1
00:00:21,290 --> 00:00:25,450
بسم الله الرحمن الرحيم ننتقل الآن إلى section

2
00:00:25,450 --> 00:00:29,410
ثلاثة اثنين في الـ derivative المرة اللي فاتت كنا

3
00:00:29,410 --> 00:00:36,150
بناخد المشتقة عند نقطة واحدة فقط، الآن بدنا نعممها 

4
00:00:36,150 --> 00:00:41,590
عن جميع النقاط اللي الدالة معرفة عليها، فباجي بقول

5
00:00:41,590 --> 00:00:46,450
الـ derivative as a function، المشتقة كدالة يعني

6
00:00:46,450 --> 00:00:50,170
المشتقة الـ function هذه بتطلع عندنا دالة جديدة

7
00:00:50,850 --> 00:00:53,410
التعريف يقول: معناه الـ derivative of the function

8
00:00:53,410 --> 00:00:57,950
f of x with respect to x is the function f prime

9
00:00:57,950 --> 00:01:02,950
of x، يبقى المشتقة in general ليس عند نقطة وإنما

10
00:01:02,950 --> 00:01:07,310
على كل ديمان تبع الدالة f، بدي أسميه f prime of x

11
00:01:07,310 --> 00:01:11,270
حيث الـ f prime of x هي الـ limit لما الـ h بتروح ل

12
00:01:11,270 --> 00:01:14,610
zero، فالـ f of x زائد الـ h تنقص الـ f of x على h

13
00:01:14,610 --> 00:01:17,910
المرة الماضية لما كنا بقول المشتقة عند نقطة بجينا

14
00:01:17,910 --> 00:01:19,790
نقول f prime of

15
00:01:37,040 --> 00:01:44,450
بشرط أن الـ limit تبقى موجودة، الـ domain للـ f' كون

16
00:01:44,450 --> 00:01:52,430
صارت عندي function جديدة f' حصلنا عليها من هذه الـ

17
00:01:52,430 --> 00:01:57,110
limit، إذا هذه الدالة الجديدة لها domain، بدي أعرف شو

18
00:01:57,110 --> 00:02:01,390
الـ domain تبعها، فالـ domain تبع الـ f' هو نفس الـ

19
00:02:01,390 --> 00:02:05,900
domain تبع الدالة f، بس بدي أشيل منه النقاط اللي

20
00:02:05,900 --> 00:02:09,820
بتخلي الـ limit هذه مالها does not exist، يعني إذا

21
00:02:09,820 --> 00:02:13,320
في إن عندي نقطة أو نقطتين أو ثلاثة بتخلي المشتقة 

22
00:02:13,320 --> 00:02:17,420
غير معرفة، بدي أشيلهم من domain ده الـ F، وإذا ما فيش

23
00:02:17,420 --> 00:02:21,060
عندي ولا نقطة بتشيل domain الـ F prime هو من؟

24
00:02:24,230 --> 00:02:29,490
النقطة التالية: لو كانت الدالة مشتقتها موجودة عند

25
00:02:29,490 --> 00:02:34,090
النقطة X تساوي a، يبقى بروح بقول إن الـ F is

26
00:02:34,090 --> 00:02:38,830
differentiable عند النقطة X يساوي a، دي أيضا بالـ

27
00:02:38,830 --> 00:02:42,230
F اختصار لكلمة differentiable

28
00:02:50,320 --> 00:02:55,320
Differentiable قابل الاشتقاق بختصرها إلى DIW، يبقى

29
00:02:55,320 --> 00:03:00,360
بقول إن الدالة قابل الاشتقاق عند النقطة X يساوي A

30
00:03:00,360 --> 00:03:05,260
النقطة البعدة: لو المشتقة تبع الدالة F exist عند كل

31
00:03:05,260 --> 00:03:10,340
نقطة في ديمانها، يبقى بقول إن الدالة differentiable

32
00:03:10,340 --> 00:03:15,830
على الـ domain تبعها كله، بش بدنا نرمز المشتقة بأحد

33
00:03:15,830 --> 00:03:20,650
الرموز التالية: يا إما f prime of x، يا إما dy على

34
00:03:20,650 --> 00:03:27,830
dx، يا إما df على dx، يا إما d على f dx، هذا يعني

35
00:03:27,830 --> 00:03:33,830
d على dx، بعض الكتب تعطيها الرمز لأن هذا يا إما الـ

36
00:03:33,830 --> 00:03:36,350
y prime، لكن الرموز لدرجة

37
00:03:41,640 --> 00:03:46,440
الرمز الآخر الرمز الأول الرمز الثاني، هذه هي الرموز

38
00:03:46,440 --> 00:03:50,360
الدارجة في الغالب، لكن لو فتحت أي كتاب كالقلص و

39
00:03:50,360 --> 00:03:54,380
لاقيت الرمز هذا من حد ما تشوفه هذا رمز يدل المشتقة

40
00:03:54,380 --> 00:04:00,160
الأولى لدالة F، طيب لو دي F على دي X بدي أحسبها عند

41
00:04:00,160 --> 00:04:06,420
نقطة X يساوي A، يبقى بيعطيها الرمز التالي F prime

42
00:04:06,420 --> 00:04:12,680
of A، يا إما دي F على دي X عند X يساوي A، يا إما دي 

43
00:04:12,680 --> 00:04:17,960
Y على دي X عند X يساوي من؟ يساوي A، لأن النقطة

44
00:04:17,960 --> 00:04:21,600
الأخيرة، التعريف اللي فوق هذا بدي أعيد صياغته

45
00:04:21,600 --> 00:04:28,860
بطريقة أخرى، فباجي بقول هنا لو حطينا z تساوي x زائد h

46
00:04:28,860 --> 00:04:32,980
في التعريف اللي فوق، يبقى بدي أعرف التعريف اللي فوق

47
00:04:32,980 --> 00:04:37,760
شو بدي يكون شكله نظرا لوجود الـ H عندي، من هنا بدي

48
00:04:37,760 --> 00:04:43,240
أجيب الـ H، يبقى الـ H هتساوي z نقص الـ X، يبقى الـ H

49
00:04:43,240 --> 00:04:48,000
تساوي Z نقص الـ X، وبالتالي التعريف اللي فوق هيأخد

50
00:04:48,000 --> 00:04:54,540
الشكل التالي، الـ F prime of X يساوي limit الـ H اللي

51
00:04:54,540 --> 00:04:58,700
عندها ده بده يشيله ويحط متى ليه الـ Z نقص X بده

52
00:04:58,700 --> 00:05:04,220
يروح لوين؟ لـ Zero، X زائد H اللي هي بـ Z، F of X زي ما

53
00:05:04,220 --> 00:05:09,550
هي H اللي هي Z نقص الـ X، يبقى التعريف اللي فوق هنا

54
00:05:09,550 --> 00:05:14,770
هو نفس التعريف اللي تحته بس غير شكل مين؟ الرموز أو

55
00:05:14,770 --> 00:05:19,690
بمعنى آخر هنا لو اضفت X للطرفين بصير الـ Z بدأ تروح

56
00:05:19,690 --> 00:05:25,050
لمين؟ للـ X، يبقى بصير التعريف الـ F prime of X هو الـ

57
00:05:25,050 --> 00:05:30,110
limit لما Z بدأ تروح للـ X للـ F of Z ناقص الـ F of X

58
00:05:30,110 --> 00:05:38,630
على Z ناقص الـ X، يعني أصبح عندي شكلاني للتعريف هذا

59
00:05:38,630 --> 00:05:44,110
هو الشكل الأول، المشتقة عند أي نقطة، وهذا كمان تعريف

60
00:05:44,110 --> 00:05:49,550
المشتقة عند أي نقطة، والاتنين هدول are equivalent

61
00:05:49,800 --> 00:05:54,720
استخدم المناسب بالنسبة لك، وكله هيعطيني نفس

62
00:05:54,720 --> 00:05:58,940
النتيجة سواء استخدمت الصيغة اللي فوق أو الصيغة

63
00:05:58,940 --> 00:06:04,000
اللي تحت، الاتنين are the same، نبدأ ناخد أول مثال

64
00:06:04,000 --> 00:06:08,000
من هذه الأمثلة كتطبيق على الكلام اللي احنا قلناه

65
00:06:08,000 --> 00:06:13,020
هنابقول: لو كانت دي الـ F of X يساوي 1 ناقص X على

66
00:06:13,020 --> 00:06:17,240
2 X، بدنا نوجد شغل ثاني، بدنا نوجد المشتقة عند

67
00:06:17,240 --> 00:06:22,820
أي لحظة أو عند أي نقطة، بعدين بدي أجيب المشتقة عند

68
00:06:22,820 --> 00:06:29,190
X يساوي سالب واحد، طيب يبقى أنا بروح هطبق التعريف

69
00:06:29,190 --> 00:06:32,610
الأول على سبيل المثال، طبعا هطبق مرة التعريف الأول

70
00:06:32,610 --> 00:06:36,890
ومرة التعريف الثاني عشان نعرف كيف نستخدم هذا

71
00:06:36,890 --> 00:06:42,130
التعريف، يبقى لو بده أجيب الـ F prime of X هذا الـ

72
00:06:42,130 --> 00:06:47,590
limit لما الـ H بده تروح للـ zero للـ F of X زائد الـ

73
00:06:47,590 --> 00:06:53,690
H نقص الـ F of X على H، يبقى الـ limit لما الـ H بده

