| 1 | |
| 00:00:23,230 --> 00:00:28,870 | |
| بسم الله الرحمن الرحيم في الساعة هذه طبعا هيكون | |
| 2 | |
| 00:00:28,870 --> 00:00:34,770 | |
| فيانا مناقشة نشوف | |
| 3 | |
| 00:00:34,770 --> 00:00:39,790 | |
| الـ section الأخيرة في chapter تلاتة نبدأ section | |
| 4 | |
| 00:00:39,790 --> 00:00:43,610 | |
| تلاتة ستة فيانكم أي سؤال في section تلاتة ستة؟ | |
| 5 | |
| 00:00:51,050 --> 00:00:56,790 | |
| التالي هذا نقشناه المرة اللي فاتت طيب | |
| 6 | |
| 00:00:56,790 --> 00:01:02,630 | |
| في section تلاتة سبعة في عندكم أي أسئلة في section | |
| 7 | |
| 00:01:02,630 --> 00:01:08,970 | |
| تلاتة سبعة سؤال رقم احداشر نعم رقم احداشر | |
| 8 | |
| 00:01:22,550 --> 00:01:35,490 | |
| بس الرقم 11 تلاتة سابعة if | |
| 9 | |
| 00:01:35,490 --> 00:01:42,950 | |
| the series sigma a n with | |
| 10 | |
| 00:01:42,950 --> 00:01:46,270 | |
| a | |
| 11 | |
| 00:01:46,270 --> 00:01:51,070 | |
| n أكبر من الصفر is convergent | |
| 12 | |
| 00:01:54,210 --> 00:02:01,230 | |
| is convergent then | |
| 13 | |
| 00:02:01,230 --> 00:02:14,890 | |
| is the series sigma للجذر التربيعي ولا | |
| 14 | |
| 00:02:14,890 --> 00:02:15,410 | |
| لأ؟ | |
| 15 | |
| 00:02:24,900 --> 00:02:29,340 | |
| is the series and | |
| 16 | |
| 00:02:29,340 --> 00:02:39,240 | |
| if and | |
| 17 | |
| 00:02:39,240 --> 00:02:52,300 | |
| if BN BN بيساوي A واحد زائد إلى AN كل هذا مجسوم على | |
| 18 | |
| 00:02:52,300 --> 00:02:52,720 | |
| N | |
| 19 | |
| 00:02:55,990 --> 00:03:03,350 | |
| مع الـ n يشبه الـ n ثم | |
| 20 | |
| 00:03:03,350 --> 00:03:08,310 | |
| اظهر .. اظهر | |
| 21 | |
| 00:03:08,310 --> 00:03:15,590 | |
| ان السيريز سيجما bn دائما | |
| 22 | |
| 00:03:15,590 --> 00:03:19,510 | |
| .. دائما | |
| 23 | |
| 00:03:19,510 --> 00:03:21,290 | |
| متحرر | |
| 24 | |
| 00:03:33,740 --> 00:03:34,160 | |
| Okay | |
| 25 | |
| 00:03:51,610 --> 00:03:56,550 | |
| بنثبت ان لو كانت ال series هذه حدودها كلها موجبة و | |
| 26 | |
| 00:03:56,550 --> 00:04:02,670 | |
| convergent وعرفنا Pn على ان ال average لمجموعة أو | |
| 27 | |
| 00:04:02,670 --> 00:04:09,750 | |
| ال average لأول n من حدود ال series An فبنثبت ان | |
| 28 | |
| 00:04:09,750 --> 00:04:12,790 | |
| ال series هذه بتطلع دائما divergent | |
| 29 | |
| 00:04:18,290 --> 00:04:21,610 | |
| وارجي ال unbounded ال series لما تكون unbounded | |
| 30 | |
| 00:04:21,610 --> 00:04:25,710 | |
| تتطير مين هي ال unbounded؟ الأسئلة ال sequence of | |
| 31 | |
| 00:04:25,710 --> 00:04:36,990 | |
| partial sums صحيح يعني | |
| 32 | |
| 00:04:36,990 --> 00:04:42,710 | |
| أنا عندي أول شي not | |
| 33 | |
| 00:04:42,710 --> 00:04:43,290 | |
| first | |
| 34 | |
| 00:04:47,630 --> 00:05:00,050 | |
| رحزي أولا أنه لكل K ينتمي إلى N EK | |
| 35 | |
| 00:05:00,050 --> 00:05:12,590 | |
| اللي هو بيساوي A1 زايد EK على N على K هذا | |
| 36 | |
| 00:05:12,590 --> 00:05:15,870 | |
| بيكون دايما أكبر من أو يساوي | |
| 37 | |
| 00:05:20,590 --> 00:05:25,570 | |
| A1 على K لأن | |
| 38 | |
| 00:05:25,570 --> 00:05:32,410 | |
| ال .. ال sum اللي هنا أكبر من A1 لأن الأعداد هنا | |
| 39 | |
| 00:05:32,410 --> 00:05:37,150 | |
| اللي في ال sum كل أعداد موجبة فال sum اللي هنا | |
| 40 | |
| 00:05:37,150 --> 00:05:40,930 | |
| أكبر من ال sum اللي هناك وبالتالي هذا دايما صحيح | |
| 41 | |
| 00:05:40,930 --> 00:05:45,650 | |
| لكل K في N hence | |
| 42 | |
| 00:05:45,650 --> 00:05:46,790 | |
| وبالتالي | |
| 43 | |
| 00:05:48,890 --> 00:05:57,350 | |
| لو أخدت الـ nth partial sum للسيريز سيجما BN | |
| 44 | |
| 00:06:05,920 --> 00:06:10,120 | |
| إذن هذا عبارة عن الـ nth partial sum لل series sigma | |
| 45 | |
| 00:06:10,120 --> 00:06:17,480 | |
| bn الآن عندي bk أكبر من أو يساوي هاي summation من | |
| 46 | |
| 00:06:17,480 --> 00:06:24,380 | |
| k بساوي واحد إلى n و ال bk هادي أكبر من أو يساوي a | |
| 47 | |
| 00:06:24,380 --> 00:06:29,640 | |
| واحد على k ال a واحد ثابت بالنسبة ل k ده تمليش على | |
| 48 | |
