1
00:00:22,040 --> 00:00:27,360
بسم الله الرحمن الرحيم طبعا نقول لكم قبل أن نبدأ

2
00:00:27,360 --> 00:00:34,520
في موضوعنا الحمد لله على سلامتكم بسبب الحالة 

3
00:00:34,520 --> 00:00:40,750
الجوية السيئة التي مر بها قطاع غزة قبل اللي هو خمسة

4
00:00:40,750 --> 00:00:45,650
أيام واستمرت لمدة أربعة أيام وكانت سببا في غرق 

5
00:00:45,650 --> 00:00:52,570
كثير من البيوت وإصابة بعض الناس بإصابات مؤلمة

6
00:00:52,570 --> 00:01:00,250
فالحمد لله على سلامتكم جميعا ونعود الآن لإكمال ما

7
00:01:00,250 --> 00:01:06,180
كنا ندرسه قبل أسبوع بعد هذا الغياب الطويل

8
00:01:06,180 --> 00:01:11,560
موضوعنا كان chapter 9 موضوع ال normal subgroups و

9
00:01:11,560 --> 00:01:16,980
ال factor groups آخر حاجة  اتكلمنا عنها المرة الماضية كان

10
00:01:17,450 --> 00:01:21,470
إن لو كانت الـ group الـ G modulo Z of the G الـ

11
00:01:21,470 --> 00:01:26,470
Cyclic يبقى then G is abelian وقد برهنا هذه النظرية

12
00:01:26,470 --> 00:01:32,190
في المرة السابقة، نستنتج منها ما يأتي: إن لو أخدت 

13
00:01:32,190 --> 00:01:38,250
subgroup من ال center تبع ال group فإن ال G على H

14
00:01:38,250 --> 00:01:42,520
لو كانت Cyclic يبقى G is abelian والبرهان نفس

15
00:01:42,520 --> 00:01:47,900
البرهان تبع النظرية حرفيا بس بصير إنك أنت مقيد في H

16
00:01:47,900 --> 00:01:52,700
اللي هي ال subset أو subgroup من ال center تبع ال

17
00:01:52,700 --> 00:01:56,640
group الآن ال remark بيقول ال contrapositive of

18
00:01:56,640 --> 00:02:01,860
the above theorem is يعني بمعنى آخر ال negation

19
00:02:01,860 --> 00:02:06,260
لنص النظرية، احنا بنعرف إن ال proposition لو كانت 

20
00:02:06,260 --> 00:02:10,200
من اليمين لشمال، ال negation ببدأ من وين؟ من الشمال

21
00:02:10,200 --> 00:02:15,560
لليمين يبقى ال contrapositive لو كانت الـ G هذه

22
00:02:15,560 --> 00:02:20,760
non-abelian إذا ال group هذه ما لهاش non-cyclic

23
00:02:20,760 --> 00:02:24,920
وهذه أبسط الأشياء اللي تعلمناها في مبادئ الرياضيات

24
00:02:24,920 --> 00:02:30,180
نكمل على نفس الموضوع for any group G modulo Z of the G

25
00:02:30,440 --> 00:02:34,840
هذا يكون isomorphic للـ Inner Automorphism لـ  

26
00:02:34,840 --> 00:02:43,380
G لذلك نذهب و نعرف Function، Define

27
00:02:43,380 --> 00:02:49,000
A Mapping، Define

28
00:02:49,000 --> 00:02:55,320
A Mapping T مثلا من الـ G و أديله الـ Center تبع

29
00:02:55,320 --> 00:02:59,600
الـ G إلى الـ Inner Automorphism لـ G

30
00:03:02,800 --> 00:03:08,360
طبعا كل element هنا هو عبارة عن left coset G في

31
00:03:08,360 --> 00:03:12,960
ال center بتاع الجي، كل ال elements اللي هنا عبارة

32
00:03:12,960 --> 00:03:17,640
عن isomorphism من ال group إلى نفس ال group يبقى

33
00:03:17,640 --> 00:03:26,480
بدي أسميه ΦG حيث ال ΦG بنذكر بها as a

34
00:03:26,480 --> 00:03:32,300
function of x بده يساوي الـ G x G inverse لكل ال X

35
00:03:32,300 --> 00:03:38,880
اللي موجودة في G يبقى أخدنا element من هنا اللي هو

36
00:03:38,880 --> 00:03:43,240
left coset وليكن G في ال center بتاع الجي، خلينا T

37
00:03:43,240 --> 00:03:48,240
تأثر عليها، افترضنا إن الصورة بتاعتها كانت هي Φ

38
00:03:48,240 --> 00:03:52,740
of G، بدنا نثبت إن هذا isomorphism بس قبل ال

39
00:03:52,740 --> 00:03:57,380
isomorphism بدنا نؤكد على إن T هذه is well defined

40
00:03:57,380 --> 00:04:01,700
يعني تعريفنا هذا تعريف استعريف سليم مائة بالمائة

41
00:04:01,700 --> 00:04:05,700
يبقى T is well defined

42
00:04:07,890 --> 00:04:13,330
هي معرفة تعريفا سليما، يبقى عشان كده بدأ أخد عنصرين

43
00:04:13,330 --> 00:04:22,930
متساويين، نفترض إن الـG في الـZ of the G بده يساوي الـH

44
00:04:22,930 --> 00:04:32,210
في الـZ of the G مثلا، و الـG و الـH هدول موجودين في

45
00:04:32,210 --> 00:04:39,650
الـG يبقى أخدت عنصرين متساويين من هذين العنصرين بدي

46
00:04:39,650 --> 00:04:45,970
أستنتج ما يأتي: لو ضربت الطرفين في G inverse يبقى