74
00:06:53,690 --> 00:06:59,380
تروح للـ zero، تمام؟ يبقى بيقول F of X زائد H يبقى

75
00:06:59,380 --> 00:07:05,940
بدي أشيل كل X هنا وأحط مكانها X زائد الـ H، يبقى

76
00:07:05,940 --> 00:07:14,420
بيصير 1 ناقص X زائد الـ H على الـ 2 في X زائد

77
00:07:14,420 --> 00:07:21,970
الـ H ناقص F of X كما هي على 2 X، وكل هذا مقسومًا

78
00:07:21,970 --> 00:07:27,430
على مين؟ مقسومًا على H، يبقى هذا الكلام بده يساوي الـ

79
00:07:27,430 --> 00:07:33,780
limit لما الـ H بدها تروح للـ zero، بتوحد المقامات

80
00:07:33,780 --> 00:07:39,400
لدالة اللي فوق، الاتنين مشترك في ما بينهما، الـ X

81
00:07:39,400 --> 00:07:44,820
مافيش غيرها، الـ X زائد الـ H ما فيش غيرها، يبقى وحدة

82
00:07:44,820 --> 00:07:49,900
المقامات بالنسبة للبسط، لو جسمت المقدار هذا على

83
00:07:49,900 --> 00:07:55,600
المقدار هذا بيظل كدهش؟ بيبقى X فقط لا غير، يبقى هذا

84
00:07:55,600 --> 00:08:02,880
عبارة عن X في 1 ناقص X ناقص H، وصلنا للناقص اللي

85
00:08:02,880 --> 00:08:07,180
عندنا هذه بدنا نجسم هذا المقدار على هذا، بيبقى

86
00:08:07,180 --> 00:08:17,720
لأن دي قداش؟ X زائد H مضروبة في من؟ في الـ 1 ناقص X

87
00:08:18,450 --> 00:08:22,570
يبقى قالت الـ limit اللي عندي إلى الشكل التالي هي

88
00:08:22,570 --> 00:08:29,450
limit لما الـ H بدها تروح للـ zero، وهذا الـ H وهذا 2X

89
00:08:29,450 --> 00:08:35,850
هتنزل في المقام، وهذا الـ X زائد الـ H، والبسط بيصير x

90
00:08:35,850 --> 00:08:43,430
ناقص x تربيع ناقص hx، فكيت الجوّث الأول، بدي أفك

91
00:08:43,430 --> 00:08:50,630
الجوّث الثاني، يبقى هنا ناقص x ناقص فناقص بيزيد x

92
00:08:50,630 --> 00:09:00,490
تربيع، بعدها ناقص h ناقص فناقص بيزيد hx، هذا الكلام

93
00:09:00,490 --> 00:09:06,790
بده يساوي limit لما الـ H بدها تروح لـ zero، تعالى

94
00:09:06,790 --> 00:09:11,690
هنا عندي اللي هو سالب X تربيع وموجب X تربيع مع

95
00:09:11,690 --> 00:09:18,890
السلامة، سالب H X وموجب H X، موجب الـ X وسالب X مع

96
00:09:18,890 --> 00:09:25,330
السلامة، لم يبقى عندي إلا من سالب H في البسط، يبقى

97
00:09:25,330 --> 00:09:33,900
هاي سالب H، المقام H في 2X، X زائد الـ H، نختصر الـ H مع

98
00:09:33,900 --> 00:09:39,480
الـ H كذلك، يبقى النتيجة limit لما الـ H بدأ تروح

99
00:09:39,480 --> 00:09:50,300
للـ 0 لـ -1 على 2X، X زائد الـ H، بص مقدار ثابت، يبقى

100
00:09:50,300 --> 00:09:55,820
نهاية المقدار الثابت بالمقدار الثابت itself، الآن

101
00:09:55,820 --> 00:10:01,380
هذا ليهاش X، ليهاش دلع، يبقى 2X اللي بين قوسين

102
00:10:01,380 --> 00:10:05,560
polynomial من الدرجة الأولى، يبقى تعويض مباشر عن H

103
00:10:05,560 --> 00:10:14,140
بـ 0، يبقى لدي كده X، يبقى النتيجة سالب 1 على 2X تربيع

104
00:10:14,140 --> 00:10:20,120
هذا مقدار مشتقة الدلع، يبقى الـ F prime of X يبقى

105
00:10:20,120 --> 00:10:27,400
يساوي 1 على 2X تربيع، طيب هذا اللي هو

106
00:10:27,400 --> 00:10:31,720
المطلوب الأول، كل اللي اشتغلنا من البداية هذا كان

107
00:10:31,720 --> 00:10:37,260
نمرة A، بداجي الالة نمرة B، نمرة B قال يحسب لمقدار

108
00:10:37,260 --> 00:10:42,740
هذه المشتقة عند سالب واحد، إذا باجي بقول له F

109
00:10:42,740 --> 00:10:48,920
prime of سالب واحد يساوي، المشتقة موجودة هي في prime

110
00:10:48,920 --> 00:10:52,780
of X يساوي النتيجة هذه، يبقى ما علي اللي أشيل الـ X

111
00:10:52,780 --> 00:10:57,640
وأحط مكانها سالب واحد، يبقى إيه؟ سالب واحد على

112
00:10:57,640 --> 00:11:03,940
2 في سالب واحد تربيع، يبقى الجواب قداش؟ سالب نص

113
00:11:03,940 --> 00:11:09,920
يبقى قيمة المشتقة عند السالب واحد تساوي قداش؟ تساوي

114
00:11:09,920 --> 00:11:21,470
سالب نص، نروح ناخد كمان مثال آخر مثال

115
00:11:21,470 --> 00:11:30,410
رقم 2 بيقول: في الـ F of X يساوي جذر الـ X

116
00:11:33,320 --> 00:11:42,560
أول جدلنا اللي هو الـ F prime of X والـ F prime

117
00:11:42,560 --> 00:11:44,560
of 81

118
00:11:48,580 --> 00:11:55,780
يبقى بدنا من؟ بدنا الـ F' of X والـ F' of 1.80

119
00:11:55,780 --> 00:12:01,120
بقول له: كويس، يبقى بدنا نيجي نطبق التعريف تبع الـ F'

120
00:12:01,520 --> 00:12:05,160
of X، بعدين بقول له: solution

121
00:12:14,670 --> 00:12:21,330
حسب التعريف، بدأ أزال كل X وكتب مكانها X زائد H

122
00:12:21,330 --> 00:12:27,790
في الدالة المعرفة، يبقى الجذر التربيعي للـ X زائد H

123
00:12:27,790 --> 00:12:35,310
ناقص الـ F of X اللي هو جذر الـ X على H، لما الـ H بدأ

124
00:12:35,310 --> 00:12:40,820
تروح للـ Zero، تعويض المباشر هجيب لي Zero على Zero، كون

125
00:12:40,820 --> 00:12:46,680
عندي جذور إذا هروح عشان أضرب في المرافق، يبقى هذا

126
00:12:46,680 --> 00:12:52,260
الكلام لو ضربته بدي أضربه في جذر التربيع لـ X زائد

127
00:12:52,260 --> 00:12:59,800
الـ H زائد جذر الـ X وأقسم على جذر الـ X زائد الـ H

128
00:12:59,800 --> 00:13:04,880
زائد جذر الـ X بالشكل اللي عندنا هذا

129
00:13:26,510 --> 00:13:32,630
يبقى آلة المثل للشكل التالي، f prime of x يساوي الـ

130
00:13:32,630 --> 00:13:38,550
limit لما الـ h بدها تروح لمين؟ لـ Zero، الـ bus هو الفرق

131
00:13:38,550 --> 00:13:42,910
بين المربعين، يبقى مربع الأولى ناقص مربع الثانية

132
00:13:42,910 --> 00:13:49,130
مربع الأولى هو الـ x زائد الـ h ناقص الـ x، هذا اللي

133
00:13:49,130 --> 00:13:54,990
هو الـ bus على المقام h في الجذر التربيعي لـ x زائد

134
00:13:54,990 --> 00:14:01,720
الـ h زائد جذر الـ X، سالب H وموجب بـ H مع السلامة

135
00:14:01,720 --> 00:14:06,700
يبقى ألت المسألة limit لما الـ H بدأ تروح للـ Zero

136
00:14:06,700 --> 00:14:13,840
للـ H على H في الجذر التربيعي لـ X زائد الـ H زائد

137
00:14:13,840 --> 00:14:18,760
جذر الـ X، برضه الـ H مع الـ H اللي ساعد عليها يبقى

138
00:14:18,760 --> 00:14:24,260
ألت إلى limit لما الـ H بدها تروح لمين؟ للـ 0

139
00:14:24,260 --> 00:14:29,640
للـ function اللي عندنا، 1 على الجذر التربيعي لـ X

140
00:14:29,640 --> 00:14:35,540
زائد H زائد جذر الـ X، لما الـ H بدها تروح لـ 0 يبقى

141
00:14:35,540 --> 00:14:42,280
الـ term هذا بيروح لوين؟ للـ 0، يبقى 1 على جذر الـ X

142
00:14:42,280 --> 00:14:48,040
زائد جذر الـ X، يبقى 1 على مين؟ على الـ 2 جذر

143
00:14:48,040 --> 00:14:54,770
الـ X، طب ليش احنا جبنا هذا السؤال؟ جبناه متعمدين؟

