1
00:00:22,310 --> 00:00:28,070
في محاضرة الصبح قبل ساعتين بدأنا في موضوع ال

2
00:00:28,070 --> 00:00:31,530
groups اللي هو أول موضوع في ال alphabet algebra

3
00:00:31,530 --> 00:00:37,070
المقرر علينا،  مشان نعرف ال group لازم نعرف حاجة

4
00:00:37,070 --> 00:00:41,750
اسمها binary operation وبعد ذلك بندخل إلى موضوع

5
00:00:41,750 --> 00:00:47,070
ال group عرفنا ال binary operation على set هي عبارة

6
00:00:47,070 --> 00:00:52,710
عن function من ال S cross ال S إلى set أخرى بحيث

7
00:00:52,710 --> 00:00:55,990
ال order paired اللي في ال S cross ال S بيكون 

8
00:00:55,990 --> 00:01:01,450
موجود وين؟ في ال set itself وعطينا على ذلك مثالين

9
00:01:01,450 --> 00:01:07,000
وهذا هو المثال رقم 3، يبقى أنا عرفت ال function star

10
00:01:07,000 --> 00:01:12,480
من Z cross Z إلى Z by a star b يساوي a b ناقص واحد

11
00:01:12,480 --> 00:01:16,880
يعني ال star صارت عبارة عن عمليتين في أنا واحد،

12
00:01:16,880 --> 00:01:20,160
عملية الضرب ما بين ال a و ال b وعملية الطرح من

13
00:01:20,160 --> 00:01:26,640
واحد، لكن على set of integers السؤال هو: لما اضرب ال

14
00:01:26,640 --> 00:01:31,100
a في b حصل ضرب two integers بيعطيني integer ولا

15
00:01:31,100 --> 00:01:35,970
بيعطيني شغل تانية، اطرح منه واحد بيظل integer ولا بيبقى

16
00:01:35,970 --> 00:01:40,730
يصير integer؟ معناته هذه binary operation، يبقى هذه

17
00:01:40,730 --> 00:01:50,350
الـ ... then ... then star is a binary operation

18
00:01:50,350 --> 00:01:59,030
السبب because إن العدد اللي عندنا a b ناقص ال one

19
00:01:59,030 --> 00:02:03,140
موجود في Z، ما دام موجود في Z يبقى هذه ال operation

20
00:02:03,140 --> 00:02:09,440
is a binary operation، طيب نتطلع الأمثلة شوية، مثال

21
00:02:09,440 --> 00:02:25,060
رقم أربعة بيقول: let ال X ب any non-empty set، any

22
00:02:25,060 --> 00:02:28,240
non-empty set، define

23
00:02:31,160 --> 00:02:36,600
capital P of X to

24
00:02:36,600 --> 00:02:43,020
be the

25
00:02:43,020 --> 00:02:56,140
power set، فئة القوة، of set X اللي عندنا، يعني اللي 

26
00:02:56,140 --> 00:03:07,960
هي the set of all the set of all subsets of X

27
00:03:07,960 --> 00:03:11,260
define

28
00:03:11,260 --> 00:03:14,820
star

29
00:03:14,820 --> 00:03:19,120
by

30
00:03:19,120 --> 00:03:22,900
a

31
00:03:22,900 --> 00:03:33,460
star b بده يساوي a union b لكل ال a و ال b اللي

32
00:03:33,460 --> 00:03:44,040
موجودة في ال power set of X، ال power set of X، then

33
00:03:44,040 --> 00:03:47,220
star

34
00:03:47,220 --> 00:03:57,140
then star هذه is a binary operation

35
00:03:58,950 --> 00:04:07,810
binary operation on the power set لل X because

36
00:04:41,540 --> 00:04:46,380
طبعًا ال power set اللي هي فئة القوة أو فئة القوى

37
00:04:46,380 --> 00:04:51,520
درسناها في مبدأ الرياضيات والآن بنعيد دراستها مرة

38
00:04:51,520 --> 00:04:57,380
ثانية، فلو أخدت ال X أي non-empty set، ركز على non

39
00:04:57,380 --> 00:05:03,260
-empty يعني ليست فيها عناصر، بدي أعرف ال power

40
00:05:03,260 --> 00:05:07,940
set of X هي ال power set of X أو the set of all

41
00:05:07,940 --> 00:05:12,520
subset of X، يبقى بداجي على ال set X أشوف عناصرها

