| 1 | |
| 00:00:21,840 --> 00:00:28,120 | |
| المحاضرة اللي فاتت بدينا في عرض بعض ال | |
| 2 | |
| 00:00:28,120 --> 00:00:32,760 | |
| applications of the supremum property وبعتقد أن | |
| 3 | |
| 00:00:32,760 --> 00:00:37,680 | |
| احنا أخذنا أول مثال اللي هو المثال هذا مظبوط | |
| 4 | |
| 00:00:37,680 --> 00:00:40,980 | |
| فقولنا | |
| 5 | |
| 00:00:40,980 --> 00:00:46,160 | |
| إن المثال هذا لو أخدت أي bounded set bounded | |
| 6 | |
| 00:00:46,160 --> 00:00:56,150 | |
| above وعرفت المجموعة a زائد s بالطريقة هذه فأثبتنا | |
| 7 | |
| 00:00:56,150 --> 00:01:00,770 | |
| وممكن بسهولة إثبات أن ال supremum للمجموعة الجديدة | |
| 8 | |
| 00:01:00,770 --> 00:01:09,870 | |
| A plus S بتساوي A plus ال supremum لـ S وشوفنا | |
| 9 | |
| 00:01:09,870 --> 00:01:15,630 | |
| البرهان بالتفصيل المرة اللي فاتت وكان هنا البرهان | |
| 10 | |
| 00:01:15,630 --> 00:01:18,390 | |
| بعتمد على أن الـ set اللي bounded above | |
| 11 | |
| 00:01:32,250 --> 00:01:36,230 | |
| الـ set S هي bounded above لأن ال supremum تبعها | |
| 12 | |
| 00:01:36,230 --> 00:01:42,940 | |
| exists by the supremum property وشوفنا بعد هيك أنه | |
| 13 | |
| 00:01:42,940 --> 00:01:49,660 | |
| الـ .. العدد a زائد u بيطلع upper bound للـ set هذه و | |
| 14 | |
| 00:01:49,660 --> 00:01:53,500 | |
| بعدين أثبتنا أن هذا العدد هو أصغر upper bound أو | |
| 15 | |
| 00:01:53,500 --> 00:01:59,320 | |
| supremum للـ set هذه وبالتالي هيك بنكون أثبتنا أن | |
| 16 | |
| 00:01:59,320 --> 00:02:03,760 | |
| supremum للـ set هذه موجود و بيساوي العدد a زائد u | |
| 17 | |
| 00:02:03,760 --> 00:02:09,420 | |
| اللي هو a زائد supremum S المثال الثاني | |
| 18 | |
| 00:02:16,520 --> 00:02:20,320 | |
| لو أخدت two functions المجال الـ domain تبعهم | |
| 19 | |
| 00:02:20,320 --> 00:02:25,300 | |
| مجموعة D subset من R وكتبت | |
| 20 | |
| 00:02:25,300 --> 00:02:29,280 | |
| F of D على أنها مجموعة كل العناصر F of X حيث و X | |
| 21 | |
| 00:02:29,280 --> 00:02:34,400 | |
| ينتمي لـ D فالـ set F of D هذه هي الـ range تبع الـ | |
| 22 | |
| 00:02:34,400 --> 00:02:39,120 | |
| function F صح؟ هي المدى تبع الـ function F و كذلك | |
| 23 | |
| 00:02:39,120 --> 00:02:46,000 | |
| الـ set G of D هي الـ range تبع الـ function G | |
| 24 | |
| 00:02:48,510 --> 00:02:53,250 | |
| فلو فرضنا أن الـ set f of d و الـ set g of d bounded | |
| 25 | |
| 00:02:53,250 --> 00:03:01,530 | |
| set R فطبعا حسب ال supremum property المجموعات دول | |
| 26 | |
| 00:03:01,530 --> 00:03:06,430 | |
| كل واحدة لها supremum كذلك حسب ال infimum property | |
| 27 | |
| 00:03:07,290 --> 00:03:11,050 | |
| المجموعتين هذول كل واحدة فيهم إلها infimum، الـ | |
| 28 | |
| 00:03:11,050 --> 00:03:15,350 | |
| infimum تبعهم exists إذا نفرض إن المجمعتين هذول | |
| 29 | |
| 00:03:15,350 --> 00:03:18,570 | |
| bounded عشان إيه نضمن وجود ال supremum والinfimum | |
| 30 | |
| 00:03:18,570 --> 00:03:26,450 | |
| لكل واحدة منهم الآن في عندي بدي أبرهن حاجة ثانية لو | |
| 31 | |
| 00:03:26,450 --> 00:03:31,930 | |
| كان الفرض f of x أصغر من أو يساوي g of x بتحقق لكل | |
| 32 | |
| 00:03:31,930 --> 00:03:38,040 | |
| x ينتمي لـ D بيطلع ال supremum للمجموعة F of D بيطلع أصغر من | |
| 33 | |
| 00:03:38,040 --> 00:03:44,660 | |
| أو يساوي ال supremum للمجموعة G of D وبرهان هذا | |
| 34 | |
| 00:03:44,660 --> 00:03:54,220 | |
| البرهان يعني سهل أنا كاتب إنه easy exercise لكن | |
| 35 | |
| 00:03:54,220 --> 00:04:02,780 | |
| ممكن تبرهنه ممكن تبرهنه بكل سهولة فهي نكتب الـ proof | |
| 36 | |
| 00:04:06,320 --> 00:04:14,320 | |
| of part one للجزء الأول فخلّينا | |
| 37 | |
| 00:04:14,320 --> 00:04:19,400 | |
| نثبت fix x | |
| 38 | |
| 00:04:19,400 --> 00:04:29,400 | |
| ينتمي إلى d ناخد عنصر x ينتمي إلى d عشوائي by | |
| 39 | |
| 00:04:29,400 --> 00:04:31,240 | |
| hypothesis من الفرض | |
| 40 | |
| 00:04:33,710 --> 00:04:40,970 | |
| من الفرض أنا عندي f of x أصغر من أو يساوي g of x | |
| 41 | |
| 00:04:40,970 --> 00:04:52,470 | |
| للـ x هذه و لأي x دي صح هذا من الفرض و g of x g of | |
| 42 | |
| 00:04:52,470 --> 00:05:00,550 | |
| x أصغر من أو يساوي ال supremum للـ set g of d | |
| 43 | |
| 00:05:04,610 --> 00:05:14,410 | |
| طبعا هذا زي ما قلنا exists by supremum property | |
| 44 | |
| 00:05:14,410 --> 00:05:20,970 | |
| باستخدام خاصية الـ | |
| 45 | |
| 00:05:20,970 --> 00:05:26,910 | |
| supremum .. هذا .. هذا عنصر في الـ set هذا g of x عنصر | |
| 46 | |
| 00:05:26,910 --> 00:05:32,550 | |
| في الـ set g of d صح؟وهذا upper bound ال supremum لـ g of | |
| 47 | |
| 00:05:32,550 --> 00:05:38,690 | |
| d و هذا عنصر في الـ set g of d فهذا أكيد أكبر من أو يساوي | |
| 48 | |
| 00:05:38,690 --> 00:05:43,610 | |
| ال upper bound للـ set اللي بينتمي إليها فهذا صحيح | |
| 49 | |
| 00:05:43,610 --> 00:05:56,610 | |
| الآن هذا صحيح لكل x since x belonged to D was | |
| 50 | |
| 00:05:56,610 --> 00:05:57,610 | |
| arbitrarily | |
| 51 | |
| 00:06:03,450 --> 00:06:10,110 | |