144
00:14:54,770 --> 00:15:01,770
ليش؟ بديك تعرف من الآن فصاعدا إن مشتقة جذر الـ X هي

145
00:15:01,770 --> 00:15:07,630
عبارة عن 1 على 2 جذر الـ X، من الآن فصاعدا،

146
00:15:07,630 --> 00:15:13,260
2، لو كان الجذر هذا polynomial من الدرجة الأولى

147
00:15:13,260 --> 00:15:19,200
ومعامل X هو الواحد الصحيح زي جذر X، زي 10 جذر X

148
00:15:19,200 --> 00:15:23,900
ناقص 50 شو مشتقته؟ برضه 1 على 2 نفس

149
00:15:23,900 --> 00:15:29,910
الجذر، لكن لو كان المعامل تبع X فيه رقم، طبق اللي

150
00:15:29,910 --> 00:15:34,250
قعدت السلسلة لسه بدي أضرب في هذا الرقم، يبقى انسى

151
00:15:34,250 --> 00:15:39,110
لسه ما خدناش قاعدة السلسلة تمام، أو chain rule، يبقى

152
00:15:39,110 --> 00:15:44,310
احنا بس بنقول لك لو كان عندك جذر والمعامل تبعك هو

153
00:15:44,310 --> 00:15:50,020
الواحد الصحيح يبقى مشتقته 1 على 2 الجذر، إذا

154
00:15:50,020 --> 00:15:54,540
بلزمش إنه نعمل خطوات هذه، إنه نعمل خطوات حتى نصل

155
00:15:54,540 --> 00:15:57,640
للقانون هذا، لكن لو جاب لك هذا السؤال في الامتحان

156
00:15:57,640 --> 00:16:02,240
ما كنتش تشتغل الشغلات هذه، مظبوط، لكن هذا إذا كان

157
00:16:02,240 --> 00:16:06,520
قال لك بالتعريف، لكن ما قالش لك التعريف تكتبوا 2

158
00:16:06,520 --> 00:16:12,010
جذر الـ X، ليش؟ لأن جذر الـ X هذي أصلا X أس نص، مش تقتل

159
00:16:12,010 --> 00:16:16,190
أنا أخدها المرة الجاية نص X أس ناقص نص، يعني 1

160
00:16:16,190 --> 00:16:20,110
على 2 جذر الـ X، مصبوح، وبالتالي بصير القصة

161
00:16:20,110 --> 00:16:23,750
retrieval، بس لشان التعريف يبقى روحنا اشتغلنا ببين

162
00:16:23,750 --> 00:16:29,030
بالتعريف، المطلوب الثاني بدنا الـ F prime of 1 و

163
00:16:29,030 --> 00:16:34,540
80، يبقى هذا الكلام 1 على 2 الجذر التربيعي

164
00:16:34,540 --> 00:16:39,020
الـ 1 والـ 80، 1 على 2 في 9، يبقى قداش؟

165

201
00:21:28,740 --> 00:21:35,760
كله على Z ناقص X هذا الكلام بده يساوي يبقى ال

202
00:21:35,760 --> 00:21:41,540
F prime of X يساوي هذا بده يروح أحلله الفرق بين

203
00:21:41,540 --> 00:21:51,980
المربعين يبقى هاي Z ناقص X في Z زائد X ناقص ثلاثة

204
00:21:51,980 --> 00:21:58,260
في Z ناقص X على Z ناقص X

205
00:22:01,430 --> 00:22:07,690
يساوي واضح أن Z ناقص X ممكن أخدها عامل مشترك من

206
00:22:07,690 --> 00:22:13,070
الطرفين يبقى هذا Z ناقص X

207
00:22:16,180 --> 00:22:26,020
زائد X ناقص ثلاثة كله على مين؟ على Z ناقص X وهذا

208
00:22:26,020 --> 00:22:32,820
بدي أخد له ال limit لما Z بدها تروح لمين؟ للـ X يبقى

209
00:22:32,820 --> 00:22:38,440
النتيجة هذا الجوز هيروح مع مين؟ مع المقام وتصفى ال

210
00:22:38,440 --> 00:22:45,000
limit على الشكل التالي limit لما Z بدها تروح للـ X

211
00:22:45,000 --> 00:22:54,280
لـ Z ناقص X ناقص تلاتة يبقى أصبحت الـ F prime of X

212
00:22:54,280 --> 00:23:02,140
يساوي Z زائد X ناقص ثلاثة لما Z بدأت تروح للـ X

213
00:23:02,140 --> 00:23:07,220
يعني معناته بده يشيل كل Z ويعوض معناه بـ X ليش؟

214
00:23:07,220 --> 00:23:15,000
لأن هذه دالة خطية يبقى بصير عندي X زائد X ناقص

215
00:23:15,000 --> 00:23:21,940
ثلاثة يعني 2X ناقص ثلاثة هذه مشتقة مين؟

216
00:23:21,940 --> 00:23:26,500
الدالة اللي عنها طب المشتقة هذه عبارة عن إيش؟

217
00:23:27,310 --> 00:23:33,790
المنحدر ممتاز، المنحدر تبع مين؟ التانجنط عند أي لحظة

218
00:23:33,790 --> 00:23:42,270
يبقى هذه في نفس الوقت بدها تساوي المنحدر of the

219
00:23:42,270 --> 00:23:50,980
tangent عند أي X في دومين الدالة اللي عندنا هو راح

220
00:23:50,980 --> 00:23:56,200
إيش قال لي؟ قال لي هاتلي الـ tangent عند X يساوي

221
00:23:56,200 --> 00:24:01,140
تمام عشان أجيب له المماس بدي X node و Y node يعني

222
00:24:01,140 --> 00:24:06,260
بدي إحداثيات نقطة يكمل هو ما أعطاني X وما أعطانيش Y

223
00:24:06,260 --> 00:24:13,000
أو ما أعطانيش F أو V2 لذلك بروح أخد له من الـ F أو V2

224
00:24:13,000 --> 00:24:20,100
F أو V2 بترجع اتعود في الدالة الأصلية يبقى 2 تربيع

225
00:24:20,100 --> 00:24:28,240
ناقص 3 في 2 زائد 4 Y يساوي 8 ناقص 6 يساوي 2 يبقى

226
00:24:28,240 --> 00:24:38,890
بناء عليه أصبحت the point of Tangency as X node و Y

227
00:24:38,890 --> 00:24:46,170
node بدها تساوي 2 و 2 الـ X بتنين طلعت Y بتنين كذلك

228
00:24:46,170 --> 00:24:58,970
إذا باجي بقول له the equation of the tangent as الـ Y

229
00:24:58,970 --> 00:25:05,230
يساوي الـ middle في الـ X ناقص الـ X node زائد الـ Y

230
00:25:05,230 --> 00:25:10,550
node إذا مشان أجيب معادلة المماس للمنحنى بدي

231
00:25:10,550 --> 00:25:16,770
شغلتين بدي ميل المماس المماس للمنحنى اتنين بدي

232
00:25:16,770 --> 00:25:24,010
إحداثيات نقطة واقع عليه إحداثيات النقطة موجود المين؟ المين

233
00:25:24,010 --> 00:25:31,570
ممكن أجيب من وين؟ من هنا and the F prime of اتنين

234
00:25:31,570 --> 00:25:37,950
يساوي 2 في 2 ناقص 3 اللي هو قداش؟ 1

235
00:25:37,950 --> 00:25:44,150
يبقى هذا الـ slope of the tangent صار قداش؟ صار 1

236
00:25:44,150 --> 00:25:50,070
يبقى بناءً عليه بدي يصير Y يساوي 1 في الـ X

237
00:25:50,070 --> 00:25:52,110
ناقص 2 زائد

238
00:26:11,300 --> 00:26:19,200
تعريف جديد يقول ما يأتي Definition

239
00:26:29,160 --> 00:26:40,100
فترة مفتوحة على فترة

240
00:26:40,100 --> 00:26:47,680
مفتوحة if it has a derivative

241
00:26:58,110 --> 00:27:08,550
عند كل نقطة موجودة

242
00:27:08,550 --> 00:27:10,530
في هذه الفترة

243
00:27:12,990 --> 00:27:16,710
زي ما أخذنا الاشتقاق على فترة مفتوحة، فبناخد

244
00:27:16,710 --> 00:27:22,030
الاشتقاق على فترة مغلقة يبقى Definition the

245
00:27:22,030 --> 00:27:31,470
function if is differentiable على الفترة المغلقة

246
00:27:31,470 --> 00:27:36,290
if it

247
00:27:36,290 --> 00:27:50,770
is differentiable on الفترة المفتوحة إذا كان

248
00:27:51,500 --> 00:28:00,480
the limits إذا النهايات للاثنين limit لما الـ H بدها

249
00:28:00,480 --> 00:28:07,800
تروح لـ Zero من جهة اليمين للـ F of A زائد الـ H

250
00:28:07,800 --> 00:28:20,330
ناقص الـ F of A زائد الـ H ناقص الـ F of A كل هذا على

251
00:28:20,330 --> 00:28:29,030
H and limit لما الـ H بدأت تروح للـ Zero من جهتي

252
00:28:29,030 --> 00:28:40,800
الشمال لمين؟ للـ F of B زائد الـ H ناقص الـ F of B

253
00:28:40,800 --> 00:28:47,460
كله على H الـ two limits هذه بقول عنها معلها exist

