1
00:00:21,620 --> 00:00:25,660
طيب نأخذ أمثلة

2
00:00:25,660 --> 00:00:31,280
كيف نجيب الـ supremum والـ infimum لمجموعات جزئية

3
00:00:31,280 --> 00:00:36,300
من مجموعة الأعداد الحقيقية، فلو أخذت الفترة المغلقة

4
00:00:36,300 --> 00:00:42,660
من صفر لواحد، فعايز أفت claim هنا، أدعي أن الـ

5
00:00:42,660 --> 00:00:48,540
supremum للست هو واحد، البرهان لذلك حسب تعريف الـ

6
00:00:48,540 --> 00:00:53,320
supremum اللي هو least upper bound لازم أثبت شرطين

7
00:00:53,320 --> 00:00:59,140
أول شيء الواحد upper bound للـ S، وهذا صحيح، واضح، واحد 

8
00:00:59,140 --> 00:01:03,860
is upper bound لمجموعة S لأن الواحد أكبر من أو 

9
00:01:03,860 --> 00:01:08,930
يساوي كل العناصر اللي في الفترة، صح؟ إذًا واحد upper 

10
00:01:08,930 --> 00:01:13,170
bound، الآن لإثبات أن واحد هو أصغر upper bound الـ

11
00:01:13,170 --> 00:01:16,950
supremum، يعني لازم أثبت إنه واحد أصغر من أو يساوي

12
00:01:16,950 --> 00:01:25,170
أي upper bound، فلو أخذنا V، V any upper bound، فالـ V

13
00:01:25,170 --> 00:01:28,310
أكبر من أو يساوي كل العناصر اللي هنا، من ضمنها

14
00:01:28,310 --> 00:01:33,530
الواحد، إذًا الـ V أكبر من أو يساوي الـ واحد، الآن واحد 

15
00:01:33,530 --> 00:01:38,230
upper bound والواحد أصغر من أو يساوي أي upper bound

16
00:01:38,230 --> 00:01:43,910
V، إذًا الـ واحد هو الـ supremum، إذًا هيك أثبتنا إن 

17
00:01:43,910 --> 00:01:49,390
واحد هو الـ supremum، بالمثل ممكن إثبات إن العنصر أو 

18
00:01:49,390 --> 00:01:54,170
العدد صفر هو الـ infimum للفترة المغلقة من صفر إلى 

19
00:01:54,170 --> 00:02:00,850
واحد، طيب مثال ثاني لو أخذت T هي الفترة المفتوحة من

20
00:02:00,850 --> 00:02:11,950
0 لـ 1، فبرضه كمان لو 

21
00:02:11,950 --> 00:02:18,030
أخذت T هي الفترة المفتوحة من 0 لـ 1، فممكن إثبات أن

22
00:02:18,030 --> 00:02:23,970
الـ supremum لـ T هو 1، واضح إن الواحد upper bound

23
00:02:23,970 --> 00:02:29,030
للست، للفترة المفتوحة، لأن واحد أكبر من أو يساوي كل

24
00:02:29,030 --> 00:02:34,390
الـ X اللي هنا، هذا واضح، الآن لإثبات أن الواحد هذا

25
00:02:34,390 --> 00:02:37,310
هو الـ supremum، في لمّة واحد اتناش خدناها المرة

26
00:02:37,310 --> 00:02:42,070
اللي فاتت، بتقول عشان الـ upper bound واحد يكون هو

27
00:02:42,070 --> 00:02:47,310
الـ supremum لازم أثبت إنه في شرط لكل ابسلون أكبر 

28
00:02:47,310 --> 00:02:56,120
من الصفر يوجد عنصر S، Y في الست S أو T هنا، بحيث إنه

29
00:02:56,120 --> 00:03:02,300
واحد سالب الـ epsilon أصغر من S، epsilon، فهنثبت

30
00:03:02,300 --> 00:03:07,900
الكلام هذا، إذًا هنا هينبدأ let epsilon أكبر من 

31
00:03:07,900 --> 00:03:11,940
الصفر be given، لأن الـ epsilon هذا ممكن يكون أصغر

