PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/7K-d4aAzbLs.srt

1
00:00:21,410 --> 00:00:29,070
السلام عليكم، اليوم في اللقاء الأول هناخد مناقشة و

2
00:00:29,070 --> 00:00:36,710
أعتقد أن احنا في المناقشة السابقة وصلنا لـ section 

3
00:00:36,710 --> 00:00:46,810
ثلاثة خمسة، أصبع؟ فممكن

4
00:00:46,810 --> 00:01:07,930
اليوم هنناقش section ثلاثة ستة أو ثلاثة سبعة في

5
00:01:07,930 --> 00:01:14,710
أي أسئلة عندكم في section ثلاثة خمسة أو section

6
00:01:14,710 --> 00:01:25,230
ثلاثة ستة، السؤال ستة، أي سؤال؟ سؤال ثلاثة ستة

7
00:01:25,230 --> 00:01:35,470
سؤال 

8
00:01:35,470 --> 00:01:37,650
ستة، section ثلاثة ستة

9
00:01:46,160 --> 00:01:58,020
Let x<sub>n</sub>, let the sequence x<sub>n</sub> be properly divergent

10
00:01:58,020 --> 00:02:05,920
there, and let

11
00:02:05,920 --> 00:02:24,780
and let y<sub>n</sub> be such that limit x<sub>n</sub> ضرب y<sub>n</sub> limit

12
00:02:24,780 --> 00:02:31,980
حاصل الضرب لما n تؤول لـ infinity يساوي

13
00:02:31,980 --> 00:02:40,620
L ينتمي إلى R، يعني exists in R، شو 

14
00:02:40,620 --> 00:02:54,410
مطلوب ثم اثبت، أظهر أن سيكوينس y<sub>n</sub> يتعامل

15
00:02:54,410 --> 00:03:10,230
بالصفر، حل

16
00:03:10,230 --> 00:03:17,950
السؤال هذا بيعتمد على سؤال سابق، اللي هو سؤال ثلاثة

17
00:03:17,950 --> 00:03:27,190
فالسؤال

18
00:03:27,190 --> 00:03:32,430
هذا بيقول أن f

19
00:03:32,430 --> 00:03:50,310
x<sub>n</sub> أكبر من صفر لكل n عدد طبيعي، then

20
00:03:50,310 --> 00:04:03,990
limit x<sub>n</sub> بساوي zero if and only if limit واحد على

21
00:04:03,990 --> 00:04:10,350
x<sub>n</sub> as n tends to infinity بساوي plus infinity

22
00:04:20,790 --> 00:04:27,670
Okay، لأن في سؤال طلعتها إذا كانت x<sub>n</sub> حدود sequence 

23
00:04:27,670 --> 00:04:36,290
حدودها موجبة، و ف limit ال sequence x<sub>n</sub> بساوي صفر

24
00:04:36,290 --> 00:04:41,350
if and only if limit مقلوب ال sequence x<sub>n</sub> بساوي 

25
00:04:41,350 --> 00:04:42,190
plus infinity

26
00:04:46,230 --> 00:04:52,690
وطبعًا في كمان ممكن نثبت أن لو كانت الـ x<sub>n</sub> حدودها 

27
00:04:52,690 --> 00:05:00,950
سالبة، ف limit x<sub>n</sub> بساوي صفر if and only if limit واحد 

28
00:05:00,950 --> 00:05:03,970
على x<sub>n</sub> بساوي negative infinity

29
00:05:15,220 --> 00:05:24,480
بما أن x<sub>n</sub> هو بشكل صحيح ديفرجينت

30
00:05:24,480 --> 00:05:39,580
ثم قيمة x<sub>n</sub> بساوي إنفينتي أو قيمة x<sub>n</sub> بساوي نيجاتيف 

31
00:05:39,580 --> 00:05:40,180
إنفينتي

32
00:05:45,460 --> 00:05:52,220
case one، ناخد الحالة الأولى اللي فيها limit x<sub>m</sub>

33
00:05:52,220 --> 00:05:59,860
بساوي infinity by 

34
00:05:59,860 --> 00:06:03,560
exercise 

35
00:06:03,560 --> 00:06:15,020
رقم ثلاثة، section ثلاثة ستة، والـ exercise اللي فوق 

36
00:06:15,020 --> 00:06:18,100
هذا

37
00:06:18,100 --> 00:06:27,160
معناه أنه we have هيطلع أنه limit المطلوب ال

38
00:06:27,160 --> 00:06:38,000
sequence x<sub>n</sub> as n tends to infinity بيطلع صفر، يعني

39
00:06:38,000 --> 00:06:44,710
اعتبري هذه هي x<sub>n</sub>، تعتبر الـ 1 على x<sub>n</sub> هي x<sub>n</sub>، فإذا كان

40
00:06:44,710 --> 00:06:49,510
limit x<sub>n</sub> بساوي infinity، فlimit مقلوب الـ x<sub>n</sub> اللي

41
00:06:49,510 --> 00:06:57,530
هنا، مقلوب اللي هو إيه؟ بتطلع صفر ولا عكس؟ يعني هنا

42
00:06:57,530 --> 00:07:03,850
نفس الـ exercise بس بدل x<sub>n</sub> بـ 1 على x<sub>n</sub>، فهذه 

