PL9fwy3NUQKwYaToDpbPxaOdkUX3PS_VKf/7KldLDfPxv0_raw.srt

1
00:00:19,490 --> 00:00:25,010
بسم الله الرحمن الرحيم نعود الآن إلى محاضرة الصباح

2
00:00:25,010 --> 00:00:30,130
بدأنا في محاضرة الصباح ب Koshi Euler equation

3
00:00:30,130 --> 00:00:34,290
حطينا الصيغة العامة لها و بعدين خدنا حالة منها

4
00:00:34,290 --> 00:00:36,850
خاصة اللي هو كانت من

5
00:00:48,230 --> 00:00:52,730
المعادلة الأصلية تبعت كوشي ولا ريكوشي ان هناك

6
00:00:52,730 --> 00:00:58,380
طريقان للحلالطريق الأول اللي هو بالتعويض قلنا لو

7
00:00:58,380 --> 00:01:04,980
حطينا التعويضة X يساوي E قص T خدنا لن للطرفين فصار

8
00:01:04,980 --> 00:01:11,080
T تساوي لنا X اشتقنا DT على DX يساوي 1 على X ثم

9
00:01:11,080 --> 00:01:15,880
بعد ذلك روحنا جيبنا Y' وYW' بدل ما الاشتقاق

10
00:01:15,880 --> 00:01:20,260
بالنسبة لX حولنا الاشتقاق بالنسبة إلى T وبالتالي

11
00:01:20,260 --> 00:01:24,490
عوضنا طارمينالـ Variables وسمينا هذه هي الطريقة

12
00:01:24,490 --> 00:01:29,270
الأولى يعني الطريقة الأولى بوسط تعويضة بتبعدنا

13
00:01:29,270 --> 00:01:35,110
حولنا المعادلة من معادلة بمعاملات متغيرة إلى

14
00:01:35,110 --> 00:01:39,670
معادلة بمعاملات ثابتة وبالتالي بنروح نحل هذه كما

15
00:01:39,670 --> 00:01:44,090
كنا بنحل في ال sections الماضيةانتقلنا الان الى

16
00:01:44,090 --> 00:01:49,970
الطريقة الاولى اللى كتبناها قبل ساعتين من الان

17
00:01:49,970 --> 00:01:56,510
طريقة يفترض ان Y يسوى X أس R عبارة عن solution و

18
00:01:56,510 --> 00:02:00,170
رحنا اشتغلنا مرة مرتين تلاتة N من المرات و عوضنا

19
00:02:00,170 --> 00:02:07,400
في المعادلةحصلنا على المعادلة المساعدة

20
00:02:07,400 --> 00:02:13,440
أو المعادلة المميزة للمعادلة الأصلية و رحلنا هذه

21
00:02:13,440 --> 00:02:17,880
المعادلة لما جينا نحل هذه المعادلة صار عندي أحد

22
00:02:17,880 --> 00:02:22,780
ثلاثة احتمالاتالاحتمال الأول الاحتمال التاني

23
00:02:22,780 --> 00:02:26,760
الاحتمال التالت سميتها ثلاث حالات نجي للحالة

24
00:02:26,760 --> 00:02:30,800
الأولى لو question double star هذه المعادلة

25
00:02:30,800 --> 00:02:35,900
المميزة has indifferent roots يبقى صار عندي R واحد

26
00:02:35,900 --> 00:02:40,700
لا يسوى R اتنين لا يسوى R ثلاثة لا يسوى لا يسوى RN

27
00:02:40,700 --> 00:02:45,220
ولا واحد زي التاني ما هو الشكل العام للحل يبقى

28
00:02:45,220 --> 00:02:48,160
الشكل العام للحل C1 في X وسط R1

29
00:02:56,780 --> 00:03:01,000
الحلوق يبقى كونصا في الأول و كونصا في التاريب و

30
00:03:01,000 --> 00:03:05,420
يمثل ال general solution إذا الحلوق كانوا real and

31
00:03:05,420 --> 00:03:11,030
differentبنجي للحالة التانية لو equation star has

32
00:03:11,030 --> 00:03:16,070
complex roots المعادلة طالعة عندما فيها جذور

33
00:03:16,070 --> 00:03:20,890
تخيلية فعلى سبيل المثال لو أخد جذرين منهم ماذا

34
00:03:20,890 --> 00:03:25,330
يكون شكل الحل يبقى باجي بقول الحل بيكون x to the

35
00:03:25,330 --> 00:03:31,390
power إيه؟ ليش؟لأنه بدي يطلع اللي هو ال R يسوي A

36
00:03:31,390 --> 00:03:37,450
زائد IB تمام؟ A زائد و ال conduct تبعه A ناقص IB

37
00:03:37,450 --> 00:03:41,470
الحل الأول R واحد A زائد IB و الحل التاني R اتنين

38
00:03:41,470 --> 00:03:47,510
بديه يسوي A ناقص IB يبقى ال E ال X قص A في مين؟ في

39
00:03:47,510 --> 00:03:53,230
C واحد cosine B لن ال X زائد C اتنين sine B لن ال

40
00:03:53,230 --> 00:03:59,050
X يعني يا بناتهنا كنا نقول هناك في الحقيقي في

41
00:03:59,050 --> 00:04:04,550
التخيلة لما كانوا المعاملات حقيقية بقى نقول C1 Cos

42
00:04:04,550 --> 00:04:11,050
Bx ماعنديش Lin لكن هنا جانبين Lin X زي C2 Sin B

43
00:04:11,050 --> 00:04:16,140
Lin X الحالة التالتةالحالة التالتة لحالة الـ real

44
00:04:16,140 --> 00:04:20,000
قد يكون real و repeated و قد يكون complex و

45
00:04:20,000 --> 00:04:24,300
repeated فكيف بنسوي في هذه الحالة يبقى باجي للحالة

46
00:04:24,300 --> 00:04:27,780
الأولى ال equation اتنين has real repeated rows of

47
00:04:27,780 --> 00:04:33,000
multiplicity S عدد مرات التكرار S والباقي يمكن

48
00:04:33,000 --> 00:04:38,320
يكون real يا اما S ممكن يكون كله complex وتساوي N

