هدول يبقى زائدهه اللي هو مين ax في cos

84
00:08:24,560 --> 00:08:33,520
x وبعد هي كده زائد bx في sin x كله بيساوي الطرف

85
00:08:33,520 --> 00:08:40,300
اللي يتبع المعادلة اللي هو 4 في sin x بنجي نجمع عن 

86
00:08:40,300 --> 00:08:47,940
ax cos بالسالب و ax cos بالموجب عنا bx sin بالسالب 

87
00:08:47,940 --> 00:08:53,220
و bx بيمين بالموجب يبقى صفة المعادلة على الشكل

88
00:08:53,220 --> 00:09:00,740
التالي ناقص اثنين a sin x زائدي اثنين b cos x كله 

89
00:09:00,740 --> 00:09:07,540
بده يساوي أربع sin x بعد ذلك نقرر المعاملات في

90
00:09:07,540 --> 00:09:13,340
الطرفين إذا لو قررنا المعاملات في الطرفين بسنا نقص

91
00:09:13,340 --> 00:09:19,580
اثنين a بدي أساوي قداش؟ أربع وعندك اثنين b بدي عندي 

92
00:09:19,580 --> 00:09:26,520
cosine هنا ما عندناش يبقى بيه Zero هذا معناه أن الـ a

93
00:09:26,520 --> 00:09:33,330
تساوي سالب اثنين و الـ b تساوي Zero يبقى أصبح شكل الـ 

94
00:09:33,330 --> 00:09:46,570
YP على الشكل التالي يبقى

95
00:09:46,570 --> 00:09:50,570
أصبح هذا شكل الـ YP

96
00:10:01,840 --> 00:10:11,150
Y يساوي YC زائد YP يبقى بناء عليه يصبح y يساوي yc هي 

97
00:10:11,150 --> 00:10:20,070
الموجودة عندي يبقى c1 cos x زائد c2 في sin x وزائد 

98
00:10:20,070 --> 00:10:28,010
yp ناقص 2x في cos x يبقى هذا الحل النهائي تبع من؟

99
00:10:28,010 --> 00:10:32,990
تبع المعادلة لاحظي ولا term من الثلاث termات زي

100
00:10:32,990 --> 00:10:38,240
الثاني ما فيش تشابه بين أي term والـ term الثاني

101
00:10:38,240 --> 00:10:46,440
المثال رقم أربعة يبقى example أربعة 

102
00:10:46,440 --> 00:10:50,720
بقول

103
00:10:50,720 --> 00:10:56,260
دي term a suitable 

104
00:10:56,260 --> 00:11:03,480
form شكل

105
00:11:03,480 --> 00:11:09,990
مناسب For the 

106
00:11:09,990 --> 00:11:19,330
particular solution

107
00:11:19,330 --> 00:11:23,490
of the

108
00:11:23,960 --> 00:11:32,520
Differential equation للمعادلة التفاضلية YW' ناقص

109
00:11:32,520 --> 00:11:49,540
4Y' زائد 4Y يساوي 2X تربيع زائد 4X E أس 2X زائد X

110
00:11:49,540 --> 00:11:55,100
في Sin 2X وهذه بدي اسميها المعادلة هي من 

111
00:11:55,100 --> 00:12:00,960
الـ star وبين جسين don't

112
00:12:00,960 --> 00:12:07,800
don't evaluate the 

113
00:12:07,800 --> 00:12:08,620
constants

114
00:12:38,460 --> 00:12:43,640
قالب الكوينة تانينقرأ السؤال مرة ثانية ونشوف شو

115
00:12:43,640 --> 00:12:51,120
المطلوب بيقول لي حدد حل في شكل مناسب للـ particular

116
00:12:51,120 --> 00:12:54,400
solution y, z تبع الـ differential equation هذا

117
00:12:54,400 --> 00:12:57,020
يبقى الناس بتحدد شكل الـ particular solution

118
00:12:57,020 --> 00:13:00,840
ويقول لي ما تحسبش الثوابت اضايع شواجدك وأنت بتجيب

119
00:13:00,840 --> 00:13:04,120
المشتقة الأولى والثانية وتعوض في المعادلة وتجيب

120
00:13:04,120 --> 00:13:07,940
ليه قد ايش قيمة a و b أو a و b و c وما إلا بتديش قيمة

121
00:13:07,940 --> 00:13:11,650
ثوابت بس هتلي شكل الـ main الـ Particular solution ليس

122
00:13:11,650 --> 00:13:15,790
لازم يكون قيمته ثابتة بقوله كويس يبقى يحتاج

123
00:13:15,790 --> 00:13:20,350
للمعادلة يحتاج أن يأخذ الـ Homogeneous differential

124
00:13:20,350 --> 00:13:24,550
equation يبقى يبدأ كما بدأت في المثال اللي قبله

125
00:13:24,550 --> 00:13:29,290
let Y تساوي E أس RX بإيه؟ 

126
00:13:41,220 --> 00:13:50,680
يبقى باجي بقوله the characteristic Equation is R