| arbitrary إن إن بيطلع عندي F of X أصغر من أو يساوي | |
| 52 | |
| 00:06:10,110 --> 00:06:20,490 | |
| ال supremum لـ G of D وهذا صحيح لكل X في D هذا | |
| 53 | |
| 00:06:20,490 --> 00:06:29,900 | |
| معناه إنه العدد هذا هذا العدد أكبر من أو يساوي كل | |
| 54 | |
| 00:06:29,900 --> 00:06:36,960 | |
| عناصر الـ set F of D صح؟ هي هذا معناه أن الـ | |
| 55 | |
| 00:06:36,960 --> 00:06:47,600 | |
| supremum لـ set G of D is an upper bound an upper | |
| 56 | |
| 00:06:47,600 --> 00:06:50,860 | |
| bound | |
| 57 | |
| 00:06:50,860 --> 00:06:53,780 | |
| لمين؟ | |
| 58 | |
| 00:06:54,920 --> 00:07:01,100 | |
| of set f of d بصح؟ | |
| 59 | |
| 00:07:01,100 --> 00:07:07,040 | |
| لأن هيك كل عنصر f of x في f of d أصغر من أو يساوي | |
| 60 | |
| 00:07:07,040 --> 00:07:18,980 | |
| العدد هذا، صح؟ طيب since ال supremum لـ set f of d | |
| 61 | |
| 00:07:18,980 --> 00:07:25,890 | |
| exists in R طبعا برضه by supremum property لأن احنا | |
| 62 | |
| 00:07:25,890 --> 00:07:31,890 | |
| فرضين أن الـ set هذه bounded صح فال supremum تبعها | |
| 63 | |
| 00:07:31,890 --> 00:07:37,110 | |
| موجود الآن الـ set هذه ال supremum تبعها موجود | |
| 64 | |
| 00:07:37,110 --> 00:07:42,750 | |
| والعدد هذا هذا العدد عبارة عن upper bound لـ set | |
| 65 | |
| 00:07:42,750 --> 00:07:46,850 | |
| إذا ما العلاقة بين ال upper bound هذا للـ set وال | |
| 66 | |
| 00:07:46,850 --> 00:07:53,650 | |
| supremum للـ set؟ في واحد أكبر من أو يساوي الثاني لأن | |
| 67 | |
| 00:07:53,650 --> 00:07:59,770 | |
| بما أن هذا الكلام صحيح نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن | |
| 68 | |
| 00:07:59,770 --> 00:08:01,050 | |
| نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن | |
| 69 | |
| 00:08:01,050 --> 00:08:01,350 | |
| نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن | |
| 70 | |
| 00:08:01,350 --> 00:08:04,050 | |
| نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن | |
| 71 | |
| 00:08:04,050 --> 00:08:05,880 | |
| نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن هذا | |
| 72 | |
| 00:08:05,880 --> 00:08:10,820 | |
| أصغر upper bound للـ set f of d وهذا upper bound للـ set | |
| 73 | |
| 00:08:10,820 --> 00:08:15,440 | |
| f of d إذا ال supremum بيطلع أصغر من أو يساوي ال | |
| 74 | |
| 00:08:15,440 --> 00:08:22,480 | |
| upper bound اللي هو supremum g of d وهو المطلوب | |
| 75 | |
| 00:08:22,480 --> 00:08:29,800 | |
| وهذا بيثبت الجزء الأول okay تمام إذا الجزء الأول مش | |
| 76 | |
| 00:08:29,800 --> 00:08:33,680 | |
| صعب وهنا أثبتنا واضح | |
| 77 | |
| 00:08:37,050 --> 00:08:42,310 | |
| برهان الجزء الثاني برضه شبيه فيه الجزء الثاني، إيش | |
| 78 | |
| 00:08:42,310 --> 00:08:47,510 | |
| بيقول ليه؟ الفرض، لاحظوا الفرق بين الفرض تبع الجزء | |
| 79 | |
| 00:08:47,510 --> 00:08:54,910 | |
| الثاني والجزء الأول الفرض | |
| 80 | |
| 00:08:54,910 --> 00:09:00,210 | |
| هنا إن f of x أصغر من أو يساوي g of y لكل x و y في | |
| 81 | |
| 00:09:00,210 --> 00:09:00,450 | |
| D | |
| 82 | |
| 00:09:04,010 --> 00:09:09,170 | |
| هذا أشمَل وهذا أعمل من هذا وهذا أقوى من هذا لاحظوا | |
| 83 | |
| 00:09:09,170 --> 00:09:14,690 | |
| إنه لو هذا صح فهذا بيطلع صح اللي فوق لكن الـ x مش | |
| 84 | |
| 00:09:14,690 --> 00:09:18,430 | |
| صحيح طيب | |
| 85 | |
| 00:09:18,430 --> 00:09:22,130 | |
| إذا .. إذا هذا الكلام صحيح فهذا بيقدي إن الـ | |
| 86 | |
| 00:09:22,130 --> 00:09:26,410 | |
| supremum لـ F of D بيطلع أصغر من أو يساوي ال infimum | |
| 87 | |
| 00:09:26,410 --> 00:09:31,110 | |
| لـ set G of D نشوف | |
| 88 | |
| 00:09:31,110 --> 00:09:32,710 | |
| الـ .. نبرهن الكلام هذا | |
| 89 | |
| 00:09:50,270 --> 00:10:02,090 | |
| البرهان الجزء الثاني البرهان | |
| 90 | |
| 00:10:02,090 --> 00:10:05,030 | |
| الجزء الثاني هذا conditional statement هي الفرض | |
| 91 | |
| 00:10:05,030 --> 00:10:11,370 | |
| وهي النتيجة الـ conclusion فبنفرض أن الفرض هذا صحيح | |
| 92 | |
| 00:10:11,370 --> 00:10:23,770 | |
| و بنثبت يثبت يثبت عنصر Y في D من الفرض بيطلع عندي f | |
| 93 | |
| 00:10:23,770 --> 00:10:29,530 | |
| of x أصغر من أو يساوي g of y وهذا صحيح لكل x في دي | |
| 94 | |
| 00:10:29,530 --> 00:10:38,280 | |
| و الـ y ثابت يعني هذا من الفرض صحيح لكل x في دي طيب، | |
| 95 | |
| 00:10:38,280 --> 00:10:45,040 | |
| الآن هذا معناه أن العدد هذا g of y هي في y أنصه | |
| 96 | |
| 00:10:45,040 --> 00:10:49,600 | |
| ثابت هي أكبر .. هذا العدد أكبر من أو يساوي كل الـ F | |
| 97 | |
| 00:10:49,600 --> 00:10:54,100 | |
| of X لكل X دي معناه هذا upper bound للـ set F of D | |
| 98 | |
| 00:10:54,100 --> 00:10:59,020 | |
| الآن g of y عبارة عن upper bound للـ set F of D من | |
| 99 | |
| 00:10:59,020 --> 00:11:01,860 | |
| هنا، مظبوط؟ تمام؟ | |
| 100 | |
| 00:11:04,040 --> 00:11:07,840 | |
| وبالتالي الـ least upper bound لـ F of D بيطلع أصغر | |
| 101 | |
| 00:11:07,840 --> 00:11:12,080 | |
| من أو يساوي الـ upper bound لـ F of D اللي هو G of Y لأن | |
