PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/-3lwzxWH7r8.srt

1
00:00:21,600 --> 00:00:29,560
الـ .. في المحاضرة السابقة بدأنا التعرف على Cauchy

2
00:00:29,560 --> 00:00:35,020
sequences فأخذنا تعريف الـ Cauchy sequence و أثبتنا 

3
00:00:35,020 --> 00:00:41,000
أنه كل convergent sequence is Cauchy و أعتقد كمان

4
00:00:41,000 --> 00:00:48,510
أثبتنا أنه كل Cauchy sequence is bounded صحيح؟ اليوم

5
00:00:48,510 --> 00:00:54,970
هنثبت العكس و هو أن كل كوشي sequence is convergent

6
00:00:54,970 --> 00:01:00,630
فنستعيد بس نستذكر مع بعض تعريف الكوشي sequence

7
00:01:00,630 --> 00:01:07,450
definition a

8
00:01:07,450 --> 00:01:14,010
sequence of real numbers xn is

9
00:01:14,010 --> 00:01:14,710
Cauchy

10
00:01:18,570 --> 00:01:26,170
إذا تحقق الشرط التالي لكل epsilon أكبر من الصفر

11
00:01:26,170 --> 00:01:32,270
يوجد capital N depends on epsilon natural number

12
00:01:32,270 --> 00:01:41,660
such that لو كان n و m bigger than or equal N this

13
00:01:41,660 --> 00:01:48,840
implies أن absolute value ل xn minus xm أصغر من 

14
00:01:48,840 --> 00:01:53,960
epsilon وشوفنا

15
00:01:53,960 --> 00:02:03,260
المرة اللي فاتت أو برهنا lemma 2 و 21 every

16
00:02:03,260 --> 00:02:06,820
convergent

17
00:02:11,450 --> 00:02:17,190
sequence is Cauchy

18
00:02:17,190 --> 00:02:27,510
ثم برهنا another lemma lemma 2 و 22 بتقول

19
00:02:27,510 --> 00:02:34,250
اللمّة هذه أن every Cauchy

20
00:02:34,250 --> 00:02:35,010
sequence

21
00:02:40,290 --> 00:02:49,630
is bounded اليوم

22
00:02:49,630 --> 00:02:59,890
هنثبت نظرية مهمة نظرية 2 و 33 وهذه

23
00:02:59,890 --> 00:03:07,310
النظرية هي كوشي كوشي

24
00:03:07,310 --> 00:03:08,150
criterion

25
00:03:11,820 --> 00:03:18,680
أو معيار كوشي معيار 

26
00:03:18,680 --> 00:03:25,580
كوشي للتقارب النظرية

27
00:03:25,580 --> 00:03:35,800
بتنص على أن a sequence xn contained in R is

28
00:03:35,800 --> 00:03:36,700
convergent

29
00:03:39,150 --> 00:03:55,130
is convergent if and only if it is Cauchy any

30
00:03:55,130 --> 00:04:00,610
sequence of real numbers بتكون convergent if and

31
00:04:00,610 --> 00:04:04,750
only if it is Cauchy البرهان

32
00:04:09,110 --> 00:04:15,430
this part اللي هو الـ only if part هذا هو نفسه لمّة

33
00:04:15,430 --> 00:04:29,890
21 if xn is convergent then

34
00:04:29,890 --> 00:04:32,990
by

35
00:04:32,990 --> 00:04:37,210
لمّة 21

36
00:04:40,710 --> 00:04:46,370
it is Cauchy it is Cauchy

37
00:04:46,370 --> 00:04:51,850
لأن هذا جزء برهناه في المحاضرة السابقة على صورة

38
00:04:51,850 --> 00:05:00,710
لمّة 21 الـ .. الـ if part هنبرهنه اليوم

39
00:05:00,710 --> 00:05:09,520
هنشوف مع بعض assume العكس assume أن الـ sequence xn

40
00:05:09,520 --> 00:05:16,100
in is Cauchy وبدنا

41
00:05:16,100 --> 00:05:25,280
نثبت إنها convergent طيب بما إنها Cauchy then

42
00:05:25,280 --> 00:05:31,540
by لمّا 22 تطلع bounded

43
00:05:36,760 --> 00:05:43,280
إذا by لمّة 22 الـ sequence xn is

44
00:05:43,280 --> 00:05:52,560
bounded باستخدام 

45
00:05:52,560 --> 00:05:55,600
Bolzano-Weierstrass theorem

46
00:06:05,480 --> 00:06:09,240
اللي أخدناها المحاضرة السابقة أو اللي قبلها هذا

47
00:06:09,240 --> 00:06:15,960
اختصار بولزانو ويرشتراس بولزانو ويرشتراس هنا بتقول

48
00:06:15,960 --> 00:06:18,900
أن كل bounded sequence has a convergent

49
00:06:18,900 --> 00:06:27,720
subsequence فهي عندي bounded sequence sequence xn

50
00:06:27,720 --> 00:06:33,480
in has a

51
00:06:33,480 --> 00:06:34,560
convergent

52
00:06:39,950 --> 00:06:44,370
sub-sequence xn

53
00:06:44,370 --> 00:06:57,970
nk وها دي converges to x* تنتمي إلى R طبعا؟

54
00:06:57,970 --> 00:07:03,550
إذن هذه sub-sequence من xn وconvergent to some x