47
00:04:45,970 --> 00:04:53,330
بدي يصير عندك ال Z of the G بده يساوي ال G inverse H في

48
00:04:53,330 --> 00:04:59,750
Z of the G، طبعا ال Z of the G is a subgroup للاتنين هدول

49
00:04:59,750 --> 00:05:09,160
متساويين، نستنتج من ذلك إن الـG inverse H موجودة في

50
00:05:09,160 --> 00:05:17,540
الـZ of the G، معناه هذا الكلام إن الـG inverse HX بدي

51
00:05:17,540 --> 00:05:23,800
يساوي الـX في الـG inverse H لكل الـX اللي موجود في

52
00:05:23,800 --> 00:05:27,800
G بلا استثناء، ما دام element موجود في ال center

53
00:05:27,800 --> 00:05:31,600
تبع الـ group، إذا الـ commutes مع جميع عناصر الـ

54
00:05:31,600 --> 00:05:36,460
group بلا استثناء، يبقى بناء عليه اللي هو main

55
00:05:36,460 --> 00:05:42,980
اللي هو الـ G inverse H X بدي أساوي X، G inverse H

56
00:05:42,980 --> 00:05:49,960
من هذا الكلام بدي أحاول أوصل إلى إن ΦG هي ΦH

57
00:05:49,960 --> 00:05:56,080
بالضبط تماما، وبالتالي بوصل للأصل بتاعها، يبقى هذا

58
00:05:56,080 --> 00:06:02,840
يعطينا ما يأتي: بدي أحاول أخل ال H في ناحية ومين؟ و

59
00:06:02,840 --> 00:06:09,060
ال G في ناحية، إذا هذه المعادلة لو ضربت في G من جهة

60
00:06:09,060 --> 00:06:14,840
الشمال وضربت في H inverse من جهة اليمين يبقى هذا

61
00:06:14,840 --> 00:06:22,440
الشيء حتعطينا إن الـ H X H inverse بده يساوي الـ G

62
00:06:22,440 --> 00:06:28,320
X G inverse، طلع ليه كويس، هضرب من جهة اليمين في H

63
00:06:28,320 --> 00:06:33,480
inverse بتروح هذه وبتيجي هنا H inverse، هاي الـ H

64
00:06:33,480 --> 00:06:38,780
inverse تمام؟ الآن بده أضرب من جهة الشمال في G

65
00:06:39,040 --> 00:06:45,740
بتروح حياتي بيظل H X H inverse هتدي لك هنا G X G

66
00:06:45,740 --> 00:06:51,340
inverse بالشكل اللي عندنا هذا، يعني إيه؟ يعني إن

67
00:06:51,340 --> 00:06:59,820
ΦH هي نفسها ΦG يعني تأثير ΦH على أي 

68
00:06:59,820 --> 00:07:05,240
element من ال group بيكون تأثير ΦG على نفس ال

69
00:07:05,240 --> 00:07:12,140
element هذا، معناه ΦH هي عبارة عن T of H في ال

70
00:07:12,140 --> 00:07:18,880
center بتاع ال group G بيكون تأثير T على G مضروبة

71
00:07:18,880 --> 00:07:25,680
في ال center بتاع G بالشكل هذا، لذلك T is one to one

72
00:07:25,870 --> 00:07:33,050
T is well-defined، بنيجي الآن لـ T is one to one

73
00:07:33,050 --> 00:07:37,090
يبقى بدي أعمل العملية العكسية، بدي أخد صورتين

74
00:07:37,090 --> 00:07:45,370
متساويتين، Assume T للـ G في ال center بتاع الـ G

75
00:07:45,370 --> 00:07:52,670
بده يساوي T في ال H في ال center بتاع الـ G

76
00:07:52,670 --> 00:07:58,300
بالشكل اللي عندنا هنا، يبقى هذا يعطينا إيه؟ يبقى

77
00:07:58,300 --> 00:08:06,100
يعطينا إن الـ ΦG يساوي الـ ΦH، يبقى لو خلنا كل

78
00:08:06,100 --> 00:08:13,540
واحدة تأثر على X يساوي تأثير الـ H على X، هذا الكلام

79
00:08:13,540 --> 00:08:21,540
صحيح لكل الـ X اللي موجود في G يبقى بناء عليها جيكس

80
00:08:21,540 --> 00:08:30,340
جي انفرس هكس هانفرس لكل ال X اللي موجود في جي بلا

81
00:08:30,340 --> 00:08:37,160
استثناء، طيب كويس هذا الكلام بده يعطينا ما يأتي بدي

82
00:08:37,160 --> 00:08:43,080
أستنتج الشغلة من هذا الكلام، لو ضربت الطرفين في الـ

83
00:08:43,080 --> 00:08:49,540
H من جهتي اليمين يبقى بيصير عندك جي

84
00:08:49,540 --> 00:08:57,950
اكس جي انفرس H بده يساوي الـ HX يبقى ضربت من جهة

85
00:08:57,950 --> 00:09:03,990
اليمين في مين؟ في H بتجينا هنا H ومن هنا بتروح

86
00:09:03,990 --> 00:09:09,730
الـH، هي أجت وهنا راحت، الآن بدي أضرب من جهة الشمال

87
00:09:09,730 --> 00:09:14,430
في G inverse، يبقى لو ضربت من جهة الشمال في G

88
00:09:14,430 --> 00:09:21,750
inverse بيصير X في G inverse H بدي يساوي G inverse H

89
00:09:21,750 --> 00:09:29,410
في X هذا الكلام صحيح لكل الـ X اللي موجودة في G، شو