| 102 | |
| 00:11:12,080 --> 00:11:13,620 | |
| هذه المتباينة صحيحة | |
| 103 | |
| 00:11:18,050 --> 00:11:22,770 | |
| اخترناها was arbitrary fixed احنا اخترناها عشوائي | |
| 104 | |
| 00:11:22,770 --> 00:11:27,470 | |
| arbitrary وثبتناها أن الكلام المتباينة هذه الآن صحيح | |
| 105 | |
| 00:11:27,470 --> 00:11:33,110 | |
| لكل y أن المتباينة هذه صحيحة true for every y في D | |
| 106 | |
| 00:11:33,110 --> 00:11:39,510 | |
| هذا معناه من المتباينة هذه percentage إنه العدد | |
| 107 | |
| 00:11:39,510 --> 00:11:45,350 | |
| ال supremum لـ F of D هذا عبارة عن lower bound | |
| 108 | |
| 00:11:45,350 --> 00:11:51,030 | |
| لمجموعة العناصر g of y حيث y ينتمي لـ d يعني العدد | |
| 109 | |
| 00:11:51,030 --> 00:11:58,210 | |
| هذا عبارة عن lower bound للـ set g of d عظيم صح؟ طيب | |
| 110 | |
| 00:11:58,210 --> 00:12:04,230 | |
| ال infimum لـ g of d exists وهذا العدد lower bound | |
| 111 | |
| 00:12:04,230 --> 00:12:08,950 | |
| للـ set هذه و ال infimum هذا عبارة عن الـ greatest | |
| 112 | |
| 00:12:08,950 --> 00:12:12,970 | |
| lower bound لـ G و D إذا الـ greatest lower bound | |
| 113 | |
| 00:12:12,970 --> 00:12:18,810 | |
| دايما بيكون أكبر من أو يساوي أي lower bound إذا الـ | |
| 114 | |
| 00:12:18,810 --> 00:12:23,090 | |
| lower bound هذا أصغر من أو يساوي الـ greatest lower | |
| 115 | |
| 00:12:23,090 --> 00:12:28,610 | |
| bound لـ G و D و هذا اللي هو هذا النتيجة اللي احنا | |
| 116 | |
| 00:12:28,610 --> 00:12:34,800 | |
| عايزين نصل لها okay تمام واضح؟ إذن هذا برهاني جزء | |
| 117 | |
| 00:12:34,800 --> 00:12:48,220 | |
| الثاني الآن في ملاحظة الملاحظة هذه بتقول إنه يعني | |
| 118 | |
| 00:12:48,220 --> 00:12:56,120 | |
| ممكن طالبة طلعت تسأل أو تستفسر أو تتساءل طب ما هذا | |
| 119 | |
| 00:12:56,120 --> 00:13:01,400 | |
| الشرط تبعين زي هذا ما فيش فرق بينهم فاحنا بنقول لأ | |
| 120 | |
| 00:13:01,400 --> 00:13:05,480 | |
| هذا الشرط التحت أقوى من اللي فوق اللي تحت لو كان | |
| 121 | |
| 00:13:05,480 --> 00:13:09,160 | |
| التحت صحيح بيقدي للي فوق لكن لو كان اللي فوق صحيح | |
| 122 | |
| 00:13:09,160 --> 00:13:14,300 | |
| هذا ما بيقدي للي تحت هذا الشرط أقوى من اللي فوق | |
| 123 | |
| 00:13:14,300 --> 00:13:20,240 | |
| فممكن واحدة فيكم تسأل تقول طب لو احنا أخذنا الفرض | |
| 124 | |
| 00:13:20,240 --> 00:13:24,840 | |
| هذا لو فرضنا أن هذا الكلام صح هل ممكن نحصل على | |
| 125 | |
| 00:13:24,840 --> 00:13:30,580 | |
| نتيجة اللي تحته؟ الإجابة لأ، الإجابة لأ، هذا مش | |
| 126 | |
| 00:13:30,580 --> 00:13:36,900 | |
| ممكن، إذا الـ .. لو شيلنا الفرض هذا و بدلناه بالفرض | |
| 127 | |
| 00:13:36,900 --> 00:13:41,820 | |
| اللي فوق فالنتيجة هذه لا يمكن نحصل عليها، مش شرط | |
| 128 | |
| 00:13:41,820 --> 00:13:53,110 | |
| تكون صحيحة أو مثال يوضح إنه لا يمكن استبدال الفرض | |
| 129 | |
| 00:13:53,110 --> 00:13:58,610 | |
| تبع الجزء الثاني بالفرض تبع الجزء الأول ونحصل نحصل | |
| 130 | |
| 00:13:58,610 --> 00:14:00,630 | |
| على نتيجة الجزء الثاني | |
| 131 | |
| 00:14:12,790 --> 00:14:16,530 | |
| فناخد على سبيل المثال أو counterexample بيسميه في | |
| 132 | |
| 00:14:16,530 --> 00:14:22,910 | |
| رياضيات لو أخدت f of x بيساوي x تربيع دالة تربيع | |
| 133 | |
| 00:14:22,910 --> 00:14:26,830 | |
| و g of x الـ identity function و أخدت الـ domain | |
| 134 | |
| 00:14:26,830 --> 00:14:30,950 | |
| المشترك لـ f و g الـ closed unit interval | |
| 135 | |
| 00:14:34,300 --> 00:14:40,040 | |
| فطبعا بنلاحظ أن f of x اللي هي x تربيع لكل x في الـ | |
| 136 | |
| 00:14:40,040 --> 00:14:45,220 | |
| closed unit interval x تربيع أصغر من أو يساوي x، | |
| 137 | |
| 00:14:45,220 --> 00:14:51,180 | |
| مظبوط؟ و X بيساوي G of X فهي في عندي الـ two | |
| 138 | |
| 00:14:51,180 --> 00:14:54,460 | |
| functions هدول بالمناسبة الـ two functions هدول | |
| 139 | |
| 00:14:54,460 --> 00:14:59,220 | |
| كلاهم كلاهم bounded bounded below by zero bounded | |
| 140 | |
| 00:14:59,220 --> 00:15:08,940 | |
| above by الـ range تبعهم الـ range تبعهم F of D و G of D | |
| 141 | |
| 00:15:08,940 --> 00:15:14,900 | |
| of D ك sets كمجموعات بطلوا subset من المجموعة من | |
| 142 | |
| 00:15:14,900 --> 00:15:20,520 | |
| السفر لواحد، وبالتالي كلا هما bounded above by واحد | |
| 143 | |
| 00:15:20,520 --> 00:15:27,000 | |
| و bounded below by صفر، إذن | |
| 144 | |
| 00:15:27,000 --> 00:15:32,420 | |
| هذه المجموعات هي bounded وهي عند ال function f of | |
| 145 | |
| 00:15:32,420 --> 00:15:36,860 | |
| x أصغر من أو يساوي g of x لكل x دي، هذا الفرض تبع | |
| 146 | |
| 00:15:36,860 --> 00:15:41,600 | |
| الجزء واحد اللي شوفناه قبل شوية، لكن النتيجة تبع | |
| 147 | |
| 00:15:41,600 --> 00:15:45,560 | |
| الجزء التالي لا تتحقق، تعالى نشوف هي ال supremum ل | |
| 148 | |
| 00:15:45,560 --> 00:15:52,190 | |
| f of d هي مجموعة f of d الواحد | |
| 149 | |
| 00:15:52,190 --> 00:15:56,430 | |
| أكبر | |
| 150 | |
| 00:15:56,430 --> 00:16:00,090 | |
| من الصفر الصفر | |
| 151 | |