| 00:06:29,640 --> 00:06:36,860 | |
| k فبطلّه برا هاي a واحد ضربSummation من K بيساوي | |
| 49 | |
| 00:06:36,860 --> 00:06:44,400 | |
| واحد إلى N لواحد على K واحنا | |
| 50 | |
| 00:06:44,400 --> 00:06:50,140 | |
| أثبتنا قبل هيك أنه ال sequence of partial sums لل | |
| 51 | |
| 00:06:50,140 --> 00:06:57,620 | |
| harmonic series is unbounded | |
| 52 | |
| 00:06:57,620 --> 00:07:03,380 | |
| في كان مثال سابق بيقول إنه | |
| 53 | |
| 00:07:07,390 --> 00:07:14,970 | |
| إن الـ sequence هذه من n بساوي واحد to infinity is | |
| 54 | |
| 00:07:14,970 --> 00:07:18,590 | |
| unbounded | |
| 55 | |
| 00:07:18,590 --> 00:07:25,010 | |
| is unbounded حسب | |
| 56 | |
| 00:07:25,010 --> 00:07:31,030 | |
| مثال سألت إذا لما أضربها ال sequence هذه لما أضرب | |
| 57 | |
| 00:07:31,030 --> 00:07:35,350 | |
| حدودها أو أضربها في ثابت موجب تبقى unbounded | |
| 58 | |
| 00:07:39,070 --> 00:07:48,770 | |
| وبالتالي إذا SM هذا بيقدي ان ال sequence SM is | |
| 59 | |
| 00:07:48,770 --> 00:07:52,610 | |
| unbounded | |
| 60 | |
| 00:07:52,610 --> 00:07:59,870 | |
| therefore ال | |
| 61 | |
| 00:07:59,870 --> 00:08:08,950 | |
| limit ل SM لما انتقل ل infinity does not exist and | |
| 62 | |
| 00:08:08,950 --> 00:08:16,510 | |
| therefore the series sigma dn diverges لان احنا | |
| 63 | |
| 00:08:16,510 --> 00:08:19,970 | |
| قلنا قبلك ان اي infinite series بتكون convergent | |
| 64 | |
| 00:08:19,970 --> 00:08:24,570 | |
| if and only if the sequence of partial sums is | |
| 65 | |
| 00:08:24,570 --> 00:08:32,870 | |
| convergent لان هذا هو الحل okay تمام في | |
| 66 | |
| 00:08:32,870 --> 00:08:35,730 | |
| أي أسئلة تانية في section تلاتة سبعة | |
| 67 | |
| 00:08:53,340 --> 00:08:58,320 | |
| مفهوم الحل؟ في | |
| 68 | |
| 00:08:58,320 --> 00:09:03,800 | |
| أسئلة تانية في ال section هذا أو أي section سابق؟ | |
| 69 | |
| 00:09:03,800 --> 00:09:11,180 | |
| فسؤال سبعة هذا | |
| 70 | |
| 00:09:11,180 --> 00:09:16,210 | |
| المماثل بيشبه مثال تلاتة سبعة ستة فاقرأي المثال | |
| 71 | |
| 00:09:16,210 --> 00:09:22,330 | |
| حاولي تطبقي نفس الطريقة مشروحليك في المثال فحاولي | |
| 72 | |
| 00:09:22,330 --> 00:09:28,710 | |
| اتجلدي المثال في اي اسئلة تانية؟ | |
| 73 | |
| 00:09:28,710 --> 00:09:35,950 | |
| مان | |
| 74 | |
| 00:09:35,950 --> 00:09:37,170 | |
| لديها سؤال؟ | |
| 75 | |
| 00:09:56,850 --> 00:10:11,850 | |
| في عندكم أسرة طيب | |
| 76 | |
| 00:10:11,850 --> 00:10:14,790 | |
| لما تفكروا في أسرة بدي أنا بارهنكم Cauchy | |
| 77 | |
| 00:10:14,790 --> 00:10:21,390 | |
| condensation test لأن هذا في عليه أسرة ومهم | |
| 78 | |
| 00:10:38,680 --> 00:10:56,660 | |
| سؤال اتماشي section تلاتة .. سابعة Cauchy | |
| 79 | |
| 00:10:56,660 --> 00:11:00,760 | |
| condensation | |
| 80 | |
| 00:11:00,760 --> 00:11:01,180 | |
| test | |
| 81 | |
| 00:11:13,290 --> 00:11:19,130 | |
| فال test هذا بيقول let sigma | |
| 82 | |
| 00:11:19,130 --> 00:11:29,970 | |
| an be a series .. a series of | |
| 83 | |
| 00:11:29,970 --> 00:11:42,270 | |
| monotone .. of monotone decreasing positive | |
| 84 | |
| 00:11:45,320 --> 00:11:54,260 | |
| مجموعات اثنين اثنين | |
| 85 | |
| 00:11:54,260 --> 00:11:54,340 | |
| اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين | |
| 86 | |
| 00:11:54,340 --> 00:11:58,160 | |
| اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين | |
| 87 | |
| 00:11:58,160 --> 00:11:59,760 | |
| اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين | |
| 88 | |
| 00:11:59,760 --> 00:12:03,980 | |
| اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين | |
| 89 | |
| 00:12:03,980 --> 00:12:05,320 | |
| اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين | |
| 90 | |
| 00:12:05,320 --> 00:12:08,420 | |
| اثنين اثنين اثنين | |
| 91 | |
| 00:12:08,420 --> 00:12:14,380 | |
| اثنين | |
| 92 | |
| 00:12:14,380 --> 00:12:14,820 | |
| اثن | |
| 93 | |
| 00:12:42,930 --> 00:12:48,630 | |
