1
00:00:09,500 --> 00:00:15,980
بسم الله الرحمن الرحيم عودة على بداية آخر نقطة في
2
00:00:15,980 --> 00:00:20,830
section 81 اللي هو المثال اللي قدامنا هذا بيقول use
3
00:00:20,830 --> 00:00:26,350
integration by parts استخدم التكامل بالتجزئة to
4
00:00:26,350 --> 00:00:28,570
establish the following reduction formula
5
00:00:31,860 --> 00:00:37,160
لإثبات قاعدة الاختزال التالية تكامل لـ ln x أس n
6
00:00:37,160 --> 00:00:41,660
dx يساوي x ln x to the power n ناقص n تكامل لـ
7
00:00:41,660 --> 00:00:47,300
ln x أس n ناقص 1 بالنسبة إلى dx يبقى سميناها
8
00:00:47,300 --> 00:00:51,780
قاعدة اختزال ليش؟ لأن التكامل هنا لـ ln x أس n
9
00:00:51,780 --> 00:00:56,340
أس n صار عندي تكامل لـ ln x أس n ناقص 1 يعني
10
00:00:56,340 --> 00:01:01,900
نقص الأس تبع الـ n بمقدار كم؟ بمقدار واحد صحيح
11
00:01:01,900 --> 00:01:05,380
الأمر إن شان نثبت القاعدة يقول استخدم integration
12
00:01:05,380 --> 00:01:10,480
by parts بقوله كويس يبقى فيها إن جزء هاخد u وجزء
13
00:01:10,480 --> 00:01:15,140
هاخد dv طبعا هذا تكامل بعيد الله يبقى ما إلي اللي
14
00:01:15,140 --> 00:01:22,000
آخده إيه تفاضل يبقى بداجي أقول خد الـ u تساوي ln الـ
15
00:01:22,000 --> 00:01:30,760
x to the power n وخد الـ dv بدل ما أسوي من dx نشتق يبقى
16
00:01:30,760 --> 00:01:37,480
du يساوي الأس في ln x مرفوعة لنفس الأس مطروح منه
17
00:01:37,480 --> 00:01:42,720
واحد في تفاضل مدخل القوس اللي هو 1 على x dx
18
00:01:42,720 --> 00:01:49,330
وهذا تكامل يبقى الـ v تساوي مين؟ تساوي x ثم أصبح
19
00:01:49,330 --> 00:01:56,990
تكامل لـ ln x to the power n في dx بده يساوي u في
20
00:01:56,990 --> 00:02:04,490
v هذه u وهذه v يبدو x ln x كله to the power n
21
00:02:04,490 --> 00:02:12,720
ناقص تكامل v اللي هي بـ x ده الـ u اللي هو n ln x to
22
00:02:12,720 --> 00:02:18,940
the power n minus one في 1 على x في مين في dx
23
00:02:21,280 --> 00:02:25,700
طب كويس الآن بدنا نختصر الاختصارات اللي موجودة في
24
00:02:25,700 --> 00:02:30,920
المثلة ونشوف على إيش بدها تصفي المثلة يبقى x ln
25
00:02:30,920 --> 00:02:36,020
x to the power n ناقص n مقدار ثابت خليه برا
26
00:02:36,020 --> 00:02:40,860
هو يتكامل 1 على x مع x الله سهل عليها مع
27
00:02:40,860 --> 00:02:45,660
السلامة والـ n برا يبقى بقى عندنا ln x to the
28
00:02:45,660 --> 00:02:53,020
power n minus one dx عظمه هو المطلوب؟ طيب قياسا
29
00:02:53,020 --> 00:02:58,860
عليها لو بدنا نيجي نقول لك بدنا ههه اللي هو main
30
00:02:58,860 --> 00:03:06,360
تكامل ln x الكل تكعيب dx بيقولوا نستخدم الـ
31
00:03:06,360 --> 00:03:10,860
reduction formula لأن في حل هذه المثلة يعني ما بديش
32
00:03:10,860 --> 00:03:15,260
لسه أروح جزي وسوي إن ما بدي حل مباشرة وأشوف كيف
33
00:03:15,260 --> 00:03:22,530
بدها تيجي معايا إذا هذه تساوي x ln x الكل تكعيب
34
00:03:22,530 --> 00:03:30,930
ناقص 3 تكامل ln x الكل تربيع dx بقيت
35
00:03:30,930 --> 00:03:35,330
القاعدة حرفيا هي الـ x هذا ln x to the power of
36
00:03:35,330 --> 00:03:40,310
n يبقى تكعيب ناقص n اللي هي بـ 3 ln x أقل من
37
00:03:40,310 --> 00:03:44,710
3 بمقدار 1 يبقى ln x الكل تربيع dx الآن
38
00:03:44,710 --> 00:03:49,510
هاد يطبق عليها القاعدة في الاختزال كمان مرة إلى إن
39
00:03:49,510 --> 00:03:56,430
النتيجة تساوي x ln x الكل تكعيب ناقص 3
40
00:03:56,430 --> 00:04:03,290
ونفتح قوسين نطبق القاعدة على هذه يبقى x ln x
41
00:04:03,290 --> 00:04:10,630
الكل تربيع ناقص 2 ln x أس 1 كله بالنسبة
42
00:04:10,630 --> 00:04:16,930
لمين إلى dx يبقى آلة المسألة إلى الشكل التالي
43
00:04:16,930 --> 00:04:22,890
يبقى تكامل ln x الكل تكعيب dx يساوي
44
00:04:27,630 --> 00:04:36,330
ناقص 3 x ln x الكل تربيع ضربنا سالب 3 جوا
45
00:04:36,330 --> 00:04:41,250
لأن بتيجي السالب مع سالب بموجب 3 في 2
46
00:04:41,250 --> 00:04:50,410
بـ 6 يبقى زائد 6 تكامل ln x dx بده نزل هذه
47
00:04:50,410 --> 00:04:56,550
زي ما هي وهذه بده نزلها زي ما هي وهذه زائد 6 في
48
00:04:58,040 --> 00:05:02,440
هذه بيطبق عليها القاعدة ياما أخذناها قبل هيك ليه