43
00:07:03,850 --> 00:07:08,690
نتيجة صحيحة تمام، hence

44
00:07:13,030 --> 00:07:16,810
الـ limit لـ

45
00:07:16,810 --> 00:07:29,290
y<sub>n</sub> as n tends to infinity بساوي الـ limit الـ

46
00:07:29,290 --> 00:07:38,110
y<sub>n</sub>، ممكن كتبتها على صورة على 

47
00:07:38,110 --> 00:07:39,310
صورة

48
00:07:46,210 --> 00:07:55,770
x<sub>n</sub> في y<sub>n</sub> ضرب 1 

49
00:07:55,770 --> 00:08:01,290
على x<sub>n</sub> صح؟

50
00:08:01,290 --> 00:08:09,850
نظبط هيك، الـ y<sub>n</sub> هي عبارة عن x<sub>n</sub> في y<sub>n</sub> في 1 على x<sub>n</sub>

51
00:08:12,880 --> 00:08:18,360
الآن الـ limit هذه لحد الأول exist، و limit لـ 1 

52
00:08:18,360 --> 00:08:22,660
على x<sub>n</sub> برضه exist، إذا الـ limit حاصل الضرب بساوي حاصل 

53
00:08:22,660 --> 00:08:27,540
ضرب الـ limits، بقدر استخدم القانون هذا، هطبق أنه

54
00:08:27,540 --> 00:08:32,360
limit حاصل ضرب two sequences بساوي limit الأولى

55
00:08:32,360 --> 00:08:41,100
اللي هي حاصل ضرب x<sub>n</sub> y<sub>n</sub>، ضرب limit الـ sequence

56
00:08:41,100 --> 00:08:48,180
التانية هي 1 على x<sub>n</sub> as n tends to infinity، و

57
00:08:48,180 --> 00:08:53,940
الـ limit الأولى مش ساميناها عدد L لما exist ضرب الـ

58
00:08:53,940 --> 00:09:01,600
limit التانية صفر، فبيطلع عندي صفر وهو المطلوب، فهنا

59
00:09:01,600 --> 00:09:05,920
أثبتنا في الحالة التانية، case two

60
00:09:10,140 --> 00:09:24,200
لو كانت الـ limit لـ x<sub>n</sub> بساوي negative infinity، ففي

61
00:09:24,200 --> 00:09:29,580
الحالة هذه بيطلع عندي برضه by exercise ثلاثة

62
00:09:29,580 --> 00:09:36,020
section ثلاثة ستة، بس هنا مع التعديل هيطلع أن الـ

63
00:09:36,020 --> 00:09:44,910
limit لـ 1 على x<sub>n</sub> مثلًا صفر، وباقي البرهان

64
00:09:44,910 --> 00:09:58,730
and the rest of the proof is similar to 

65
00:09:58,730 --> 00:09:59,450
case one

66
00:10:03,650 --> 00:10:09,850
Okay تمام، إذا هذا اللي هو البرهان أن الادعاء

67
00:10:09,850 --> 00:10:15,870
يعتمد على exercise ثلاثة المهم وهو أن limit لـ

68
00:10:15,870 --> 00:10:19,750
sequence بيساوي infinity if and only if limit 

69
00:10:19,750 --> 00:10:24,810
مقلوب ال sequence بيساوي صفر أو العكس تمام، وهذا

70
00:10:34,460 --> 00:10:39,400
في عنكم أسئلة ثانية؟

71
00:10:39,400 --> 00:10:45,260
في

72
00:10:45,260 --> 00:10:49,220
أسئلة ثانية، section ثلاثة ستة الفرق بيه من سؤال 

73
00:10:49,220 --> 00:10:49,680
تسعة

74
00:11:33,220 --> 00:11:41,380
نحاول نكتب السؤال وبعدين السؤال

75
00:11:41,380 --> 00:11:43,600
تسعة، section ثلاثة ستة

76
00:11:53,320 --> 00:12:04,400
لت x<sub>n</sub> و y<sub>n</sub> بيكونوا عاملين من عاملين من عاملين من

77
00:12:04,400 --> 00:12:06,860
عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من

78
00:12:06,860 --> 00:12:09,100
عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من

79
00:12:09,100 --> 00:12:22,440
عاملين من عاملين

80
00:12:31,890 --> 00:12:44,270
مطلوب الأول هو show if limit y<sub>n</sub> بساوي infinity 

81
00:12:44,270 --> 00:12:51,370
then limit

82
00:12:51,370 --> 00:12:53,590
x<sub>n</sub> بساوي infinity

83
00:12:56,820 --> 00:13:10,660
والجزء الثاني show if x<sub>n</sub> is bounded then 

84
00:13:10,660 --> 00:13:15,680
limit

85
00:13:15,680 --> 00:13:25,600
y<sub>n</sub> is serviceable طبعًا

86
00:13:30,880 --> 00:13:39,520
في برهانين للـ

87
00:13:39,520 --> 00:13:47,540
للـ exercise هذا، البرهان الأول باستخدام

88
00:13:47,540 --> 00:13:55,580
exercise 7 اللي جابله، يعني هنا since

89
00:13:55,580 --> 00:14:04,790
من الفرض لما إنه limit x<sub>n</sub> على y<sub>n</sub> as n tends to 