55
00:07:03,550 --> 00:07:05,350
* تنتمي إلى R

56
00:07:08,910 --> 00:07:14,610
طيب احنا عايزين نثبت claim عايزين 

57
00:07:14,610 --> 00:07:24,210
احنا نثبت أن الـ sequence xn converges إلى العدد 

58
00:07:24,210 --> 00:07:32,530
x* وبالتالي هيك بنكمل برهان النظرية صح؟ فلبرهان

59
00:07:32,530 --> 00:07:33,090
ذلك

60
00:07:36,470 --> 00:07:44,330
نستخدم تعريف epsilon capital N للـ limit فبنبدأ بـ

61
00:07:44,330 --> 00:07:47,790
epsilon أكبر من الصفر عشوائية let epsilon أكبر من

62
00:07:47,790 --> 00:07:57,240
الصفر be given نحتاج أن نشهر أن هناك كابتل N كمية

63
00:07:57,240 --> 00:07:59,060
عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون

64
00:07:59,060 --> 00:08:00,120
كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على

65
00:08:00,120 --> 00:08:02,780
إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد

66
00:08:02,780 --> 00:08:05,280
على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة

67
00:08:05,280 --> 00:08:08,080
تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية

68
00:08:08,080 --> 00:08:09,960
عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون

69
00:08:09,960 --> 00:08:14,020
كمية عامة تعتمد على إبسلون 

70
00:08:14,020 --> 00:08:21,080
كمية عامة تعتمد على إبسلون

71
00:08:23,720 --> 00:08:27,960
وهي epsilon given، إذا by definition of Cauchy

72
00:08:27,960 --> 00:08:33,920
sequence there exists capital N depends on epsilon

73
00:08:33,920 --> 00:08:44,200
natural number such that لكل n و m أكبر من أو يساوي

74
00:08:44,200 --> 00:08:50,400
capital N، this implies an absolute xn minus xm

75
00:08:52,000 --> 00:09:00,760
less than epsilon at null نسمي

76
00:09:00,760 --> 00:09:06,380
الـ implication هيا دي (*) طيب 

77
00:09:06,380 --> 00:09:12,900
احنا حصلنا على أن الـ sequence xn أو الـ subsequence

78
00:09:12,900 --> 00:09:18,080
xnk converges to x*

79
00:09:20,890 --> 00:09:25,870
إذا لنفس الـ epsilon و epsilon هي نفس الـ epsilon 

80
00:09:25,870 --> 00:09:34,130
given فمن تعريف الـ convergence for 

81
00:09:34,130 --> 00:09:39,950
same epsilon أكبر من الصفر نفس الـ epsilon اللي

82
00:09:39,950 --> 00:09:47,070
هناك نقدر نلاقي يوجد capital K عدد طبيعي capital K

83
00:09:49,980 --> 00:09:55,920
وهذا العدد .. هذا عبارة عن عدد طبيعي وهذا العدد

84
00:09:55,920 --> 00:10:01,240
الطبيعي هو واحد من مؤشرات الـ subsequence اللي هم 

85
00:10:01,240 --> 00:10:10,300
n1, n2, n3 و

86
00:10:10,300 --> 00:10:17,500
هكذا إذا يوجد كابتل K اللي هو واحد عدد طبيعي وهذا

87
00:10:17,500 --> 00:10:23,080
واحد من مؤشرات الـ subsequence ممكن أختاره هذا

88
00:10:23,080 --> 00:10:32,400
كابتل K أكبر من أو يساوي كابتل N بحيث

89
00:10:32,400 --> 00:10:41,800
أن الـ absolute value لـ Xcapital K minus X*

90
00:10:41,800 --> 00:10:50,000
أصغر من epsilon على 2 كمان

91
00:10:50,000 --> 00:10:54,280
مرة الـ subsequence هي هتconverge لـ X* إذا في

92
00:10:54,280 --> 00:11:02,780
capital K natural number و هو واحد من large واحد

93
00:11:02,780 --> 00:11:10,220
من الـ indices وطبعا كبير هو ممكن نختاره أكبر من أو 

94
00:11:10,220 --> 00:11:15,720
يساوي capital N بحيث المسافة بين X كابتل K و X* أصلا

95
00:11:15,720 --> 00:11:21,480
أصغر من epsilon على 2 هو ممكن أن أنا يعني هذا أحط هنا K

96
00:11:21,480 --> 00:11:26,160
و أقول أن هذا أصغر من epsilon على 2 لكل K أكبر من أو

97
00:11:26,160 --> 00:11:33,030
يساوي كابتل Kصح؟ مش هيك تعريف الـ convergence لكن

98
00:11:33,030 --> 00:11:39,730
أنا بدي اخد K بساوي كابتل K وبالتالي اخد بس X

99
00:11:39,730 --> 00:11:45,270
كابتل K المسافة بينها و بين X* أصغر من epsilon على 2

