1
00:00:21,410 --> 00:00:29,070
السلام عليكم، اليوم في اللقاء الأول هناخد مناقشة و
2
00:00:29,070 --> 00:00:36,710
أعتقد أن احنا في المناقشة السابقة وصلنا لـ section
3
00:00:36,710 --> 00:00:46,810
ثلاثة خمسة، أصبع؟ فممكن
4
00:00:46,810 --> 00:01:07,930
اليوم هنناقش section ثلاثة ستة أو ثلاثة سبعة في
5
00:01:07,930 --> 00:01:14,710
أي أسئلة عندكم في section ثلاثة خمسة أو section
6
00:01:14,710 --> 00:01:25,230
ثلاثة ستة، السؤال ستة، أي سؤال؟ سؤال ثلاثة ستة
7
00:01:25,230 --> 00:01:35,470
سؤال
8
00:01:35,470 --> 00:01:37,650
ستة، section ثلاثة ستة
9
00:01:46,160 --> 00:01:58,020
Let xn, let the sequence xn be properly divergent
10
00:01:58,020 --> 00:02:05,920
there, and let
11
00:02:05,920 --> 00:02:24,780
and let yn be such that limit xn ضرب yn limit
12
00:02:24,780 --> 00:02:31,980
حاصل الضرب لما n تؤول لـ infinity يساوي
13
00:02:31,980 --> 00:02:40,620
L ينتمي إلى R، يعني exists in R، شو
14
00:02:40,620 --> 00:02:54,410
مطلوب ثم اثبت، أظهر أن سيكوينس yn يتعامل
15
00:02:54,410 --> 00:03:10,230
بالصفر، حل
16
00:03:10,230 --> 00:03:17,950
السؤال هذا بيعتمد على سؤال سابق، اللي هو سؤال ثلاثة
17
00:03:17,950 --> 00:03:27,190
فالسؤال
18
00:03:27,190 --> 00:03:32,430
هذا بيقول أن f
19
00:03:32,430 --> 00:03:50,310
xn أكبر من صفر لكل n عدد طبيعي، then
20
00:03:50,310 --> 00:04:03,990
limit xn بساوي zero if and only if limit واحد على
21
00:04:03,990 --> 00:04:10,350
xn as n tends to infinity بساوي plus infinity
22
00:04:20,790 --> 00:04:27,670
Okay، لأن في سؤال طلعتها إذا كانت xn حدود sequence
23
00:04:27,670 --> 00:04:36,290
حدودها موجبة، و ف limit ال sequence xn بساوي صفر
24
00:04:36,290 --> 00:04:41,350
if and only if limit مقلوب ال sequence xn بساوي
25
00:04:41,350 --> 00:04:42,190
plus infinity
26
00:04:46,230 --> 00:04:52,690
وطبعًا في كمان ممكن نثبت أن لو كانت الـ xn حدودها
27
00:04:52,690 --> 00:05:00,950
سالبة، ف limit xn بساوي صفر if and only if limit واحد
28
00:05:00,950 --> 00:05:03,970
على xn بساوي negative infinity
29
00:05:15,220 --> 00:05:24,480
بما أن xn هو بشكل صحيح ديفرجينت
30
00:05:24,480 --> 00:05:39,580
ثم قيمة xn بساوي إنفينتي أو قيمة xn بساوي نيجاتيف
31
00:05:39,580 --> 00:05:40,180
إنفينتي
32
00:05:45,460 --> 00:05:52,220
case one، ناخد الحالة الأولى اللي فيها limit xm
33
00:05:52,220 --> 00:05:59,860
بساوي infinity by
34
00:05:59,860 --> 00:06:03,560
exercise
35
00:06:03,560 --> 00:06:15,020
رقم ثلاثة، section ثلاثة ستة، والـ exercise اللي فوق
36
00:06:15,020 --> 00:06:18,100
هذا
37
00:06:18,100 --> 00:06:27,160
معناه أنه we have هيطلع أنه limit المطلوب ال
38
00:06:27,160 --> 00:06:38,000
sequence xn as n tends to infinity بيطلع صفر، يعني
39
00:06:38,000 --> 00:06:44,710
اعتبري هذه هي xn، تعتبر الـ 1 على xn هي xn، فإذا كان
40
00:06:44,710 --> 00:06:49,510
limit xn بساوي infinity، فlimit مقلوب الـ xn اللي
41
00:06:49,510 --> 00:06:57,530
هنا، مقلوب اللي هو إيه؟ بتطلع صفر ولا عكس؟ يعني هنا
42
00:06:57,530 --> 00:07:03,850
نفس الـ exercise بس بدل xn بـ 1 على xn، فهذه
43
00:07:03,850 --> 00:07:08,690
نتيجة صحيحة تمام، hence
44
00:07:13,030 --> 00:07:16,810
الـ limit لـ
45
00:07:16,810 --> 00:07:29,290
yn as n tends to infinity بساوي الـ limit الـ
46
00:07:29,290 --> 00:07:38,110
yn، ممكن كتبتها على صورة على
47
00:07:38,110 --> 00:07:39,310
صورة
48
00:07:46,210 --> 00:07:55,770
xn في yn ضرب 1
49
00:07:55,770 --> 00:08:01,290
على xn صح؟