127
00:13:50,680 --> 00:13:56,060
تربيع ناقص أربعة R زائد أربعة يساوي Zero أو أن 

128
00:13:56,060 --> 00:14:02,560
شئتم فقولوا R ناقص اثنين لكل تربيع تساوي Zero أو 

129
00:14:02,560 --> 00:14:09,370
الـ R تساوي اثنين والحل هذا مكبر كم مرة؟ يبقى مرتين

130
00:14:09,370 --> 00:14:12,850
يبقى of multiplicity two

131
00:14:19,800 --> 00:14:25,640
2 يعني الحل مكرر مرتين بناء عليه بروح بقوله هنا

132
00:14:25,640 --> 00:14:32,220
يبقى solution yc بده يساوي الحل real ومكرر مرتين

133
00:14:32,220 --> 00:14:38,680
يبقى c1 زائد c2x e أس r

134
00:14:44,740 --> 00:14:49,820
بنبروز هذا الحل وبنسيبه وبنروح نرجع له بعد قليل

135
00:14:49,820 --> 00:14:52,800
الآن بدنا نيجي للـ non homogeneous differential

136
00:14:52,800 --> 00:14:56,280
equation اللي الـ star اللي عندنا بدنا نتطلع على

137
00:14:56,280 --> 00:15:00,240
شكل الـ F of X اللي هو الشكل اللي عندنا هذا هل هي 

138
00:15:00,240 --> 00:15:05,740
polynomial فقط؟ أو polynomial في exponential أو

139
00:15:05,740 --> 00:15:09,360
polynomial في sin أو cos المجموعة الحمد لله جايبة 

140
00:15:09,360 --> 00:15:13,720
الثلاث حالات كلهم بسؤال انواعي هي polynomial من

141
00:15:13,720 --> 00:15:17,180
الدرجة الثانية polynomial من الدرجة الأولى في 

142
00:15:17,180 --> 00:15:21,820
exponential polynomial من الدرجة الأولى في sin إذا 

143
00:15:21,820 --> 00:15:27,630
إيش هأعمل في المعادلة اللي عندي؟ هأجزقها إلى ثلاث

144
00:15:27,630 --> 00:15:31,690
معادلات تمام؟ و أحل كل واحدة فيهم و أجيب الـ

145
00:15:31,690 --> 00:15:35,390
particular solution تبعها وأجمع الحلول الثلاثة

146
00:15:35,390 --> 00:15:38,810
بيعطيني الـ particular solution لمين؟ للمعادلة 

147
00:15:38,810 --> 00:15:43,970
طبقا للنظرية اللي أعطانيها لكم في أول section في 

148
00:15:43,970 --> 00:15:46,970
الـ non homogeneous differential equation قولنا لكم

149
00:15:46,970 --> 00:15:53,150
هذا بيلزمنا لمين؟ للـ sections القادمة تمام؟ يبقى 

150
00:15:53,150 --> 00:16:01,260
بداجي أقوله هنا differential equation star is

151
00:16:01,260 --> 00:16:08,360
written as يمكننا أن نكتبها على الشكل التالي الـ y 

152
00:16:08,360 --> 00:16:14,460
double prime ناقص أربعة y prime زائد أربعة y يساوي 

153
00:16:14,460 --> 00:16:20,580
كم؟ يساوي اثنين x تربيع المعادلة الثانية اللي هي 

154
00:16:20,580 --> 00:16:33,690
مين؟ YW'-4Y' زائد 4Y يساوي 4XE2X 

155
00:16:33,690 --> 00:16:45,370
المعادلة الثالثة YW'-4Y' زائد 4Y يساوي XSIN2X يساوي

156
00:16:45,370 --> 00:16:50,350
X في SIN2X بالشكل اللي عندنا هذا

157
00:16:58,280 --> 00:17:03,840
طيب، الآن يعني كأنه صار عندي مش مسألة واحدة، ثلاث 

158
00:17:03,840 --> 00:17:07,120
مسائل، بدي أحل كل واحد أجيب الـ particle solution

159
00:17:07,120 --> 00:17:12,980
كأنه لا علاقة لها بمين؟ بالأخرى، يبقى هنا بدي أجيب

160
00:17:12,980 --> 00:17:20,180
الـ YP1 يبقى YP1 يساوي X to the power S فيه، هذه 

161
00:17:20,180 --> 00:17:21,740
polynomial من الدرجة 

162
00:17:34,810 --> 00:17:40,490
هل أي term من هنا يشبه

163
00:17:40,490 --> 00:17:42,250
أي term فوق؟

164
00:17:45,280 --> 00:17:52,060
مضروبة يعني هذا C1 E2 X و C2 X E2 فيه؟ ما عنديش 

165
00:17:52,060 --> 00:17:56,020
exponential هناك بما فيش يبقى هنا S بقدر إيه؟ ب

166
00:17:56,020 --> 00:18:03,680
Zero يبقى here الـ S تساوي Zero يبقى أصبح Y P1 بده 