| 00:16:00,090 --> 00:16:05,650 | |
| برضه عبارة عن greatest lower bound أو الانفم من | |
| 152 | |
| 00:16:05,650 --> 00:16:09,950 | |
| المجموعة هذه، واضح أن الصفر lower bound للسفر هذه | |
| 153 | |
| 00:16:09,950 --> 00:16:15,580 | |
| وهو greatest lower bound، إذاً هي عند الـ supremum | |
| 154 | |
| 00:16:15,580 --> 00:16:20,220 | |
| لـ F of D أكبر من الـ infimum لـ G of D، وهذا نفي | |
| 155 | |
| 00:16:20,220 --> 00:16:23,700 | |
| نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة | |
| 156 | |
| 00:16:23,700 --> 00:16:24,240 | |
| نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة | |
| 157 | |
| 00:16:24,240 --> 00:16:26,120 | |
| نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة | |
| 158 | |
| 00:16:26,120 --> 00:16:26,240 | |
| نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة | |
| 159 | |
| 00:16:26,240 --> 00:16:26,440 | |
| نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة | |
| 160 | |
| 00:16:26,440 --> 00:16:32,560 | |
| نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة | |
| 161 | |
| 00:16:49,380 --> 00:16:56,900 | |
| كنتيجة على الـ completeness property في عندي نتيجة | |
| 162 | |
| 00:16:56,900 --> 00:17:05,420 | |
| كتير مهمة، وهنستخدمها كتير، معناها اللي هو ال | |
| 163 | |
| 00:17:05,420 --> 00:17:10,120 | |
| material اللي هناخدها لاحقا، اللي هو ال Archimedean | |
| 164 | |
| 00:17:10,120 --> 00:17:16,220 | |
| property أو خاصية Archimedes، إيه الخاصية هذه بتقول | |
| 165 | |
| 00:17:17,950 --> 00:17:23,890 | |
| لأي عدد حقيقي x في عدد طبيعي أكبر منه، أعطيني أي | |
| 166 | |
| 00:17:23,890 --> 00:17:29,650 | |
| عدد حقيقي x سواء كان صفر أو موجب أو سالب، بقدر | |
| 167 | |
| 00:17:29,650 --> 00:17:36,970 | |
| أعطيكي عدد طبيعي أكبر منه أو بقدر أوجدلك عدد طبيعي | |
| 168 | |
| 00:17:36,970 --> 00:17:42,760 | |
| يكون أكبر منه، البرهان تبع النظرية هذه بيعتمد على | |
| 169 | |
| 00:17:42,760 --> 00:17:47,040 | |
| الـ completeness property، فلبرهان ذلك نبدأ بالـ | |
| 170 | |
| 00:17:47,040 --> 00:17:54,320 | |
| Fix X في R ونثبتها ونعمل برهان بالتناقض، نحن عايزين | |
| 171 | |
| 00:17:54,320 --> 00:17:58,840 | |
| نثبت أنه للـ Fix X اللي احنا ثبتناها يوجد | |
| 172 | |
| 00:18:01,850 --> 00:18:07,810 | |
| عايزين نثبت العبارة، أن العبارة هذه تكون صحيحة، يوجد | |
| 173 | |
| 00:18:07,810 --> 00:18:12,430 | |
| عدد طبيعي أكبر من X، فبدا أعمل برهان بالتناقض، بدا | |
| 174 | |
| 00:18:12,430 --> 00:18:17,610 | |
| أفرض أن نفي العبارة هذه هو الصح، إذا ن assume ال | |
| 175 | |
| 00:18:17,610 --> 00:18:21,030 | |
| contrary أن نفي العبارة هذه الصح، طب نفي العبارة | |
| 176 | |
| 00:18:21,030 --> 00:18:27,750 | |
| هذه الصح، there exist ما بصير لكل N في N عكس | |
| 177 | |
| 00:18:27,750 --> 00:18:32,730 | |
| المتباينة هذه اللي هو n أصغر من أو يساوي x، إذن هنا | |
| 178 | |
| 00:18:32,730 --> 00:18:37,550 | |
| ال contrary أو النفي، نفي النتيجة هذه، معناها أن كل | |
| 179 | |
| 00:18:37,550 --> 00:18:44,610 | |
| الأعداد الطبيعية أصغر من أو يساوي x، هذا معناه أن ال | |
| 180 | |
| 00:18:44,610 --> 00:18:51,230 | |
| x هذا upper bound لـ set N وبالتالي الـ set N إلها | |
| 181 | |
| 00:18:51,230 --> 00:18:54,850 | |
| upper bound أو bounded above، إذا by the supremum | |
| 182 | |
| 00:18:54,850 --> 00:19:00,590 | |
| أو completeness of property، الـ set N بطلع يوجد | |
| 183 | |
| 00:19:00,590 --> 00:19:04,970 | |
| إلها supremum، الـ supremum تبعها exist and are، | |
| 184 | |
| 00:19:04,970 --> 00:19:12,410 | |
| سميه، فلنسميه u، فلنسميه u، تمام؟ في | |
| 185 | |
| 00:19:12,410 --> 00:19:19,340 | |
| لمة واحد اثنين عشر، لمة واحدة اثناء عشر كده بتقول لو كان | |
| 186 | |
| 00:19:19,340 --> 00:19:28,300 | |
| U أو u بساوي ال supremum لست S if and only if لكل | |
| 187 | |
| 00:19:28,300 --> 00:19:35,920 | |
| epsilon أكبر من الصفر نقدر نلاقي S epsilon في الست | |
| 188 | |
| 00:19:35,920 --> 00:19:42,460 | |
| S بحيث انه U سالب epsilon أصغر من S epsilon | |
| 189 | |
| 00:19:45,010 --> 00:19:50,110 | |
| طب أقل، أنا عندي فيه U بساوي Supremum ل N، S بساوي | |
| 190 | |
| 00:19:50,110 --> 00:19:55,450 | |
| 6 N كل الأعداد الطبيعية، هي عندي Supremum ل N اللي | |
| 191 | |
| 00:19:55,450 --> 00:20:01,890 | |
| هو U exist، إذا حسب لمة واحد اثنين عشر لو أخدت epsilon | |
| 192 | |
| 00:20:01,890 --> 00:20:06,670 | |
| لو أخدت epsilon بالساوية واحد، هذا عدد موجب، إذا لهذا | |
| 193 | |
| 00:20:06,670 --> 00:20:11,690 | |
| ال epsilon بقدر ألاقي عدد S epsilon هسمي M هنا بدل S | |
| 194 | |
| 00:20:11,690 --> 00:20:16,930 | |
| epsilon في اللمة، عدد طبيعي بحيث أنه لما أخد U minus | |
| 195 | |
| 00:20:16,930 --> 00:20:20,670 | |
| epsilon اللي هو الواحد، هذا بيطلع أصغر من S epsilon | |
| 196 | |
| 00:20:20,670 --> 00:20:25,050 | |
| اللي هو M، إذاً هذا نحصل عليه من لمة واحدة واثنين | |
| 197 | |
| 00:20:25,050 --> 00:20:30,870 | |
| عشر، طيب المتباين هذه، ودي واحد، نجري واحد على مين | |
| 198 | |