254
00:29:23,820 --> 00:29:27,300
خلي بالك الـ two definitions التعريف الأول

255
00:29:27,300 --> 00:29:31,780
بيتكلم على المشتقة على open interval التعريف

256
00:29:31,780 --> 00:29:37,500
الثاني بيتكلم على مشتقة على closed interval نجيب

257
00:29:37,500 --> 00:29:42,420
التعريف الأول الـ Y تساوي F of X is

258
00:29:42,420 --> 00:29:48,060
differentiable on an open interval if it has a

259
00:29:48,060 --> 00:29:52,420
derivative إذا إلها مشتقة at each point of the

260
00:29:52,420 --> 00:30:00,240
interval عند كل نقطة من هذه الفترة.يعني بالداجة على

261
00:30:00,240 --> 00:30:03,920
الفترة المفتوحة، لو كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند

262
00:30:03,920 --> 00:30:08,780
كل نقطة من نقاط الفترة المفتوحة، بقول الدالة قابلة

263
00:30:08,780 --> 00:30:13,040
الاشتقاق على كل هذه الفترة. طب لو كانت الفترة

264
00:30:13,040 --> 00:30:20,390
مغلقة، بدي أخد الفترة المفتوحة وبعدين أخد من طرفي

265
00:30:20,390 --> 00:30:24,910
الـ interval فبقى بقول الدالة if قابلة للاشتقاق على

266
00:30:24,910 --> 00:30:29,750
الفترة المغلقة اللي عندنا if it is differentiable

267
00:30:29,750 --> 00:30:34,740
على الفترة A و B إذا كانت قابلة للاشتقاق على الفترة

268
00:30:34,740 --> 00:30:38,480
المفتوحة A و B وإذا كانت قابلة للاشتقاق على الفترة

269
00:30:38,480 --> 00:30:39,480
المفتوحة A و B وإذا كانت قابلة للاشتقاق على الفترة

270
00:30:39,480 --> 00:30:40,880
المفتوحة A و B وإذا كانت قابلة للاشتقاق على الفترة

271
00:30:40,880 --> 00:30:41,640
المفتوحة A و B وإذا كانت قابلة للاشتقاق على الفترة

272
00:30:41,640 --> 00:30:43,220
المفتوحة A و B وإذا كانت قابلة للاشتقاق على الفترة

273
00:30:43,220 --> 00:30:45,360
المفتوحة A و B وإذا كانت قابلة للاشتقاق على الفترة

274
00:30:45,360 --> 00:30:46,680
المفتوحة A و B وإذا كانت قابلة للاشتقاق على الفترة

275
00:30:46,680 --> 00:30:49,400
المفتوحة A و B وإذا كانت قابلة للاشتقاق على الفترة

276
00:30:49,400 --> 00:30:54,580
المفتوحة A و B يبقى أنا بدي أذهب إلى A من جهة اليمين

277
00:30:54,580 --> 00:30:59,120
و بدي أذهب إلى B من جهة اليسار

278
00:31:21,340 --> 00:31:32,920
هذا بنسميه right hand derivative at

279
00:31:32,920 --> 00:31:46,820
X يساوي A هذا بنسميه left hand derivative at

280
00:31:46,820 --> 00:31:55,220
X يساوي B تمام؟ يبقى إذا الـ right-handed derivative

281
00:31:55,220 --> 00:31:58,540
و الـ left-handed derivative under peripheral

282
00:31:58,540 --> 00:32:02,660
interval exist زائد الـ function قابلة للاشتقاق على

283
00:32:02,660 --> 00:32:07,420
كل الفترة المفتوحة يبقى في هذه الحالة بقول الدالة

284
00:32:07,420 --> 00:32:13,480
قابلة للاشتقاق على كل الفترة المغلقة اللي عندنا

285
00:32:13,480 --> 00:32:19,380
طبعًا الآن بناخد بعض الأمثلة على ذلك هذا التعريف

286
00:32:19,380 --> 00:32:41,980
كيف نستخدمه؟ مثال واحد مثال

287
00:32:41,980 --> 00:32:45,660
واحد

288
00:32:45,660 --> 00:32:49,980
مثال واحد

289
00:32:49,980 --> 00:32:50,000
مثال واحد مثال واحد مثال واحد مثال واحد مثال واحد

290
00:32:50,170 --> 00:33:00,710
قول X أم لا هذا السؤال هل

291
00:33:00,710 --> 00:33:07,670
الدالة قابلة للاشتقاق لجميع قيم X للـ absolute

292
00:33:07,670 --> 00:33:08,730
value ولا لا؟

293
00:33:12,210 --> 00:33:16,430
من سالب infinity إلى infinity فهو بيسأل هل الدالة

294
00:33:16,430 --> 00:33:21,070
قابلة للاشتقاق على كل الـ domain تبعه يعني كل الـ real

295
00:33:21,070 --> 00:33:24,350
line ولا لأ؟ فنقول والله ما احنا عارفين، هو

296
00:33:24,350 --> 00:33:28,290
بيسأل سواء احنا نقول له يا إما قابلة للاشتقاق، يا

297
00:33:28,290 --> 00:33:31,650
إما على الأقل بدي أجيب له نقطة دالة غير قابلة

298
00:33:31,650 --> 00:33:35,870
للاشتقاق عندها وبالتالي الجواب أنها ليس قابلة

299
00:33:35,870 --> 00:33:41,370
للاشتقاق for all X، يعني لو جبحالة واحدة الدالة غير

300
00:33:41,370 --> 00:33:47,590
قابلة للاشتقاق عندها بيكون اللي هو الدالة غير قابل

301
00:33:47,590 --> 00:33:51,710
الاشتقاق على الفترة اللي عندنا يعني بكافة نجيب

302
00:33:51,710 --> 00:33:56,550
counterexample واحد يعني مثال واحد يثبت أنها ليست

303
00:33:56,550 --> 00:34:01,010
قابلة للاشتقاق على كل الفترة اللي عندنا بيقولوا

304
00:34:01,010 --> 00:34:09,010
ماشي هذا الـ absolute value ممكن أرجع لتعريفه وأقول

305
00:34:09,010 --> 00:34:15,290
هي X ناقص 3 بالشكل أن هذا العبارة عن جزئين

306
00:34:15,290 --> 00:34:21,930
الجزء الأول هو عبارة عن X ناقص 3 لما الـ X أكبر

307
00:34:21,930 --> 00:34:29,010
من أو تساوي كم؟ 3 طيب يلا

308
00:34:29,010 --> 00:34:36,690
3 وهنا ناقص X ناقص 3 يعني 3 ناقص X لما

309
00:34:36,690 --> 00:34:43,740
الـ X مالها؟ أقل من 3 تمام؟ بدي بقول له والله كويس

310
00:34:43,740 --> 00:34:52,540
إذا أنا بدي آجي أخد F prime of X وين؟ عند الـ 3

311
00:34:52,540 --> 00:34:58,300
تمام بس لما تبقى أكبر مني 3 يعني كأنه أنا

312
00:34:58,300 --> 00:35:02,400
رايح لها 3 من وين؟ من جهة اليمين بدي أقوله F

313
00:35:02,400 --> 00:35:08,460
prime من جهة

314
00:35:08,460 --> 00:35:14,080
اليمين يبقى هذا الكلام بيساوي الـ limit لما الـ H

315
00:35:14,080 --> 00:35:19,540
بدها تروح لـ Zero من جهة اليمين بيجي للدالة اللي

316
00:35:19,540 --> 00:35:26,080
عندنا هنا اللي هي عبارة عن مين؟ الـ X زائد الـ H ناقص

317
00:35:26,080 --> 00:35:31,060
الـ 3 ناقص الـ F والله أكتبها لك نظري وبعدين

318
00:35:31,060 --> 00:35:36,380
بنعوض تعملاش تقولي كيف هاد يجي يبقى هادي بدنا

319
00:35:36,380 --> 00:35:42,200
نقوله F of X naught زائد الـ H ناقص الـ F of X

320
00:35:42,200 --> 00:35:47,440
naught على H بتاخد الـ limit لما الـ H بدها تروح لـ

321
00:35:47,440 --> 00:35:53,060
Zero من جهة اليمين يبقى هذه الـ limit لما الـ H

322
00:35:53,060 --> 00:35:59,860
بدها تروح لـ 0 من جهة اليمين، مش لـ 3 إذا X راحت

323
00:35:59,860 --> 00:36:04,260
لـ 3 معناه أن H راحت لين؟ لـ Zero هاي المقصود

324
00:36:04,260 --> 00:36:10,440
فيها يبقى الـ H بتروح لـ Zero من جهة اليمين يبقى

325
00:36:10,440 --> 00:36:14,940
باجي للـ X node X node عندي بقى درجة 3 يبقى

326
00:36:14,940 --> 00:36:23,020
3 زائد H ناقص 3 هاي الدالة الأولى ناقص F

327
00:36:23,020 --> 00:36:29,170
of X node اللي هو 3 ناقص 3 كله هذا على مين؟

328
00:36:29,170 --> 00:36:34,750
على H يبقى هذا الكلام بده يساوي الـ limit لما الـ H

329
00:36:34,750 --> 00:36:40,230
بدها تروح لوين؟ لـ Zero من جهة اليمين بيصير عندنا

330
00:36:40,230 --> 00:36:44,970
مين؟ 3 وسالب 3 مع السلامة يبقى بضل قداش

331
00:36:44,970 --> 00:36:50,370
عندنا H وهنا H وهذه كلها بـ Zero اللي هو الجواب