50
00:08:01,290 --> 00:08:09,850
نظبط هيك، الـ yn هي عبارة عن xn في yn في 1 على xn
51
00:08:12,880 --> 00:08:18,360
الآن الـ limit هذه لحد الأول exist، و limit لـ 1
52
00:08:18,360 --> 00:08:22,660
على xn برضه exist، إذا الـ limit حاصل الضرب بساوي حاصل
53
00:08:22,660 --> 00:08:27,540
ضرب الـ limits، بقدر استخدم القانون هذا، هطبق أنه
54
00:08:27,540 --> 00:08:32,360
limit حاصل ضرب two sequences بساوي limit الأولى
55
00:08:32,360 --> 00:08:41,100
اللي هي حاصل ضرب xn yn، ضرب limit الـ sequence
56
00:08:41,100 --> 00:08:48,180
التانية هي 1 على xn as n tends to infinity، و
57
00:08:48,180 --> 00:08:53,940
الـ limit الأولى مش ساميناها عدد L لما exist ضرب الـ
58
00:08:53,940 --> 00:09:01,600
limit التانية صفر، فبيطلع عندي صفر وهو المطلوب، فهنا
59
00:09:01,600 --> 00:09:05,920
أثبتنا في الحالة التانية، case two
60
00:09:10,140 --> 00:09:24,200
لو كانت الـ limit لـ xn بساوي negative infinity، ففي
61
00:09:24,200 --> 00:09:29,580
الحالة هذه بيطلع عندي برضه by exercise ثلاثة
62
00:09:29,580 --> 00:09:36,020
section ثلاثة ستة، بس هنا مع التعديل هيطلع أن الـ
63
00:09:36,020 --> 00:09:44,910
limit لـ 1 على xn مثلًا صفر، وباقي البرهان
64
00:09:44,910 --> 00:09:58,730
and the rest of the proof is similar to
65
00:09:58,730 --> 00:09:59,450
case one
66
00:10:03,650 --> 00:10:09,850
Okay تمام، إذا هذا اللي هو البرهان أن الادعاء
67
00:10:09,850 --> 00:10:15,870
يعتمد على exercise ثلاثة المهم وهو أن limit لـ
68
00:10:15,870 --> 00:10:19,750
sequence بيساوي infinity if and only if limit
69
00:10:19,750 --> 00:10:24,810
مقلوب ال sequence بيساوي صفر أو العكس تمام، وهذا
70
00:10:34,460 --> 00:10:39,400
في عنكم أسئلة ثانية؟
71
00:10:39,400 --> 00:10:45,260
في
72
00:10:45,260 --> 00:10:49,220
أسئلة ثانية، section ثلاثة ستة الفرق بيه من سؤال
73
00:10:49,220 --> 00:10:49,680
تسعة
74
00:11:33,220 --> 00:11:41,380
نحاول نكتب السؤال وبعدين السؤال
75
00:11:41,380 --> 00:11:43,600
تسعة، section ثلاثة ستة
76
00:11:53,320 --> 00:12:04,400
لت xn و yn بيكونوا عاملين من عاملين من عاملين من
77
00:12:04,400 --> 00:12:06,860
عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من
78
00:12:06,860 --> 00:12:09,100
عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من
79
00:12:09,100 --> 00:12:22,440
عاملين من عاملين
80
00:12:31,890 --> 00:12:44,270
مطلوب الأول هو show if limit yn بساوي infinity
81
00:12:44,270 --> 00:12:51,370
then limit
82
00:12:51,370 --> 00:12:53,590
xn بساوي infinity
83
00:12:56,820 --> 00:13:10,660
والجزء الثاني show if xn is bounded then
84
00:13:10,660 --> 00:13:15,680
limit
85
00:13:15,680 --> 00:13:25,600
yn is serviceable طبعًا
86
00:13:30,880 --> 00:13:39,520
في برهانين للـ
87
00:13:39,520 --> 00:13:47,540
للـ exercise هذا، البرهان الأول باستخدام
88
00:13:47,540 --> 00:13:55,580
exercise 7 اللي جابله، يعني هنا since
89
00:13:55,580 --> 00:14:04,790
من الفرض لما إنه limit xn على yn as n tends to
90
00:14:04,790 --> 00:14:15,150
infinity بساوي plus infinity then by exercise
91
00:14:15,150 --> 00:14:24,790
ثلاثة، section ثلاثة ستة، if limit sequence بساوي
92
00:14:24,790 --> 00:14:30,780
infinity بيطلع limit مقلوب الـ sequence اللي هو yn
93
00:14:30,780 --> 00:14:40,920
على xn as n tends to infinity بساوي صفر، now
94
00:14:40,920 --> 00:14:44,480
apply
95
00:14:44,480 --> 00:14:47,900
exercise
96
00:14:47,900 --> 00:14:55,940
رقم سبعة، section ثلاثة ستة، to