| 00:20:30,870 --> 00:20:35,010 | |
| فبيطلع U أصغر من M زائد واحد، طيب ال M عدد طبيعي | |
| 199 | |
| 00:20:35,010 --> 00:20:40,130 | |
| إذاً M زائد واحد عدد طبيعي صح؟ إذاً هذا M زائد | |
| 200 | |
| 00:20:40,130 --> 00:20:47,360 | |
| واحد عدد طبيعي وأكبر من U، و U قلنا ال U هو ال | |
| 201 | |
| 00:20:47,360 --> 00:20:50,520 | |
| supremum ل N يعني upper bound بيطلع upper bound ل | |
| 202 | |
| 00:20:50,520 --> 00:20:55,860 | |
| N، فكيف U upper bound ل set N للعداد الطبيعية، وفي | |
| 203 | |
| 00:20:55,860 --> 00:20:59,620 | |
| عنصر في العداد الطبيعية أكبر منه، لأن هذا بيديني | |
| 204 | |
| 00:20:59,620 --> 00:21:06,380 | |
| تناقض لكون U هو upper bound ل set للعداد الطبيعية | |
| 205 | |
| 00:21:06,380 --> 00:21:13,060 | |
| إذا وصلنا إلى تناقض، وبالتالي هذا بكمل البرهانة، إذا | |
| 206 | |
| 00:21:13,060 --> 00:21:16,980 | |
| الفرض تبعنا التناقض هذا، تقول إن ال assumption | |
| 207 | |
| 00:21:16,980 --> 00:21:24,720 | |
| تبعنا هذا، إن الكلام هذا صح كان خطر، إذا الصح نفيه | |
| 208 | |
| 00:21:24,720 --> 00:21:29,480 | |
| اللي هو المطلوب، okay، تمام، إذا هذه ال Archimedean | |
| 209 | |
| 00:21:29,480 --> 00:21:35,460 | |
| property هذه، ال Archimedean property، الآن ال | |
| 210 | |
| 00:21:35,460 --> 00:21:39,580 | |
| Archimedean property هذه أو خاصية Archimedes إلها | |
| 211 | |
| 00:21:39,580 --> 00:21:45,520 | |
| صور أخرى متعددة، وهذه الصور هي موجودة في كوريلري | |
| 212 | |
| 00:21:45,520 --> 00:21:50,700 | |
| واحد ستة عشر، إذا | |
| 213 | |
| 00:21:50,700 --> 00:21:58,060 | |
| النتيجة هذه في أن صور أخرى لـ ال Archimedean | |
| 214 | |
| 00:21:58,060 --> 00:22:06,500 | |
| property ف | |
| 215 | |
| 00:22:07,840 --> 00:22:11,520 | |
| Alternative forms يعني صور أخرى لـ Archimedean | |
| 216 | |
| 00:22:11,520 --> 00:22:16,520 | |
| property، let YUZ be positive real numbers، إذن | |
| 217 | |
| 00:22:16,520 --> 00:22:19,760 | |
| YUZ تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة | |
| 218 | |
| 00:22:22,550 --> 00:22:28,990 | |
| أول نتيجة، يوجد n عدد طبيعي بحيث أن الـ z أصغر من n | |
| 219 | |
| 00:22:28,990 --> 00:22:35,410 | |
| مضروب في y، إذا لو عندي عددين حقيقين موجبين z وy | |
| 220 | |
| 00:22:35,410 --> 00:22:39,790 | |
| بقدر ألاقي عدد طبيعي بحيث أن ال z أصغر من n مضروب | |
| 221 | |
| 00:22:39,790 --> 00:22:49,740 | |
| في y، كذلك لأي عدد حقيقي موجب y بقدر ألاقي عدد طبيعي | |
| 222 | |
| 00:22:49,740 --> 00:22:54,740 | |
| مقلوبه أصغر من العدد الموجب Y، طبعا مقلوب العدد | |
| 223 | |
| 00:22:54,740 --> 00:22:59,220 | |
| الطبيعي دائما موجب، كذلك | |
| 224 | |
| 00:22:59,220 --> 00:23:04,820 | |
| لأي عدد حقيقي موجب Z بقدر ألاقي عدد طبيعي بحيث أن | |
| 225 | |
| 00:23:04,820 --> 00:23:09,920 | |
| العدد الموجب Z أكبر من أو يساوي N سالب واحد وأصغر | |
| 226 | |
| 00:23:09,920 --> 00:23:16,770 | |
| من N، إذن التلات خواص هدولة كل واحدة منهم بنسميها | |
| 227 | |
| 00:23:16,770 --> 00:23:20,730 | |
| Archimedean property أو صورة أخرى من ال | |
| 228 | |
| 00:23:20,730 --> 00:23:25,590 | |
| Archimedean property، الجزء | |
| 229 | |
| 00:23:25,590 --> 00:23:30,250 | |
| الأخير هذا هو عبارة عن مثال وليس ال Archimedean | |
| 230 | |
| 00:23:30,250 --> 00:23:37,810 | |
| يعني هذا استثناء، يعني مجرد set بالساوي ال sequence | |
| 231 | |
| 00:23:37,810 --> 00:23:44,140 | |
| واحد على n، متتالية العداد الحقيقية 1 على N حيث N | |
| 232 | |
| 00:23:44,140 --> 00:23:49,540 | |
| عدد طبيعي، فال set هذه هنثبت أن ال infimum إلها هو | |
| 233 | |
| 00:23:49,540 --> 00:23:59,860 | |
| الصفر، طيب إذا نشوف ونثبت العزاء الأولى، الجزء | |
| 234 | |
| 00:23:59,860 --> 00:24:00,780 | |
| الأول | |
| 235 | |
| 00:24:06,710 --> 00:24:15,270 | |
| الجزء A لإثبات الجزء A خلّينا نعرف X بساوي Z على Y | |
| 236 | |
| 00:24:15,270 --> 00:24:19,930 | |
| طبعا Z وY أعداد حقيقية موجبة، إذن خارج قسمتهم أعداد | |
| 237 | |
| 00:24:19,930 --> 00:24:26,090 | |
| موجب، إذن هذا عبارة عن عدد حقيقي موجب، يعني ال X هذا | |
| 238 | |
| 00:24:26,090 --> 00:24:33,170 | |
| عبارة عن real number وموجب، فحسب ال Archimedean | |
| 239 | |
| 00:24:33,170 --> 00:24:42,860 | |
| property، لأي x عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي أكبر من الـ | |
| 240 | |
| 00:24:42,860 --> 00:24:48,000 | |
| x، إذا الـ x اللي أنا أخده Z على y بقدر ألاقي عدد | |
| 241 | |
| 00:24:48,000 --> 00:24:53,440 | |
| طبيعي n أكبر منه، يعني Z على y أصغر من n، لو ضربت | |
| 242 | |
| 00:24:53,440 --> 00:25:01,550 | |
| المتباينة هذه في y، y عدد موجب، فهيصير عندي Z أصغر من | |
| 243 | |
| 00:25:01,550 --> 00:25:08,110 | |
| n في y، وهذه هي النتيجة تبع الجزء الأول، okay، إذا | |
| 244 | |
| 00:25:08,110 --> 00:25:13,270 | |
| هيك يكون أثبتنا الجزء الأول، واضح؟ لإثبات الجزء | |
| 245 | |
| 00:25:13,270 --> 00:25:19,410 | |
| الثاني، لو أخدنا في الجزء الأول لو أخدت Z بساوي | |
| 246 | |
| 00:25:19,410 --> 00:25:30,500 | |
| واحد، فهيصير عندي 1 أصغر من n في y، ال Z هذا عدد | |