100
00:11:45,270 --> 00:11:53,290
نسمي المتباينة هذه (**) الآن

101
00:11:53,290 --> 00:11:53,950
now

102
00:11:59,240 --> 00:12:08,140
أنا عندي كابتل K أكبر من أو يساوي كابتل N so

103
00:12:08,140 --> 00:12:14,320
by (*) by

104
00:12:14,320 --> 00:12:25,600
(*) with m بساوي كابتل K we

105
00:12:25,600 --> 00:12:26,720
have لدينا

106
00:12:30,820 --> 00:12:40,660
absolute xn minus x capital k أصغر من epsilon على 2 نسمي

107
00:12:40,660 --> 00:12:49,900
هذه المتباينة (***) (***) كمان مرة الـ k هذه

108
00:12:49,900 --> 00:12:59,980
اختارناها أكبر منها و يساوي n و من (*) إذا كانت

109
00:12:59,980 --> 00:13:05,100
الـ K .. إذا خدت m بساوي كابتل K و هذه أكبر من أو 

110
00:13:05,100 --> 00:13:11,400
يساوي N فبتصير المتباينة هذه absolute xn minus xk

111
00:13:11,400 --> 00:13:17,260
أصغر من epsilon على 2 و الـ n هذه لازم تكون أكبر

112
00:13:17,260 --> 00:13:22,780
من أو يساوي m، إذن هذا صحيح لكل small m أكبر من أو

113
00:13:22,780 --> 00:13:24,260
يساوي كابتل N

114
00:13:29,670 --> 00:13:35,670
تمام hence by 

115
00:13:35,670 --> 00:13:44,050
(**) الآن من (**) and (***)

116
00:13:48,930 --> 00:13:57,270
لدينا we have لو كان n أكبر من أو يساوي capital N

117
00:13:57,270 --> 00:14:11,330
فهذا بيقدي أن الـ absolute xn minus x* طبعا

118
00:14:11,330 --> 00:14:18,530
هنا هترح x capital K و هرجعها 

119
00:14:28,690 --> 00:14:38,730
إذا I subtracted xk and get it back باخد هدول

120
00:14:38,730 --> 00:14:43,640
الأثنين مع بعض والتحدين هدول مع بعض الـ absolute

121
00:14:43,640 --> 00:14:49,100
value بالترانجل inequality بالترانجل inequality

122
00:14:49,100 --> 00:14:54,380
هذا أصغر من absolute الحد الأول اللي هو xn

123
00:14:54,380 --> 00:15:01,400
minus xk زائد absolute الحد الثاني اللي هو xk

124
00:15:01,400 --> 00:15:08,500
minus x* الآن

125
00:15:08,500 --> 00:15:16,750
باستخدام (***) من المتباينة هذه هاي عندي أنا 

126
00:15:16,750 --> 00:15:23,170
xn أول شي الـ n small n أكبر من أو يساوي capital N

127
00:15:23,170 --> 00:15:28,590
هاي small n أكبر من أو يساوي capital N وبالتالي الـ

128
00:15:28,590 --> 00:15:34,870
absolute value هذه أصغر من epsilon على 2 زائد و

129
00:15:34,870 --> 00:15:42,360
من (**) من (**) هي عندي absolute xk

130
00:15:42,360 --> 00:15:47,640
minus x* أصغر من epsilon على 2 المجموع بتطلع

131
00:15:47,640 --> 00:15:53,460
epsilon since

132
00:15:53,460 --> 00:16:00,000
epsilon أكبر من الصفر was arbitrarily

133
00:16:03,850 --> 00:16:09,870
نحن لدينا من مفهوم الـ convergence أنه هيك منكون

134
00:16:09,870 --> 00:16:16,690
أثبتنا أن الـ limit xn as n tends to infinity equals

135
00:16:16,690 --> 00:16:26,790
x* وهذا بكمل برهان الـ claim و النظرية تمام؟

136
00:16:26,790 --> 00:16:32,160
هاي لاحظوا أن احنا بنثبت أننا ندعي أن الـ sequence 

137
00:16:32,160 --> 00:16:35,660
xn هي الـ convergent لـ x* حسب تعريف epsilon

138
00:16:35,660 --> 00:16:40,360
capital N للـ limits بدأنا بـ epsilon given عشوائية 

139
00:16:40,360 --> 00:16:46,360
عدد موجب أثبتنا هي يوجد capital N يعتمد على 

140
00:16:46,360 --> 00:16:51,660
epsilon natural number بحيث أن لكل n أكبر من أو يساوي 

141
00:16:51,660 --> 00:16:59,400
capital N طلع absolute |xn - x*| <

142
00:16:59,400 --> 00:17:07,300
ε لما إن هذا الكلام صحيح لكل ε إذا by 

143
00:17:07,300 --> 00:17:10,880
definition limit xn = x*، إذا ال sequence

144
00:17:10,880 --> 00:17:14,240
convergent إذا هذا بيكمل البرهان إن لو كانت ال

145
00:17:14,240 --> 00:17:18,800
sequence كوشي then it is convergent تمام واضح

146
00:17:18,800 --> 00:17:23,960
البرهان؟ okay حلو إذا نعم

147
00:17:28,410 --> 00:17:32,690
مش احنا حاكينا أن x<sub>n</sub> is bounded؟ صحيح طيب الحين