97
00:14:55,940 --> 00:14:56,340
get
98
00:14:59,870 --> 00:15:13,950
the results in a and b، وهذا بيعطيني المطلوب، لو بصيت ولا
99
00:15:13,950 --> 00:15:18,950
لا الـ exercise
100
00:15:18,950 --> 00:15:25,070
سبعة في الـ exercise سبعة بيقول ده كانت الـ limit للـ
101
00:15:25,070 --> 00:15:30,880
quotient للـ quotient زي هذا بساوي صفر، و xn و yn
102
00:15:30,880 --> 00:15:37,200
حدودهم موجبة، ففي الحالة هذه إذا كانت limit الـ
103
00:15:37,200 --> 00:15:47,200
sequence اللي تحت convergent إذا
104
00:15:47,200 --> 00:15:50,240
كانت limit الـ sequence اللي تحت
105
00:15:56,100 --> 00:16:01,960
لأ limit الـ sequence اللي فوق اللي هي yn هنا
106
00:16:01,960 --> 00:16:06,040
infinity فبيطلع limit xn بالـ infinity اللي هو جزء
107
00:16:06,040 --> 00:16:12,980
الاول، وكمان إذا كانت الـ sequence اللي في المقام
108
00:16:12,980 --> 00:16:16,520
bounded اللي هي xn هنا طبعًا في المقام bounded
109
00:16:16,520 --> 00:16:21,500
فرقة الـ sequence اللي في الـ bust تطلع يساوي 0، وهذا
110
00:16:21,500 --> 00:16:25,740
هو الجزء الثاني، هذا حسب هذا لو بدنا نستخدم
111
00:16:25,740 --> 00:16:33,610
exercise رقم 7 وطبعًا لازم نبرهنه، لكن ممكن نعطي
112
00:16:33,610 --> 00:16:39,710
برهان مباشر بدون ما يستخدم exercise السابعة
113
00:16:39,710 --> 00:16:49,670
وبالتالي إذا في حال ثاني أو برهان ثاني باستخدام
114
00:16:49,670 --> 00:16:57,900
التعريفات وال comparison tests، باستخدام التعريفات
115
00:16:57,900 --> 00:17:01,820
زائد ال comparison tests، اختبارات المقارنة، الـ
116
00:17:01,820 --> 00:17:09,240
proof رقم اثنين، since
117
00:17:09,240 --> 00:17:16,820
إننا ننسى هذا القران، أنا عندي هذه الفرض since limit
118
00:17:16,820 --> 00:17:24,630
لـ xn over yn هذا عبارة عن sequence، لأن الـ limit
119
00:17:24,630 --> 00:17:33,410
إلى بالصفر plus infinity، then given Alpha أي real
120
00:17:33,410 --> 00:17:41,610
number Alpha من تعريف الـ improper convergence
121
00:17:41,610 --> 00:17:50,030
لأي Alpha there exists capital N يعتمد على Alpha
122
00:17:50,030 --> 00:17:56,450
عدد طبيعي بحيث إنه يكون M أكبر من أو يساوي الـ capital N
123
00:17:56,450 --> 00:18:12,950
بيطلع عندي xm على ym أكبر من Alpha، طبعًا
124
00:18:12,950 --> 00:18:20,480
وهذا بيقودِ أن xm أكبر من Alpha في ym، لما عندي yn
125
00:18:20,480 --> 00:18:26,120
هنا موجبة، لما أضرب الطرفين في yn، التباين إشارتها
126
00:18:26,120 --> 00:18:32,340
تبقى كما هي، إذا
127
00:18:32,340 --> 00:18:40,880
أنا عندي الآن الكلام هذا صحيح لكل n أكبر من أو يساوي
128
00:18:40,880 --> 00:18:46,540
كابتن، الآن الآن
129
00:18:46,540 --> 00:18:47,360
by
130
00:18:49,930 --> 00:18:56,930
بمعنى الـ Direct Comparison Test، بما
131
00:18:56,930 --> 00:19:02,970
إنه limit yn
132
00:19:02,970 --> 00:19:04,130
بساوي infinity
133
00:19:25,130 --> 00:19:33,010
ناخد Alpha في 1 ممكن
134
00:19:33,010 --> 00:19:37,750
آه ناخد Alpha في 1 صح، دي من الـ Alpha دي ثاني
135
00:19:37,750 --> 00:19:49,320
واحد يعني ثاني الـ R مظبوط، فده واحد وثاني واحد، بما
136
00:19:49,320 --> 00:19:54,600
أن الـ limit لـ yn
137
00:19:54,600 --> 00:20:02,180
بساوي infinity، نحن نحصل على limit لـ xn بساوي
138
00:20:02,180 --> 00:20:06,640
infinity، لأن هذا بيثبت الجزء الأول، أنت بدك الجزء
139
00:20:06,640 --> 00:20:08,160
الثاني صح؟ طيب
140
00:20:15,760 --> 00:20:19,840
بنشوف الجزء الثاني، إذا كانت الـ sequence xn
141
00:20:19,840 --> 00:20:27,400
bounded فبالتالي y in بسرعة نصف طيب
