| 1 | |
| 00:00:21,320 --> 00:00:25,400 | |
| هنبدأ إن شاء الله اليوم chapter جديد وهو ال | |
| 2 | |
| 00:00:25,400 --> 00:00:30,060 | |
| chapter الثاني عنوان الـ chapter sequences and | |
| 3 | |
| 00:00:30,060 --> 00:00:35,960 | |
| series المتتاليات والمتسلسلات طبعًا الموضوع هذا | |
| 4 | |
| 00:00:35,960 --> 00:00:43,220 | |
| مرّ معكم في تفاضل ألف .. تفاضل باء عفوا ودرسنا | |
| 5 | |
| 00:00:43,220 --> 00:00:46,860 | |
| خواص الـ sequences بطريقة مختصرة والـ series | |
| 6 | |
| 00:00:46,860 --> 00:00:53,710 | |
| توسعنا فيها، المرة هذه سنتوسع في الـ sequences و | |
| 7 | |
| 00:00:53,710 --> 00:00:58,750 | |
| سنختصر في الـ series العكس يعني وسنتناول دراسة كل | |
| 8 | |
| 00:00:58,750 --> 00:01:06,130 | |
| منهم بطريقة تحليلية وطريقة موضعية أكثر يعني من | |
| 9 | |
| 00:01:06,130 --> 00:01:07,270 | |
| وجهة نظر رياضية | |
| 10 | |
| 00:01:10,330 --> 00:01:13,590 | |
| فأول section في هذا الـ chapter سيكون عنوانه | |
| 11 | |
| 00:01:13,590 --> 00:01:17,610 | |
| sequences and their limits المتتاليات ونهاياتهم | |
| 12 | |
| 00:01:22,470 --> 00:01:28,630 | |
| فنشوف تعريف الـ sequence الـ sequence in X ما معنى | |
| 13 | |
| 00:01:28,630 --> 00:01:33,110 | |
| sequence in X، X مجموعة، أي مجموعة ممكن طبعًا هناخد | |
| 14 | |
| 00:01:33,110 --> 00:01:37,470 | |
| هنا X مجموعة الأعداد الحقيقية، هذه المجموعة التي | |
| 15 | |
| 00:01:37,470 --> 00:01:42,450 | |
| نحن نهتم فيها في الـ course هذا فـ sequence in X | |
| 16 | |
| 00:01:42,450 --> 00:01:47,410 | |
| يعني الـ sequence عناصرها تنتمي للمجموعة X، فلو أخذت | |
| 17 | |
| 00:01:47,410 --> 00:01:52,610 | |
| أي مجموعة x فعشان أعرف sequence عناصرها في x فما | |
| 18 | |
| 00:01:52,610 --> 00:01:55,470 | |
| هي الـ sequence في المجموعة x؟ هي عبارة مجرد | |
| 19 | |
| 00:01:55,470 --> 00:02:00,970 | |
| function دالة المجال تبعها الأعداد الطبيعية أو أي | |
| 20 | |
| 00:02:00,970 --> 00:02:04,970 | |
| مجموعة جزئية منها، والمجال المقابل تبعها هي | |
| 21 | |
| 00:02:04,970 --> 00:02:09,820 | |
| المجموعة x التي الـ sequence تنتمي إليها، وفي الحالة | |
| 22 | |
| 00:02:09,820 --> 00:02:13,360 | |
| هذه إذا الـ sequence هي function دالة بس دالة من | |
| 23 | |
| 00:02:13,360 --> 00:02:19,320 | |
| نوع خاص مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية، وعادة نحن | |
| 24 | |
| 00:02:19,320 --> 00:02:23,320 | |
| نهتم بالـ sequences of real numbers أو المتتاليات | |
| 25 | |
| 00:02:23,320 --> 00:02:27,280 | |
| التي عناصرها أعداد حقيقية، وبالتالي X هذه ستكون | |
| 26 | |
| 00:02:27,280 --> 00:02:31,460 | |
| التي هو مجموعة الأعداد الحقيقية، طيب هذه الـ | |
| 27 | |
| 00:02:31,460 --> 00:02:35,410 | |
| sequence function مجالها العداد الطبيعي وبالتالي | |
| 28 | |
| 00:02:35,410 --> 00:02:40,350 | |
| ممكن نعرفها F هي عند أي عدد طبيعي N هي عبارة عن XN | |
| 29 | |
| 00:02:40,350 --> 00:02:47,030 | |
| XN طبعًا هذا ينتمي للمجموعة X وبالتالي الـ .. الـ .. | |
| 30 | |
| 00:02:47,030 --> 00:02:52,910 | |
| الـ sequence FN هذه نحن نحاول نعرفها بدلالة الـ | |
| 31 | |
| 00:02:52,910 --> 00:02:56,720 | |
| range تبعها، يعني بدل ما أقول الـ sequence هي | |
| 32 | |
| 00:02:56,720 --> 00:03:01,800 | |
| function جرت العادة أن نحن نحذف رمز الـ function | |
| 33 | |
| 00:03:01,800 --> 00:03:05,980 | |
| ونستبدله بالـ range تبع الـ function الذي هو y الـ | |
| 34 | |
| 00:03:05,980 --> 00:03:09,960 | |
| range تبع الـ function كل الـ xn حيث n عدد طبيعي | |
| 35 | |
| 00:03:09,960 --> 00:03:13,980 | |
| يبدأ من واحد من ثم إلى نهاية، إذا الـ sequence | |
| 36 | |
| 00:03:13,980 --> 00:03:18,600 | |
| بدل ما نكتبها على صورة function سنكتبها على الصورة | |
| 37 | |
| 00:03:18,600 --> 00:03:24,340 | |
| هذه أو الصورة هذه أو الصورة هذه أو الصورة هذه، okay | |
| 38 | |
| 00:03:26,550 --> 00:03:30,070 | |
| وطبعًا الـ sequence هذه يعني عناصرها هذه أو أي واحدة | |
| 39 | |
| 00:03:30,070 --> 00:03:37,350 | |
| منهم ممكن نكتبها برضه على الصورة x1, x2, x3 وهكذا | |
| 40 | |
| 00:03:40,840 --> 00:03:45,180 | |
| فكل الرموز هذه ترمز إلى الـ sequence هذه التي هي الـ | |
| 41 | |
| 00:03:45,180 --> 00:03:53,400 | |
| function f التي هي الـ function f، okay إذن أهم شيء | |
| 42 | |
| 00:03:53,400 --> 00:03:56,480 | |
| في تعريفنا أن الـ sequence هي function دالة | |
| 43 | |
| 00:03:56,480 --> 00:04:00,400 | |
| وبالتالي لها مجال، مجالها العداد الطبيعي، المجال | |
| 44 | |
| 00:04:00,400 --> 00:04:04,420 | |
| المقابل هي المجموعة التي عناصر الـ sequence تنتمي | |
| 45 | |
| 00:04:04,420 --> 00:04:10,950 | |
| لها، الـ sequences ممكن أعرفهم بطريقتين، إذا في | |
| 46 | |
| 00:04:10,950 --> 00:04:15,970 | |
| الملاحظة هذه sequences can be defined explicitly | |
| 47 | |
| 00:04:15,970 --> 00:04:19,910 | |
| هذه أحد الطرق، ممكن يعرف الـ sequence بطريقة صريحة | |
| 48 | |
| 00:04:19,910 --> 00:04:27,890 | |
| بطريقة بقانون، فمثلا الـ sequence if بالساوية عناصرها | |
| 49 | |
| 00:04:27,890 --> 00:04:31,670 | |
| اثنين أربعة ستة ثمانية، الأخرى هذه عبارة عن | |
| 50 | |
| 00:04:31,670 --> 00:04:38,130 | |
| sequence وهي معرفة بطريقة صريحة، فهذه عبارة عن | |
| 51 | |
| 00:04:38,130 --> 00:04:42,630 | |
| sequence of even natural numbers الأعداد الطبيعية | |
| 52 | |
| 00:04:42,630 --> 00:04:47,790 | |
| الزوجية، ممكن نكتب الحد العام، الآن هذا نسميه الآن | |
| 53 | |
| 00:04:47,790 --> 00:04:53,710 | |
| term xn هذا هنا نسميه الـ term الحد النوني | |
| 54 | |
| 00:04:53,710 --> 00:04:59,190 | |
