diff --git "a/PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/2PcqkFMSAOE.srt" "b/PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/2PcqkFMSAOE.srt" new file mode 100644--- /dev/null +++ "b/PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/2PcqkFMSAOE.srt" @@ -0,0 +1,3707 @@ +1 +00:00:04,910 --> 00:00:08,190 +بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين + +2 +00:00:08,190 --> 00:00:12,270 +والصلاة والسلام على سيد المرسلين سيدنا محمد على + +3 +00:00:12,270 --> 00:00:18,470 +آله وصحبه أجمعين هذه هي المحاضرة رقم 22 في مساق + +4 +00:00:18,470 --> 00:00:23,930 +تحليل حقيقة نيل لطلاب وطالبات الجامعة الإسلامية قسم + +5 +00:00:23,930 --> 00:00:29,530 +الرياضيات في كلية العلوم عنوان المحاضرة اليوم + +6 +00:00:29,530 --> 00:00:32,850 +هنكمل chapter ثمانية هيكون في عندي اللي هو + +7 +00:00:32,850 --> 00:00:37,130 +applications على اللي هي ثمانية اللي هي واحد و + +8 +00:00:37,130 --> 00:00:41,630 +ثمانية اثنين المحاضرة اليوم اللي هي هنحكي عن the + +9 +00:00:41,630 --> 00:00:46,730 +exponential and the logarithmic functions هنحكي عن + +10 +00:00:46,730 --> 00:00:51,830 +اللي هو دالة ال E to the X ودالة ال ln أو دالة ال + +11 +00:00:51,830 --> 00:00:57,660 +log الآن هنثبت اللي هو من خلال .. في البداية هنحكي + +12 +00:00:57,660 --> 00:01:03,280 +عن اللي هو ال exponential function أو هنثبت اللي + +13 +00:01:03,280 --> 00:01:05,740 +هو وجود ال exponential function + +14 +00:01:09,490 --> 00:01:13,630 +احنا استخدمناها قبل هيك مجرد أمثلة بعيدا عن اللي + +15 +00:01:13,630 --> 00:01:18,730 +هو انه اللي هي مفترضنا انه معلومات موجودة مسبقا + +16 +00:01:18,730 --> 00:01:22,170 +ولا تناقض اللي هو انه نثبتها اليوم لإنه اثباتها + +17 +00:01:22,170 --> 00:01:25,410 +اليوم لا يعتمد على اللي حكيناه سابقا بما يخص + +18 +00:01:25,410 --> 00:01:29,350 +بأمثلة اللي ذكرت فيها ال exponential الآن ال + +19 +00:01:29,350 --> 00:01:34,310 +exponential function بدنا نثبت وجودها ايش اللي + +20 +00:01:34,310 --> 00:01:38,820 +بنقوله نشوف عبر ال theorem 8.3.1 theorem بقول there + +21 +00:01:38,820 --> 00:01:44,060 +exists a function U دالة E من R ل R إذا في عندنا + +22 +00:01:44,060 --> 00:01:49,680 +دالة اسمها E من R ل R such that الـ E prime of X + +23 +00:01:49,680 --> 00:01:55,280 +لها بساوي E of X لكل X element in R اثنين E of Zero + +24 +00:01:55,280 --> 00:01:58,820 +بساوي ايش واحد يعني الآن النظرية دي بتقولي إنه + +25 +00:01:58,820 --> 00:02:02,920 +يوجد عندنا دالة domainها كل ال R و rangeها بروح + +26 +00:02:02,920 --> 00:02:10,220 +بصوب في ال R هذه الدالة تحقق شرطين اللي هي E prime + +27 +00:02:10,220 --> 00:02:14,500 +of X بساوي E of X و E of Zero بساوي ايش واحد الآن + +28 +00:02:14,500 --> 00:02:19,920 +نجي اللي هو بدنا نثبت وجود هذه الدالة ايه التي + +29 +00:02:19,920 --> 00:02:25,380 +تحقق اللي هو الخواص اللي عندنا المذكورة فيه اللي + +30 +00:02:25,380 --> 00:02:29,960 +هي نظريا الآن خلينا عشان نروح باتجاه اثبات وجود + +31 +00:02:29,960 --> 00:02:34,080 +هذه الدالة خلينا ناخد we inductively define a + +32 +00:02:34,080 --> 00:02:37,900 +sequence of continuous functions as follows بدي + +33 +00:02:37,900 --> 00:02:43,590 +الآن اعرف اللي هو sequence of functions الأولى + +34 +00:02:43,590 --> 00:02:48,790 +اسمها E1 of X بتساوي واحد زائد X طبعا هذه الدالة + +35 +00:02:48,790 --> 00:02:52,790 +موجودة E1 of X بتساوي واحد زائد X هي دالة خطية + +36 +00:02:52,790 --> 00:02:58,590 +الآن بدي أعرف ال E2 ال E2 of X بساوي ال + +37 +00:02:58,590 --> 00:03:04,170 +integration واحد زائد ال integration من صفر لعند X + +38 +00:03:04,170 --> 00:03:13,140 +اللي هو E1 of X dT أو E1 of T dT إذاً الـ E2 بدي + +39 +00:03:13,140 --> 00:03:17,960 +أجيبها من مين؟ من الـ E1 طبعاً بتيجي الـ E و الـ E2 + +40 +00:03:17,960 --> 00:03:23,500 +اللي هي عبارة عن واحد زائد هذه واحد زائد T اللي هو + +41 +00:03:23,500 --> 00:03:27,730 +تفاضلها زي ما انتوا عارفين تكملها اللي هي T زائد + +42 +00:03:27,730 --> 00:03:32,910 +اللي هي T تربيع على اثنين من صفر لعند X ويساوي واحد + +43 +00:03:32,910 --> 00:03:38,490 +زائد X زائد X تربيع على اثنين هذه الدالة من + +44 +00:03:38,490 --> 00:03:45,020 +هي E2 of X E3 of X بتعرفها بنفس الأسلوب بالساوي 1 + +45 +00:03:45,020 --> 00:03:49,840 +زائد الـ integration من 0 ل X لدالة اللي وجدتها + +46 +00:03:49,840 --> 00:03:56,140 +قبلها اللي هي E2 of T dT بضل أساسي ساير في التعريف + +47 +00:03:56,140 --> 00:04:03,760 +بقول in general بتعرف ال E N زائد 1 of X بساوي الـ + +48 +00:04:03,760 --> 00:04:11,420 +1 زائد ال integration من 0 ل X E N of T dT إذن الآن + +49 +00:04:11,420 --> 00:04:16,020 +عرفت اللي هي ال E1 of X بساوي 1 زائد X ومنها عرفت + +50 +00:04:16,020 --> 00:04:21,840 +اللي هي E2 و E2 عرفت منها E3 و E3 عرفت منها E4 وهكذا + +51 +00:04:21,840 --> 00:04:26,120 +ال E N زائد 1 of X هتساوة 1 زائد ال integration من 0 + +52 +00:04:26,120 --> 00:04:31,440 +ل X لل E N اللي جاب الها دي of T dT لكل N element + +53 +00:04:31,440 --> 00:04:36,720 +in N و لكل X element in M in R نيجي الآن نطلع على + +54 +00:04:36,720 --> 00:04:40,920 +الملاحظات اللي بدنا نحكيها عشان نستخدمها الآن 1 + +55 +00:04:40,920 --> 00:04:46,840 +زائد X دالة متصلة مش متصلة أصلا بس هي أصلا قابلة + +56 +00:04:46,840 --> 00:04:51,900 +للتفاضل أيضا اللي هي differentiable الآن بناء عليه + +57 +00:04:51,900 --> 00:05:00,140 +مدام ال E1 is continuous هتكون اللي هي E2 E2 هي + +58 +00:05:00,140 --> 00:05:03,940 +الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 + +59 +00:05:03,940 --> 00:05:04,180 +هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ + +60 +00:05:04,180 --> 00:05:07,840 +E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 + +61 +00:05:07,840 --> 00:05:11,080 +الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ + +62 +00:05:11,080 --> 00:05:12,820 +E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش + +63 +00:05:12,820 --> 00:05:14,980 +للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي + +64 +00:05:14,980 --> 00:05:18,980 +الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 + +65 +00:05:18,980 --> 00:05:22,820 +هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 ال + +66 +00:05:25,750 --> 00:05:27,270 +الآن F.E.L + +67 +00:05:31,050 --> 00:05:34,950 +if f is continuous on R then it is integrable over any bounded + +68 +00:05:34,950 --> 00:05:39,590 +interval زي ما قلنا مدام هذا continuous اللي هي E + +69 +00:05:39,590 --> 00:05:45,210 +اللي هي 2 continuous ومن هنا هتطلع E 3 continuous + +70 +00:05:45,210 --> 00:05:49,530 +و E 4 continuous إذا صارت هذي دايما continuous وده + +71 +00:05:49,530 --> 00:05:53,170 +continuous وده integration exist و by fundamental + +72 +00:05:53,170 --> 00:05:57,250 +theorem هذا ال integration كله على بعض can be + +73 +00:05:57,250 --> 00:06:01,160 +differentiated وهتكون الهو ايش is differentiable + +74 +00:06:01,160 --> 00:06:05,520 +ومنه so E N زائد واحد is well defined by the above + +75 +00:06:05,520 --> 00:06:09,300 +formula moreover زي ما قلت it is from fundamental + +76 +00:06:09,300 --> 00:06:12,400 +theorem of calculus ال second form اللي هي سبعة + +77 +00:06:12,400 --> 00:06:15,920 +ثلاثة خمسة هيكون عند ال E N زائد واحد is + +78 +00:06:15,920 --> 00:06:19,280 +differentiable ومش هيك وتفاضل هذه زي ما احنا + +79 +00:06:19,280 --> 00:06:24,540 +عارفين بساوي بنشيل ال integration طبعا التفاضل بلغ + +80 +00:06:24,540 --> 00:06:29,220 +ال integration بيصير E N of X فبصير عندي ال E N زائد + +81 +00:06:29,220 --> 00:06:34,240 +واحد prime of X موجودة ويساوي E N X for all n + +82 +00:06:34,240 --> 00:06:37,720 +element in N إذن الآن عملنا sequence ال sequence + +83 +00:06:37,720 --> 00:06:40,580 +هذه طلعت sequence of differentiable functions و ال + +84 +00:06:40,580 --> 00:06:43,860 +derivative لل E N زائد واحد prime هي بترجع لمين + +85 +00:06:43,860 --> 00:06:50,320 +بتيجي اللي هي ال E N of X طيب الآن هذا كله و ده + +86 +00:06:50,320 --> 00:06:53,900 +خليني اسميها ثلاثة و خليني نحضر حالنا نصل للي بدنا + +87 +00:06:53,900 --> 00:06:59,500 +ياجولكم وين هنصل في الآخر هوصلكم انه اللي هو ال + +88 +00:06:59,500 --> 00:07:05,400 +limit لهذه ال sequence أو لهذه ال sequence هي ال E + +89 +00:07:05,400 --> 00:07:12,300 +of X اللي أنا بثبت وجودها وستكون اللي هي بتحقق + +90 +00:07:12,300 --> 00:07:16,440 +الشروط اللي حكيناها خلينا نشوف ما لاستعجلش نشوف + +91 +00:07:16,440 --> 00:07:19,900 +ايش اللي بدنا نصلله إذا اللي عملناه كوننا + +92 +00:07:19,900 --> 00:07:23,380 +sequence sequence زي ما قلنا اللي هي ال sequence + +93 +00:07:23,380 --> 00:07:28,160 +بدأت عشان يبقى لكم الذاكرين E1 of X بساوي واحد + +94 +00:07:28,160 --> 00:07:34,760 +زائد X E N زائد واحد of X بساوي الانتجرأت واحد + +95 +00:07:35,450 --> 00:07:39,790 +بساوي واحد زائد الـ integration من صفر لعدد X E N of + +96 +00:07:39,790 --> 00:07:47,450 +T dT خلينا هذولة أمامنا طبعا N element in N عندي + +97 +00:07:47,450 --> 00:07:54,630 +و X أي element وين in R طيب إذا الآن سار عندي اللي + +98 +00:07:54,630 --> 00:07:58,430 +هو ال .. ده اللي هذي is differential لان بقول لي + +99 +00:07:58,430 --> 00:08:03,230 +انه ابن الدعي ويمكن لو حد شاف قبل بشوية ما وصلنا ل + +100 +00:08:03,230 --> 00:08:08,450 +E2 E2 كانت عبارة عن واحد زائد X تربيع على اثنين + +101 +00:08:08,450 --> 00:08:13,070 +اللي هو اللي هي اثنين factorial لو كملنا هيكون E N + +102 +00:08:13,070 --> 00:08:16,910 +of X بتساوي 1 زائد X على 1 factorial X تربيع على 2 + +103 +00:08:16,910 --> 00:08:21,170 +factorial زائد X أُس N على N factorial لكل + +104 +00:08:21,170 --> 00:08:25,750 +X element in R هذه الـ N صحيحة اللي هي لكل N + +105 +00:08:25,750 --> 00:08:31,470 +element in R اللي هو طبعا اثباتها سهل نثبتها by + +106 +00:08:31,470 --> 00:08:36,010 +induction خلينا نشوف كيفنا نثبت أربعة by induction + +107 +00:08:58,380 --> 00:09:01,020 +أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة + +108 +00:09:01,020 --> 00:09:04,640 +أربعة + +109 +00:09:04,640 --> 00:09:06,540 +أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة + +110 +00:09:06,540 --> 00:09:06,720 +أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة + +111 +00:09:06,720 --> 00:09:06,900 +أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة + +112 +00:09:06,900 --> 00:09:08,610 +أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة four is + +113 +00:09:08,610 --> 00:09:16,450 +a true four and بتساوي كتابة يعني صار عند الالالـ + +114 +00:09:16,450 --> 00:09:23,550 +E K of X بتساوي 1 زائد X على 1 factorial زائد X + +115 +00:09:23,550 --> 00:09:29,170 +تربيع على 2 factorial زائد X أُس K على K factorial + +116 +00:09:29,170 --> 00:09:33,890 +هذا لما نفرض إن اللي هي .. اللي هي الأربعة is true + +117 +00:09:33,890 --> 00:09:39,150 +for N بتساوي K بدنا نثبت إن E K زائد 1 هتطلع اللي + +118 +00:09:39,150 --> 00:09:43,870 +هي هذه زائد X أُس K على K زائد واحد factorial اللي + +119 +00:09:43,870 --> 00:09:48,790 +على ال net بتطلع أربعة صحيحة for K زائد واحد ده + +120 +00:09:48,790 --> 00:09:56,070 +نحسب خلينا نحسب الآن E K زائد واحد of X حسب اللي + +121 +00:09:56,070 --> 00:10:01,370 +احنا مفترضينه أو معرفين ال sequence على أساسه E K + +122 +00:10:01,370 --> 00:10:04,830 +زائد واحد of X ايش بتساوي واحد زائد ال integration + +123 +00:10:04,830 --> 00:10:14,410 +من صفر ل X E K of T dT مظبوط؟ طيب الآن بدي اعوض عن + +124 +00:10:14,410 --> 00:10:20,030 +E K of T احنا مفترضينها صحيحة ل K إذا E K of X + +125 +00:10:20,030 --> 00:10:24,230 +هيها إذا باجي بعوض بيصير Y يساوي واحد زائد ال + +126 +00:10:24,230 --> 00:10:29,250 +integration من صفر ل X E K of T اللي هي واحد زائد + +127 +00:10:29,250 --> 00:10:33,170 +T زائد T تربيع طبعا واحد factorial اللي هي واحد + +128 +00:10:33,170 --> 00:10:40,080 +على اثنين factorial زائد لما أصل X أو T أُس K على K + +129 +00:10:40,080 --> 00:10:46,520 +factorial الكل داخلها dT لأن اللي هي أكيد وضحت + +130 +00:10:46,520 --> 00:10:49,660 +الصورة بدل الفاضل نطلع قيمة التفاصيل الكامل و نطلع + +131 +00:10:49,660 --> 00:10:54,360 +قيمة التكامل و يساوي واحد هيوزايد ما هو جاعد زاد + +132 +00:10:54,360 --> 00:11:00,520 +هذا ال integration اللي هو عبارة عن T زائد T تربيع + +133 +00:11:00,520 --> 00:11:06,140 +على 2 في 1 يعني 2 factorial زائد T تكعيب على 3 في + +134 +00:11:06,140 --> 00:11:10,920 +2 factorial يعني 3 factorial زائد لما أصل لآخر 1 T + +135 +00:11:10,920 --> 00:11:15,640 +أُس K زائد 1 على K زائد 1 في K factorial هي K زائد + +136 +00:11:15,640 --> 00:11:22,230 +1 factorial هذا الكلام من 0 لمين؟ لعند X واضحة + +137 +00:11:22,230 --> 00:11:26,550 +الصورة ويساوي عبارة عن لما أعوض من 0 ل X بيصير 1 + +138 +00:11:26,550 --> 00:11:32,090 +زائد X زائد X تربيع على 2 factorial لما أصل لأخر + +139 +00:11:32,090 --> 00:11:38,210 +واحد X أُس K زائد 1 على K زائد 1 factorial إذا فعلا + +140 +00:11:38,210 --> 00:11:42,110 +طلعت عندي E K زائد واحد بساوي هذا المقدار يعني + +141 +00:11:42,110 --> 00:11:46,450 +بمعنى آخر أربعة طلعت الـ true for n بتساوي k زائد + +142 +00:11:46,450 --> 00:11:51,830 +واحد إذاً من كل هذا الـ induction بنكون أثبتنا أن الـ e + +143 +00:11:51,830 --> 00:11:56,430 +n of x بتساوي هذا الكلام لكل x element in R لكل n + +144 +00:11:56,430 --> 00:12:00,630 +element in N إذاً هذه صورة اللي هي الـ EN of X صورة + +145 +00:12:00,630 --> 00:12:05,150 +غير الصورة اللي عرفناها فوق استنتجناها منها الآن + +146 +00:12:05,150 --> 00:12:11,770 +خلّينا نروح باتجاه إثبات إنه الـ limit للـ EN هذه أو + +147 +00:12:11,770 --> 00:12:17,910 +الـ EK أو الـ EN أو اللي هي is uniformly convergent + +148 +00:12:18,680 --> 00:12:23,900 +to some function هذه الـ some function هي اللي + +149 +00:12:23,900 --> 00:12:29,120 +بتدعي أنها هتكون الـ exponential طيب اللي بنسميها + +150 +00:12:29,120 --> 00:12:32,840 +exponential بعد شوية اللي هي بتحقق شرطين اللي + +151 +00:12:32,840 --> 00:12:35,400 +حكينا عنهم لسه احنا بنعرف الـ exponential احنا + +152 +00:12:35,400 --> 00:12:38,340 +بنعرف الدالة هذه لكن لأن معلوماتنا عارفين من أول + +153 +00:12:38,340 --> 00:12:43,000 +الـ exponential الآن احنا الدالة هذه اللي هنثبت + +154 +00:12:43,000 --> 00:12:46,540 +وجودها اليوم هي اللي بعد شوية بعد ما نثبت الـ + +155 +00:12:46,540 --> 00:12:50,880 +uniqueness لها بنسميها الـ exponential زي ما هنشوف + +156 +00:12:50,880 --> 00:12:56,620 +بعد شوية الآن إذا الـ sequence اللي عندي هذه + +157 +00:12:56,620 --> 00:13:05,300 +هيوضعها الآن قلنا E N of X هذه المعادلة الثانية هي + +158 +00:13:05,300 --> 00:13:11,560 +واحد زائد X زائد X تربيع على اثنين factorial زائد + +159 +00:13:11,560 --> 00:13:15,600 +X أس N على N factorial وهذا الشكل طبعًا أنتم مش + +160 +00:13:15,600 --> 00:13:20,240 +غريب عليكم بتعرفوه الآن خليني آخذ الآن let A أكبر + +161 +00:13:20,240 --> 00:13:24,120 +من صفر بـ given افترض أن A اللي هو real + +162 +00:13:24,120 --> 00:13:28,660 +number أكبر من مين من صفر بآخذه arbitrarily لكن + +163 +00:13:28,660 --> 00:13:33,470 +خليني نحكي عن A محددة الآن if absolute value of X + +164 +00:13:33,470 --> 00:13:37,910 +أصغر أو تساوي A يعني بتحكي الحديث هنا على الـ Xات + +165 +00:13:37,910 --> 00:13:43,590 +اللي في الـ R اللي من عند ناقص A لعند مين الـ A يعني + +166 +00:13:43,590 --> 00:13:48,610 +الـ absolute value لهن هذول أصغر أو تساوي الـ A + +167 +00:13:48,610 --> 00:13:52,390 +يعني في الفترة المغلقة اللي أمامي اللي بين ناقص الـ + +168 +00:13:52,390 --> 00:13:58,870 +A و الـ A بتتحدث شوف الآن احسب لي Em of X ناقص En of + +169 +00:13:58,870 --> 00:14:03,750 +X و يساوي و بدنا نفترض لكم أن الـ n ايه شمالها أكبر + +170 +00:14:03,750 --> 00:14:07,910 +من الـ n و الـ n أكبر من اثنين A اثنين A مكتوب + +171 +00:14:07,910 --> 00:14:10,850 +اثنين A لغرض الحسابات اللي جايين نشوفها بنفع + +172 +00:14:10,850 --> 00:14:13,270 +ثلاثة A، بنفع أربعة A، بنفع خمسة A، بنفع ستة + +173 +00:14:13,270 --> 00:14:16,550 +A، بنفع كلّه بنفع هذا الكلام على أساس أنك ما ينفعش + +174 +00:14:16,550 --> 00:14:19,550 +أقول نصف A أو ثلث A أو ربع A لأنها مش هتقدر + +175 +00:14:19,550 --> 00:14:23,910 +الغرض اللي بدي إياه الآن مين اخترت أنا اخترت اللي هو + +176 +00:14:23,910 --> 00:14:29,650 +الـ m والـ n اللي أكبر منين من اثنين في الـ A + +177 +00:14:29,650 --> 00:14:34,390 +اللي هي قيمة مين الـ A اللي هي نصف الفترة اللي عندي + +178 +00:14:34,390 --> 00:14:39,210 +أو طول نصف الفترة طيب، احسب لي ايه M of X ناقص Y of + +179 +00:14:39,210 --> 00:14:44,360 +X؟ E M of X اللي هي عبارة عن واحد زائد X زائد X + +180 +00:14:44,360 --> 00:14:49,360 +تربيع و هجابل في الطريق من الـ X M لأنه M أكبر من X + +181 +00:14:49,360 --> 00:14:52,720 +تربيع على M factorial زائد X M زائد واحد على M زائد + +182 +00:14:52,720 --> 00:14:57,280 +واحد factorial لما أصل الأخر واحد من X أس M على M + +183 +00:14:57,280 --> 00:15:03,400 +factorial يعني الآن هذي هيكون زي هيك لما أصل طبعًا X + +184 +00:15:03,400 --> 00:15:10,500 +M زائد واحد على M زائد واحد factorial زائد لمّا أصل + +185 +00:15:10,500 --> 00:15:15,760 +لعند X أس M على M factorial هذه مين هي هذه عبارة + +186 +00:15:15,760 --> 00:15:24,220 +عن الـ EM يعني الـ EM هتساوي اللي هي E of X E N of X + +187 +00:15:24,220 --> 00:15:30,020 +زائد المتبقي هذا الآن حاصل طرح الاثنتين هيكون + +188 +00:15:30,020 --> 00:15:33,480 +عبارة عن لإن المفترض الـ M أكبر من L زي ما قلنا + +189 +00:15:33,480 --> 00:15:37,700 +حاصل طرح اللي هيكون اللي هو المتبقي هذا X N زائد + +190 +00:15:37,700 --> 00:15:40,840 +واحد على N زائد واحد factorial لما أصل ل X M على M + +191 +00:15:40,840 --> 00:15:46,240 +ايش factorial ماشي الحال إذا الآن أوصلنا لحاصل طرح + +192 +00:15:46,240 --> 00:15:51,340 +دول بتساوي هذا المقدار نيجي نكمل الآن عندي + +193 +00:15:53,560 --> 00:15:58,460 +عند الـ absolute value للـ X أصغر من 100 من A + +194 +00:16:10,590 --> 00:16:17,130 +زائد absolute value زائد xn زائد اثنين على n زائد + +195 +00:16:17,130 --> 00:16:22,710 +اثنين factorial زائد لما أصل لأخر واحد x أسم m على + +196 +00:16:22,710 --> 00:16:28,150 +m factorial ماشي الحال طيب الآن إن إن كل x من + +197 +00:16:28,150 --> 00:16:31,270 +هدول الـ absolute value هي أصغر يساوي منين A إذا + +198 +00:16:31,270 --> 00:16:36,650 +صار هذا المقدار أصغر أو يساوي هذا المقدار اللي هنا + +199 +00:16:36,650 --> 00:16:45,550 +أصغر أو يساوي M زائد واحد على N آسف A أس N زائد + +200 +00:16:45,550 --> 00:16:49,970 +واحد لأن الـ absolute value X أصغر تساوي A إذا X N + +201 +00:16:49,970 --> 00:16:54,510 +زائد واحد أصغر أو ساوي الـ A أس N زائد واحد على N + +202 +00:16:54,510 --> 00:17:00,870 +زائد واحد factorial زائد الثاني اللي هو A N زائد + +203 +00:17:00,870 --> 00:17:07,130 +اثنين على n زائد 2 factorial زائد لما أصل لآخر واحد + +204 +00:17:07,130 --> 00:17:14,870 +اللي هو عبارة عن a أس m على m factorial ماشي الحال + +205 +00:17:14,870 --> 00:17:21,080 +طيب الآن خليني آخذ من هدول الـ a n زائد واحد على الـ + +206 +00:17:21,080 --> 00:17:24,480 +n زائد واحد factorial عامل مشترك قبل ما اصلح هذه + +207 +00:17:24,480 --> 00:17:28,520 +الخطوة لسه اه خليني آخذ عامل مشترك بيصير عندي a n + +208 +00:17:28,520 --> 00:17:33,180 +زائد واحد على n زائد واحد factorial فاش اللي بيضل + +209 +00:17:33,180 --> 00:17:39,420 +هنا فيه اللي بيضل هنا واحد زائد هنا بيضل a على n + +210 +00:17:39,420 --> 00:17:46,280 +زائد اثنين أكيد زائد اللي بعدها a تربيع على n زائد + +211 +00:17:46,280 --> 00:17:52,160 +اثنين فان زائد ثلاثة زائد لما أصل لآخر واحد مين + +212 +00:17:52,160 --> 00:17:57,080 +آخر واحد بشيل منه n زائد واحد بيصير a أس m ناقص + +213 +00:17:57,080 --> 00:18:03,000 +n ناقص واحد على اللي بيضل من n زائد اثنين مضروب + +214 +00:18:03,000 --> 00:18:09,250 +لعند n m ناقص n ناقص واحد هذول الأنماشي الحال + +215 +00:18:09,250 --> 00:18:13,470 +هذا أخذ تمين يا جماعة معليش دخل الكلام مع بعضه بس + +216 +00:18:13,470 --> 00:18:18,130 +أكيد أنتم مستوعبين ايش بقول طلعت الـ a n زائد واحد + +217 +00:18:18,130 --> 00:18:21,090 +على n زائد واحد factorial العام المشترك طلع عندي + +218 +00:18:21,090 --> 00:18:26,550 +هذا المقدار الآن عندي أكيد الـ n زائد اثنين أكبر من + +219 +00:18:26,550 --> 00:18:32,050 +مين من الـ n فمقلوبه أصغر أه فبيصير عندي اللي هو + +220 +00:18:32,050 --> 00:18:38,050 +عندي اللي هي هذا المقدار a n على l زائد 2 أصغر أو + +221 +00:18:38,050 --> 00:18:42,170 +ساوي a على n و اللي بعده a تربيع أصغر أو ساوي a + +222 +00:18:42,170 --> 00:18:44,370 +ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا + +223 +00:18:44,370 --> 00:18:44,410 +ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا + +224 +00:18:44,410 --> 00:18:45,090 +ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا + +225 +00:18:45,090 --> 00:18:46,010 +ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا + +226 +00:18:46,010 --> 00:18:47,730 +ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا + +227 +00:18:47,730 --> 00:18:48,010 +ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا + +228 +00:18:51,320 --> 00:18:55,380 +أكبر من أنه وهذه أكبر من أنه فمقلوبهم بيصير هذا + +229 +00:18:55,380 --> 00:19:00,980 +المقدار أصغر اللي هو أو يساوي المقدار اللي بعده + +230 +00:19:00,980 --> 00:19:07,730 +بيصير عندي هذا المقدار أصغر أو يساوي هذا زي ما هو و + +231 +00:19:07,730 --> 00:19:13,670 +هذه واحد هذه a على n لأنها هتكون أكبر a تربيع على + +232 +00:19:13,670 --> 00:19:19,170 +n تربيع n تربيع هتكبر لما أصل ل a m minus n نقص + +233 +00:19:19,170 --> 00:19:25,420 +واحد على m minus n نقص واحد لأن هنا دول عددهم من + +234 +00:19:25,420 --> 00:19:30,200 +نقص واحد من الـ n هيكون n طبعًا استبدلت كل واحدة + +235 +00:19:30,200 --> 00:19:34,400 +بـ n فهيطلع بالشكل هذا وبتظل الـ inequality صحيحة + +236 +00:19:34,400 --> 00:19:38,540 +خلصنا من هذا طيب دعونا نشوف كيف أضبح لكم هذا دعونا + +237 +00:19:38,540 --> 00:19:48,770 +نخلص منه نجي الآن اللي هو نرجع نكمل الحسبة هذا + +238 +00:19:48,770 --> 00:19:57,670 +الآن المقدار عندي اللي هو المقدار هذا هيه اتطلعوا + +239 +00:19:57,670 --> 00:20:06,710 +عندي الـ a الـ a على n ايش أنا ماخذ الـ n ماخذ الـ n + +240 +00:20:06,710 --> 00:20:12,930 +أكبر من مين من اثنين a يعني الـ a أصغر من n على مين + +241 +00:20:13,680 --> 00:20:21,900 +على اثنين مظبوط الـ A أصغر من N على اثنين واضحة الجسم + +242 +00:20:21,900 --> 00:20:25,660 +الـ N على اثنين و N على اثنين صارت N على اثنين أكبر + +243 +00:20:25,660 --> 00:20:29,940 +من مين من A بدي استخدمها الآن هذه الـ N بيصير أصغر + +244 +00:20:29,940 --> 00:20:34,020 +أو يساوي هذا المقدار بيصير أصغر أو يساوي هذا بحكي + +245 +00:20:34,020 --> 00:20:39,590 +عن هذا بيصير أصغر أو يساوي اللي هو A أس n زائد + +246 +00:20:39,590 --> 00:20:45,410 +واحد على n زائد واحد الكل factorial فيه اللي هو + +247 +00:20:45,410 --> 00:20:56,830 +واحد زائد a على n زائد a تربيع على n تربيع زائد + +248 +00:20:56,830 --> 00:21:06,530 +a اللي هو a تكعيب على n تكعيب زائد مش بتصل لهذا + +249 +00:21:06,530 --> 00:21:11,670 +زائد و بتظل ماشيها شمالها إلى ما لا نهاية يعني + +250 +00:21:11,670 --> 00:21:17,110 +بتضيف عليها a على n أس m ناقص n a على n أس m + +251 +00:21:17,110 --> 00:21:20,290 +ناقص n زائد واحد وهكذا تظلها إلى ما لا نهاية يعني + +252 +00:21:20,290 --> 00:21:23,850 +بتحولها لمين لـ infinite series طيب احنا قلنا الـ a + +253 +00:21:23,850 --> 00:21:28,670 +أصغر من n على 2 يعني الـ a n على n أصغر من مين؟ من + +254 +00:21:28,670 --> 00:21:32,930 +نصف عرفته الآن ايش بدأ أسأل صار عندي هذا المقدار + +255 +00:21:32,930 --> 00:21:39,310 +أصغر أو يساوي a أس n زائد واحد على n زائد واحد لكل + +256 +00:21:39,310 --> 00:21:45,690 +factorial مضروب في مين؟ اللي هو واحد زائد نصف زائد + +257 +00:21:45,690 --> 00:21:50,670 +نصف تربيع اه لأن a على n أصغر من مين يا جماعة؟ من + +258 +00:21:50,670 --> 00:21:57,850 +نصف زائد تربيع زائد نصف تتعيد زائد الآخرين لأن هذه صارت + +259 +00:21:57,850 --> 00:22:02,470 +عبارة عن geometric series مجموعها هذه بتساوي مجموع + +260 +00:22:02,470 --> 00:22:07,050 +هذه عبارة عن واحد على واحد ناقصّه اللي هو نصف وهي + +261 +00:22:07,050 --> 00:22:12,730 +ساوي جدّاش اثنين ماشي إذا هذا المقدار اللي هو صار + +262 +00:22:12,730 --> 00:22:16,510 +عبارة عن اثنين في هذا المقدار اللي هو وصلنا له + +263 +00:22:16,510 --> 00:22:20,650 +أصغر أو يساوي a n زائد واحد على n زائد واحد + +264 +00:22:20,650 --> 00:22:23,890 +factorial مضروب في مين؟ في اثنين يعني حسابات هذه + +265 +00:22:23,890 --> 00:22:28,770 +طيب إذا صار عندي الآن هاي اللي بدي أوصل له و اللي + +266 +00:22:28,770 --> 00:22:31,630 +كاتبّه باختصار هو لإنه بيعتبر أن الباقية حساباتي + +267 +00:22:31,630 --> 00:22:36,950 +بتعرفوا تحسبوها em-n of x of x أصغر أو يساوي هذا + +268 +00:22:36,950 --> 00:22:43,450 +المقدار على مين؟ على اثنين الآن شوف ما يليه الآن as + +269 +00:22:43,450 --> 00:22:49,590 +n goes to infinity هذا المقدار هذا المقدار as n + +270 +00:22:49,590 --> 00:22:54,230 +goes to infinity الـ limit بتروح للصفر لأن a n زائد + +271 +00:22:54,230 --> 00:22:57,110 +واحد على n زائد واحد كل factorial as n goes to + +272 +00:22:57,110 --> 00:23:01,190 +infinity ايش بدّه يروح للصفر يعني بمعنى آخر مدام + +273 +00:23:01,190 --> 00:23:04,430 +بدّه يروح للصفر طبعًا وذا كبرت الـ n بتكبر مين برضه + +274 +00:23:04,430 --> 00:23:07,850 +مباشرة m لأن m أكبر منها إذا for + +275 +00:23:10,880 --> 00:23:19,800 +for large n و m we get + +276 +00:23:23,490 --> 00:23:31,050 +E M of X ناقص E N of X اللي هي أصغر أو يساوي من + +277 +00:23:31,050 --> 00:23:38,070 +هذه هذه أصلاً for large N as N goes to infinity هذا + +278 +00:23:38,070 --> 00:23:43,470 +المقدار بيصير أصغر من أي ε في الدنيا اللي هي بيصير + +279 +00:23:43,470 --> 00:23:49,330 +أصغر من مين من ε أو أصغر أو يساوي ε as N و M + +280 +00:23:49,330 --> 00:23:54,630 +become very very large ماشي الحال لإنه الـ limit لل + +281 +00:23:54,630 --> 00:23:59,110 +إن على n فكتوره ليش بيساوي بيساوي صفر إذا صار + +282 +00:23:59,110 --> 00:24:05,950 +عندي الآن اللي هي E m of X E n of X أصغر أو شوي من Y + +283 +00:24:05,950 --> 00:24:15,250 +لكل X وين موجودة في الفترة من ناقص A إلى A ماشي + +284 +00:24:15,250 --> 00:24:23,160 +الحال الآن بناء عليه الآن لكل X بغض النظر عن ال X + +285 +00:24:23,160 --> 00:24:28,000 +اللي هو بيكون عندي أنه I'm very large وبيعطيني هذا + +286 +00:24:28,000 --> 00:24:32,560 +أصغر أو شوي من إبسلون وهذه اللي سميناها Cauchy's + +287 +00:24:32,560 --> 00:24:37,470 +criterion for uniform اللي هو convergence في ال .. + +288 +00:24:37,470 --> 00:24:43,590 +اللي هو section 81 بناء عليها بطلع عندي E and اللي + +289 +00:24:43,590 --> 00:24:47,090 +هو converges uniformly to some function مش + +290 +00:24:47,090 --> 00:24:51,410 +عارفينها اللي هي .. اللي هي converges uniformly on + +291 +00:24:51,410 --> 00:24:59,770 +mean ناقص a أو a ماشي الحالة الآن عندي it + +292 +00:24:59,770 --> 00:25:02,610 +follows the sequence من ناقص a إلى a converge uniformly on + +293 +00:25:02,610 --> 00:25:07,210 +the interval ناقص a و a where a أكبر من 0 لكن a + +294 +00:25:07,210 --> 00:25:11,670 +أكبر من 0 was a شمالها arbitrarily يعني اللي وصلنا + +295 +00:25:11,670 --> 00:25:18,110 +له ما ياليا يا جماعة اللي وصلنا له أنه عندي اللي هي + +296 +00:25:18,110 --> 00:25:23,210 +الـ sequence هذه لو جيت أخدت for every a element + +297 +00:25:23,210 --> 00:25:27,130 +in R و a أكبر من صفر لو وصلنا له اللي كانت a + +298 +00:25:27,130 --> 00:25:32,130 +arbitrarily وجدنا أنه هيكون عند الـ E L converges + +299 +00:25:32,130 --> 00:25:39,550 +uniformly on ناقص a و مين و a ماشي الحال طيب بناء + +300 +00:25:39,550 --> 00:25:48,200 +عليه لو أنت جيت أخدت خد الآن let X element in R، أي + +301 +00:25:48,200 --> 00:25:53,540 +X element in R، مدام X في R، إذا أكيد الـ X عشرة، + +302 +00:25:53,540 --> 00:25:59,250 +عشرين، ثلاثين، مليون، ممكن ما تكون، بقدر ألاقي A + +303 +00:25:59,250 --> 00:26:05,890 +بحيث أن X تنتمي إلى الفترة من ناقص A لعند مين لعند + +304 +00:26:05,890 --> 00:26:11,590 +A يعني مثلا ال X لجيتها 100 باخد ال A 110 بصير + +305 +00:26:11,590 --> 00:26:17,850 +ال X بين اللي هي ناقص 110 و 100 إيش ما تيجي X بلاقي + +306 +00:26:17,850 --> 00:26:24,470 +لها A إذا there exists a such that x element in ناقص a + +307 +00:26:24,470 --> 00:26:31,410 +من ناقص a إلى a أكبر من صفر طبعا من ناقص a ومين أو a أكيد طب + +308 +00:26:31,410 --> 00:26:34,390 +ما هو احنا قد أثبتنا أنه لكل a element in R + +309 +00:26:38,870 --> 00:26:44,730 +Converge uniformly للـ a اللي لاجناها هذه On ناقص + +310 +00:26:44,730 --> 00:26:49,690 +a و a لهذه الـ a يعني بمعنى معناه مدام Converge + +311 +00:26:49,690 --> 00:26:55,030 +uniformly إلى إذا E N of X اللي هو converges point + +312 +00:26:55,030 --> 00:26:58,250 +-wise to some function عند مين؟ عند الـ X اللي + +313 +00:26:58,250 --> 00:27:03,670 +أخدتها هنا هذه إذا الآن for any X element in R + +314 +00:27:03,670 --> 00:27:11,450 +for any X element in R هنلاقي E N of X converges ما + +315 +00:27:11,450 --> 00:27:15,250 +دام ال E N of X is convergent for every X element + +316 +00:27:15,250 --> 00:27:22,230 +in R إذا صارت عندي limit ال E N of X as N goes to + +317 +00:27:22,230 --> 00:27:27,830 +infinity exists for every X element in R ما دام + +318 +00:27:27,830 --> 00:27:34,210 +exist حسب اللي قلناها إذا الآن شرعت لتعريف الدالة + +319 +00:27:34,210 --> 00:27:40,600 +التالية الآن أنا بقول إنه احنا صار عندنا اللي هو + +320 +00:27:40,600 --> 00:27:47,760 +مشروع أن نقول we define E من R إلى R by limit E N of + +321 +00:27:47,760 --> 00:27:53,940 +X اللي هي موجودة سميتها إيش اسمها E of X for X + +322 +00:27:53,940 --> 00:28:00,760 +element of R وجود اللي هو دالة اسمها E أنا سميتها E + +323 +00:28:00,760 --> 00:28:06,400 +من R إلى R بحيث أن E of X هي limit ال E N of X + +324 +00:28:06,400 --> 00:28:11,480 +اللي أثبتت وجوده بدي أثبت لك الآن أن E of X هذه هي + +325 +00:28:11,480 --> 00:28:16,120 +الدالة المبتغة اللي بتحقق الشروط اللي طلبها في + +326 +00:28:16,120 --> 00:28:21,740 +النظرية نشوف كيف طيب صلوا على النبي عليه الصلاة + +327 +00:28:21,740 --> 00:28:22,160 +والسلام + +328 +00:28:35,970 --> 00:28:39,830 +الآن عندي ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +329 +00:28:39,830 --> 00:28:39,910 +.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. + +330 +00:28:39,910 --> 00:28:39,970 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +331 +00:28:39,970 --> 00:28:40,290 +.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. + +332 +00:28:40,290 --> 00:28:42,410 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +333 +00:28:42,410 --> 00:28:42,810 +.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. + +334 +00:28:42,810 --> 00:28:44,810 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +335 +00:28:44,810 --> 00:28:49,770 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +336 +00:28:49,770 --> 00:28:51,450 +.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. + +337 +00:28:51,450 --> 00:28:51,610 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +338 +00:28:51,610 --> 00:28:52,610 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +339 +00:28:52,610 --> 00:28:55,710 +.. ال .. + +340 +00:29:00,330 --> 00:29:06,370 +converge such that x element من ناقص a إلى a كلها هذه + +341 +00:29:06,370 --> 00:29:12,330 +الـ en converged uniformly الآن لمن؟ للـ e معايا + +342 +00:29:12,330 --> 00:29:19,190 +converged uniformly للـ e for every أو on من ناقص a إلى + +343 +00:29:19,190 --> 00:29:23,010 +a لأنه سميناها إيش اللي هي ال limit بتروح لها اسمها + +344 +00:29:23,010 --> 00:29:27,670 +إيه الآن en اتفجنا إنه أثبتناها إنها إيش معها + +345 +00:29:28,810 --> 00:29:34,050 +continuous مدام continuous و en اللي هو طبعا + +346 +00:29:34,050 --> 00:29:36,330 +continuous مش بس على ناقص a و a continuous وين + +347 +00:29:36,330 --> 00:29:39,690 +مكان احنا الآن هنحكي عن ناقص a و a continuous صارت + +348 +00:29:39,690 --> 00:29:42,910 +ال en continuous sequence converts uniformly to e + +349 +00:29:42,910 --> 00:29:48,110 +على ناقص a و a إذا صارت ال e هذه حسب نظريتنا هتكون + +350 +00:29:48,110 --> 00:29:53,560 +continuous نظرية الأولى في سيكشن 8 اللي هو 2 هتكون + +351 +00:29:53,560 --> 00:29:57,800 +الـ E is continuous على ناقص a و a قولنا if E N is + +352 +00:29:57,800 --> 00:30:00,200 +a sequence of continuous functions that converge + +353 +00:30:00,200 --> 00:30:03,200 +uniformly to some function then this function or + +354 +00:30:03,200 --> 00:30:06,880 +some function is continuous on من ناقص a إلى a إذا صارت + +355 +00:30:06,880 --> 00:30:10,200 +ال E continuous على من ناقص a إلى a يعني ال E continuous + +356 +00:30:10,200 --> 00:30:14,520 +عند من؟ عند ال X و since X was arbitrary in R then + +357 +00:30:14,520 --> 00:30:21,180 +E هتكون is continuous على كل ال R إذا صارت عندي E + +358 +00:30:21,180 --> 00:30:26,560 +is continuous at any X element in R الآن لو جينا + +359 +00:30:26,560 --> 00:30:31,600 +حسبنا ال E N of 0 و E 1 of 0 و E 1 of 0 أشو + +360 +00:30:31,600 --> 00:30:39,410 +بالساوية؟ هي واحد E اللي هو N زائد واحد of Zero + +361 +00:30:39,410 --> 00:30:45,630 +اللي هو بيساوي من صفر إلى صفر هيطلع صفر وهذا واحد يعني + +362 +00:30:45,630 --> 00:30:52,470 +دايما ال E N of Zero هتطلع إيش؟ Zero مدام E N of + +363 +00:30:52,470 --> 00:31:00,670 +Zero Zero وبما أنه E is continuous إذن limit ال E N + +364 +00:31:00,670 --> 00:31:05,930 +of zero as n goes to infinity بيساوي اللي هو E of + +365 +00:31:05,930 --> 00:31:10,990 +zero أو E of X أسف E of X as n goes to infinity + +366 +00:31:10,990 --> 00:31:18,450 +بيساوى E of X وبما أنه اللي هو ال ال ال ال ال + +367 +00:31:18,450 --> 00:31:20,590 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +368 +00:31:20,590 --> 00:31:21,370 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +369 +00:31:21,370 --> 00:31:22,190 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +370 +00:31:22,190 --> 00:31:25,670 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +371 +00:31:25,670 --> 00:31:30,470 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +372 +00:31:30,470 --> 00:31:32,430 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +373 +00:31:32,430 --> 00:31:32,790 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +374 +00:31:32,790 --> 00:31:32,950 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +375 +00:31:32,950 --> 00:31:35,550 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +376 +00:31:35,550 --> 00:31:39,680 +ال أنا كنت بخلطها أنا بقول E n of 0 بيساوي 1 + +377 +00:31:39,680 --> 00:31:43,540 +limit E n of X بيساوي E of X وال E is continuous + +378 +00:31:43,540 --> 00:31:48,900 +إذا الحيكون ال E of 0 هذه هتساوي إيش؟ هيساوي 1 + +379 +00:31:48,900 --> 00:31:53,800 +لأنه limit E n of 0 point twice بيساوي E of 0 اللي + +380 +00:31:53,800 --> 00:31:58,580 +هي 0 الآن e n of zero بتساوي واحد for all n infim + +381 +00:31:58,580 --> 00:32:04,940 +therefore e of zero بتساوي واحد لأن اللي هي e + +382 +00:32:04,940 --> 00:32:11,240 +نفسها is continuous إذا حصلنا على اللي هو الجزء + +383 +00:32:11,240 --> 00:32:16,080 +الأول أذكركم في النظرية على اللي هو المطلوب أو + +384 +00:32:16,080 --> 00:32:20,770 +الخاصية الأولى الخاصية الأولى هي الخاصية الأولى هي + +385 +00:32:20,770 --> 00:32:25,430 +عندي أثبتنا .. الثاني أسف أثبتنا E اللي هي E of + +386 +00:32:25,430 --> 00:32:29,370 +Zero بالساوية واحد بدي أثبت لك الآن E prime of X + +387 +00:32:29,370 --> 00:32:34,750 +هتساوي E of X عشان أثبتها بدنا نذكركم في نظرية + +388 +00:32:34,750 --> 00:32:45,750 +أخدناها المرة الماضية اللي هي بتقول ما يلي أذكركم + +389 +00:32:45,750 --> 00:32:51,350 +يا جماعة بالنظرية اللي بستخدمها كانت أن عندي لو في + +390 +00:32:51,350 --> 00:32:56,330 +عندي fn sequence of functions و هذه fn ال + +391 +00:32:56,330 --> 00:33:00,050 +differentiable لأن fn برايم بتروح ل g uniformly + +392 +00:33:00,050 --> 00:33:08,330 +ماشي on some interval on some j وكان عندي fn of x + +393 +00:33:08,330 --> 00:33:11,050 +not converge + +394 +00:33:12,940 --> 00:33:21,240 +converges to f of x not مثلا on j اه for x not + +395 +00:33:21,240 --> 00:33:31,300 +element in j then بقول لي اللي هو ال f هذه f prime + +396 +00:33:31,300 --> 00:33:39,230 +exists و FN converts uniformly to this F أو FN + +397 +00:33:39,230 --> 00:33:46,950 +converges uniformly to this F and F' هي مين؟ هي الـ + +398 +00:33:46,950 --> 00:33:50,370 +G هذا حكيناه المرة الماضية طيب، بدأ استخدمها الآن + +399 +00:33:50,370 --> 00:33:54,510 +شوف عنده، إن شوف عنده الـ N أثبتنا أو الـ N + +400 +00:33:54,510 --> 00:33:57,110 +interval من ناقص a إلى a we have the uniform + +401 +00:33:57,110 --> 00:34:02,350 +convergence of the sequence EN اللي هو هتكون EN + +402 +00:34:04,720 --> 00:34:12,400 +converge uniformly ماشي الحال of you of me of + +403 +00:34:12,400 --> 00:34:15,900 +ثلاثة اللي هو ثلاثة اللي حكيناها قبل بشوية خليني + +404 +00:34:15,900 --> 00:34:21,540 +بس نذكركم فيها اللي هي ثلاثة هي عندي اللي هي ثلاثة + +405 +00:34:21,840 --> 00:34:25,980 +عندي الآن conversion formally to some function E + +406 +00:34:25,980 --> 00:34:30,140 +سميناها الآن بناء عليه بدلا من n زائد واحد هي + +407 +00:34:30,140 --> 00:34:34,820 +صفراً الآن إذا صارت n زائد واحد prime برضه + +408 +00:34:34,820 --> 00:34:38,140 +conversion هادي هادي أصلا conversion formally to + +409 +00:34:38,140 --> 00:34:46,280 +مين؟ to ال E اللي عندي الآن وضحت الصورة الآن صارت + +410 +00:34:46,280 --> 00:34:53,410 +الصورة واضحة الآن اللي حصلنا عليه انتبه عليا، on any + +411 +00:34:53,410 --> 00:34:56,010 +interval من ناقص a إلى a, we have the inferred + +412 +00:34:56,010 --> 00:35:01,170 +convergence of E n وفي ضوء اللي هو ثلاثة, we also + +413 +00:35:01,170 --> 00:35:04,290 +have the inferred convergence E n prime of the + +414 +00:35:04,290 --> 00:35:08,350 +derivatives الآن من ال theorem 8.2.3 اللي حكيتها + +415 +00:35:08,350 --> 00:35:13,700 +هنا، مدام F n prime converges إلى G ماشي الحال و ال + +416 +00:35:13,700 --> 00:35:17,160 +.. أو ال Fn X0 بتروح ل F of X0 for X0 اللي بتنجح + +417 +00:35:17,160 --> 00:35:21,880 +اللي هو أكثر من النقطة و أصلا على أساس عرفنا أن Fn + +418 +00:35:21,880 --> 00:35:27,420 +of X بيساوي اللي هو مين E of X بتروح لمين؟ إلى E of + +419 +00:35:27,420 --> 00:35:31,780 +X إذا أكيد هذه متحققة كمان بالنسبة لمين؟ لل E N + +420 +00:35:31,780 --> 00:35:36,760 +صارت هذه متحققة و هذه متحققة من تحقق هذه هذه يا + +421 +00:35:36,760 --> 00:35:42,140 +عزيزي التحقق هذه إذا إذا هيكون عنده الـ F N بتروح + +422 +00:35:42,140 --> 00:35:46,020 +للـ F اللي هي الـ E N بتروح للـ E ثبتناها بس + +423 +00:35:46,020 --> 00:35:51,720 +إيش المهم أنه الـ F prime لهذه اللي بتروح لها هذه + +424 +00:35:51,720 --> 00:35:57,080 +اللي هي الـ E prime هي مين اللي هي اللي بتروح لها الـ + +425 +00:35:57,080 --> 00:36:02,340 +E N الـ F الـ F N prime عند الـ E N زائد واحد prime + +426 +00:36:02,340 --> 00:36:03,260 +بتروح للـ E + +427 +00:36:06,460 --> 00:36:13,560 +إذا من نظرية إيان ستذهب إلى الـ E برضه وليس كذلك + +428 +00:36:13,560 --> 00:36:20,250 +الـ E' لهذه هي هذه يعني بمعنى آخر E N زي دول prime + +429 +00:36:20,250 --> 00:36:25,830 +prime limitها الـ E prime زي ما هي مين الـ E يعني + +430 +00:36:25,830 --> 00:36:29,950 +مدام الـ limitها هي الـ E و هي نفسها limitها من + +431 +00:36:29,950 --> 00:36:33,370 +النظرية اللي بنستنتجها E prime إذا صارت الـ E هي + +432 +00:36:33,370 --> 00:36:38,610 +مين الـ E prime أو بطريقة أخرى limit الـ E N prime + +433 +00:36:38,610 --> 00:36:43,440 +حسب النظرية بتساوي الـ E prime ومن جهة أخرى limit en + +434 +00:36:43,440 --> 00:36:50,500 +prime هو نفسه limit en نفسها و limit en اللي هي طبعا + +435 +00:36:50,500 --> 00:36:53,280 +أنا مسميها n و n نقص واحد احنا مسميينها n و n زاد + +436 +00:36:53,280 --> 00:36:57,740 +واحد طبيعي en prime هي limit من limit en نقص واحد + +437 +00:36:57,740 --> 00:37:02,620 +لحالها لأن هذه بتساوي هذه و هذه أصلاً limit احنا + +438 +00:37:02,620 --> 00:37:07,140 +أثبتنا إيش بتساوي الـ E إذا صارت عند الـ E prime هي + +439 +00:37:07,140 --> 00:37:10,720 +إيش بتساوي الـ E يعني هذه الـ E prime استنتاجا من + +440 +00:37:10,720 --> 00:37:16,260 +النظرية و هذه اللي هو من اللي أثبتنا في البداية و + +441 +00:37:16,260 --> 00:37:19,800 +أيضاً نقدر نستخدم .. لسه نتجه من النظرية لكن احنا + +442 +00:37:19,800 --> 00:37:25,540 +أثبتنا فيها قبل ما نستعمل المظلة طيب هذا الكلام + +443 +00:37:25,540 --> 00:37:30,680 +صحيح وين لكل x وين موجودة في ناقص a و a لكن a احنا + +444 +00:37:30,680 --> 00:37:35,600 +أخدناها إجمالها arbitrary يعني الآن بيصير عندي + +445 +00:37:35,600 --> 00:37:40,740 +اللي هو لكل x بلقي لواحدة زي هيك بتحقق الكلام هذا + +446 +00:37:40,740 --> 00:37:44,560 +الآن فبيصير عندي a prime of x بساوي e of x لكل x + +447 +00:37:44,560 --> 00:37:50,720 +element in R وهيك بيكون احنا أثبتنا وجود اللي هو + +448 +00:37:50,720 --> 00:37:58,390 +الـ E of X أثبتنا وجود دالة أثب��نا + +449 +00:37:58,390 --> 00:38:06,100 +وجود دالة سميناها E of X هذه الدالة بتحقق شرطين اللي + +450 +00:38:06,100 --> 00:38:11,900 +هو E prime of X بساوي E of X وبتحقق الشرط الثاني E + +451 +00:38:11,900 --> 00:38:20,680 +of 0 بساوي 1 السؤال الآن هل في غيرها؟ هل في غيرها + +452 +00:38:20,680 --> 00:38:25,860 +ولا لأ؟ طبعاً لحظة الحظ أنه لا يوجد دالة غير هذه + +453 +00:38:25,860 --> 00:38:31,140 +الدالة اللي بتحقق هذا الكلام بس قبل ما نثبت الـ + +454 +00:38:31,140 --> 00:38:35,740 +uniqueness خلّينا ناخد بعض النتائج بشكل سريع و + +455 +00:38:35,740 --> 00:38:39,900 +نتائج سهلة واللي هي إن شاء الله ما تاخدش وقتها + +456 +00:38:39,900 --> 00:38:43,040 +شوفوا يا جماعة صلوا على النبي عليه الصلاة والسلام + +457 +00:38:43,040 --> 00:38:48,080 +الـ function E has a derivative of every order and + +458 +00:38:48,080 --> 00:38:51,260 +E N of X بيساوي E of X for all N element in N و X + +459 +00:38:51,260 --> 00:38:54,480 +element in R يعني الآن لو فضلناها كمان مرة و مرتين + +460 +00:38:54,480 --> 00:38:56,980 +و تلاتة و أربعة هتطلع إيش نفس الدالة طبعا هذا + +461 +00:38:56,980 --> 00:39:00,360 +الكلام سهل و by induction زي ما أنتم عارفين أول + +462 +00:39:00,360 --> 00:39:03,120 +حاجة ما أثبتناها فور n بالساوية 1 فور n بالساوية + +463 +00:39:03,120 --> 00:39:06,480 +واحد ما احنا أثبتنا E prime of X إيش بالساوية E of X + +464 +00:39:06,480 --> 00:39:11,070 +إذا هذه is true فور n بالساوية 1 طيب لان افترض + +465 +00:39:11,070 --> 00:39:15,510 +أنها هذه صحيحة في n بيساوي K بيصير E K of X + +466 +00:39:15,510 --> 00:39:20,010 +بيساوي E of X لما ان اتبتها ل K زائد واحد طيب ل K + +467 +00:39:20,010 --> 00:39:23,870 +زائد واحد خد A K زائد واحد of X إيش هذه؟ هذه اللي + +468 +00:39:23,870 --> 00:39:30,840 +هي A K of X الكل اشمالها إبراهيم الآن a k of x + +469 +00:39:30,840 --> 00:39:33,540 +فرضناها إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه + +470 +00:39:33,540 --> 00:39:33,940 +بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية + +471 +00:39:33,940 --> 00:39:34,880 +إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه + +472 +00:39:34,880 --> 00:39:35,180 +إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه + +473 +00:39:35,180 --> 00:39:37,200 +بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية + +474 +00:39:37,200 --> 00:39:43,180 +إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه + +475 +00:39:43,180 --> 00:39:54,500 +بالساوية إيه بالساوية إيه بالسا + +476 +00:39:55,640 --> 00:40:01,620 +وضلك فاضل إلى ما لا نهاية حيظل تطلع نفس الدالة نجي + +477 +00:40:01,620 --> 00:40:07,340 +الآن لـ Corollary أو الخاصية اللي بعدها لهذه + +478 +00:40:07,340 --> 00:40:15,040 +الدالة هذه الدالة Fx أكبر من 0 بقول لك دائماً حيكون + +479 +00:40:15,040 --> 00:40:21,280 +الواحد زائد X strictly أصغر من مين من E of X من E + +480 +00:40:21,280 --> 00:40:32,910 +of X إن إن عندي اللي هي أربعة أربعة عشان تشوف إيش + +481 +00:40:32,910 --> 00:40:40,550 +أربعة الأربعة اللي هي الـ E prime of X أظن هيك كنا + +482 +00:40:40,550 --> 00:40:51,590 +حاكين الـ E الناس في الـ E of X عندي + +483 +00:40:51,590 --> 00:40:53,390 +E + +484 +00:40:55,380 --> 00:41:03,750 +أنا of X أقبى أو أصغر strictly من E N زائد واحد of + +485 +00:41:03,750 --> 00:41:09,850 +X لكل X أكبر من مين من صفر ليه؟ لأن هذه هيزيد + +486 +00:41:09,850 --> 00:41:12,630 +عليها term اللي هو X أسوان زائد واحد على N زائد + +487 +00:41:12,630 --> 00:41:15,630 +واحد فكتوريا وهذا ال term الاكساتي اللي أكبر من + +488 +00:41:15,630 --> 00:41:19,810 +صفر أشماله اللي هو مودة إذا صارت الـ sequence اللي + +489 +00:41:19,810 --> 00:41:25,010 +عندي يا جماعة هذه عبارة عن strictly increasing + +490 +00:41:25,680 --> 00:41:29,120 +sequence strictly increasing sequence بناءً عليه + +491 +00:41:29,120 --> 00:41:36,240 +هيكون عند E1 of X أصغر strictly من E2 of X وهذا + +492 +00:41:36,240 --> 00:41:42,020 +أصغر strictly من E N of X لكل N أكبر أو يساوي + +493 +00:41:42,020 --> 00:41:51,440 +تلاتة والـ X أشمالها أكبر من سفر ماشي الحال طيب E1 + +494 +00:41:51,440 --> 00:42:02,170 +of X مين هي؟ واحد زاد X وهذا أصغر من E2 of X وهذا + +495 +00:42:02,170 --> 00:42:08,170 +أصغر من E N of X إذا ناخد الـ limit لكل الجهات as N + +496 +00:42:08,170 --> 00:42:10,670 +goes to infinity وهذا independent of N وهذا + +497 +00:42:10,670 --> 00:42:15,590 +independent of N إذا سيصبح أصغر أو يساوي limit E N + +498 +00:42:15,590 --> 00:42:20,430 +of X as N goes to infinity و limit E n of X as n + +499 +00:42:20,430 --> 00:42:25,350 +goes to infinity هو عبارة عن مين قلنا عنه E of X + +500 +00:42:25,350 --> 00:42:31,350 +إذا صارت 1 زائد X strictly أصغر من E of X أو E of + +501 +00:42:31,350 --> 00:42:39,850 +X أكبر strictly من 1 زائد X طيب نيجي اللي هو نثبت + +502 +00:42:39,850 --> 00:42:45,310 +الـ uniqueness للدالة اللي أثبتنا وجودها الآن إذا + +503 +00:42:45,310 --> 00:42:51,290 +أثبتنا وجود دالة سميناها E of X هذه الدالة تحقق + +504 +00:42:51,290 --> 00:43:01,390 +الشرطين اللي قلناهن اللي هو E of E primeof X بساوي + +505 +00:43:01,390 --> 00:43:07,430 +E of X لكل X element in R الشرط الأول والشرط + +506 +00:43:07,430 --> 00:43:14,350 +الثاني اللي هو E of Zero بتساوي إيش واحد الآن هذه + +507 +00:43:14,350 --> 00:43:17,390 +الشرط ده اللي أكبرنا وجودها لنتبت إنها إيش وحيدة + +508 +00:43:17,700 --> 00:43:22,860 +الآن الـ function E من R لـ R that satisfies I and + +509 +00:43:22,860 --> 00:43:29,200 +I I هكذا of theorem 8.3.1 is unique إذا ما لها هذه + +510 +00:43:29,200 --> 00:43:32,940 +الدالة وحيدة ونشوف كيف نثبت وحيدة طبعا أنتم + +511 +00:43:32,940 --> 00:43:36,140 +عارفين الـ .. الاستراتيجية تثبت إنها وحيدة ونفترض + +512 +00:43:36,140 --> 00:43:39,340 +إن في دالتين وفي الآخر يا بنسأل لتناقض أو بنسأل + +513 +00:43:39,340 --> 00:43:43,260 +لإن الدالتين أشمالهم متساويتين خلينا نشوف + +514 +00:43:47,010 --> 00:43:52,110 +لأن let E1 and E2 be two functions on R ماشي الحال + +515 +00:43:52,110 --> 00:43:59,470 +E1 و E2 عبارة عن دالتين من R ل R تحقيقان البرو بارتز + +516 +00:43:59,470 --> 00:44:03,010 +I and I I of T والمتمنى هو تلاتة واحد اللي كتبه إن + +517 +00:44:03,010 --> 00:44:08,700 +أنا على الجنب هناك الآن وخلّينا نسمي E1 - E2 يتساوي + +518 +00:44:08,700 --> 00:44:14,840 +F رايحكم باتجاهة F يتساوي 0 إذا أثبتنا F يتساوي 0 + +519 +00:44:14,840 --> 00:44:21,630 +إذا سيصبح E1 يتساوي E2 يكون خلصنا طيب then فضلي هذه + +520 +00:44:21,630 --> 00:44:24,510 +.. فضلي هذه لأن هذا قبل التفاضل وهذا قبل التفاضل + +521 +00:44:24,510 --> 00:44:27,350 +إذا F prime of X بيساوي E1 prime of X ناقص E2 + +522 +00:44:27,350 --> 00:44:32,230 +prime of X E1 prime of X إيش هتساوي اللي هو نفسها + +523 +00:44:32,230 --> 00:44:35,730 +لأن مفترضين احنا و E2 prime of X برضه هتساوي نفسها + +524 +00:44:35,730 --> 00:44:39,770 +إذا E1 ناقص E2 يعني مين بيساوي F يعني صارت F prime + +525 +00:44:39,770 --> 00:44:44,610 +تبعتنا مين هي بيساوي F of X لكل X element المين + +526 +00:44:44,610 --> 00:44:50,090 +إنا احسب اللي دي إيش يا جماعة احسب لولي F في صفر أف + +527 +00:44:50,090 --> 00:44:53,350 +اف صفر بيساوي ا واحد اف صفر ناقص اتنين اف صفر ا + +528 +00:44:53,350 --> 00:44:56,710 +واحد اف صفر واحد و اتنين اف صفر برضه إيش بتساوي + +529 +00:44:56,710 --> 00:44:59,510 +واحد لأن مفترضين ا واحد و اتنين بتحقق اللي هي + +530 +00:44:59,510 --> 00:45:02,970 +الشرط الامامنا إذا بيساوي واحد ناقص واحد و أي ساوي + +531 +00:45:02,970 --> 00:45:04,350 +إيش صفر + +532 +00:45:07,320 --> 00:45:13,380 +by induction f double prime هتساوي f نفسها f + +533 +00:45:13,380 --> 00:45:18,060 +triple بتساوي f نفسها fn of x بيساوي f of x وعملت + +534 +00:45:18,060 --> 00:45:21,920 +قبل بشوية واحدة زيها إذا by induction fn of x + +535 +00:45:21,920 --> 00:45:28,280 +بيساوي f of x لكل x element in R إذا حققت الآن f + +536 +00:45:28,280 --> 00:45:34,500 +of 0 بيساوي 0 و fn of x بيساوي مين؟ f of x شوف + +537 +00:45:34,500 --> 00:45:42,870 +الآن إذا صار عندي F of Zero بساوي Zero أو F + +538 +00:46:10,090 --> 00:46:17,830 +بساوة 0 طب إيش علاقتنا أبوها الجيت بتشوف عشان بدنا + +539 +00:46:17,830 --> 00:46:20,690 +نطبق اللي هو taylor's theorem تبعت ال derivative + +540 +00:46:20,690 --> 00:46:25,930 +نص اللي اللي بدنا يعني برهان حلو let x element in + +541 +00:46:25,930 --> 00:46:29,550 +R be arbitrary أخدنا إذا x element in R arbitrary + +542 +00:46:29,550 --> 00:46:33,810 +x اللي يعني let I x be the closed interval with + +543 +00:46:33,810 --> 00:46:40,760 +end point 0 x يعني I x هناخدها بتساوي 0 و X أو اللي + +544 +00:46:40,760 --> 00:46:47,080 +هي X و 0 على .. على اللي هو اللي هي حسب X اللي هي + +545 +00:46:47,080 --> 00:46:51,980 +سالبة أو موجبة إذا أخدنا ال I X عبارة عن اللي هي ال + +546 +00:46:51,980 --> 00:46:56,600 +closed interval اللي within point 0 X الآن F is + +547 +00:46:56,600 --> 00:47:01,020 +continuous on I X على الـ closed interval مدام + +548 +00:47:01,020 --> 00:47:03,320 +continuous على closed interval and function that + +549 +00:47:03,320 --> 00:47:06,460 +is continuous على closed interval then it is + +550 +00:47:06,460 --> 00:47:09,200 +bounded on this interval يعني بمعنى آخر there + +551 +00:47:09,200 --> 00:47:12,880 +exist k بحيث أن absolute value of f of t أصغر أو + +552 +00:47:12,880 --> 00:47:17,960 +يساوي k for all t element in I X يعني f is bounded + +553 +00:47:17,960 --> 00:47:23,580 +on this interval الآن بدنا نطبق if we apply + +554 +00:47:23,580 --> 00:47:27,540 +taylor's theorem 6 4 1 to F بدنا نطبقها على + +555 +00:47:27,540 --> 00:47:31,800 +النقطتين النقطة الأولى اللي هي ال X X و X naught 0 + +556 +00:47:31,800 --> 00:47:35,640 +يعني بنطبقها على مين اللي هي X X اللي هي طبعاً + +557 +00:47:35,640 --> 00:47:41,370 +أنتم متذكرين F of X أف of X تيلر سيوريم there + +558 +00:47:41,370 --> 00:47:46,370 +exists C in اللي هي ال interval مثلاً X not و X + +559 +00:47:46,370 --> 00:47:52,690 +such that F of X بيساوي اللي هو F of X not زائد F + +560 +00:47:52,690 --> 00:47:58,490 +prime of X not على واحد factorial في X minus X not + +561 +00:47:58,490 --> 00:48:05,910 +زائد زائد Fn of x0 على n factorial في x minus x0 + +562 +00:48:05,910 --> 00:48:11,610 +الكلوس n زائد ال remainder اللي هو fn زائد واحد of + +563 +00:48:11,610 --> 00:48:15,730 +اللي هي ال c اللي لاجيناها there exists c اللي هي + +564 +00:48:15,730 --> 00:48:19,170 +of c طبعا ال c هنا هتعتمد على ال n اللي احنا + +565 +00:48:19,170 --> 00:48:24,850 +اختارناها واشتغلنا عليها هو مسميها cn على اللي هو + +566 +00:48:24,850 --> 00:48:28,670 +n زائد واحد factorial في x + +567 +00:48:33,180 --> 00:48:37,920 +الـ N هو + +568 +00:48:37,920 --> 00:48:42,580 +ما أخذها لعند مين بدل ما هو remainder N زائد واحد + +569 +00:48:42,580 --> 00:48:45,880 +نسميه remainder N نفس الشيء ما في مشكلة احنا + +570 +00:48:45,880 --> 00:48:51,880 +كملناها يعني بدل ما اشتغل على N زي ما اشتغل على N + +571 +00:48:51,880 --> 00:48:54,460 +زائد واحد اشتغل على ال N هو أما هي ال Taylor's + +572 +00:48:54,460 --> 00:48:59,460 +theorem طيب المهم انتبهوا عن ديلنبن Taylor's + +573 +00:48:59,460 --> 00:49:03,580 +theorem على ال interval Ix اللي X0 بيساوي 0 + +574 +00:49:03,580 --> 00:49:08,040 +وخلينا نستخدم Fk of 0 اللي كتبتها هناك اللي هو + +575 +00:49:08,040 --> 00:49:12,020 +هتساوي Fk of 0 هتساوي 0 دائماً اللي هو و لكل k + +576 +00:49:12,020 --> 00:49:15,740 +element n it follows that for each n unlimited on + +577 +00:49:15,740 --> 00:49:20,000 +there exist a point cn unlimited on x هذه اللي هي + +578 +00:49:20,000 --> 00:49:23,920 +ال