142
00:20:27,400 --> 00:20:32,420
الجزء
143
00:20:32,420 --> 00:20:43,340
دي since x is bounded إذن
144
00:20:43,340 --> 00:20:48,760
في عدد موجب There exists a positive number بحيث أنه
145
00:20:48,760 --> 00:20:57,360
absolute value of xn أصغر من أو يساوي m لكل n في هذا من
146
00:20:57,360 --> 00:21:05,280
تعريف الboundary نفسه طيب بالمنطلق بتاعنا إيه؟ أن
147
00:21:05,280 --> 00:21:16,480
ال limit ل yn عند صفر طيب to show limit yn يساوي
148
00:21:16,480 --> 00:21:23,260
zero let epsilon بنستخدم تعريف epsilon و capital M
149
00:21:23,260 --> 00:21:32,060
لإن هي let epsilon أكبر من الصفر be given من
150
00:21:32,060 --> 00:21:39,100
epsilon على M بيطلع عدد موجب من
151
00:21:41,390 --> 00:21:52,910
العدد الموجب يعتمد
152
00:21:52,910 --> 00:21:58,830
على إبسلون على M يعتبر
153
00:21:58,830 --> 00:22:01,590
إبسلون على M
154
00:22:16,450 --> 00:22:24,150
أنا عندي إيش عندي بدي
155
00:22:24,150 --> 00:22:31,170
أثبت أن limit yn يساوي صفر فخلينا نشوف
156
00:22:43,720 --> 00:22:54,900
طيب أنا لازم أستخدم .. آه لازم أستخدم ..
157
00:22:54,900 --> 00:23:01,840
طيب since ..
158
00:23:01,840 --> 00:23:06,820
طيب بس هنا يعني خليني أقول since
159
00:23:11,850 --> 00:23:20,390
بما أن ال limit ل yn على xn as n tends to infinity
160
00:23:20,390 --> 00:23:24,410
أنا عندي المقلوب هذا ال limit تبعته infinity، هذا
161
00:23:24,410 --> 00:23:29,890
ال limit تبعته صفر وهي عندي epsilon على m عدد موجب
162
00:23:29,890 --> 00:23:36,150
given، there exists capital M يعتمد على epsilon
163
00:23:36,150 --> 00:23:47,110
على m عدد طبيعي لحيث أنه لكل n أكبر من أو يساوي ال
164
00:23:47,110 --> 00:23:56,850
capital N بيطلع عندي absolute value of yn على xn ناقص ال
165
00:23:56,850 --> 00:24:05,850
zero أصغر من epsilon على m تمام؟
166
00:24:07,690 --> 00:24:27,750
طب ما هذا بيقودني فإنا
167
00:24:27,750 --> 00:24:32,910
بدي أثبت أن limit yn يساوي صفر يعني بدي أثبت أن
168
00:24:32,910 --> 00:24:38,980
ال absolute value لو كان n أكبر من أو يساوي capital
169
00:24:38,980 --> 00:24:44,920
N بتثبت أن ال absolute value ل yn ناقص 0 أصغر
170
00:24:44,920 --> 00:24:50,020
من epsilon عشان أثبت أن ال limit ل yn يساوي صفر
171
00:24:50,020 --> 00:24:55,520
بتثبت أن ال absolute value ل yn ناقص 0 أصغر من
172
00:24:55,520 --> 00:25:00,500
ال given epsilon طيب
173
00:25:00,500 --> 00:25:12,970
هذا يساوي absolute value of Yn يساوي absolute value of Xn ضرب Yn
174
00:25:12,970 --> 00:25:26,270
على Xn ناقص zero و هذا يساوي absolute value of Xn في
175
00:25:26,270 --> 00:25:30,170
absolute value of Yn على Xn
176
00:25:37,650 --> 00:25:44,410
بتكون موضوع ممكن نحط zero هنا طيب
177
00:25:44,410 --> 00:25:51,510
هذا لكل N هذا أصغر من أو يساوي M و ال absolute
178
00:25:51,510 --> 00:25:56,570
value هذه لكل N أكبر من أو يساوي capital N هذا
179
00:25:56,570 --> 00:26:05,270
أصغر من إبسلون على M إبسلون على M مش هيبقى M مع N
180
00:26:05,270 --> 00:26:14,790
بقى اللي عندي إبسلون طبعا؟ طيب since أكبر من الصفر
181
00:26:14,790 --> 00:26:25,310
was arbitrarily we get أن limit ل yn as n tends
182
00:26:25,310 --> 00:26:29,650
to infinity يساوي zero و هو المفروض يعني هذا بيكمل
183
00:26:29,650 --> 00:26:35,380
برهان الجزء بيه okay طبعا؟ هذا على اعتبار أن احنا
184
00:26:35,380 --> 00:26:41,300
exercise سبعة ما بنعرفوش بس في كل الأحوال احنا
185
00:26:41,300 --> 00:26:47,300
استخدمنا exercise ثلاثة طبعا
186