32
00:03:11,940 --> 00:03:17,980
من أو يساوي الواحد أو أكبر من أو أكبر من الواحد

33
00:03:20,030 --> 00:03:22,970
الإبسلون هذا عدد موجب، ممكن جدًا يكون أصغر من أو

34
00:03:22,970 --> 00:03:26,170
يساوي الواحد أو أكبر من واحد، نأخذ الحالة الأولى، لو

35
00:03:26,170 --> 00:03:30,770
إبسلون أصغر من أو يساوي الواحد، فحأخذ S إبسلون، أعرف

36
00:03:30,770 --> 00:03:36,330
S إبسلون، واحد سالب إبسلون على اتنين، هذا العدد

37
00:03:36,330 --> 00:03:41,350
بيطلع عدد أكبر من صفر وأصغر من واحد، وبالتالي ينتمي

38
00:03:41,350 --> 00:03:45,510
للتين، الآن

39
00:03:45,510 --> 00:03:53,380
لو أخذت واحد وطرحت منها إبسلون، فهذا بيطلع أصغر يعني

40
00:03:53,380 --> 00:03:59,840
لو أخذت واحد وطرحت منها epsilon فهذا أصغر من واحد 

41
00:03:59,840 --> 00:04:06,500
سالب epsilon على اتنين، هذا طرحت منه عدد أكبر من هذا

42
00:04:06,500 --> 00:04:17,080
لذا هذا أصغر من الثاني، وبعدين ليش يقصر؟ طب 

43
00:04:17,080 --> 00:04:25,100
ما هذا هو S إبسلون، هذا هو سإبسلون، إذا

44
00:04:25,100 --> 00:04:30,160
في الحالة هذه لأي إبسلون أكبر من الصفر، هين أثبتت 

45
00:04:30,160 --> 00:04:36,740
إن يوجد S إبسلون في T، وهذا الـ S إبسلون أكبر من 

46
00:04:36,740 --> 00:04:40,600
واحد سالب إبسلون أو واحد سالب إبسلون أصغر من S

47
00:04:40,600 --> 00:04:47,480
إبسلون، هذا هو الشرط اللي في لمّة واحد اتناش، هينتقل

48
00:04:48,090 --> 00:04:52,170
الحالة الثانية، لو كان إمسنان أكبر من واحد فأكيد

49
00:04:52,170 --> 00:04:56,050
واحد سالب إمسنان هيطلع عدد سالب، يعني أصغر من صفر،

50
00:04:56,050 --> 00:05:01,930
والـ X هذا .. الـ X هذا لو أخذت أي X في T فأي X في T

51
00:05:01,930 --> 00:05:06,300
موجب، أي X في T موجب، إذًا هين أثبتنا في الحالة

52
00:05:06,300 --> 00:05:13,160
الثانية إنه لو كان epsilon أكبر من واحد فبطلع مش

53
00:05:13,160 --> 00:05:18,620
يوجد S epsilon واحد في T، كل عناصر الـ T بتحقق إنه

54
00:05:18,620 --> 00:05:24,120
واحد سالب epsilon أصغر من S أو S epsilon، وبالتالي

55
00:05:24,120 --> 00:05:28,420
في كلتا الحالتين الـ both cases الشرط تبع لما واحد 

56
00:05:28,420 --> 00:05:33,490
اتناشر تبع الـ supremum اللي بكافئ الـ supremum متحقق

57
00:05:33,490 --> 00:05:39,810
وبالتالي واحد هو الـ supremum لـ T، مثال

58
00:05:39,810 --> 00:05:46,710
ثالث، احنا شفنا قبل شوية في بداية المحاضرة إن كل