| الحد النوني أو الحد العام، فالـ term هنا هو | |
| 55 | |
| 00:04:59,190 --> 00:05:08,180 | |
| اثنين n، xn بساوي اثنين n حيث n عدد طبيعي، أو | |
| 56 | |
| 00:05:08,180 --> 00:05:12,620 | |
| ممكن نكتب الـ sequence على صورة 2n من n بساوي | |
| 57 | |
| 00:05:12,620 --> 00:05:16,740 | |
| واحد إلى ما لا نهاية، إذا هنا أنا أعرف الـ sequence | |
| 58 | |
| 00:05:16,740 --> 00:05:22,960 | |
| برص حدودها، أول تلات حدود إلى وهكذا، أو بكتب قاعدة | |
| 59 | |
| 00:05:22,960 --> 00:05:27,880 | |
| لحد العام xn وطبعًا n عدد طبيعي، فمقدر من القاعدة | |
| 60 | |
| 00:05:27,880 --> 00:05:32,740 | |
| هذه أجيب كل الحدود، إذا هذا explicit definition of | |
| 61 | |
| 00:05:32,740 --> 00:05:39,150 | |
| a sequence هذا تعريف صريح للـ sequence، في طريقة | |
| 62 | |
| 00:05:39,150 --> 00:05:44,870 | |
| ثانية لتعريف الـ sequence وهي الطريقة الاستقرائية، | |
| 63 | |
| 00:05:44,870 --> 00:05:49,330 | |
| إذا الـ sequences can be defined inductively أو | |
| 64 | |
| 00:05:49,330 --> 00:05:55,970 | |
| recursively بطريقة استقرائية أو بطريقة تكرارية، كيف | |
| 65 | |
| 00:05:55,970 --> 00:06:02,290 | |
| هذه الطريقة؟ بأجي للـ sequence وبأخد أول حد فيها زي | |
| 66 | |
| 00:06:02,290 --> 00:06:07,250 | |
| x1 أو أول حدين أو أول تلات حدود وبعطيهم قيم | |
| 67 | |
| 00:06:07,250 --> 00:06:16,010 | |
| أحددهم، قيم محددة، أعطيهم قيم محددة، بعدين بأجي بأجي | |
| 68 | |
| 00:06:16,010 --> 00:06:21,990 | |
| بعبر عن الحد xn زائد واحد أو xn بدلالة الحدود | |
| 69 | |
| 00:06:21,990 --> 00:06:27,850 | |
| التي قبله وبستخدم طبعًا لهذه formula نسميها | |
| 70 | |
| 00:06:27,850 --> 00:06:32,070 | |
| recursive formula أو inductive formula كما في | |
| 71 | |
| 00:06:32,070 --> 00:06:39,550 | |
| المثال التالي، يعني أنا عند الـ sequence 2n هذه أنا | |
| 72 | |
| 00:06:39,550 --> 00:06:48,000 | |
| عند الـ sequence xn بساوي 2n هذه ممكن أعرفها بطريقة | |
| 73 | |
| 00:06:48,000 --> 00:06:57,140 | |
| استقرائية، كيف؟ بأخد بعطي أول حد فيه x1 بعطيله قيمة | |
| 74 | |
| 00:06:57,140 --> 00:07:01,220 | |
| محددة وهي 2، طبعًا أول حد في الـ sequence هذه هو 2 | |
| 75 | |
| 00:07:01,220 --> 00:07:06,760 | |
| صح؟ لأن هنا أخذت x1 وعطيته قيمة محددة، ممكن في بعض | |
| 76 | |
| 00:07:06,760 --> 00:07:12,140 | |
| الأمثلة أعطي قيمة قيمة محددة لـ x1 وx2 وx3، بعدين | |
| 77 | |
| 00:07:12,140 --> 00:07:19,100 | |
| بأجي إلى الحد رقم n زيادة واحد وبعبر عنه بـ | |
| 78 | |
| 00:07:19,100 --> 00:07:23,000 | |
| recursive formula بعبر عنه بدلالة الحد الذي قبله | |
| 79 | |
| 00:07:23,000 --> 00:07:26,760 | |
| أو الحد الذي قبله مباشرة والذي قبله و | |
| 80 | |
| 00:07:26,760 --> 00:07:32,510 | |
| هكذا، فهذه نسميها recursive أو inductive formula | |
| 81 | |
| 00:07:32,510 --> 00:07:37,150 | |
| تعطيني لحد رقم n زيادة واحد بدالة الحد الذي قبله xn | |
| 82 | |
| 00:07:37,150 --> 00:07:43,870 | |
| فمثلا لو بده أحسب x2 فبأخد n بساوي واحد هنا صح | |
| 83 | |
| 00:07:43,870 --> 00:07:50,110 | |
| فبطلع عند x2 بساوي x1 زائد اثنين، x1 بساوي اثنين زائد | |
| 84 | |
| 00:07:50,110 --> 00:07:56,400 | |
| اثنين بطلع أربعة، x3 برضه عشان أجيب x3 بستخدم الـ | |
| 85 | |
| 00:07:56,400 --> 00:08:00,480 | |
| recursive formula وبأخد N بساوي 2 فبطلع عند x3 | |
| 86 | |
| 00:08:00,480 --> 00:08:06,600 | |
| بساوي x2 زائد 2، x2 أربعة واثنين بطلع ستة وهكذا | |
| 87 | |
| 00:08:06,600 --> 00:08:13,340 | |
| إذا هيك بحصل على الـ sequence 2N التي حدودها 2 4 6 | |
| 88 | |
| 00:08:13,340 --> 00:08:20,460 | |
| 8 وهكذا، آه okay تمام الـ | |
| 89 | |
| 00:08:20,460 --> 00:08:30,520 | |
| .. طيب الآن بدي أعرف ما معنى أن الـ sequence تكون | |
| 90 | |
| 00:08:30,520 --> 00:08:36,500 | |
| convergent أو لها limit لو في عندي sequence من | |
| 91 | |
| 00:08:36,500 --> 00:08:37,720 | |
| الأعداد الحقيقية | |
| 92 | |
| 00:08:41,200 --> 00:08:45,480 | |
| فبقول إن الـ sequence converge | |
| 93 | |
| 00:08:45,480 --> 00:08:51,860 | |
| الـ sequence of real numbers بتكون converge أو | |
| 94 | |
| 00:08:51,860 --> 00:08:59,940 | |
| convergent إذا قدرت ألاقي X ينتمي لـ R بحيث إنه لكل | |
| 95 | |
| 00:08:59,940 --> 00:09:06,200 | |
| neighborhood V لـ X لكل جوار V لـ X بقدر أو أجد أو | |
| 96 | |
| 00:09:06,200 --> 00:09:12,250 | |
| ألاقي عدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار V ينتمي | |
| 97 | |
| 00:09:12,250 --> 00:09:17,030 | |
| لأعداد الطبيعية بحيث إنه لكل small n أكبر من أو يساوي | |
| 98 | |
| 00:09:17,030 --> 00:09:21,770 | |
| capital N، Xn ينتمي إلى V، يعني الجوار V هذا يحتوي | |
| 99 | |
| 00:09:21,770 --> 00:09:29,100 | |
| كل عناصر الـ sequence من capital N وأنت طالع، فلو هذا | |
| 100 | |
| 00:09:29,100 --> 00:09:34,020 | |
| الشرط تحقق فبنقول أن الـ sequence converge والـ | |
| 101 | |
| 00:09:34,020 --> 00:09:38,040 | |
| limit تبعتها هي العدد X، في الحالة هذه بنقول أن X | |
| 102 | |
| 00:09:38,040 --> 00:09:46,080 | |
| is the limit of sequence X in و | |
| 103 | |
| 00:09:46,080 --> 00:09:51,180 | |
| بنكتب limit Xn بساوي X أو نكتب Xn tends to | |
| 104 | |
| 00:09:51,180 --> 00:09:57,750 | |
| X as N tends to infinity، هذا التعريف نسميه الـ | |
| 105 | |
| 00:09:57,750 --> 00:10:05,170 | |
| neighborhood neighborhood definition neighborhood | |
| 106 | |
| 00:10:05,170 --> 00:10:16,710 | |
| definition of convergence تعريف | |
| 107 | |
| 00:10:16,710 --> 00:10:18,210 | |
| الجوار للتقارب | |
| 108 | |
| 00:10:22,960 --> 00:10:28,200 | |
| طيب لو الـ sequence ما كانش لها limit يعني ما فيش لا | |