49
00:05:02,440 --> 00:05:05,680
الـ x ln x ناقص x أنا بسمع هاللي مش عارف بيطبق
50
00:05:05,680 --> 00:05:11,540
عليها القاعدة كمان مرة يبقى هادي x ln x أس
51
00:05:11,540 --> 00:05:19,060
واحد ناقص تكامل ln x أس 1 ناقص 1 يبقى أس
52
00:05:19,060 --> 00:05:24,120
zero يبقى dx أبواحد يبقى تكامل 1 بالنسبة لما
53
00:05:24,120 --> 00:05:30,160
يهم إلى dx إذا إن النتيجة النهائية هي x ln x
54
00:05:30,160 --> 00:05:39,120
الكل تكعيب ناقص 3x ln x الكل تربيع زائد 6x ln
55
00:05:39,120 --> 00:05:46,300
x وهنا ناقص 6x زائد constant C
56
00:05:50,210 --> 00:05:54,470
لحدين أصيب هذا section ثمانية واحد المسائل التالية
57
00:05:54,470 --> 00:06:01,390
يبقى exercises ثمانية واحد المسائل من 1 لغاية
58
00:06:01,390 --> 00:06:11,270
50 الاد وبنضيف عليهم من 61 لغاية 64
59
00:06:11,270 --> 00:06:18,290
وكذلك من 67 لغاية جداش 70
60
00:06:21,200 --> 00:06:26,340
بنجي الآن للـ section اللي بعده اللي هو الـ
61
00:06:26,340 --> 00:06:38,060
trigonometric integral z الـ section
62
00:06:38,060 --> 00:06:43,100
ثمانية اثنين اللي هو الـ trigonometric
63
00:06:54,550 --> 00:07:01,130
Integrals يعني التكاملات المثلثية على النسب
64
00:07:01,130 --> 00:07:07,350
المثلثية أو الدوال المثلثية شوف يا سيدي هذا الـ
65
00:07:07,350 --> 00:07:13,570
section هنقسمه إلى أربع نقاط هنبدأ الآن بالنقطة
66
00:07:13,570 --> 00:07:22,040
الأولى من هذا الـ section النقطة الأولى هي عبارة عن
67
00:07:22,040 --> 00:07:29,560
integrals integrals
68
00:07:29,560 --> 00:07:41,720
in the form في الشكل اللي هو من تكامل لـ sin أس mx
69
00:07:41,720 --> 00:07:47,800
في cos أس nx dx where
70
00:07:48,800 --> 00:07:59,340
حيث الـ m والـ n are
71
00:07:59,340 --> 00:08:00,920
non negative integers
72
00:08:18,130 --> 00:08:26,610
نحن لدينا ثلاث حالات يعني
73
00:08:26,610 --> 00:08:31,930
لما ناخد تكامل لـ sin أس m في cos أس n حيث m و n
74
00:08:31,930 --> 00:08:37,670
أعداد صحيحة موجبة يبقى بتتقابلني ثلاث حالات الحالة
75
00:08:37,670 --> 00:08:46,790
الأولى اللي هي case one الحالة الأولى f الـ m is
76
00:08:46,790 --> 00:08:53,730
odd لو كان الـ n عدد فردي نكتب الـ
77
00:08:53,730 --> 00:09:04,650
m يساوي 2k زائد 1 وبنستخدم
78
00:09:04,650 --> 00:09:13,250
sin تربيع x يساوي 1 ناقص cos تربيع x k is
79
00:09:13,250 --> 00:09:25,560
two إذا كان الـ n غير صحيح، فنكتب n تساوي 2k
80
00:09:25,560 --> 00:09:32,040
زائد 1 and use cosine تربيع x يساوي 1
81
00:09:32,040 --> 00:09:38,600
ناقص cosine تربيع x الحالة الثالثة
82
00:09:42,930 --> 00:10:02,790
both m and n are even يبقى
83
00:10:02,790 --> 00:10:03,610
are even
84
00:10:07,990 --> 00:10:14,510
cos تربيع x يساوي نصف في 1 زائد cos 2x and sin
85
00:10:14,510 --> 00:10:24,810
تربيع x يساوي نصف في 1 ناقص cos 2x example
86
00:10:24,810 --> 00:10:33,530
بلوت the following integrals
87
00:10:38,010 --> 00:10:44,790
the following integrals
88
00:10:44,790 --> 00:10:49,370
سابل
89
00:10:49,370 --> 00:11:00,730
التكاملات التالية نمر واحد تكامل لـ sin x cos 4x
90
00:11:00,730 --> 00:11:06,430
كله في dx هذا الـ section هنقسمه إلى أربع نقاط
91
00:11:07,030 --> 00:11:12,370
النقطة الأولى للتكاملات المشتولة على حاصل ضرب sin
92
00:11:12,370 --> 00:11:16,930
مرفوع لأس و cos مرفوع لأس والأسس أعداد صحيحة
93
00:11:16,930 --> 00:11:20,990
موجبة تمام بيقول في الحالة اللي عادنا هذه بدها
94
00:11:20,990 --> 00:11:26,030
تجابلنا ثلاث حالات الحالة الأولى لو كان الـ m يعني
95
00:11:26,030 --> 00:11:30,910
الأس تبع الـ sin عدد فردي يبقى العدد الفردي بقدر
96
00:11:30,910 --> 00:11:34,250
أكتبه على الشكل هذا يعني مثلا إذا افترض العدد كان
97
00:11:34,250 --> 00:11:39,970
9 بقدر أكتب 2 في 4 زائد 1 افترض
98
00:11:39,970 --> 00:11:45,370
كان 15 اللي هو 2 في 7 زائد 1 وهي
99
00:11:45,370 --> 00:11:49,180
كان يبقى بدي أكتبه على الشكل اللي عندنا هنا بعد ذلك
100
00:11:49,180 --> 00:11:53,720
نذهب لاستخدام المتطابقة sin تربيع x 1 ناقص
101
00:11:53,720 --> 00:11:57,340