| 247 | |
| 00:25:30,500 --> 00:25:35,780 | |
| موجب، فلو أخد ال Z بالساوية واحد، هذا عدد موجب، فحسب | |
| 248 | |
| 00:25:35,780 --> 00:25:41,420 | |
| النتيجة a بيطلع عندي Z أصغر من n، يوجد عدد طبيعي n | |
| 249 | |
| 00:25:41,420 --> 00:25:48,080 | |
| بحيث أن Z أصغر من ny، يعني 1 أصغر من ny، الآن نضرب | |
| 250 | |
| 00:25:48,080 --> 00:25:53,910 | |
| في 1 على n، 1 على n عدد موجب، لو ضربنا الطرفين بالعدد | |
| 251 | |
| 00:25:53,910 --> 00:25:57,850 | |
| الموجب بواحد علينا بيطلع 1 علينا أصغر من Y، وهذا | |
| 252 | |
| 00:25:57,850 --> 00:26:01,330 | |
| اللي احنا عايزينه، تمام، إن هذا برهان الجزء الثاني | |
| 253 | |
| 00:26:01,330 --> 00:26:14,310 | |
| لبرهان الجزء الثالث، الجزء | |
| 254 | |
| 00:26:14,310 --> 00:26:14,730 | |
| C | |
| 255 | |
| 00:26:18,400 --> 00:26:23,700 | |
| بنثبت أنه لأي عدد حقيقي موجب Z فيه عدد طبيعي بحيث | |
| 256 | |
| 00:26:23,700 --> 00:26:30,940 | |
| أن Z محصورة بين N سالب واحد و M تمام، نعرف الست EZ | |
| 257 | |
| 00:26:30,940 --> 00:26:36,380 | |
| على إنها كل الأعداد الطبيعية M اللي بتكون أكبر من | |
| 258 | |
| 00:26:36,380 --> 00:26:46,880 | |
| Z، الآن هذه المجموعة غير خالية، لأنه | |
| 259 | |
| 00:26:51,070 --> 00:26:57,610 | |
| لأن الـ Z هذا عدد موجب، وبالتالي في الآخر هو عدد | |
| 260 | |
| 00:26:57,610 --> 00:27:01,950 | |
| حقيقي، ف by Archimedean property | |
| 261 | |
| 00:27:10,880 --> 00:27:17,220 | |
| اللي هي 115 رقمها، نظرية 115 بتقول أي عدد حقيقي z | |
| 262 | |
| 00:27:17,220 --> 00:27:26,880 | |
| يوجد عدد .. يوجد عدد طبيعي، يوجد m في n بحيث أن z | |
| 263 | |
| 00:27:26,880 --> 00:27:32,820 | |
| أصغر من n، إذا | |
| 264 | |
| 00:27:32,820 --> 00:27:42,120 | |
| المجموعة هذه على الأقل فيها عنصر واحد اللي هو الـ | |
| 265 | |
| 00:27:42,120 --> 00:27:49,100 | |
| M هذا، أو خليني اسميه MZ تمام | |
| 266 | |
| 00:27:49,100 --> 00:27:58,000 | |
| الـ Archimedean property تضمن أنه للعدد Z هذا اللي | |
| 267 | |
| 00:27:58,000 --> 00:28:05,100 | |
| هو يعني احنا فرضين أن العدد موجب، الـ set هذه بقدر | |
| 268 | |
| 00:28:05,100 --> 00:28:10,460 | |
| ألاقي عدد طبيعي MZ أكبر من Z، وبالتالي المجموعة هذه | |
| 269 | |
| 00:28:10,460 --> 00:28:15,580 | |
| تحتوي تحتوي على العنصر هذا على الأقل، لأن هذه | |
| 270 | |
| 00:28:15,580 --> 00:28:22,720 | |
| مجموعة غير خالية، واضحة النقطة هذه؟ الآن في خاصية | |
| 271 | |
| 00:28:22,720 --> 00:28:29,920 | |
| الترتيب أو بنسميها ال well ordering property، وهذه | |
| 272 | |
| 00:28:29,920 --> 00:28:34,400 | |
| في الحقيقة بتدرسها في نهاية في آخر chapter في | |
| 273 | |
| 00:28:34,400 --> 00:28:40,640 | |
| مبادئ رياضيات، ال well ordering property بتقول إن | |
| 274 | |
| 00:28:40,640 --> 00:28:46,240 | |
| every non-empty subset of N has a least element | |
| 275 | |
| 00:28:46,240 --> 00:28:51,020 | |
| يعني أي مجموعة غير خالية من مجموعة الأعداد | |
| 276 | |
| 00:28:51,020 --> 00:28:55,880 | |
| الطبيعية لازم اللي جي لها least element، لازم يكون | |
| 277 | |
| 00:28:55,880 --> 00:29:00,520 | |
| لها أصغر عنصر، يعني خدي أنت على الجربة حتى خدي أي | |
| 278 | |
| 00:29:00,520 --> 00:29:04,060 | |
| مجموعة جزئية من العدالة الطبيعية هتجد أن فيها عنصر | |
| 279 | |
| 00:29:04,060 --> 00:29:08,620 | |
| فيها هو أصغر عنصر، فهذا طبعا حسب ال well ordering | |
| 280 | |
| 00:29:08,620 --> 00:29:12,880 | |
| property، يعني درس المبادئ، وأنا شخصيا لما بدرس | |
| 281 | |
| 00:29:12,880 --> 00:29:16,400 | |
| مبادئ بحاول يعني أمر عليها أو أعطيها حتى لو يعني | |
| 282 | |
| 00:29:16,400 --> 00:29:21,620 | |
| بصورة مختصرة بقرابش الناس الثانية لما بدرسوا | |
| 283 | |
| 00:29:21,620 --> 00:29:25,340 | |
| المبادئ بعتقد ممكن ما وصلوش إليها لكن مش مشكلة هاي | |
| 284 | |
| 00:29:25,340 --> 00:29:26,400 | |
| نحن بنحكيلكم عنها | |
| 285 | |
| 00:29:29,700 --> 00:29:35,480 | |
| إذا هي عندي هذه عبارة عن subset من مجموعة الأعداد | |
| 286 | |
| 00:29:35,480 --> 00:29:40,060 | |
| الطبيعية و non-empty إذا لازم يكون فيها least | |
| 287 | |
| 00:29:40,060 --> 00:29:45,640 | |
| element إذا بقدر ألاقي NZ في مجموعة الأعداد | |
| 288 | |
| 00:29:45,640 --> 00:29:49,300 | |
| الطبيعية و هذا ال NZ هو least element لل set هذه | |
| 289 | |
| 00:29:49,300 --> 00:29:56,530 | |
| الغير خالية okay تمام إذا هنا يوجد عنصر nz عدد | |
| 290 | |
| 00:29:56,530 --> 00:30:02,390 | |
| طبيعي وهذا العدد الطبيعي هو ال least element ل | |
| 291 | |
| 00:30:02,390 --> 00:30:09,530 | |
| easy طيب | |
| 292 | |
| 00:30:09,530 --> 00:30:17,350 | |
| الآن هذا أصغر عنصر في ال set هذه يعني معناه nz لو | |
| 293 | |
| 00:30:17,350 --> 00:30:25,080 | |
| طرحت من nz طرحت منها واحد فطبعا هذا أصغر من NZ هذا | |
| 294 | |
| 00:30:25,080 --> 00:30:34,920 | |
| أصغر من NZ صح؟ مظبوط؟ وهذا أصغر عنصر لل set easy | |
| 295 | |
| 00:30:34,920 --> 00:30:41,700 | |
| هذا أصغر عنصر وهذا أصغر منه إذا هذا العنصر مش | |
| 296 | |
| 00:30:41,700 --> 00:30:49,690 | |
| ممكن يكون موجود بال set easy صح؟ لأن هذا أصغر من | |