332
00:36:50,370 --> 00:36:58,120
قداش بده يعطينا؟ 1 صحيح بتروح أخد المشتقة للدالة

333
00:36:58,120 --> 00:37:04,080
من جهة مين؟ من جهة الشمال يعني هذا الـ limit لما الـ

334
00:37:04,080 --> 00:37:11,780
H بدها تروح لـ Zero من جهة الشمال للـ F of 3

335
00:37:11,780 --> 00:37:18,940
زائد الـ H ناقص F of 3 على H يعني الـ limit لما

336
00:37:18,940 --> 00:37:24,830
الـ H بدها تروح لـ Zero من جهة الشمال 0 من جهة الشمال

337
00:37:24,830 --> 00:37:29,870
يعني كأنه احنا رايحين ليه 3 من جهة من الشمال

338
00:37:29,870 --> 00:37:36,470
يبقى الدالة 3 ناقص X يبقى بروح بقول له 3 ناقص

339
00:37:36,470 --> 00:37:43,050
X زائد الـ H ناقص 3 ناقص 3 كله على مين؟ على

340
00:37:43,050 --> 00:37:48,390
H يبقى هذا الكلام بده يساوي الـ limit لما الـ H بده

341
00:37:48,390 --> 00:37:57,070
تروح لـ 0 من جهة الشمال لمن؟ لـ 3 ناقص X ناقص H

342
00:38:08,690 --> 00:38:13,070
لأن الـ X حطينا مدالها 3 عن الـ X non تمام؟

343
00:38:13,070 --> 00:38:19,730
يبقى 3 ناقص 3 ناقص الـ H وهذه كما هي ناقص

344
00:38:19,730 --> 00:38:25,870
بـ Zero على مين؟ على H هذه هتروح مع هذه يبقى الـ

345
00:38:25,870 --> 00:38:31,490
limit لما الـ H بتروح لـ Zero من جهة الشمال لسالب H

346
00:38:31,490 --> 00:38:37,190
على H اللي هو كده؟ سالب واحد يبقى إيش رأيك؟ المشتقة

347
00:38:37,190 --> 00:38:44,680
موجودة؟ يبقى بصير عندنا F prime of 3 does

348
00:38:44,680 --> 00:38:53,980
not exist مش موجودة هذا يعني أن الـ F is not

349
00:38:53,980 --> 00:39:01,920
differentiable at X يساوي 3 يعني الدالة غير

350
00:39:01,920 --> 00:39:08,740
قابلة للاشتقاق عند X يساوي 3 طيب سؤال لو روحنا وقولنا

351
00:39:08,740 --> 00:39:15,160
هذا المحور هذا محور X وهذا Y وهذه أصلًا

352
00:39:15,160 --> 00:39:21,360
الدالة اللي هي الـ absolute value لـ X عملنا لها shift

353
00:39:21,360 --> 00:39:27,120
جهة اليمين بمقدار 3 يبقى صارت الـ function

354
00:39:27,120 --> 00:39:33,240
بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هذا absolute value لـ X

355
00:39:33,240 --> 00:39:40,630
ناقص 3 المشكلة وين؟ المشكلة عندي الـ 3 صارت،

356
00:39:40,630 --> 00:39:46,810
عندي الـ 3 الدالة غير قابلة للاشتقاق، طب هنا

357
00:39:46,810 --> 00:39:51,390
الرسم هذه، إيش بنقول عن النقطة هذه بالنسبة للرسم؟

358
00:39:52,860 --> 00:39:57,180
حرجة critical point ماشي موافقة حرجة لكن هل احنا

359
00:39:57,180 --> 00:40:03,080
إيش بنقول؟ طيب لما تلاقي شغلتين أو لما تلاقي حيطة

360
00:40:03,080 --> 00:40:04,100
من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من

361
00:40:04,100 --> 00:40:04,120
هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا

362
00:40:04,120 --> 00:40:04,420
أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو

363
00:40:04,420 --> 00:40:04,620
حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة

364
00:40:04,620 --> 00:40:05,340
من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من

365
00:40:05,340 --> 00:40:09,360
هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا

366
00:40:09,360 --> 00:40:22,560
أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حي

367
00:40:22,590 --> 00:40:28,030
يبقى هذا اللي عندنا corner يبقى أول حالة من

368
00:40:28,030 --> 00:40:33,330
الحالات اللي الدالة عندها غير قابلة للاشتقاق لو

369
00:40:33,330 --> 00:40:37,460
كان عندي corner الـ Limit من اليمين لا تساوي الـ

370
00:40:37,460 --> 00:40:42,100
Limit من الشمال، لماذا؟ لأن المماس هنا لل

401
00:44:05,650 --> 00:44:18,590
F prime of X نمرة C بدي domain الـ F prime solution

402
00:44:23,510 --> 00:44:28,650
بدي احسبله domain الدالة F فبجي بقوله domain

403
00:44:28,650 --> 00:44:36,230
الدالة F كل العناصر X بحيث N و اجتشد دالة هذه

404
00:44:36,230 --> 00:44:48,150
معرفة إذا كل القيمة اللي تحت الجذر كانت سالبة يعني

405
00:44:48,150 --> 00:44:52,150
مش صحيح كلامي يبقى إذا كل القيمة اللي تحت الجذر

406
00:44:52,150 --> 00:44:59,110
كانت موجبة أو صفر يبقى إذا كان الـ X ناقص سبعة

407
00:44:59,110 --> 00:45:04,530
greater than or equal to zero يعني هذه كل العناصر

408
00:45:04,530 --> 00:45:12,290
X بحيث أن الـ X greater than or equal to seven يعني

409
00:45:12,290 --> 00:45:18,210
هذا الكلام closed interval من سبعة لغاية infinity

410
00:45:18,210 --> 00:45:24,100
تمام؟ طيب هذا كله نمرة A جيبنا domain الدالة، بدأ

411
00:45:24,100 --> 00:45:29,320
أجي لنمرة B، نمرة B قال لي هات لي المشتقة، أروح أبدأ

412
00:45:29,320 --> 00:45:33,000
من جديد، والله جاهز هيعملها في المثال اللي جاب لي

413
00:45:33,000 --> 00:45:38,540
شوية، يبقى باجي بقوله from the

414
00:45:40,790 --> 00:45:49,630
اللي قبل هذا from a previous

415
00:45:49,630 --> 00:45:59,890
example من مثال سابق اللي 

416
00:45:59,890 --> 00:46:05,890
هو الـ F prime of X يسوى واحد على اتنين الجذر

417
00:46:05,890 --> 00:46:12,580
التربيعي لـ X ناقص سبعة ليش؟ لأن معامل X هو الواحد

418
00:46:12,580 --> 00:46:17,740
الصحيح يبقى تفاضل الجذر واحد على اتنين الجذر بدنا

419
00:46:17,740 --> 00:46:22,900
عشان نقعد نكرر ما كنا في المثال قبل السنة يبقى هذا

420
00:46:22,900 --> 00:46:28,540
نمرة B نمرا C نمرا C قال لي هت لي domain الـ F prime

421
00:46:28,540 --> 00:46:34,740
يبقى domain الـ F prime هو domain الـ F ما عدا النقاط

422
00:46:34,740 --> 00:46:40,420
اللي بتخلي لي المشتقة غير معرفة، المشتقة غير معرفة

423
00:46:40,420 --> 00:46:47,730
عند من؟ عند السبعة، لكن غير هيك غير السبعة معرفة،

424
00:46:47,730 --> 00:46:55,150
يبقى باجي بقوله الـ domain بتبع الـ F prime هو عبارة

425
00:46:55,150 --> 00:47:02,690
عن domain الدالة F، بدي أطرح منه فقط الرقم سبعة

426
00:47:03,130 --> 00:47:08,030
الرقم سبعة ليش؟ لأن عند الرقم سبعة المشتقة 

427
00:47:08,030 --> 00:47:14,530
undefined غير معرفة يبقى هذا الكلام بده يساوي الـ

428
00:47:14,530 --> 00:47:21,450
interval من سبعة لغاية infinity بده أشيل منه الرقم

429
00:47:21,450 --> 00:47:27,190
سبعة يبقى بده يعطيني الـ open interval سبعة و

430
00:47:27,190 --> 00:47:28,130
infinity

431
00:47:35,700 --> 00:47:44,220
طيب بدنا نجي نشوف الأماكن اللي الدالة عندها تكون 

432
00:47:44,220 --> 00:47:51,000
غير قابلة للاشتقاق عندنا

433
00:47:51,000 --> 00:47:58,300
أربعة أماكن على الرسم البياني للدالة الدالة عندها 

434
00:47:58,300 --> 00:48:05,430
تكون غير قابلة للاشتقاق ماشي الحالات الأربعة بنقول

435
00:48:05,430 --> 00:48:11,990
ما يأتي لو كان الرسم البياني فيه corner زي ما قلنا 

436
00:48:11,990 --> 00:48:17,470
توف المثال السابق تمام؟ الحال الثاني لو كان في

437
00:48:17,470 --> 00:48:25,310
عندي sharp turn رجوح حد بنسميه كسب يعني المنحلة

438
00:48:25,310 --> 00:48:33,830
بيكون فيه زي رأس مدبب الحالة الثالثة و اجتشد 

439
00:48:33,830 --> 00:48:39,150
عندي vertical tangent يبقى

440
00:48:39,150 --> 00:48:44,810
الظل تبقى بقداش بـ infinity يبقى الأصبع تتدلة غير 