| وهي البرهان أولا | |
| 94 | |
| 00:12:48,630 --> 00:13:02,350 | |
| خلّينا نلاحظ note that لاحظي انه لو أخدت نص في | |
| 95 | |
| 00:13:02,350 --> 00:13:12,530 | |
| summation من k بساوي zero to infinity ل two أُس k | |
| 96 | |
| 00:13:12,530 --> 00:13:18,930 | |
| في a two to k هذا | |
| 97 | |
| 00:13:18,930 --> 00:13:20,830 | |
| بيطلع بساوي نص | |
| 98 | |
| 00:13:23,540 --> 00:13:33,720 | |
| في A1 اول حد لما كدا ساوى سفر فبطلع نص A1 الحد | |
| 99 | |
| 00:13:33,720 --> 00:13:43,940 | |
| اللي بعده هيطلع A2 اللي بعده اتنين A4 واللي بعده | |
| 100 | |
| 00:13:43,940 --> 00:13:52,020 | |
| اربعة في A8 وهكذا نستمر على هذا النمط إلى | |
| 101 | |
| 00:13:55,470 --> 00:14:00,650 | |
| أتنين خلّينا ناخد المجموعة من K بساوي سفر إلى M | |
| 102 | |
| 00:14:00,650 --> 00:14:08,290 | |
| حيث M عدد طبيعي ما فأخر حد هيكون اتنين أس M سالب | |
| 103 | |
| 00:14:08,290 --> 00:14:15,670 | |
| واحد في A اتنين أس M الآن | |
| 104 | |
| 00:14:15,670 --> 00:14:21,770 | |
| هذا المجموع أصغر من A واحد نص A واحد بالتأكيد أصغر | |
| 105 | |
| 00:14:21,770 --> 00:14:32,160 | |
| من A واحد وطبعا ال .. ال .. الأعداد هذه كلها موجبة | |
| 106 | |
| 00:14:32,160 --> 00:14:38,600 | |
| و بتكون decrease in sequence فنص a1 أصغر من a1 و | |
| 107 | |
| 00:14:38,600 --> 00:14:59,570 | |
| a2 بساوي a2 و 2 a4 أصغر من a3 زائد a4 صح؟A4 أصغر | |
| 108 | |
| 00:14:59,570 --> 00:15:07,110 | |
| من A3 لأن ال sequence A N decreasing فعندي A4 زائد | |
| 109 | |
| 00:15:07,110 --> 00:15:17,350 | |
| A4 أصغر من A3 زائد A4 و هكذا برضه عندي A8 أصغر من | |
| 110 | |
| 00:15:17,350 --> 00:15:25,190 | |
| A5 و أصغر من A6 و أصغر من A7وبالتالي هدا هيكون | |
| 111 | |
| 00:15:25,190 --> 00:15:30,470 | |
| اربعة A8 اصغر من مجموعة اربعة حدود اللي هم a | |
| 112 | |
| 00:15:30,470 --> 00:15:42,270 | |
| خمسة زائد a ستة زائد a سبعة زائد a تمانية و هكذا | |
| 113 | |
| 00:15:42,270 --> 00:15:48,830 | |
| استمر على هذا النمط الى ان نصل لاخر | |
| 114 | |
| 00:15:51,230 --> 00:15:58,170 | |
| هدول الحدود هيكون اصغر من .. او لحد هذا الأخير | |
| 115 | |
| 00:15:58,170 --> 00:16:04,530 | |
| اصغر من المجموعة اللي هو a اتنين أُس ام سالب واحد | |
| 116 | |
| 00:16:04,530 --> 00:16:11,430 | |
| زائد واحد زائد a | |
| 117 | |
| 00:16:11,430 --> 00:16:18,920 | |
| اتنين أُس ام سالب واحد زائد اتنين زائد و هكذابقت | |
| 118 | |
| 00:16:18,920 --> 00:16:24,700 | |
| أصغر من مجموعة كل ال series لأن هذه كلها حدود | |
| 119 | |
| 00:16:24,700 --> 00:16:29,680 | |
| موجبة، أعداد موجبة وهذا | |
| 120 | |
| 00:16:29,680 --> 00:16:38,540 | |
| الكلام صحيح لكل M، لكل M عدد طبيعي أكبر | |
| 121 | |
| 00:16:38,540 --> 00:16:47,240 | |
| من أو يساوي، يعني عدد طبيعي وبالتالي | |
| 122 | |
| 00:16:47,240 --> 00:16:48,120 | |
| and so | |
| 123 | |
| 00:16:50,890 --> 00:17:01,690 | |
| وبالتالي نضرب sum من k بساوي سفر إلى m لتو أس ك | |
| 124 | |
| 00:17:01,690 --> 00:17:10,490 | |
| بإتنين أُس ك ده هيطلع أصغر من أو ساوي نضرب الطرفين | |
| 125 | |
| 00:17:10,490 --> 00:17:15,470 | |
| في اتنين عشان نتخلص من النصف بصير المجموع هذا أصغر | |
| 126 | |
| 00:17:15,470 --> 00:17:21,410 | |
| من أو يساوي اتنين في summation من n equals zero to | |
| 127 | |
| 00:17:21,410 --> 00:17:27,750 | |
| infinity ل a n تمام؟ | |
| 128 | |
| 00:17:27,750 --> 00:17:34,330 | |
| وهذا | |
| 129 | |
| 00:17:34,330 --> 00:17:39,650 | |
| صحيح لكل m belonging to N | |
| 130 | |
| 00:17:44,360 --> 00:18:02,120 | |
| بنسمي ال quality هذه واحد طيب | |
| 131 | |
| 00:18:02,120 --> 00:18:05,680 | |
| now next | |
| 132 | |
| 00:18:09,650 --> 00:18:21,350 | |
| given any m أكبر من أو سوى الواحد choose using | |
| 133 | |
| 00:18:21,350 --> 00:18:34,050 | |
| Archimedean property choose | |
| 134 | |
| 00:18:34,050 --> 00:18:44,810 | |
| k بحيث أنه two to K أكبر من M لأي عدد طبيعي ممكن | |
| 135 | |
| 00:18:44,810 --> 00:18:58,530 | |
| ألاقي عدد طبيعي بحياتي two to K أكبر من M then ال | |
| 136 | |