90
00:14:04,790 --> 00:14:15,150
infinity بساوي plus infinity then by exercise

91
00:14:15,150 --> 00:14:24,790
ثلاثة، section ثلاثة ستة، if limit sequence بساوي

92
00:14:24,790 --> 00:14:30,780
infinity بيطلع limit مقلوب الـ sequence اللي هو y<sub>n</sub> 

93
00:14:30,780 --> 00:14:40,920
على x<sub>n</sub> as n tends to infinity بساوي صفر، now

94
00:14:40,920 --> 00:14:44,480
apply

95
00:14:44,480 --> 00:14:47,900
exercise

96
00:14:47,900 --> 00:14:55,940
رقم سبعة، section ثلاثة ستة، to 

97
00:14:55,940 --> 00:14:56,340
get

98
00:14:59,870 --> 00:15:13,950
the results in a and b، وهذا بيعطيني المطلوب، لو بصيت ولا

99
00:15:13,950 --> 00:15:18,950
لا الـ exercise

100
00:15:18,950 --> 00:15:25,070
سبعة في الـ exercise سبعة بيقول ده كانت الـ limit للـ

101
00:15:25,070 --> 00:15:30,880
quotient للـ quotient زي هذا بساوي صفر، و x<sub>n</sub> و y<sub>n</sub>

102
00:15:30,880 --> 00:15:37,200
حدودهم موجبة، ففي الحالة هذه إذا كانت limit الـ

103
00:15:37,200 --> 00:15:47,200
sequence اللي تحت convergent إذا

104
00:15:47,200 --> 00:15:50,240
كانت limit الـ sequence اللي تحت 

105
00:15:56,100 --> 00:16:01,960
لأ limit الـ sequence اللي فوق اللي هي y<sub>n</sub> هنا

106
00:16:01,960 --> 00:16:06,040
infinity فبيطلع limit x<sub>n</sub> بالـ infinity اللي هو جزء

107
00:16:06,040 --> 00:16:12,980
الاول، وكمان إذا كانت الـ sequence اللي في المقام

108
00:16:12,980 --> 00:16:16,520
bounded اللي هي x<sub>n</sub> هنا طبعًا في المقام bounded 

109
00:16:16,520 --> 00:16:21,500
فرقة الـ sequence اللي في الـ bust تطلع يساوي 0، وهذا

110
00:16:21,500 --> 00:16:25,740
هو الجزء الثاني، هذا حسب هذا لو بدنا نستخدم

111
00:16:25,740 --> 00:16:33,610
exercise رقم 7 وطبعًا لازم نبرهنه، لكن ممكن نعطي

112
00:16:33,610 --> 00:16:39,710
برهان مباشر بدون ما يستخدم exercise السابعة

113
00:16:39,710 --> 00:16:49,670
وبالتالي إذا في حال ثاني أو برهان ثاني باستخدام

114
00:16:49,670 --> 00:16:57,900
التعريفات وال comparison tests، باستخدام التعريفات

115
00:16:57,900 --> 00:17:01,820
زائد ال comparison tests، اختبارات المقارنة، الـ

116
00:17:01,820 --> 00:17:09,240
proof رقم اثنين، since

117
00:17:09,240 --> 00:17:16,820
إننا ننسى هذا القران، أنا عندي هذه الفرض since limit 

118
00:17:16,820 --> 00:17:24,630
لـ x<sub>n</sub> over y<sub>n</sub> هذا عبارة عن sequence، لأن الـ limit

119
00:17:24,630 --> 00:17:33,410
إلى بالصفر plus infinity، then given Alpha أي real

120
00:17:33,410 --> 00:17:41,610
number Alpha من تعريف الـ improper convergence 

121
00:17:41,610 --> 00:17:50,030
لأي Alpha there exists capital N يعتمد على Alpha 

122
00:17:50,030 --> 00:17:56,450
عدد طبيعي بحيث إنه يكون M أكبر من أو يساوي الـ capital N

123
00:17:56,450 --> 00:18:12,950
بيطلع عندي x<sub>m</sub> على y<sub>m</sub> أكبر من Alpha، طبعًا

124
00:18:12,950 --> 00:18:20,480
وهذا بيقودِ أن x<sub>m</sub> أكبر من Alpha في y<sub>m</sub>، لما عندي y<sub>n</sub>

125
00:18:20,480 --> 00:18:26,120
هنا موجبة، لما أضرب الطرفين في y<sub>n</sub>، التباين إشارتها 

126
00:18:26,120 --> 00:18:32,340
تبقى كما هي، إذا

127
00:18:32,340 --> 00:18:40,880
أنا عندي الآن الكلام هذا صحيح لكل n أكبر من أو يساوي 

128
00:18:40,880 --> 00:18:46,540
كابتن، الآن الآن

129
00:18:46,540 --> 00:18:47,360
by

130
00:18:49,930 --> 00:18:56,930
بمعنى الـ Direct Comparison Test، بما

131
00:18:56,930 --> 00:19:02,970
إنه limit y<sub>n</sub>

132
00:19:02,970 --> 00:19:04,130
بساوي infinity

133
00:19:25,130 --> 00:19:33,010
ناخد Alpha في 1 ممكن

134
00:19:33,010 --> 00:19:37,750
آه ناخد Alpha في 1 صح، دي من الـ Alpha دي ثاني

135
00:19:37,750 --> 00:19:49,320
واحد يعني ثاني الـ R مظبوط، فده واحد وثاني واحد، بما