90
00:09:29,410 --> 00:09:34,110
تفسيرك لهذا الكلام إن عندي هذا ال element هو نفس

91
00:09:34,110 --> 00:09:37,710
ال element يبقى معناه هذا ال element موجود وين؟

92
00:09:37,710 --> 00:09:42,860
في ال center بتاع ال group يبقى هذا الوضع يعطيني إن

93
00:09:42,860 --> 00:09:48,700
الـ G inverse H موجودة في الـ Center بتاع الـ Group

94
00:09:48,700 --> 00:09:54,400
يعني بمعنى آخر هذا معناه إن الـ G inverse H في الـ

95
00:09:54,400 --> 00:09:57,960
Center بتاع الـ Group يساوي الـ Center بتاع الـ

96
00:09:57,960 --> 00:10:04,390
Group لو ضربنا الطرفين في G بيصير عندك H في الـ

97
00:10:04,390 --> 00:10:09,430
Center بتاع الـ G بيساوي G في الـ Center بتاع الـ G

98
00:10:09,430 --> 00:10:15,970
بالشكل هذا وبالتالي أخدنا صورتين متساويتين أثبتنا

99
00:10:15,970 --> 00:10:21,350
إن أصلهم متساوي يبقى بناء عليه G أو T is one to

100
00:10:21,350 --> 00:10:28,780
one، بنيجي نثبت هنا T is onto يبقى بدي أروح أخد

101
00:10:28,780 --> 00:10:34,000
element اللي هو ΦG موجود في ال inner

102
00:10:34,000 --> 00:10:43,360
automorphism إلى جي then ال Φ of جي هذا ال Φ of G

103
00:10:43,360 --> 00:10:51,800
هو عبارة بالضبط عن صورة T للـ G لـ Z of the G بالشكل 

104
00:10:51,800 --> 00:10:58,060
اللي عندنا، أنا T G Z of the G يبقى بناء عليه Φ is onto

105
00:10:58,060 --> 00:11:06,350
T is onto، ضايل علينا T is an isomorphism يبقى بروح

106
00:11:06,350 --> 00:11:13,930
أخد T لجي في ال center بتاع الجي مضروب في ال H في

107
00:11:13,930 --> 00:11:19,690
ال center بتاع الجي بالشكل اللي عندنا، هذا الكلام

108
00:11:19,690 --> 00:11:25,150
يساوي T of هذه left coset وهذه left coset تانية

109
00:11:25,150 --> 00:11:33,550
حسب ما أخدنا التعريف، يبقى هذا بيصير GH ل Z of the G

110
00:11:33,550 --> 00:11:41,470
left coset جديدة حسب تعريف الـ T، هذه بيصير Φ GH

111
00:11:42,370 --> 00:11:49,850
الشكل اللي عندنا هنا، طيب الآن لو جيت خط في جي إتش

112
00:11:49,850 --> 00:11:56,530
تأثيرها على element X يبقى هذا الكلام بدي يساوي GH

113
00:11:56,530 --> 00:12:03,830
X GH inverse لأنه ماخد وين ال ΦG هادي؟ وين؟ في ال

114
00:12:03,830 --> 00:12:12,860
inner automorphism طيب هذه لو رجعت لتعريف ΦG X H

115
00:12:12,860 --> 00:12:18,600
انفرس جي انفرس، هذا بندخل انفرس على جوا وبالتالي

116
00:12:18,600 --> 00:12:22,660
بنجلب إيه؟ ووضعهم، لأن ماعنديش جي إز قابيل يعني

117
00:12:22,660 --> 00:12:31,630
ماقلناش قابيل طيب كويس هذه هتعني ΦG لل HX H

118
00:12:31,630 --> 00:12:36,830
inverse يعني بدي افترض إن هذا كله element واحد

119
00:12:36,830 --> 00:12:41,810
وبالتالي بدي يصير جي لل element هذا لل G inverse

120
00:12:41,810 --> 00:12:48,280
تعريف ΦG هذا اللي جوا تعريف main اللي هو في اتش

121
00:12:48,280 --> 00:12:56,520
يبقى هذا ΦG لمين؟ لفي اتش كل هذا as a function

122
00:12:56,520 --> 00:13:04,710
of x، طب ال ΦG هذه مش هي عبارة عن اللي تساوي T في

123
00:13:04,710 --> 00:13:11,610
G في الـ Center بتاع الـ G والتانية ΦH هي عبارة

124
00:13:11,610 --> 00:13:17,510
عن T للـ H في الـ Center بتاع مين؟ بتاع الـ G

125
00:13:17,510 --> 00:13:22,370
وبالتالي صارت isomorphism وبالتالي برهنا من؟

126
00:13:22,370 --> 00:13:25,630
برهننا هذه النظرية

127
00:13:33,190 --> 00:13:37,610
في نظرية هذا اسمها نظرية كايلي برضه لل abelian

128
00:13:37,610 --> 00:13:44,190
groups يبقى هنا theorem لكايلي

129
00:13:44,190 --> 00:13:51,950
theorem كايلي

130
00:13:51,950 --> 00:13:58,810
theorem for abelian groups

131
00:14:01,880 --> 00:14:09,780
بتقول ما يتلت الـ G بيه

132
00:14:09,780 --> 00:14:21,560
finite بيه finite abelian group finite abelian

133
00:14:21,560 --> 00:14:36,120
groupو .. دع ال P بيه قطعة بيه قطعة بيه

134
00:14:36,120 --> 00:14:36,140
قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه

135
00:14:36,140 --> 00:14:40,580
قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه

136
00:14:40,580 --> 00:14:42,020
قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه

137
00:14:42,020 --> 00:14:42,060
قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه قطعة بيه

138
00:14:42,060 --> 00:14:47,180
قطعة بيه قطعة بيه

139
00:14:47,180 --> 00:14:50,880
قطعة بيه قطعة بي

140
00:15:09,720 --> 00:15:26,080
الجي لبروفة بتقدر ترجعله Page صفحات الـ 187 و188

141
00:15:53,820 --> 00:16:01,320
فينا تعريف جديد وهذا التعريف مهم شوية لما بعده

142
00:16:01,320 --> 00:16:12,480
definition suppose that افترض

143
00:16:12,480 --> 00:16:25,270
ان ال h and ال k are subgroups of G are subgroups

144
00:16:25,270 --> 00:16:39,130
of G define the set define the set HK

145
00:16:39,130 --> 00:16:47,150
حاصل الضرب HK by HK

146
00:16:48,210 --> 00:16:56,390
هو الـ set of all elements H في K such that الـ H

147
00:16:56,390 --> 00:17:07,610
موجودة في H و K موجودة في K التعريف

148
00:17:07,610 --> 00:17:11,350
اللي بعده بيعتمد عليه definition

149
00:17:14,660 --> 00:17:23,020
we say that ان

150
00:17:23,020 --> 00:17:31,900
الـ G ليه بدها تساوي ال H مضروبة في K الشكل اللي

151
00:17:31,900 --> 00:17:39,120
عندنا هذا is the internal direct product is the

152
00:17:39,120 --> 00:17:50,430
internal direct product of

153
00:17:50,430 --> 00:18:03,650
the subgroups

154
00:18:03,650 --> 00:18:14,590
ال H and الـ K F إذا تحقق ثلاثة شروط الشرط الأول ال

155
00:18:14,590 --> 00:18:23,850
H and ال K are normal subgroups are normal

156
00:18:23,850 --> 00:18:34,950
subgroups normal subgroups of G الشرط

157
00:18:34,950 --> 00:18:35,650
الثاني

158
00:18:38,640 --> 00:18:48,280
ان الـ G بدها تساوي H في K الشرط الثالث والاخير ان

159
00:18:48,280 --> 00:18:55,880
الـ H intersection K بده يساوي ال identity element

160
00:18:55,880 --> 00:19:03,820
examples let

161
00:19:05,880 --> 00:19:15,240
الـ G بدها تساوي الـ S3 and الـ H هي الـ subgroup

162
00:19:15,240 --> 00:19:25,460
generated by واحد اتنين تلاتة and K هي ال subgroup

163
00:19:25,460 --> 00:19:34,640
generated by واحد اتنين السؤال

164
00:19:34,640 --> 00:19:47,640
هو is الـ S3 بدها تساوي H مضروبة في K أم لا هذا

165
00:19:47,640 --> 00:19:48,260
السؤال

166
00:20:18,320 --> 00:20:21,800
طبعا اترضنا على تعريف الـ External direct product

167
00:20:21,800 --> 00:20:25,240
سابقا في ال section اللي قبله وفي ال chapter اللي

168
00:20:25,240 --> 00:20:30,000
قبله واخدنا عليه أمثلة واسئلة ونظريات لما نجي

169
00:20:30,000 --> 00:20:33,620
لحاجة اسمها ال internal direct product اللي هو حاصل

170
00:20:33,620 --> 00:20:38,950
الضرب الداخلي ده كان حاصل الضرب الخارجي بقول افترض

171
00:20:38,950 --> 00:20:45,450
ان الـH وK subgroups من G عرفنا ستة HK حاصلة ضرب

172
00:20:45,450 --> 00:20:51,710
بأنها كل العناصر اللي على الشكل H في K بحيث H

173
00:20:51,710 --> 00:20:59,780
موجودة في H وK موجودة في K بنفس التارتيتتعريف آخر

174
00:20:59,780 --> 00:21:03,880
بيناعرف حاجة اسمه ال internal direct product حصل

175
00:21:03,880 --> 00:21:08,220
الضرب الداخلي فبجي بقول جي هي ال internal direct

176
00:21:08,220 --> 00:21:13,640
product لل H وK وسنعطيها الرمز H علامة الضرب

177
00:21:13,640 --> 00:21:19,000
العادية في K طبعا ال external بقول زائد ودائرة هذه

178
00:21:19,000 --> 00:21:24,040
تدل على ال external وكل عنصر على الشكل two

179
00:21:24,040 --> 00:21:28,260
components three components in components بس هذا

180
00:21:28,260 --> 00:21:33,780
لا بيختلف هذا هنا جيه كل عنصر هنا على الشكل main

181
00:21:33,780 --> 00:21:38,870
على الشكل يعني اتنين مضروبات في بعض ضرب مباشرة يبقى

182
00:21:38,870 --> 00:21:43,350
هذا بسميه الـ Internal Direct Product لـ Subgroups H و K

183
00:21:43,350 --> 00:21:49,110
إذا تحققت عندي ثلاثة شروط الشرط الأول لازم يكون كل

184
00:21:49,110 --> 00:21:53,650
من H و K Normal Subgroups الشرط الثاني عملية

185
00:21:53,650 --> 00:21:57,970
الضرب بدها تجيب ليه كل عناصر الجروب بيه لا إستثناء

186
00:21:57,970 --> 00:22:03,090
لا زيادة ولا نقصان هاي الشرط الثاني الشرط الثالث

187
00:22:03,090 --> 00:22:06,370
ال intersection بين الـH و الـK بده يكون باسمين

188
00:22:08,220 --> 00:22:13,220
identity موجود في اي subgroup من ال group الأصلي