cos تربيع x هجيبناها من أين من sin تربيع x زي
102
00:11:57,340 --> 00:12:01,660
cos تربيع x تساوي كم؟ 1 يبقى بدي أشيل الـ sin
103
00:12:01,660 --> 00:12:04,780
تربيع اللي بتكون موجودة عندي في المثل لو بدي حق
104
00:12:04,780 --> 00:12:09,500
بدلها 1 ناقص cos تربيع وبده كده بنروح نكامل
105
00:12:09,500 --> 00:12:15,920
طبعا لو كانت الـ m is of type m إيش ما تكون تكون،
106
00:12:15,920 --> 00:12:20,600
فردي، زوجي، كاثري، سالب، بتمناشي، ما حطيتش عليها أي
107
00:12:20,600 --> 00:12:25,430
قدوة، بالتالي ممكن تاخد أي شيء، تمام؟ الحالة
108
00:12:25,430 --> 00:12:29,330
الثانية لو كان الـ n عدد فردي يعني لو كان الـ أس تبع
109
00:12:29,330 --> 00:12:33,670
الـ cosine هو عدد فردي إذا بدي أكتب الـ n على شكل
110
00:12:33,670 --> 00:12:38,630
2k زائد 1 وأستخدم المتطابقة cosine تربيع
111
00:12:38,630 --> 00:12:43,410
x يساوي 1 ناقص sin تربيع يعني 2 هدول سهلات
112
00:12:43,410 --> 00:12:48,950
جدا المشكلة وين تجينا لو كانوا اثنين even طب واحد
113
00:12:48,950 --> 00:12:53,960
يقول طب لو كانوا اثنين odd بكل بساطة، بدك تطبق
114
00:12:53,960 --> 00:12:57,220
الأولى ماشي، بدك تطبق الثاني ماشي، أي واحدة فيهم
115
00:12:57,220 --> 00:13:02,340
الست، إذا اثنين، قد، تمام؟ احنا بنقول لو كان واحد
116
00:13:02,340 --> 00:13:06,360
فيهم قد، والثاني إيش ما كان يكون، يبقى بنا نمشي
117
00:13:06,360 --> 00:13:09,580
بالـ tactic اللي عندنا هذا، طب لو كانوا اثنين even،
118
00:13:09,580 --> 00:13:14,070
بدي أستخدم بعد ذلك أقوم بتحويل نصف في 1 ناقص cos
119
00:13:14,070 --> 00:13:19,310
2x لنصف 1 زائد cos 2x لنصف 1
120
00:13:19,310 --> 00:13:20,690
زائد cos 2x لنصف 1 زائد cos 2x
121
00:13:20,690 --> 00:13:24,310
لنصف 1 زائد cos 2x لنصف 1 زائد cos
122
00:13:24,310 --> 00:13:25,770
2x لنصف 1 زائد cos 2x لنصف 1 زائد cos
123
00:13:25,770 --> 00:13:28,510
2x لنصف 1 زائد cos 2x لنصف 1 زائد cos
124
00:13:28,510 --> 00:13:32,610
2x لنصف 1 زائد cos 2x لنصف 1 زائد cos
125
00:13:32,610 --> 00:13:35,910
2x لنصف
126
00:13:38,440 --> 00:13:43,760
الـSin لازم لا يوجد و لا أستطيع كتابة كتابة كتابة
127
00:13:43,760 --> 00:13:44,820
كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة
128
00:13:44,820 --> 00:13:46,040
كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة
129
00:13:46,040 --> 00:13:51,920
كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة
130
00:13:51,920 --> 00:13:54,060
كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة
131
00:13:54,060 --> 00:14:03,240
كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة
132
00:14:03,240 --> 00:14:08,000
كتابة كتاب
133
00:14:08,680 --> 00:14:17,300
Integration لـCosine أس أربعة X و هنا سالب D لـCosine
134
00:14:17,300 --> 00:14:24,940
الـ X يبقى شلت سين الـ X مع DX و كتبتها سالب D كـCosine
135
00:14:24,940 --> 00:14:32,540
و كأنه احنا مش بنكامل كأنه احنا بنكامل W أس أربعة
136
00:14:32,540 --> 00:14:39,420
DW وهي السالب برامصبوط؟ يبقى أنا بصيدي ده مش محتاج
137
00:14:39,420 --> 00:14:42,700
الشغل اللى فوق طب يا إيش بتسوي؟ يبقى نضيف للوس
138
00:14:42,700 --> 00:14:48,370
واحد و بنقسم على القس الجديد يبقى يساوي هي السالب
139
00:14:48,370 --> 00:14:54,350
برا وهي الـ W أس خمسة على خمسة زائد Constant C يبقى
140
00:14:54,350 --> 00:14:59,390
هذا الكلام يساوي سالب خمس و الـ W بدي أشيلها و أحط
141
00:14:59,390 --> 00:15:06,770
بدلها مهم لـCosine الـ X يبقى Cosine أس خمسة X زائد
142
00:15:06,770 --> 00:15:14,880
Constant C طيب مثال التاني انتجل الكلمة شوية المثال
143
00:15:14,880 --> 00:15:23,120
الثاني بيقول يبدى تكامل لـSin تكعيب الـ X Cos أربعة
144
00:15:23,120 --> 00:15:28,720
x في dx يعني نفس السؤال الأول بس ايش اللي حصل جينا
145
00:15:28,720 --> 00:15:36,490
على علامين على اللي هي الـSin وخلت الأس تبعها الثلاثة
146
00:15:36,490 --> 00:15:40,410
بدلا من واحد، إذا الثلاثة بقدر اكتبها ايش؟ بقدر
147
00:15:40,410 --> 00:15:46,650
اكتبها عدد فردي، تمام؟ خلوه اتنين واحد زائد واحد
148
00:15:46,650 --> 00:15:52,390
وبالتالي ستقول المسألة اللي عندك إيش؟ إلى تكامل،