42
00:05:12,520 --> 00:05:18,540
أجيب كل ال subsets الممكنة بما فيهم phi و ال X

43
00:05:18,540 --> 00:05:23,000
itself، هذه بسميها ال trivial subset وهذه أكبر

44
00:05:23,000 --> 00:05:26,840
subset من ال X because أخدنا في مادة الرياضيات أن 

45
00:05:26,840 --> 00:05:32,180
ال X is a subset of itself، يبقى كل ال subsets اللي

46
00:05:32,180 --> 00:05:37,240
عنده بيكونوله ميهم، بيكونوله ال power set لل X، بدا

47
00:05:37,240 --> 00:05:41,480
أعرف اللي هو ال relation اللي ... ال operation اللي

48
00:05:41,480 --> 00:05:47,450
عندنا a star b بده يساوي a union b لكل ال a و ال b

49
00:05:47,450 --> 00:05:51,570
اللي موجودة في ال power set، السؤال هو: هل star هذه

50
00:05:51,570 --> 00:05:56,980
binary operation ولا لا؟ بقول والله إذا نتيجة a star

51
00:05:56,980 --> 00:06:01,640
b جبت لي عنصر دائمًا وأبدًا وهذا العنصر موجود في ال

52
00:06:01,640 --> 00:06:06,280
power set، إذا هذه binary operation، يعني نتيجة

53
00:06:06,280 --> 00:06:12,220
للعملية ما بين الاتنين لعملية ال union ههه بدها

54
00:06:12,220 --> 00:06:15,900
تجيب لي عنصر موجود في ال power set، إذا هذه binary

55
00:06:15,900 --> 00:06:20,580
operation، لو جبت عنصر طالع برا يبقى ليست binary

56
00:06:20,580 --> 00:06:25,300
operation، يبقى ال operation a star b a union b لكل

57
00:06:25,300 --> 00:06:29,280
ال a و ال b اللي موجودة في ال P of x، then star is

58
00:06:29,280 --> 00:06:32,900
a binary operation على power set because نجي نشوف

59
00:06:32,900 --> 00:06:39,120
ما هو السبب الآن، ال operation a star b بدي يساوي a

60
00:06:39,120 --> 00:06:44,800
union b، السؤال هو: a union b هل هذه ال subset من X

61
00:06:44,800 --> 00:06:52,390
يا شباب؟ لو أخدت any two subsets من ال X وجبت لهم

62
00:06:52,390 --> 00:06:56,870
ال union يكون موجود في ال X itself ولا بتطلع برا؟

63
00:06:56,870 --> 00:07:00,710
لا تطلعش برا، يبقى هذا موجود دائمًا وأبدًا في X، طب

64
00:07:00,710 --> 00:07:07,700
و ال X هذه أليس subset من ال power set of X؟ يبقى

65
00:07:07,700 --> 00:07:15,340
star، ال element هذا موجود في ال power set، ال X هذه

66
00:07:15,340 --> 00:07:21,700
as a أعلى، مش subset، ال X هذه belongs موجودة في ال

67
00:07:21,700 --> 00:07:25,700
power set، لكن ال a union b ال subset من ال X وال X

68
00:07:25,700 --> 00:07:31,500
belong في ال power set of X، معناه هذا كلام، ال star

69
00:07:31,500 --> 00:07:35,320
is a binary operation، طب السؤال هو: هل ال

70
00:07:35,320 --> 00:07:41,520
intersection ما بين ال two sets a و b is a subset؟

71
00:07:41,520 --> 00:07:48,080
يعني هل هو موجود في ال power set؟ ليش؟ على أسوأ

72
00:07:48,080 --> 00:07:53,100
الاحتمالات، بدي يطلع في phi ولا لأ، في subset من ال

73
00:07:53,100 --> 00:07:58,760
X ولا لأ، يبقى في موجودة في ال power set، وبناء عليه

74
00:07:58,760 --> 00:08:02,620
سعر ال intersection كمان also is a binary

75
00:08:02,620 --> 00:08:07,320
operation، يبقى باجي بقول إن similarly كمان شغلة

76
00:08:07,320 --> 00:08:13,550
تانية، similarly، ال

77
00:08:13,550 --> 00:08:21,930
... ال ... ال star أو a star b، ال a star b بدي يساوي

78
00:08:21,930 --> 00:08:32,130
a intersection b، ها دي is a binary is a binary

79
00:08:32,130 --> 00:08:33,930
operation

80
00:08:40,500 --> 00:08:44,000
بارضه بنفس الطريقة، ليش؟ إن ال intersection ما بين

81
00:08:44,000 --> 00:08:48,520
ال A وال B موجود في ال set X

82
00:08:54,460 --> 00:09:01,960
بسبب أن a intersection b هو subset من set X وهذا