189
00:22:22,370 --> 00:22:28,010
ستة عناصر يعطيني ال subgroup و كمان subgroup تمام

190
00:22:28,010 --> 00:22:33,950
و بيقوللي هل ال S3 هي ال internal direct product تبع ال H

191
00:22:33,950 --> 00:22:37,710
و K ولا لأ بنقوله والله ما احنا عارفين تعالى نشوف

192
00:22:37,790 --> 00:22:43,350
يبقى هنا باجي بقوله solution مشان نعرف بأنه نعرف

193
00:22:43,350 --> 00:22:49,670
مين هي H في الأول طبعا ال identity element وهذا

194
00:22:49,670 --> 00:22:54,930
اللي هو واحد اتنين تلاتة ولو ضربنا في نفسه تربيع

195
00:22:54,930 --> 00:23:03,240
بيعطينا واحد تلاتة اتنين و انتهينا منها and ال K هي

196
00:23:03,240 --> 00:23:08,300
عبارة عن ال identity element والواحد دي اتنين ولو

197
00:23:08,300 --> 00:23:13,000
جيبناه تربيع بيعطينا ال identity element يبقى

198
00:23:13,000 --> 00:23:18,180
هذا هذا اللي موجود عندنا مشان أدربك على هذا الشغل

199
00:23:18,180 --> 00:23:23,640
بديش أبدأ بأول شرط بدي أبدأ بالشرط الثاني وبعد هيك

200
00:23:23,640 --> 00:23:31,910
بروح لمين لباقي الشروط إذا لو جيت لل H في K يبقى

201
00:23:31,910 --> 00:23:35,750
بدي أبدأ أضرب العناصر اللي عندنا في هذه العناصر

202
00:23:35,750 --> 00:23:39,710
يبقى ب ذات ساوية ال identity في ال identity

203
00:23:39,710 --> 00:23:44,570
بتعطيني ال identity element ال identity في واحد

204
00:23:44,570 --> 00:23:49,230
اتنين بتعطيني واحد اتنين بعدين بدي أضرب هذا في

205
00:23:49,230 --> 00:23:56,390
العنصرين 123 في ال identity تعطيني 123 و هذه

206
00:23:56,390 --> 00:24:01,170
بتعطيني .. بدي أضرب اتنين هذول في بعض أشوف شو

207
00:24:01,170 --> 00:24:07,390
بيعطيني الواحد صورته اتنين و اتنين صورته قداشر

208
00:24:07,390 --> 00:24:14,830
واحد يبقى الواحد احنا بدنا نبدأ من هنا هذا واحد

209
00:24:15,250 --> 00:24:21,610
تمام؟ يبقى الواحد صورته اتنين تمام؟ اه اتنين صورته

210
00:24:21,610 --> 00:24:27,890
تلاته تمام؟ طب الآن التلاته صورتها تلاته هنا

211
00:24:27,890 --> 00:24:33,170
التلاته صورتها قداش صورتها واحد و هكذا مرة تانية

212
00:24:33,170 --> 00:24:38,050
بقول الواحد صورته اتنين اتنين صورته تلاته هيحطينا

213
00:24:38,050 --> 00:24:42,190
التلاته التلاته صورتها تلاته التلاته صورتها واحد

214
00:24:42,190 --> 00:24:49,880
هيخلصنا من هنا تمام؟ العنصر اللي بعده اللي هو واحد

215
00:24:49,880 --> 00:24:54,900
ثلاثة اتنين ضربنا في ال identity بنفسه العنصر اللي

216
00:24:54,900 --> 00:25:00,620
بعده بالداجي هذا الواحد الواحد صورته اتنين و اتنين

217
00:25:00,620 --> 00:25:06,000
صورته واحد يبقى جفل هذا راح مع السلامة يبقى بدنا

218
00:25:06,000 --> 00:25:10,120
نيجي للعنصر اللي بعده اللي هو اتنين اتنين صورته

219
00:25:10,120 --> 00:25:16,040
واحد الواحد صورته تلاتة التلاتة صورتها تلاتة

220
00:25:16,040 --> 00:25:22,400
التلاتة صورتها اتنين يبقى جفلة خلصنا اكم عنصر هدول

221
00:25:22,400 --> 00:25:29,440
ستة هم عناصر S3 بالضبط يبقى هذا هم S3 بالضبط يبقى

222
00:25:29,440 --> 00:25:34,940
ال condition هذا معله صحيح نجي لل H intersection K

223
00:25:34,940 --> 00:25:39,180
هذا هو ال condition الأول أو ال condition بده

224
00:25:39,180 --> 00:25:43,420
أسميه الأول ال condition الثاني ال H intersection

225
00:25:43,420 --> 00:25:48,620
K واضح اللي هو مافيش غير ال identity element

226
00:25:48,620 --> 00:25:53,360
ما بين الأتنين هيه وهيه ومافيش غيره الآن بدأجي هل

227
00:25:53,360 --> 00:26:00,100
ال H normal ام لا؟ تعالى نشوف ال H فيها كم عنصر؟

228
00:26:00,100 --> 00:26:05,280
تلاتة و ال S3 فيها قداشر؟ يبقى ال index سبعة

229
00:26:05,280 --> 00:26:11,680
قداشر؟ اتنين او اي subgroup او اي group ال index

230
00:26:11,680 --> 00:26:15,260
لها اي subgroup ال index لها يسوى اتنين عبارة عن

231
00:26:15,260 --> 00:26:21,200
normal واخدناه كمثال الان بدي اجيب .. بدي اقول بدي

232
00:26:21,200 --> 00:26:25,720
اجيب ال index ال condition الثالث الان ال index