136
00:19:49,320 --> 00:19:54,600
أن الـ limit لـ y<sub>n</sub>

137
00:19:54,600 --> 00:20:02,180
بساوي infinity، نحن نحصل على limit لـ x<sub>n</sub> بساوي 

138
00:20:02,180 --> 00:20:06,640
infinity، لأن هذا بيثبت الجزء الأول، أنت بدك الجزء

139
00:20:06,640 --> 00:20:08,160
الثاني صح؟ طيب

140
00:20:15,760 --> 00:20:19,840
بنشوف الجزء الثاني، إذا كانت الـ sequence x<sub>n</sub> 

141
00:20:19,840 --> 00:20:27,400
bounded فبالتالي y in بسرعة نصف طيب

142
00:20:27,400 --> 00:20:32,420
الجزء

143
00:20:32,420 --> 00:20:43,340
دي since x is bounded إذن

144
00:20:43,340 --> 00:20:48,760
في عدد موجب There exists a positive number بحيث أنه

145
00:20:48,760 --> 00:20:57,360
absolute value of x<sub>n</sub> أصغر من أو يساوي m لكل n في هذا من

146
00:20:57,360 --> 00:21:05,280
تعريف الboundary نفسه طيب بالمنطلق بتاعنا إيه؟ أن

147
00:21:05,280 --> 00:21:16,480
ال limit ل y<sub>n</sub>  عند صفر طيب to show limit y<sub>n</sub> يساوي

148
00:21:16,480 --> 00:21:23,260
zero let epsilon بنستخدم تعريف epsilon و capital M

149
00:21:23,260 --> 00:21:32,060
لإن هي let epsilon أكبر من الصفر be given من

150
00:21:32,060 --> 00:21:39,100
epsilon على M بيطلع عدد موجب من

151
00:21:41,390 --> 00:21:52,910
العدد الموجب يعتمد

152
00:21:52,910 --> 00:21:58,830
على إبسلون على M يعتبر

153
00:21:58,830 --> 00:22:01,590
إبسلون على M

154
00:22:16,450 --> 00:22:24,150
أنا عندي إيش عندي بدي

155
00:22:24,150 --> 00:22:31,170
أثبت أن limit y<sub>n</sub> يساوي صفر فخلينا نشوف

156
00:22:43,720 --> 00:22:54,900
طيب أنا لازم أستخدم .. آه لازم أستخدم ..

157
00:22:54,900 --> 00:23:01,840
طيب since ..

158
00:23:01,840 --> 00:23:06,820
طيب بس هنا يعني خليني أقول since

159
00:23:11,850 --> 00:23:20,390
بما أن ال limit ل y<sub>n</sub> على x<sub>n</sub> as n tends to infinity

160
00:23:20,390 --> 00:23:24,410
أنا عندي المقلوب هذا ال limit تبعته infinity، هذا

161
00:23:24,410 --> 00:23:29,890
ال limit تبعته صفر وهي عندي epsilon على m عدد موجب 

162
00:23:29,890 --> 00:23:36,150
given، there exists capital M يعتمد على epsilon

163
00:23:36,150 --> 00:23:47,110
على m عدد طبيعي لحيث أنه لكل n أكبر من أو يساوي ال

164
00:23:47,110 --> 00:23:56,850
capital N بيطلع عندي absolute value of y<sub>n</sub> على x<sub>n</sub> ناقص ال

165
00:23:56,850 --> 00:24:05,850
zero أصغر من epsilon على m تمام؟

166
00:24:07,690 --> 00:24:27,750
طب ما هذا بيقودني فإنا 

167
00:24:27,750 --> 00:24:32,910
بدي أثبت أن limit y<sub>n</sub> يساوي صفر يعني بدي أثبت أن

168
00:24:32,910 --> 00:24:38,980
ال absolute value لو كان n أكبر من أو يساوي capital

169
00:24:38,980 --> 00:24:44,920
N بتثبت أن ال absolute value ل y<sub>n</sub> ناقص 0 أصغر

170
00:24:44,920 --> 00:24:50,020
من epsilon عشان أثبت أن ال limit ل y<sub>n</sub> يساوي صفر

171
00:24:50,020 --> 00:24:55,520
بتثبت أن ال absolute value ل y<sub>n</sub> ناقص 0 أصغر من

172
00:24:55,520 --> 00:25:00,500
ال given epsilon طيب

173
00:25:00,500 --> 00:25:12,970
هذا يساوي absolute value of Y<sub>n</sub> يساوي absolute value of X<sub>n</sub> ضرب Y<sub>n</sub>

174
00:25:12,970 --> 00:25:26,270
على X<sub>n</sub> ناقص zero و هذا يساوي absolute value of X<sub>n</sub> في

175
00:25:26,270 --> 00:25:30,170
absolute value of Y<sub>n</sub> على X<sub>n</sub>