| 297 | |
| 00:30:49,690 --> 00:30:53,370 | |
| أصغر | |
| 298 | |
| 00:30:53,370 --> 00:30:59,410 | |
| عنصر في ال set طيب، | |
| 299 | |
| 00:30:59,410 --> 00:31:04,290 | |
| معناه أن هذا nz سالب واحد ما هوش في ez | |
| 300 | |
| 00:31:09,210 --> 00:31:13,650 | |
| يعني هذا العنصر مش موجود في set ez هذا هي | |
| 301 | |
| 00:31:13,650 --> 00:31:21,730 | |
| معناته بيحققش الصفة المميزة لل set ez متى | |
| 302 | |
| 00:31:21,730 --> 00:31:27,210 | |
| العنصر بيكون موجود هنا إذا بيحقق الصفة هذه أو | |
| 303 | |
| 00:31:27,210 --> 00:31:30,390 | |
| المتباينة هذه طب إذا كان العنصر لا ينتمي لل set | |
| 304 | |
| 00:31:30,390 --> 00:31:36,240 | |
| معناته بيحققش المتباينة دي بيحقق ما فيها إذا هي بيحقق | |
| 305 | |
| 00:31:36,240 --> 00:31:43,740 | |
| ما فيها هاي nz-1 بدل ما يكون أكبر بيصير أصغر من أو | |
| 306 | |
| 00:31:43,740 --> 00:31:47,900 | |
| يساوي ال z إذا كون العنصر هذا مش موجود في ez | |
| 307 | |
| 00:31:47,900 --> 00:31:56,560 | |
| معناته بيطلع أصغر من أو يساوي ال z وال z هو أصغر | |
| 308 | |
| 00:31:56,560 --> 00:31:59,440 | |
| عنصر لل set ez | |
| 309 | |
| 00:32:06,800 --> 00:32:16,820 | |
| ف ال z أصغر من n احنا قلنا أنه ال .. | |
| 310 | |
| 00:32:16,820 --> 00:32:18,760 | |
| أو أصغر من ال nz | |
| 311 | |
| 00:32:44,130 --> 00:32:50,890 | |
| الآن زي هذا عنصر يعني | |
| 312 | |
| 00:32:50,890 --> 00:32:57,270 | |
| هذا بينتمي إلى ال set ez لأنه أصغر عنصر فيها | |
| 313 | |
| 00:32:57,270 --> 00:33:06,070 | |
| فينتمي إليها فإن زي ينتمي ل ez معناته العنصر زي | |
| 314 | |
| 00:33:06,070 --> 00:33:11,050 | |
| هذا أكبر من ال z العنصر زي أكبر من ال z ومن هنا أن | |
| 315 | |
| 00:33:11,050 --> 00:33:17,910 | |
| زي سالب واحد مش موجود في ez فهو أصغر من أو يساوي | |
| 316 | |
| 00:33:17,910 --> 00:33:24,290 | |
| ال z وبالتالي هيك بنكون أثبتنا المتباينة هذه اللي | |
| 317 | |
| 00:33:24,290 --> 00:33:29,090 | |
| هو اللي احنا عايزينه في الجزء c لأن هيك بنكون | |
| 318 | |
| 00:33:29,090 --> 00:33:34,420 | |
| كملنا برهان الجزء c الأقل بالنسبة للجزء الأخير هذا | |
| 319 | |
| 00:33:34,420 --> 00:33:42,460 | |
| يعني عبارة عن ليس مش alternative form لل | |
| 320 | |
| 00:33:42,460 --> 00:33:46,180 | |
| Archimedean property ليس صورة أخرى لخاصية | |
| 321 | |
| 00:33:46,180 --> 00:33:51,500 | |
| Archimedean بس مجرد مثال، مجرد مثال أعطى ست والست | |
| 322 | |
| 00:33:51,500 --> 00:33:56,290 | |
| هذه bounded bounded above by one bounded below by | |
| 323 | |
| 00:33:56,290 --> 00:34:02,570 | |
| zero لبرهان | |
| 324 | |
| 00:34:02,570 --> 00:34:12,350 | |
| ذلك البرهان سهل نشوف | |
| 325 | |
| 00:34:12,350 --> 00:34:12,950 | |
| البرهان | |
| 326 | |
| 00:34:29,410 --> 00:34:34,370 | |
| كمان مرة ال set هذه هي عبارة عن .. نكتبها إيش هي | |
| 327 | |
| 00:34:34,370 --> 00:34:37,710 | |
| ال | |
| 328 | |
| 00:34:37,710 --> 00:34:44,490 | |
| set is عبارة عن ال set of all واحد على n حيث n is | |
| 329 | |
| 00:34:44,490 --> 00:34:45,650 | |
| natural number | |
| 330 | |
| 00:34:51,720 --> 00:34:59,580 | |
| واضح أن العنصر أصغر من أو يساوي واحد على n لكل n | |
| 331 | |
| 00:34:59,580 --> 00:35:11,180 | |
| ينتمي إلى n صح؟ وبالتالي إذا zero is lower lower | |
| 332 | |
| 00:35:11,180 --> 00:35:22,090 | |
| bound لمين of set s وبالتالي ال infimum إذا it has | |
| 333 | |
| 00:35:22,090 --> 00:35:25,890 | |
| an infimum by the infimum property ال infimum | |
| 334 | |
| 00:35:25,890 --> 00:35:30,630 | |
| property بتقول كل set bounded below بيكون ال في | |
| 335 | |
| 00:35:30,630 --> 00:35:37,070 | |
| إلها infimum say w بيساوي infimum s إذا هنا say | |
| 336 | |
| 00:35:37,070 --> 00:35:41,290 | |
| دعنا نسمي ال infimum هذا اللي إحنا ضمنين وجوده | |
| 337 | |
| 00:35:41,290 --> 00:35:48,760 | |
| باستخدام ال infimum property دعنا نسميه w تمام؟ إذا | |
| 338 | |
| 00:35:48,760 --> 00:35:55,540 | |
| الـ ال w هذا هو أكبر هو أكبر lower bound لست | |
| 339 | |
| 00:35:55,540 --> 00:36:02,640 | |
| s والعنصر lower bound إذا أكيد ال w أكبر من أو يساوي | |
| 340 | |
| 00:36:02,640 --> 00:36:09,100 | |
| والعنصر صح؟ العنصر قلنا هذه lower bound لست و ال w | |
| 341 | |
| 00:36:09,100 --> 00:36:11,960 | |
| هو ال infimum اللي هو أكبر lower bound إذا ال w | |
| 342 | |
| 00:36:11,960 --> 00:36:16,830 | |
| أكبر من أو أكبر من أو يساوي العنصر طب احنا عايزين | |
| 343 | |
| 00:36:16,830 --> 00:36:22,630 | |
| نثبت احنا عايزين في النهاية نثبت أن ال w هذا | |
| 344 | |
| 00:36:22,630 --> 00:36:27,490 | |
| اللي هو ال infimum بيساوي العنصر هذا اللي عايزين | |
| 345 | |
| 00:36:27,490 --> 00:36:33,570 | |
| نثبته أنا عندي w أكبر من أو يساوي العنصر لكن أنا بدي | |
| 346 | |
| 00:36:33,570 --> 00:36:39,750 | |
| أثبت أن ال w بيساوي العنصر، تمام؟ | |
| 347 | |
| 00:36:39,750 --> 00:36:41,510 | |
| فلإثبات ذلك | |
| 348 | |
| 00:36:47,400 --> 00:36:54,780 | |
| خلّينا ناخد أي إبسلون أكبر من العنصر فحسب | |
| 349 | |