167
00:18:03,680 --> 00:18:11,780
يساوي A0 X تربيع زائد A1 X زائد A2 سيبونا من هذا

168
00:18:11,780 --> 00:18:20,370
ننتقل على اللي بعدها يبقى بدي أكتب يبقى

169
00:18:20,370 --> 00:18:23,230
بدي أكتب polynomial من الدرجة الأولى في الـ 

170
00:18:23,230 --> 00:18:26,990
exponential يبقى بدي أكتب polynomial من الدرجة 

171
00:18:26,990 --> 00:18:32,070
الأولى في الـ exponential يبقى بدي أكتب polynomial

172
00:18:32,070 --> 00:18:34,410
من الدرجة الأولى في الـ exponential يبقى بدي أكتب 

173
00:18:34,410 --> 00:18:37,350
polynomial من الدرجة الأولى في الـ exponential

174
00:18:37,350 --> 00:18:37,390
exponential يبقى بدي أكتب polynomial من الدرجة

175
00:18:37,390 --> 00:18:38,650
الأولى في الـ exponential يبقى بدي أكتب polynomial

176
0

201
00:20:37,040 --> 00:20:47,000
كل هذا الكلام مضروب في cos 2x زائد e<sup>x</sup>

202
00:20:47,000 --> 00:20:53,980
زائد e<sup>x</sup> كله مضروب في sin 2x و exponential ماعنديش

203
00:20:56,240 --> 00:21:03,100
هل أي term من المستطيل اللي فوق هذا يشبه أي term

204
00:21:03,100 --> 00:21:07,720
من المستطيل اللي فوق هذا؟ لأ ولا فيه sign ولا cos

205
00:21:07,720 --> 00:21:08,120
ساين

206
00:21:13,370 --> 00:21:20,650
الـ S بدها تساوي 0 يبقى أصبح YP3 بدها تساوي D e<sup>x</sup>

207
00:21:20,650 --> 00:21:32,590
X زائد D1 في Cos 2X زائد E e<sup>x</sup> زائد E1 في Sin

208
00:21:32,590 --> 00:21:38,120
2X يبقى الـ Particular solution اللي بدنا يا بنات

209
00:21:38,120 --> 00:21:47,060
يبقى يساوي YP1 زائد YP2 زائد YP3 يبقى أصبح YP

210
00:21:47,060 --> 00:21:55,380
يساوي YP1 هاي و بنزله زي ما هو A0 X تربيع A1X زائد

211
00:21:55,380 --> 00:21:57,580
A2 زائد

212
00:22:19,860 --> 00:22:21,260
YP2 YP3 YP4 YP5 YP6 YP7

213
00:22:29,550 --> 00:22:36,330
يبقى هذا كله يعتبر من ال particular solution اللي

214
00:22:36,330 --> 00:22:41,990
مطلوب عنها حد فيكوا له أي تساؤل هنا في هذا السؤال؟

215
00:22:41,990 --> 00:22:48,270
في أي تساؤل؟ طيب على هيك انتهى هذا ال section وإلى

216
00:22:48,270 --> 00:22:55,590
يكون أرقام المسائل يبقى exercises خمسة سبعة

217
00:22:55,590 --> 00:23:01,730
المسائل التالية من واحد لغاية عشرين ومن خمسة

218
00:23:01,730 --> 00:23:08,730
وعشرين لغاية ثلاثين مرني

219
00:23:08,730 --> 00:23:13,530
أديكي قد ما تقدري بتصير هذا الموضوع بصير جدا

220
00:23:26,290 --> 00:23:49,450
اللي فوق هذا انتهينا منه أظن خلاص؟

221
00:23:49,450 --> 00:23:55,440
طيب لما ننتقل إلى ال section الأخير من هذا ال

222
00:23:55,440 --> 00:24:00,320
chapter وهي الطريقة الثانية من طرق حل ال non

223
00:24:00,320 --> 00:24:03,800
homogeneous differential equation وهي طريقة ال

224
00:24:03,800 --> 00:24:11,280
variation of parameters تغيير الوسيطات يبقى 85 أو

225
00:24:11,280 --> 00:24:19,340
58 اللي هو variation of

226
00:24:20,530 --> 00:24:29,030
Parameters نستخدم

227
00:24:29,030 --> 00:24:39,410
هذه الطريقة نستخدم هذه الطريقة to find a

228
00:24:39,410 --> 00:24:45,850
particular solution to find a particular

229
00:24:54,020 --> 00:24:58,120
YP الرمز للإيقاع

230
00:25:01,140 --> 00:25:07,280
Differential equation للمعادلة التفاضلية a<sub>0</sub> as a

231
00:25:07,280 --> 00:25:14,040
function of x زائد ال a<sub>1</sub> as a function of x لل

232
00:25:14,040 --> 00:25:21,470
derivative n-1 زائد نبقى ماشي لغاية a<sub>n</sub>