441
00:48:44,810 --> 00:48:49,290
المشتقة غير معرفة الحالة الرابعة لو عندي 

442
00:48:49,290 --> 00:48:50,670
discontinuity

443
00:48:58,390 --> 00:49:04,810
الاربعة هحط لك في صيغة الـ remark التالية يبقى

444
00:49:04,810 --> 00:49:12,150
remark the 

445
00:49:12,150 --> 00:49:23,210
function f of x is not

446
00:49:23,210 --> 00:49:37,430
differentiable at a point x يساوي c in the

447
00:49:37,430 --> 00:49:44,230
following cases

448
00:49:45,370 --> 00:49:56,410
في الحالات التالية نمرة واحد if the graph إذا

449
00:49:56,410 --> 00:50:08,890
الرسم البياني has a corner because

450
00:50:11,900 --> 00:50:17,880
زي ما شوفنا في المثال السابق قبل قليل they one

451
00:50:17,880 --> 00:50:23,140
sided derivative

452
00:50:23,140 --> 00:50:27,440
differ

453
00:50:27,440 --> 00:50:34,100
يعني بيختلف المشتقة من اليمين على المشتقة من

454
00:50:34,100 --> 00:50:34,720
الشمال

455
00:50:38,800 --> 00:50:50,480
The graph is الرسم البياني has a cusp كسب يعني

456
00:50:50,480 --> 00:50:57,320
sharp turn رجوع 

457
00:50:57,320 --> 00:51:01,940
حاد للمنحنة الحالة الثالثة

458
01:00:05,140 --> 01:00:12,190
إذا كانت الكرافة لديها تجنب

459
01:00:12,190 --> 01:00:19,670
رقمي مماسا رأسيا

460
01:00:19,670 --> 01:00:27,830
إذا كانت الصورة مستمرة

461
01:00:27,830 --> 01:00:37,530
يبقى فيها عندي أربع حالات الأربع حالات هدول بيكون 

462
01:00:37,530 --> 01:00:42,670
عندي المنحنة أو الدالة غير قابلة للاشتقاق معادلة

463
01:00:42,670 --> 01:00:47,170
المنحنة بتبقى عندها غير قابلة للاشتقاق مين هي 

464
01:00:47,170 --> 01:00:51,390
الأماكن أو النقط اللي الدالة عندها بتكون غير قابلة 

465
01:00:51,390 --> 01:00:56,530
للاشتقاق حالة الأولى لو الـ graph has a corner يبقى

466
01:00:56,530 --> 01:01:03,540
فيه corner زي اللي توقف absolute value لمن؟ للـ X

467
01:01:03,540 --> 01:01:09,880
ناقص ثلاثة because the one sided derivative differ

468
01:01:09,880 --> 01:01:16,880
لأن المشتقة من اليمين غير المشتقة من الشمال وهذه

469
01:01:16,880 --> 01:01:23,760
الحالة أشرنا إليها قبل قليل يبقى هذا X، هذه Y، هذه 

470
01:01:23,760 --> 01:01:29,990
Zero، يبقى هنا هذا ما نسميه corner

471
01:01:35,770 --> 01:01:43,330
بالتالي المشتقة من اليمين لأو المشتقة من اليمين 

472
01:01:43,330 --> 01:01:49,650
لاتساوى المشتقة من الشمال الحالة الأولى لو كان 

473
01:01:49,650 --> 01:01:56,400
عندي corner يبقى الدالة غير قابل اشتقاق الحالة

474
01:01:56,400 --> 01:02:03,360
الثانية بيقول if the graph has a cusp رجوع حاد 

475
01:02:03,360 --> 01:02:09,500
للمنحنة طبعا احنا خدنا function قبل ذلك اللي هي الـ

476
01:02:09,500 --> 01:02:18,900
function التالي هذا X وهذا Y فكانت رسمة الدالة

477
01:02:18,900 --> 01:02:20,160
بتنزلك و بتطلع هيك عندي الـ zero حد ماذا ذكرها يا

478
01:02:22,760 --> 01:02:32,120
شهود؟ Y تساوى X أُص تلاتة على اتنين والله اتنين على 

479
01:02:32,120 --> 01:02:36,840
تلاتة 2 ع 3 طولتين كويس يبقى هذي Y يساوي X أس

480
01:02:36,840 --> 01:02:43,040
طولتين هذا A اللي هو كسب كسب يعني إيه؟ يعني لو جيت 

481
01:02:43,040 --> 01:02:46,720
مماس من اليمين و مماس من الشمال اتنين are

482
01:02:51,110 --> 01:03:01,190
different اتنين لو بدي ارسم مماس عند هذه النقطة 

483
01:03:01,190 --> 01:03:14,150
برسم لنهاية من من المماسات ليس بالضرورة أن يكون 

484
01:03:14,150 --> 01:03:29,260
الرأس المدبب إلى أسفل ممكن يكون الرأس مدبب إلى 

485
01:03:29,260 --> 01:03:40,730
أعلى، يعني لو جينا و قلنا هذه المحاور و قلنا هذا 

486
01:03:40,730 --> 01:03:48,950
محور X و هذا ممكن المنحنة يجي لكيك و يجي نازلك، 

487
01:03:48,950 --> 01:03:56,310
يبقى كمان هذا كاسب يبقى عند النقطة هذه لـ X يساوي C

488
01:03:56,310 --> 01:04:09,070
بيكون في عندي كاسمة يبقى هذا الشكل كذا سواء كان 

489
01:04:09,070 --> 01:04:16,170
الرأس المدبب إلى أسفل أو الرأس المدبب إلى أعلى طيب

490
01:04:16,170 --> 01:04:22,630
الحالة الثانية بقول ثالثة بقول لو كان عندي

491
01:04:22,630 --> 01:04:28,830
vertical tangent أظن المحاضرة الماضية أخذنا الـ 

492
01:04:28,830 --> 01:04:34,110
vertical tangent و قلنا القوة ده مش موجود في الجزء 

493
01:04:34,110 --> 01:04:39,810
النظري لكن موجود في التمرين و كان عندنا دالة زي

494
01:04:39,810 --> 01:04:45,590
من؟ زي الدالة هذي X و Y و المنحنة جينا رسمناها و 

495
01:04:45,590 --> 01:04:50,410
أجا نازل هيك بالشكل هذول هو من؟ Y تساوي X أسطلهذا

496
01:04:50,410 --> 01:04:54,050
محور Y هذا vertical tangent 

497
01:04:54,050 --> 01:04:58,210
عند الـ Zero طبعا السؤال اللي أتناه كل مرة فتخلنا

498
01:04:58,210 --> 01:05:03,510
فيه إزاحة جهة اليمين بمقدار واحد ممكن أجرب لك ياه

499
01:05:03,510 --> 01:05:08,470
شوية و أقول لك هاي المحاول هذا محور X هذا محور Y 

500
01:05:08,470 --> 01:05:13,430
أجانبه انحنى هكذا وجهت عند النقطة دي بدي أرسم مماس

501
01:05:13,430 --> 01:05:18,430
فكان المماس على الشكل التالي

502
01:05:18,430 --> 01:05:25,750
يبقى هذا مين vertical tangent كمان هذا vertical

503
01:05:25,750 --> 01:05:35,220
tangent تمام

504
01:05:35,220 --> 01:05:40,240
يبقى عند x يساوي c الدالة كذلك غير قابلة للاشتقاق

505
01:05:40,240 --> 01:05:47,160
الحالة الرابعة لو عندك discontinuity الدالة غير 

506
01:05:47,160 --> 01:05:51,260
متصلة عند هذا النقطة تقدر تلص مماس عندها في المنحنة

507
01:05:51,260 --> 01:05:58,850
توجد ثقوب في المنحنة يبقى لو جينا قولنا افترض عندك

508
01:05:58,850 --> 01:06:11,130
أي منحنة بالشكل اللي عندنا هذا محور X و هذا محور Y

509
01:06:11,130 --> 01:06:19,570
و اخترسمت المنحنة فكان المنحنة جاي بالشكل هذا و

510
01:06:19,570 --> 01:06:27,310
عند X يساوي C في عند هنا اياش ثقب تقدر عند هذا

511
01:06:27,310 --> 01:06:35,570
الثقب ترسم مماس يبعت لك الله لأن المماس بده احداث 

512
01:06:35,570 --> 01:06:41,610
نقطة عند هذه النقطة لا تقع على المنحنة إذا لن تصير 

513
01:06:41,610 --> 01:06:47,200
أنت رسم ماسك وبالتالي لا يمكن أن يكون في عندك هنا

514
01:06:47,200 --> 01:06:52,980
الدالة قابلة لا continuity ولا differentiability

515
01:06:52,980 --> 01:06:59,580
لكن اتطلع في الحالات اللي عندنا هذه كلها، الدالة

516
01:06:59,580 --> 01:07:06,080
متصلة، لكنها غير قابلة للاشتقاق، لكن في الحالة

517
01:07:06,080 --> 01:07:10,060
الأخيرة، لا دالة متصلة ولا حتى قابلة للاشتقاق، ما

518
01:07:10,060 --> 01:07:15,540
علينا، يبقى هدول الأربع حالات بتكون ملم فيهم تماما

519
01:07:15,840 --> 01:07:24,020
عند الـ Cusp أو الـ Corner تقدر ترسم مالا نهاية من 