| 00:36:54,780 --> 00:36:59,600 | |
| ال Archimedean property اللي هو الجزء ب المكافئ | |
| 350 | |
| 00:36:59,600 --> 00:37:04,640 | |
| Archimedean property لأي عدد موجب إبسلون بقدر | |
| 351 | |
| 00:37:04,640 --> 00:37:08,880 | |
| ألاقي عدد طبيعي مقلوبه وأصغر من إبسلون، صح؟ هذا | |
| 352 | |
| 00:37:08,880 --> 00:37:12,000 | |
| الجزء ب من النتيجة | |
| 353 | |
| 00:37:14,540 --> 00:37:18,960 | |
| إن أنا في عندي هي 1 على n أصغر من epsilon يوجد | |
| 354 | |
| 00:37:18,960 --> 00:37:24,760 | |
| n هذا الطبيعي بحيث 1 على n أصغر من epsilon و 1 | |
| 355 | |
| 00:37:24,760 --> 00:37:30,700 | |
| على n هذه عنصر ال 1 على n هذه عبارة عن عنصر في ال | |
| 356 | |
| 00:37:30,700 --> 00:37:37,180 | |
| set s و ال w هذه lower bound إلها ال w هذه هو ال | |
| 357 | |
| 00:37:37,180 --> 00:37:44,890 | |
| minimum لل set s و 1 على n عنصر في s إذا ال w بيطلع | |
| 358 | |
| 00:37:44,890 --> 00:37:48,490 | |
| أصغر من أو يساوي أي عنصر في ال set لأنه lower bound | |
| 359 | |
| 00:37:48,490 --> 00:37:53,830 | |
| صح؟ وقبل شوية قلنا إن ال w هي u بس نتجنا إن ال w | |
| 360 | |
| 00:37:53,830 --> 00:37:57,990 | |
| اللي هو ال infimum أكبر من أو يساوي العنصر اللي هو | |
| 361 | |
| 00:37:57,990 --> 00:38:02,190 | |
| lower bound وهذا أكبر lower bound الآن هذه ال | |
| 362 | |
| 00:38:02,190 --> 00:38:06,850 | |
| epsilon عشوائية إن الكلام هذا صحيح لكل epsilon | |
| 363 | |
| 00:38:06,850 --> 00:38:13,170 | |
| أكبر من العنصر إذا في عندي نظرية واحد ثمانية بتقول | |
| 364 | |
| 00:38:13,170 --> 00:38:19,630 | |
| ليه؟ كانت بتقول إن لو كان ال a عدد غير سالب و أصغر | |
| 365 | |
| 00:38:19,630 --> 00:38:24,810 | |
| من epsilon لكل epsilon أكبر من العنصر فهذا بيقود إلى أن | |
| 366 | |
| 00:38:24,810 --> 00:38:33,630 | |
| a بيساوي العنصر، صح؟ هذه نظرية واحد ثمانية، صح؟ هي ال | |
| 367 | |
| 00:38:33,630 --> 00:38:39,230 | |
| w التي هي ال a أكبر من أو يساوي العنصر وأصغر من | |
| 368 | |
| 00:38:39,230 --> 00:38:44,590 | |
| إبسلون لكل إبسلون عدد موجب فحسب النظرية هذه بيطلع | |
| 369 | |
| 00:38:44,590 --> 00:38:50,590 | |
| w بيساوي العنصر وهذا اللي احنا عايزينه نثبته، تمام؟ إذن | |
| 370 | |
| 00:38:50,590 --> 00:38:56,050 | |
| هذا بيثبت أن ال infimum للست دي أو لل sequence | |
| 371 | |
| 00:38:56,050 --> 00:39:03,650 | |
| واحد على n هو العنصر، تمام؟ وهنا استخدمنا في البرهان | |
| 372 | |
| 00:39:03,650 --> 00:39:09,010 | |
| ال Archimedean property الصورة بيه من ال | |
| 373 | |
| 00:39:09,010 --> 00:39:24,610 | |
| Archimedean property في | |
| 374 | |
| 00:39:24,610 --> 00:39:27,390 | |
| النظرية هذه احنا أثبتنا قبل هيك | |
| 375 | |
| 00:39:32,670 --> 00:39:41,530 | |
| احنا أثبتنا سابقا في | |
| 376 | |
| 00:39:41,530 --> 00:39:51,490 | |
| السابق أثبتنا أنه في كان نظرية أو مثال بتقول أن | |
| 377 | |
| 00:39:51,490 --> 00:39:55,550 | |
| جذر 2 is not a rational number | |
| 378 | |
| 00:39:58,290 --> 00:40:04,470 | |
| أو العدد جذر اثنين is irrational نعم مظبوط فطبعا | |
| 379 | |
| 00:40:04,470 --> 00:40:08,730 | |
| في البرهان هذا اعتمدنا في البرهان على أن جذر | |
| 380 | |
| 00:40:08,730 --> 00:40:12,850 | |
| اثنين هذا عدد حقيقي يعني exist هو أحد العداد | |
| 381 | |
| 00:40:12,850 --> 00:40:20,950 | |
| الحقيقية وفرضنا عملنا برهان غير مباشر فرضنا أنه | |
| 382 | |
| 00:40:20,950 --> 00:40:26,450 | |
| جذر اثنين ينتمي ل q أو عدد نسبي ووصلنا إلى تناقض | |
| 383 | |
| 00:40:26,450 --> 00:40:32,380 | |
| تمام اليوم بنرجع للوراء شوية وبنقول احنا هنا في | |
| 384 | |
| 00:40:32,380 --> 00:40:36,220 | |
| النظرية هذه في البرهان أو في النظرية هذه افترضنا | |
| 385 | |
| 00:40:36,220 --> 00:40:42,140 | |
| جدلا أو افترضنا مسبقا أن جذر اثنين هذا عدد حقيقي | |
| 386 | |
| 00:40:42,140 --> 00:40:47,600 | |
| اليوم هنرجع ونثبت أن existence of جذر اثنين يعني | |
| 387 | |
| 00:40:47,600 --> 00:40:51,720 | |
| جذر اثنين هذا بنثبت أن هو فعلا عدد حقيقي مش عدد | |
| 388 | |
| 00:40:51,720 --> 00:40:53,040 | |
| آخر مش عدد تخيّلي | |
| 389 | |
| 00:40:55,660 --> 00:41:02,360 | |
| فهذا يعني البرهان أو | |
| 390 | |
| 00:41:02,360 --> 00:41:05,560 | |
| نظريها دي بالظبط بتقول انه جذر اثنين وعدد حقيقي | |
| 391 | |
| 00:41:05,560 --> 00:41:14,760 | |
| يعني يوجد عدد حقيقي موجب x ومربعه هو اثنين okay | |
| 392 | |
| 00:41:16,030 --> 00:41:20,890 | |
| فبرهان النظرية هذه يعني ممكن شوية طويل لكن موجود | |
| 393 | |
| 00:41:20,890 --> 00:41:29,250 | |
| عندكم بالتفصيل ويعني موجود إلى أعزاء ويعني مش صعب | |
| 394 | |
| 00:41:29,250 --> 00:41:35,490 | |
| أنكم يعني تقرؤوا بمجموعتهم و تفهموه فأرجو أنكم | |
| 395 | |
| 00:41:35,490 --> 00:41:39,990 | |
| تقرؤوا البرهان و تحاولوا تفهموه و ممكن يعني المرة | |
| 396 | |
| 00:41:39,990 --> 00:41:45,510 | |
| الجاية إن شاء الله نسأل نحاول نمر عليه أو نحاول | |
| 397 | |
| 00:41:45,510 --> 00:41:52,090 | |
| نبرهن نقصر عليه، طبعا؟ إذا نكتفي بهذا القدر ونكمل | |
| 398 | |
| 00:41:52,090 --> 00:41:53,230 | |
| إن شاء الله المرة الجاية | |