233
00:25:21,470 --> 00:25:27,750
-1 as a function of x y' زائد a<sub>n</sub> as a

234
00:25:27,750 --> 00:25:33,130
function of x في ال y بده يساوي  F(x)

235
00:25:33,130 --> 00:25:36,790
وهذه اللي كنا بنطلق عليها المعادلة الأصلية اللي هي

236
00:25:36,790 --> 00:25:46,210
star where حيث ال a<sub>0</sub>(x) و ال a<sub>1</sub>(x) و

237
00:25:46,210 --> 00:25:54,330
لغاية ال a<sub>n</sub>(x) هدول كلهم need not need not

238
00:25:54,330 --> 00:26:00,510
constants need

239
00:26:00,510 --> 00:26:09,410
not constants and no restriction ماعنديش قيود

240
00:26:09,410 --> 00:26:24,010
ماعنديش

241
00:26:24,010 --> 00:26:24,850
قيود عليها

242
00:26:33,720 --> 00:26:46,600
YC يبدو يساوي C<sub>1</sub>Y<sub>1</sub> زائد C<sub>2</sub>Y<sub>2</sub> زائد C<sub>n</sub>Y<sub>n</sub> Assume that

243
00:26:46,600 --> 00:26:57,440
is a solution of the homo

244
00:27:10,960 --> 00:27:16,840
زائد زائد a<sub>n-1</sub> as a function of x في ال y

245
00:27:16,840 --> 00:27:23,680
prime زائد a<sub>n</sub>(x) y بده يساوي كده؟ بده يساوي 0

246
00:27:29,020 --> 00:27:32,880
to get a

247
00:27:32,880 --> 00:27:37,540
particular solution

248
00:27:37,540 --> 00:27:46,180
to get a particular solution yp of the

249
00:27:46,180 --> 00:27:56,140
differential equation star by the method

250
00:27:59,990 --> 00:28:07,590
of variation of

251
00:28:07,590 --> 00:28:20,570
parameters replace

252
00:28:20,570 --> 00:28:32,010
استبدل replace the above constants above constants

253
00:28:32,010 --> 00:28:42,250
in

254
00:28:42,250 --> 00:28:48,930
the solution yc

255
00:28:48,930 --> 00:28:52,550
by the functions

256
00:28:55,020 --> 00:29:10,660
The functions C<sub>1</sub>(X) C<sub>2</sub>(X) و لغاية C<sub>n</sub>(X) That

257
00:29:10,660 --> 00:29:11,060
is

258
00:29:15,470 --> 00:29:25,490
YP يصبح على الشكل التالي C<sub>1</sub>(X)Y<sub>1</sub> C<sub>2</sub>(X)Y<sub>2</sub> زائد

259
00:29:25,490 --> 00:29:29,470
C<sub>n</sub>(X)Y<sub>n</sub>

260
00:29:35,370 --> 00:29:44,010
الـ C<sub>m</sub> as a function of X يسوي تكامل الورنسكين m

261
00:29:44,010 --> 00:29:51,350
as a function of X في F<sub>1</sub>(X) على

262
00:29:51,350 --> 00:29:59,090
الورنسكين (X) كله بالنسبة إلى DX والـ M

263
00:30:02,270 --> 00:30:09,990
و لغاية ال N و

264
00:30:09,990 --> 00:30:14,950
لغاية

265
00:30:14,950 --> 00:30:21,750
ال N و لغاية ال N و لغاية ال N و لغاية ال N

266
00:30:28,070 --> 00:30:34,350
is the determinant المحدد

267
00:30:34,350 --> 00:30:41,370
obtained from

268
00:30:41,370 --> 00:30:46,810
الوانسكين

269
00:30:46,810 --> 00:30:52,130
of X by replacing

270
00:30:58,290 --> 00:31:15,810
By replacing the m column By the column By

271
00:31:15,810 --> 00:31:26,730
the column Zero Zero ونظل ماشيين لغاية الواحد and

272
00:31:30,230 --> 00:31:42,150
الـ F<sub>1</sub>(X) تساوي الـ F(X) مقسومة على A<sub>0</sub>(X)

273
00:31:42,150 --> 00:31:45,550
Note

274
00:31:45,550 --> 00:31:50,310
When

275
00:31:50,310 --> 00:32:00,490
we use the method when we use the method of

276
00:32:00,490 --> 00:32:05,590
variation

277
00:32:05,590 --> 00:32:15,910
of parameters عندما

278
00:32:15,910 --> 00:32:23,110
نستخدم هذه الطريقة variation of parameters the

279
00:32:23,110 --> 00:32:23,850
coefficient

280
00:32:33,870 --> 00:32:45,010
يجب أن يكون يومي يومي

281
00:32:45,010 --> 00:32:47,290
يومي يومي يومي يومي يومي يومي يومي

282
00:32:58,790 --> 00:33:11,670
is of the second order

283
00:33:11,670 --> 00:33:14,970
that

284
00:33:14,970 --> 00:33:18,690
is

285
00:33:20,880 --> 00:33:30,340
الـ A<sub>0</sub>(x) y'' A<sub>1</sub>(x) y' A<sub>2</sub>(x) y