| 109 | |
| 00:10:28,200 --> 00:10:34,560 | |
| يوجد x ينتمي لـ r يحقق الشرط هذا فبنقول أن الـ | |
| 110 | |
| 00:10:34,560 --> 00:10:40,060 | |
| sequence ليست not convergent أو divergent إذا لو | |
| 111 | |
| 00:10:40,060 --> 00:10:45,220 | |
| الـ sequence مالهاش has no limit فبنسميها divergent | |
| 112 | |
| 00:10:45,220 --> 00:10:50,820 | |
| إذا مثلًا بتكون الـ sequence convergent إذا كان في | |
| 113 | |
| 00:10:50,820 --> 00:10:54,560 | |
| لها limit، طب ما معنى أن الـ sequence يكون لها | |
| 114 | |
| 00:10:54,560 --> 00:11:01,680 | |
| limit؟ معناه أن يوجد عدد حقيقي X بحيث لكل جوار V لـ | |
| 115 | |
| 00:11:01,680 --> 00:11:08,260 | |
| X في عدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار بحيث أن | |
| 116 | |
| 00:11:08,260 --> 00:11:14,120 | |
| كل حدود الـ sequence تنتمي للجوار هذا، والمؤشر تبعها | |
| 117 | |
| 00:11:14,120 --> 00:11:20,130 | |
| يبدأ من capital N وأنت طالع، يعني معنى الكلام هذا .. | |
| 118 | |
| 00:11:20,130 --> 00:11:28,290 | |
| هذا الكلام معناه أن X capital N وX capital N زائد | |
| 119 | |
| 00:11:28,290 --> 00:11:35,990 | |
| واحد وX capital N زائد اثنين وهكذا كل هذول | |
| 120 | |
| 00:11:35,990 --> 00:11:38,630 | |
| بينتموا للجوار دي | |
| 121 | |
| 00:11:44,830 --> 00:11:48,590 | |
| لو الـ sequence مالهاش limit فبنسميها divergent | |
| 122 | |
| 00:11:48,590 --> 00:11:56,190 | |
| okay طبعًا؟ V جوار .. جوار يعني .. مجموعة .. آه | |
| 123 | |
| 00:11:56,190 --> 00:12:01,410 | |
| جوار لـ X يعني مجموعة تحتوي الـ X والجوار عشان V | |
| 124 | |
| 00:12:01,410 --> 00:12:05,710 | |
| يكون جوار لازم يكون داخله .. لازم نلاقي داخله | |
| 125 | |
| 00:12:05,710 --> 00:12:10,010 | |
| epsilon نبرهنه، كل جوار لازم يحتوي epsilon نبرهنه | |
| 126 | |
| 00:12:15,360 --> 00:12:23,300 | |
| يعني مش أي مجموعة، طيب | |
| 127 | |
| 00:12:23,300 --> 00:12:27,780 | |
| الـ .. أن لو | |
| 128 | |
| 00:12:27,780 --> 00:12:32,800 | |
| في أي sequence والسيكوانس هذا convergent فالـ | |
| 129 | |
| 00:12:32,800 --> 00:12:34,600 | |
| limit تبعتها بتطلع unique | |
| 130 | |
| 00:12:41,740 --> 00:12:45,620 | |
| النظرية الأولى بتقول لو كانت xn sequence of real | |
| 131 | |
| 00:12:45,620 --> 00:12:51,320 | |
| numbers وتconverge لـ x وتconverge لـ y يعني لها two | |
| 132 | |
| 00:12:51,320 --> 00:12:55,740 | |
| limits فلازم الـ limits يكونوا متساويتين يعني ممنوع | |
| 133 | |
| 00:12:55,740 --> 00:12:59,940 | |
| الـ convergence sequence يكون لها أكثر من limit | |
| 134 | |
| 00:12:59,940 --> 00:13:05,400 | |
| يعني معناه بعبارة أخرى a convergent sequence has a | |
| 135 | |
| 00:13:05,400 --> 00:13:06,140 | |
| unique limit | |
| 136 | |
| 00:13:09,340 --> 00:13:13,560 | |
| خلّينا نبرهن الكلام هذا، افرض إنه في عندي sequence | |
| 137 | |
| 00:13:13,560 --> 00:13:20,440 | |
| xn converge لـ x وأيضًا converge لـ y، المطلوب | |
| 138 | |
| 00:13:20,440 --> 00:13:25,540 | |
| إثبات أن x بساوي y، لبرهان ذلك نعمل برهان بالتناقض | |
| 139 | |
| 00:13:25,540 --> 00:13:30,680 | |
| assume on contrary أن x لا تساوي y الذي هو نفي | |
| 140 | |
| 00:13:30,680 --> 00:13:36,600 | |
| النتيجة وبينصل لتناقض في exercise 15 في section 2 | |
| 141 | |
| 00:13:36,600 --> 00:13:41,810 | |
| أخذناها في ال chapter السابق بقول لو في عندي أي | |
| 142 | |
| 00:13:41,810 --> 00:13:49,130 | |
| عددين حقيقيين x و y فبقدر | |
| 143 | |
| 00:13:49,130 --> 00:13:57,250 | |
| ألاقي v1 جوار ل x و | |
| 144 | |
| 00:13:57,250 --> 00:14:05,390 | |
| بقدر ألاقي v2 لـ v2 | |
| 145 | |
| 00:14:05,390 --> 00:14:06,610 | |
| جوار ل y | |
| 146 | |
| 00:14:09,920 --> 00:14:17,120 | |
| بحيث أن تقاطعهم بساوي five يعني اثنين disjoint | |
| 147 | |
| 00:14:19,260 --> 00:14:24,660 | |
| تمام؟ لو كان في عندي عددين حقيقيين x لا يساوي y بقدر | |
| 148 | |
| 00:14:24,660 --> 00:14:31,280 | |
| ألاقي جوار v1 ل x و جوار v2 ل y والجوارين هدول | |
| 149 | |
| 00:14:31,280 --> 00:14:36,660 | |
| منفصلين بعتقد حلنا السؤال هذا آه فقلنا خدي | |
| 150 | |
| 00:14:36,660 --> 00:14:45,290 | |
| epsilon بساوي نص المسافة بين x و y وهد خلي x زائد | |
| 151 | |
| 00:14:45,290 --> 00:14:50,410 | |
| y والنقطة هد x سالب y هد عبارة عن y neighborhood | |
| 152 | |
| 00:14:50,410 --> 00:14:55,570 | |
| لـ x وبالتالي neighborhood لـ x وخدي هنا برضه هد | |
| 153 | |
| 00:14:55,570 --> 00:15:01,030 | |
| عبارة عن y سالب y والنقطة هد y زائد y | |
| 154 | |
| 00:15:03,680 --> 00:15:09,460 | |
| فالـ .. واضح أن الجوارين هدول متقاطعوش لأن أنا أخدت | |
| 155 | |
| 00:15:09,460 --> 00:15:13,180 | |
| epsilon نص المسافة هذه وهذه فترة مفتوحة وهذه | |
| 156 | |
| 00:15:13,180 --> 00:15:18,560 | |
| مفتوحة فمافيش بينهم نقاط مشتركة okay إذا هذا | |
| 157 | |
| 00:15:18,560 --> 00:15:23,620 | |
| الكلام موجود إذا هذا صحيح exercise 15 بيقول لي إذا | |
| 158 | |
| 00:15:23,620 --> 00:15:30,310 | |
| كان x لا يساوي y فطبعا ممكن نفرض أن x أصغر من y أو | |
| 159 | |
| 00:15:30,310 --> 00:15:35,170 | |
| y أصغر من x وبالتالي بقدر ألاقي this joint this | |
| 160 | |
| 00:15:35,170 --> 00:15:43,630 | |
| joint neighborhoods v1 ل x وv2 ل y على التوالي و 2 | |
| 161 | |
| 00:15:43,630 --> 00:15:50,910 | |
| منفصلين الآن احنا فرضين أن x in converge ل x حسب | |
| 162 | |
| 00:15:50,910 --> 00:15:54,790 | |
| الـ Neighborhood Definition لـ Convergence لما أن | |
| 163 | |
| 00:15:54,790 --> 00:16:00,550 | |
| المتتالي Xn converge ل X و V1 جوار ل X إذا يوجد | |