00:26:47,300 --> 00:26:54,400
هكذا بنثبت تسعة و سبعة بالمناسبة زيه بنفس الطريقة
187
00:26:54,400 --> 00:27:01,020
بأفكار مشابهة ممكن إثباته بنفس السلوب بنفس النمط
188
00:27:03,510 --> 00:27:09,270
كمان في أي أسئلة تانية في section ثلاثة سبعة؟ إذا
189
00:27:09,270 --> 00:27:15,430
مافيش خلينا ننتقل ل section ثلاثة سبعة تبع
190
00:27:15,430 --> 00:27:20,110
ال series هذا في
191
00:27:20,110 --> 00:27:24,550
عندكم أي أسئلة في section ثلاثة سبعة؟ ثلاثة خمسة؟
192
00:27:24,550 --> 00:27:25,750
ثلاثة سبعة؟
193
00:27:44,990 --> 00:27:54,110
في أي أسئلة في section ثلاثة سبعة أو ثلاثة ستة
194
00:27:54,110 --> 00:28:07,910
مافيش؟
195
00:28:07,910 --> 00:28:13,700
السؤال ثلاثة فرع ثلاثة سبعة السؤال الثالث الفرع
196
00:28:13,700 --> 00:28:14,320
السيه؟
197
00:28:28,470 --> 00:28:33,570
استخدمت ال partial fractions؟ آه بس مش .. مش كله
198
00:28:33,570 --> 00:28:37,990
بالغاية طلعت قيم A و C بيطلعوا نص و نص و B بيطلعوا
199
00:28:37,990 --> 00:28:43,770
سالب واحد و بعد ما جيت أكمل مش كل الحدود بيطلعوا
200
00:28:43,770 --> 00:28:48,790
بالطبع معايا زي قمتي لو سألني الجامعة آه عشان
201
00:28:48,790 --> 00:28:52,310
هيكون ثلاثة كسور يعني آه
202
00:28:54,820 --> 00:29:09,900
بس لازم يكون فيه يعني تلاشي و فيه
203
00:29:09,900 --> 00:29:18,020
.. نشوف
204
00:29:18,020 --> 00:29:22,040
يعني مافيش تلاشي جيبت الارتباط برشا الصمت .. فيه
205
00:29:22,040 --> 00:29:26,940
تلاشي بس فيه بيضغط آه بخلينا نشوف خليني أجرب
206
00:29:26,940 --> 00:29:44,520
السؤال
207
00:29:44,520 --> 00:29:47,580
ثلاثة الفرع C سيكشن ثلاثة سبعة
208
00:29:54,860 --> 00:29:59,300
استخدمت ال partial fractions
209
00:29:59,300 --> 00:30:03,020
لإظهار
210
00:30:03,020 --> 00:30:11,100
أن عدد الـ infinite series سيجما من ن يعني واحد
211
00:30:11,100 --> 00:30:21,320
لما لا نهاية الواحد على n في n زائد واحد في n زائد
212
00:30:21,320 --> 00:30:23,600
اثنين يساوي واحد على أربعة
213
00:30:32,200 --> 00:30:37,060
فبدنا نكتب هذا بتحلل و باستخدام ال partial
214
00:30:37,060 --> 00:30:43,740
fractions إلى ثلاثة كسور فوجدت
215
00:30:43,740 --> 00:30:48,080
فرعة التواردة كانت دي؟ كان الأولى A بتساوي نص يعني
216
00:30:48,080 --> 00:30:57,340
نص على n الثانية سالب واحد سالب أو زائد سالب واحد على
217
00:30:57,340 --> 00:31:09,270
n زائد واحد والأخيرة نص على n زائد اثنين تعال
218
00:31:09,270 --> 00:31:18,590
نحسب ال nth partial sum sn يساوي سيجما من k يساوي
219
00:31:18,590 --> 00:31:31,370
واحد إلى n ل xk اللي هو واحد على k في k زائد واحد
220
00:31:31,370 --> 00:31:40,190
في k زائد اثنين بنبدل n بال k وبعدين
221
00:31:40,190 --> 00:31:54,030
هذا عبارة عن سيجما من k يساوي واحد إلى n و بنكتب
222
00:31:54,030 --> 00:31:57,350
هذا واحد على
223
00:32:00,560 --> 00:32:07,980
2k ناقص واحد
224
00:32:07,980 --> 00:32:16,740
على k زائد واحد موجب خلينا
225
00:32:16,740 --> 00:32:21,800
نحط الحاجات الموجبة مع بعض يعني زائد واحد على
226
00:32:21,800 --> 00:32:26,360
2k زائد أربعة
227
00:32:28,860 --> 00:32:36,700
ناقص واحد على K ناقص واحد و
228
00:32:36,700 --> 00:32:42,140
بعدين نكتب أول شوية حدود مهم جدا اللي كل ثوابت هذه
229
00:32:42,140 --> 00:32:48,080
صح يعني في حد ثاني جابهم متأكد من صحتهم لأن لو
230
00:32:48,080 --> 00:32:50,680
فيهم خطأ مش هنقبلهم ونطلع الجواب
231
00:33:03,670 --> 00:33:08,910
فنكتب أول حد هي .. أول حد هيكون لما k يساوي
232
00:33:08,910 --> 00:33:17,090
واحد .. نص .. هيطلع نص زائد واحد على .. ثمانية ..