286
00:33:30,340 --> 00:33:35,420
بدها تساوي f

287
00:33:35,420 --> 00:33:50,710
of x and f y<sub>1</sub> and y<sub>2</sub> are two solutions are two

288
00:33:50,710 --> 00:33:57,990
solutions of

289
00:33:57,990 --> 00:34:12,570
the homogeneous equation A<sub>0</sub>(x) y'' A<sub>1</sub>(x) 

290
00:34:12,570 --> 00:34:18,570
y' A<sub>2</sub>(x) y بدو يساوي zero then

291
00:34:23,050 --> 00:34:33,070
الـ C<sub>1</sub>(X) هو تكامل لناقص Y<sub>2</sub> as a function of X

292
00:34:33,070 --> 00:34:39,550
في الـ F<sub>1</sub>(X) على W(X) DX

293
00:34:43,770 --> 00:34:51,950
الـ C<sub>2</sub> as a function of X بده يساوي تكامل لمين؟

294
00:34:51,950 --> 00:34:58,690
بده يساوي تكامل للـ Y<sub>1</sub> as a function of X في الـ

295
00:34:58,690 --> 00:35:05,170
F<sub>1</sub>(X) كله على الـ W(X) في الـ DX

296
00:35:05,170 --> 00:35:10,030
example

297
00:35:10,030 --> 00:35:10,490
1

298
00:35:15,200 --> 00:35:26,200
Find the general solution of

299
00:35:26,200 --> 00:35:32,340
the differential equation للمعادلة

300
00:35:32,340 --> 00:35:38,340
التفاضلية Y'''-2Y

301
00:35:43,090 --> 00:35:51,990
للمعاملة التحوي عضلية y

302
00:35:51,990 --> 00:36:03,650
''' زائد y' بدي يساوي x يساوي

303
00:36:03,650 --> 00:36:12,610
x و ناقص y على 2 أقل من x أقل من y على 2

304
00:37:01,140 --> 00:37:06,600
الطريقة الثانية من حل المعادلة التفاضلية غير

305
00:37:06,600 --> 00:37:11,260
المتجانسة هذه الطريقة سمنها ال variation of

306
00:37:11,260 --> 00:37:14,940
parameters يبقى أول طريقة طريقة ال undetermined

307
00:37:14,940 --> 00:37:18,380
coefficients والطريقة الثانية التي هي طريقة ال

308
00:37:18,380 --> 00:37:23,200
variation of parameters تغيير الوسيطات تتلخص هذه

309
00:37:23,200 --> 00:37:26,740
الطريقة فيما يأتي طبعا الـ Undetermined

310
00:37:26,740 --> 00:37:30,880
coefficients قلنا مشان نشتغل بها بدي شرطين أن

311
00:37:30,880 --> 00:37:34,860
المعاملة ثابتة و ال F(x) تبقى على شكل معين حسب

312
00:37:34,860 --> 00:37:37,660
الجدول اللي اعطاناكوا يعني، مظبوط؟ هنا ال

313
00:37:37,660 --> 00:37:41,460
variation بيقولي لأ المعاملة ثابتة و الله متغيرة

314
00:37:41,460 --> 00:37:45,660
ماعنديش مشكلة ال F(x) اللي في الطرف اليمين هذه

315
00:37:45,660 --> 00:37:49,180
ال F(x) كانت على شكل معين و الله غير عليها شكل

316
00:37:49,180 --> 00:37:53,590
معين ماعنديش مشكلة يعني أيش ما يكون شكل ال F يكون و

317
00:37:53,590 --> 00:37:56,590
ايش ما يكون المعاملة ثوابت أو متغيرات ماعنديش

318
00:37:56,590 --> 00:38:00,970
مشكلة يبقى هذا الشكل العام للمعادلة (*) حيث هدول

319
00:38:00,970 --> 00:38:05,350
الدوال need not constants ليس بالضرورة يكونوا constants يعني

320
00:38:05,350 --> 00:38:08,470
ممكن يكونوا constants وممكن يكونوا متغيرات ماعنديش

321
00:38:08,470 --> 00:38:12,070
مشكلة في هذه الحالة and

322
00:38:13,430 --> 00:38:18,250
and no restrictions

323
00:38:18,250 --> 00:38:23,170
ماعنديش قيود على شكل ال F(x) في ال Undetermined

324
00:38:23,170 --> 00:38:25,650
قلت يابولينوميال يابولينوميال في الاكسبوننشيل

325
00:38:25,650 --> 00:38:28,830
يابولينوميال في اكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في

326
00:38:28,830 --> 00:38:33,850
الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في

327
00:38:33,850 --> 00:38:35,710
الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في

328
00:38:35,710 --> 00:38:36,610
الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في

329
00:38:36,610 --> 00:38:37,770
الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في