49
00:04:38,320 --> 00:04:43,740
بس بشرط ان ال N عدد زوجييبقى بيصير R واحد يساوي R

50
00:04:43,740 --> 00:04:48,700
التاني يساوي RS يساوي R يبقى في هذه الحالة شكل ال

51
00:04:48,700 --> 00:04:52,400
general solution زي شكله with constant

52
00:04:52,400 --> 00:04:57,720
coefficients ما عدل X بشيله و بحط بدالهالن ال X

53
00:04:57,720 --> 00:05:02,240
والباقي كل شيء زي ما هو تطلع C1 C2 لن X C3 لن X

54
00:05:02,240 --> 00:05:07,700
نرويها C4 لن X تكريم لغاية ما وصل ل CS لن X أُس S

55
00:05:07,700 --> 00:05:15,890
-1 في X أُس R لأن الأُس هذا صار مكرر تمام؟طيب لو

56
00:05:15,890 --> 00:05:20,210
كانوا ال roots are repeated complex conjugate لو

57
00:05:20,210 --> 00:05:24,610
كانوا هذا real لو كانوا complex يبقى بدي يصير الحل

58
00:05:24,610 --> 00:05:29,450
X أس A زي ما هي تبعتي تبعت ال complex بس ايش بدي

59
00:05:29,450 --> 00:05:32,930
يصير A واحد زي دي اتنية لن ال X زي دي A أس لن

60
00:05:41,450 --> 00:05:48,130
الثوابت المتغيرات C1 وC2 لغاية CS كلها في SIN BLN

61
00:05:48,130 --> 00:05:54,460
Xيبقى هذه بدي أفهمها إنها عبارة عن مين عبارة عن

62
00:05:54,460 --> 00:06:00,000
الحل X أس A في الجوس الكبير هذا polynomial من

63
00:06:00,000 --> 00:06:05,540
الدرجة لأن S ناقص واحد في ال cosine P لن X زي ال

64
00:06:05,540 --> 00:06:09,000
polynomial من نفس الدرجة sin P لن X في حتة ال

65
00:06:09,000 --> 00:06:13,340
complex لكن في حالتها ال real لا عندي cosine ولا

66
00:06:13,340 --> 00:06:19,360
عندي sin polynomial فقط لغير في X أس Aهل بتحب تسأل

67
00:06:19,360 --> 00:06:24,660
اي سؤال هنا قبل ان ندخل الامثلة؟

68
00:06:31,850 --> 00:06:35,070
ماشي المثال الأول طبعا احنا حققنا معانا طريقتين يا

69
00:06:35,070 --> 00:06:39,290
بنات ان قيدني بطريقة بدي التزم في انجل يوز the

70
00:06:39,290 --> 00:06:44,330
substitution X يساوي E يساوي T يعني بده مين؟ بده

71
00:06:44,330 --> 00:06:48,450
يحول المعلق يمكن يقول لي كمان اجيبلي السؤال بطريقة

72
00:06:48,450 --> 00:06:52,690
ثانية يعطي المعلق ويقول لي change او use the

73
00:06:52,690 --> 00:06:57,630
substitution X يساوي E يساوي T to changeهذه هي

74
00:06:57,630 --> 00:06:59,670
الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار

75
00:06:59,670 --> 00:07:00,610
الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار

76
00:07:00,610 --> 00:07:01,190
الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار

77
00:07:01,190 --> 00:07:01,570
الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار

78
00:07:01,570 --> 00:07:04,430
الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار

79
00:07:04,430 --> 00:07:09,830
الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار

80
00:07:09,830 --> 00:07:12,630
الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار

81
00:07:12,630 --> 00:07:14,450
الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار

82
00:07:14,450 --> 00:07:20,360
الاختصار الاختصار الاختصار الاختصار اليبقى اول

83
00:07:20,360 --> 00:07:23,180
مثال يقول find the general solution of the

84
00:07:23,180 --> 00:07:27,580
differential equation ولم يقيدني ما قيدنيش لكن انا

85
00:07:27,580 --> 00:07:30,720
كونه اول مثال بدي احله بالطريقتين و بدي ابين ان

86
00:07:30,720 --> 00:07:35,380
الطريقتين ما لها نفس الشيء مابتغيرش فيها ايه ولا

87
00:07:35,380 --> 00:07:39,260
حاجة يبقى بدي اجي للحل الأول اللي عندنا هذا

88
00:07:43,620 --> 00:07:51,100
يبقى بداجة اقول استخدم التعويضة put X يساوي E أُس

89
00:07:51,100 --> 00:07:58,260
T هذا بتعطيك T يساوي لن X هذا بتعطيك الـDT على DX

90
00:07:58,260 --> 00:08:05,720
يساوي 1 على X and الـY' يا بنات كده اش طلعت؟ مش 1

91
00:08:05,720 --> 00:08:12,120
على X في الـDY على DT صح؟ طب والـY W'

92
00:08:17,770 --> 00:08:26,430
دي سكوير واي على دي تي سكوير ايوة ناقص دي واي على

93
00:08:26,430 --> 00:08:35,000
دي تيطب الحمد لله بس انت بتفرض التعويضة و تقول اذا

94
00:08:35,000 --> 00:08:37,700
كذا ماعنديش مشكلة ماعنديك تروح تستنتجيها من أول و

95
00:08:37,700 --> 00:08:41,760
جديد لكن اذا كنت نسيها بديك تروح تستنتجيها من أول

96
00:08:41,760 --> 00:08:46,560
و جديد طيب يبقى الان بدي امسك المعلومات هذه و اعوض

97
00:08:46,560 --> 00:08:51,120
وين في المعادلة اللي هي أصلي اللي هي star يبقى

98
00:08:51,120 --> 00:08:55,000
باجي بقول المعادلة star بصير x تربية في ال y w

99
00:08:55,000 --> 00:09:03,930
prime هيهي 1 على X تربيع في D²Y على DT² ناقص DY

100
00:09:03,930 --> 00:09:10,050
على DT بالشكل اللي عندنا هنا اللي بعدها ناقص 3X