148
00:17:32,690 --> 00:17:37,530
في عندنا بالنظام و بالسترس في عندنا x<sub>n</sub> في عندنا

149
00:17:37,530 --> 00:17:41,470
convergent subsequence صح هذا هي صح convergent ل x

150
00:17:41,470 --> 00:17:46,590
and to some x* احنا أخذنا نظرية إذا كانت ال

151
00:17:46,590 --> 00:17:51,110
convergent subsequence converge to x* و x to r ف x

152
00:17:51,110 --> 00:17:55,890
* and تكون converge ل x* لا ماأخذنا نظرية زيك أنت مش

153
00:17:55,890 --> 00:17:57,050
خارق النظرية صح

154
00:18:00,740 --> 00:18:05,020
لأ النظرية ما بتحكيش هيك معلش النظرية هذه بتقول لو

155
00:18:05,020 --> 00:18:09,700
أنا في عندي bounded sequence و لو كل convergent

156
00:18:09,700 --> 00:18:13,940
subsequence من ال sequence هذه convergent لعدد x*

157
00:18:13,940 --> 00:18:19,160
فلازم ال sequence نفسها تكون convergent ل x* أنا 

158
00:18:19,160 --> 00:18:22,900
عندي بس subsequence واحدة converged ل x*

159
00:18:22,900 --> 00:18:26,860
أصلاً وليس every convergent subsequence converged

160
00:18:26,860 --> 00:18:31,790
ل x* أصلاً فالفرض الثاني تبع النظرية اللي بتحكي عنها

161
00:18:31,790 --> 00:18:38,270
مش متحقق وبالتالي لا أستطيع تطبيق النظرية تمام؟ في

162
00:18:38,270 --> 00:18:45,290
أي سؤال ثاني؟ okay ده سؤال كثير يعني مهم و .. و ..

163
00:18:45,290 --> 00:18:51,790
و جيد و يا ريت يعني أي حد عنده تساؤل زي هذا يعني

164
00:18:51,790 --> 00:18:58,410
يسأله هل في أي شيء في القرآن مش واضح؟ واضح أكثر من 

165
00:18:58,410 --> 00:19:02,990
هيك؟ Okay أعتقد أن البرهان واضح يعني لو قرأته

166
00:19:02,990 --> 00:19:10,710
بتمعن هتجد أنه يعني سهل و بسيط طيب نأخذ أمثلة على

167
00:19:10,710 --> 00:19:17,430
كيف نستخدم تعريف ال Cauchy sequence في إثبات أنه

168
00:19:17,430 --> 00:19:25,730
given sequence is Cauchy باستخدام التعريف مباشرة و

169
00:19:25,730 --> 00:19:28,410
ليس باستخدام اللي هو Cauchy criterion

170
00:19:31,950 --> 00:19:47,490
إذا نأخذ هنا بعض الأمثلة examples

171
00:19:47,490 --> 00:19:52,930
الأمثلة

172
00:19:52,930 --> 00:20:00,250
دي أنا أعطيها الرقم 224 أول مثال show

173
00:20:04,710 --> 00:20:13,310
directly show direct that

174
00:20:13,310 --> 00:20:20,390
ال sequence ال

175
00:20:20,390 --> 00:20:25,130
sequence 1/n is Cauchy

176
00:20:35,150 --> 00:20:39,630
لما أقول show directly أن ال sequence معينة is

177
00:20:39,630 --> 00:20:44,450
Cauchy معناها ده بدي أستخدم التعريف بدي أستخدم 

178
00:20:44,450 --> 00:20:50,450
التعريف تبع Cauchy sequence فنشوف

179
00:20:50,450 --> 00:20:56,210
مع بعض طبعاً

180
00:20:56,210 --> 00:21:02,230
البرهان باستخدام التعريف هنبدأ بـ ε > 

181
00:21:02,230 --> 00:21:07,510
الصفر ونرد عليها بـ capital N بتخلي ال implication

182
00:21:07,510 --> 00:21:13,890
هي دي تتحقق بالظبط زي .. يعني قريب يعني بالظبط زي

183
00:21:13,890 --> 00:21:18,370
ما عملنا في إثبات أن ال sequence is convergent و

184
00:21:18,370 --> 00:21:27,670
هنستخدم ال Archimedean property نشوف مع بعض let

185
00:21:29,570 --> 00:21:37,110
بالمناسبة .. بالمناسبة يعني احنا كيف نحدد ال

186
00:21:37,110 --> 00:21:40,010
capital N for any given ε؟

187
00:21:48,010 --> 00:21:54,270
أنا يعني هي عندي |x<sub>n</sub> - x<sub>m</sub>| لو في عندي

188
00:21:54,270 --> 00:21:59,310
ε given ε موجبة given فمن الآخر أنا

189
00:21:59,310 --> 00:22:05,190
عايز أثبت أنه هذا أصغر من ε، مظبوط؟ طب ما هذا

190
00:22:05,190 --> 00:22:11,530
عبارة عن |1/n - 1/m| وهذا

191
00:22:11,530 --> 00:22:16,250
أصغر من أو يساوي |1/n| + |1/m| مظبوط وهذه أعداد موجبة فهذا 1/n