176
00:25:37,650 --> 00:25:44,410
بتكون موضوع ممكن نحط  zero هنا طيب

177
00:25:44,410 --> 00:25:51,510
هذا لكل N هذا أصغر من أو يساوي M و ال absolute

178
00:25:51,510 --> 00:25:56,570
value هذه لكل N أكبر من أو يساوي capital N هذا

179
00:25:56,570 --> 00:26:05,270
أصغر من إبسلون على M إبسلون على M مش هيبقى M مع N

180
00:26:05,270 --> 00:26:14,790
بقى اللي عندي إبسلون طبعا؟ طيب since أكبر من الصفر

181
00:26:14,790 --> 00:26:25,310
was arbitrarily we get أن limit ل y<sub>n</sub> as n tends

182
00:26:25,310 --> 00:26:29,650
to infinity يساوي zero و هو المفروض يعني هذا بيكمل

183
00:26:29,650 --> 00:26:35,380
برهان الجزء بيه okay طبعا؟ هذا على اعتبار أن احنا

184
00:26:35,380 --> 00:26:41,300
exercise سبعة ما بنعرفوش بس في كل الأحوال احنا

185
00:26:41,300 --> 00:26:47,300
استخدمنا exercise ثلاثة طبعا

186
00:26:47,300 --> 00:26:54,400
هكذا بنثبت تسعة و سبعة بالمناسبة زيه بنفس الطريقة

187
00:26:54,400 --> 00:27:01,020
بأفكار مشابهة ممكن إثباته بنفس السلوب بنفس النمط

188
00:27:03,510 --> 00:27:09,270
كمان في أي أسئلة تانية في section ثلاثة سبعة؟ إذا

189
00:27:09,270 --> 00:27:15,430
مافيش خلينا ننتقل ل section ثلاثة سبعة تبع

190
00:27:15,430 --> 00:27:20,110
ال series هذا في

191
00:27:20,110 --> 00:27:24,550
عندكم أي أسئلة في section ثلاثة سبعة؟ ثلاثة خمسة؟

192
00:27:24,550 --> 00:27:25,750
ثلاثة سبعة؟

193
00:27:44,990 --> 00:27:54,110
في أي أسئلة في section ثلاثة سبعة أو ثلاثة ستة

194
00:27:54,110 --> 00:28:07,910
مافيش؟

195
00:28:07,910 --> 00:28:13,700
السؤال ثلاثة فرع ثلاثة سبعة السؤال الثالث الفرع 

196
00:28:13,700 --> 00:28:14,320
السيه؟

197
00:28:28,470 --> 00:28:33,570
استخدمت ال partial fractions؟ آه بس مش .. مش كله

198
00:28:33,570 --> 00:28:37,990
بالغاية طلعت قيم A و C بيطلعوا نص و نص و B بيطلعوا

199
00:28:37,990 --> 00:28:43,770
سالب واحد و بعد ما جيت أكمل مش كل الحدود بيطلعوا

200
00:28:43,770 --> 00:28:48,790
بالطبع معايا زي قمتي لو سألني الجامعة آه عشان

201
00:28:48,790 --> 00:28:52,310
هيكون ثلاثة كسور يعني آه

202
00:28:54,820 --> 00:29:09,900
بس لازم يكون فيه يعني تلاشي و فيه

203
00:29:09,900 --> 00:29:18,020
.. نشوف

204
00:29:18,020 --> 00:29:22,040
يعني مافيش تلاشي جيبت الارتباط برشا الصمت .. فيه

205
00:29:22,040 --> 00:29:26,940
تلاشي بس فيه بيضغط آه بخلينا نشوف خليني أجرب

206
00:29:26,940 --> 00:29:44,520
السؤال

207
00:29:44,520 --> 00:29:47,580
ثلاثة الفرع C سيكشن ثلاثة سبعة

208
00:29:54,860 --> 00:29:59,300
استخدمت ال partial fractions

209
00:29:59,300 --> 00:30:03,020
لإظهار

210
00:30:03,020 --> 00:30:11,100
أن عدد الـ infinite series سيجما من ن يعني واحد

211
00:30:11,100 --> 00:30:21,320
لما لا نهاية الواحد على n في n زائد واحد في n زائد

212
00:30:21,320 --> 00:30:23,600
اثنين يساوي واحد على أربعة

213
00:30:32,200 --> 00:30:37,060
فبدنا نكتب هذا بتحلل و باستخدام ال partial

214
00:30:37,060 --> 00:30:43,740
fractions إلى ثلاثة كسور فوجدت

215
00:30:43,740 --> 00:30:48,080
فرعة التواردة كانت دي؟ كان الأولى A بتساوي نص يعني

216
00:30:48,080 --> 00:30:57,340
نص على n الثانية سالب واحد سالب أو زائد سالب واحد على

217
00:30:57,340 --> 00:31:09,270
n زائد واحد والأخيرة نص على n زائد اثنين تعال

218
00:31:09,270 --> 00:31:18,590
نحسب ال nth partial sum s<sub>n</sub> يساوي سيجما من k يساوي

219
00:31:18,590 --> 00:31:31,370
واحد إلى n ل x<sub>k</sub> اللي هو واحد على k في k زائد واحد

220
00:31:31,370 --> 00:31:40,190
في k زائد اثنين بنبدل n بال k وبعدين

221
00:31:40,190 --> 00:31:54,030
هذا عبارة عن سيجما من k يساوي واحد إلى n و بنكتب