101
00:09:10,050 --> 00:09:16,170
فيه بدي أشيل ال Y' و أحط قيمة تالية 1 على X في DY

102
00:09:16,170 --> 00:09:24,510
على DT خلصنا منها زائد 4Y مش غيرهاتمام كل هذا

103
00:09:24,510 --> 00:09:29,590
الكلام يساوي كده؟ Zero اظن X تربيه مع X تربيه راحت

104
00:09:29,590 --> 00:09:35,010
مع السلامة يبقى D Square Y على DT Square ناقص DY

105
00:09:35,010 --> 00:09:42,650
على DT ناقص تلاتة DY على DT زائد أربع Y بدأت ساوي

106
00:09:42,650 --> 00:09:52,040
Zeroلو روحت جماعة تمهدول بصير D2Y على DT2 ناقص 4DY

107
00:09:52,040 --> 00:10:00,600
على DT زائد 4Y بده يسوي قداش Zeroأطلع في المعادلة

108
00:10:00,600 --> 00:10:04,680
star واطلع في المعادلة بعد التعويض كيف صارت

109
00:10:04,680 --> 00:10:09,820
المعادلة star المعاملات عندي متغيرات بدلالة ال X

110
00:10:09,820 --> 00:10:15,400
لكن لما حطيت التعويض هذه حولت إلى معادلة بمعاملات

111
00:10:15,400 --> 00:10:21,460
ثابتة إذا بتروح أحلي المعادلة هذه بمين؟ بالمعاملات

112
00:10:21,460 --> 00:10:29,110
الثابتة كيف بنين الحل؟ let Y تساوي E أسار Tماعنديش

113
00:10:29,110 --> 00:10:33,250
X هنا بطل يصير عندي X الشغل نتهوّل من دلالة X إلى

114
00:10:33,250 --> 00:10:38,810
دلالة T يبقى بداجي أقول له let وسمّيلي هذه

115
00:10:38,810 --> 00:10:47,970
المعادلة رقم Star let Y تساوي E أُس RT ب A

116
00:10:47,970 --> 00:11:00,120
solution ofإذا كانت المقارنة مربوطة ثم المقارنة

117
00:11:00,120 --> 00:11:05,500
الخاصة هي

118
00:11:06,540 --> 00:11:14,900
R تربيع نقص اربعة R زائد اربعة يساوي Zero يعني هذه

119
00:11:14,900 --> 00:11:21,440
مالها R نقص اتنين لكل تربيع يساوي Zero يبقى الجذور

120
00:11:21,440 --> 00:11:31,280
حقيقية ومكررة كم مرة مرتين يبقى هذا معناه ان R

121
00:11:31,280 --> 00:11:41,750
تساوي اتنين of multiبالإضافة لـ ECT2 كرّرة مرتين

122
00:11:41,750 --> 00:11:52,930
إذا بدأت أقول له the general solution of equation

123
00:11:52,930 --> 00:12:00,880
double star is Y to sevenمش طبعا انا كنت ملعب

124
00:12:00,880 --> 00:12:04,660
دلالة text احنا راهيب نشغل على T يبقى شو بدي يصير

125
00:12:04,660 --> 00:12:16,560
تكرار مرتين يبقى C1 زي C2T في قداش في E أس اتنين T

126
00:12:16,560 --> 00:12:19,620
طب

127
00:12:19,620 --> 00:12:27,050
الجواب ايش طلعناه؟دلالة ايش؟ T و الاصل بدرجة او

128
00:12:27,050 --> 00:12:30,370
بدلالة X بكون جيب تحليل المعادلة الأصلية اللي هو

129
00:12:30,370 --> 00:12:34,970
Star يبقى باجي بقوله The general solution of

130
00:12:34,970 --> 00:12:44,730
equation A star is ال Y يساوي C1 زائد C2 مقداش ال

131
00:12:44,730 --> 00:12:57,360
T حطناها مقداش؟لأن الـ X في E أُس 2 لأن الـ Xمظبوط

132
00:12:57,360 --> 00:13:03,480
يبقى ايه صارت بدلة لثمين ال X هذهها يا بنات هي C1

133
00:13:03,480 --> 00:13:12,320
زائد C2 لن X نجي هذه مش هذه E لن X تربيع اتنين

134
00:13:12,320 --> 00:13:17,420
بدخلها جوا اللم ال E و ال L عكس بعض يبقى صار جداش

135
00:13:17,420 --> 00:13:23,860
X تربيع يبقى هذا الحل بالطريقة الأولى بدنا نروح

136
00:13:23,860 --> 00:13:30,980
نحل بالطريقةبالطريقة الثانية نجربها لأنه ماقاليش

137
00:13:30,980 --> 00:13:34,980
احنا اتنين في الامتحان انا اجيب بالي الطريقة

138
00:13:34,980 --> 00:13:37,080
الأولى و روحت حل التباهي انت اجيب بالي الطريقة

139
00:13:37,080 --> 00:13:41,200
الثانية بنشوف هل الطريقتين بيعطوني نفس الحل ولا كل

140
00:13:41,200 --> 00:13:48,100
واحد بتعطيني حل شكل الله أعلم تعالي نشوف ايوة مين

141
00:13:48,100 --> 00:13:52,420
اللي بتسأل احنا؟ طيب بنفعل الحل اللي هي ال

142
00:13:52,420 --> 00:13:54,060
differential equation

143
00:13:56,980 --> 00:14:00,120
بإيش؟ كيف كنا بنحلها في الشفتر الأول؟ مش هاي احنا

144
00:14:00,120 --> 00:14:04,320
قولنا little y ساوي E أقصر R T هي طريقة .. لأ لأ

145
00:14:04,320 --> 00:14:07,660
هي ال equation star two stars هذي بنحلها زي ما كنا

146
00:14:07,660 --> 00:14:10,420
نحلها سابقا star ولا double star? double star و

147
00:14:10,420 --> 00:14:13,560
double star ما احنا بنحلها زي قبل لأ زي اي هم شفتر

148
00:14:13,560 --> 00:14:16,520
واحد second order differential equation أخدنا two