149
00:15:52,390 --> 00:15:57,330
لمين؟ لـSin X دلشانه فردي، هذا زوجي ماليش علاقة
150
00:15:57,330 --> 00:16:06,240
فيه، يبقى في Sin تربيع X بيه Cos أربعة X في DX بعد
151
00:16:06,240 --> 00:16:12,780
هيك قاللي بتروح تشيلي Sin تربيع هيها وهها و تكتبها
152
00:16:12,780 --> 00:16:18,380
لمين؟ واحد ناقص Cosine تربيع إذا بصير هذه تكامل
153
00:16:18,380 --> 00:16:25,180
واحد ناقص Cosine تربيع الـ X في Cosine أربعة X في
154
00:16:25,180 --> 00:16:27,660
Sin X في DX
155
00:16:29,950 --> 00:16:36,570
ممكن نقول هي تكامل هي Cosine أس أربعة X وهذه ناقص
156
00:16:36,570 --> 00:16:43,850
Cosine أس ستة X وهذه كلها مشتقة مين الـCosine يعني
157
00:16:43,850 --> 00:16:48,230
مشتقة Cosine باس بإشارة سلب المشتقة الـCosine بسلب
158
00:16:48,230 --> 00:16:57,290
Sin يبقى هذه ناقص D Cosine X زي ما تشاهدي يبقى هذا
159
00:16:57,290 --> 00:17:02,590
الكلام يساوي يسالب خليك برا و انا بدي اكامل هذه
160
00:17:02,590 --> 00:17:07,290
قلمين بالنسبة لـCosine الـ X يبقى بنضيف الأس واحد
161
00:17:07,290 --> 00:17:13,750
ونقسم على الأس الجديد يبقى Cosine أس خمسة X على
162
00:17:13,750 --> 00:17:24,920
خمسة ناقص Cosine أس سبعة X على سبعة زاد كمصنصيممكن
163
00:17:24,920 --> 00:17:30,140
ندخل إشارة السلب اللى برا وبالتالي بصير سلب موجب
164
00:17:30,140 --> 00:17:37,140
سبع يبقى سبع بالموجب لـCosine of سبعة x ناقص خمس
165
00:17:37,140 --> 00:17:47,050
Cosine of خمسة x زائد Constant C سؤال التالت بيقول
166
00:17:47,050 --> 00:17:58,350
تكامل لـSin أُس 6X Cos تكعيب الـX في الـDX يبقى
167
00:17:58,350 --> 00:18:01,010
المرة هذه الـSin صار الأُس تبعها ماله
168
00:18:04,280 --> 00:18:08,700
يبقى الصفة على الشجرة ونذهب للقص الفردي القص
169
00:18:08,700 --> 00:18:14,040
الفردي يتبع مين؟ يتبع الكوصين يبقى يجب أن نذهب على
170
00:18:14,040 --> 00:18:19,920
الكوصين ونحللها تبع القص اللي بها تكون اتنين ك
171
00:18:19,920 --> 00:18:23,820
زائد واحد يعني اتنين في واحد زائد واحد يعني كوصين
172
00:18:23,820 --> 00:18:31,290
تربية في كوصينهذه بدها تصير على الشكل التالي تكامل
173
00:18:31,290 --> 00:18:41,790
لـSin 6x بمين في Cos تربيع الـ x في Cos x في dx
174
00:18:43,500 --> 00:18:50,060
يساوي تكامل لـSin أُس 6X مالكش دعوة نجي للـCos
175
00:18:50,060 --> 00:18:54,820
تربيع وروح نكتبه بدلالة مام دلالة الـSin نجي
176
00:18:54,820 --> 00:19:00,020
للـCos تربيع بتكتبها واحد ناقص Sin تربيع إذا هنا
177
00:19:00,020 --> 00:19:07,410
واحد ناقص Sin تربيع X وهذه مشتقة مين يا شباب؟ مشتقة
178
00:19:07,410 --> 00:19:12,990
Sin X بدون إشارة ثانية يبقى تحولة المسألة إلى
179
00:19:12,990 --> 00:19:23,830
الشكل التالي تكامل لـSin 6x-Sin 8x كل هذا الكلام
180
00:19:23,830 --> 00:19:30,130
بالنسبة لـD Sin X يبقى ما علينا إلا أن نضيف للأس
181
00:19:30,130 --> 00:19:36,030
واحد ونقسم على الأس الجديد يبقى هذه بدها ساوية
182
00:19:36,030 --> 00:19:44,990
سبعة ساين أس سبعة إكس ناقص تسعة ساين أس تسعة إكس
183
00:19:44,990 --> 00:19:53,390
زائد Constant C نمر أربعة بدنا تكامل
184
00:19:55,960 --> 00:20:05,040
لمين؟ لـSin تكعيب الـ X Cos تكعيب الـ X DX واحد
185
00:20:05,040 --> 00:20:11,540
أحد اثنين فرديين تحلل واحد و التاني و تسيبه حللنا
186
00:20:11,540 --> 00:20:16,000
الصين ماشي سيبناها و حللنا الكوسين ماشي سين أي
187
00:20:16,000 --> 00:20:22,140
واحدة فيهم ماشية يبقى هذه تكامل، بنقدر نقول هذه
188
00:20:22,140 --> 00:20:27,880
مين؟ هذه اللي هي Sin تكعيب الـ x في مين؟ في Cos
189
00:20:27,880 --> 00:20:36,480
تربيع الـ x في Cos الـ x في dx يساوي تكامل لـSign
190
00:20:36,480 --> 00:20:41,240
تكعيب الـ X فيه بتدرج على الـCosine تربيه و اكتبها
191
00:20:41,240 --> 00:20:48,080
من واحد ناقص Sign تربيه الـ X و Cosine X DX هو
192
00:20:48,080 --> 00:20:54,800
مشتقة من Sign بالـ X يبقى هذه المثلة صارت على الشكل
193
00:20:54,800 --> 00:21:04,940
التالي تكامل لـSin تكعيب الـ X ناقص Sin أُس خمسة X
194
00:21:04,940 --> 00:21:15,280
كل هذا الكلام بالنسبة لمين لـSin X يبقى
195
00:21:15,280 --> 00:21:24,560