59
00:05:46,710 --> 00:05:51,510
عدد حقيقي هو upper bound وكذلك lower bound

60
00:05:51,510 --> 00:05:57,070
للمجموعة الخالية Φ، وبناء على ذلك Φ does not

61
00:05:57,070 --> 00:06:00,730
have a supremum ولا infimum

62
00:06:03,600 --> 00:06:14,960
هي برهان Φ has no .. Φ has no supremum، البرهان

63
00:06:14,960 --> 00:06:19,380
proof، assume 

64
00:06:19,380 --> 00:06:24,240
that

65
00:06:24,240 --> 00:06:32,620
u belong to R is supremum Φ، الـ least upper bound

66
00:06:32,620 --> 00:06:33,120
لـ Φ

67
00:06:40,890 --> 00:06:53,830
then u سالب واحد أصغر من u، and u سالب واحد هاد عدد

68
00:06:53,830 --> 00:07:00,610
حقيقي is upper bound

69
00:07:00,610 --> 00:07:13,110
of الـ Φ، كمان مرة نفرض إن U جد U، نفرض

70
00:07:13,110 --> 00:07:21,590
إن U جد U جد U بالنمط R وهو Supremum لـ Φ، طيب U

71
00:07:21,590 --> 00:07:27,000
سالب واحد أصغر من U، وقبل شوية كنا ملاحظة إن أي عدد

72
00:07:27,000 --> 00:07:32,440
حقيقي زي هذا عبارة عن upper bound لـ Φ، فـ K في الـ

73
00:07:32,440 --> 00:07:37,080
U .. K في الـ U هو الـ supremum، K في الـ U هو الـ

74
00:07:37,080 --> 00:07:40,580
supremum هو أصغر upper bound، وفي upper bound أصغر

75
00:07:40,580 --> 00:07:47,260
منه، هذا بدّيني تناقض which

76
00:07:47,260 --> 00:07:52,340
.. which is a contradiction

77
00:07:59,520 --> 00:08:04,320
إن هذا بدّيني تناقض، وبالتالي هذا إثبات أن الـ Fi

78
00:08:04,320 --> 00:08:10,700
مالهاش Supremum، بالمثل ممكن إثبات أن الـ Fi أو 

79
00:08:10,700 --> 00:08:20,420
المجموعة الخالية ليس لها Supremum، طيب

80
00:08:20,420 --> 00:08:22,620
نيجي للـ completeness property

81
00:08:29,610 --> 00:08:34,370
الـ completeness property of R بتنص على إنه كل

82
00:08:34,370 --> 00:08:40,990
مجموعة غير خالية .. كل مجموعة غير خالية S من R و

83
00:08:40,990 --> 00:08:45,010
bounded above .. و bounded above محدودة من أعلى

84
00:08:45,010 --> 00:08:50,430
has supremum، لازم يكون فيه لها supremum، يعني مثال

85
00:08:50,430 --> 00:08:57,580
على ذلك لو أخذنا S بسبب الفترة المغلقة 0،1 أو الفترة

86
00:08:57,580 --> 00:09:04,960
المفتوحة من صفر، واحد فهي هذي set و bounded above، إذا

87
00:09:04,960 --> 00:09:10,960
الـ property بتقولي بتضمنلي، تضمن إن هذي الـ set لها

88
00:09:10,960 --> 00:09:15,840
supremum اللي هو الواحد اللي اثبتناه قبل شوية، إذا 

89
00:09:15,840 --> 00:09:19,700
الـ property بتضمن وجود supremum، لكن ما بتجيبليها

90
00:09:19,700 --> 00:09:26,050
ولا بتقولي إيش هو؟ عشان نجيبه لازم نعمل برهان زي ما

91
00:09:26,050 --> 00:09:30,310
شفنا في الأمثلة السابقة، هد هي الـ supremum أو الـ

92
00:09:30,310 --> 00:09:33,790
completeness property، خاصية التمام للأعداد 

93
00:09:33,790 --> 00:09:38,510
الحقيقية، الآن زي ما قلتلكم قبل هيك في توقع ما بين

94
00:09:38,510 --> 00:09:42,130
الـ upper bounds والـ lower bounds، الـ supremums والـ

95
00:09:42,130 --> 00:09:52,510
infimums، فالـ .. الـ .. أي خاصية صحيحة للـ supremum