222
00:31:54,030 --> 00:31:57,350
هذا واحد على

223
00:32:00,560 --> 00:32:07,980
2k ناقص واحد

224
00:32:07,980 --> 00:32:16,740
على k زائد واحد موجب خلينا

225
00:32:16,740 --> 00:32:21,800
نحط الحاجات الموجبة مع بعض يعني زائد واحد على

226
00:32:21,800 --> 00:32:26,360
2k زائد أربعة

227
00:32:28,860 --> 00:32:36,700
ناقص واحد على K ناقص واحد و

228
00:32:36,700 --> 00:32:42,140
بعدين نكتب أول شوية حدود مهم جدا اللي كل ثوابت هذه

229
00:32:42,140 --> 00:32:48,080
صح يعني في حد ثاني جابهم متأكد من صحتهم لأن لو

230
00:32:48,080 --> 00:32:50,680
فيهم خطأ مش هنقبلهم ونطلع الجواب

231
00:33:03,670 --> 00:33:08,910
فنكتب أول حد هي .. أول حد هيكون لما k يساوي

232
00:33:08,910 --> 00:33:17,090
واحد .. نص .. هيطلع نص زائد واحد على .. ثمانية ..

233
00:33:17,090 --> 00:33:24,090
اثنين .. لأ واحد على ستة .. واحد على ستة صح ناقص

234
00:33:24,090 --> 00:33:26,110
نص .. سالب نص

235
00:33:31,480 --> 00:33:38,960
زائد لحد الثاني واحد على ثلاثة زائد

236
00:33:38,960 --> 00:33:41,520
.. واحد على أربعة .. واحد على أربعة .. أربعة .. الأول

237
00:33:41,520 --> 00:33:48,800
واحد على أربعة أو واحد على أربعة الأول وبعدين واحد

238
00:33:48,800 --> 00:33:53,040
على .. ثمانية .. واحد على ثمانية .. ثمانية ناقص

239
00:33:53,040 --> 00:34:03,060
ثُلث ناقص ثُلث طيب قول لي بعده واحد على ستة واحد على

240
00:34:03,060 --> 00:34:09,380
ستة واحد على إيه؟ على ستة واحد على عشرة اثنين في

241
00:34:09,380 --> 00:34:14,500
ثلاثة بستة آه واحد على ستة زائد واحد على عشرة زائد

242
00:34:14,500 --> 00:34:25,360
واحد على عشرة ناقص ربع ناقص ربع زائد

243
00:34:25,360 --> 00:34:39,020
وهكذا الآخر حد هيكون واحد على 2n زائد واحد على 2n زائد 4

244
00:34:39,020 --> 00:34:55,940
مع بعض وبعدين الثاني واحد على n زائد 1 فنشوف

245
00:34:55,940 --> 00:35:01,570
إيش اللي بيتلاشى وإيش اللي بيطلع يعني نص هنا راح مع

246
00:35:01,570 --> 00:35:07,190
نص و

247
00:35:07,190 --> 00:35:20,090
ربع هنا راح مع الربع هنا قلت

248
00:35:20,090 --> 00:35:26,030
لك هذا مش هيروح مع حد صح؟ هذا يبقى

249
00:35:30,600 --> 00:35:36,960
لكن الثمن هيروح والثُلث هيروح لأن الثُلث في مجموعة

250
00:35:36,960 --> 00:35:42,560
ليه ثُلث والثمن هيجمع ليه الثمن بس برضه هييجي

251
00:35:42,560 --> 00:35:46,620
ناقص واحد على ثمانية وهيظل واحد على ثمانية فيه؟

252
00:35:46,620 --> 00:35:51,220
آه لما نقعد بالقيمة سوى سبعة هيطلع إننا ناقص واحد

253
00:35:51,220 --> 00:35:54,040
على ثمانية آه شيء ناقص واحد على ثمانية

254
00:35:56,980 --> 00:36:01,600
وممكن كمان برضه واحد على ستة أو في برضه واحد على

255
00:36:01,600 --> 00:36:08,020
ستة سيطلع سالب واحد على ستة لأن بيساوي خمسة سيطلع

256
00:36:08,020 --> 00:36:14,700
ثاندي سالب واحد على ستة فمين اللي بيضل على المحدود

257
00:36:14,700 --> 00:36:21,140
يعني

258
00:36:21,140 --> 00:36:33,420
بتاعي هذا ستس هيبقى هذا هيروحوا هذا هيروح يعني

259
00:36:33,420 --> 00:36:39,600
شو اللي بضل في الآخر يعني

260
00:36:39,600 --> 00:36:46,060
أنا بتاعي اللي هيضل في الآخر اللي هو يمكن الثُلث

261
00:36:46,060 --> 00:36:53,860
الثُلث ناقص ثُلث وهنا

262
00:36:58,270 --> 00:37:05,290
كل حد بيروح مع آدم فوضوح يروح مع اللي بعده فمش

263
00:37:05,290 --> 00:37:15,870
هيروح مع حد فهيبقى واحد على اثنين يعني و

264
00:37:15,870 --> 00:37:19,030
.. إيش هيبقى كمان؟

265
00:37:30,970 --> 00:37:36,990
هذا هيروح هيبقى له اثنين هدول اثنين إيه مظلوم زاد