ربع Sin أُس أربعة X أو هنا ناقص سُدس لـSin أُس ستة
196
00:21:24,560 --> 00:21:27,460
X زائد Constant C
197
00:21:31,020 --> 00:21:37,620
يبقى أخدنا الـCosine فردي و الـSine زوجي و العكس
198
00:21:37,620 --> 00:21:43,680
الـSine فردي و الـCosine زوجي و سؤال اتنين فرديين
199
00:21:43,680 --> 00:21:50,240
بدنا ناخد لو كانوا اتنين زوجيين ايش المثال؟ يبقى
200
00:21:50,240 --> 00:21:58,910
المثال بيقوللي تكامل نمرة خمسة بندنا تكامل لمن؟
201
00:21:58,910 --> 00:22:09,180
لـSin أُس أربعة x في Cos تربيع الـ x في dx بطلع في
202
00:22:09,180 --> 00:22:14,380
الأسس الأسس عند زوجيه يبقى قاللي في الحالة هذه بدك
203
00:22:14,380 --> 00:22:19,140
تستخدم Cosine تربيع يسوى نص في واحد زائد Cosine
204
00:22:19,140 --> 00:22:24,220
اتنين X Cosine تربيع الـ X يسوى نص في واحد ناقص
205
00:22:24,220 --> 00:22:31,560
Cosine اتنين X يعنيهذا الكلام يساوي تكامل لـSin
206
00:22:31,560 --> 00:22:39,040
تربيع الـ x في Sin تربيع الـ x في Cos تربيع الـ x في
207
00:22:39,040 --> 00:22:47,400
dx هذا يساوي تكامل لـSin تربيع الـ x طلع لي في هذول
208
00:22:47,400 --> 00:22:55,100
مش الأس تبعهم زي بعضهم صح؟ يبقى بقدر اخدهم مع بعض
209
00:22:55,100 --> 00:23:02,240
بقص واحد يعني هذا كأنه ايه يعني كأنه Sin X في Cos
210
00:23:02,240 --> 00:23:11,760
X الكل تربيه DX تمام هك؟ طيب نرجع تاني خلي بالك
211
00:23:11,760 --> 00:23:16,080
معاه هنا اقول خلي بالك معاه هنا
212
00:23:20,390 --> 00:23:25,250
بترجع بالذاكرة الى الوراء لحساب المثلثات احنا
213
00:23:25,250 --> 00:23:33,950
عندنا Sin 2x يساوي 2 Sin x في Cos x إذا اللي بينقسم
214
00:23:33,950 --> 00:23:39,810
هذا هو هذا بس اش فيش فيه اتنين نقسم على اتنين يبقى
215
00:23:39,810 --> 00:23:47,590
هذه كأنها نص Sin اتنين x بده يساوي Sin x في Cos x
216
00:23:47,590 --> 00:23:56,350
إذا صارت المسألة هي تكامل لـSin تربيه الـ x في نص و
217
00:23:56,350 --> 00:24:00,970
يضايحك خلّيها دوري الـSin تربية زي ما قاللي هي نص
218
00:24:00,970 --> 00:24:07,190
في واحد ناقص Cosine اتنين الـ X وهذه اللي هي النص
219
00:24:07,190 --> 00:24:16,250
في Sin اتنين X لكل تربيه و DX طيب النص لما ربيعه
220
00:24:16,250 --> 00:24:21,730
بصير كدهش؟ ربع مضروبة في مين؟ في نص كدهش بيصير؟
221
00:24:21,730 --> 00:24:26,710
الطمون هذا برا مع السلامة يبجى هاي طمون وهاي تكامل
222
00:24:26,710 --> 00:24:32,790
بقى اللي عندى واحد ناقص Cosine اتنين X وهد اللي هى
223
00:24:32,790 --> 00:24:42,090
مين اللي هى Sin تربيع لاتنين X في الـ DX بقول كويس
224
00:24:42,400 --> 00:24:47,260
يبقى هذه بدها تساوي هي الطمون برا و هي تكامل بدها
225
00:24:47,260 --> 00:24:56,800
فك القوس يبقى Sin تربيع اتنين اكس DX ناقص طمون و
226
00:24:56,800 --> 00:25:04,220
هي تكامل لـSin تربيع اتنين اكس Cosine اتنين اكس في
227
00:25:04,220 --> 00:25:11,350
الـ DX يبقى جزاية التكامل لقداش إلى تكاملانبالتالي
228
00:25:11,350 --> 00:25:15,430
هذا أصعب من اللي جابله، اللي قمت اللي جابله أسهل
229
00:25:15,430 --> 00:25:19,710
منه هذا، يبقى إذا الأسس الزوجية فيها شوية خرباطة،
230
00:25:19,710 --> 00:25:23,730
بيبقى تشتغل شوية شغل، بنقول له كويس، هذا الكلام
231
00:25:23,730 --> 00:25:29,740
بدي يساوي تمن في تكامل نعود للصين الترابية بدي
232
00:25:29,740 --> 00:25:34,120
اكتبها بدلال الضعف الزاوية يعني بدي اتخلص من مين؟
233
00:25:34,120 --> 00:25:41,060
من الترابية يبقى هذه عبارة عن مين؟ نص في واحد ناقص
234
00:25:41,060 --> 00:25:47,360
كوسين قداش؟ قد هذه مرتين يبقى أربع اكس كله في DX
235
00:25:47,360 --> 00:25:57,240
ناقص تمن تكامل نعود لهذه هذه ههه لو حطيت الـ Y تساوي
236
00:25:57,240 --> 00:26:06,640
الـSign اللي هو اتنين x يبقى DY يساوي Cosine اتنين
237
00:26:06,640 --> 00:26:13,060
x في اتنين في الـ dx اتنينات ماعنديش يبقى نص DY
238
00:26:13,060 --> 00:26:19,120
يساوي Cosine اتنين x dx إذا ممكن اشيل هذه كلها و
239
00:26:19,120 --> 00:26:27,280
احط بدلها جداش مص DY يبقى هاي المص وهذا Y تربيع
240
00:26:27,280 --> 00:26:34,280
وهذا الـ DY يبقى آلة المسألة إلى الشكل التالي واحد
241
00:26:34,280 --> 00:26:45,410