| 164 | |
| 00:16:00,550 --> 00:16:07,710 | |
| عدد طبيعي N1 يعتمد على الجوار V1 بحيث أن Xn تنتمي | |
| 165 | |
| 00:16:07,710 --> 00:16:13,260 | |
| للجوار V1 لكل N أكبر من أو يساوي N1 كذلك احنا فرضين | |
| 166 | |
| 00:16:13,260 --> 00:16:18,320 | |
| في النظرية أن sequence xn converge ل y والآن v2 | |
| 167 | |
| 00:16:18,320 --> 00:16:23,660 | |
| neighborhood ل y، إذا حسب تعريف ال convergence بما | |
| 168 | |
| 00:16:23,660 --> 00:16:27,680 | |
| أن xn converge ل y و v2 neighborhood ل y، إذا | |
| 169 | |
| 00:16:27,680 --> 00:16:32,440 | |
| بنقدر نلاقي عدد طبيعي n2 يعتمد على v2، بحيث أن xn | |
| 170 | |
| 00:16:32,440 --> 00:16:38,840 | |
| ينتمي لv2 لكل n أكبر من أو يساوي n2 الآن لو عرفت | |
| 171 | |
| 00:16:38,840 --> 00:16:42,320 | |
| capital N على Nها ال maximum الأكبر بين N واحد و N | |
| 172 | |
| 00:16:42,320 --> 00:16:47,360 | |
| اثنين هذا معناه أن capital N عدد طبيعي لأن الأكبر | |
| 173 | |
| 00:16:47,360 --> 00:16:52,320 | |
| بين هدول هيكون واحد منهم فهو عدد طبيعي و capital N | |
| 174 | |
| 00:16:52,320 --> 00:16:55,640 | |
| أكبر من أو يساوي N واحد وأكبر من أو يساوي N اثنين | |
| 175 | |
| 00:16:55,640 --> 00:16:59,820 | |
| لأن الكبير فيهم الآن | |
| 176 | |
| 00:16:59,820 --> 00:17:04,120 | |
| لو أخدت small n أكبر من أو يساوي capital N فمن | |
| 177 | |
| 00:17:04,120 --> 00:17:09,540 | |
| تعريف capital N هذا بيقودى أن capital N أكبر من أو | |
| 178 | |
| 00:17:09,540 --> 00:17:14,760 | |
| يساوي N واحد إذا الآن أنا عندي small n أكبر من أو | |
| 179 | |
| 00:17:14,760 --> 00:17:23,820 | |
| يساوي N واحد وبالتالي إذا Xn تنتمي لـ D واحد كذلك | |
| 180 | |
| 00:17:23,820 --> 00:17:29,560 | |
| أنا عندي من تعريف capital N capital N أكبر من أو | |
| 181 | |
| 00:17:29,560 --> 00:17:34,950 | |
| يساوي N اثنين وبالتالي small n أكبر من أو يساوي | |
| 182 | |
| 00:17:34,950 --> 00:17:38,970 | |
| capital N اثنين لما تكون small n أكبر من أو يساوي | |
| 183 | |
| 00:17:38,970 --> 00:17:45,450 | |
| capital N اثنين فبطلع xn ينتمي إلى v2 إذا الآن أنا | |
| 184 | |
| 00:17:45,450 --> 00:17:49,110 | |
| أثبتت أنه لو كانت small n أكبر من أو يساوي capital | |
| 185 | |
| 00:17:49,110 --> 00:17:57,090 | |
| N فبطلع xn ينتمي إلىV1 وإلى V2 وبالتالي تنتمي | |
| 186 | |
| 00:17:57,090 --> 00:18:01,290 | |
| لتقاطعهم إذا المعنى أن التقاطع هذا لا يساوي الـ فاي | |
| 187 | |
| 00:18:01,290 --> 00:18:05,810 | |
| وهذا بيديني contradiction لأنه exercise 15 بيقول | |
| 188 | |
| 00:18:05,810 --> 00:18:10,450 | |
| لي أن V1 و V2 هدول disjoint فكيف طلع مش disjoint | |
| 189 | |
| 00:18:10,450 --> 00:18:16,070 | |
| تناقض تناقض هذا بيقول لي أن ال assumption تبعي إن X | |
| 190 | |
| 00:18:16,070 --> 00:18:20,390 | |
| لا تساوي Y كان خطأ إذن الصح إن X بساوي Y | |
| 191 | |
| 00:18:20,390 --> 00:18:25,430 | |
| وبالتالي ال limit لل sequence لازم تكون واحدة | |
| 192 | |
| 00:18:25,430 --> 00:18:33,990 | |
| unique تمام؟ واضح البرهان؟ في أي استفسار؟ | |
| 193 | |
| 00:18:33,990 --> 00:18:37,510 | |
| في أي سؤال؟ | |
| 194 | |
| 00:18:50,080 --> 00:19:02,120 | |
| النظرية الثانية تعطيني | |
| 195 | |
| 00:19:02,120 --> 00:19:09,740 | |
| شروط متكافئة لتعريف ال convergence للسيكوينس فلو | |
| 196 | |
| 00:19:09,740 --> 00:19:12,840 | |
| في عندي سيكوينس of real numbers وعندي real number | |
| 197 | |
| 00:19:12,840 --> 00:19:17,630 | |
| x the following are equivalent هذا اختصار الكلمات | |
| 198 | |
| 00:19:17,630 --> 00:19:21,530 | |
| the following are equivalent العبارات التالية | |
| 199 | |
| 00:19:21,530 --> 00:19:27,670 | |
| متكافئة أول عبارة x in converge ل x هذا معناه حسب | |
| 200 | |
| 00:19:27,670 --> 00:19:31,070 | |
| تعريف ال convergence ال neighborhood definition أن | |
| 201 | |
| 00:19:31,070 --> 00:19:42,150 | |
| for every neighborhood V of X of X there exists | |
| 202 | |
| 00:19:42,150 --> 00:19:50,590 | |
| capital N يعتمد على V عدد طبيعي بحيث أنه لو كان n | |
| 203 | |
| 00:19:50,590 --> 00:19:56,150 | |
| أكبر من أو يساوي capital N هذا بيقودى أن xn ينتمي | |
| 204 | |
| 00:19:56,150 --> 00:20:03,390 | |
| إلى V هاي معناه xn converge ل x الآن هذا ال | |
| 205 | |
| 00:20:03,390 --> 00:20:06,990 | |
| neighborhood definition لل convergence بيكافئ | |
| 206 | |
| 00:20:06,990 --> 00:20:11,770 | |
| العبارة بي وهذا بنسميه ال epsilon neighborhood | |
| 207 | |
| 00:20:11,770 --> 00:20:16,150 | |
| definition لل convergence هذا بقى بنسميه epsilon | |
| 208 | |
| 00:20:16,150 --> 00:20:20,210 | |
| neighborhood definition of convergence ليه؟ | |
| 209 | |
| 00:20:20,210 --> 00:20:22,850 | |
| العبارة دي بتقول لكل for every epsilon | |
| 210 | |
| 00:20:22,850 --> 00:20:27,930 | |
| neighborhood V epsilon ل X يعني بدل لكل | |
| 211 | |
| 00:20:27,930 --> 00:20:32,550 | |
| neighborhood بدلناها لكل epsilon neighborhood ل X | |
| 212 | |
| 00:20:32,550 --> 00:20:35,630 | |
| يوجد capital N يعتمد على ال epsilon neighborhood | |
| 213 | |
| 00:20:35,630 --> 00:20:42,160 | |
| وبالتالي يعتمد على ال epsilon عدد طبيعي بحيث أنه | |
| 214 | |
| 00:20:42,160 --> 00:20:46,200 | |
| لكل N أكبر من أوسعه capital N بطلع XN ينتمي لـ V | |
| 215 | |
| 00:20:46,200 --> 00:20:52,820 | |
| نفس العادى العبارة الثالثة بتقول لكل إبسلون لأي عدد | |
| 216 | |
| 00:20:52,820 --> 00:20:56,260 | |
| إبسلون موجبة بنقدر نلاقي عدد طبيعي يعتمد على إبسلون | |
| 217 | |
| 00:20:56,260 --> 00:21:01,500 | |
| بحيث لو كان n أكبر من أو يساوي capital N فالمسافة | |