266
00:37:36,990 --> 00:37:51,870
واحد على اثنين ام زائد أربعة سُدُس

267
00:37:51,870 --> 00:37:59,410
ناقص ثُلث تطلع ناقص سُدُس وهذا ما يروح من صفر مش مظلوم

268
00:38:08,750 --> 00:38:15,650
المفروض ال limit تطلع ربعها بالتالي

269
00:38:15,650 --> 00:38:19,710
لازم احنا نكتب المزيد من الحدود عشان نشوف كيف النمط

270
00:38:19,710 --> 00:38:22,150
.. كيف النمط هيصير

271
00:38:27,470 --> 00:38:34,430
فبدأ عملية grouping للحدود تجميع ويعني الحصول على علامات

272
00:38:34,430 --> 00:38:41,310
معينة مش عارف أنا مش متأكد أن هذا هتكون صح يمكن

273
00:38:41,310 --> 00:38:55,770
في شغلات ثانية بتبقى واحنا ما ذكرناش فال

274
00:38:55,770 --> 00:38:56,090
..

275
00:38:59,080 --> 00:39:04,640
ذا بده فحص آه فخلينا نقول try it again try it

276
00:39:04,640 --> 00:39:07,780
again

277
00:39:07,780 --> 00:39:17,200
خلينا نحاول فيه مرة ثانية ونحاول يعني نقدر نخلي

278
00:39:17,200 --> 00:39:22,740
يعني هذا يساوي ربع أو يساوي حاجة ال limit بتاعتها في

279
00:39:22,740 --> 00:39:26,480
النهاية هتطلع ربع وبالتالي ال limit لل sequence of

280
00:39:26,480 --> 00:39:29,180
partial sums هيطلع ربعه وبالتالي ال series

281
00:39:29,180 --> 00:39:33,000
conversion مجموعة بساوي ال limit لل partial sums

282
00:39:33,000 --> 00:39:38,700
فهذا يعني مشكوك فيه شكله مش صح نحاول مرة ثانية فيه

283
00:39:38,700 --> 00:39:43,100
وبعدين نشوف يعني كيف مين اللي بيصل للجواب الصح

284
00:39:43,100 --> 00:39:48,720
نحاول نكتبه مرة ثانية okay تمام لكن يعني ماهو 

285
00:39:48,720 --> 00:39:53,570
مستحيل أو ماهو يعني صعب ممكن أي واحد يتوصل إليه

286
00:39:53,570 --> 00:39:58,990
بس بده إيه مزيد من الحدود والاستنتاج نمط معين

287
00:39:58,990 --> 00:40:04,370
فخلينا نسيبكم تفكروا فيه كمان مرة في أسئلة ثانية

288
00:40:04,370 --> 00:40:08,990
في ال section هذا فحاولوا

289
00:40:08,990 --> 00:40:11,170
تفكروا فيه في أسئلة ثانية

290
00:40:17,700 --> 00:40:21,980
في أسئلة ثانية في section ثلاثة سبعة أو ال sections

291
00:40:21,980 --> 00:40:32,680
السابقة اللي تسبقه ثلاثة ستة ثلاثة خمسة في

292
00:40:32,680 --> 00:40:38,140
كتير أسئلة يعني مطلوبة منكم واضح أن أنتم مش محضرين 

293
00:40:38,140 --> 00:40:42,420
ولا دارسين الموضوع وبالتالي ما عندكم مش أسئلة

294
00:40:46,220 --> 00:40:54,880
فإلى أن يكون عندكم أسئلة بنكمل المناقشة يوم السبت 

295
00:40:54,880 --> 00:40:59,860
الجاي أو تحضروا المناقشة مع الشعبة الثانية يوم

296
00:40:59,860 --> 00:41:05,140
الأربعاء خلينا

297
00:41:05,140 --> 00:41:14,690
نرجع لل limits of functions وناخد المثال الأخير في 

298
00:41:14,690 --> 00:41:16,930
ال section هذاك

299
00:41:46,290 --> 00:41:50,970
المرة الجاية دخلنا أثبتنا

300
00:41:50,970 --> 00:42:02,310
أن ال limit أثبتنا

301
00:42:02,310 --> 00:42:05,450
أن ال limit  أنتِ مثال رقم 2

302
00:42:08,630 --> 00:42:15,350
لسفر function ل X لما X تقول لسفر does not exist

303
00:42:15,350 --> 00:42:19,270
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و

304
00:42:19,270 --> 00:42:21,290
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و

305
00:42:21,290 --> 00:42:21,570
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و

306
00:42:21,570 --> 00:42:21,890
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و

307
00:42:21,890 --> 00:42:22,210
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و

308
00:42:22,210 --> 00:42:22,610
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و

309
00:42:22,610 --> 00:42:25,970
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و

310
00:42:25,970 --> 00:42:33,830
أخذنا هذا و أخذنا 

311
00:42:33,830 --> 00:42:46,640
هذا و أوحد على X لما X تقول لسفر does not exist in