على ستة عشر في X ناقص Sign أربعة X على أربعة نقص
242
00:26:45,410 --> 00:26:51,430
واحد على ستاشر
243
00:26:51,430 --> 00:27:02,840
وهذه Y تكعيب على تلاتة زائد Constant C 1 على 16x
244
00:27:02,840 --> 00:27:14,940
ناقص 1 على 64 Sin 4x و هنا ناقص 1 3 في 16 ب 48 و
245
00:27:14,940 --> 00:27:19,200
بده اشيل الـ Y و احط مكانها Sin 2x
246
00:27:29,180 --> 00:27:33,740
يبقى هذا السؤال كان الأسس للـSign و الـCosine
247
00:27:33,740 --> 00:27:40,460
زوجية وبالتالي هذا المثال أفضل من الأربع أمثلة
248
00:27:40,460 --> 00:27:46,700
السابقة طيب ننتقل الآن إلى المقطة الثانية من هذا
249
00:27:46,700 --> 00:27:54,040
الـ Section وهي المقطة الثانية culminating
250
00:27:58,050 --> 00:28:07,010
eliminating square roots بدنا نحذف الجذور التربيعية
251
00:28:07,010 --> 00:28:14,050
أو الجذور التربيعية يعني لو جئت جذر في المسألة
252
00:28:14,050 --> 00:28:23,410
كيف بدك تتخلص من الجذر example evaluate
253
00:28:26,600 --> 00:28:32,180
the following integrals
254
00:28:32,180 --> 00:28:38,180
أولًا
255
00:28:38,180 --> 00:28:45,040
تكامل من هذه التكاملات نمر a تكامل من صفر لغاية
256
00:28:45,040 --> 00:28:50,360
π على اثنين للـ x الجذر التربيعي إلى واحد ناقص
257
00:28:50,360 --> 00:28:53,160
cos 2x dx
258
00:28:58,610 --> 00:29:02,290
عندما يقول للمناطق square roots يعني كيف بدك تتخلص من
259
00:29:02,290 --> 00:29:06,950
الجذر التربيعي اللي موجود عندك في المسألة و تقدر
260
00:29:06,950 --> 00:29:12,570
تكامل مين؟ تقدر تكامل المسألة اللي عندك بقول له بسيطة
261
00:29:12,570 --> 00:29:17,110
عشان أتخلص من هذا الجذر بدي الكمية اللي تحته تبقى
262
00:29:17,110 --> 00:29:23,220
كمية مربعة بقول له اه هذه 1-cos 2x
263
00:29:23,220 --> 00:29:29,240
مرت علينا شغلات توفي الجزء النظري كتبناها كتبنا أن
264
00:29:29,240 --> 00:29:35,780
sin2 الـ x يساوي النصف في 1-cos 2x
265
00:29:35,780 --> 00:29:36,180
x
266
00:29:49,810 --> 00:29:55,890
إذا ما بقدر أشيل الجذر هذا و أكتب بدله 2sin2
267
00:29:55,890 --> 00:30:02,770
الـ x يبقى آلة المسألة تكامل من 0 لـ π على 2 لـ x
268
00:30:02,770 --> 00:30:10,150
الجذر التربيعي لـ 2sin2 x كله dx يساوي
269
00:30:11,060 --> 00:30:15,860
جذر 2 خده برا ما له دعوة و بيبقى التكامل x
270
00:30:15,860 --> 00:30:21,260
والجذر التربيعي للـ sin2 الـ x هو absolute value
271
00:30:21,260 --> 00:30:24,980
للـ sin لكن من صفر لـ π على اثنين في الربع الأول
272
00:30:24,980 --> 00:30:30,020
الجيب موجب يبقى لا داعي للـ absolute value يبقى
273
00:30:30,020 --> 00:30:35,760
تكامل للـ sin الـ x dx من عند الـ صفر لغاية قداش π
274
00:30:35,760 --> 00:30:42,360
على اثنين طيب هذا سهل أخذناه في الـ integration by
275
00:30:42,360 --> 00:30:50,100
parts صحيح ولا لأ x و أس n في sin x أو sin
276
00:30:50,100 --> 00:30:55,200
x يبقى بعمله الـ table مباشرة فبقول له هذا بتاخده
277
00:30:55,200 --> 00:31:01,030
derivatives وهذا بدي أخده integrals إيش الـ
278
00:31:01,030 --> 00:31:05,170
derivatives اللي هي x؟ إيش التكامل اللي هي sin x؟
279
00:31:05,170 --> 00:31:11,170
يبقى 1 تكامل الـ sin بـ -cos يبقى 0 يبقى
280
00:31:11,170 --> 00:31:17,690
-sin x هذا في هدف الموجب وهذا في هدف السالب
281
00:31:17,690 --> 00:31:24,510
إذا انتقلت المسألة إلى جذر اثنين برة تنقلها الحمد
282
00:31:24,510 --> 00:31:36,340
لله هذه تكاملها كالتالي لمن؟ لـ -x في cos x زائد
283
00:31:36,340 --> 00:31:43,800
sin x كله من صفر لغاية π على اثنين يساوي جذر
284
00:31:43,800 --> 00:31:49,840
اثنين فيه بنعوض بالقيمة اللي فوق ناقص القيمة اللي
285
00:31:49,840 --> 00:31:57,040
تحتنا x ثمين فيه cos اللي هو من x بدي أشيل كل
286
00:31:57,040 --> 00:32:02,260
x و أحط مكانها اللي هو π على اثنين و أشوف إيش
287
00:32:02,260 --> 00:32:04,700
بده يكون النتيجة
288
00:32:06,260 --> 00:32:09,940
يبقى هذا الكلام بده يساوي لو حطينا π على اثنين
289
00:32:09,940 --> 00:32:14,180
cos π على اثنين بقداش؟ بـ 0 يبقى طاري الترم
290
00:32:14,180 --> 00:32:19,340
اللي عندنا هذا هي 0 اللي بعد cos π على اثنين
291