520
01:07:24,020 --> 01:07:33,420
المماسات عند الـ Discontinuity ماقدرش ارسم ولا

521
01:07:33,420 --> 01:07:43,740
مماس على الإطلاق طيب نبدأ نأيجي ناخد بعض الأمثلة

522
01:07:43,740 --> 01:07:51,260
أول مثال example بيقول

523
01:07:51,260 --> 01:07:58,690
ما يأتي example one بيقول لي show that

524
01:07:58,690 --> 01:08:03,890
the function بييلي إن الدالة f of x يساوي أحد أمرين

525
01:08:03,890 --> 01:08:11,650
يا إما الـ X تربيع في sign واحد على X لما الـ X لا

526
01:08:11,650 --> 01:08:21,150
تساوي Zero يا إما Zero لما الـ X تساوي Zero is

527
01:08:21,150 --> 01:08:24,270
differentiable

528
01:08:24,270 --> 01:08:35,380
at X يساوي Zero and فاين f prime of zero

529
01:09:15,140 --> 01:09:20,060
السؤال اللي قدامنا بيقول يبين لإن هذه الدالة قابلة 

530
01:09:20,060 --> 01:09:25,980
للاشتقاق قويا عند X يساوي Zero وبيجيب قداش قيمة 

531
01:09:25,980 --> 01:09:32,960
هذه المشتقة بيقول له بسيطة احنا عندنا الـ F prime

532
01:09:32,960 --> 01:09:39,940
of Zero بتجيب المشتقة عند الصفر يبقى هذه بدها تساوي 

533
01:09:39,940 --> 01:09:47,420
limit لما الـ H بدها تروح للـ zero للـ F of zero زائد

534
01:09:47,420 --> 01:09:55,580
الـ H ناقص F of zero على H يبقى هذه المشتقة عند

535
01:09:55,580 --> 01:10:05,280
الصفر يبقى بدها تجيب الـ F prime of zero أشوف هل هي 

536
01:10:05,280 --> 01:10:10,420
exist و الله ماهياش exist إذا طلعت does not exist

537
01:10:10,420 --> 01:10:14,920
يبقى خلاص الـ F prime زيرون لا يمكن نجدها و إذا 

538
01:10:14,920 --> 01:10:19,140
طلعت مانا مانت الدالة قابلة الاشتقاق عند زيرون و 

539
01:10:19,140 --> 01:10:24,280
قيمتها القيمة لمن اللي بتطلع بقوله كويس يبقى هذه 

540
01:10:24,280 --> 01:10:31,290
الـ limit لما الـ H بدها تروح لزيرون بتداجي للدالة

541
01:10:31,290 --> 01:10:37,630
بدي أشيل كل X و أكتب بدلها من Zero زائد H يبقى هاي 

542
01:10:37,630 --> 01:10:44,630
Zero زائد H لكل تربيع Sine واحد على Zero زائد الـ H

543
01:10:44,630 --> 01:10:51,510
ناقص F of Zero قيمة الدالة عند Zero بجداش بـ Zero

544
01:10:51,510 --> 01:10:57,740
كل هذا الكلام مقسوم على جداش على H يبقى هذا بده

545
01:10:57,740 --> 01:11:03,520
يساوي الـ limit لما الـ H بدها تروح للـ zero للـ H

546
01:11:03,520 --> 01:11:11,080
تربيع في الـ sign واحد على H كله مقسوم العالمين على 

547
01:11:11,080 --> 01:11:17,400
H والباقي كله طار طبعا في اختصارات عندنا وبتالي الـ

548
01:11:17,400 --> 01:11:24,150
limit لما الـ H بدها تروح لـ 0 للـ H في الـ sign 1

549
01:11:24,150 --> 01:11:31,110
على H أظن هذه حسبناها قبل ذلك بدل المرة مرتين يبقى

550
01:11:31,110 --> 01:11:37,250
النتيجة تساوي 0 وهذا previous example

551
01:11:39,050 --> 01:11:46,790
مثال سابق معناته اللي limit هذه exist وتساوي zero

552
01:11:46,790 --> 01:11:47,950
يبقى

553
01:11:50,550 --> 01:12:00,000
الـ F is differentiable at X يساوي Zero and الـ F

554
01:12:00,000 --> 01:12:04,720
prime of Zero بده يساوي قداش بده يساوي Zero طيب

555
01:12:04,720 --> 01:12:10,920
هذا مثال بسيط و مباشر نعطيكم مثال و نشوف شو رأيكم

556
01:12:10,920 --> 01:12:14,600
فيه يبقى example to

557
01:12:18,890 --> 01:12:28,970
بقول ما يأتي for what values

558
01:12:28,970 --> 01:12:42,040
of a and b will the function

559
01:12:42,040 --> 01:12:57,150
f of x يساوي أحد أمرين يا إما اللي هو AX لما الـ X

560
01:12:57,150 --> 01:13:08,620
أقل من اتنين يا إما AX تربيع ناقص B X زائد تلاتة

561
01:13:08,620 --> 01:13:16,840
لما الـ x greater than or equal to two ماله هذا بـ

562
01:13:16,840 --> 01:13:24,200
differentiable at x يساوي اتنين

563
01:13:36,940 --> 01:13:44,040
سؤال مرة ثانية بقول لي ما هي القيم التي تأخذها كل

564
01:13:44,040 --> 01:13:50,490
من أو كل من a و b بحيث الـ function هذا تبقى قابل

565
01:13:50,490 --> 01:13:56,690
للاشتقاق عند x يساوي اتنين هذا النوع من المسائل مر

566
01:13:56,690 --> 01:14:01,890
علينا قبل ذلك مرتين مرة في الـ limit و مرة في الـ 

567
01:14:01,890 --> 01:14:07,590
continuity في الـ derivative و كله في كل الأمور

568
01:14:07,590 --> 01:14:13,270
بيقول هات لي قيمة الثابت ايه تمام؟ يبقى ادير بالك

569
01:14:13,270 --> 01:14:18,090
من الحكاية هذا بدك تكون دقيق لأنه لا يكاد يخلو

570
01:14:18,090 --> 01:14:21,730
ممكن يجيك على الـ limit ممكن يجيك على الـ continuity

571
01:14:21,730 --> 01:14:25,890
ممكن يجيك على الـ differentiability وقد قتينا بهذه

572
01:14:25,890 --> 01:14:31,190
النوعية من الأسئلة قبل ذلك عدة مرات يبقى السؤال

573
01:14:31,190 --> 01:14:36,150
بيقول بدي قيم ايه و بيه بحيث الدالة تبقى ايه قعب 

574
01:14:36,150 --> 01:14:41,150
الاشتقاق قعب الاشتقاق معناته المشتقة من اليمين بدت 

575
01:14:41,150 --> 01:14:46,15

601
01:08:21,150 --> 01:08:21,690
تربية

602
01:08:26,200 --> 01:08:37,850
ناقص اتنين B ناقص H في B زائد ثلاثة نجي للقصة

603
01:08:37,850 --> 01:08:47,450
التانية ناقص أربعة A زائد اتنين B ناقص ثلاثة كل 

604
01:08:47,450 --> 01:08:53,390
هذا الكلام مقسوما على H مين اللي بيسأله؟ ايه؟ هذا

605
01:08:53,390 --> 01:08:58,290
الطواريب الباشر. ليه؟ يقول A اتنين زائد H ناقص A

606
01:08:58,290 --> 01:09:00,270
تبين T. هذا الأولى؟

607
01:09:05,540 --> 01:09:14,080
الـF prime عند الـA limit لما الـH بتروح لـ0 للـF

608
01:09:14,080 --> 01:09:24,440
of A زائد الـH ناقص الـF of A على H كيف؟

609
01:09:24,440 --> 01:09:27,780
هو اللي فوق هي

610
01:09:31,310 --> 01:09:35,970
ماختلفناش مش احنا جزئين الان رايحين لاتنين من جهة

611
01:09:35,970 --> 01:09:39,690
الشمال يعني هذه مش موجودة عني مش موجودة هنا اللي

612
01:09:39,690 --> 01:09:43,530
فوق، مظبوط ولا لا؟ يبقى انا بشتغل على اللي فوق

613
01:09:43,530 --> 01:09:46,850
دونها، هي اجي الدور على اللي مين، على اللي تحت،

614
01:09:46,850 --> 01:09:51,770
اصبحت خربط من الشجتات، انا قلت لك رايح لاتنين من جهة

615
01:09:51,770 --> 01:09:57,880
الشمال، أخذت ال F Prime من جهة الشمال، تمام؟ طيب

616
01:09:57,880 --> 01:10:03,300
نجي نكمل هنا كل علاج نجي نختصر أظن الأربعة ا

617
01:10:03,300 --> 01:10:12,540
والسالب أربعة A مع السلامة عندك هنا سالبي

618
01:10:12,540 --> 01:10:18,640
اتنين B وزيدي اتنين B موجبة بتلاتة وسالب تلاتة

619
01:10:18,640 --> 01:10:24,380
يبقى هذا كله راح كل ما فيش غير كده تمام؟ يبقى هذا

620
01:10:24,380 --> 01:10:29,480
الكلام بده يساوي ال limit لما ال H بده يروح ل zero

621
01:10:29,480 --> 01:10:35,600
من جهة اليمين بده ياخد H عام المشترك بيبقى عندي 4A

622
01:10:35,600 --> 01:10:44,280
زائد A H ناقص B كل هذا الكلام على مين؟ على H يبقى