96
00:09:52,510 --> 00:09:58,170
بتكون في مقابلها خاصية صحيحة للـ infimum، ففي نتيجة 

97
00:09:58,170 --> 00:10:03,640
هنا على completeness property، corollary بنسميها الـ

98
00:10:03,640 --> 00:10:07,580
infimum property of R، لإن في supremum property of 

99
00:10:07,580 --> 00:10:12,260
R وفي بقبلها infimum property of R، فالـ infimum

100
00:10:12,260 --> 00:10:16,160
property of R بتقول إن every non-empty subset S of 

101
00:10:16,160 --> 00:10:21,160
R which is bounded below has an infimum، يعني كل

102
00:10:21,160 --> 00:10:26,440
مجموعة غير خالية من العداد الحقيقية ومحصورة من

103
00:10:26,440 --> 00:10:30,460
أسفل لازم يكون لها infimum أو أكبر حد أدنى

104
00:10:38,820 --> 00:10:45,060
وهي البرهان .. نشوف البرهان تبع الـ .. الـ corollary

105
00:10:45,060 --> 00:10:54,520
أو النتيجة هذه، بنعرف set .. بنعرف الـ set E على 

106
00:10:54,520 --> 00:10:59,120
أنها كل العناصر W اللي بتكون lower bound للمجموعة

107
00:10:59,120 --> 00:11:06,510
S، طيب by hypothesis حسب الفرض الـ E مجموعة غير

108
00:11:06,510 --> 00:11:09,610
خالية، يعني فيها على الأقل عنصر، ليه؟ لإن احنا

109
00:11:09,610 --> 00:11:16,090
فرضين إن المجموعة S، المجموعة S هذه bounded below،

110
00:11:16,090 --> 00:11:19,710
يعني إلها lower bound، وبالتالي إذا في على الأقل 

111
00:11:19,710 --> 00:11:24,350
عنصر واحد، W في E، إذا الـ E مجموعة غير خالية، 

112
00:11:24,350 --> 00:11:25,990
تمام؟ هذا من الفرض

113
00:11:29,380 --> 00:11:34,720
كذلك من الفرض أي X في S ثبار عن upper bound لـ E

114
00:11:34,720 --> 00:11:49,760
لو كان X ينتمي إلى S فهذا بيقدّي إنه W أصغر من أو 

115
00:11:49,760 --> 00:11:56,160
يساوي X لكل W في E

116
00:12:04,760 --> 00:12:11,300
ليه هذا الكلام صحيح؟ لأن كل W في E عبارة عن lower

117
00:12:11,300 --> 00:12:17,300
bound لـ S، وبما أن W lower bound لـ S فأي عنصر في S

118
00:12:17,300 --> 00:12:23,480
بيكون أكبر من أو يساوي الـ lower bound، صح؟ إذًا هذا

119
00:12:23,480 --> 00:12:28,360
معناه إن X upper bound، هي X أكبر من أو يساوي كل

120
00:12:28,360 --> 00:12:33,820
عناصر الـ E، وبالتالي أي X في S هو عبارة عن 

121
00:12:40,550 --> 00:12:45,910
أي x في s هو upper bound للست

122
00:12:51,680 --> 00:12:57,900
خاصية التمام، إذا الـ .. الـ set E هذه is bounded

123
00:12:57,900 --> 00:13:02,580
above وبالتالي يوجد إلها supremum، الـ supremum تبعها 

124
00:13:02,580 --> 00:13:08,100
لو سميته small s exists in R، هذا .. وجود الـ supremum 

125
00:13:08,100 --> 00:13:14,560
مضمون باستخدام الـ supremum property، الآن بدنا نثبت إن

126
00:13:14,560 --> 00:13:21,000
هذا العدد small s هو الـ infimum، هو الـ infimum