83
00:09:01,960 --> 00:09:14,020
سيعطينا أن a intersection b هو subset من set X، طيب

84
00:09:14,020 --> 00:09:21,390
ناخد كمان مثال بيختلف عن شكل هذه الأمثلة كليًا، let

85
00:09:21,390 --> 00:09:29,970
خمسة، let الجي capital G بدي يساوي كل ال real

86
00:09:29,970 --> 00:09:34,010
numbers X اللي موجودة في ال set of real numbers

87
00:09:34,010 --> 00:09:42,690
بحيث إن ال X أكبر من أو تساوي واحد، define عرف لي a

88
00:09:42,690 --> 00:09:45,750
star by

89
00:09:48,020 --> 00:10:01,220
X star Y يساوي X Y ناقص X ناقص Y زائد 2، then

90
00:10:01,220 --> 00:10:13,680
star اللي عندنا هذا is a binary operation is

91
00:10:13,680 --> 00:10:16,880
a binary operation because

92
00:10:26,450 --> 00:10:34,230
السبب؟ خلي بالك هنا، الآن أنا اخد ست جديدة على غير

93
00:10:34,230 --> 00:10:40,710
الأمثلة السابقة، سميتها G، مين هي G؟ أخدت عناصر من

94
00:10:40,710 --> 00:10:44,830
set of real numbers، اللي مين هم العناصر؟ كلهم اللي

95
00:10:44,830 --> 00:10:50,470
بيكونوا دائمًا وأبدًا أكبر من الواحد الصحيح، كسور، مش

96
00:10:50,470 --> 00:10:54,870
كسور، اللي وهم أعداد موجبة دائمًا وأبدًا وكلها أكبر

97
00:10:54,870 --> 00:11:00,950
من الواحد الصحيح، عرفنا star على ال G cross ال G إلى

98
00:11:00,950 --> 00:11:06,630
G على الشكل التالي: X star Y بده يساوي XY ناقص X

99
00:11:06,630 --> 00:11:12,830
ناقص Y زائد 2، يبقى عملية ضرب وطرح وجمع في آن

100
00:11:12,830 --> 00:11:18,270
واحد، من هذه ال star عرفتها بهذه الطريقة، أنا أدعي

101
00:11:28,250 --> 00:11:35,690
السبب: إذا طلع هذا ال element موجود في G بقى كلامي

102
00:11:35,690 --> 00:11:41,310
صح، ما طلع موجود في G بقى كلامي ماله؟ مش صحيح، بمعنى

103
00:11:41,310 --> 00:11:46,750
آخر، لو طلع هذا المقدار كله أكبر من الواحد الصحيح

104
00:11:46,750 --> 00:11:51,610
معناته موجود في G، ما طلع يبقى كلامي ماله؟ ليس صحيحًا

105
00:11:51,610 --> 00:11:56,370
ممتاز جدًا، يبقى باجي بقوله: بدي أبيله ليش هذه binary

106
00:11:56,370 --> 00:12:06,430
operation because if X و Y موجودة في G then ال X

107
00:12:06,430 --> 00:12:11,650
هذا تبقى أكبر من الواحد وفي نفس الوقت ال Y أكبر

108
00:12:11,650 --> 00:12:17,890
من الواحد، بسبب ال definition تبع ال G، ماخد two

109
00:12:17,890 --> 00:12:22,290
elements موجودات في G، يبقى ال two elements كل

110
00:12:22,290 --> 00:12:27,970
واحد يوم أكبر من مين؟ من الواحد، طيب هذا معناته إن

111
00:12:27,970 --> 00:12:33,330
ال X greater than one and ال Y ناقص واحد أكبر من

112
00:12:33,330 --> 00:12:38,430
مين؟ من ال zero، إذا هذا ال term موجب والله سالم

113
00:12:40,620 --> 00:12:45,140
أكبر من Zero، موجب ولا عمره حتى بيصير Zero، يعني لا

114
00:12:45,140 --> 00:12:50,420
Zero ولا سالب، هذا موجب، طب لو مسكت هذا الرقم الموجب

115
00:12:50,420 --> 00:12:54,360
وضربته في ال inequality هذه بتتغير ولا بيظلها زي

116
00:12:54,360 --> 00:13:00,060
ما هي؟ يعني الأكبر من هذه بتتغير ولا بتغير إلى أقل

117
00:13:00,060 --> 00:13:04,340
منه ولا بتظل أكبر منه؟ يبقى بدي أمسك ال term هذا وأ