| 218 | |
| 00:21:01,500 --> 00:21:07,800 | |
| بين x and x تطلع أصغر من إبسلون هذا بنسميه الجزء C | |
| 219 | |
| 00:21:07,800 --> 00:21:13,180 | |
| وهذا الجزء الأكثر جزء هنستخدمه في إثبات ال | |
| 220 | |
| 00:21:13,180 --> 00:21:18,080 | |
| convergence لـ sequences معينة هذا بيسميه epsilon | |
| 221 | |
| 00:21:18,080 --> 00:21:25,600 | |
| capital N definition of | |
| 222 | |
| 00:21:25,600 --> 00:21:26,500 | |
| convergence | |
| 223 | |
| 00:21:30,350 --> 00:21:34,970 | |
| أنا في عندي أنا الفرق A هذا عبارة عن epsilon عبارة | |
| 224 | |
| 00:21:34,970 --> 00:21:38,530 | |
| عن neighborhood definition of convergence الفرق B | |
| 225 | |
| 00:21:38,530 --> 00:21:42,230 | |
| بنسميه ال epsilon neighborhood definition لل | |
| 226 | |
| 00:21:42,230 --> 00:21:46,210 | |
| convergence الفرق C بنسميه epsilon capital N | |
| 227 | |
| 00:21:46,210 --> 00:21:49,770 | |
| definition of convergence هذا هيكون استعماله شائع | |
| 228 | |
| 00:21:49,770 --> 00:21:57,370 | |
| أكثر من العبارات السابقة البرهان أن هذا ال ثلاثة | |
| 229 | |
| 00:21:57,370 --> 00:22:02,490 | |
| إبراهيم بتكافئ بعض هنثبت أن a implies b و b | |
| 230 | |
| 00:22:02,490 --> 00:22:10,610 | |
| implies c وبعد هيك هنثبت أن c implies a وبالتالي | |
| 231 | |
| 00:22:10,610 --> 00:22:14,370 | |
| هيك بيطلع الثلاثة متكافئة حسب قوانين ال logic | |
| 232 | |
| 00:22:14,370 --> 00:22:21,830 | |
| مظبوط صح؟ طيب نشوف الأول a implies b افرض أن x in | |
| 233 | |
| 00:22:21,830 --> 00:22:28,010 | |
| converge ل x يعني هذا الكلام صحيح حسب تعريف ال | |
| 234 | |
| 00:22:28,010 --> 00:22:34,510 | |
| neighborhood definition لل convergence طيب .. طيب | |
| 235 | |
| 00:22:34,510 --> 00:22:39,150 | |
| احنا عارفين أن كل epsilon .. طيب لإثبات أن b صحيح | |
| 236 | |
| 00:22:39,150 --> 00:22:45,130 | |
| ناخد أي epsilon neighborhood ل x طب احنا لما درسنا | |
| 237 | |
| 00:22:45,130 --> 00:22:48,990 | |
| ال neighborhoods قلنا أن كل epsilon neighborhood | |
| 238 | |
| 00:22:48,990 --> 00:22:52,130 | |
| .. every epsilon neighborhood على الصورة هذه ل X | |
| 239 | |
| 00:22:52,130 --> 00:22:57,490 | |
| هو أيضا neighborhood ل X صح؟ هذه حقيقة معروفة .. | |
| 240 | |
| 00:22:57,490 --> 00:23:02,570 | |
| كل epsilon neighborhood ل X is also a neighborhood | |
| 241 | |
| 00:23:02,570 --> 00:23:09,280 | |
| of X وبالتالي إذا هنا لو أخدت أي إبسلون | |
| 242 | |
| 00:23:09,280 --> 00:23:13,140 | |
| neighborhood ل X فهذا neighborhood ل X وبالتالي | |
| 243 | |
| 00:23:13,140 --> 00:23:15,820 | |
| يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood | |
| 244 | |
| 00:23:15,820 --> 00:23:24,080 | |
| وهذا الكلام صح وبالتالي A بيؤدي ل B نشوف | |
| 245 | |
| 00:23:24,080 --> 00:23:27,460 | |
| الآن B بيؤدي العبارة B بيؤدي إلى C | |
| 246 | |
| 00:23:42,950 --> 00:23:55,970 | |
| طيب العبارة P هذا هي لو كان P صحيح فبنثبت | |
| 247 | |
| 00:23:55,970 --> 00:24:05,490 | |
| أن C صحيح فخلينا ناخد خلينا | |
| 248 | |
| 00:24:05,490 --> 00:24:09,250 | |
| ناخد أبسلون أكبر من الصفر ناخد أبسلون أكبر من | |
| 249 | |
| 00:24:09,250 --> 00:24:09,730 | |
| الصفر | |
| 250 | |
| 00:24:13,900 --> 00:24:22,140 | |
| لو أخدت أي epsilon أكبر من الصفر for any epsilon | |
| 251 | |
| 00:24:22,140 --> 00:24:30,140 | |
| أكبر من الصفر take v epsilon of x اللي هو عبارة عن | |
| 252 | |
| 00:24:30,140 --> 00:24:36,040 | |
| ال epsilon neighborhood ل x فهذا | |
| 253 | |
| 00:24:36,040 --> 00:24:44,530 | |
| is epsilon neighborhood of x صح؟ وبالتالي حسب B | |
| 254 | |
| 00:24:44,530 --> 00:24:50,890 | |
| لأي إبسلون neighborhood لهذا يوجد capital N إذا | |
| 255 | |
| 00:24:50,890 --> 00:24:56,350 | |
| يوجد capital N by | |
| 256 | |
| 00:24:56,350 --> 00:25:02,930 | |
| B يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood | |
| 257 | |
| 00:25:02,930 --> 00:25:09,630 | |
| وبالتالي يعتمد على إبسلون هذا عدد طبيعي بحيث | |
| 258 | |
| 00:25:13,530 --> 00:25:19,590 | |
| بحيث أنه لو كان n أكبر من أو يساوي n of epsilon | |
| 259 | |
| 00:25:19,590 --> 00:25:28,030 | |
| فهذا بيقودى أن xn ينتمي لـ v epsilon ل x اللي هو x | |
| 260 | |
| 00:25:28,030 --> 00:25:35,630 | |
| سالب epsilon وx زائد epsilon طب وهذا معناه أن ال | |
| 261 | |
| 00:25:35,630 --> 00:25:44,930 | |
| xn أكبر من x سالب epsilon أصغر من x زائد epsilon هذا | |
| 262 | |
| 00:25:44,930 --> 00:25:50,630 | |
| الـ xn ينتمي للفترة المفتوحة هذه معناته هذا الكلام | |
| 263 | |
| 00:25:50,630 --> 00:25:56,670 | |
| صح هذا معناه xn minus x أصغر من epsilon أكبر من | |
| 264 | |
| 00:25:56,670 --> 00:26:01,950 | |
| سالب epsilon هذا معناه absolute xn minus x أصغر من | |
| 265 | |
| 00:26:01,950 --> 00:26:10,800 | |
| epsilon إذن هنا أثبتنا إن لو كان b صحيح فلأي يبسلون | |
| 266 | |
| 00:26:10,800 --> 00:26:18,300 | |
| أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على يبسلون بحيث | |
| 267 | |
| 00:26:18,300 --> 00:26:23,160 | |
| لكل N أكبر من أو يساوي capital N طلع absolute xn | |
| 268 | |
| 00:26:23,160 --> 00:26:29,920 | |
| minus x أصغر من يبسلون وبالتالي العبارة C صحيحة | |
| 269 | |
| 00:26:29,920 --> 00:26:38,500 | |
| متحققة okay تمام؟ الآن بقى نثبت أن العبارة | |
| 270 | |
| 00:26:38,500 --> 00:26:59,280 | |
| C بتقودى إلى العبارة A فأفرضي | |
| 271 | |
| 00:26:59,280 --> 00:27:08,370 | |
| أن العبارة C متحققة suppose C holds بعدين، بدنا | |
| 272 | |
| 00:27:08,370 --> 00:27:12,250 | |