| 00:18:58,530 --> 00:19:06,690 | |
| summation from N equals zero to M لان هذا بيطلع | |
| 137 | |
| 00:19:06,690 --> 00:19:12,630 | |
| أصغر من a0 | |
| 138 | |
| 00:19:12,630 --> 00:19:19,710 | |
| زائد a1 زائد a2 | |
| 139 | |
| 00:19:19,710 --> 00:19:31,150 | |
| زائد a3 زائد a4 زائد a5 زائد a6 زائد a7 زائد a8 | |
| 140 | |
| 00:19:35,390 --> 00:19:47,670 | |
| مع بعض زائد و هكذا إلى اتنين | |
| 141 | |
| 00:19:47,670 --> 00:19:55,190 | |
| أس 2 زائد 2 أس 2 زائد 1 زائد وهكذا إلى | |
| 142 | |
| 00:19:55,190 --> 00:19:59,330 | |
| 2 | |
| 143 | |
| 00:19:59,330 --> 00:20:03,950 | |
| أس 2 زائد 1 سالب 1 | |
| 144 | |
| 00:20:12,500 --> 00:20:17,840 | |
| أنا عند الـ M هذا الـ M أصغر من 2 أس K في آخر | |
| 145 | |
| 00:20:17,840 --> 00:20:26,460 | |
| حد اللي هو A<sub>M</sub> هيكون أصغر من A رقم 2 أس K أو | |
| 146 | |
| 00:20:26,460 --> 00:20:34,180 | |
| أصغر من أو يساوي 2 رقم A أس 2K زي واحد | |
| 147 | |
| 00:20:34,180 --> 00:20:35,780 | |
| ناقص 1 | |
| 148 | |
| 00:20:43,450 --> 00:20:52,190 | |
| والمجموع هذا .. هذا المجموع أصغر من أو يساوي a<sub>0</sub> | |
| 149 | |
| 00:20:52,190 --> 00:20:57,490 | |
| زائد a<sub>1</sub> زائد | |
| 150 | |
| 00:20:57,490 --> 00:21:06,710 | |
| 2 a<sub>2</sub> لأن a<sub>3</sub> أصغر من a<sub>2</sub> صح؟ عشان الـ sequence a<sub>n</sub> is | |
| 151 | |
| 00:21:06,710 --> 00:21:13,030 | |
| decreasing وهذا المجموع أصغر من 4 a | |
| 152 | |
| 00:21:14,740 --> 00:21:26,420 | |
| 4 صح وهكذا إلى المجموع هذا هيكون أصغر من 2 | |
| 153 | |
| 00:21:26,420 --> 00:21:37,280 | |
| أس K هذول عدد الحدود في a 2 أس K يعني هذول | |
| 154 | |
| 00:21:37,280 --> 00:21:41,860 | |
| عدد الحدود عددهم 2 أس K وكل واحد منهم | |
| 155 | |
| 00:21:45,050 --> 00:21:55,350 | |
| أصغر من 2 أول واحد اللي هو 2 أس 2K وهذا | |
| 156 | |
| 00:21:55,350 --> 00:22:01,830 | |
| بدوره أصغر من 2 أس 2K زائد summation من K | |
| 157 | |
| 00:22:01,830 --> 00:22:09,730 | |
| بساوي 0 to infinity لـ 2 أس K في 2 أس | |
| 158 | |
| 00:22:09,730 --> 00:22:17,540 | |
| K هاي أول حد 2 أس K لما K بيساوي 0 بيطلع | |
| 159 | |
| 00:22:17,540 --> 00:22:25,640 | |
| 1 واحد وبعدين اللي بعده بيطلع 2 2 لما K | |
| 160 | |
| 00:22:25,640 --> 00:22:33,480 | |
| بيساوي 1 واللي بعده 4 4 وهكذا طبعا | |
| 161 | |
| 00:22:33,480 --> 00:22:37,400 | |
| هذا بوقف المجموعة هذا finite هذا أصغر من المجموعة | |
| 162 | |
| 00:22:37,400 --> 00:22:41,400 | |
| من K بيساوي 0 إلى ما لا نهاية هذا طبعا في حدود | |
| 163 | |
| 00:22:41,400 --> 00:22:41,820 | |
| أكثر | |
| 164 | |
| 00:22:44,960 --> 00:22:53,040 | |
| تمام؟ وبالتالي إذا نستنتج and so نستنتج | |
| 165 | |
| 00:22:53,040 --> 00:23:02,980 | |
| إنه المجموعة ∑ from n equal 0 to infinity لـ | |
| 166 | |
| 00:23:02,980 --> 00:23:12,050 | |
| a<sub>n</sub> بطلع أصغر من أو يساوي a<sub>0</sub> زائد ∑ from k equals | |
| 167 | |
| 00:23:12,050 --> 00:23:20,790 | |
| 0 to infinity لـ 2<sup>k</sup> a<sub>2<sup>k</sup></sub> لأن | |
| 168 | |
| 00:23:20,790 --> 00:23:26,810 | |
| هذا صحيح لكل M أكبر من أو يساوي الـ 1 لأن هذا | |
| 169 | |
| 00:23:26,810 --> 00:23:33,330 | |
| عبارة عن هذا عبارة عن upper bound هذا العدد أو هذا | |
| 170 | |
| 00:23:33,330 --> 00:23:39,530 | |
| العدد upper bound للـ sequence of partial sums هنا | |
| 171 | |
| 00:23:39,530 --> 00:23:44,190 | |
| فما | |
| 172 | |
| 00:23:44,190 --> 00:23:47,210 | |
| هذه الـ sequence of partial sums is increasing | |
| 173 | |
| 00:23:47,210 --> 00:23:50,750 | |
| متزايدة | |
| 174 | |
| 00:23:50,750 --> 00:23:55,110 | |
| و bounded above by this number إذا الـ limit تبعت | |
| 175 | |
| 00:23:55,110 --> 00:23:58,650 | |
| الـ sequence of partial sums exist وبالساوي | |
| 176 | |
| 00:23:58,650 --> 00:24:04,990 | |
| supremum للـ sequence of partial sums الـ supremum | |
| 177 | |
| 00:24:04,990 --> 00:24:11,150 | |
| للـ sequence of partial sums أقل من الـ upper bound | |
| 178 | |
| 00:24:11,150 --> 00:24:13,670 | |