192
00:22:16,250 --> 00:22:23,490
+ 1/m مظبوط وهذه أعداد موجبة فهذا 1/n 

193
00:22:23,490 --> 00:22:28,290
+ 1/m طيب

194
00:22:28,290 --> 00:22:33,950
أنا عايز أجيب capital N بحيث

195
00:22:33,950 --> 00:22:39,050
أنه لو كانت ال n و ال m أكبر من أو يساوي capital N

196
00:22:39,050 --> 00:22:44,670
فبدنا هذا يؤدي إلى ال absolute value هذه أصغر من

197
00:22:44,670 --> 00:22:49,460
ε إذن ال n و ال m هدول لازم يكونوا أكبر من

198
00:22:49,460 --> 00:22:53,880
capital N اللي أنا مش عارف إيش هي، بدي أجيبها، إذن

199
00:22:53,880 --> 00:23:02,480
و بالتالي من هنا هذا بيقود إلى أن 1/n  و كذلك

200
00:23:02,480 --> 00:23:10,060
1/m أصغر من أو يساوي 1/capital N، صح؟ إذا

201
00:23:10,060 --> 00:23:14,720
كانت n أكبر من أو يساوي capital N فـ 1/n هتصير

202
00:23:14,720 --> 00:23:19,100
أصغر من أو يساوي 1/capital N وكذلك بالنسبة ل

203
00:23:19,100 --> 00:23:25,620
m، مظبوط؟ إذاً هذا هيصير أصغر من أو يساوي 1/

204
00:23:25,620 --> 00:23:30,620
capital N وهذا أصغر من 1/capital N بيساوي 2/

205
00:23:30,620 --> 00:23:34,980
capital N الآن بدي أخلي هذا، متى بيكون هذا أصغر من

206
00:23:34,980 --> 00:23:45,300
ε؟ أه، إذا هأخذ n أصغر من ε/2 أو 1

207
00:23:45,300 --> 00:23:51,080
على n أصغر من ε/2 إذا هذا أصغر من

208
00:23:51,080 --> 00:23:56,720
ε عندما 1/n أصغر من ε/2 طيب،

209
00:23:56,720 --> 00:24:03,640
أنا لو بدأت بـ ε عدد موجب فـ ε/2 بيطلع

210
00:24:03,640 --> 00:24:08,540
عدد موجب و by Archimedean property لأي عدد موجب زي

211
00:24:08,540 --> 00:24:13,740
هذا يوجد capital N عدد طبيعي بحيث مقلوبه وأصغر من

212
00:24:13,740 --> 00:24:18,440
ε على اتنين إذا capital N اللي بتعتمد على ال

213
00:24:18,440 --> 00:24:22,380
given ε لازم تكون مقلوبها أصغر من ε على

214
00:24:22,380 --> 00:24:26,800
اتنين عشان يطلع هذا أصغر من ε شفتوا كيف

215
00:24:26,800 --> 00:24:31,240
منطلق ال capital N و ال Archimedean property طبعاً

216
00:24:31,240 --> 00:24:38,930
تضمن لي وجود مثل هالعدد capital N تمام؟ إذا بآجي

217
00:24:38,930 --> 00:24:42,790
بقول هنا let ε الكلام هذا طبعاً بعمله في

218
00:24:42,790 --> 00:24:47,690
الهامش بعدين بآجي برتبه بقول let ε أكبر من

219
00:24:47,690 --> 00:24:56,610
الصفر be given إذاً

220
00:24:56,610 --> 00:25:00,930
it choose by

221
00:25:00,930 --> 00:25:04,110
Archimedean property

222
00:25:08,750 --> 00:25:19,250
نختار capital N عدد طبيعي بحيث أن مقلوب ال N أصغر

223
00:25:19,250 --> 00:25:24,910
من ε على اتنين إذا هنا أثبتت يوجد capital N

224
00:25:24,910 --> 00:25:29,190
وهي اعتمدت على ε هي مرتبطة بـ ε

225
00:25:35,760 --> 00:25:41,740
هذا هيعطينا ال implication تبع ال Cauchy sequence

226
00:25:41,740 --> 00:25:46,240
then

227
00:25:46,240 --> 00:25:54,280
لو أخذت n و m أكبر من أو يساوي ال capital N هذه

228
00:25:54,280 --> 00:26:04,420
فبالتأكيد هذا هيقود إلى أن 1/n  و كذلك 1/m

229
00:26:04,420 --> 00:26:09,300
كلهما أصغر من أو يساوي 1/capital N وهذا

230
00:26:09,300 --> 00:26:15,120
بدوره بيقود إلى أن |1/n - 1/m|

231
00:26:15,120 --> 00:26:26,020
m طبعاً هذه x<sub>m</sub> وهذه x<sub>n</sub> فشفنا أن هذا أصغر من أو

232
00:26:26,020 --> 00:26:29,940
يساوي |1/n| باستخدام ال triangle

233
00:26:29,940 --> 00:26:36,140
inequality زائد |-1/m| اللي هو

234
00:26:36,140 --> 00:26:44,520
|1/m| طيب هذا بيساوي 1/n +

235
00:26:44,520 --> 00:26:49,800
1/m لأن  أعداد موجبة وقول إن هذا أصغر من

236
00:26:49,800 --> 00:26:55,830
أو يساوي 1/n + 1/m وهذا بيساوي

237
00:26:55,830 --> 00:27:05,510
2/capital N وهذا من الاختيار تبعنا لـ capital N by