330
00:38:37,770 --> 00:38:38,170
الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في

331
00:38:38,170 --> 00:38:40,250
الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في الاكسبوننشيل في

332
00:38:40,250 --> 00:38:45,310
الاكسبوننشيل في الاكس هذا الشغل الوحيد اللي هو الحل

333
00:38:45,310 --> 00:38:47,610
الـComplementary Solution بدي أدور على الـ

334
00:38:47,610 --> 00:38:51,270
Particular Solution تبع المعادلة مين؟ تبع المعادلة

335
00:38:51,270 --> 00:38:55,570
(*) فبجي بقول بدي أفترض الحل بطريقة ال version of

336
00:38:55,570 --> 00:38:59,870
parameters هو نفس الحل هذا بس بدي أشيل ثوابت و

337
00:38:59,870 --> 00:39:04,230
أضع بدلهم دوال في X يبقى (*) شكل ال Particular

338
00:39:04,230 --> 00:39:09,490
Solution هو C<sub>1</sub>(X) Y<sub>1</sub> زائد C<sub>2</sub>(X) Y<sub>2</sub> زائد زائد

339
00:39:09,490 --> 00:39:14,560
C<sub>n</sub>(X)Y<sub>n</sub> طيب مين هي الـC هات كيف بدي أحسبها

340
00:39:14,560 --> 00:39:19,980
هذه؟ بعد شوية حسابات لجينا في قاعدة بواسطتها بجيب

341
00:39:19,980 --> 00:39:25,320
كل دالة من هذه الدوال مين هي؟ قاعدة C<sub>m</sub>(X) طبعا

342
00:39:25,320 --> 00:39:29,500
بواحد واثنين لغاية ال N يعني بC واحد وC اتنين وC

343
00:39:29,500 --> 00:39:34,890
ثلاثة كده إلى الآخر يساوي الـ W(m) F<sub>1</sub>(X) على

344
00:39:34,890 --> 00:39:38,530
W(X) DX نجي على الـ W(X) الـ

345
00:39:38,530 --> 00:39:42,330
W(X) هذا تابع للحلول اللي في الحالة الأولى

346
00:39:42,330 --> 00:39:46,190
Y<sub>1</sub> و Y<sub>2</sub> و Y<sub>n</sub> بجيب اللي هم الـ W(X) بيكون هذا

347
00:39:46,190 --> 00:39:50,140
هو الـ W(X) تابع لحصوف على شجرة بدي W(1) و

348
00:39:50,140 --> 00:39:54,760
W(2) و W(3) لغاية W(n) مين هو هذا؟

349
00:39:54,760 --> 00:39:58,720
هذا ال W(1) باجي على ال W(X) دي بشيل

350
00:39:58,720 --> 00:40:02,880
العمود الأول و بحط بداله العمود هذا و بحسب قداش

351
00:40:02,880 --> 00:40:07,890
قيمة ال W(X) طب بدي W(2) بسيب ال W(X) هذا

352
00:40:07,890 --> 00:40:13,670
زي ما هو و بجي على العمود الثاني بشيله كله و بحط

353
00:40:13,670 --> 00:40:16,810
بداله العمود هذا و هكذا W(3) W(X)

354
00:40:16,810 --> 00:40:21,210
لغاية بكملهم كلهم يبقى في هذه الحالة جبتها طب مين

355
00:40:21,210 --> 00:40:25,850
هي ال F<sub>1</sub>(X) هذه؟ اه ال F<sub>1</sub>(X) هذه لما تيجي المعادلة بد

356
00:40:25,850 --> 00:40:30,310
المعادلة هنا المعامل تبعي يكون جديشهذا يعني أنني

357
00:40:30,310 --> 00:40:36,110
أقسم الطرفين على مين على A<sub>0</sub>(X) يبقى ال F<sub>1</sub> هي

358
00:40:36,110 --> 00:40:42,270
عبارة عن F(x) مقسومة على ال A<sub>0</sub>(X) يبقى ال F<sub>1</sub>

359
00:40:42,270 --> 00:40:47,270
(X) هي ال F(X) مقسومة على مين على ال A<sub>0</sub>(X)

360
00:40:47,270 --> 00:40:52,490
أصلا واضح كلام هذا طيب الآن في ملاحظة بدنا نشير

361
00:40:52,490 --> 00:40:57,290
إليها الملاحظة كانت التالية قلتها بس بدنا نعيدها هيا

362
00:40:57,290 --> 00:41:00,590
عندما نستخدم ال variation of parameters لازم يكون

363
00:41:00,590 --> 00:41:05,610
المعامل تبع Y'' هو مين و نسيت و حطيت ال F(x)

364
00:41:05,610 --> 00:41:11,110
هذه بدل هذه بصي كلامك غلط بصي تحققش و ما تقدرش

365
00:41:11,110 --> 00:41:16,250
تتكاملي تمام يبقى تتأكدي عندما بدك تستخدم التكامل