cn بتعتمد على مين على n يعني الأن لو أخدت ببدل + +579 +00:49:23,920 --> 00:49:28,860 +اللي هنا على اللي هي on بتساوي مثلاً اتنين أخد on + +580 +00:49:28,860 --> 00:49:31,660 +بتساوي ثلاثة أخد بتساوي on بتساوي أربعة ده هتختلف + +581 +00:49:31,660 --> 00:49:35,740 +من ال cn اللي بنلاقيها such that f of x بيساوي f + +582 +00:49:35,740 --> 00:49:39,420 +of zero زائد f prime of zero على واحد factorial في + +583 +00:49:39,420 --> 00:49:44,390 +x طبعاً ناقص صفر X هتظلها زائد FN ناقص واحد لأن ناقص + +584 +00:49:44,390 --> 00:49:47,630 +واحد factorial في X minus X note اللي هي صفر طبعاً + +585 +00:49:47,630 --> 00:49:52,830 +هتصير X ناقص واحد زائد FN of CN على N factorial X + +586 +00:49:52,830 --> 00:49:56,530 +اثنين يعني هنا نأخذ ال remainder اللي هو RN مش RN + +587 +00:49:56,530 --> 00:50:01,410 +زائد واحد زي ما نعمله طبعاً ما تفرجش بتزيده وبتشتغل + +588 +00:50:01,410 --> 00:50:04,910 +عليه نفس الشيء الآن بس ال cn اللي بتختلف من n زائد + +589 +00:50:04,910 --> 00:50:07,650 +واحد بصير cn زائد واحد مثلاً لأنه حاجة ثانية ممكن + +590 +00:50:07,650 --> 00:50:11,290 +تيجي غير ال cn اللي لاجيناها حسب النظرية ويساوي + +591 +00:50:11,290 --> 00:50:16,350 +لأن كل هدول التاريج زي شمال هي الصفار لإنه fk of + +592 +00:50:16,350 --> 00:50:21,290 +00 إذا هذا صفر وهذا صفر طبعا هذا عند مين محسب عند + +593 +00:50:21,290 --> 00:50:25,800 +الصفر وهذا عند الصفر إلى آخره إذا كل هذول هيكون + +594 +00:50:25,800 --> 00:50:30,700 +الصفار هيظل عندي بس القيمة هذه ايش القيمة هذه اللي + +595 +00:50:30,700 --> 00:50:35,320 +هي fn of cn طبيعي هتكون f of min of cn لأنه احنا + +596 +00:50:35,320 --> 00:50:41,070 +عرفنا أنه ال derivative f prime أف دابل برايم أف + +597 +00:50:41,070 --> 00:50:45,710 +تريبل كل نياش بيساوي الأف إذا حيكون أف of CN على N + +598 +00:50:45,710 --> 00:50:50,710 +فيكتوريال في X أس N إذا وصلنا له الآن أنه بعد ما + +599 +00:50:50,710 --> 00:50:57,170 +طبقنا Taylor's theorem طلع عندي الآن F of X هذه + +600 +00:50:57,170 --> 00:51:04,710 +اللي بنصبه إلى أن نثبتها بتساوي صفر طلعت عندي F of + +601 +00:51:04,710 --> 00:51:10,230 +X بيساوي F of CN على N فيكتوريال في X أس N الآن خذ + +602 +00:51:10,230 --> 00:51:14,510 +لل absolute value لها absolute value لل F of X + +603 +00:51:14,510 --> 00:51:20,090 +هيصير أصغر أو يساوي ال absolute value أو بيساوي + +604 +00:51:20,090 --> 00:51:26,870 +بالضبط absolute value F of C N فال absolute value + +605 +00:51:27,400 --> 00:51:33,440 +للـ X أس N على N فكتوريال، مظبوط؟ لكن F of C N + +606 +00:51:33,440 --> 00:51:37,200 +هذه is .. الـ F is bounded على الفترة اللي لجيناها + +607 +00:51:37,200 --> 00:51:40,180 +اللي هي الفترة اليمين اللي قلت عنها اللي هي الـ I + +608 +00:51:40,180 --> 00:51:44,380 +X مدان bounded قلنا هذه أصغر أو يساوي الـ K إذا + +609 +00:51:44,380 --> 00:51:47,380 +هذه بيصير أصغر أو يساوي الـ K في ال absolute value + +610 +00:51:47,380 --> 00:51:52,750 +X أس N على N فكتوريال نيجي الآن هذه as n goes to + +611 +00:51:52,750 --> 00:51:56,770 +infinity هذه independent of n هذه أكبره يساوي صفر + +612 +00:51:56,770 --> 00:51:59,430 +و أصغره يساوي هذه as n goes to infinity هذه بتروح + +613 +00:51:59,430 --> 00:52:05,590 +للصفر إذا هذه بتروح شمالها بدها تصير f of x تساوي + +614 +00:52:05,590 --> 00:52:11,230 +الصفر ومنه ال E1 بتساوي ال E2 لأن f بتساوي E1 ناقص + +615 +00:52:11,230 --> 00:52:17,350 +E إثنين وهو المطلوب وهذا الكلام صحيح لكل X element + +616 +00:52:17,350 --> 00:52:25,050 +in R لأن X اللي أخذناها arbitrary element in R هيك + +617 +00:52:25,050 --> 00:52:31,990 +بنكون أثبتنا وجود ال E واحد ال E التي تحقق الشرطين + +618 +00:52:31,990 --> 00:52:38,590 +اللي عندنا وفي نفس الوقت أثبتنا أن هذه الدالة اللي + +619 +00:52:38,590 --> 00:52:46,680 +بتحقق الشرطين هي دالة وحيدة مدام الدالة واحدة إذن + +620 +00:52:46,680 --> 00:52:53,280 +الآن يعني شرّعنا إنه نعطيها اسم إنه نقدر نعرف + +621 +00:52:53,280 --> 00:52:59,200 +الدالة اللي بتحقق هذول الشرطين إنها اسمها كذا the + +622 +00:52:59,200 --> 00:53:02,660 +unique definition ثمانية ثلاثة خمسة the unique + +623 +00:53:02,660 --> 00:53:06,140 +function E من R لR such that E prime of X بساوي E + +624 +00:53:06,140 --> 00:53:10,120 +of X for all X elements in R وتحقق ال E زيرو + +625 +00:53:10,120 --> 00:53:15,190 +بساوي واحد موجودة ووحيدة إذا بحق اللي أقول is + +626 +00:53:15,190 --> 00:53:18,450 +called the exponential function وهي الـ + +627 +00:53:18,450 --> 00:53:22,350 +exponential اللي أنتو مبسوطين عليها وبتستخدموها + +628 +00:53:22,350 --> 00:53:27,530 +أثبتنا الآن من خلال اللي هو اللي هي الترتيب اللي + +629 +00:53:27,530 --> 00:53:31,690 +رتبناه في المادة differentiability integrability و + +630 +00:53:31,690 --> 00:53:36,350 +بعدين اللي هو sequences of functions وصلنا إلى + +631 +00:53:36,350 --> 00:53:41,190 +اللي هو ال exponential هذه function exists التي + +632 +00:53:41,190 --> 00:53:43,850 +سميناها الـ Exponential Function + +633 +00:53:48,710 --> 00:53:53,850 +بدنا نسمي الـ E of واحد قيمة الدالة القيمة الدالة + +634 +00:53:53,850 --> 00:53:58,650 +الـ E هذه عند الواحد بدنا نسميها E E و هذا اللي + +635 +00:53:58,650 --> 00:54:04,410 +بنسميه Ehlers number و احنا يعني بعد هيك هيصير + +636 +00:54:04,410 --> 00:54:09,410 +عندي اللي هو الرمز E of X إن هو ال exponential X + +637 +00:54:09,410 --> 00:54:15,710 +أو أسهلنا في الاستخدام ال E of X ايش هتساوي الـ E X + +638 +00:54:15,710 --> 00:54:21,530 +هذا الـ E واحد قيمة الدالة عند مين عند اللي هو + +639 +00:54:21,530 --> 00:54:26,750 +الرقم واحد سمناها E ماشي الحالة الآن E of X + +640 +00:54:26,750 --> 00:54:32,610 +بساوي E to the X هذه عبارة عن اللي هي الدالة E + +641 +00:54:32,610 --> 00:54:37,550 +of X بساوي X notation لها لكن بعد شوية هنلاقي ال + +642 +00:54:37,550 --> 00:54:42,310 +notation consistent of اللي هو مع مين مع اللي هو + +643 +00:54:42,310 --> 00:54:47,480 +ال exponent يعني هيصير الـ E to the exponent X هو + +644 +00:54:47,480 --> 00:54:51,960 +عبارة عن بالضبط اللي هو قيمة الـ E of X لأن الـ E + +645 +00:54:51,960 --> 00:54:54,620 +of X بيساوي E to the X و ال E of واحد بيساوي E + +646 +00:54:54,620 --> 00:54:59,440 +واحد بيصير عندي E لما أرفعها للقوة X يطلع قيمتها + +647 +00:54:59,440 --> 00:55:05,840 +هي عبارة عن اللي هي قيمة دل E of X حسب اللي احنا + +648 +00:55:05,840 --> 00:55:11,550 +معرفينه هنا يعني من الإحسابات ومن تعريفنا للدالة + +649 +00:55:11,550 --> 00:55:23,070 +هيكون فيه consistent it is consistent في الحالتين + +650 +00:55:23,070 --> 00:55:28,990 +طيب نيجي الآن لما الكلام هذا ال number E can be + +651 +00:55:28,990 --> 00:55:32,570 +obtained as a limit and thereby approximated in + +652 +00:55:32,570 --> 00:55:36,410 +several different ways طبعا احنا مادام عنده اللي + +653 +00:55:36,410 --> 00:55:42,990 +هو عبارة عن limit لل E N of X اللي هي بتطلع عندي + +654 +00:55:42,990 --> 00:55:47,450 +limit عند ال .. ال .. ال .. ال end of واحد لأنها + +655 +00:55:47,450 --> 00:55:52,130 +continuous بصير عندي مدام limit إذا بصير أقدر أقرب + +656 +00:55:52,130 --> 00:55:56,490 +هذه القيمة اللي هي و نحصل على قيمة تقريبية بال E و + +657 +00:55:56,490 --> 00:56:00,010 +هذا مش شغلنا شغل تبعين اللي هو numerical analysis + +658 +00:56:00,010 --> 00:56:05,530 +أو الناس اللي بدأت .. اللي هي تشتغل في التقريب أو + +659 +00:56:05,530 --> 00:56:09,270 +مش شغل نهاني يعني بصدي إلى أن الـ use of notation E + +660 +00:56:09,270 --> 00:56:15,050 +و X of E X زي ما قلنا كله تمام تمام consistent إلى + +661 +00:56:15,050 --> 00:56:19,910 +أن يجي اللي هو لبعض الخواص الأخرى لهذه اللي هي + +662 +00:56:19,910 --> 00:56:24,130 +الدالة إلى أن الـ exponential function satisfies + +663 +00:56:24,130 --> 00:56:26,150 +the following properties + +664 +00:56:32,620 --> 00:56:35,960 +أول حاجة أن الـ E of X لا تساوي صفر لكل X element + +665 +00:56:35,960 --> 00:56:40,140 +in R هي أول حاجة أن هذه الدالة دائماً لا تساوي صفر + +666 +00:56:40,140 --> 00:56:45,980 +طبعا شغالة على R E of X زي Y بساوي E of X في E of Y + +667 +00:56:45,980 --> 00:56:50,880 +for all X element .. Y element in R الآن E of R + +668 +00:56:50,880 --> 00:56:56,080 +هنا اللي هي E of R قيمة الـ function هذه هتطلع لنا + +669 +00:56:56,080 --> 00:57:00,260 +بالضبط هي عبارة عن الـ E اللي قلنا عنها الرقم اللي + +670 +00:57:00,260 --> 00:57:06,000 +قبل و شوية لما نرفع للقوة R فبصير الآن consistency + +671 +00:57:06,000 --> 00:57:11,440 +between the definition of the exponential and the + +672 +00:57:11,440 --> 00:57:15,700 +exponent of E to the power R بس هذي الـ R ايش اللي + +673 +00:57:15,700 --> 00:57:21,880 +من الين؟ NQ لأن ماشي الحالة ده نشوف نبرهن اللي هو + +674 +00:57:21,880 --> 00:57:27,390 +الأولى by contradiction بدي أفترض إنه في عندي E of + +675 +00:57:27,390 --> 00:57:31,930 +α for some α element in R والـ E of α ايش تساوي + +676 +00:57:31,930 --> 00:57:35,870 +تساوي صفر ونوصل لcontradiction لان suppose that + +677 +00:57:35,870 --> 00:57:39,550 +there exists α element in R such that E of α ايش + +678 +00:57:39,550 --> 00:57:44,750 +بساوي بساوي صفر الآن and let G α be the closed + +679 +00:57:44,750 --> 00:57:49,710 +interval with endpoints mean α و 0 يعني الـ G of α + +680 +00:57:49,710 --> 00:57:54,230 +زي اللي فوق يا بساوي اللي هو 0 ألفة أو ألف و زيرو + +681 +00:57:54,230 --> 00:57:59,440 +حسب قيمة الألف موجبة أو سالبة طيب الآن زي ما قلت + +682 +00:57:59,440 --> 00:58:02,480 +قبل بشوية بما أن E is continuous on a closed + +683 +00:58:02,480 --> 00:58:07,700 +interval Iα او Jα اللي هو مسميها then there exist + +684 +00:58:07,700 --> 00:58:10,280 +case such that اللي هو ال absolute value E of D + +685 +00:58:10,280 --> 00:58:16,030 +صفر بساوي K لكل T element in G الآن مشابه للي قبل دي + +686 +00:58:16,030 --> 00:58:19,930 +ربالكم الآن بدنا نستخدم mean taylor theorem اللي + +687 +00:58:19,930 --> 00:58:24,890 +هو على اللي هي ال function اللي عندي هذه اللي هو + +688 +00:58:24,890 --> 00:58:29,310 +بس في مين الآن في ال end points ألف ومين ألف وصفر + +689 +00:58:29,310 --> 00:58:32,610 +إذا there exist cn element in dn such that مسرع + +690 +00:58:32,610 --> 00:58:35,950 +لأنه قاعد بعيد نفس البرهان اللي قبله شوية such + +691 +00:58:35,950 --> 00:58:42,200 +that اللي هو E of صفربطبق عند e of 0 بساوي e of + +692 +00:58:42,200 --> 00:58:44,340 +alpha زائد e prime of alpha على واحد factorial في + +693 +00:58:44,340 --> 00:58:47,280 +ناقص alpha اللي هي zero ناقص alpha زائد e n ناقص + +694 +00:58:47,280 --> 00:58:50,780 +واحد على ناقص واحد factorial alpha ناقص alpha أس + +695 +00:58:50,780 --> 00:58:54,160 +n ناقص واحد لما أصل لعند ال remainder e n of alpha + +696 +00:58:54,160 --> 00:59:00,060 +على n factorial في ناقص alpha أس n الآن أخذ هذه + +697 +00:59:00,060 --> 00:59:05,770 +مش e alpha هذه الـCn هذه الـ C أنا مخربط بصراحة الله + +698 +00:59:05,770 --> 00:59:11,430 +ماشي الحالة الآن E of Zero طبيعي ايش يساوي واحد + +699 +00:59:11,430 --> 00:59:14,510 +ما احنا عارفين إن خلاص عرضناها الدالة هذه E of Zero + +700 +00:59:14,510 --> 00:59:17,630 +بتساوي واحد تساوي واحد يساوي E of Zero ويساوي + +701 +00:59:20,060 --> 00:59:23,400 +الآن E of Alpha فرضناها إيش بالساوية صفر هيك + +702 +00:59:23,400 --> 00:59:28,280 +مفترضينها E prime of Alpha اللي هي نفس E of Alpha + +703 +00:59:28,280 --> 00:59:32,880 +إذا صفر برضه وهذا نفس الشيء إذا كلنا دول صفر مع + +704 +00:59:32,880 --> 00:59:36,100 +الحدين الأخيرة إذا هتساوي E of Cn على N factorial + +705 +00:59:36,100 --> 00:59:42,340 +ناقص Alpha أس N وزي ما قلنا إنه احنا الآن هذا + +706 +00:59:42,340 --> 00:59:48,390 +المقدار عندي صار .. نوضح لكم هذه نشوف كيف نصل لـ + +707 +00:59:48,390 --> 00:59:53,770 +contradiction هالحد صار عند مايا ليه يا جماعة + +708 +00:59:53,770 --> 00:59:57,190 +صارت عند الواحد هذه اللي بيساوي E to the zero + +709 +00:59:57,190 --> 01:00:03,630 +بيساوي E to the zero اللي هي أصغر أو يساوي ال + +710 +01:00:03,630 --> 01:00:07,510 +absolute value لهذه بيساويها بعد إنه أصغر أو يساوي + +711 +01:00:07,510 --> 01:00:14,420 +بيساوي ال absolute value E of CL على N factorial في + +712 +01:00:14,420 --> 01:00:22,320 +absolute value ناقص Alpha أُس N وهذه زي ما قلنا E + +713 +01:00:22,320 --> 01:00:25,880 +of C N إيش ما اللي قلنا قبل بشوية هذه أصغر أو يساوي و + +714 +01:00:25,880 --> 01:00:32,960 +ساوي K إذا K على N factorial في ناقص Alpha أُس N + +715 +01:00:32,960 --> 01:00:38,710 +ماشي الآن هذا المقدار as n goes to infinity بيروح + +716 +01:00:38,710 --> 01:00:42,910 +لـ0 هذا independent of n وهذا independent of n + +717 +01:00:42,910 --> 01:00:48,650 +صار عندي الآن هذا الآن هي الواحد أصغر أو يساوي + +718 +01:00:48,650 --> 01:00:53,390 +اللي هو هذا المقدار خد ال limit as n goes to + +719 +01:00:53,390 --> 01:00:57,430 +infinity بيصير الواحد أصغر أو يساوي صفر وهذا إيش + +720 +01:00:57,430 --> 01:01:03,250 +ماله contradiction إذا صار في عندي الفرضية الأولى + +721 +01:01:03,250 --> 01:01:07,770 +خاطئة إذا there is no such Alpha اللي هو بت��ون + +722 +01:01:07,770 --> 01:01:10,530 +عندها ال K of Alpha بتساوي صفر إذا ال K of Alpha + +723 +01:01:10,530 --> 01:01:16,090 +بتساوي أكبر لا تساوي صفر دائما إذا صار عندي اللي + +724 +01:01:16,090 --> 01:01:22,150 +هو قيمة اللي هي E to the X لا تساوي صفر أبدا نيجي + +725 +01:01:22,150 --> 01:01:29,110 +الآن إن بدنا نثبت أنه نثبت الخاصية اللي بعدها اللي + +726 +01:01:29,110 --> 01:01:38,430 +هي عبارة عن E of X زائد Y بساوي E of X في E of Y + +727 +01:01:38,430 --> 01:01:42,670 +لكل X و Y element in R هذه الخاصية اللي بدنا + +728 +01:01:42,670 --> 01:01:48,410 +نثبتها شوف طريقته حلوة في الإثبات بيقول ليه نفترض + +729 +01:01:48,410 --> 01:01:53,030 +Y fixed arbitrary لكن ليهاش fixed بنحكي عن Y محددة + +730 +01:01:53,030 --> 01:01:59,760 +arbitrary لكن نحكي عن Y محددة الآن مادام Y اللي هي + +731 +01:01:59,760 --> 01:02:05,240 +ال E of Y أكيد يشملها لا تساوي صفر اتفقنا عليها + +732 +01:02:05,240 --> 01:02:11,520 +الآن عرف لي الآن function G من R لR عرفها كيف؟ G of + +733 +01:02:11,520 --> 01:02:15,720 +X المتغير X الآن Y اللي هي عبارة عن شيء Fix ثابت + +734 +01:02:15,720 --> 01:02:19,080 +بنحكي عنه لكن كان arbitrary اللي هي G of X بيساوي E + +735 +01:02:19,080 --> 01:02:24,420 +of X زائد Y على E of Y for X element in R أخذنا + +736 +01:02:24,420 --> 01:02:30,060 +هذه الدالة الآن شوف هذه الدالة اعمل G prime لها G + +737 +01:02:30,060 --> 01:02:33,920 +prime of X بالفضل بالنسبة لي XY ثابتة اللي هي بيصير + +738 +01:02:33,920 --> 01:02:38,280 +هذه E prime of X زائد Y على E of Y عدد ما لاش + +739 +01:02:38,280 --> 01:02:43,080 +علاقة فيه Y ساوي الـ E' هي نفس مين؟ الـ E of X زي Y + +740 +01:02:43,080 --> 01:02:48,720 +على E of Y ماشي؟ طيب، الآن صار هذا الـ E X زي Y + +741 +01:02:48,720 --> 01:02:53,280 +على E of Y هو مين؟ رجع G إذا رجعت إن الـ G' مش + +742 +01:02:53,280 --> 01:03:01,770 +بيساوي الـ G الآن and احسب لي g of 0 بساوي e of 0 + +743 +01:03:01,770 --> 01:03:06,070 +زائد y على e of y يعني بساوي واحد إذا الدالة + +744 +01:03:06,070 --> 01:03:11,050 +اللي عرفناها هذه g of x طلعت لي g prime لها نفسها + +745 +01:03:11,050 --> 01:03:15,310 +وطلعت لي g of 0 واحد وعلمنا قبل قليل عمال بيقول + +746 +01:03:15,310 --> 01:03:18,610 +ما فيش غير واحد في الدنيا بتهبها الخاصيتين اللي + +747 +01:03:18,610 --> 01:03:23,190 +هي مين ال E of X إذا هذه غصب عننا لازم تطلع مين ال + +748 +01:03:23,190 --> 01:03:27,080 +E of X because of the uniqueness of E إذا صحيح أنا + +749 +01:03:27,080 --> 01:03:31,000 +عندي E of X بساوي E X زائد Y على E of Y يعني E X زائد + +750 +01:03:31,000 --> 01:03:37,940 +Y بساوي E of Y في ال E of X وهو المطلوب طيب نيجي + +751 +01:03:37,940 --> 01:03:46,800 +الآن نثبت اللي بعدها اللي هي بدنا نثبت E of R + +752 +01:03:46,800 --> 01:03:54,870 +بساوي E to the R R المنتنين LQ اللي هو rational + +753 +01:03:54,870 --> 01:04:00,870 +number طيب جماعة فيكم تصلوا على النبي عليه الصلاة + +754 +01:04:00,870 --> 01:04:09,370 +والسلام لنشوف كيف نيجي + +755 +01:04:09,370 --> 01:04:14,690 +للبرهان اللي هو الجزء الثالث أو هذا جزء من النظرية + +756 +01:04:14,690 --> 01:04:18,830 +أول + +757 +01:04:18,830 --> 01:04:24,560 +حاجة هذه صحيحة لكل أنهي المتناوبة كيف؟ by induction + +758 +01:04:24,560 --> 01:04:53,330 +E of X بساوي E of X أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد + +759 +01:04:53,330 --> 01:04:56,270 +أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد + +760 +01:04:56,270 --> 01:04:56,330 +أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد + +761 +01:04:56,330 --> 01:04:57,110 +أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد + +762 +01:04:57,110 --> 01:05:00,170 +أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد + +763 +01:05:00,170 --> 01:05:02,740 +أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكE + +764 +01:05:02,740 --> 01:05:08,660 +of K في X زائد X ويساوي من الخاصية اللي احنا لسه + +765 +01:05:08,660 --> 01:05:12,880 +ما خلصناهاش هذه بساوي E للأول زائد في E للتاني اللي + +766 +01:05:12,880 --> 01:05:17,960 +هي E للأول اللي هو KX في E للتاني اللي هي EX + +767 +01:05:17,960 --> 01:05:22,780 +ويساوي EKX اللي هو E of X أُس K لأنه فرضنا أنا + +768 +01:05:22,780 --> 01:05:31,260 +صحيحة اللي هي K بيصير عندي E of X أُس K في E of X و + +769 +01:05:31,260 --> 01:05:39,800 +يساوي E of X الكل أُس K زائد واحد إذا صارت + +770 +01:05:39,800 --> 01:05:49,580 +هذه is true for all N element in N طيب .. الآن شوف + +771 +01:05:49,580 --> 01:05:53,920 +ما يليه نلاحظ ما يليه + +772 +01:06:02,460 --> 01:06:06,080 +Let x بتساوي إيش؟ واحد على N ناخذ الـ x إيش + +773 +01:06:06,080 --> 01:06:10,540 +بتساوي واحد على N؟ بتصير هذا E of واحد لأن N في + +774 +01:06:10,540 --> 01:06:13,840 +واحد على N واحد ال E of واحد رمزناها من رمز إيش + +775 +01:06:13,840 --> 01:06:17,940 +يا جماعة؟ E وهذا اللي بدأ أصله هذا رمزناها من رمز + +776 +01:06:17,940 --> 01:06:22,420 +E وال E عبارة عن رقم ال E of واحد هي قيمة الدالة + +777 +01:06:22,420 --> 01:06:28,100 +اللي تبعتنا عند اللي هي الواحد سميناها E الآن E of N + +778 +01:06:28,100 --> 01:06:33,380 +في 1 على N تساوي اللي هي عبارة عن ال X هذه اللي هي + +779 +01:06:33,380 --> 01:06:40,720 +عبارة عن 1 على N E of 1 على N الكل اسمه أُس N يعني + +780 +01:06:40,720 --> 01:06:48,380 +الآن عندي هذه ال X E N X بساوي E X أُس N X مين 1 + +781 +01:06:48,380 --> 01:06:53,210 +على N E of 1 على N أُس N إذا صار عندي الآن هي هذا + +782 +01:06:53,210 --> 01:06:59,010 +القيمة بساوي هذا إذا بمعنى آخر E of واحدة الآن + +783 +01:06:59,010 --> 01:07:05,830 +بساوي E العدد أس واحد على N هذا الآن E of واحدة + +784 +01:07:05,830 --> 01:07:14,050 +الآن بساوي E أس واحد على N الآن من جهة أخرى لو + +785 +01:07:14,050 --> 01:07:23,700 +جيت E أس minus M هتساوي واحد على E أُس M خد + +786 +01:07:23,700 --> 01:07:26,760 +ال + +787 +01:07:26,760 --> 01:07:33,460 +E of M ناقص M اللي هي بيساوي E of Zero اللي هي + +788 +01:07:33,460 --> 01:07:41,020 +بيساوي واحد صح وإيه يساوي E of M في E of ناقص M حسب + +789 +01:07:41,020 --> 01:07:45,900 +الخاصية اللي هي زائد ناقص M هذه X وهذه ال Y E + +790 +01:07:45,900 --> 01:07:49,760 +الأولى في E التانية الآن صار عندي هذا المقدار + +791 +01:07:49,760 --> 01:07:57,600 +بساوي واحد يعني إذا E of ناقص M بساوي بنقل هدهان + +792 +01:07:57,600 --> 01:08:03,260 +واحد على E of M إذا صارت عندي E of ناقص M بساوي + +793 +01:08:03,260 --> 01:08:09,360 +واحد على E of M وال E of M ال E of M من فوق E of M + +794 +01:08:09,360 --> 01:08:14,280 +هذا X بواحد يعني بيساوي E of واحد أُس M يعني عبارة + +795 +01:08:14,280 --> 01:08:19,500 +عن E أُس M وهي فوق إيش واحد الآن هذه اللي هو عدد + +796 +01:08:19,500 --> 01:08:23,800 +عادي اللي هو E مرفوع للأُس M اللي هو نفسه E to the + +797 +01:08:23,800 --> 01:08:27,360 +minus M لأن هذه معلومة قديمة لذا إنصار عندي الآن E + +798 +01:08:27,360 --> 01:08:34,820 +of minus M بيساوي E أُس ناقص M وال E أُس واحد على + +799 +01:08:34,820 --> 01:08:43,460 +N بيساوي E أُس واحد على N نيجي + +800 +01:08:43,460 --> 01:08:46,780 +الآن احنا غايتنا مين؟ E of R الـ R إيش اللي نقدر + +801 +01:08:46,780 --> 01:08:50,640 +نكتبها؟ الـ R في الـ Q إذا الـ R بتنكتب على صورة M + +802 +01:08:50,640 --> 01:08:54,780 +على N إذا ناخذ R في اللي نمتني Q إذا there exists M + +803 +01:08:54,780 --> 01:08:58,820 +و N أي واحدة في زد واحدة في N صحيح ده؟ R بتساوي M + +804 +01:08:58,820 --> 01:09:03,320 +على N بتثبت لك إن E of M على N بساوي E to the M على + +805 +01:09:03,320 --> 01:09:12,580 +N شوف كيف E of M على N إيش هيساوي E أُس واحد على N + +806 +01:09:12,580 --> 01:09:21,400 +الكل أُس M أُس M E of واحد على N أُس M مين + +807 +01:09:21,400 --> 01:09:28,870 +اللي شرع لي اللي هوعندي اللي هي E ناقص M وهي سالبة طلعت + +808 +01:09:28,870 --> 01:09:33,870 +E أُس مينس M واللي شرع لي E وواحد على N و N مودبة + +809 +01:09:33,870 --> 01:09:41,130 +هي E أُس واحد على N فبيصير عندي الآن E أُس M على N أُس + +810 +01:09:41,130 --> 01:09:45,970 +M على N بساوي E أُس واحد على N هذه اللي جوا الكل + +811 +01:09:45,970 --> 01:09:53,650 +أُس M الكل أُس M ماشي الحال هو يساوي E + +812 +01:09:58,010 --> 01:10:03,730 +هذه شرع لي إي وواحد الآن الكل أُس M وهذا عدد عادي + +813 +01:10:03,730 --> 01:10:08,730 +الآن وهذا عدد عادية بيصير إي أُس M عالميا على N و + +814 +01:10:08,730 --> 01:10:14,850 +هذه بيكون عندي إي أُس إي او M على N بساوي اللي هو + +815 +01:10:14,850 --> 01:10:18,870 +عبارة عن إي أُس M على N و M على N was our + +816 +01:10:18,870 --> 01:10:21,710 +arbitral rational number إذا صار عندي إي أُس R + +817 +01:10:21,710 --> 01:10:24,210 +بساوي إي أُس R + +818 +01:10:29,400 --> 01:10:35,160 +نيجي الآن للنظرية اللي هي ثمانية ثلاثة سبعة اللي هي + +819 +01:10:35,160 --> 01:10:39,980 +النظرية الأخيرة في اللي هي الحديث عن اللي هو ال + +820 +01:10:39,980 --> 01:10:45,260 +exponential function وبعدها طبعا بنحكي عن اللي هو + +821 +01:10:45,260 --> 01:10:48,060 +ال logarithmic function بس خلينا الآن نحكي عالميا + +822 +01:10:48,060 --> 01:10:54,340 +نكمّل نظريتنا على ال exponential function بنشوف + +823 +01:10:55,540 --> 01:11:00,240 +الآن بقول لي الـ exponential function E is strictly + +824 +01:11:00,240 --> 01:11:04,840 +increasing on R يعني الـ derivative إلها أكبر من + +825 +01:11:04,840 --> 01:11:11,460 +صفر ماشي؟ and this range اللي هو Y المتنرسج ده Y + +826 +01:11:11,460 --> 01:11:16,720 +أكبر من صفر يعني الـ E هتكون بالضبط ده اللي من R + +827 +01:11:16,720 --> 01:11:24,080 +بتصب إلى R positive إلى R positive يعني عبارة عن + +828 +01:11:24,080 --> 01:11:31,370 +صفر وما له نهاية هي التي هي range دالة range دالة + +829 +01:11:31,370 --> 01:11:34,610 +هذه هي من صفر إلى ما له نهاية لأن كتابة على صورة + +830 +01:11:34,610 --> 01:11:40,210 +function is on to طيب مش هيك limit E of X لما X + +831 +01:11:40,210 --> 01:11:43,470 +تروح لسالب ما له نهاية بتساوي صفر and limit E of X + +832 +01:11:43,470 --> 01:11:47,110 +لما X تروح لما له نهاية إيش بتساوي؟ بتساوي ما له + +833 +01:11:47,110 --> 01:11:55,670 +نهاية يعني الدالة هذه في حالة الـ E of X اللي + +834 +01:11:55,670 --> 01:11:59,070 +احنا سميناها الـ X exponential للـ X هذه الدالة هذه + +835 +01:11:59,070 --> 01:12:03,130 +الدالة زي ما أنتم عارفين لما X تروح إلى سالب ما له + +836 +01:12:03,130 --> 01:12:06,830 +نهاية هذا هيروح للصفر الـ E of X هتروح للصفر ولما + +837 +01:12:06,830 --> 01:12:10,890 +الـ X تروح لما له نهاية الـ E of X هتروح إيش إلى ما له + +838 +01:12:10,890 --> 01:12:14,810 +نهاية نشوف أول شيء بالنسبة لمين؟ لل range + +839 +01:12:19,570 --> 01:12:24,250 +الآن we know that E of 0 بيساوي إيش واحد أكبر من + +840 +01:12:24,250 --> 01:12:29,770 +إيش من صفر أكيد، ضبط ولا لا؟ and E of X ده بيساوي + +841 +01:12:29,770 --> 01:12:36,390 +سفر for X element in R صار عندي الآن هذه دالة E of + +842 +01:12:36,390 --> 01:12:38,650 +0 إلها واحد، ماشي؟ + +843 +01:12:40,360 --> 01:12:46,000 +أو E of X مش سفر يعني إيه شمالها لا تقطع محور + +844 +01:12:46,000 --> 01:12:51,910 +السينات إطلاقًا اللي E of X نفسها و 0 من سفرها الآن + +845 +01:12:51,910 --> 01:12:57,110 +أنا أقول مستحيل تكون فيها قيم سالبة يعني مستحيل + +846 +01:12:57,110 --> 01:13:02,030 +نلاقي E of X naught اللي هي أصغر من 0 ليش؟ لأنه لو + +847 +01:13:02,030 --> 01:13:05,990 +لجينا E of X naught سالبة لو هالجيت عندنا X naught + +848 +01:13:05,990 --> 01:13:09,910 +و هيها قيمتها E of X naught اللي هو سالبة يعني + +849 +01:13:09,910 --> 01:13:16,460 +هتكون تحت، ما هي الدالة متصلة مدام متصلة إذا غصب + +850 +01:13:16,460 --> 01:13:20,940 +عنها هتيجي تقطع اللي هو ما هتيجي منها لها هتقطع + +851 +01:13:20,940 --> 01:13:24,760 +محور السينات إذا هتصير سفر وهذا Contradiction من + +852 +01:13:24,760 --> 01:13:28,380 +أين الكلام هذا؟ By Bolzano Intermediate Value + +853 +01:13:28,380 --> 01:13:32,760 +Theorem بما أنه إحنا في عندنا X0 فرضناها ال E of + +854 +01:13:32,760 --> 01:13:39,260 +X0 أصغر من سفر وفي عندي اللي هي E of Zero بتساوي + +855 +01:13:39,260 --> 01:13:40,980 +واحد اللي هي + +856 +01:13:44,440 --> 01:13:48,620 +أه لو فرضنا أن في X نوت X نوت تكون اللي هو + +857 +01:13:48,620 --> 01:13:56,300 +سالبة X نوت أصغر من سفر فعندي E of X naught أصغر + +858 +01:13:56,300 --> 01:14:05,740 +من سفر وعندي اللي هو في اللي هو E of X بتساوي + +859 +01:14:05,740 --> 01:14:14,470 +واحد أه وهادي أكبر من سفر أه وفرضنا وجود هذه وفرضنا + +860 +01:14:14,470 --> 01:14:18,810 +وجود هذه إذا by intermediate value theorem غصبن + +861 +01:14:18,810 --> 01:14:23,650 +عنها there exists c element الفترة اللي إحنا بنحكي + +862 +01:14:23,650 --> 01:14:28,510 +عنها R such that f of هذه الـ c اللي هي E of C + +863 +01:14:28,510 --> 01:14:33,330 +بتساوي كمية اللي بينين اللي هي اسمها سفر وهذا + +864 +01:14:33,330 --> 01:14:41,860 +contradiction بالتالي بيحقق البلزان أنَّها مستمرة على + +865 +01:14:41,860 --> 01:14:47,060 +أي انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق البلزان أنَّها + +866 +01:14:47,060 --> 01:14:47,260 +مستمرة على أي انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق + +867 +01:14:47,260 --> 01:14:47,280 +البلزان أنَّها مستمرة على أي انتقال مغلق على كل أرض + +868 +01:14:47,280 --> 01:14:47,700 +لأنها بيحقق البلزان أنَّها مستمرة على أي انتقال مغلق + +869 +01:14:47,700 --> 01:14:48,880 +على كل أرض لأنها بيحقق البلزان أنَّها مستمرة على أي + +870 +01:14:48,880 --> 01:14:49,100 +انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق البلزان أنَّها + +871 +01:14:49,100 --> 01:14:51,280 +مستمرة على أي انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق + +872 +01:14:51,280 --> 01:14:54,390 +البلزان أنَّها مستمرة على أي انتقمن سفر طيب مدام ال + +873 +01:14:54,390 --> 01:14:57,010 +E of X أكبر من سفر وإحنا بنعرف أن ال E prime of X + +874 +01:14:57,010 --> 01:15:00,690 +بتساوي E of X إذا صارت ال E prime أكبر من مين من + +875 +01:15:00,690 --> 01:15:04,890 +سفر كل X element ال R ومن ثم هذا معناته أن E is + +876 +01:15:04,890 --> 01:15:10,450 +strictly increasing on R إذا اللي هو المطلوب الأول + +877 +01:15:10,450 --> 01:15:15,810 +أثبتناه أن E is strictly increasing on R طيب + +878 +01:15:24,230 --> 01:15:30,250 +عندي اثنين strictly increasing ال function مظبوط + +879 +01:15:30,250 --> 01:15:41,510 +يعني اثنين أصغر من مين من اياش من ال E ليش لأن + +880 +01:15:41,510 --> 01:15:53,730 +عندي الواحد E واحد أو E of X قلنا أصغر strictly ولا + +881 +01:15:53,730 --> 01:15:57,890 +أكبر strictly من واحد زاد X صح؟ هذه الكورولا + +882 +01:15:57,890 --> 01:16:02,810 +remained ثمانية ثلاثة ثلاثة اثبتناها إذا صار عند E + +883 +01:16:02,810 --> 01:16:08,050 +of واحد أكبر strictly من واحد زائد وا أكبر strictly + +884 +01:16:08,050 --> 01:16:13,970 +من واحد زائد واحد وال E of واحد مين هو E أس واحد + +885 +01:16:13,970 --> 01:16:17,390 +مش هيك اتفاجنا يعني هذا اياش اثنين يعني ال E أكبر + +886 +01:16:17,390 --> 01:16:22,450 +strictly من مين من الاثنين اتفاجنا طيب اتفاجنا إذا + +887 +01:16:22,450 --> 01:16:26,410 +صار عند ال E of اثنين أكبر strictly ال E أكبر من + +888 +01:16:26,410 --> 01:16:29,950 +مين من اثنين خلينا نبدأ عليها هذه ال E أكبر من + +889 +01:16:29,950 --> 01:16:41,000 +اياش من اثنين الآن أكيد عنده ال E of R اللي بيساوي E + +890 +01:16:41,000 --> 01:16:48,440 +R أو E N خليني أقول E N أكبر من اثنين هتكون أصغر + +891 +01:16:48,440 --> 01:16:53,700 +اللي هي أكبر من اثنين أس N الآن as N goes to + +892 +01:16:53,700 --> 01:16:57,680 +infinity إذا + +893 +01:16:57,680 --> 01:17:04,230 +أكيد هذه هتروح لمين لإنفينيتي والـ E نفسها اللي هي + +894 +01:17:04,230 --> 01:17:08,750 +is strictly increasing is strictly increasing إذا + +895 +01:17:08,750 --> 01:17:12,370 +ال E of X تبعتها برضه هتروح لمين ل Infinity لما X + +896 +01:17:12,370 --> 01:17:18,650 +تروح إلى وين إلى مالانهاية ليش لأن لكل L في X + +897 +01:17:18,650 --> 01:17:24,670 +أكبر منها بحيث أن اللي هو تصير E of X اللي هي + +898 +01:17:24,670 --> 01:17:30,110 +بتساوي E to the X أكبر من E to the N لكل N في X + +899 +01:17:30,110 --> 01:17:33,850 +أكبر منها بتصير E of X أكبر منها لأنها strictly + +900 +01:17:33,850 --> 01:17:37,710 +increasing فلان لما تروح هذه إلى مالانهاية الكبار + +901 +01:17:37,710 --> 01:17:41,170 +تبعتها وهذه طبعًا أكبر دايمًا موجودة هذا هتروح إلى + +902 +01:17:41,170 --> 01:17:45,540 +أين برضه إلى مالانهاية يعني limit ال E of X لما X + +903 +01:17:45,540 --> 01:17:48,980 +تروح إلى مالانهاية بتساوي مالانهاية وقول لكم اللي + +904 +01:17:48,980 --> 01:17:54,040 +هو لو تجربته اللي هو يثبته أنه بما أنه limit E of + +905 +01:17:54,040 --> 01:17:58,840 +N بتروح إلى مالانهاية by اللي هي limit definition + +906 +01:17:58,840 --> 01:18:03,020 +إذا limit E of X لما X تروح إلى مالانهاية بتساوي + +907 +01:18:03,020 --> 01:18:08,080 +مالانهاية الآن similarly for mean for اللي هو + +908 +01:18:08,080 --> 01:18:11,120 +limit + +909 +01:18:12,620 --> 01:18:16,560 +الـ E of X لما X تروح لسالب مالانهاية هذه الآن + +910 +01:18:16,560 --> 01:18:22,840 +بيصير اثنين أو minus N أكبر من E أو minus N ماشي + +911 +01:18:22,840 --> 01:18:28,000 +الحال الآن ال limit لهذه as N goes to infinity + +912 +01:18:28,000 --> 01:18:31,940 +أكبر أو يساوي ال limit لهذه as N goes to infinity + +913 +01:18:31,940 --> 01:18:33,420 +الآن + +914 +01:18:35,300 --> 01:18:40,100 +هذه إيش مالها بيساوي سفر وهذه أوتوماتيك هيساوي إيش؟ + +915 +01:18:40,100 --> 01:18:44,840 +هيساوي سفر الآن as N goes to infinity يعني ال E to + +916 +01:18:44,840 --> 01:18:49,720 +the minus N بتروح للسفر من وين؟ من اليمين، مظبوط أو + +917 +01:18:49,720 --> 01:18:53,060 +تروح للـ Zero، مظبوط لأن at E minus N تروح لما + +918 +01:18:53,060 --> 01:18:57,440 +لنهاية As N goes to infinity E to the minus N تروح + +919 +01:18:57,440 --> 01:19:03,460 +لإنفينيتي لأن as X بتروح إلى سالب مالانهاية ال E + +920 +01:19:03,460 --> 01:19:07,560 +to the minus X برضه هتروح إلى وين؟ إلى السفر يعني + +921 +01:19:07,560 --> 01:19:11,220 +ال E to the X نفسها لما ناخد ال limit لما X تروح + +922 +01:19:11,220 --> 01:19:14,580 +بدل مالانهاية تروح إلى مين؟ سالب مالانهاية برضه + +923 +01:19:14,580 --> 01:19:20,200 +هتساوي إيش؟ السفر إذا صار عندي limit E ضو X لما X + +924 +01:19:20,200 --> 01:19:23,560 +تروح السلمة لها يابسة أو سفر و بعتمد على اللي هو + +925 +01:19:23,560 --> 01:19:26,780 +الجهتين على ال strictly increasing تبع ال E و + +926 +01:19:26,780 --> 01:19:30,580 +التفاصيل اللي هي ال definition بتظهر عندكم أنا + +927 +01:19:30,580 --> 01:19:34,220 +ما فصلتاش لإنه هو إيه هذا القائم