| هذا upper bound للـ sequence of partial sums الـ | |
| 179 | |
| 00:24:13,670 --> 00:24:17,050 | |
| supremum أصغر upper bound وبالتالي إذا الـ supremum | |
| 180 | |
| 00:24:17,050 --> 00:24:21,690 | |
| للـ sequence of partial sums هو عبارة عن limit للـ | |
| 181 | |
| 00:24:21,690 --> 00:24:23,730 | |
| sequence of partial sums اللي هو مجموعة الـ | |
| 182 | |
| 00:24:23,730 --> 00:24:29,190 | |
| infinite series أصغر من أو يساوي الـ upper bound by | |
| 183 | |
| 00:24:29,190 --> 00:24:34,290 | |
| monotone convergence theorem السيريز | |
| 184 | |
| 00:24:34,290 --> 00:24:39,610 | |
| هذي convergence ومجموعة بساوي limit للـ sequence of | |
| 185 | |
| 00:24:39,610 --> 00:24:44,710 | |
| partial sums اللي هي أصغر من أو ساوي عددها okay | |
| 186 | |
| 00:24:44,710 --> 00:24:54,170 | |
| إذا نسمي المتباينة هذه 2 إذا من المتباينة 1 | |
| 187 | |
| 00:24:54,170 --> 00:24:54,870 | |
| و2 | |
| 188 | |
| 00:25:11,870 --> 00:25:19,130 | |
| الآن بمقارنة مباشرة الاختلافات | |
| 189 | |
| 00:25:19,130 --> 00:25:30,640 | |
| المتباينات 1 و 2 بيقدوا السيريز ∑ a<sub>n</sub> | |
| 190 | |
| 00:25:30,640 --> 00:25:39,720 | |
| converges if and only if السيريز ∑ 2<sup>2</sup> | |
| 191 | |
| 00:25:39,720 --> 00:25:47,820 | |
| a<sub>2<sup>2</sup></sub> converges تعالى | |
| 192 | |
| 00:25:47,820 --> 00:25:54,680 | |
| نشوف لو كانت السيريز هذه convergent فالسيريز | |
| 193 | |
| 00:25:54,680 --> 00:25:55,780 | |
| هذه convergent | |
| 194 | |
| 00:25:58,080 --> 00:26:03,500 | |
| وبالتالي طبعا أن هذا صحيح لكل M بالمناسبة بقدر أن | |
| 195 | |
| 00:26:03,500 --> 00:26:08,880 | |
| هذه أيضا sequence of partial sums هذه الـ limit | |
| 196 | |
| 00:26:08,880 --> 00:26:19,460 | |
| تبعتها exist وبالتالي الـ infinite series هذه إذا | |
| 197 | |
| 00:26:19,460 --> 00:26:27,250 | |
| أن ال ممكن نقول أن هذا الكلام صحيح الآن لو كانت الـ | |
| 198 | |
| 00:26:27,250 --> 00:26:31,430 | |
| series هادي convergent فنضربها في ثابت 2 تطلع | |
| 199 | |
| 00:26:31,430 --> 00:26:35,270 | |
| convergent وبالتالي الـ series هادي convergent by | |
| 200 | |
| 00:26:35,270 --> 00:26:40,170 | |
| direct comparison test العكس لو كانت الـ series | |
| 201 | |
| 00:26:40,170 --> 00:26:41,670 | |
| هادي convergent | |
| 202 | |
| 00:26:44,460 --> 00:26:50,840 | |
| فلما أضفلها حد عدد موجب بيبقى conversion وبالتالي | |
| 203 | |
| 00:26:50,840 --> 00:26:54,080 | |
| by direct comparison test الـ series الأصغر بتطلع | |
| 204 | |
| 00:26:54,080 --> 00:26:58,160 | |
| conversion okay تمام؟ لأن هذا بثبت Cauchy | |
| 205 | |
| 00:26:58,160 --> 00:27:03,600 | |
| condensation test هذا الـ test قوي كتير وله فوائد | |
| 206 | |
| 00:27:03,600 --> 00:27:13,000 | |
| كتيرة فمن الفوائد تبعتها يعني | |
| 207 | |
| 00:27:13,000 --> 00:27:13,800 | |
| هذه مثال | |
| 208 | |
| 00:27:22,170 --> 00:27:37,410 | |
| ممكن نستنتج الـ P-series test مثال، | |
| 209 | |
| 00:27:37,410 --> 00:27:46,290 | |
| أنا موجود في إحدى التمارين التمرين 13 | |
| 210 | |
| 00:27:53,040 --> 00:28:05,440 | |
| تعملين تلتاش سيكشن 3 7 ايش بيقول هذا if if | |
| 211 | |
| 00:28:05,440 --> 00:28:16,600 | |
| P أكبر من الـ 0 is a real number discuss | |
| 212 | |
| 00:28:16,600 --> 00:28:20,940 | |
| the | |
| 213 | |
| 00:28:20,940 --> 00:28:21,680 | |
| convergence | |
| 214 | |
| 00:28:42,640 --> 00:28:44,720 | |
| تعالوا نفحص | |
| 215 | |
| 00:28:49,400 --> 00:28:58,120 | |
| ∑ from n equals 1 to infinity لـ 2 أس | |
| 216 | |
| 00:28:58,120 --> 00:29:08,700 | |
| n في 1 على هاي أو خليني أقول 2 أس n في a | |
| 217 | |
| 00:29:08,700 --> 00:29:16,120 | |
| and a 2 أس m ايش بيساوي هذا طبعا هاي عندي a<sub>n</sub> | |
| 218 | |
| 00:29:16,120 --> 00:29:24,230 | |
| هذا هو عبارة عن a<sub>m</sub> الحد العام للـ series فان بيساوي | |
| 219 | |
| 00:29:24,230 --> 00:29:30,290 | |
| 1 على n<sup>p</sup> فبتبحث هل الـ series هذي convergent أو | |
| 220 | |
| 00:29:30,290 --> 00:29:33,990 | |