366
00:41:16,250 --> 00:41:20,390
بتخلي المعامل تبع Y to the derivative أن هو واحد

367
00:41:20,390 --> 00:41:24,610
صحيح تمام هي نقطة الأولى بعدين فينا ملاحظة ثانية

368
00:41:25,260 --> 00:41:28,720
بيقول ال equation (*) هذه لو كانت من الرتبة

369
00:41:28,720 --> 00:41:32,680
الثانية يبقى بدل ال W(1) و نص كنتوا محسبينه و

370
00:41:32,680 --> 00:41:38,320
خلصينه و جاهزين ايش بيقول ال C<sub>1</sub>(X) بتحطي للحل

371
00:41:38,320 --> 00:41:42,940
الثاني بإشارة سالب في ال F<sub>1</sub>(X) على ال W(X)

372
00:41:42,940 --> 00:41:48,260
طيب و ال C<sub>2</sub>؟ و ال C<sub>2</sub> هي الحل الأول في ال Y<sub>1</sub>(X)

373
00:41:48,260 --> 00:41:51,850
على مين؟ على ال W(X) يبقى كمان لابد تحسب

374
00:41:51,850 --> 00:41:54,950
ال W(X) لأ هذا إن كانت من الرتبة الثانية، من

375
00:41:54,950 --> 00:41:59,930
الرتبة الثالثة، بدي أرجع عالميا للكلام الأول، واضح

376
00:41:59,930 --> 00:42:03,590
كلام هيك؟ الأمن اللي حطوه على أرض واقعة جالي يحل

377
00:42:03,590 --> 00:42:08,430
المعادلة هذه بقوله تمام يبقى أنا بدي أبدأ بحل ال

378
00:42:08,430 --> 00:42:12,190
homogeneous differential equation كما كنا من قبل

379
00:42:12,190 --> 

401
00:44:50,280 --> 00:44:58,140
كمان مرة Zero ناقص Cos X ناقص Sine X بدي أفكه

402
00:44:58,140 --> 00:45:05,170
باستخدام عناصر العمود الأول يبقى واحد فيه قشط بصفه

403
00:45:05,170 --> 00:45:11,630
عموده يبقى Sin تربيع ال X زائد Cosine تربيع ال X

404
00:45:11,630 --> 00:45:16,650
اللي هو قداش الواحد بدي أجيب الـ Ronskian 1 as a

405
00:45:16,650 --> 00:45:20,810
function of X بدي أشيل العمود هذا و أستبدله 

406
00:45:20,810 --> 00:45:31,390
بالعمود 001 والاتنين هدول زي ما هم Cos X Sin X -Sin

407
00:45:31,390 --> 00:45:41,050
X Cos X - Cos X - Sin X ويساوي بدي أفكه برضه باستخدام

408
00:45:41,050 --> 00:45:46,830
العمود الأول يبقى Zero ناقص Zero زائد واحد في قشط

409
00:45:46,830 --> 00:45:51,250
بصفه عموده Cosine تربيع زائد Sine تربيع Cosine

410
00:45:51,250 --> 00:45:57,430
تربيع ال X زائد Sine تربيع ال X كله بقداش بواحد

411
00:45:57,910 --> 00:46:02,810
يبقى بناء عليه بدي أجيب الـ Ronskian 2 as a

412
00:46:02,810 --> 00:46:05,910
function of x يبقى العمودي اللي اللي هو بدي أرجع

413
00:46:05,910 --> 00:46:09,970
كما كان يا بنات أي واحد Zero Zero العمودي الثاني

414
00:46:09,970 --> 00:46:13,550
هو اللي بدي أستبدله ب Zero Zero واحد والعمودي 

415
00:46:13,550 --> 00:46:20,110
الثالث كما كان Sine ال X Cosine ال X ناقص Sine ال

416
00:46:20,110 --> 00:46:25,970
X يبقى بناء عليه هذا الكلام يساوي بدي أفكه باستخدام

417
00:46:25,970 --> 00:46:31,590
عناصر العمود الأول يبقى قشط بصفه وعموده Zero ناقص 

418
00:46:31,590 --> 00:46:36,470
Cosine ال X يبقى ناقص Cosine ال X خلينا نجيب

419
00:46:36,470 --> 00:46:43,350
الـ Ronskian 3 as a function of X يساوي 1 0 0 العمود

420
00:46:43,350 --> 00:46:50,590
الثاني كما هو Cosine ال X ناقص Sine ال X وهنا ناقص 

421
00:46:50,590 --> 00:46:58,270
Cosine ال X وهنا 001 بالشكل اللي اقنعناه بدي أفكه

422
00:46:58,270 --> 00:47:02,590
باستخدام عناصر العمود الأول بقشط بصف وعموده ناقص 

423
00:47:02,590 --> 00:47:11,780
Sin X خلصنا منه، سأحصل على الـ C1 as a function of

424
00:47:11,780 --> 00:47:19,880
X التكامل من أين؟ التكامل للـ Ronskian 1 of X في 