118
00:13:04,340 --> 00:13:09,020
ضربه في ال inequality هذه، يبقى بدي أشوف هذا ايش

119
00:13:09,020 --> 00:13:14,000
بيعطينا، يبقى مشان أوضح لك الصورة بدي أقول لك multiply

120
00:13:14,000 --> 00:13:23,560
apply the inequality المتباينة

121
00:13:23,560 --> 00:13:31,690
X greater than one by Y minus one we get بنحصل على

122
00:13:31,690 --> 00:13:39,390
يبقى هذا ال X في Y ناقص ال one أكبر من ال Y ناقص

123
00:13:39,390 --> 00:13:44,310
ال one، مظبوط؟

124
00:13:44,310 --> 00:13:51,010
طيب، ايش رأيك؟ بدي أفك الطرف الشمال، يبقى XY ناقص X

125
00:13:51,010 --> 00:13:57,410
ايش رأيك؟ هجيب ال Y على الشجة التانية، ناقص Y أكبر

126
00:13:57,410 --> 00:13:59,870
من اللي هو سالب واحد

127
00:14:03,300 --> 00:14:11,750
طيب ايش رأيك لو أضفت للطرفين اثنين؟ مرة واحدة بضيف

128
00:14:11,750 --> 00:14:15,310
رقم هنا زي ما أضيف رقم هنا عادي جدا واثنين 

129
00:14:15,310 --> 00:14:17,590
positive positive ولا negative في حالة الجمع

130
00:14:17,590 --> 00:14:22,010
ما تفرقش عندي المشكلة في حالة الضرب أو القسمة يبقى

131
00:14:22,010 --> 00:14:29,670
هنا لو أضفت اثنين بيصير x في y ناقص x ناقص y زائد 

132
00:14:29,670 --> 00:14:36,330
اثنين أكبر من قداش أضفت اثنين للطرفين طب الطرف هذا

133
00:14:36,330 --> 00:14:42,130
مش هو هذا يبقى star العدد اللي عندي هذا أكبر من

134
00:14:42,130 --> 00:14:49,670
واحد يبقى موجود في G يبقى هذا بده يعطيك أن الـ X 

135
00:14:49,670 --> 00:14:57,330
Y ناقص X ناقص Y زائد اثنين belongs to G لذلك star

136
00:14:57,330 --> 00:15:02,190
is a binary operation لأنها تحت العملية اللي عندنا

137
00:15:02,190 --> 00:15:06,210
هذه الـ star طلع الناتج موجود في G إذا هذه مالها

138
00:15:06,210 --> 00:15:12,400
binary operation طيب احنا مهدينا للـ group بموضوع الـ

139
00:15:12,400 --> 00:15:17,380
binary operation الآن بدنا ندخل في صميم الموضوع و

140
00:15:17,380 --> 00:15:23,580
هو تعريف الـ group الجروب يا شباب هي الـ set بدي أضع

141
00:15:23,580 --> 00:15:30,580
عليها binary operation بحيث تحقق لي ثلاثة شروط أن 

142
00:15:30,580 --> 00:15:35,400
تحققت ثلاثة شروط بسمي الـ set مع الـ binary

143
00:15:35,400 --> 00:15:41,540
operation is a group ايش الشروط الثلاثة؟ أول شيء 

144
00:15:41,540 --> 00:15:47,270
الـ binary operation هذه بتبقى associative إدمجية

145
00:15:47,270 --> 00:15:54,150
تمام أو تجميعية زي ما بتسموها أنتم اثنين في عنصر

146
00:15:54,150 --> 00:15:59,270
بده اسميه عنصر الوحدة الـ identity element أنتم

147
00:15:59,270 --> 00:16:04,260
بالعربي بجهة السماوية الثانوية العنصر المحايد يبقى

148
00:16:04,260 --> 00:16:08,720
المحايد أو الوحدة هو الـ identity element الشرط

149
00:16:08,720 --> 00:16:14,260
الثالث كل عنصر في الـ group تحت هذه العملية بدي

150
00:16:14,260 --> 00:16:20,400
يكون له معكوس بحيث لو ضربت عنصر في معكوسه بدي يطلع لي

151
00:16:20,400 --> 00:16:25,080
من عنصر المحايد الـ identity element لو تحققت

152
00:16:25,080 --> 00:16:30,020
الشروط هذه الثلاثة بقول يبقى الجروب اللي عندي is a

153
00:16:30,020 --> 00:16:34,390
group الكلام اللي سمعته بنروح نكتبه لإنه كل الـ

154
00:16:34,390 --> 00:16:39,490
section مبني على مين؟ على الكلمتين اللي سمعتهم يبقى