| نثبت أن x in converge ل x أو ال neighborhood | |
| 273 | |
| 00:27:12,250 --> 00:27:17,730 | |
| definition ل x بتحقق فبناخد أي let v be any | |
| 274 | |
| 00:27:17,730 --> 00:27:24,590 | |
| neighborhood of x فمن تعريف ال neighborhood لأي | |
| 275 | |
| 00:27:24,590 --> 00:27:28,910 | |
| neighborhood كل neighborhood v ل x يحتوي داخله | |
| 276 | |
| 00:27:28,910 --> 00:27:32,030 | |
| epsilon neighborhood ل x هذا ما قلناه قبل هيك | |
| 277 | |
| 00:27:32,030 --> 00:27:37,430 | |
| وبالتالي يوجد epsilon عدد موجب بحيث أن ال epsilon | |
| 278 | |
| 00:27:37,430 --> 00:27:44,890 | |
| neighborhood هذه الفترة عبارة عن x in .. هذه | |
| 279 | |
| 00:27:44,890 --> 00:27:51,090 | |
| المفروضة تكون عفوا هذه المفروضة تكون x مش x in | |
| 280 | |
| 00:27:51,090 --> 00:28:01,600 | |
| وهذه x سلب epsilon هذا عبارة عن v epsilon ل x هذا | |
| 281 | |
| 00:28:01,600 --> 00:28:08,880 | |
| المفروض تكون x مش xm، إذا لو كان v epsilon | |
| 282 | |
| 00:28:08,880 --> 00:28:15,740 | |
| neighborhood ففي عندي بقدر ألاقي جواته epsilon | |
| 283 | |
| 00:28:15,740 --> 00:28:20,520 | |
| neighborhood للـ x اللي هو v epsilon للـ x الآن من | |
| 284 | |
| 00:28:20,520 --> 00:28:21,400 | |
| الجزء c | |
| 285 | |
| 00:28:25,470 --> 00:28:29,650 | |
| لأي أبسلون من الجزء C، لأي أبسلون، لأي بما أن هذا | |
| 286 | |
| 00:28:29,650 --> 00:28:33,170 | |
| أبسلون أكبر من الصفر، إذا بنقدر نلاقي capital N | |
| 287 | |
| 00:28:33,170 --> 00:28:36,310 | |
| يعتمد على أبسلون، بحيث لكل N أكبر من أو يساوي | |
| 288 | |
| 00:28:36,310 --> 00:28:40,230 | |
| capital N، الـ absolute value هذه أصغر من أبسلون هذا | |
| 289 | |
| 00:28:40,230 --> 00:28:45,660 | |
| من الجزء C، طب ما هذا معناه الـ implication هذه | |
| 290 | |
| 00:28:45,660 --> 00:28:50,920 | |
| معناها لكل n أكبر من أو يساوي capital N، لو فكيت | |
| 291 | |
| 00:28:50,920 --> 00:28:58,800 | |
| المتباينة هذه، معناها xn ينتمي، هذا عبارة عن x ينتمي | |
| 292 | |
| 00:28:58,800 --> 00:29:06,480 | |
| للـ فترة المفتوحة x minus y و x زائد epsilon اللي هو الـ | |
| 293 | |
| 00:29:06,480 --> 00:29:09,720 | |
| epsilon neighborhood للـ x اللي هو subset من V | |
| 294 | |
| 00:29:11,670 --> 00:29:19,650 | |
| وبالتالي هيك بنكون أثبتنا أن الـ XIN ينتمي إلى الـ | |
| 295 | |
| 00:29:19,650 --> 00:29:24,530 | |
| neighborhood V كمان | |
| 296 | |
| 00:29:24,530 --> 00:29:30,830 | |
| مرة أنا بدي أثبت أن العبارة C بتأدي لـ a، افرض أن | |
| 297 | |
| 00:29:30,830 --> 00:29:36,610 | |
| العبارة C صحيحة، الآن لإثبات a اللي هي x in converge | |
| 298 | |
| 00:29:36,610 --> 00:29:40,790 | |
| للـ x، بتثبت أنه الـ neighborhood definition للـ | |
| 299 | |
| 00:29:40,790 --> 00:29:45,750 | |
| convergence بتحقق، يعني x عبارة عن limit للـ | |
| 300 | |
| 00:29:45,750 --> 00:29:48,650 | |
| sequence xn، فنرجع لتعريف الـ neighborhood | |
| 301 | |
| 00:29:48,650 --> 00:29:53,190 | |
| definition of convergence، نبدأ بـ neighborhood للـ x | |
| 302 | |
| 00:29:53,190 --> 00:29:57,910 | |
| ونستخدم الحقيقة أن كل neighborhood للـ x يحتوي | |
| 303 | |
| 00:29:57,910 --> 00:30:04,160 | |
| epsilon neighborhood، الآن من C.. C بيقول لي إذا في | |
| 304 | |
| 00:30:04,160 --> 00:30:08,400 | |
| عندك إبسلون موجبة، تقدر تلاقي capital N يعتمد عليها | |
| 305 | |
| 00:30:08,400 --> 00:30:12,940 | |
| بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي capital N، المسافة | |
| 306 | |
| 00:30:12,940 --> 00:30:17,660 | |
| هذه أصغر من إبسلون، طب هذه الـ implication الأخيرة هي | |
| 307 | |
| 00:30:17,660 --> 00:30:22,380 | |
| N أكبر من أو يساوي capital N بتقدي في حل المتباينة | |
| 308 | |
| 00:30:22,380 --> 00:30:28,640 | |
| هذه في Xn، فبطلع Xn ينتمي إلى X سالب Y و X زائد epsilon اللي هو | |
| 309 | |
| 00:30:28,640 --> 00:30:33,320 | |
| هذا الـ epsilon neighborhood اللي هو داخل V وبالتالي | |
| 310 | |
| 00:30:33,320 --> 00:30:37,660 | |
| لكل N أكبر من أو يساوي capital N، طلع Xn ينتمي للـ | |
| 311 | |
| 00:30:37,660 --> 00:30:42,300 | |
| neighborhood V، هذا من التعريف معناه Xn converge لـ | |
| 312 | |
| 00:30:42,300 --> 00:30:48,820 | |
| X، وبالتالي اللي هي عبارة a صحيحة تمام؟ إذا هيك | |
| 313 | |
| 00:30:48,820 --> 00:30:53,940 | |
| بنكون أثبتنا النظرية، أن التلات تعريفات هذه كلها | |
| 314 | |
| 00:30:53,940 --> 00:30:54,840 | |
| متكافئة | |
| 315 | |
| 00:31:02,750 --> 00:31:06,990 | |
| في تعريف الـ tail of a sequence أو الـ M tail of a | |
| 316 | |
| 00:31:06,990 --> 00:31:11,070 | |
| sequence، احنا عارفين أن لو في عندي أي.. لأي | |
| 317 | |
| 00:31:11,070 --> 00:31:18,570 | |
| sequence Xn، لو خدت M عدد طبيعي أي عدد طبيعي | |
| 318 | |
| 00:31:18,570 --> 00:31:24,210 | |
| natural number، و Xn أي sequence of real numbers | |
| 319 | |
| 00:31:24,210 --> 00:31:31,330 | |
| فالـ Xn هذه ممكن انفرفتها نكتب حدودها X1 X2 وهكذا | |
| 320 | |
| 00:31:32,450 --> 00:31:41,130 | |
| إلى x رقم m، الآن الحد اللي بعد xm عبارة عن xm زائد | |
| 321 | |
| 00:31:41,130 --> 00:31:50,010 | |
| واحد واللي بعده xm زائد اتنين وهكذا إذا | |
| 322 | |
| 00:31:50,010 --> 00:31:53,130 | |
| الـ sequence هذه ممكن أكتبها على الصورة هذه حيث m | |
| 323 | |
| 00:31:53,130 --> 00:31:57,770 | |
| هنا عدد طبيعي ما ثابت | |
| 324 | |
| 00:31:59,680 --> 00:32:10,460 | |
| الآن لو أنا ركزت على الجزء هذا من الـ sequence و | |
| 325 | |
| 00:32:10,460 --> 00:32:20,440 | |
| الجزء هذا هو أول m من حدود الـ sequence، حذفتها، فإذا | |
| 326 | |