233
00:33:17,090 --> 00:33:24,090
اثنين .. لأ واحد على ستة .. واحد على ستة صح ناقص
234
00:33:24,090 --> 00:33:26,110
نص .. سالب نص
235
00:33:31,480 --> 00:33:38,960
زائد لحد الثاني واحد على ثلاثة زائد
236
00:33:38,960 --> 00:33:41,520
.. واحد على أربعة .. واحد على أربعة .. أربعة .. الأول
237
00:33:41,520 --> 00:33:48,800
واحد على أربعة أو واحد على أربعة الأول وبعدين واحد
238
00:33:48,800 --> 00:33:53,040
على .. ثمانية .. واحد على ثمانية .. ثمانية ناقص
239
00:33:53,040 --> 00:34:03,060
ثُلث ناقص ثُلث طيب قول لي بعده واحد على ستة واحد على
240
00:34:03,060 --> 00:34:09,380
ستة واحد على إيه؟ على ستة واحد على عشرة اثنين في
241
00:34:09,380 --> 00:34:14,500
ثلاثة بستة آه واحد على ستة زائد واحد على عشرة زائد
242
00:34:14,500 --> 00:34:25,360
واحد على عشرة ناقص ربع ناقص ربع زائد
243
00:34:25,360 --> 00:34:39,020
وهكذا الآخر حد هيكون واحد على 2n زائد واحد على 2n زائد 4
244
00:34:39,020 --> 00:34:55,940
مع بعض وبعدين الثاني واحد على n زائد 1 فنشوف
245
00:34:55,940 --> 00:35:01,570
إيش اللي بيتلاشى وإيش اللي بيطلع يعني نص هنا راح مع
246
00:35:01,570 --> 00:35:07,190
نص و
247
00:35:07,190 --> 00:35:20,090
ربع هنا راح مع الربع هنا قلت
248
00:35:20,090 --> 00:35:26,030
لك هذا مش هيروح مع حد صح؟ هذا يبقى
249
00:35:30,600 --> 00:35:36,960
لكن الثمن هيروح والثُلث هيروح لأن الثُلث في مجموعة
250
00:35:36,960 --> 00:35:42,560
ليه ثُلث والثمن هيجمع ليه الثمن بس برضه هييجي
251
00:35:42,560 --> 00:35:46,620
ناقص واحد على ثمانية وهيظل واحد على ثمانية فيه؟
252
00:35:46,620 --> 00:35:51,220
آه لما نقعد بالقيمة سوى سبعة هيطلع إننا ناقص واحد
253
00:35:51,220 --> 00:35:54,040
على ثمانية آه شيء ناقص واحد على ثمانية
254
00:35:56,980 --> 00:36:01,600
وممكن كمان برضه واحد على ستة أو في برضه واحد على
255
00:36:01,600 --> 00:36:08,020
ستة سيطلع سالب واحد على ستة لأن بيساوي خمسة سيطلع
256
00:36:08,020 --> 00:36:14,700
ثاندي سالب واحد على ستة فمين اللي بيضل على المحدود
257
00:36:14,700 --> 00:36:21,140
يعني
258
00:36:21,140 --> 00:36:33,420
بتاعي هذا ستس هيبقى هذا هيروحوا هذا هيروح يعني
259
00:36:33,420 --> 00:36:39,600
شو اللي بضل في الآخر يعني
260
00:36:39,600 --> 00:36:46,060
أنا بتاعي اللي هيضل في الآخر اللي هو يمكن الثُلث
261
00:36:46,060 --> 00:36:53,860
الثُلث ناقص ثُلث وهنا
262
00:36:58,270 --> 00:37:05,290
كل حد بيروح مع آدم فوضوح يروح مع اللي بعده فمش
263
00:37:05,290 --> 00:37:15,870
هيروح مع حد فهيبقى واحد على اثنين يعني و
264
00:37:15,870 --> 00:37:19,030
.. إيش هيبقى كمان؟
265
00:37:30,970 --> 00:37:36,990
هذا هيروح هيبقى له اثنين هدول اثنين إيه مظلوم زاد
266
00:37:36,990 --> 00:37:51,870
واحد على اثنين ام زائد أربعة سُدُس
267
00:37:51,870 --> 00:37:59,410
ناقص ثُلث تطلع ناقص سُدُس وهذا ما يروح من صفر مش مظلوم
268
00:38:08,750 --> 00:38:15,650
المفروض ال limit تطلع ربعها بالتالي
269
00:38:15,650 --> 00:38:19,710
لازم احنا نكتب المزيد من الحدود عشان نشوف كيف النمط
270
00:38:19,710 --> 00:38:22,150
.. كيف النمط هيصير
271
00:38:27,470 --> 00:38:34,430
فبدأ عملية grouping للحدود تجميع ويعني الحصول على علامات
272
00:38:34,430 --> 00:38:41,310
معينة مش عارف أنا مش متأكد أن هذا هتكون صح يمكن
273
00:38:41,310 --> 00:38:55,770
في شغلات ثانية بتبقى واحنا ما ذكرناش فال
274
00:38:55,770 --> 00:38:56,090
..