155
00:16:39,490 --> 00:16:50,510
بدنا نجي للـ definition يبقى definition let the G be a

156
00:16:50,510 --> 00:16:56,830
non empty non empty set

157
00:16:58,880 --> 00:17:09,840
and let the star be a

158
00:17:09,840 --> 00:17:17,640
binary operation

159
00:17:17,640 --> 00:17:24,840
on اللي هو G على set G then

160
00:17:27,230 --> 00:17:33,170
الـ G والـ star مع بعض هدول يعني الـ set G والـ star

161
00:17:33,170 --> 00:17:43,230
عملية عليها هدول is called a group بنسميها مجموعة

162
00:17:43,230 --> 00:17:50,750
if the following properties

163
00:17:55,710 --> 00:18:00,170
if the following properties are satisfied are

164
00:18:00,170 --> 00:18:08,230
satisfied ايش

165
00:18:08,230 --> 00:18:18,110
الخواص هذه اللي هو الخاصية الأولى the star is

166
00:18:18,110 --> 00:18:24,030
associative associative

167
00:18:24,800 --> 00:18:29,100
that is

168
00:18:29,100 --> 00:18:42,300
a star b star c بدو يساوي a star b star c لكل

169
00:18:42,300 --> 00:18:49,140
الـ a و الـ b و الـ c اللي موجودة في الـ group G الـ

170
00:18:49,140 --> 00:18:50,760
condition الثاني

171
00:18:52,870 --> 00:19:09,190
condition الثاني there is an element such

172
00:19:09,190 --> 00:19:12,550
that

173
00:19:12,550 --> 00:19:23,830
بحيث أن a star e يساوي e star a يساوي الـ a نفسها

174
00:19:23,830 --> 00:19:33,730
لكل الـ a الموجودة في G بلا استثناء يبقى الـ E is

175
00:19:33,730 --> 00:19:42,330
called the identity element

176
00:19:42,330 --> 00:19:45,530
of

177
00:19:46,970 --> 00:20:11,510
G condition

178
00:20:11,510 --> 00:20:13,330
الثالث والأخير

179
00:20:20,360 --> 00:20:34,280
for each a الموجود في G there exists b in G such

180
00:20:34,280 --> 00:20:45,800
that بحيث أن such that a star b بده يساوي b star

181
00:20:45,800 --> 00:20:53,500
a بده يساوي الـ identity e بيه

182
00:20:53,500 --> 00:20:58,880
is called يبقى

183
00:20:58,880 --> 00:21:09,490
بيه في هذه الحالة بنسميه is the inverse element of

184
00:21:09,490 --> 00:21:21,950
a معكوس العنصر a and denoted by الـ b بده يساوي الـ

185
00:21:21,950 --> 00:21:26,870
a inverse command

186
00:21:26,870 --> 00:21:30,970
definition the group

187
00:21:33,590 --> 00:21:39,610
الـ G is called abelian

188
00:21:39,610 --> 00:21:45,090
if

189
00:21:45,090 --> 00:21:54,250
x star y متساوي y star x لكل الـ x و الـ y الموجودة في الـ

190
00:21:54,250 --> 00:21:55,450
group G

191
00:22:25,540 --> 00:22:31,040
يبقى احنا ابتداء من هذا التعريف بكون بدأنا ندخل في

192
00:22:31,040 --> 00:22:35,680
علم الـ groups أو علم المجموعات اللي هو موضوع

193
00:22:35,680 --> 00:22:40,220
دراستنا لهذا الفصل اللي هو الـ abstract algebra

194
00:22:40,220 --> 00:22:44,460
يبقى أول موضوع في موضوع الجبر اللي هو الموضوع

195
00:22:44,460 --> 00:22:50,330
المجموعات الآن نعرف المجموعة وبعدين ناخذ أمثلة

196
00:22:50,330 --> 00:22:54,310
متعددة على المجموعة بدل المثال عشر أو أحد الأمثلة

197
00:22:54,310 --> 00:23:00,010
وبعد ذلك ناخذ بعض خواص المجموعات البسيطة يبقى

198
00:23:00,010 --> 00:23:04,470
التعريف بيقول ما يتفترض أن G هو عبارة عن non-empty

199
00:23:04,470 --> 00:23:10,230
set يبقى ليست الفئة الخاوية وإنما على الأقل فيها

200
00:23:10,230 --> 00:23:15,000
ولو عنصر واحد and let the star be a binary

201
00:23:15,000 --> 00:23:20,760
operation على الـ G الـ set

202
00:23:20,760 --> 00:23:26,400
G مع الـ star مع بعض هدول بيكونوا لي a group إذا