127
00:13:21,000 --> 00:13:27,100
للست S، وهيك بنكون كملنا البرهان، إذا الإثبات 

128
00:13:27,100 --> 00:13:33,580
للادعاء هذا إن عندي الـ S هنا بساوي supremum E

129
00:13:33,580 --> 00:13:40,780
وبالتالي الـ S هذا upper bound لـ E، يعني S أكبر من 

130
00:13:40,780 --> 00:13:42,340
أو يساوي كل الـ X في E

131
00:13:46,050 --> 00:13:52,070
الآن بناء على المتباينة هذه أو الجملة هذه لإثبات

132
00:13:52,070 --> 00:13:58,610
أن S هي الـ infimum لـ Capital S يبقى إثبات إن S

133
00:13:58,610 --> 00:14:06,830
عبارة عن lower bound، S is a lower bound of S، ليش

134
00:14:06,830 --> 00:14:11,350
هذا يكفي لإثبات إن S هو الـ infimum لـ S؟

135
00:14:15,610 --> 00:14:20,590
تعال نشوف ليش هذا يكفي، يكفي

136
00:14:20,590 --> 00:14:28,850
إثبات إن الـ S is a lower bound للـ Capital S، يعني بدنا

137
00:14:28,850 --> 00:14:34,830
نثبت إن الـ X عفوا

138
00:14:34,830 --> 00:14:43,410
الـ S أصغر من أو يساوي كل العناصر Y

139
00:14:58,200 --> 00:15:03,540
يعني بدنا نثبت إن S ينتمي

140
00:15:03,540 --> 00:15:09,980
للست E يعني 

141
00:15:09,980 --> 00:15:17,320
لإثبات أن S is the lower bound of S معناه بدّ أثبت

142
00:15:17,320 --> 00:15:20,560
أن S عنصر في E لأن E is the set of all lower

143
00:15:20,560 --> 00:15:25,380
bounds of S صح؟ فلو أثبتت أن S تنتمي إلى E

144
00:15:34,100 --> 00:15:41,300
فالمفروض هذا معناه أن الـ S .. آه هايه .. لو هذا الـ

145
00:15:41,300 --> 00:15:47,680
S .. لو هذا الـ S أثبتت أنه .. لو أثبتت أن الـ S هذا

146
00:15:47,680 --> 00:15:49,380
ينتمي إلى E؟

147
00:15:52,900 --> 00:15:58,420
فمعناه أن كل العناصر اللي في E أصغر من أو يساوي الـ

148
00:15:58,420 --> 00:16:04,900
S طيب كل العناصر X اللي في E هي عبارة عن lower

149
00:16:04,900 --> 00:16:11,330
bounds لـ S وإذا كان S موجود في E بيكون أيضًا lower

150
00:16:11,330 --> 00:16:17,350
bound لـ S لكن الـ S هذا يتمتع بالخاصية أنه أكبر من

151
00:16:17,350 --> 00:16:22,970
أو يساوي كل عناصر الـ set A إذا هو أكبر lower bound

152
00:16:22,970 --> 00:16:29,560
يعني هو الـ infimum صح؟ تمام؟ مرة ثانية احنا وصلنا

153
00:16:29,560 --> 00:16:35,780
أن الـ X كل العناصر X في E أصغر من أو يساوي S الآن

154
00:16:35,780 --> 00:16:42,800
لو أثبتت أن الـ S هذا ينتمي لـ E يعني lower bound لـ

155
00:16:42,800 --> 00:16:50,130
S معناه أن الـ S هذا أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ E

156
00:16:50,130 --> 00:16:54,890
وبالتالي هو أكبر lower

157
00:16:54,890 --> 00:17:02,450
bound يعني هو الـ infimum إذا فعلاً يكفي أو يبقى

158
00:17:02,450 --> 00:17:06,990
إثبات أن الـ S اسمه الـ S lower bound للـ S فلبرهان

159
00:17:06,990 --> 00:17:11,770
ذلك بنعمل برهان بالتناقض افترض أن اللي احنا

160
00:17:11,770 --> 00:17:18,960
بنثبته خطأ يعني اسمه الـ S ليس lower bound للـ set S