312
00:42:46,640 --> 00:42:50,400
R فلبرحان

313
00:42:50,400 --> 00:42:56,700
ذلك let

314
00:42:56,700 --> 00:43:04,380
F of X تساوي sign واحد على X و X لا تساوي صفر

315
00:43:10,730 --> 00:43:16,210
وبعدين we consider two

316
00:43:16,210 --> 00:43:20,870
sequences واحدة

317
00:43:20,870 --> 00:43:33,750
xn الحد العام تبعها عبارة عن واحد على واحد

318
00:43:33,750 --> 00:43:38,030
على n πاي و n ينتمي ل Z

319
00:43:41,720 --> 00:43:47,620
و Yn الحد العام تبعها واحد على πاي على ثمانين زائد

320
00:43:47,620 --> 00:43:56,020
اثنين N πاي و N ينتمي إلى Z هذا عبارة عن Sequences

321
00:43:56,020 --> 00:44:01,300
of positive numbers

322
00:44:04,950 --> 00:44:12,130
واضح أن ال limit ل xn as n tends to infinity بساوي

323
00:44:12,130 --> 00:44:20,290
0 وكذلك ال limit ل yn لما n تقول infinity برضه

324
00:44:20,290 --> 00:44:24,730
بساوي 0 لأن المقام لما n تقول infinity المقام

325
00:44:24,730 --> 00:44:32,090
بيروح ل infinity طيب

326
00:44:32,090 --> 00:44:33,690
الآن ال limit

327
00:44:37,860 --> 00:44:42,420
الـ image لـ sequence xn لما n تقول الانفينيتي

328
00:44:42,420 --> 00:44:55,500
بساوي ال limit ل sign xn لما n تقول الانفينيتي وهذا

329
00:44:55,500 --> 00:45:05,620
بساوي ال limit ل sign n في pi لما n تقول الانفينيتي

330
00:45:06,340 --> 00:45:16,300
Sin N في Pi بساوي واحد بساوي صفر لكل N وبالتالي

331
00:45:16,300 --> 00:45:21,640
هذا بساوي limit ال sequence صفر لما N تؤول

332
00:45:21,640 --> 00:45:32,600
infinity بساوي صفر and limit

333
00:45:33,900 --> 00:45:41,360
الإمج للسيكوينس YM لما N تقول انفينيتي بساوي limit

334
00:46:08,450 --> 00:46:16,370
وهذا المفروض يكون sign

335
00:46:16,370 --> 00:46:24,840
1 على xn وهذا المفروض يكون sign 1 على yn مقلوب y in

336
00:46:24,840 --> 00:46:34,540
بيطلع بساوي πاية اتنين ازايد اتنين in πاية وهذا

337
00:46:34,540 --> 00:46:44,040
المقدار دائما بساوي واحد لكل in إذا أنا في عندي 

338
00:46:44,040 --> 00:46:51,770
limit لل sequence بالحد العام تبعها واحد السيكوانس

339
00:46:51,770 --> 00:46:57,670
تابعة واحد وهذا بساوي واحد إن إن أنا في عندي 

340
00:46:57,670 --> 00:47:03,710
two sequences Xm تؤول صفر و limit صورتها 

341
00:47:03,710 --> 00:47:09,050
بساوي صفر و في عندي سيكوانس ثانية Ym ال limit

342
00:47:09,050 --> 00:47:13,650
تبعها أيضا بساوي صفر لكن limit صورتها بساوي 

343
00:47:13,650 --> 00:47:17,310
واحد وبالتالي

344
00:47:20,360 --> 00:47:28,340
by sequential criterion ال

345
00:47:28,340 --> 00:47:35,480
limit لل function f of x لما x تقول ل0 does not

346
00:47:35,480 --> 00:47:46,440
exist in R مش ممكن تكون موجودة في R لأن

347
00:47:46,440 --> 00:47:53,900
لو كانت ال limit هذه موجودة فالمفروض limit صورة xn

348
00:47:53,900 --> 00:48:02,060
بما أن xn تؤول للسفر نكتب

349
00:48:02,060 --> 00:48:07,180
since otherwise لأن

350
00:48:07,180 --> 00:48:14,780
لو كلاك ذلك لو كانت هذه موجودة if limit

351
00:48:20,170 --> 00:48:25,210
في limit ل F of X لما X تؤول ل صفر exist

352
00:48:32,710 --> 00:48:39,990
then المفروض ال limit ل f of x n لما n تؤول 

353
00:48:39,990 --> 00:48:47,270
infinity بتساوي ال limit ل f of y n as n tends to

354
00:48:47,270 --> 00:48:57,070
infinity وهذا مستحيل which is impossible وهذا زي

355
00:48:57,070 --> 00:49:03,150
ما شوفنا مستحيل impossible لأن طولها limit f of x

356
00:49:03,150 --> 00:49:09,390
in بساوي صفر و limit f of y in بساوي واحد إذن

357
00:49:09,390 --> 00:49:13,470
هنا استخدمنا sequential criterion في إثبات إن ال

358
00:49:13,470 --> 00:49:17,330
limit لل function f of x بساوي sign واحد على x

359
00:49:17,330 --> 00:49:24,490
غير موجودة عند الصفر طيب

360
00:49:24,490 --> 00:49:30,120
هناخد break خمس دقائق وبعدين نواصل المحاضرة

361
00:49:30,120 --> 00:49:31,840
الثانية