275
00:38:59,080 --> 00:39:04,640
ذا بده فحص آه فخلينا نقول try it again try it
276
00:39:04,640 --> 00:39:07,780
again
277
00:39:07,780 --> 00:39:17,200
خلينا نحاول فيه مرة ثانية ونحاول يعني نقدر نخلي
278
00:39:17,200 --> 00:39:22,740
يعني هذا يساوي ربع أو يساوي حاجة ال limit بتاعتها في
279
00:39:22,740 --> 00:39:26,480
النهاية هتطلع ربع وبالتالي ال limit لل sequence of
280
00:39:26,480 --> 00:39:29,180
partial sums هيطلع ربعه وبالتالي ال series
281
00:39:29,180 --> 00:39:33,000
conversion مجموعة بساوي ال limit لل partial sums
282
00:39:33,000 --> 00:39:38,700
فهذا يعني مشكوك فيه شكله مش صح نحاول مرة ثانية فيه
283
00:39:38,700 --> 00:39:43,100
وبعدين نشوف يعني كيف مين اللي بيصل للجواب الصح
284
00:39:43,100 --> 00:39:48,720
نحاول نكتبه مرة ثانية okay تمام لكن يعني ماهو
285
00:39:48,720 --> 00:39:53,570
مستحيل أو ماهو يعني صعب ممكن أي واحد يتوصل إليه
286
00:39:53,570 --> 00:39:58,990
بس بده إيه مزيد من الحدود والاستنتاج نمط معين
287
00:39:58,990 --> 00:40:04,370
فخلينا نسيبكم تفكروا فيه كمان مرة في أسئلة ثانية
288
00:40:04,370 --> 00:40:08,990
في ال section هذا فحاولوا
289
00:40:08,990 --> 00:40:11,170
تفكروا فيه في أسئلة ثانية
290
00:40:17,700 --> 00:40:21,980
في أسئلة ثانية في section ثلاثة سبعة أو ال sections
291
00:40:21,980 --> 00:40:32,680
السابقة اللي تسبقه ثلاثة ستة ثلاثة خمسة في
292
00:40:32,680 --> 00:40:38,140
كتير أسئلة يعني مطلوبة منكم واضح أن أنتم مش محضرين
293
00:40:38,140 --> 00:40:42,420
ولا دارسين الموضوع وبالتالي ما عندكم مش أسئلة
294
00:40:46,220 --> 00:40:54,880
فإلى أن يكون عندكم أسئلة بنكمل المناقشة يوم السبت
295
00:40:54,880 --> 00:40:59,860
الجاي أو تحضروا المناقشة مع الشعبة الثانية يوم
296
00:40:59,860 --> 00:41:05,140
الأربعاء خلينا
297
00:41:05,140 --> 00:41:14,690
نرجع لل limits of functions وناخد المثال الأخير في
298
00:41:14,690 --> 00:41:16,930
ال section هذاك
299
00:41:46,290 --> 00:41:50,970
المرة الجاية دخلنا أثبتنا
300
00:41:50,970 --> 00:42:02,310
أن ال limit أثبتنا
301
00:42:02,310 --> 00:42:05,450
أن ال limit أنتِ مثال رقم 2
302
00:42:08,630 --> 00:42:15,350
لسفر function ل X لما X تقول لسفر does not exist
303
00:42:15,350 --> 00:42:19,270
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
304
00:42:19,270 --> 00:42:21,290
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
305
00:42:21,290 --> 00:42:21,570
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
306
00:42:21,570 --> 00:42:21,890
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
307
00:42:21,890 --> 00:42:22,210
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
308
00:42:22,210 --> 00:42:22,610
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
309
00:42:22,610 --> 00:42:25,970
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
310
00:42:25,970 --> 00:42:33,830
أخذنا هذا و أخذنا
311
00:42:33,830 --> 00:42:46,640
هذا و أوحد على X لما X تقول لسفر does not exist in
312
00:42:46,640 --> 00:42:50,400
R فلبرحان
313
00:42:50,400 --> 00:42:56,700
ذلك let
314
00:42:56,700 --> 00:43:04,380
F of X تساوي sign واحد على X و X لا تساوي صفر
315
00:43:10,730 --> 00:43:16,210
وبعدين we consider two
316
00:43:16,210 --> 00:43:20,870
sequences واحدة
317
00:43:20,870 --> 00:43:33,750
xn الحد العام تبعها عبارة عن واحد على واحد
318
00:43:33,750 --> 00:43:38,030