| 00:32:20,440 --> 00:32:22,400 | |
| هذا بنسميه m tail | |
| 327 | |
| 00:32:28,870 --> 00:32:37,630 | |
| مثل الـ sequence xn، الدنب m دنب m، مش هذا دنب يعني تصور | |
| 328 | |
| 00:32:37,630 --> 00:32:42,110 | |
| إنها دي أفع هي الرأس تبعها أول m من الحدود ده هي | |
| 329 | |
| 00:32:42,110 --> 00:32:47,570 | |
| الرأس، جاطعة الرأس تبعها فبقى الدنب، مش هيك بيقولوا | |
| 330 | |
| 00:32:47,570 --> 00:32:50,870 | |
| الدنب | |
| 331 | |
| 00:32:50,870 --> 00:32:56,090 | |
| هذا طويل، بنبدأ يعني في عدد لانهائي من الحدود، الرأس | |
| 332 | |
| 00:32:56,090 --> 00:33:02,470 | |
| محدود، هي عدد منتهي من الحدود، إذا الـ sequence لو | |
| 333 | |
| 00:33:02,470 --> 00:33:08,250 | |
| أنا حدفت أول M من حدودها، فباقي الجزء المتبقي من الـ | |
| 334 | |
| 00:33:08,250 --> 00:33:16,070 | |
| sequence بنسميه M tail، واضح؟ طيب إذا الآن في نظرية | |
| 335 | |
| 00:33:16,070 --> 00:33:18,250 | |
| اتنين تلاتة أو نظرية تالتة | |
| 336 | |
| 00:33:20,720 --> 00:33:23,800 | |
| ما هي هذه النظرية اللي بتقول؟ بتقول لو أنا في عندي | |
| 337 | |
| 00:33:23,800 --> 00:33:29,500 | |
| إذا هاي الـ m tail هذا الـ m tail ممكن كتابته على | |
| 338 | |
| 00:33:29,500 --> 00:33:35,820 | |
| صورة sequence هاي x المؤشر، الحد العام تبع الـ m | |
| 339 | |
| 00:33:35,820 --> 00:33:40,660 | |
| tail، m زائد n حيث n العداد الطبيعي، m ثابت و n | |
| 340 | |
| 00:33:40,660 --> 00:33:43,980 | |
| العداد الطبيعي، وبالتالي هنا لو كانت n بـالساوية | |
| 341 | |
| 00:33:43,980 --> 00:33:50,800 | |
| واحد، أول حد xm زائد واحد وهكذا، طيب الآن النظرية | |
| 342 | |
| 00:33:50,800 --> 00:33:57,980 | |
| التالية بتقول لي أنه لو كان الـ M tail convergent | |
| 343 | |
| 00:34:02,380 --> 00:34:07,760 | |
| فالـ sequence نفسها الـ M بتكون convergent والعكس، | |
| 344 | |
| 00:34:07,760 --> 00:34:12,020 | |
| لو كانت الـ sequence convergent فأي M tail منها | |
| 345 | |
| 00:34:12,020 --> 00:34:15,940 | |
| هيكون convergent واثنين لهم نفس الـ limit، اثنين | |
| 346 | |
| 00:34:15,940 --> 00:34:20,020 | |
| لهم نفس الـ limit، إذا مرة ثانية لو كان في عندك | |
| 347 | |
| 00:34:20,020 --> 00:34:27,500 | |
| sequence Xn، M fixed natural number، فالـ M tail اللي | |
| 348 | |
| 00:34:27,500 --> 00:34:32,350 | |
| هو الـ sequence هذه، converges if and only if | |
| 349 | |
| 00:34:32,350 --> 00:34:39,210 | |
| الـ sequence نفسها converges، وهي البرهان هذا الـ part | |
| 350 | |
| 00:34:39,210 --> 00:34:43,750 | |
| f، افرض | |
| 351 | |
| 00:34:43,750 --> 00:34:48,290 | |
| أن xn convergent، نثبت أن الـ m tail convergent | |
| 352 | |
| 00:34:48,290 --> 00:34:54,540 | |
| ماشي الحال؟ طيب إذا كانت xn convergent للـ x، يعني الـ | |
| 353 | |
| 00:34:54,540 --> 00:34:57,620 | |
| limit تبعها، إذا كانت convergent فلازم يكون لها | |
| 354 | |
| 00:34:57,620 --> 00:35:02,020 | |
| limit، فأفرض أن الـ limit تبعها x، الآن حسب epsilon | |
| 355 | |
| 00:35:02,020 --> 00:35:06,080 | |
| capital N definition للـ limit أو للـ convergence | |
| 356 | |
| 00:35:06,080 --> 00:35:11,140 | |
| إذا لأي epsilon أكبر من 0، نقدر نلاقي N يعتمد على | |
| 357 | |
| 00:35:11,140 --> 00:35:15,860 | |
| epsilon، عدد طبيعي كبير وممكن ناخده يكون أكبر من | |
| 358 | |
| 00:35:15,860 --> 00:35:22,040 | |
| العدد الثابت، العدد الطبيعي الثابت M بحيث أنه لكل N | |
| 359 | |
| 00:35:22,040 --> 00:35:25,900 | |
| أكبر من أو يساوي capital N، المسافة بين X و N اللي هو X | |
| 360 | |
| 00:35:25,900 --> 00:35:31,410 | |
| أصغر من epsilon، هذا من تعريف الـ epsilon capital N | |
| 361 | |
| 00:35:31,410 --> 00:35:37,590 | |
| definition للـ convergence، طيب اللي أنا بقدر أعرف | |
| 362 | |
| 00:35:37,590 --> 00:35:43,930 | |
| capital N prime على أنه capital N مطروح منها | |
| 363 | |
| 00:35:43,930 --> 00:35:50,060 | |
| capital M، طبعا هنا capital N احنا اختارناها أكبر من | |
| 364 | |
| 00:35:50,060 --> 00:35:54,220 | |
| M، فالفرق هذا موجب وهذا عدد طبيعي وهذا عدد طبيعي | |
| 365 | |
| 00:35:54,220 --> 00:35:59,500 | |
| إذا الفرق عدد صحيح موجب يعني عدد طبيعي، هذا عدد | |
| 366 | |
| 00:35:59,500 --> 00:36:03,220 | |
| ثابت وهذا يعتمد على epsilon، إذا N prime الفرق | |
| 367 | |
| 00:36:03,220 --> 00:36:09,000 | |
| بينهم يعتمد على epsilon، تمام؟ إذا هنا عرفنا N' عدد | |
| 368 | |
| 00:36:09,000 --> 00:36:14,320 | |
| طبيعي ويعتمد على epsilon، الآن لو أخدت أي M عدد | |
| 369 | |
| 00:36:14,320 --> 00:36:16,960 | |
| طبيعي أكبر من أو يساوي N' | |
| 370 | |
| 00:36:20,020 --> 00:36:25,520 | |
| فنجمع capital M للطرفين فبطلع capital M زائد small | |
| 371 | |
| 00:36:25,520 --> 00:36:29,980 | |
| m أكبر من أو يساوي N prime زائد capital M، طب N prime | |
| 372 | |
| 00:36:29,980 --> 00:36:34,540 | |
| زائد capital M بيساوي N epsilon وبالتالي هذا أكبر من | |
| 373 | |
| 00:36:34,540 --> 00:36:40,860 | |
| أو يساوي N ل epsilon، إذا حسب الـ implication 1، الـ | |
| 374 | |
| 00:36:40,860 --> 00:36:45,260 | |
| implication 1 بتقول لي لأي عدد طبيعي.. لأي عدد | |
| 375 | |
| 00:36:45,260 --> 00:36:50,560 | |
| طبيعي أكبر من أو يساوي capital N لازم يطلع الـ | |
| 376 | |
| 00:36:50,560 --> 00:36:56,900 | |
| absolute value لـ X sub العدد الطبيعي اللي هو M زائد | |
| 377 | |
| 00:36:56,900 --> 00:36:59,320 | |
| M ناقص X أصغر من epsilon | |
| 378 | |
| 00:37:03,110 --> 00:37:08,470 | |
| وهذا بيدّي أن الـ tail.. الـ tail of the sequence | |
| 379 | |
| 00:37:08,470 --> 00:37:13,110 | |
| converge للـ X حسب التعريف، ما معناه أن الـ tail هذا | |