149
00:14:16,520 --> 00:14:20,990
cases special cases T missing و X missingفيش مشكلة

150
00:14:20,990 --> 00:14:24,030
أحديها بأي طريقة، لكن مين اللي أسأله؟ هذي والله

151
00:14:24,030 --> 00:14:27,190
الـx مسجد و الـt مسجد، هذي بيخلّجي بلها الدورة،

152
00:14:27,190 --> 00:14:30,650
وانت حر بقى، تروح و ترجع، تتعقز في الكلام اللي

153
00:14:30,650 --> 00:14:34,210
عطيك، انت حر، هذا شأنك، أنا بدي شغل، بس الشغل يكون

154
00:14:34,210 --> 00:14:39,330
صحيح، بأي طريقة تشتي، ما لم أقيدكي، فيش تقييد،

155
00:14:39,330 --> 00:14:43,310
خلاص، شغل اللي بديكي يعني، ماشي؟ طب لو صار

156
00:14:43,310 --> 00:14:47,990
الـthird orderيبقى نفعش الكلام اللي اتيه يبقى

157
00:14:47,990 --> 00:14:51,590
يخليه يتعود كل طريقة بناخدها نتعودها مش نهملها و

158
00:14:51,590 --> 00:14:58,030
نسيبها طيب بنيجي نكمل يبقى هذا بالشكل اللي عندنا

159
00:14:58,030 --> 00:15:02,970
هذا و خلي كيس تلاتة يمكن تلزم يبقى بالدهجة اللي

160
00:15:02,970 --> 00:15:07,570
اقول الان a second solution

161
00:15:09,270 --> 00:15:20,410
بعد ذلك اقول لت Y تسوى X أُس R بيه solution of the

162
00:15:20,410 --> 00:15:23,770
equation star

163
00:15:26,940 --> 00:15:32,660
بدا اجيب Y' اللي هو مين؟ R X أُس R ماينوس الوان

164
00:15:32,660 --> 00:15:39,260
بعدين بدي اجيب ال Y W' R في R ماينوس الوان في X

165
00:15:39,260 --> 00:15:45,010
أُس R ماينوس الاتونبتاخد المعلومات وروح اعوض وين

166
00:15:45,010 --> 00:15:53,470
في هذه المعادلة يبقى يا بنات ايش بيصير؟ XYW'-3XY

167
00:15:53,470 --> 00:15:57,030
'زائد 4Y يساوي

168
00:16:03,280 --> 00:16:14,800
يبقى X تربية في الـ YW' هي R في R-1 في X أُس R-2

169
00:16:15,220 --> 00:16:22,500
ناقص ثلاثة X في الـ Y' هيها اللي هي R في X أُس R

170
00:16:22,500 --> 00:16:30,200
minus ال 1 زائد أربعة ال Y أنا فرضها بقداش ب X أُس

171
00:16:30,200 --> 00:16:35,880
R X أُس R كله بده يساوي Zero تعالى نشوف في هذه كيف

172
00:16:35,880 --> 00:16:39,420
صارت هل هي X ترميل لما تدخل جيوب الصين هذي X أُس

173
00:16:39,420 --> 00:16:45,340
قداشأس ار ار نقص اتنين و عندك كده اتنين بيصير أس

174
00:16:45,340 --> 00:16:51,200
ار يبقى هذه بيصير الار في الار minus ال one في ال

175
00:16:51,200 --> 00:16:57,760
X أس ار ناقص تلاتة تلاتة

176
00:16:57,760 --> 00:17:05,780
X أس واحد مع X أس R يبقى تلاتة R X أس R زائد أربعة

177
00:17:05,780 --> 00:17:12,770
X أس R يسوى كده؟ Zeroأحنا فرضنا هذا الـ solution

178
00:17:12,770 --> 00:17:17,490
علما بأن الـ X هنا بنات جداش قلنا من Zero إلى

179
00:17:17,490 --> 00:17:20,570
Infinity في الجزء النظري يعني دائما وابدا أكبر من

180
00:17:20,570 --> 00:17:26,090
مين أكبر من الـ Zero إذا ممكن قسمت هذه الطرفين كله

181
00:17:26,090 --> 00:17:31,830
على مين؟ على X أُس R يبقى بصير عنا R في R ناقص

182
00:17:31,830 --> 00:17:40,820
واحد زائد تلاتة R زائد أربع يساوي ZeroR في R ناقص

183
00:17:40,820 --> 00:17:49,120
واحد عندك هنا ناقص اهينا ناقص اهي ناقص R وهذه ايه

184
00:17:49,120 --> 00:17:52,940
اللي هي ناقص بالشكل اللي عندنا هنا يبقى بناء صلة

185
00:17:52,940 --> 00:17:59,860
المعادلة على الشكل R تربية ناقص R ناقص 3R زائد 4

186
00:17:59,860 --> 00:18:06,240
بده يساوي 0 يبقى R تربية ناقص 4R زائد 4 تساوي 0

187
00:18:06,240 --> 00:18:13,030
مين هي هذه؟characteristic equation يبقى هذا معناه

188
00:18:13,030 --> 00:18:18,890
ان الار ناقص اتنين لكل تربية يساوي zero هذا معناته

189
00:18:18,890 --> 00:18:25,110
ان الار بدي ساوي اتنين و مكررة كده مرتين اذا بدي

190
00:18:25,110 --> 00:18:33,650
اطبق عليها اتكرار فبجي بقوله the general solution

191
00:18:33,650 --> 00:18:35,630
is

192
00:18:37,660 --> 00:18:47,800
Y تساوي C1 زي C2 من X، هل في أكتر من ذلك؟ هؤلاء

193
00:18:47,800 --> 00:18:52,920
المقارنة مرتين حطيت حالين، في من؟ في X أُس R، R

194
00:18:52,920 --> 00:18:58,860
بقدرش؟ ب2، طلع إلى الحل هذا و الحل هناك هو

195
00:18:58,860 --> 00:19:04,660
الاختلافيبقى لي اتنين ار داسيم سواء كان الحل اللى