161
00:17:18,960 --> 00:17:23,500
هذا معناه بقدر ألاقي عنصر Y في S وهذا الـ Y أصغر

162
00:17:23,500 --> 00:17:30,600
من S لأن S ليس lower bound فهذا بيؤدي .. لاحظوا أن

163
00:17:30,600 --> 00:17:35,400
الـ S هو الـ supremum لـ E .. S هو الـ supremum لـ E و

164
00:17:35,400 --> 00:17:42,980
Y أصغر منه إذن Y هذا مش ممكن يكون upper bound للـ set

165
00:17:42,980 --> 00:17:49,920
E الـ Y أصغر من S و S يساوي supremum E إذا Y مش ممكن

166
00:17:49,920 --> 00:17:54,740
يكون upper bound لـ E لأنه ما يجوز هذا يكون upper

167
00:17:54,740 --> 00:18:00,320
bound لـ E وهذا أصغر upper bound لـ E صح؟ طيب إذا

168
00:18:00,320 --> 00:18:05,980
الـ Y مش ممكن يكون upper bound لـ E إذا بقدر ألاقي X

169
00:18:05,980 --> 00:18:12,160
في E وهذا الـ X أكبر من الـ Y هذه المتباينة بتعطيني 

170
00:18:12,160 --> 00:18:12,840
تناقض

171
00:18:16,450 --> 00:18:23,870
تتناقض مع تعريف الـ set E كيف X تنتمي لـ E كيف الـ X 

172
00:18:23,870 --> 00:18:29,510
تنتمي لـ E وفي نفس الوقت X أكبر من عنصر ما اللي 

173
00:18:29,510 --> 00:18:35,010
هو Y في S يعني الـ X هذا ليس lower bound هذا تناقض

174
00:18:35,010 --> 00:18:40,130
okay إذا نصل إلى تناقض وبالتالي هذا التناقض بيقول

175
00:18:40,130 --> 00:18:42,990
لي أن الفرض الفرض تبعنا هذا

176
00:18:45,580 --> 00:18:50,800
أن s is not lower bound كان فرض خطأ إذا لازم

177
00:18:50,800 --> 00:19:01,520
يكون s lower bound وهذا بيكمل برهان الـ claim تمام؟

178
00:19:01,520 --> 00:19:08,040
في

179
00:19:08,040 --> 00:19:09,500
الـ section القادم

180
00:19:12,270 --> 00:19:18,530
هناخد تطبيقات على الـ supreme property والـ infimum

181
00:19:18,530 --> 00:19:24,410
property فالتطبيقات

182
00:19:24,410 --> 00:19:35,230
هذه هتكون على شكل أمثلة فمثلاً

183
00:19:35,230 --> 00:19:43,410
أول تطبيق لو أخدت أي subset من R و bounded above و

184
00:19:43,410 --> 00:19:49,510
A أي عدد حقيقي فبنعرف A زائد S على أنه

185
00:19:49,510 --> 00:19:54,110
مجموعة كل العناصر على الصورة A plus X حيث X ينتمي

186
00:19:54,110 --> 00:20:00,890
لـ S الآن ممكن أثبت أن الـ supremum للمجموعة هذه هو

187
00:20:00,890 --> 00:20:04,870
عبارة عن A زائد الـ supremum لـ S

188
00:20:07,460 --> 00:20:16,840
و هذا يعني البرهان مش صعب أيه بسيط وسهل نشوف مع

189
00:20:16,840 --> 00:20:22,540
بعض نفترض أن U هو الـ supremum لـ S الـ set S is bounded

190
00:20:22,540 --> 00:20:28,980
above، إذن لها supremum هذا مضمون حسب الـ supremum

191
00:20:28,980 --> 00:20:33,920
property وبالتالي الـ U هذا اللي هو الـ supremum هو

192
00:20:33,920 --> 00:20:38,520
upper bound لـ S إذا U أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ

193
00:20:38,520 --> 00:20:45,800
S إذا لو ضفت A على الطرفين فبيطلع A زائد X أصغر من