00:32:19,340 --> 00:32:26,820
بقداش؟ بـ 1 ناقص 0 في 1 مع زائد بـ 0 وهذا
292
00:32:26,820 --> 00:32:30,680
بيصير ناقص sin اللي هي 0 بقداش؟ بـ 0
293
00:32:53,910 --> 00:33:01,500
هذا يعتبر من المسائل السهلة لأن السؤال مباشر يبقى
294
00:33:01,500 --> 00:33:09,320
هذا نمرة a نمرة b لو كان تكامل من π على ثلاث
295
00:33:09,320 --> 00:33:16,280
إلى π على اثنين لـ sin2 الـ x على مين؟ على
296
00:33:16,280 --> 00:33:26,100
الجذر التربيعي لـ 1-cos x dx وطلب مني أن
297
00:33:26,100 --> 00:33:32,140
أكمل هذا السؤال وقلنا بدك تكمل بعد ما تتخلص منين؟
298
00:33:32,140 --> 00:33:36,000
من الجذر لأن الأنواع اللي احنا رافعينه اللي و حق
299
00:33:36,000 --> 00:33:41,300
الجذور للمثال، أقول له بسيطة، هذا السؤال ممكن أن يحل
300
00:33:41,300 --> 00:33:46,680
بأكثر من طريقة، إحدى هذه الطرق، ممكن أروح أقول له
301
00:33:46,680 --> 00:33:56,100
تكامل من π على 3 لـ π على 2 لمن؟ لـ sin2 الـ x
302
00:33:56,100 --> 00:34:02,100
على الجذر التربيعي لـ 1-cos x إيش رأيك لو
303
00:34:02,100 --> 00:34:09,360
ضربته في 1 صحيحة؟ الجذر التربيعي لـ 1+cos
304
00:34:09,360 --> 00:34:15,840
x على الجذر التربيعي لـ 1+cos x كله بالنسبة
305
00:34:15,840 --> 00:34:24,340
لمن؟ لـ dx يبقى هذا يساوي تكامل من π على ثلاث إلى
306
00:34:24,340 --> 00:34:32,380
π على اثنين لـ sin2 الـ x في الجذر التربيعي
307
00:34:32,380 --> 00:34:38,140
لـ 1+cos x على الجذر التربيعي هذا جذر
308
00:34:38,140 --> 00:34:43,690
وكميتين مضروبتين في بعض هذه تحليل الفرق بين
309
00:34:43,690 --> 00:34:52,390
المربعين يبقى 1-cos2 الـ x dx يبقى
310
00:34:52,390 --> 00:34:57,770
هذا الكلام يساوي تكامل من π على ثلاث إلى π على
311
00:34:57,770 --> 00:35:03,690
الاثنين لـ sin2 الـ x الجذر التربيعي لـ 1+
312
00:35:03,690 --> 00:35:10,130
cos x على طلعنا من هذا المقدار 1-cos
313
00:35:10,130 --> 00:35:15,950
تربيع sin2 نطلعها من تحت الجذر بالـ sin على
314
00:35:15,950 --> 00:35:20,610
الفترة هذه في الربع الأول يبقى هي positive يبقى
315
00:35:20,610 --> 00:35:26,410
هنا sin الـ x 1-cos2 بالـ sin2
316
00:35:26,410 --> 00:35:33,950
تحت الجذر تطلع بـ sin الـ x dx نختصر البسط مع المقام
317
00:35:33,950 --> 00:35:39,490
يبقى integration من π على ثلاث إلى π على
318
00:35:39,490 --> 00:35:47,250
اثنين لمن؟ لـ sin الـ x الجذر التربيعي لـ 1+
319
00:35:47,250 --> 00:35:54,060
cos الـ x كله في الـ dx المسألة الآن صارت مسألة سهلة
320
00:35:54,060 --> 00:35:59,040
وبسيطة، يبقى ما عليك إلا أشيل كل الكمية اللي تحت
321
00:35:59,040 --> 00:36:04,770
الجذر و أحطها بأي متغير جديد إذا لو حطيت الـ y
322
00:36:04,770 --> 00:36:11,730
تساوي 1+cos الـ x يبقى dy يساوي -sin
323
00:36:11,730 --> 00:36:18,770
x في dx إذا sin الـ x مع الـ dx بقدر أشيله و أكتب
324
00:36:18,770 --> 00:36:21,890
بدلها قداش؟ -dy
325
00:36:35,720 --> 00:36:41,580
طيب إذا السؤال أصبح على الشكل التالي يساوي تكامل
326
00:36:41,580 --> 00:36:49,920
لمين؟ للجذر التربيعي لـ y وهذه يدوش -dy يبقى هاي
327
00:36:49,920 --> 00:36:55,340
السالب برا وهي الـ dy يبقى المسألة إذا تحولت لمين؟
328
00:36:55,340 --> 00:37:00,100
بهذا الشكل بيغير حدود تكامل قَبْل يبقى لمين؟ لهذه
329
00:37:00,100 --> 00:37:05,670
التعويض يبقى بداية أقول له لو كانت x بـ π على اثنين
330
00:37:05,670 --> 00:37:10,770
cos π على اثنين بـ 0 بظل قداش؟ بظل 1 يبقى
331
00:37:10,770 --> 00:37:17,790
هنا 1 اللي بعده لو كانت عندك هذه 0 يبقى وين
332
00:37:17,790 --> 00:37:24,110
راحت اللي هي π على ثلاث بيصير جتا π على ثلاث اللي
333
00:37:24,110 --> 00:37:29,450
هو النصف يبقى بزيد 1 3 على 2 يبقى هذه
334
00:37:29,960 --> 00:37:38,400
3 على 2 3 على 2 3 على 2
335
00:37:38,400 --> 00:37:41,640
3
336
00:37:41,640 --> 00:37:43,120
على 2 3 على 2 3 على 2 3
337
00:37:43,120 --> 00:37:47,060
على 2 3 على 2 3 على 2 3
338
00:37:47,060 --> 00:37:50,120
على 2 3 على 2 3 على 2 يبقى
339
00:37:50,120 --> 00:37:57,100
يساوي اللي هو 2/3 y3/2 من 1
340
00:37:57,100 --> 00:38:04,180
لغاية 3 على 2 يبقى هنا 2/3 برا وهنا
341
00:38:04,180 --> 00:38:10,500