196
00:19:04,660 --> 00:19:08,560
عندي هذا او الحل اللى عندي هذا، مادام ما قيدنيش

197
00:19:08,560 --> 00:19:12,700
اللى بتحل بالحل الثاني ماشي، بتحل بالحل الأول،

198
00:19:12,700 --> 00:19:19,340
ماشي طبعا الحل الثاني أسهل، خلاص انت حرة، بس إذا

199
00:19:19,340 --> 00:19:24,020
قيدتك بدك تلتجي مين، أحيانا بنقيد و أحيانا لا، انت

200
00:19:24,020 --> 00:19:24,860
و بختك عندك

201
00:19:45,810 --> 00:19:53,290
هذا اول مثال له سؤال 6 من الكتاب المثال الثاني له

202
00:19:53,290 --> 00:20:02,450
سؤال 10 من الكتاب مثال 2 هذا سؤال 10 من الكتاب

203
00:20:02,450 --> 00:20:09,790
يقول السؤالThe differential equation of x تربيع و

204
00:20:09,790 --> 00:20:18,490
y double prime ناقص خمسة x y prime زائد تلتاشر y

205
00:20:18,490 --> 00:20:22,810
بده يساوي zero وهذا اللي بدي أسميها main و اللي

206
00:20:22,810 --> 00:20:31,170
بدي أسميها ال start يبقى

207
00:20:31,170 --> 00:20:32,990
بدي أبدأ solution

208
00:20:36,130 --> 00:20:39,630
أظن أنه لا يوجد دا على الطريقين بيكفيني واحدة لكن

209
00:20:39,630 --> 00:20:44,230
التان تان اتعلمناهم تاني أسهلي خلاص بالتاني يبقى

210
00:20:44,230 --> 00:20:50,270
باجي بيقول في الطريق ان ال Y يسوى X أُس A ب

211
00:20:50,270 --> 00:21:01,410
solution of equation A star with X greater than 0

212
00:21:01,410 --> 00:21:09,400
يبقى thenالـ Y' بدي يسوى R X أُس R مينوس الـ 1

213
00:21:09,400 --> 00:21:17,620
وYW' R في R مينوس الـ 1 في X أُس R مينوس الـ 2

214
00:21:17,620 --> 00:21:28,040
الآن بدي بقوله Substitute in equation star we get

215
00:21:28,860 --> 00:21:34,600
نحصل على ما يدى هى ال X تربيه برا وهى هدى R W

216
00:21:34,600 --> 00:21:40,120
Prime R في R minus ال one في X أُس R minus ال two

217
00:21:40,120 --> 00:21:46,900
اللى بعدها ناقص خمسة X في ال Y Prime R X أُس R

218
00:21:46,900 --> 00:21:53,600
minus ال one اللى بعدها زائد تلتاشر X أُس R كله

219
00:21:53,600 --> 00:22:01,500
بده يساوي Zeroهذه لو فكتها R في R minus ال one في

220
00:22:01,500 --> 00:22:10,460
X أُس R ناقص خمسة R X أُس R زائد تلتاشر X أُس R

221
00:22:10,460 --> 00:22:16,630
بده يساوي Zeroأظن لو جسمنا على الـ X أُس R بنحصل

222
00:22:16,630 --> 00:22:21,650
على الـ characteristic equation على الصيغة التالية

223
00:22:21,650 --> 00:22:30,480
ناقص خمسة R زائد تلتاشر يساوي Zeroأو بمعنى آخر R

224
00:22:30,480 --> 00:22:39,100
تربيع ناقص R ناقص خمسة R زائد تلتاشر يساوي Zero أو

225
00:22:39,100 --> 00:22:49,260
R تربيع ناقص ستة R زائد تلتاشر بده يساوي Zero وهذه

226
00:22:49,260 --> 00:22:52,320
اللي بنسميها ال characteristic

227
00:22:59,700 --> 00:23:04,580
بعد إكسار الشغل الروتيني بدي أحلل المعادلة هذه هل

228
00:23:04,580 --> 00:23:10,740
يمكن تحليل هذه المعادلة؟في إمكانية لكن كلها من

229
00:23:10,740 --> 00:23:14,120
الدرجة الثانية مش قادرة أحللها بروح بحل بالقانون

230
00:23:14,120 --> 00:23:19,260
واللي الله سبحانه وتعالى يفرجها تمام؟ يبقى باجي

231
00:23:19,260 --> 00:23:25,160
بيقول هذا R وانا متأكد انه سيفرج سيفرجها إذا الله

232
00:23:25,160 --> 00:23:28,920
مافرجهاش مين بده يفرجها؟ يبقى هاي ناقص بقى بيصير

233
00:23:28,920 --> 00:23:33,340
ستة زايدة أو ناقص الجدرى التربية ستة في ستة

234
00:23:51,950 --> 00:24:02,040
أربعة في تلاتاش باتنين وخمسين52 مضال

235
00:24:02,040 --> 00:24:13,460
قداش سالب 16 على 2 يعني 6 زائد او ناقص اللي هو 4I

236
00:24:13,460 --> 00:24:21,360
كله مقسم على قداش 2 يبقى بده يساوي 3 زائد او ناقص

237
00:24:21,360 --> 00:24:29,050
2Iيبقى عنا ال a هنا بقدش يا بنات و ال b تساوي كده

238
00:24:29,050 --> 00:24:34,850
اذا بقدر اجيب ال general solution يبقى بروح بقوله

239
00:24:34,850 --> 00:24:46,270
the general solution of the differential equation

240
00:24:46,270 --> 00:24:57,330
star is y تساوي x أُس rيبقى X أُس كده؟ أُس تلاتة،

241
00:24:57,330 --> 00:25:03,850
X أُس إيه؟ فيه عندنا جذرين، اتنين are conjugate

242
00:25:03,850 --> 00:25:10,310
ومافيش غيرهم، يبقاش باجي بقول C واحد كوصين، كده يا

243
00:25:10,310 --> 00:25:14,130
بنات؟ اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين،

244
00:25:14,130 --> 00:25:14,130
اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين،

245
00:25:14,130 --> 00:25:14,130
اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين،