| متى بتكون هذي الـ series convergent وبالتالي بقدر | |
| 221 | |
| 00:29:33,990 --> 00:29:37,890 | |
| أطبق اللي هو Cauchy condensation test فهذه عبارة | |
| 222 | |
| 00:29:37,890 --> 00:29:43,970 | |
| عن ∑ from n equals 1 to infinity الآن ايه | |
| 223 | |
| 00:29:43,970 --> 00:29:53,550 | |
| 2 أس n بطلع 1 على 2 أس n الكل أس P | |
| 224 | |
| 00:29:53,550 --> 00:30:03,810 | |
| تمام؟ وهذا بيساوي ∑ from n equals 1 to | |
| 225 | |
| 00:30:03,810 --> 00:30:18,940 | |
| infinity لـ 2 أس 1−P الكل أس n وهدي | |
| 226 | |
| 00:30:18,940 --> 00:30:27,020 | |
| is a geometric series is a geometric series | |
| 227 | |
| 00:30:27,020 --> 00:30:33,680 | |
| وبالتالي | |
| 228 | |
| 00:30:33,680 --> 00:30:38,320 | |
| مظبوط هذا عبارة عن geometric series لو بدى أكتب | |
| 229 | |
| 00:30:38,320 --> 00:30:40,620 | |
| حدود تبعتها | |
| 230 | |
| 00:30:43,100 --> 00:30:52,660 | |
| فأول حد عبارة عن 2 أس 1−P الحد الثاني | |
| 231 | |
| 00:30:52,660 --> 00:31:00,940 | |
| 2 أس 1−P الكل تربيع وهكذا فالحد | |
| 232 | |
| 00:31:00,940 --> 00:31:05,480 | |
| الأول 2 أس 1−P الحد الثاني 2 أس | |
| 233 | |
| 00:31:05,480 --> 00:31:09,980 | |
| 1−P وهكذا with ratio | |
| 234 | |
| 00:31:14,090 --> 00:31:28,710 | |
| with ratio with | |
| 235 | |
| 00:31:28,710 --> 00:31:34,830 | |
| ratio R | |
| 236 | |
| 00:31:34,830 --> 00:31:41,790 | |
| بيساوي 2 أس 1−P | |
| 237 | |
| 00:31:48,590 --> 00:31:58,790 | |
| So by geometric series test it converges if | |
| 238 | |
| 00:31:58,790 --> 00:32:06,450 | |
| and only if |R| بيساوي 2 أس 1−P | |
| 239 | |
| 00:32:06,450 --> 00:32:16,670 | |
| أصغر من 1 وهذا بتحقق 2 أس 1−P أصغر | |
| 240 | |
| 00:32:16,670 --> 00:32:25,590 | |
| من 1 فنقول if 1−P إذا | |
| 241 | |
| 00:32:25,590 --> 00:32:36,910 | |
| كان 1−P أصغر من الـ 0 سالب لأن لو كان | |
| 242 | |
| 00:32:36,910 --> 00:32:41,430 | |
| 1−P موجب فـ 2 أس أي عدد موجب عمره ما | |
| 243 | |
| 00:32:41,430 --> 00:32:47,440 | |
| بيكون أصغر من 1 نصفوت لكن لو كان الأس سالب فبيصير | |
| 244 | |
| 00:32:47,440 --> 00:32:52,620 | |
| هذا 1 على 2 أس وموجب فبيصير أصغر من 1 إذا | |
| 245 | |
| 00:32:52,620 --> 00:32:57,020 | |
| هذا صحيح if and only if الأس تابع الـ 2 اللي هو | |
| 246 | |
| 00:32:57,020 --> 00:33:06,240 | |
| 1−P أصغر من 0 if and only if 1 أصغر | |
| 247 | |
| 00:33:06,240 --> 00:33:12,920 | |
| من P أو P أكبر من 1 okay تمام وهذا هو الـ P | |
| 248 | |
| 00:33:12,920 --> 00:33:19,120 | |
| series test لأن احنا استنتجنا الـ P series test من | |
| 249 | |
| 00:33:19,120 --> 00:33:26,200 | |
| Cauchy Condensation test فاكرين الـ P series هذي أو | |
| 250 | |
| 00:33:26,200 --> 00:33:29,840 | |
| الـ P series test اثبتنا أن Convergent if and only | |
| 251 | |
| 00:33:29,840 --> 00:33:35,200 | |
| if P أكبر من 1 وDivergent إذا كانت P أصغر منها | |
| 252 | |
| 00:33:35,200 --> 00:33:35,960 | |
| وسائل 1 | |
| 253 | |
| 00:33:42,110 --> 00:33:51,730 | |
| Okay إذا الـ .. هذا المعنى So by Cauchy Cauchy's | |
| 254 | |
| 00:33:51,730 --> 00:34:01,910 | |
| Condensation Test The series ∑ | |
| 255 | |
| 00:34:01,910 --> 00:34:07,830 | |
| from N equals 1 to infinity الـ 1 over N<sup>P</sup> | |
| 256 | |
| 00:34:08,830 --> 00:34:16,530 | |
| convergence if and only if P أكبر من 1 وهذا هو | |
| 257 | |
| 00:34:16,530 --> 00:34:23,030 | |
| الـ P-series test إذن هذا بورجينا قوة Cauchy | |
| 258 | |
| 00:34:23,030 --> 00:34:29,530 | |
| Condensation Test okay تمام؟ في طبعا أسئلة أخرى | |
| 259 | |
| 00:34:29,530 --> 00:34:33,430 | |
| على Cauchy Condensation Test وأنا طالب منكم تحلوها | |
| 260 | |
| 00:34:33,430 --> 00:34:41,340 | |
| زي السؤال 14 و15 صح؟ ففي أي شيء في الأسئلة دي أو | |
| 261 | |
| 00:34:41,340 --> 00:34:47,160 | |
| أسئلة ثانية؟ | |
| 262 | |
| 00:34:47,160 --> 00:34:56,500 | |
| في | |
| 263 | |
| 00:34:56,500 --> 00:34:58,180 | |
| عندكم أي أسئلة؟ | |
| 264 | |
| 00:35:13,000 --> 00:35:19,560 | |