238
00:27:05,510 --> 00:27:15,990
2/capital N أصغر من ε طب

239
00:27:15,990 --> 00:27:22,830
ما هذا .. هذا هو شرط Cauchy صح؟ هذا هو شرط Cauchy إذا

240
00:27:22,830 --> 00:27:28,310
by definition بما أن هذا صحيح لكل ε since

241
00:27:28,310 --> 00:27:39,990
ε أكبر من الصفر was arbitrary by

242
00:27:39,990 --> 00:27:45,830
definition of Cauchy sequence ال sequence x<sub>n</sub> is

243
00:27:45,830 --> 00:27:50,990
اللي هي 1/n اللي الحد العام تبعها 1/

244
00:27:50,990 --> 00:27:57,610
n is Cauchy تمام

245
00:27:57,610 --> 00:28:04,230
هنا أثبتنا أن ال sequence Cauchy مباشرة باستخدام

246
00:28:04,230 --> 00:28:12,050
التعريف طبعاً في برهان ثاني ممكن نستخدم Cauchy

247
00:28:12,050 --> 00:28:18,290
criterion احنا ممكن نثبت أن ال sequence هذي

248
00:28:18,290 --> 00:28:24,620
convergent وأثبتنا هذا الكلام قبل كده صح؟ و حسب

249
00:28:24,620 --> 00:28:28,640
Cauchy criterion بما أنه ال sequence convergent

250
00:28:28,640 --> 00:28:32,760
then it is Cauchy صح؟ هذا برهان ثاني لكن إذا كنا

251
00:28:32,760 --> 00:28:38,260
لكم برهنيها directly يعني استخدم التعريف لازم

252
00:28:38,260 --> 00:28:45,600
البرهان هذا هو اللي إيه تكتبوه واضح تمام؟ في أي

253
00:28:45,600 --> 00:28:46,400
استفسار؟

254
00:28:50,060 --> 00:28:51,700
نأخذ مثال ثاني

255
00:29:18,730 --> 00:29:27,750
مثال رقم 2 consider .. consider

256
00:29:27,750 --> 00:29:36,370
ال sequence defined

257
00:29:36,370 --> 00:29:38,710
inductively

258
00:29:48,750 --> 00:29:52,770
إذا في عندي sequence معرفة بطريقة استقرائية

259
00:29:52,770 --> 00:30:03,070
كالتالي كما يلي هناخد x<sub>1</sub> = 1 و x<sub>2</sub> = 

260
00:30:03,070 --> 00:30:12,710
2 طب و x<sub>n</sub> n ≥ 3 هناخده =

261
00:30:12,710 --> 00:30:24,340
1/2 في x<sub>n-2</sub> + x<sub>n-1</sub> طبعاً هذا

262
00:30:24,340 --> 00:30:30,740
لكل n عدد طبيعي أكبر من أو يساوي 3 إذا هنا في

263
00:30:30,740 --> 00:30:35,160
inductive sequence معرفة بطريقة استقرائية أول حدين اللي

264
00:30:35,160 --> 00:30:41,200
هم قيم معينة الحد الثالث وانت طالع معرف بدلالة

265
00:30:41,200 --> 00:30:47,520
الحدين اللي قبله مباشرة هذا طبعاً بيعطينا

266
00:30:47,520 --> 00:30:53,720
sequence المطلوب عايزين نثبت show أن ال sequence x<sub>n</sub>

267
00:30:53,720 --> 00:31:04,020
is convergent و converges to the number 5/

268
00:31:04,020 --> 00:31:12,220
3 البرهان

269
00:31:17,020 --> 00:31:24,000
هنثبت we first show

270
00:31:24,000 --> 00:31:37,700
that sequence x<sub>n</sub> converges by

271
00:31:37,700 --> 00:31:41,700
showing

272
00:31:41,700 --> 00:31:46,540
بإثبات أنه

273
00:31:51,510 --> 00:32:00,170
إنها Cauchy thanks

274
00:32:00,170 --> 00:32:07,610
to Cauchy criterion

275
00:32:07,610 --> 00:32:17,390
طبعاً هذا بفضل معيار كوشي أو Cauchy criterion هنثبت

276
00:32:17,390 --> 00:32:23,510
الأول أن ال sequence هي to convergent بإثبات إنه

277
00:32:23,510 --> 00:32:28,970
Cauchy وهذا طبعاً حسب Cauchy criterion إذا أثبتنا إن ال

278
00:32:28,970 --> 00:32:35,730
sequence Cauchy بتكون convergent تمام فنشوف كيف ممكن

279
00:32:35,730 --> 00:32:40,150
نثبت الكلام هذا فأول شيء بدي أثبت إن ال sequence

280
00:32:40,150 --> 00:32:44,750
bounded إذن هنا الإدعاء 

281
00:32:44,750 --> 00:32:51,710
الأول أو claim number one السيكونس xn الحد العام

282
00:32:51,710 --> 00:32:56,890
تبعها أكبر من أو يساوي الواحد أصغر من أو يساوي اثنين