246
00:25:14,130 --> 00:25:14,130
اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين، اتنين،

247
00:25:14,130 --> 00:25:14,130
اتنين، اتنين، اتن

248
00:25:23,910 --> 00:25:30,470
كف الله المؤمنين والقتال هذا كان المثال رقم اتنين

249
00:25:30,470 --> 00:25:37,330
بدنا نروح للمثال رقم تلاتة مثال رقم تلاتة بيقول ما

250
00:25:37,330 --> 00:25:46,280
يأتي solve ذاDifferential Equation مثل المعادلة

251
00:25:46,280 --> 00:25:53,260
التفاضلية X تكيب Y triple A prime Y triple A prime

252
00:25:53,260 --> 00:26:00,240
ناقص X تربيع و Y double A prime زائد X في Y prime

253
00:26:00,240 --> 00:26:05,920
بده يساوي كم؟ بده يساوي Zero وهذه هي المعادلة رقم

254
00:26:05,920 --> 00:26:09,520
start خليني

255
00:26:09,520 --> 00:26:20,060
أسأل السؤال التاليهل هذه كوشي اويلر اكويشن؟ هل

256
00:26:20,060 --> 00:26:25,460
هذه كوشي اويلر اكويشن؟ هل

257
00:26:25,460 --> 00:26:32,080
هذه كوشي اويلر اكويشن؟ هل هذه كوشي

258
00:26:32,080 --> 00:26:38,050
اويلر اكويشن؟ هل هذه كوشي اويلر اكويشن؟أنا كنت

259
00:26:38,050 --> 00:26:41,650
بسألها سؤال مش شايفة، كنت شايفة المكتوب على

260
00:26:41,650 --> 00:26:44,270
الدافع، بس أنا .. ايه مكتوب؟ هي فوق و قدامك أنا

261
00:26:44,270 --> 00:26:53,690
بسأل فيه هذا، هذي كوشويلة equation؟ طلع

262
00:26:53,690 --> 00:26:57,190
في القصة تبع ال X و طلع في المشتقة، زي بعض و الله

263
00:26:57,190 --> 00:27:03,800
بختلفواكلهم زي بعض حتى وان غاب term حتى وان غاب

264
00:27:03,800 --> 00:27:09,220
two terms يعني احنا لو شيلنا كمان هذا بتظهر كوشي

265
00:27:09,220 --> 00:27:12,580
او ايلار اكويشين حتى لو شيلنا اتنين هذول بتظهر

266
00:27:12,580 --> 00:27:18,780
كوشي او ايلار اكويشين بهمن الأس تبع ال X يكون جد

267
00:27:18,780 --> 00:27:23,580
المشتقة بالضمن تكييب يجب علي المشتقة التالتة تربية

268
00:27:23,580 --> 00:27:26,140
يجب علي المشتقة التانية يجب علي الصحة صوتنتين

269
00:27:26,140 --> 00:27:31,310
غاليكم معايا كويس دينا بالكميبقى بدنا نجي لمن؟ ل

270
00:27:31,310 --> 00:27:34,890
الحل يبقى بدي افترض بنفس الطريقة التكتيكي اللي

271
00:27:34,890 --> 00:27:44,390
اتبعته هنا بداشي اقوله افترض ان ال Y تساوي X أُس R

272
00:27:44,390 --> 00:27:49,870
ب solution of

273
00:27:49,870 --> 00:27:58,510
equation star with X greater than 0يبقى بدنا اكتب

274
00:27:58,510 --> 00:28:01,050
ال characteristic equation دغري يا بنات و الله ايش

275
00:28:01,050 --> 00:28:09,330
رايكوا يبقى the characteristic equation is طب يالا

276
00:28:09,330 --> 00:28:12,490
مدام دغري ينجلوني كدهش ال characteristic equation

277
00:28:12,490 --> 00:28:18,310
اللي هي دي R في كدهش في R ناقص واحد في R ناقص

278
00:28:18,310 --> 00:28:28,010
اتنين مظبوط و هنا ناقصهذه قدرات R في R ناقص واحد

279
00:28:28,010 --> 00:28:35,910
وهذه زائد R كله بده يساوي قدر زيب يعني كأنه عوّط

280
00:28:35,910 --> 00:28:40,590
واشتقت وقسمت على X plus R وصلت زي ما كنا بنعمل في

281
00:28:40,590 --> 00:28:45,070
حالة ال equations with constant coefficients

282
00:28:45,070 --> 00:28:49,230
بالضبط تماما طيب ضايق افكك هذه المعادلة اظن ان

283
00:28:49,230 --> 00:28:54,070
عندي هنا Rوعندي هنا R وعندي هنا R بقدر أخدها برا

284
00:28:54,070 --> 00:28:58,630
عامل مشترك إذا لو أخدت ال R برا عامل مشترك كده

285
00:28:58,630 --> 00:29:03,210
بيظل عندي؟ حصل ضرب الأثنين هذول اللي هو R تربية

286
00:29:03,210 --> 00:29:11,350
ناقص ثلاثة R زائد اتنين صح؟ وهنا هذي بيصير ناقص R

287
00:29:11,350 --> 00:29:16,370
زائد واحد وهذه بيظل عندي كدهش لما أخدت منها R بظل

288
00:29:16,370 --> 00:29:19,710
واحد مظبوط هيك؟ أه

289
00:29:23,260 --> 00:29:32,360
هذه R في R تربية عندك ناقص 3R و ناقص 4R ناقص 4R دل

290
00:29:32,360 --> 00:29:37,740
عندك اتنين و اتنين كمان كده اربعة كله بده يساوي 0

291
00:29:37,740 --> 00:29:42,780
اذا شكل ال characteristic equation صارت R في R

292
00:29:42,780 --> 00:29:51,330
ناقص اتنين لكل تربيةيبقى الـ roots واحد

293
00:29:51,330 --> 00:29:55,070
منهم مكرر مرتين ممتاز جدا

294
00:30:17,600 --> 00:30:35,540
Y ثم Y ساعةيبقى C1 في X أُس 0 C2

295
00:30:35,540 --> 00:30:46,940
زائد C3 لأن X في X أُس 2 يبقى هذا شكل ال general