203
00:23:26,400 --> 00:23:32,990
تحققت عندي ثلاثة خواص أو ثلاثة شروط الشروط أو 

204
00:23:32,990 --> 00:23:37,790
الخواص دي لـ star اللي عندي is associative يبقى

205
00:23:37,790 --> 00:23:43,430
هي عملية إدماجية بمعنى أن a star b star c يساوي

206
00:23:43,430 --> 00:23:48,250
يعني بتخلي a تأثر على b في الأول حسب تعريف الـ star

207
00:23:48,360 --> 00:23:52,300
والعنصر اللي ينتج تخليه يأثر على مين؟ على c

208
00:23:52,300 --> 00:23:57,580
النتيجة تماما كما لو b أثرت على c طالع عنصر جديد

209
00:23:57,580 --> 00:24:01,820
هذا العنصر بدأ يأثر عليه بإيه لازم يكون اثنين are

210
00:24:01,820 --> 00:24:06,140
equal إن حدث ذلك يبقى بقوله خاصية الـ associativity

211
00:24:06,140 --> 00:24:11,160
الصحيحة لجميع العناصر يعني لما بدأ أخذ a و b و c مش

212
00:24:11,160 --> 00:24:15,060
بدأ اختارهم عناصر محددة فلان وفلان بدأ أخذ أي

213
00:24:15,060 --> 00:24:20,770
عناصر بغض النظر شو شكلها النقطة الثانية بيقول لي

214
00:24:20,770 --> 00:24:26,570
there is an element E بحيث إذا لجيت عنصر أعطيته

215
00:24:26,570 --> 00:24:32,090
الرمز E بس هذا إله خواص طبعا العنصر هذا موجود في

216
00:24:32,090 --> 00:24:38,570
G itself بحيث أن لو أثرت بالـ a على الـ E بالـ star

217
00:24:38,570 --> 00:24:44,330
هذه تماما كما لو أثرت بالـ E على a والنتج طالع الـ a

218
00:24:44,330 --> 00:24:49,240
itself يبقى هذا اللي كنا بنسميه عنصر المحايد لا

219
00:24:49,240 --> 00:24:54,200
يتأثر أي element في المجموعة بهذا الـ element تحت

220
00:24:54,200 --> 00:24:58,300
العملية star أثر عليه star بهذا العنصر ويبقى الـ

221
00:24:58,300 --> 00:25:02,780
element كما هو يبقى إن حدث ذلك هذا بسميه عنصر

222
00:25:02,780 --> 00:25:07,040
المحايد أو في لغة الـ groups احنا هنسميه identity

223
00:25:07,040 --> 00:25:12,390
element اللي هو عنصر الوحدة لهذه المجموعة بنضل عند

224
00:25:12,390 --> 00:25:18,210
الـ condition الثالث والأخير قال لي 4 each اللي موجود

225
00:25:18,210 --> 00:25:24,290
في G لأي عنصر a موجود في G هلاقي عنصر ثاني اسمه b

226
00:25:24,290 --> 00:25:29,830
موجود في G بحيث لو ضربته من اليمين أو من الشمال a

227
00:25:29,830 --> 00:25:34,590
star b بلاقي النتيجة هو b star a يساوي الـ identity

228
00:25:34,590 --> 00:25:39,450
element itself يبقى هذا بده يعطيني عنصر الوحدة

229
00:25:39,450 --> 00:25:47,580
نفسه إن حدث ذلك يبقى هذا العنصر معكوس العنصر a يبقى

230
00:25:47,580 --> 00:25:51,980
في هذه الحالة الـ b is called the inverse element

231
00:25:51,980 --> 00:25:52,520
of a

232
00:25:58,500 --> 00:26:01,920
هذا الـ a كلها اللي فوق واسه اللي بسميه the

233
00:26:01,920 --> 00:26:07,460
inverse element of a معكوس العنصر a يبقى b اللي

234
00:26:07,460 --> 00:26:12,460
لجيته هذا بدي أسميه معكوس العنصر اللي هو a طب

235
00:26:12,460 --> 00:26:19,980
السؤال هو هل كل عنصر في G لازم يجيه معكوس يعني مش

236
00:26:19,980 --> 00:26:26,940
بالضرورة بعضهم ما و بعضهم لأ طب ايش جاي الـ a لأ for

237
00:26:26,940 --> 00:26:32,260
each لكل عنصر يبقى كل عنصر في G بدأت تجيله معكوس