| إذا سيكشن 1 3 7 في أي سؤال ثاني عندكم في | |
| 265 | |
| 00:35:19,560 --> 00:35:25,540 | |
| الأسئلة هذه أو | |
| 266 | |
| 00:35:25,540 --> 00:35:31,860 | |
| السيكاشن السابقة أو سيكشن 4 1 إذا بتحبه | |
| 267 | |
| 00:35:31,860 --> 00:35:35,560 | |
| سيكشن 4 1 | |
| 268 | |
| 00:36:06,090 --> 00:36:13,070 | |
| مافيش أسئلة؟ طيب الـ .. مدام مافيش أسئلة نواصل .. | |
| 269 | |
| 00:36:13,070 --> 00:36:16,190 | |
| نكمل | |
| 270 | |
| 00:36:16,190 --> 00:36:17,490 | |
| المحاضرة في السابقة | |
| 271 | |
| 00:36:49,090 --> 00:36:53,250 | |
| المرة الأخرى تحدثنا عن الـ two-sided limits وعن | |
| 272 | |
| 00:36:53,250 --> 00:37:00,350 | |
| الـ one-sided limits وأخذنا بعض النظريات وقلنا إن | |
| 273 | |
| 00:37:00,350 --> 00:37:05,090 | |
| جميع النظريات اللي برهناها هو one-sided limit | |
| 274 | |
| 00:37:05,090 --> 00:37:12,990 | |
| صحيحة للـ two-sided limits أو النظريات الصحيحة لـ | |
| 275 | |
| 00:37:12,990 --> 00:37:17,070 | |
| two-sided limits بتكون أيضا صحيحة لـ one-sided | |
| 276 | |
| 00:37:17,070 --> 00:37:26,650 | |
| limit فناخد | |
| 277 | |
| 00:37:26,650 --> 00:37:31,350 | |
| مثال show | |
| 278 | |
| 00:37:31,350 --> 00:37:31,950 | |
| that | |
| 279 | |
| 00:37:35,020 --> 00:37:55,100 | |
| Limit لـ Signum X لإن X تقول لـ 0 لا يوجد فنلاحظ | |
| 280 | |
| 00:37:55,100 --> 00:37:59,600 | |
| أن Limit لأول شيء Signum X | |
| 281 | |
| 00:38:03,790 --> 00:38:11,230 | |
| بساوي x على absolute x لكل x لا يساوي صفر لما | |
| 282 | |
| 00:38:11,230 --> 00:38:15,010 | |
| أعرفنا الدالة هذه قلت لها بس هي نفسها x على | |
| 283 | |
| 00:38:15,010 --> 00:38:20,690 | |
| absolute x لو كان x بساوي صفر الآن ال limit ل | |
| 284 | |
| 00:38:20,690 --> 00:38:30,890 | |
| sigma x لما x تقول إلى صفر من اليمين بساوي ال | |
| 285 | |
| 00:38:30,890 --> 00:38:31,310 | |
| limit | |
| 286 | |
| 00:38:35,810 --> 00:38:41,530 | |
| لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من | |
| 287 | |
| 00:38:41,530 --> 00:38:50,190 | |
| اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى | |
| 288 | |
| 00:38:50,190 --> 00:38:55,650 | |
| صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x | |
| 289 | |
| 00:38:55,650 --> 00:38:57,330 | |
| تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من | |
| 290 | |
| 00:38:57,330 --> 00:39:02,560 | |
| اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول أصغر | |
| 291 | |
| 00:39:02,560 --> 00:39:21,640 | |
| من اليسار لما x أصغر من صفر لما | |
| 292 | |
| 00:39:21,640 --> 00:39:28,560 | |
| x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر | |
| 293 | |
| 00:39:28,560 --> 00:39:33,950 | |
| لما x أصغر من صفر، السالب واحد بيطلع السالب واحد إن | |
| 294 | |
| 00:39:33,950 --> 00:39:37,670 | |
| أنا عندي ال limit من اليمين يساوي واحد، ال limit | |
| 295 | |
| 00:39:37,670 --> 00:39:44,230 | |
| من اليسار يساوي سالب واحد، مش متساويين الاثنين، so by | |
| 296 | |
| 00:39:44,230 --> 00:39:50,150 | |
| theorem، حسب النظرية اللي أخدناها theorem أربعة | |
| 297 | |
| 00:39:50,150 --> 00:39:55,630 | |
| ثلاثة، بيطلع | |
| 298 | |
| 00:39:55,630 --> 00:40:01,080 | |
| عندي ال limit أو ال two sided limit للـ signal | |
| 299 | |
| 00:40:01,080 --> 00:40:09,560 | |
| function لما x تقول إلى الصفر does not exist تمام؟ | |
| 300 | |
| 00:40:09,560 --> 00:40:22,280 | |
| طيب خلّيني أنا آخد show | |
| 301 | |
| 00:40:22,280 --> 00:40:27,380 | |
| that ال | |
| 302 | |
| 00:40:27,380 --> 00:40:32,350 | |
| limit لل function e والواحد على x لما x تقول إلى | |
| 303 | |
| 00:40:32,350 --> 00:40:40,550 | |
| صفر من اليمين does not exist and | |
| 304 | |
| 00:40:40,550 --> 00:40:43,910 | |
| من | |
| 305 | |
| 00:40:43,910 --> 00:40:51,170 | |
| ال limit لنفس ال function e to واحد على x لما x | |
| 306 | |
| 00:40:51,170 --> 00:40:58,710 | |
| تقول إلى صفر من اليسار تطلع موجودة و بساوي صفر | |
| 307 | |
| 00:41:23,830 --> 00:41:31,010 | |
| طيب ال ... | |