296
00:30:46,940 --> 00:30:51,420
solution اللي عندكحد فيكم لأي استفسار قبل أن أذهب

297
00:30:51,420 --> 00:30:58,580
إلى المثال الذي يليه في أي تساؤل؟ هاي، أروح الآن

298
00:30:58,580 --> 00:31:05,280
للمثال اللي بعده

299
00:31:05,280 --> 00:31:14,740
يبقى

300
00:31:14,740 --> 00:31:16,280
بداجي لـExample 4

301
00:31:27,600 --> 00:31:28,860
Solve the equation

302
00:31:34,610 --> 00:31:43,150
Equation المعادلة X ناقص تلاتة لكل ترابية في ال Y

303
00:31:43,150 --> 00:31:51,090
double prime زائد تلاتة في X ناقص تلاتة في ال Y

304
00:31:51,090 --> 00:31:57,950
prime زائد Y بده يساوي Zero وال X greater than

305
00:31:57,950 --> 00:31:58,770
تلاتة

306
00:32:30,510 --> 00:32:37,270
السؤال الذي سألناه قبل قليل قائماً ولكما Is it a

307
00:32:37,270 --> 00:32:39,170
Cauchy-Euler equation؟

308
00:32:43,960 --> 00:32:53,640
هو مضمون ان X أكبر من 3 لان X أكبر من 0 لان X أكبر

309
00:32:53,640 --> 00:32:57,360
من 3 لان X أكبر من 100 لان X أكبر من 3 لان X أكبر

310
00:32:57,360 --> 00:33:01,020
من 100 لان

311
00:33:01,020 --> 00:33:01,640
X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 100 لان

312
00:33:01,640 --> 00:33:02,100
X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X

313
00:33:02,100 --> 00:33:05,140
أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X

314
00:33:05,140 --> 00:33:06,740
أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X

315
00:33:06,740 --> 00:33:06,840
أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X

316
00:33:06,840 --> 00:33:06,840
أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X

317
00:33:06,840 --> 00:33:08,880
أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X أكبر من 3 لان X

318
00:33:19,830 --> 00:33:25,030
يبقى افترض الحل على الشكل طبعا اتطلعي الأس اللي

319
00:33:25,030 --> 00:33:28,530
هنا هو نفس المشتقة الأس اللي هنا هو نفس المشتقة و

320
00:33:28,530 --> 00:33:33,010
هكذا تمام اذا هذه كوشي أولى equation يبقى بدأ

321
00:33:33,010 --> 00:33:41,980
اقوله little y تساوي x ناقص تلاتة أس Rبا solution

322
00:33:41,980 --> 00:33:53,300
of the above differential equation طب

323
00:33:53,300 --> 00:33:59,220
لو جيت بدي أجيب ال Y' يبقى R في ال X ناقص تلاتة و

324
00:33:59,220 --> 00:34:02,920
ر ناقص واحد في مشتقة مداخل القوس

325
00:34:05,730 --> 00:34:15,870
عن طريق الـ YW' يبقى R في R-1 في X ناقص 3 أُس R-2

326
00:34:15,870 --> 00:34:21,400
في مشتقة مداخل القصر اللي هو الجداجعوض في المعادل

327
00:34:21,400 --> 00:34:26,080
اللي فوق لو جيت عوض في المعادل اللي فوق بصير X

328
00:34:26,080 --> 00:34:32,040
ناقص تلاتة لكل تربيع في ال YW prime اللي هو R في R

329
00:34:32,040 --> 00:34:37,320
minus ال one في X ناقص تلاتة to the power R minus

330
00:34:37,320 --> 00:34:44,420
twoزائد تلاتة X ناقص تلاتة في ال Y prime اللي هي R

331
00:34:44,420 --> 00:34:50,500
X ناقص تلاتة to the power R minus one زائد Y اللي

332
00:34:50,500 --> 00:34:54,560
هي X ناقص تلاتة to the power R كله بده يساوي Zero

333
00:34:55,280 --> 00:35:00,200
بتعيد كتابتها يبقى R في R ناقص واحد في X ناقص

334
00:35:00,200 --> 00:35:09,520
تلاتة أس R زائد تلاتة R زائد تلاتة R فاهمين في ال

335
00:35:09,520 --> 00:35:16,820
X ناقص تلاتة أس R زائد X ناقص تلاتة أس R كله بده

336
00:35:16,820 --> 00:35:24,240
يساوي Zeroالـ X ناقص تلاتة هذا مقدار أكبر من الـ

337
00:35:24,240 --> 00:35:28,480
Zero إذا موجب بقدر أقسم عليه بدون مشاكل يبقى لو

338
00:35:28,480 --> 00:35:33,020
قسمت كله على X ناقص تلاتة أس R بحصل على ال

339
00:35:33,020 --> 00:35:39,060
characteristic equationبالشكل التالي اله دي mean R

340
00:35:39,060 --> 00:35:45,320
في R minus ال one زائد تلاتة R زائد واحد بده يساوي

341
00:35:45,320 --> 00:35:51,640
Zero او ان شئتم فقولوا R تربيع و عندك ناقص R زائد

342
00:35:51,640 --> 00:35:56,860
تلاتة R بيظل زائد اتنين R زائد واحد يساوي Zero

343
00:35:56,860 --> 00:36:04,260
يبقى هدى R زائد واحد لكل تربيعيساوي Zero يبقى ال R

344
00:36:04,260 --> 00:36:10,540
تساوي سالف واحد of Multiplicity

345
00:36:10,540 --> 00:36:16,680
كدهش؟ اتنين اتنين مكررة مرتين يبقى أصبح The

346
00:36:16,680 --> 00:36:32,860
General Solution Of The Equation Is Y تساويX وC

347
00:36:32,860 --> 00:36:40,540
ايه يا بنات هنا؟ والله مش بنكتب كرر مرتين يبقى إيش

348
00:36:40,540 --> 00:36:54,040
بدي أقوله؟ C1 زائد C2 لإن كده؟X ناقص ثلاثة يبقى X