623
01:10:44,280 --> 01:10:50,020
بتروح الـH هذه مع الـH هذه يبقى ال limit لما الـH

624
01:10:50,020 --> 01:10:58,780
بدها تروح للـ0 من جهتي اليمين للـ4A زائد A H ناقص

625
01:10:58,780 --> 01:11:03,240
B لما الـH بدها تروح للـ0 هذا ال term كله بيروح

626
01:11:03,240 --> 01:11:13,050
بجداش بـ0 بظل الناتج 4A ناقص B جلد دالة قابلة

627
01:11:13,050 --> 01:11:18,710
للاشتقاق عندي اتنين إذا ما دام دالة قابلة للاشتقاق

628
01:11:18,710 --> 01:11:25,270
عندي اتنين بدأ يكون المشتقة من اليمين تساوي

629
01:11:25,270 --> 01:11:32,690
المشتقة من أين؟ من الشمال يبقى

630
01:11:32,690 --> 01:11:41,780
باجي بقوله since بما أن يعني ال F is differentiable

631
01:11:41,780 --> 01:11:51,160
at x يساوي اتنين we have ان المشتقة من الشمال

632
01:11:51,160 --> 01:12:00,350
للاتنين بدي يساوي المشتقة من اليمين للإتنين هذا

633
01:12:00,350 --> 01:12:06,910
معناه إيش؟ معناه إن الـA اللي طلعناها في الأول بدي

634
01:12:06,910 --> 01:12:15,610
يساوي أربعة A ناقص الـB هذا معناه إن B يساوي تلاتة

635
01:12:15,610 --> 01:12:16,950
A من اللي بيسأل؟

636
01:12:24,760 --> 01:12:32,160
خدنا ال term الأول والثاني ال term الثاني يا

637
01:12:32,160 --> 01:12:36,500
راجل أخذنا اللي فوق لحالها وأخذنا اللي تحت لحالها

638
01:12:36,500 --> 01:12:40,500
جزئين مظبوط وهنا اشتغل نفس الشغل

639
01:12:47,010 --> 01:12:51,770
يعني لما جيت اشتغلت في اللي فوق مثلا جيبت الدال

640
01:12:51,770 --> 01:12:56,750
اللي تحته وحطيتها مع اللي فوق طلع

641
01:12:56,750 --> 01:12:57,710
فيها كويس

642
01:13:06,820 --> 01:13:11,000
طيب ليش استغلت التنتين في أن عندنا نفس النقطة؟

643
01:13:11,000 --> 01:13:14,420
لأنه الاتنين ملتجيات على نفس النقطة، النقطة موجودة

644
01:13:14,420 --> 01:13:19,600
على المنحنات والله

645
01:13:19,600 --> 01:13:24,540
هو صح يا راجل، عشان امتحان فيزيا، عشان امتحان

646
01:13:24,540 --> 01:13:31,390
فيزيا، خلي بالك، خلي بالك وصح صح، كويس طيب، على

647
01:13:31,390 --> 01:13:36,630
أي حال، أنا عندي هذه معادلة في كام مجهول؟ فيه

648
01:13:36,630 --> 01:13:41,550
مجهولين، بدي كمان معادلة تانية مش هنقدر أحلها،

649
01:13:41,550 --> 01:13:49,510
أيوه، قول إذا

650
01:13:49,510 --> 01:13:55,510
قابل الاشتقاق، يجب أن تكون متصلة، مظبوط

651
01:14:00,890 --> 01:14:09,090
طب جالها ليه؟ يعني

652
01:14:09,090 --> 01:14:14,790
لو أخدنا اتصاله فقط، بيكون حالينا المشكلة؟ طب أنا

653
01:14:14,790 --> 01:14:18,030
الحين ما هو اللي ضايل علينا، إيش بيستخدم قرار

654
01:14:18,030 --> 01:14:22,130
سياسي الاتصال؟ بس أنت استعجلت، لو صبرتك دقيقتين،

655
01:14:22,130 --> 01:14:26,820
فانتهت الشغل هذه، شوف ال CD الآن أنا من الاشتقاق

656
01:14:26,820 --> 01:14:33,260
جبت معادلة بمجهولين تمام؟ إذا بدي كمان معادلة مش 

657
01:14:33,260 --> 01:14:37,160
هنجب احل المثل أو المعادلة بتربط المجهولين أيضا

658
01:14:37,160 --> 01:14:42,380
فما عنديش إلا مين إلا ال continuity لهذه الدالة

659
01:14:42,380 --> 01:14:52,080
فباجي بقوله since بما أن ال F is differentiable at

660
01:14:52,080 --> 01:15:03,160
X يساوي اتنين نحن لدينا ان ال F is continuous at X

661
01:15:03,160 --> 01:15:09,620
يساوي اتنين مش امكانية كويس يبقى بده أروح أجيب له

662
01:15:09,620 --> 01:15:16,930
F of اتنين خاصية الاتصال قيمة الدالة عند نقطة يساوي

663
01:15:16,930 --> 01:15:18,810
نهاية الدالة عند نفس النقطة

664
01:15:43,270 --> 01:15:50,170
زائد تلاتة تمام طب هدى قداش تساوي بيب تلاتة A

665
01:15:50,170 --> 01:15:58,710
إذا بقدر أقول هدى تساوي أربعة A ناقص اتنين في

666
01:15:58,710 --> 01:16:08,110
تلاتة A زائد تلاتة مظبوط هيك يبقى شلت الـB وحطيت

667
01:16:08,110 --> 01:16:14,280
بدالها اللي هو تلاتة A من فوق يبقى هذا بده يسمى

668
01:16:14,280 --> 01:16:22,680
قداش اللي هو أربعة A ناقص ستة A زائد تلاتة

669
01:16:22,680 --> 01:16:30,210
يعني بيبقى قداش ناقص اتنين A زائد تلاتة هذا

670
01:16:30,210 --> 01:16:34,390
قيمة الدالة عند اتنين بدي أروح أجيب limit لل

671
01:16:34,390 --> 01:16:41,770
function يبقى أنا بدي limit لل F of X لما ال X بدي

672
01:16:41,770 --> 01:16:47,690
أروح لل اتنين على سبيل المثال من جهة الشمال لأن من

673
01:16:47,690 --> 01:16:52,910
جهة اليمين هتعطيني النتيجة هذه مظبوط ولا لأ؟ و

674
01:16:52,910 --> 01:16:56,290
كونها continuous يبقى ال limit من اليمين بدها تساوي

675
01:16:56,290 --> 01:16:59,990
ال limit من الشمال يبقى بتكفيني بس ال limit من

676
01:16:59,990 --> 01:17:04,590
الشمال من جهة الشمال للدالة يبقى هاي ال limit لما

677
01:17:04,590 --> 01:17:09,050
ال X بده يروح للاتنين من جهة الشمال اتنين من جهة

678
01:17:09,050 --> 01:17:16,290
الشمال يبقى X بالعكس من الدرجة الأولى يجب التعويض

679
01:17:16,290 --> 01:17:24,470
مباشر يبقى هذا بتعطيك اتنين A الآن since بما أن

680
01:17:24,470 --> 01:17:36,650
ال F is continuous at X يساوي اتنين we have إذا

681
01:17:36,650 --> 01:17:42,020
القيمتين هدول لازم مالهم يساووا بعض يبقى بدي يصير

682
01:17:42,020 --> 01:17:50,820
ناقص اتنين A زائد تلاتة بدها تساوي اتنين A تمام

683
01:17:50,820 --> 01:17:58,480
يبقى بناء عليه الأربعة A بدها تساوي تلاتة يبقى

684
01:17:58,480 --> 01:18:04,320
ال A بدي يساوي قداش تلاتة أرباع and

685
01:18:06,570 --> 01:18:15,910
الـ B يساوي تلاتة في تلت أرباع يعني ان الـ B يساوي

686
01:18:15,910 --> 01:18:21,330
تسعة أرباع يبقى لو كانت الـ A بتلت أرباع و الـ B

687
01:18:21,330 --> 01:18:26,670
بتسعة أرباع بصير الدالة قابلة للاشتقاق عن

688
01:18:26,670 --> 01:18:31,250
الاتنين وبالتالي بيصير continuous عند وين؟ عند

689
01:18:31,250 --> 01:18:36,710
الاتنين أيضا لحد هنا انتهى هذا ال section ويلا لكم

690
01:18:36,710 --> 01:18:40,850
أرقام

691
01:18:40,850 --> 01:18:48,850
المسائل exercises تلاتة اتنين يبقى exercises تلاتة

692
01:18:48,850 --> 01:18:52,850
اتنين المسائل التالية

693
01:18:54,650 --> 01:19:05,710
من واحد لغاية واحد وثلاثين القد وبنضيف عليهم سبعة

694
01:19:05,710 --> 01:19:15,490
وثلاثين وتسعة وثلاثين واتنين واربعين وتلاتة

695
01:19:15,490 --> 01:19:25,000
واربعين وخمسة واربعين وسبعة واربعين وتسعة واربعين

696
01:19:25,000 --> 01:19:37,880
وثلاثه وخمسين وأربعة وخمسين وخمسة وخمسين وثمانية

697
01:19:37,880 --> 01:19:39,220
وخمسين

698
01:19:43,640 --> 01:19:49,260
المرة القادمة إن شاء الله بنبدأ في قواعد الاشتقاق

699
01:19:49,260 --> 01:19:51,900
اللي أنتم استعجلين عليها