على n πاي و n ينتمي ل Z
319
00:43:41,720 --> 00:43:47,620
و Yn الحد العام تبعها واحد على πاي على ثمانين زائد
320
00:43:47,620 --> 00:43:56,020
اثنين N πاي و N ينتمي إلى Z هذا عبارة عن Sequences
321
00:43:56,020 --> 00:44:01,300
of positive numbers
322
00:44:04,950 --> 00:44:12,130
واضح أن ال limit ل xn as n tends to infinity بساوي
323
00:44:12,130 --> 00:44:20,290
0 وكذلك ال limit ل yn لما n تقول infinity برضه
324
00:44:20,290 --> 00:44:24,730
بساوي 0 لأن المقام لما n تقول infinity المقام
325
00:44:24,730 --> 00:44:32,090
بيروح ل infinity طيب
326
00:44:32,090 --> 00:44:33,690
الآن ال limit
327
00:44:37,860 --> 00:44:42,420
الـ image لـ sequence xn لما n تقول الانفينيتي
328
00:44:42,420 --> 00:44:55,500
بساوي ال limit ل sign xn لما n تقول الانفينيتي وهذا
329
00:44:55,500 --> 00:45:05,620
بساوي ال limit ل sign n في pi لما n تقول الانفينيتي
330
00:45:06,340 --> 00:45:16,300
Sin N في Pi بساوي واحد بساوي صفر لكل N وبالتالي
331
00:45:16,300 --> 00:45:21,640
هذا بساوي limit ال sequence صفر لما N تؤول
332
00:45:21,640 --> 00:45:32,600
infinity بساوي صفر and limit
333
00:45:33,900 --> 00:45:41,360
الإمج للسيكوينس YM لما N تقول انفينيتي بساوي limit
334
00:46:08,450 --> 00:46:16,370
وهذا المفروض يكون sign
335
00:46:16,370 --> 00:46:24,840
1 على xn وهذا المفروض يكون sign 1 على yn مقلوب y in
336
00:46:24,840 --> 00:46:34,540
بيطلع بساوي πاية اتنين ازايد اتنين in πاية وهذا
337
00:46:34,540 --> 00:46:44,040
المقدار دائما بساوي واحد لكل in إذا أنا في عندي
338
00:46:44,040 --> 00:46:51,770
limit لل sequence بالحد العام تبعها واحد السيكوانس
339
00:46:51,770 --> 00:46:57,670
تابعة واحد وهذا بساوي واحد إن إن أنا في عندي
340
00:46:57,670 --> 00:47:03,710
two sequences Xm تؤول صفر و limit صورتها
341
00:47:03,710 --> 00:47:09,050
بساوي صفر و في عندي سيكوانس ثانية Ym ال limit
342
00:47:09,050 --> 00:47:13,650
تبعها أيضا بساوي صفر لكن limit صورتها بساوي
343
00:47:13,650 --> 00:47:17,310
واحد وبالتالي
344
00:47:20,360 --> 00:47:28,340
by sequential criterion ال
345
00:47:28,340 --> 00:47:35,480
limit لل function f of x لما x تقول ل0 does not
346
00:47:35,480 --> 00:47:46,440
exist in R مش ممكن تكون موجودة في R لأن
347
00:47:46,440 --> 00:47:53,900
لو كانت ال limit هذه موجودة فالمفروض limit صورة xn
348
00:47:53,900 --> 00:48:02,060
بما أن xn تؤول للسفر نكتب
349
00:48:02,060 --> 00:48:07,180
since otherwise لأن
350
00:48:07,180 --> 00:48:14,780
لو كلاك ذلك لو كانت هذه موجودة if limit
351
00:48:20,170 --> 00:48:25,210
في limit ل F of X لما X تؤول ل صفر exist
352
00:48:32,710 --> 00:48:39,990
then المفروض ال limit ل f of x n لما n تؤول
353
00:48:39,990 --> 00:48:47,270
infinity بتساوي ال limit ل f of y n as n tends to
354
00:48:47,270 --> 00:48:57,070
infinity وهذا مستحيل which is impossible وهذا زي
355
00:48:57,070 --> 00:49:03,150
ما شوفنا مستحيل impossible لأن طولها limit f of x
356
00:49:03,150 --> 00:49:09,390
in بساوي صفر و limit f of y in بساوي واحد إذن
357
00:49:09,390 --> 00:49:13,470
هنا استخدمنا sequential criterion في إثبات إن ال
358
00:49:13,470 --> 00:49:17,330
limit لل function f of x بساوي sign واحد على x
359
00:49:17,330 --> 00:49:24,490
غير موجودة عند الصفر طيب
360
00:49:24,490 --> 00:49:30,120
هناخد break خمس دقائق وبعدين نواصل المحاضرة
361
00:49:30,120 --> 00:49:31,840
الثانية