| 308 | |
| 00:41:31,010 --> 00:41:34,050 | |
| نحاول نبرهن الجزء الأول | |
| 309 | |
| 00:41:56,420 --> 00:42:03,380 | |
| بناخد الجزء الأول let | |
| 310 | |
| 00:42:03,380 --> 00:42:13,540 | |
| z of x بساوي e to 1 على x، حفة x لا تساوي 0، وبدنا | |
| 311 | |
| 00:42:13,540 --> 00:42:19,260 | |
| نثبت to | |
| 312 | |
| 00:42:19,260 --> 00:42:28,130 | |
| show إن ال limit لـ g of x لما x تقول لصفر من | |
| 313 | |
| 00:42:28,130 --> 00:42:38,750 | |
| اليمين does not exist، it suffices to | |
| 314 | |
| 00:42:38,750 --> 00:42:42,710 | |
| show يكفي | |
| 315 | |
| 00:42:42,710 --> 00:42:52,650 | |
| إثبات أن ال function g of x is not bounded on | |
| 316 | |
| 00:42:56,170 --> 00:43:05,850 | |
| on a right ... on a right neighborhood | |
| 317 | |
| 00:43:05,850 --> 00:43:13,670 | |
| ... on a right neighborhood اللي هو صفر دلتا of | |
| 318 | |
| 00:43:13,670 --> 00:43:15,230 | |
| zero | |
| 319 | |
| 00:43:25,230 --> 00:43:28,670 | |
| أخذنا قبل ذلك نظرية بتقول إيه؟ ده عشان أثبت أنه ال | |
| 320 | |
| 00:43:28,670 --> 00:43:35,710 | |
| limit ل function عن نقطة معينة مش موجودة يكفي أثبت | |
| 321 | |
| 00:43:35,710 --> 00:43:43,910 | |
| أنه أنه الدالة unbounded عند أي unbounded | |
| 322 | |
| 00:43:43,910 --> 00:43:48,650 | |
| عند أي neighborhood | |
| 323 | |
| 00:43:48,650 --> 00:43:56,210 | |
| للنقطة الآن بالنسبة لل one-sided limit عشان أقول إن | |
| 324 | |
| 00:43:56,210 --> 00:44:02,230 | |
| ال limit ل function زي هذه g of x لما x تقول إلى | |
| 325 | |
| 00:44:02,230 --> 00:44:09,430 | |
| صفر من اليمين does not exist فهي | |
| 326 | |
| 00:44:09,430 --> 00:44:16,390 | |
| الصفر و ال x تقول لسفر من اليمين فبدل ما أخد delta | |
| 327 | |
| 00:44:16,390 --> 00:44:20,290 | |
| neighborhood للصفر | |
| 328 | |
| 00:44:20,290 --> 00:44:29,960 | |
| فباخد right neighborhood right neighborhood للصفر | |
| 329 | |
| 00:44:29,960 --> 00:44:35,960 | |
| فيكفي إن ال function هذه ماهياش bounded عن كل | |
| 330 | |
| 00:44:35,960 --> 00:44:41,780 | |
| right neighborhood يعني جوار من اليمين للصفر لأن | |
| 331 | |
| 00:44:41,780 --> 00:44:46,000 | |
| أنا بتعامل مع نهاية من اليمين لكن لما كنت اتعامل | |
| 332 | |
| 00:44:46,000 --> 00:44:51,240 | |
| مع نهاية من الطرفين فكنت آخد delta neighborhood | |
| 333 | |
| 00:44:51,240 --> 00:44:56,840 | |
| كامل، ولو أثبتت إن الـ function هذه ماهياش bounded | |
| 334 | |
| 00:44:56,840 --> 00:45:01,280 | |
| عند أي right neighborhood للصفر على الصورة هذه | |
| 335 | |
| 00:45:01,280 --> 00:45:06,220 | |
| فحسب نظرية سابقة الدالة مش ممكن يكون لها limit من | |
| 336 | |
| 00:45:06,220 --> 00:45:09,960 | |
| اليمين عند الصفر لأن لو كان لها limit عند الصفر من | |
| 337 | |
| 00:45:09,960 --> 00:45:15,820 | |
| اليمين فلازم تكون bounded على some neighborhood ... | |
| 338 | |
| 00:45:15,820 --> 00:45:25,650 | |
| right neighborhood للصفر Okay تمام و لإثبات ذلك to | |
| 339 | |
| 00:45:25,650 --> 00:45:29,270 | |
| see | |
| 340 | |
| 00:45:29,270 --> 00:45:39,290 | |
| this we use ال inequality التالية وهي T أكبر من | |
| 341 | |
| 00:45:39,290 --> 00:45:47,010 | |
| صفر دايما أصغر من E أس T for all T أكبر من صفر هذه | |
| 342 | |
| 00:45:47,010 --> 00:45:54,200 | |
| المتباينة هذه المتباينة موجودة | |
| 343 | |
| 00:45:54,200 --> 00:46:01,780 | |
| برهانها في Chapter 8 برهانها | |
| 344 | |
| 00:46:01,780 --> 00:46:07,600 | |
| موجودة في Chapter 8 اللي هتاخدوه لاحقا فهنستخدم | |
| 345 | |
| 00:46:07,600 --> 00:46:11,460 | |
| اللي هو المتباينة هذه في إثبات إن ال function | |
| 346 | |
| 00:46:11,460 --> 00:46:17,420 | |
| ماهياش bounded على neighborhood أو right | |
| 347 | |
| 00:46:17,420 --> 00:46:25,130 | |
| neighborhood للصفر Okay عشان الوجد خلص بنوقف و | |
| 348 | |
| 00:46:25,130 --> 00:46:29,590 | |
| بناخد خمس دقايق break وبعدين بنكمل إن شاء الله | |
| 349 | |
| 00:46:29,590 --> 00:46:35,550 | |
| البرهان فحنوقف ونكمل في الجزء التالي من المحاضرة | |