349
00:36:54,040 --> 00:37:02,540
ناقص ثلاثة تمين في ال X ناقص ثلاثة أس اللي هو

350
00:37:02,540 --> 00:37:11,080
قداشر اتنين هك ماشي للحل صحيح بالمية ال X أس مش

351
00:37:11,080 --> 00:37:18,060
اتنين سالب واحد احنا طلعناها ال R أس سالب واحدلحد

352
00:37:18,060 --> 00:37:21,380
هنا stop in the intersection ولا يكون أرقام

353
00:37:21,380 --> 00:37:29,420
المسائل يبقى أرقام المسائل exercises خمسة خمسة

354
00:37:29,420 --> 00:37:37,200
بدنا المسائل من واحد إلى خمستاشر وكذلك سؤال واحد

355
00:37:37,200 --> 00:37:38,080
وعشرين

356
00:37:43,580 --> 00:37:46,960
في كلمتين حابين نقولهم في ال section اللي بعده

357
00:37:46,960 --> 00:37:52,500
بدون ما نعطي ولا مثال ولا نطلب منكوا تحلوا مثالين

358
00:37:52,500 --> 00:37:58,400
مقدمة اشي احنا بجينا نشتغل يا بنات على ال

359
00:37:58,400 --> 00:38:01,900
homogeneous differential equation بدنا نبدأ الآن

360
00:38:01,900 --> 00:38:06,160
الشغل على ال homogeneous differential equation

361
00:38:06,160 --> 00:38:14,410
فاكتبلي ال section خمسة ستةخمسة ستة الهي non

362
00:38:14,410 --> 00:38:32,010
homogeneous differential equations definition

363
00:38:32,010 --> 00:38:35,730
they none

364
00:38:37,570 --> 00:38:46,150
Homogenous differential equation is

365
00:38:46,150 --> 00:38:54,530
an equation in the form طبعا كل شغل non

366
00:38:54,530 --> 00:39:01,390
homogeneous linear differential equation على الشكل

367
00:39:01,390 --> 00:39:03,810
التالي A0

368
00:39:28,500 --> 00:39:29,900
Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y10Y11Y12Y11Y12Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11Y11

369
00:39:31,410 --> 00:39:40,310
Where حيث capital F of X لا يمكن أن تساوي zero عند

370
00:39:40,310 --> 00:39:50,190
ال a naught وال a one و لغاية ال a n may or may

371
00:39:50,190 --> 00:39:53,970
not or may not

372
00:39:58,640 --> 00:40:04,740
بـColostans يعني ممكن يكونوا ثوابت وممكن يكونوش

373
00:40:04,740 --> 00:40:15,880
ثوابت يبقى باجي بقوله F YC يساوي واحد Y واحد C

374
00:40:15,880 --> 00:40:24,640
اتنين Y اتنين CNYN is the

375
00:40:31,990 --> 00:40:44,230
complimentary solution of

376
00:40:44,230 --> 00:40:50,090
the

377
00:40:50,090 --> 00:40:53,570
homogenous

378
00:40:54,300 --> 00:41:01,900
Differential Equation لـ a0 y to the derivative n

379
00:41:01,900 --> 00:41:10,100
زائد a1 y to the derivative n minus one زائد زائد

380
00:41:10,100 --> 00:41:20,800
a n minus one y prime زائد a ny بدو يساوي zero and

381
00:41:20,800 --> 00:41:33,910
ifYP هو مصطلح مصطلح

382
00:41:33,910 --> 00:41:40,090
مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح

383
00:41:40,090 --> 00:41:40,270
مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح

384
00:41:40,270 --> 00:41:45,030
مصطلح مصطلح

385
00:41:45,030 --> 00:41:46,410
مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح

386
00:41:46,410 --> 00:41:46,450
مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح

387
00:41:46,450 --> 00:41:48,730
مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح مصطلح م

388
00:41:52,260 --> 00:42:00,500
The general solution

389
00:42:00,500 --> 00:42:06,140
of the differential

390
00:42:06,980 --> 00:42:18,600
Equation star is y يساوي yc زائد yp ولو بدي ساوي

391
00:42:18,600 --> 00:42:30,280
c1 y1 c2 y2 زائد cn yn زائد yp

392
00:42:52,970 --> 00:43:10,410
فيرم F U P F U P SA particle is a particular

393
00:43:10,410 --> 00:43:14,970
solution

394
00:43:14,970 --> 00:43:28,270
of the differential equation

395
00:43:28,270 --> 00:43:30,710
L of Y

396
00:43:33,500 --> 00:43:48,680
الـ F of X and if ال V P is a particular solution

397
00:43:48,680 --> 00:44:03,080
of the differential equation L of Y يساوي G of X

398
00:44:06,330 --> 00:44:13,930
ثم مفهوم YP

399
00:44:13,930 --> 00:44:28,490
يساوي UP زائد في P هو مفهوم محدد مفهوم

400
00:44:28,490 --> 00:44:31,450
محدد من

401
00:44:34,590 --> 00:44:43,730
Differential Equation L of Y بده ساوي ال F of X

402
00:44:43,730 --> 00:44:55,730
زاد ال G of X يا

403
00:44:55,730 --> 00:44:59,990
حد هنا ماتكتبش اسمها باللجاعدات؟ خلاص؟

404
00:45:02,010 --> 00:45:05,890
بيعطيكوا العافية لحد هنا انتهى هذا ال section

405
00:45:05,890 --> 00:45:12,430
المرة القادمة ان شاء الله اللي هو بعد العيد بعد

406
00:45:12,430 --> 00:45:19,970
الإجازة يعني بقى لإن بقينا طيبين بناخد من؟ بناخد

407
00:45:19,970 --> 00:45:25,710
ال two sections اللي ضالات في هذا ال chapter ومحل

408
00:45:25,710 --> 00:45:30,570
لل non homogeneous differential equationبإحدى

409
00:45:30,570 --> 00:45:34,970
طريقتين الأولى ال undetermined coefficients و

410
00:45:34,970 --> 00:45:39,810
الطريقة الثانية ال variation of parameters ان شاء

411
00:45:39,810 --> 00:45:39,990
الله