283
00:32:56,890 --> 00:33:05,050
لكل n في N لبرهان

284
00:33:05,050 --> 00:33:11,810
ذلك to see this use

285
00:33:11,810 --> 00:33:14,310
induction

286
00:33:19,650 --> 00:33:27,010
on n so I will leave it for you to prove claim one

287
00:33:27,010 --> 00:33:33,250
by induction on n فالحالة

288
00:33:33,250 --> 00:33:38,010
لو بنشوف بقرا ال statement هذا when n equals one

289
00:33:38,010 --> 00:33:44,090
هذا معناه أن المتباينة هذه هتكون x one أكبر من أو

290
00:33:44,090 --> 00:33:50,360
يساوي الواحد أصغر من أو يساوي اثنين وهذا true وهذه

291
00:33:50,360 --> 00:33:56,880
صحيحة لأن هاي x واحد بساوي واحد والواحد أكبر من

292
00:33:56,880 --> 00:34:01,620
أو يساوي الواحد هو less than or equal to إذن ال

293
00:34:01,620 --> 00:34:06,000
statement هذا is true for n يساوي one assume it is

294
00:34:06,000 --> 00:34:09,620
true for n يساوي k وprove it for n يساوي k زائد

295
00:34:09,620 --> 00:34:13,500
واحد فيعني

296
00:34:13,500 --> 00:34:16,200
هسيبكم أنتم تكملوا البرهان البرهان سهل

297
00:34:19,520 --> 00:34:28,600
So this is claim one الآن by claim one

298
00:34:28,600 --> 00:34:36,400
By claim one the

299
00:34:36,400 --> 00:34:43,020
sequence xn is bounded حسب

300
00:34:43,020 --> 00:34:50,140
claim one لأن claim one أثبتنا فيه أو هتثبتوا فيه

301
00:34:50,140 --> 00:34:53,880
أن الـ xn ال sequence xn كل حدود ال sequence

302
00:34:53,880 --> 00:34:57,740
محصورة بين واحد واثنين وبالتالي bounded below by

303
00:34:57,740 --> 00:35:02,680
one bound above by two وبالتالي bounded okay إذا

304
00:35:02,680 --> 00:35:15,440
ال sequence bounded الآن لو كتبنا writing

305
00:35:15,440 --> 00:35:16,220
out

306
00:35:21,120 --> 00:35:29,260
الأول مرات... المرات

307
00:35:29,260 --> 00:35:32,100
الأول مرات... المرات الأول مرات... المرات الأول

308
00:35:32,100 --> 00:35:32,120
المرات الأول مرات... المرات الأول مرات الأول مرات

309
00:35:32,120 --> 00:35:33,160
مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات

310
00:35:33,160 --> 00:35:33,480
الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول

311
00:35:33,480 --> 00:35:34,040
مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات

312
00:35:34,040 --> 00:35:34,600
الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول

313
00:35:34,600 --> 00:35:35,980
مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات

314
00:35:35,980 --> 00:35:39,620
الأول مرات الأول

315
00:35:39,620 --> 00:35:46,440
مرات الأول

316
00:35:46,440 --> 00:35:47,720
مرات

317
00:35:49,600 --> 00:35:56,440
is not monotone لو

318
00:35:56,440 --> 00:36:02,300
كتبنا أول أربع خمس ست حدود من ال sequence هذه

319
00:36:02,300 --> 00:36:08,060
فبلاحظ أنها ليست monotone ليست increasing neither

320
00:36:08,060 --> 00:36:14,100
increasing nor decreasing وبالتالي نقدر نستخدم الـ

321
00:36:14,100 --> 00:36:23,600
monotone convergence theorem so we can't we can't

322
00:36:23,600 --> 00:36:31,120
use the monotone convergence theorem we

323
00:36:31,120 --> 00:36:31,940
can't

324
00:36:35,030 --> 00:36:42,910
we can't use monotone convergence theorem الـ

325
00:36:42,910 --> 00:36:46,570
sequence bounded عشان نستخدم الـ monotone

326
00:36:46,570 --> 00:36:49,530
convergence theorem لازم تكون monotone increasing

327
00:36:49,530 --> 00:36:53,730
أو monotone decreasing ف it is not monotone

328
00:36:53,730 --> 00:36:56,610
فما أقدرش أستخدم ال monotone convergence theorem

329
00:36:56,610 --> 00:37:03,210
عشان أفحص ال convergence ال sequence لازم أبحث عن

330
00:37:03,210 --> 00:37:09,890
طريقة ثانية غير الـ monotone convergence فيها طيب

331
00:37:09,890 --> 00:37:16,530
هنثبت claim 2 claim

332
00:37:16,530 --> 00:37:24,230
2 ادعاء ثاني وهو أن ال sequence xn بتحقق المعادلة

333
00:37:24,230 --> 00:37:30,290
absolute xn minus xn زائد واحد يساوي واحد على

334
00:37:30,290 --> 00:37:37,450
اثنين أس n ناقص واحد وهذا الكلام صحيح for every n