194
00:20:45,800 --> 00:20:54,270
أو يساوي A زائد U لكل X في S وبالتالي العدد هذا عبارة

195
00:20:54,270 --> 00:20:59,830
عن upper bound لمن؟ لـ set A زائد S اللي عرفناها قبل

196
00:20:59,830 --> 00:21:04,310
شوية لأن هذا العدد أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ set

197
00:21:04,310 --> 00:21:08,850
هذه اللي على الصورة A زائد X لذلك هي اللي أثبتت أن

198
00:21:08,850 --> 00:21:13,110
A زائد U is upper bound للـ set هذه لأن نريد أن نثبت

199
00:21:13,110 --> 00:21:18,510
أن A زائد U هو أصغر upper bound للـ set هذه فبناخد أي

200
00:21:18,510 --> 00:21:24,550
upper bound آخر للـ set A plus S فطبعًا الـ V Upper

201
00:21:24,550 --> 00:21:30,410
Bound للـ set هي U أكبر من أو يساوي كل عناصرها الآن

202
00:21:30,410 --> 00:21:34,430
انقل الـ A عن ناحية الثانية فبيصير X أصغر من أو يساوي

203
00:21:34,430 --> 00:21:40,710
V ناقص A لكل X في S طيب

204
00:21:40,710 --> 00:21:47,410
الآن احنا عندنا الـ U هو الـ supremum لـ S الـ U هو الـ

205
00:21:47,410 --> 00:21:52,800
supremum لـ S والآن هذا العدد هذا عبارة عن upper

206
00:21:52,800 --> 00:22:00,200
bound of S لأن U أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ S

207
00:22:00,200 --> 00:22:07,400
وهذا أصغر upper bound لـ S إذن الـ supremum بيطلع

208
00:22:07,400 --> 00:22:13,240
أصغر من أو يساوي الـ upper bound V ناقص A لـ S إذن

209
00:22:13,240 --> 00:22:16,080
بيطلع عندي U أصغر من أو يساوي

210
00:22:19,910 --> 00:22:26,350
أن أنا بيطلع عندي U أصغر من أو يساوي V ناقص A ودي A

211
00:22:26,350 --> 00:22:30,290
عن ناحية الثانية فبيصير A زائد U أصغر من أو يساوي V

212
00:22:30,290 --> 00:22:35,870
إذا هنا أثبتنا حاجتين أول شيء إنه العدد هذا upper

213
00:22:35,870 --> 00:22:40,590
bound للـ set هذه أخذنا أي upper bound عشوائي للـ set

214
00:22:40,590 --> 00:22:47,640
هذه فبيطلع العدد A زائد U أصغر من أو يساوي أي upper

215
00:22:47,640 --> 00:22:52,880
bound لـ set A زائد S إذا من تعريف الـ supremum بيطلع الـ

216
00:22:52,880 --> 00:23:00,520
supremum لـ set A زائد S exist وبيساوى A زائد U أن الـ

217
00:23:00,520 --> 00:23:05,380
supremum للـ set هذي هو A زائد U وبالتالي وهذا بيساوي

218
00:23:05,380 --> 00:23:08,720
A والـ U هي الـ supremum لـ S أننا هيك بنكون أثبتنا

219
00:23:08,720 --> 00:23:15,900
أن supremum الـ set A زائد S هو A زائد supremum S،

220
00:23:15,900 --> 00:23:21,540
تمام؟ لو كانت الـ set هذي bounded below فممكن أيضًا

221
00:23:21,540 --> 00:23:26,960
نثبت أن الـ infimum لـ A زائد S بيساوي A زائد infimum

222
00:23:26,960 --> 00:23:33,430
S، تمام؟ طبعًا في أمثلة أخرى هنا ممكن تقرؤوها و

223
00:23:33,430 --> 00:23:39,650
تحضروها ونوقف هنا نكتفي بهذا القدر وبنكمل إن شاء

224
00:23:39,650 --> 00:23:42,170
الله يوم السبت المحاضرة القادمة