238
00:26:32,260 --> 00:26:38,020
مش بعضهم له و بعضهم ما له كل عنصر في G له معكوس

239
00:26:38,020 --> 00:26:45,080
يعني لو تصورت أن G هذه خمس عناصر يبقى فيهم اللي

240
00:26:45,080 --> 00:26:49,020
هو أربعة واحد معكوس للتاني والـ identity element

241
00:26:49,020 --> 00:26:55,290
معكوس لنفسه لو كانوا ستة يبقى ثلاثة معكوسات الثلاثة

242
00:26:55,290 --> 00:27:01,430
الثانية وهكذا يبقى كل عنصر في الـ group G حلقيله

243
00:27:01,430 --> 00:27:05,990
معكوس موجود في G بعد لو ضربت العنصر في معكوسه من

244
00:27:05,990 --> 00:27:10,290
الشمال والله لمين بدي يطلع عنصر الوحدة طب عنصر

245
00:27:10,290 --> 00:27:15,960
الوحدة هذا هو الصفر ولا واحد صح؟ بيقول حسب الـ

246
00:27:15,960 --> 00:27:20,600
operation المعرفة على الـ group يبقى حسب الـ group

247
00:27:20,600 --> 00:27:23,820
وحسب الـ operation اللي عليها ملاقي الـ identity

248
00:27:23,820 --> 00:27:27,570
اللي يمكن الـ identity is zero يمكن الـ identity يطلع

249
00:27:27,570 --> 00:27:33,750
واحد يمكن الـ identity يطلع عشرة مثلا هادئ جدا يبقى

250
00:27:33,750 --> 00:27:37,930
حسب الـ operation اللي موجودة عندك وقد نستغرب هذا

251
00:27:37,930 --> 00:27:41,950
لأن نستغرب ولا حاجة وحنُوريك بعض الأمثلة نحسب فيها

252
00:27:41,950 --> 00:27:47,550
الـ identity element وما يطلعش لا zero ولا واحد يبقى

253
00:27:47,550 --> 00:27:52,430
هذا يعني أن الشخص ما يكون شكله يكون بهمنيّش يبقى الـ

254
00:27:52,430 --> 00:27:55,570
identity يعتمد على الـ group ويعتمد على الـ

255
00:27:55,570 --> 00:28:00,790
operation على الـ group اتفضل معناته

256
00:28:00,790 --> 00:28:07,410
مش معكوس يبقى ليست group يبقى إذا اختل أي شرط من

257
00:28:07,410 --> 00:28:11,550
الشروط الثلاثة بالضبط ستصبح group يبقى مشان تكون

258
00:28:11,550 --> 00:28:16,810
الـ group بدي any non zero set والثلاثة شروط يتحققوا

259
00:28:16,810 --> 00:28:21,190
هدول بدي الـ operation هذه تبقى binary operation

260
00:28:21,190 --> 00:28:25,830
نمرا واحد لو ما كانتش binary operation الصبح أخذنا

261
00:28:25,830 --> 00:28:29,030
مثل ماهيّاش binary operation يبقى ده مينفعش يتكون

262
00:28:29,030 --> 00:28:35,060
الـ group لازم نبقى binary operation أولا ثم تتحقق

263
00:28:35,060 --> 00:28:40,240
الشروط الثلاثة تطلع الشجرة التعريف جينامتستاتار بي

264
00:28:40,240 --> 00:28:44,880
binary operation يبقى هذه بسميها group لو تحققت

265
00:28:44,880 --> 00:28:48,340
الشروط الثلاثة يبقى أنا في الحقيقة عندي ثلاثة شروط

266
00:28:48,340 --> 00:28:54,260
ولا أربعة أربعة بدك هدى binary operation لستار

267
00:28:54,260 --> 00:28:59,780
بتبقى associative أو اختصارا بروح بقول هم الثلاثة

268
00:28:59,780 --> 00:29:04,000
لستار هدى بدي associative binary operation يبقى

269
00:29:04,000 --> 00:29:08,020
جمعت الشرطين مين بشرط واحد اثنين وجود الـ identity

270
00:29:08,020 --> 00:29:13,200
element ثلاثة وجود معكوس العنصر لأي عنصر موجود وين

271
00:29:13,200 --> 00:29:18,130
موجود في الـ group G إن حدث ذلك بقول يبقى الـ 6G

272
00:29:18,130 --> 00:29:22,350
اللي عندنا هذه مالها is A group وحتى أرسخ هذا

273
00:29:22,350 --> 00:29:27,330
المفهوم من دماغك وأسحب المفهوم اللي في دماغك أن