233
00:26:25,720 --> 00:26:34,200
تبع اللي هو ال H في S3 ال H في S3

234
00:26:34,200 --> 00:26:42,320
اللي هو يساوي ال order بتبع ال S3 مقسوما على ال

235
00:26:42,320 --> 00:26:48,900
order بتبع ال H هذا ستة و هذا تلاتة يساوي اتنين هذا

236
00:26:48,900 --> 00:26:57,240
سيعطينا ان الـ H is a normal subgroup من SC3 نعود

237
00:26:57,240 --> 00:27:04,760
الان لـ K هل هي normal subgroup ولا لا الله أعلم

238
00:27:05,130 --> 00:27:10,690
تعالى نشوف هل هذا الكلام لو جيت أخد element من S

239
00:27:10,690 --> 00:27:19,110
من من H3 وبدى أشوف احنا بدنا نشوفها normal ولا لأ

240
00:27:19,110 --> 00:27:25,750
بدى أروح أخد element من S3 وضربه في هذا ال element

241
00:27:25,750 --> 00:27:29,750
ومعكسه أشوف موجود في K ولا لأ إذا كان موجود كان

242
00:27:29,750 --> 00:27:35,660
بها مش موجود يبقى هذه ماهياش normal الان عندك واحد

243
00:27:35,660 --> 00:27:42,900
و تلاتة موجود في ال S3 واحد و اتنين موجود وين؟

244
00:27:42,900 --> 00:27:48,660
موجود في ال H بدي اشوف ال normality بدي اخد واحد

245
00:27:48,660 --> 00:27:54,860
تلاتة في واحد اتنين واحد تلاتة inverse مش هيك شرط

246
00:27:54,860 --> 00:27:55,780
ال normality؟

247
00:27:58,540 --> 00:28:02,400
احنا في الـK هذي بدل الـH فيك خلصنا من الـH هذي في

248
00:28:02,400 --> 00:28:07,000
الـK صحيح مضبوط يبقى بدنا ناخد الأول في التاني في

249
00:28:07,000 --> 00:28:13,500
معكوس الأول هذا الكلام بدي يساوي واحد تلاتة واحد

250
00:28:13,500 --> 00:28:18,400
اتنين اظن واحد تلاتة زي ما هو لإن ال transposition

251
00:28:18,400 --> 00:28:22,260
ال inverse له هو نفسه أو ال cycle طولها اثنين ال

252
00:28:22,260 --> 00:28:26,680
transposition له هو نفسه بدي اضرب دغري مش كل اثنين

253
00:28:26,680 --> 00:28:30,340
بدي اضرب الثلاثة مرة واحدة يبقى بدي أبدأ من

254
00:28:30,340 --> 00:28:35,960
بالواحد الواحد صورته ثلاثة والثلاثة صورتها ثلاثة

255
00:28:35,960 --> 00:28:40,240
والثلاثة صورتها واحد يبقى مع السلامة ال identity

256
00:28:40,830 --> 00:28:46,950
هو الاثنين الاثنين صورته اثنين اثنين صورته واحد

257
00:28:46,950 --> 00:28:52,830
الواحد صورته ثلاثة نجي للثلاثة صورتها واحد الواحد

258
00:28:52,830 --> 00:28:58,550
صورته اثنين اثنين صورته اثنين هيوا جفلة يبقى هذا

259
00:28:58,550 --> 00:29:05,360
بده يسوي قداش اثنين ثلاثة هل هذا موجود في K طبعاً

260
00:29:05,360 --> 00:29:10,300
مش موجود في K يبقى لا يمكن تبقى هذه normal في

261
00:29:10,300 --> 00:29:17,260
subgroup من G يبقى هنا so ال K هذه is not normal

262
00:29:17,260 --> 00:29:26,280
subgroup من S3 هذا معناه أن ال G أو ال S3 لا يمكن

263
00:29:26,280 --> 00:29:32,940
أن تساوي الـH اللي هو مضروبة في K يعني في هذه

264
00:29:32,940 --> 00:29:38,600
الحالة الـG is not the internal product تبع الـH

265
00:29:38,600 --> 00:29:49,460
والـK خذ لك مثال آخر example 2 خذ للـG تساوي Z12

266
00:29:51,300 --> 00:29:58,080
واخذ الـ H هي الـ subgroup generated by ثلاثة و K

267
00:29:58,080 --> 00:30:03,760
هي ال subgroup generated by أربعة بالشكل اللي

268
00:30:03,760 --> 00:30:15,240
عندنا هذا تمام والسؤال هو Is الـ Z8 Z12 تساوي الـ

269
00:30:15,240 --> 00:30:21,360
Internal Direct Product ما بين الـ H والـ K أم الـ

270
00:30:21,360 --> 00:30:23,280
Solution

271
00:30:27,020 --> 00:30:33,700
بسأل السؤال التالي هل عندك H اللي هي تساوي العناصر

272
00:30:33,700 --> 00:30:44,660
تبعها 0,3,6,9 والـ K عناصرها 0,4,8 السؤال هو هل

273
00:30:44,660 --> 00:30:49,120
الـ H و K normal subgroup من Z12

274
00:31:04,170 --> 00:31:09,730
أول مثال أخذنا أن any subgroup of an abelian group

275
00:31:09,730 --> 00:31:10,770
is normal

276
00:31:24,780 --> 00:31:33,720
subgroups subgroups of z12 ايه السبب؟ because أن

277
00:31:33,720 --> 00:31:37,620
z12 is abelian

278
00:31:39,890 --> 00:31:44,630
طيب إذا ال condition الأول هذا معناه تحقق بدنا نيجي