425
00:47:19,880 --> 00:47:24,260
الـ F of X لا يوجد فيها تغيير كما هي على الـ 

426
00:47:24,260 --> 00:47:30,180
Ronskian of X كله بالنسبة إلى DX يساوي تكامل Ronskian 

427
00:47:30,180 --> 00:47:35,670
1 طلعناه بقداش بواحد يبقى هذا واحد فيه الـ F of X

428
00:47:35,670 --> 00:47:41,410
اللي يبقى دهشة بنات Sec ال X ازاي على Sec ال X على 

429
00:47:41,410 --> 00:47:47,270
الـ Ronskian of X الأول برضه واحد كله DX يبقى تكامل

430
00:47:47,270 --> 00:47:53,190
الـ Sec لين Absolute value لـ Sec ال X زائد Tan ال X 

431
00:47:53,190 --> 00:47:59,710
بدنا نجيب C2 as a function of X يبقى تكامل Ronskian 2

432
00:47:59,710 --> 00:48:06,470
of x في f of x على Ronskian of x dx يساوي تكامل

433
00:48:06,470 --> 00:48:11,790
Ronskian 2 هو بناقص Cos x

434
00:48:22,510 --> 00:48:28,490
يبقى تكامل لناقص DX يبقى بناقص X ولا تكتبي

435
00:48:28,490 --> 00:48:33,650
Constants لأن كل صلاة وكتاب يعملوا ليه تكرار يبقى

436
00:48:33,650 --> 00:48:38,510
سيبين من التكرار يبقى بكتبها فقط زي هيك بدأ ياخد 

437
00:48:38,510 --> 00:48:39,590
C3

438
00:48:46,760 --> 00:48:54,240
يبقى بيدي C3A of X يبقى يساوي تكامل Ronskian 3 of X

439
00:48:54,240 --> 00:49:00,900
في F of X على Ronskian of X DX Y يساوي الـ Ronskian 3

440
00:49:00,900 --> 00:49:09,010
له سالب Sin X والدالة Sec ال X والرمز كان واحد DX

441
00:49:09,010 --> 00:49:15,810
يبقى يساوي تكامل سالب Sin X الـ Sec مقلوب الـ Cos X DX

442
00:49:15,810 --> 00:49:20,570
أظن البسطة فاضل المقام يبقى الجواب لين Absolute 

443
00:49:20,570 --> 00:49:28,570
value لـ Cos X يبقى جبت الـ C الثلاث يبقى سار YP 

444
00:49:28,570 --> 00:49:33,720
يساوي وين YP يا بناتهيه بدي أشيل الـ C1 الـ C1

445
00:49:33,720 --> 00:49:38,720
جيبناها اللي هي قداش اللي هي الـ Ln Absolute value 

446
00:49:38,720 --> 00:49:47,480
لـ Sec ال X زائد Tan ال X زائد C2 وين C2 هيو زائد

447
00:49:47,480 --> 00:49:52,280
اللي هي ناقص X في مين؟ في Cosine ال X

448
00:50:04,270 --> 00:50:12,930
يبقى y يساوي yc هي

449
00:50:12,930 --> 00:50:23,580
تحت يبقى c واحد زائد C2 Cos X زائد C3 Sin X زائد YP 

450
00:50:23,580 --> 00:50:28,540
هاي وبدي أنزله زي ما هو بس ليه خاطر أرتبه يبقى هاي

451
00:50:28,540 --> 00:50:36,820
Sin X في Ln Absolute value لـ Cos X ناقص X في Cos 

452
00:50:36,820 --> 00:50:45,600
X زائد Ln Absolute value لـ Sec X زائد Tan ال X وكان

453
00:50:45,600 --> 00:50:50,160
الله بالسر علينا يبقى هذا حل السؤال اللي عندنا 

454
00:50:50,160 --> 00:50:54,780
تمام وهكذا يعني الشغل بهذه الطريقة طبعا لو جيبناك 

455
00:50:54,780 --> 00:50:58,200
سؤال في الامتحان لن يزيد عن الرتبة الثالثة أن 

456
00:50:58,200 --> 00:51:01,780
دخلنا في الرتبة الرابعة بدك محدد من الدرجة الرابعة

457
00:51:01,780 --> 00:51:05,760
بياخد وقت كتير وانت تحل فيه يبقى فقط من الدرجة

458
00:51:05,760 --> 00:51:11,260
الثالثة أو الدرجة الثانية إن شاء الله لازلنا في 

459
00:51:11,260 --> 00:51:15,600
نفس الـ Section ولما ننتهي بعد في عندي بعض الأمثلة

460
00:51:15,600 --> 00:51:20,060
على نفس الموضوع بالإضافة إلى آخر طريقة اللي هي

461
00:51:20,060 --> 00:51:24,340
طريقة Reduction of Order لاختزال الرتبة للمحاضرة 

462
00:51:24,340 --> 00:51:26,760
اليوم بعد الظهر إن شاء الله وتعالى