| 380 | |
| 00:37:13,110 --> 00:37:18,470 | |
| convergent؟ معناه أن لأي epsilon أكبر من الصفر.. | |
| 381 | |
| 00:37:18,470 --> 00:37:25,050 | |
| لأي epsilon أكبر من الصفر هيوجد N prime.. هيوجد N | |
| 382 | |
| 00:37:25,050 --> 00:37:29,130 | |
| prime عدد طبيعي يعتمد على epsilon | |
| 383 | |
| 00:37:31,850 --> 00:37:38,290 | |
| يوجد عدد طبيعي N' يعتمد على إبسلون، بحيث لكل M أكبر | |
| 384 | |
| 00:37:38,290 --> 00:37:44,350 | |
| من أو يساوي N'، طلع المسافة بين الحد رقم capital M | |
| 385 | |
| 00:37:44,350 --> 00:37:47,690 | |
| زائد small m ناقص X أصغر من إبسلون، هذا بالضبط | |
| 386 | |
| 00:37:47,690 --> 00:37:53,310 | |
| معناه إن الـ sequence هذه converge لـ X as M tends | |
| 387 | |
| 00:37:53,310 --> 00:37:59,580 | |
| to infinity، إذاً هيك بنكون أثبتنا إنه لو كانت الـ | |
| 388 | |
| 00:37:59,580 --> 00:38:03,240 | |
| sequence xn converge للـ x، فالتالت تبعها converge | |
| 389 | |
| 00:38:03,240 --> 00:38:10,720 | |
| للـ x، okay، تمام، العكس، العكس يعني ضايق، ممكن يعني | |
| 390 | |
| 00:38:10,720 --> 00:38:20,220 | |
| نبرهن العكس في دقيقة أو دقيقتين، العكس | |
| 391 | |
| 00:38:20,220 --> 00:38:26,390 | |
| يعني هذا العكس اللي هو الـ only if part، نفرض المرة | |
| 392 | |
| 00:38:26,390 --> 00:38:30,450 | |
| هذه أن الـ sequence الـ tail of a sequence الـ | |
| 393 | |
| 00:38:30,450 --> 00:38:34,770 | |
| tail of the sequence converged للـ X وبينما نثبت أن | |
| 394 | |
| 00:38:34,770 --> 00:38:40,170 | |
| الـ sequence نفسها convergent للـ X برضه، فنستخدم | |
| 395 | |
| 00:38:40,170 --> 00:38:42,930 | |
| تعريف epsilon capital N definition للـ convergence | |
| 396 | |
| 00:38:42,930 --> 00:38:48,710 | |
| اللي هو الجزء C من نظرية 2 2، فناخد given epsilon | |
| 397 | |
| 00:38:48,710 --> 00:38:53,080 | |
| أو let epsilon أكبر من الصفر، بـ given، بما أن الـ | |
| 398 | |
| 00:38:53,080 --> 00:38:56,560 | |
| sequence هذه converge للـ X، إذا يوجد capital N يعتمد | |
| 399 | |
| 00:38:56,560 --> 00:39:00,740 | |
| على إبسلون، بحيث لكل N أكبر من أو يساوي capital N | |
| 400 | |
| 00:39:00,740 --> 00:39:04,560 | |
| المسافة بين الحد العام للـ sequence هذه و X أصغر | |
| 401 | |
| 00:39:04,560 --> 00:39:12,790 | |
| من إبسلون، الآن بنعرف capital K على أنه العدد | |
| 402 | |
| 00:39:12,790 --> 00:39:18,250 | |
| الطبيعي الثابت M زائد العدد الطبيعي capital N، فطبعا | |
| 403 | |
| 00:39:18,250 --> 00:39:22,490 | |
| مجموعة الأعداد الطبيعيين، عدد طبيعي capital N يعتمد على | |
| 404 | |
| 00:39:22,490 --> 00:39:26,670 | |
| epsilon، إذا المجموعة تبعهم بيطلع يعتمد على epsilon | |
| 405 | |
| 00:39:26,670 --> 00:39:32,330 | |
| إذا هنا أنا وجدت أو جدت أو عرفت عدد طبيعي capital | |
| 406 | |
| 00:39:32,330 --> 00:39:37,610 | |
| K يعتمد على epsilon، الآن لو أخدت أي N أكبر من أو | |
| 407 | |
| 00:39:37,610 --> 00:39:43,170 | |
| يساوي الـ capital K فاترحي.. اترحي N من هنا و اترحي | |
| 408 | |
| 00:39:43,170 --> 00:39:50,350 | |
| N من هنا، M عفوا، M، لو طرحنا M من الطرفين المتباينة | |
| 409 | |
| 00:39:50,350 --> 00:39:55,330 | |
| هذه فبطلع N ناقص capital M أكبر من أو يساوي K | |
| 410 | |
| 00:39:55,330 --> 00:40:01,170 | |
| ناقص M، طب هاي K اطرحي منها M بيساوي N وبالتالي | |
| 411 | |
| 00:40:01,170 --> 00:40:05,950 | |
| بطلع N ناقص M أكبر من أو يساوي N، الآن من الـ | |
| 412 | |
| 00:40:05,950 --> 00:40:11,550 | |
| implication 2، الـ implication 2 بتقول لأي N | |
| 413 | |
| 00:40:11,550 --> 00:40:15,650 | |
| أكبر من أو يساوي capital، أي عدد طبيعيلو كان العدد | |
| 414 | |
| 00:40:15,650 --> 00:40:20,950 | |
| الطبيعي هذا أكبر من أو يساوي capital N، فالمسافة بين | |
| 415 | |
| 00:40:20,950 --> 00:40:27,390 | |
| X للعدد الطبيعي، وأضيف عليه M، إذا بدي أضيف على هذا | |
| 416 | |
| 00:40:27,390 --> 00:40:32,230 | |
| M، المسافة بين X اللي المؤشر تبعها العدد الطبيعي | |
| 417 | |
| 00:40:32,230 --> 00:40:37,770 | |
| هذا زائد M اللي هو بيطلع N والمسافة بينه وبين X | |
| 418 | |
| 00:40:37,770 --> 00:40:42,770 | |
| بيطلع أصغر من Epsilon، إذاً هيك احنا أثبتنا أنه لأي | |
| 419 | |
| 00:40:42,770 --> 00:40:46,970 | |
| إبسلون أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على | |
| 420 | |
| 00:40:46,970 --> 00:40:53,790 | |
| إبسلون بحيث أنه أو يوجد capital K لأي إبسلون أكبر | |
| 421 | |
| 00:40:53,790 --> 00:40:57,570 | |
| من الصفر يوجد عدد طبيعي K يعتمد على إبسلون | |
| 422 | |
| 00:40:57,570 --> 00:41:06,250 | |
| بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي K لكل n | |
| 423 | |
| 00:41:06,250 --> 00:41:10,590 | |
| أكبر من أو يساوي K تطلع المسافة بين xn و x | |
| 424 | |
| 00:41:10,590 --> 00:41:15,370 | |
| أصغر من إبسلون إذن هذا بالضبط معناه أن ال sequence | |
| 425 | |
| 00:41:15,370 --> 00:41:22,590 | |
| xn converge لـ x زي ما هو مطلوب وهذا يكمل برهان | |
| 426 | |
| 00:41:22,590 --> 00:41:26,410 | |
| النظرية okay تمام واضح | |
| 427 | |
| 00:41:31,150 --> 00:41:37,130 | |
| طيب احنا بنكتفي بهذا القدر وإن شاء الله في | |
| 428 | |
| 00:41:37,130 --> 00:41:42,010 | |
| المحاضرة القادمة هناخد برضه بعض النظريات وناخد | |
| 429 | |
| 00:41:42,010 --> 00:41:46,350 | |
| أمثلة كيف نثبت أن ال limit لـ sequence لـ | |
| 430 | |
| 00:41:46,350 --> 00:41:51,090 | |
| convergence sequence بالساوي عدد معين وهكذا طبعا | |
| 431 | |
| 00:41:51,090 --> 00:41:54,130 | |
| كل الأجزاء هذه موجودة عندكم ممكن تقرؤوها وتحضروها | |
| 432 | |
| 00:41:54,130 --> 00:41:56,010 | |
| للمحاضرة الجاية | |