279
00:31:44,630 --> 00:31:50,970
لل condition الثاني بدنا نيجي نضرب ال H في K يبقى

280
00:31:50,970 --> 00:31:59,270
هذا ال H في K بده يساوي المقصود ب H في K هو H زائد

281
00:31:59,270 --> 00:32:05,080
K لأن العملية فيما بينهم عملية جمع يبقى لما

282
00:32:05,080 --> 00:32:12,580
نقول هذا H في K بالضبط هي H زائد K بالشكل اللي

283
00:32:12,580 --> 00:32:17,220
عندنا هنا يبقى بدي أبدأ أجمع Zero مع Zero ب Zero

284
00:32:17,220 --> 00:32:22,120
Zero مع أربعة بأربعة Zero مع ثمانية بثمانية خلصت

285
00:32:22,120 --> 00:32:26,800
العنصر هذا مع جميع العناصر بدي أجي للثلاثة ثلاثة مع

286
00:32:26,800 --> 00:32:33,420
Zero بثلاثة ثلاثة ثلاثة وأربعة سبعة ثلاثة وثمانية أحد عشر

287
00:32:33,420 --> 00:32:38,960
خلصنا منها بدنا نيجي للستة ستة وZero عبارة عن Zero

288
00:32:38,960 --> 00:32:44,720
ستة وأربعة أربعة عشر ستة وثمانية ثمانية عشر في Z12

289
00:32:44,720 --> 00:32:50,750
ب اثنين خلصنا من الستة بدنا نروح للتسعة تسعة

290
00:32:50,750 --> 00:32:56,470
زائد Zero ب Zero تسعة وأربعة ثلاثة عشر تعني واحد تسعة و

291
00:32:56,470 --> 00:33:02,890
ثمانية سبعة عشر تعني ستة ب هذا .. تعني خمسة وليس

292
00:33:02,890 --> 00:33:08,630
ستة تعني خمسة ب هذا الشكل الطلق هدول كلهم بتلاقيهم

293
00:33:08,630 --> 00:33:16,190
هم عناصر من؟ Z12 تمام هل عندك ال Zero موجود

294
00:33:16,190 --> 00:33:24,970
واحد اثنين ثلاثة أربعة خمسة ستة سبعة ثمانية تسعة

295
00:33:24,970 --> 00:33:30,550
عشرة أحد عشر كلهم موجودة هل العناصر كلها يبقى تحقق

296
00:33:30,550 --> 00:33:34,420
من عند ال condition الثاني بتروح لل condition

297
00:33:34,420 --> 00:33:39,940
الثالث يبقى ال condition الثالث H intersection K

298
00:33:39,940 --> 00:33:45,220
واضح ما عنديش إلا ال Zero يبقى بأجي بقول له so

299
00:33:45,220 --> 00:33:54,080
Z12 بدها تساوي ال H زائد Zero زائد ال K بدل

300
00:33:54,080 --> 00:33:58,540
ما هي H في K لأن ال operation اللي عندنا عبارة عن

301
00:33:58,540 --> 00:34:02,740
عملية جمع عبارة عن عملية الجمع

302
00:34:09,180 --> 00:34:14,040
طب يا شو رأيك ال internal direct product دي لو جيه

303
00:34:14,040 --> 00:34:18,720
ساوت ال internal direct product فهي isomorphic لل

304
00:34:18,720 --> 00:34:21,520
external direct product

305
00:34:24,820 --> 00:34:30,600
هذا الكلام لو خليناه لمجموعة من الجروس مش اثنتين

306
00:34:30,600 --> 00:34:35,140
ممكن يكونوا اثنتين، ثلاثة، أربعة، خمسة جد ما يكون

307
00:34:35,140 --> 00:34:38,360
يبقى بدنا نعطي ال definition ومن بعدين نكتب

308
00:34:38,360 --> 00:34:44,120
النظرية ال definition بيقول ما يأتي ال let each

309
00:34:44,120 --> 00:34:51,540
واحد H2 ولغاية HN يعني يا شباب بدنا نعمم حاصل

310
00:34:51,540 --> 00:34:57,360
الضرب H في K بدل ما هو اثنتين بدنا نخليه ل N من ال

311
00:34:57,360 --> 00:35:04,940
subgroups ب finite collection

312
00:35:04,940 --> 00:35:11,880
finite collection of normal

313
00:35:16,320 --> 00:35:29,340
subgroups of G we say that we say that بروح نقول

314
00:35:29,340 --> 00:35:40,320
ال G هي ال internal byproduct H1 في H2 في في HN

315
00:35:41,690 --> 00:35:51,590
اللي هو الـ Internal Direct Product تبع الـ H's

316
00:35:51,590 --> 00:36:02,870
هدول and the Internal Direct Product of H1 وH2

317
00:36:02,870 --> 00:36:06,190
ولغاية HNF

318
00:36:10,090 --> 00:36:17,230
إذا تحققت الشروط التالية نمرا واحد الـ G يساوي H1

319
00:36:17,230 --> 00:36:28,650
في H2 في HN بالشكل اللي عندنا هذا واللي هي تساوي

320
00:36:28,650 --> 00:36:37,770
the set of all elements h1, h2, h3, hn such that

321
00:36:37,770 --> 00:36:45,410
hi موجودة في الـ hi بالشكل اللي عندنا هذا ال

322
00:36:45,410 --> 00:36:54,070
condition الثاني condition الثاني أن ال h1, h2 و

323
00:36:54,070 --> 00:37:03,170
لغاية ال hiIntersection hi plus one بده يساوي Zero