335
00:37:37,450 --> 00:37:41,950
في N to

336
00:37:41,950 --> 00:37:50,510
see

337
00:37:50,510 --> 00:37:54,790
this لبرهان ذلك use induction

338
00:37:57,680 --> 00:38:03,880
use induction on n برضه ممكن برهان المعادلة هذه by

339
00:38:03,880 --> 00:38:09,460
induction on n هينبرهن

340
00:38:09,460 --> 00:38:13,540
البرهان if

341
00:38:13,540 --> 00:38:24,670
n يساوي واحد ف absolute x واحد minus x اثنين يساوي

342
00:38:24,670 --> 00:38:30,010
absolute واحد ناقص اثنين يساوي absolute واحد يساوي

343
00:38:30,010 --> 00:38:35,810
واحد هذا الطرف اليمين والطرف اليسار واحد على

344
00:38:35,810 --> 00:38:41,370
اثنين أس n ناقص واحد يساوي واحد على اثنين زائد

345
00:38:41,370 --> 00:38:49,110
صفر يساوي واحد واحد يساوي واحد إذا

346
00:38:49,110 --> 00:38:54,930
المعادلة true for n يساوي واحد طيب assume ال

347
00:38:54,930 --> 00:39:06,670
induction hypothesis الفرض طبع ال induction assume

348
00:39:06,670 --> 00:39:12,710
أنه ال...

349
00:39:12,710 --> 00:39:25,640
ال claim is true for n يساوي k و k طبعا أكبر من أو يساوي واحد هذا

350
00:39:25,640 --> 00:39:30,920
معناه أن absolute xk minus xk زائد واحد يساوي

351
00:39:30,920 --> 00:39:37,460
واحد على اثنين أس k ناقص واحد، صح؟ هذه العبارة

352
00:39:37,460 --> 00:39:44,020
صحيحة and k

353
00:39:44,020 --> 00:39:45,600
أكبر من أو يساوي واحد
354
00:39:49,840 --> 00:39:54,580
الآن تعال نثبت صحة العبارة عند n يساوي k زائد

355
00:39:54,580 --> 00:39:59,420
واحد ناخذ الطرف الشمال عندما n يساوي k زائد واحد

356
00:39:59,420 --> 00:40:06,600
هذا عبارة عن x k زائد واحد ناقص x k زائد اثنين

357
00:40:06,600 --> 00:40:14,020
بدنا نثبت أن هذا يساوي واحد على اثنين أس k صح؟ طب

358
00:40:14,020 --> 00:40:21,460
تعال نشوف هي absolute xk زائد واحد ناقص الآن xk

359
00:40:21,460 --> 00:40:26,760
زائد اثنين من ال definition تبع ال sequence بدل n

360
00:40:26,760 --> 00:40:38,320
بدل n ب k زائد اثنين فبيطلع نص في xk زائد xk زائد

361
00:40:38,320 --> 00:40:38,760
واحد

362
00:40:49,170 --> 00:41:04,590
وهذا يساوي وهذا يساوي نص في absolute x x

363
00:41:04,590 --> 00:41:09,430
k ناقص x k زائد واحد

364
00:41:16,590 --> 00:41:19,730
بعد ما نطرح بيطلع عنده نص عامل مشترك و absolute

365
00:41:19,730 --> 00:41:26,890
الآن by induction hypothesis من الفرض تبع ال

366
00:41:26,890 --> 00:41:33,130
induction ال absolute value هذه أيها ايش يساوي

367
00:41:33,130 --> 00:41:39,210
عوض عنها أي نص ضرب one over two to k ناقص one

368
00:41:39,210 --> 00:41:43,550
ويساوي واحد على

369
00:42:09,140 --> 00:42:09,700
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

370
00:42:09,700 --> 00:42:09,720
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

371
00:42:09,720 --> 00:42:09,820
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

372
00:42:09,820 --> 00:42:10,040
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

373
00:42:10,040 --> 00:42:10,480
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

374
00:42:10,480 --> 00:42:10,960
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

375
00:42:15,820 --> 00:42:23,080
الآن باستخدام ال claim الثاني ممكن نثبت شغلة مهمة

376
00:42:23,080 --> 00:42:36,380
في البرهان إذا

377
00:42:36,380 --> 00:42:43,650
خليها هادي للمرة الجاية بس بدي أكتبها خليكم أنتم 

378
00:42:43,650 --> 00:42:53,390
تفكروا فيها... خليكم أنتم تفكروا فيها Now

379
00:42:53,390 --> 00:43:11,210
using a claim to verify... verify that...

380
00:43:14,770 --> 00:43:23,190
Fm أكبر من N فهذا

381
00:43:23,190 --> 00:43:33,530
بيودي أن absolute Xn ناقص Xm أصغر من واحد على

382
00:43:33,530 --> 00:43:39,170
اثنين أس M ناقص اثنين

383
00:43:45,950 --> 00:43:54,290
إذاً هذا ممكن إثباته by the triangle inequality و

384
00:43:54,290 --> 00:44:06,850
claim اثنين فبنوقف

385
00:44:06,850 --> 00:44:14,460
هنا وبنكمل ال... بنكمل إن شاء الله البرهان في

386
00:44:14,460 --> 00:44:19,680
المحاضرة الجاية، في حد عنده أي سؤال أو استفسار؟