3 على 2 أس 3 على 2 ناقص 1 أس
342
00:38:10,500 --> 00:38:14,840
3 على 2 اللي هو 1 ويساوي 2 على
343
00:38:14,840 --> 00:38:20,880
3 فيه هذا شباب معناته الجذر التربيعي للمقدار
344
00:38:20,880 --> 00:38:26,980
تكعيب تكعيب يبقى 27 تحت الجذر يبقى 3
345
00:38:26,980 --> 00:38:33,520
جذر 3 يبقى هذا 3 جذر 3 المقام 2
346
00:38:33,520 --> 00:38:38,660
تكعيب تحت الجذر يعني 8 يعني 2 جذر 2
347
00:38:38,660 --> 00:38:46,600
ناقص 2/3 نفك الكسر بيصير جذر 3 على جذر 2
348
00:38:46,600 --> 00:38:54,600
ناقص 2/3 هذه هي من الإجابة النهائية طب واحد ثاني
349
00:38:54,600 --> 00:38:59,000
قال لي أنا ممكن أحله بطريقة غير هذه قلنا له كيف؟
350
00:38:59,000 --> 00:39:05,100
قال لي هي التكامل تبعنا يبقى another solution بدي
351
00:39:05,100 --> 00:39:09,620
أخليك أحله أنت بس أنا بدي أعطيك المفتاح أن أقول لك
352
00:39:09,620 --> 00:39:14,460
توكل على الله يبقى من π على 3 إلى π على
353
00:39:14,460 --> 00:39:25,200
2 الآن كده sin 2x sin 2x sin
354
00:39:25,200 --> 00:39:33,460
2x اللي هو 2sin x cos x صحيح طيب كده sin
355
00:39:33,460 --> 00:39:38,930
الـ x يبقى الزاوية اللي جوا نصف الزاوية اللي برا
356
00:39:38,930 --> 00:39:46,990
يبقى 2sin x/2 cos x/2
357
00:39:46,990 --> 00:39:54,150
يبقى كأن المسألة هذه 2sin x/2 cos x
358
00:39:54,150 --> 00:40:00,550
على 2 الكل تربيع هذه مين؟ ليه الـ sin2 طل
359
00:40:00,550 --> 00:40:03,710
الجذر هذا يبقى هذا الجذر
360
00:40:12,060 --> 00:40:17,540
هذه 2sin2 يساوي 1-cos 2x
361
00:40:17,540 --> 00:40:21,660
x أنا ما عنديش cos 2x وإنما عندي cos
362
00:40:21,660 --> 00:40:25,880
x واحد يبقى الزاوية اللي برا نصف الزاوية اللي جوا
363
00:40:26,300 --> 00:40:30,920
يبقى بالإنها على مصير 2sin2 x/2
364
00:40:30,920 --> 00:40:38,160
هي الـ 1-cos x يبقى بقدر أكتب هذه 2sin
365
00:40:38,160 --> 00:40:45,720
2 x/2 كله في الـ dx خلصنا؟ عايزين نعرف
366
00:40:45,720 --> 00:40:52,360
نكملها الحين ونختصر هذه مع اللي فوق ونروح نكمل وهي
367
00:40:52,360 --> 00:40:54,480
الجواب عندك
368
00:40:56,360 --> 00:41:02,960
سنبدأ الآن بالنقطة الثالثة من هذه المقالات النقطة
369
00:41:02,960 --> 00:41:13,080
الثالثة هي الـ integrals integrals
370
00:41:13,080 --> 00:41:16,320
قوى
371
00:41:16,320 --> 00:41:19,700
ثاني
372
00:41:19,700 --> 00:41:27,090
x و sec x يعني ما حدش يحسم الحد كنت بتتكلم عن الـ sin
373
00:41:27,090 --> 00:41:30,490
والـ cos في الأمثلة السابقة الآن نتكلم عن
374
00:41:30,490 --> 00:41:38,770
الـ secant ثاني example evaluate
375
00:41:38,770 --> 00:41:47,150
the following integrals
376
00:41:50,240 --> 00:41:58,720
يحسب التكاملات التالية، نمرة واحدة بتكامل سك الست
377
00:41:58,720 --> 00:42:07,400
اكس سك الست اكس في دي اكس، نحسب سك الست اكس دي اكس
378
00:42:07,400 --> 00:42:13,220
وبعدين بقول له هذه بقدر أكتبها على الشكل التالي سك
379
00:42:13,220 --> 00:42:21,020
تربيع الاكس الكل تربيع في مين؟ في سك تربيع الاكس في
380
00:42:21,020 --> 00:42:27,130
دي اكس، بعد ما كتبتها بالشكل هذه بدي أحولها كلها
381
00:42:27,130 --> 00:42:33,550
بدلالة التان، كيف أحولها بدلالة التان؟ بسيطة هي
382
00:42:33,550 --> 00:42:38,170
تكامل سك تربيع ما علينا، واحد زائد تان تربيع ال X
383
00:42:38,170 --> 00:42:45,090
إذا هذي بقدر أقول واحد زائد تان تربيع ال X الكل
384
00:42:45,090 --> 00:42:53,140
تربيع في مين؟ طلع لي لهذه مش هذي مشتقة التان ال X صح؟
385
00:42:53,140 --> 00:42:59,780
إذا بقدر أشيل وأكتب قداش دي لتان ال X انفك
386
00:42:59,780 --> 00:43:06,740
التربيع، يبدأ تكامل واحد زائد اثنين تان تربيع ال X
387
00:43:06,740 --> 00:43:14,780
زائد تان أس أربعة X كله بالنسبة لمين؟ لتان ال X Y
388
00:43:14,780 --> 00:43:21,500
يساوي قداش؟ مشتقة الواحد بالنسبة لتان ال X، تان ال X
389
00:43:21,500 --> 00:43:30,870
ممتاز، يبقى هذه تساوي تان ال X، اللي بعدها تلتين تان
390
00:43:30,870 --> 00:43:42,870
تكعيب ال X، اللي بعدها خمس تان أس خمسة X زائد
391
00:43:42,870 --> 00:43:44,630
Constant C
392
00:43:52,130 --> 00:43:55,110
أعطيك العافية ونكمل المرة الجاية إن شاء الله