324
00:37:03,170 --> 00:37:12,790
بده يساوي ال identity element for i تساوي واحد

325
00:37:12,790 --> 00:37:21,190
واثنين ولغاية ال n ناقص واحد نجي لل theorem

326
00:37:32,660 --> 00:37:45,840
from if a group g if a group g is the internal

327
00:37:45,840 --> 00:37:54,300
direct product of

328
00:37:54,300 --> 00:37:59,400
a finite number

329
00:38:01,140 --> 00:38:09,180
of a finite number of subgroups

330
00:38:09,180 --> 00:38:20,680
subgroups اللي هو H واحد وH اثنين ولغاية HN then

331
00:38:20,680 --> 00:38:33,310
G اللي بيساوي H واحد في H اثنين في HN ايزو مورفك لل H

332
00:38:33,310 --> 00:38:39,390
واحد Extended product مع H اثنين Extended product

333
00:38:39,390 --> 00:38:41,970
مع HN

334
00:39:08,260 --> 00:39:11,440
يبقى هنا بقول جي عبارة عن ال internal direct

335
00:39:11,440 --> 00:39:16,040
product لمين اللي finite number subgroups H1 وH2

336
00:39:16,040 --> 00:39:22,450
لغاية HN then ال جي تعني أن ال internal direct

337
00:39:22,450 --> 00:39:27,390
product ايزو مورفك لمين لل external direct product

338
00:39:27,390 --> 00:39:35,790
بمعنى آخر لو حبيت تبرهن بدك تعملي function ال

339
00:39:35,790 --> 00:39:43,930
function هذه بدك تقولي مثلا في of او بدك تعرف في

340
00:39:46,160 --> 00:39:55,820
بتعرف فاي define فاي من الـ H واحد external direct

341
00:39:55,820 --> 00:39:59,660
product لـ H اثنين .. internal direct product

342
00:39:59,660 --> 00:40:06,220
internal direct product للـ H N إلى الـ H واحد

343
00:40:06,220 --> 00:40:10,560
external direct product مع H اثنين external direct

344
00:40:10,560 --> 00:40:19,460
product مع H N بفاي اوف بتأخذ element

345
00:40:19,460 --> 00:40:27,980
هنا يبقى ال element هذا هو H1 مضروب في H2 مضروب في

346
00:40:27,980 --> 00:40:36,760
H3 ولغاية HN بنوديه على الجروب الثاني اللي هو H1

347
00:40:36,760 --> 00:40:45,180
فاصلة H2 فاصلة فاصلة HN بالشكل اللي عندنا هذا يبقى

348
00:40:45,180 --> 00:40:56,840
H N تمام هذه مكونة من N من المركبات هذه ل N من

349
00:40:56,840 --> 00:41:00,980
ال elements المضروبة في بعضها يبقى هنا هذول

350
00:41:00,980 --> 00:41:05,320
المضروبات في بعض يبقى كل هذا يعتبر element واحد

351
00:41:05,320 --> 00:41:11,220
فصلنا إلى N من المركبات يبقى وتثبت لهذه one to

352
00:41:11,220 --> 00:41:15,040
one وانت وتخدم خاصية ال isomorphism مثبوطة عندك

353
00:41:15,040 --> 00:41:18,860
في الكتاب تريد تطلع عليها من الكتاب وهذا يعطيك ال

354
00:41:18,860 --> 00:41:22,520
function هذا إذا ما عرفتش تسويها عرفت اعمالها

355
00:41:22,520 --> 00:41:28,580
بيكون كفى الله المؤمنين القتال في عندك نظرية بتقول

356
00:41:28,580 --> 00:41:34,800
ماشي سيارة بتقول

357
00:41:34,800 --> 00:41:38,140
every group every

358
00:41:39,600 --> 00:41:49,740
مجموعة من رتبة P تربيع P أكبر من رتبة P أكبر من

359
00:41:49,740 --> 00:41:54,040
رتبة P أكبر من رتبة P أكبر من رتبة P أكبر من

360
00:41:54,040 --> 00:41:55,380
رتبة P أكبر من رتبة P أكبر من رتبة P أكبر من

361
00:41:55,380 --> 00:41:55,620
رتبة P أكبر من رتبة P أكبر من رتبة P أكبر من

362
00:41:55,620 --> 00:41:55,740
رتبة P أكبر من رتبة P أكبر من رتبة P أكبر من

363
00:41:55,740 --> 00:42:01,520
رتبة P أكبر من رتبة P أكبر من رتبة P أكبر من

364
00:42:01,520 --> 00:42:13,410
رتبة P أكبر من رتبة Z بي تربيع أو ل Z بي external

365
00:42:13,410 --> 00:42:25,590
product مع مين مع Z بي وفي كورلري عليها كورلري

366
00:42:25,590 --> 00:42:39,010
بيقول لو كانت ال G is a group of order P تربيع

367
00:42:39,010 --> 00:42:42,050
where

368
00:42:42,050 --> 00:42:52,810
ال P is a prime ال P is a prime then ال G is

369
00:42:52,810 --> 00:42:58,290
abelian ال G is abelian

370
00:43:02,970 --> 00:43:08,190
على أي حال أنتم لاحظين أن احنا ما برهناش أكثر من

371
00:43:08,190 --> 00:43:13,110
نظرية نظرية اللي سوء لحوالي الجوية والارضية خلص

372
00:43:13,110 --> 00:43:17,250
الجزء النظري يوم الأربعاء إن شاء الله بنعمل مناقشة

373
00:43:17,250 --> 00:43:21,930
لهذا الشابتر حتى الأسبوع اللي بعده ندخل في الشابتر

374
00:43:21,930 --> 00:43:23,250
الأخير