274
00:29:27,330 --> 00:29:31,690
الـ operation هذه هي عملية ضرب لحالها أو عملية قسمة

275
00:29:31,690 --> 00:29:36,290
لحالها أو عملية طرح لحالها هتشوف أمثلة مختلفة و

276
00:29:36,290 --> 00:29:42,070
عديدة حتى مصبح احنا مقيدين بشكل الـ six اللي عندنا

277
00:29:42,070 --> 00:29:46,650
وماناش دعوة في الـ six الأخرى اثنين مقيدين بالـ

278
00:29:46,650 --> 00:29:49,070
binary operation اللي عندنا وغيرها من الـ

279
00:29:49,070 --> 00:29:53,550
operations ماليش علاقة فيهم تمام؟ وهذا يختلف من

280
00:29:53,550 --> 00:29:58,890
group إلى الأخرى نعطي أول مثال على ذلك قبله نعطي

281
00:29:58,890 --> 00:30:04,910
أول مثال كلمة Abelian Abelian بالعربي يعني ابدالي

282
00:30:04,910 --> 00:30:10,190
ابدالي زي ما يقول commutative ابدالي فبجي بقول

283
00:30:10,190 --> 00:30:15,430
group G is called abelian إذا كان الـ X في Y بده

284
00:30:15,430 --> 00:30:19,730
يساوي Y في X لكل الـ X و Y اللي موجودة بلا استثناء

285
00:30:19,730 --> 00:30:25,210
يعني لو جيت شباب اللي في القاعة خمسين طالب تمام لو

286
00:30:25,210 --> 00:30:29,150
بدل كل واحد مقعد ومكان الثاني ما صار تغيير عندي

287
00:30:29,150 --> 00:30:34,520
ولا حاجة كويس يبقى ما عدش فيه طول ولا قصر مع تبديل

288
00:30:34,520 --> 00:30:38,920
مقعده ولا نقص من مقامه لا يبقى طالب زي ما هو مسجل

289
00:30:38,920 --> 00:30:43,480
المادة وقاعد عندنا إذا لما بدل واحد مكان الثاني

290
00:30:43,480 --> 00:30:49,480
لجيته يساوي نفس التبديل الأصلي إن حدث ذلك يبقى هذا

291
00:30:49,480 --> 00:30:53,960
بقول عنك commutative group أو abelian group لكن

292
00:30:53,960 --> 00:30:59,810
بقولش commutative commutative بقول عن درجات التسمية

293
00:30:59,810 --> 00:31:04,550
أو التعريف في حالة الـ rings اللي هو تبعت الفصل

294
00:31:04,550 --> 00:31:08,450
الثاني إن شاء الله إن شاء الله اللي باخد جبر حديثة

295
00:31:08,450 --> 00:31:12,790
نمسكو الـ commutative ring لكن في الـ group هسميها

296
00:31:12,790 --> 00:31:17,640
abelian group نسبة للعالم هي ابيل اللي اكتشف هالشغل

297
00:31:17,640 --> 00:31:23,340
هذه وسميت باسمه ابيليان جروب إذا من حد ما تسمع

298
00:31:23,340 --> 00:31:28,120
كلمة ابيليان جروب بدك تفهم أن العناصر بقدر أبدلهم

299
00:31:28,120 --> 00:31:33,000
مكان بعض بدون أي مشاكل تمام؟ فهذا معنى ابيليان

300
00:31:33,000 --> 00:31:40,150
جروبنأخد أبسط الأمثلة ونتدرج إلى الأثقال فالأثقال

301
00:31:40,150 --> 00:31:45,310
فالأثقال حتى نصل إلى أمثلة مختلفة يبقى examples

302
00:31:45,310 --> 00:31:48,990
أمثلة

303
00:31:48,990 --> 00:31:58,170
أول مثال على ذلك الآن الـ Z والـ Q and set of real

304
00:31:58,170 --> 00:32:09,760
numbers هذول under usual addition تحت عملية الجمع

305
00:32:09,760 --> 00:32:17,740
العادي under usual addition اللي هو الـ plus are

306
00:32:17,740 --> 00:32:26,160
abelian groups are

307
00:32:26,160 --> 00:32:28,580
abelian groups because

308
00:32:36,540 --> 00:32:42,300
السبب يبقى أنا أدعي أن زد تحت عملية الجامعة

309
00:32:42,300 --> 00:32:46,020
العادي أقول لك usual addition الجامعة العادي تبع

310
00:32:46,020 --> 00:32:51,060
الـ real number الـ Q تحت الجامعة العادي الـ R تحت

311
00:32:51,060 --> 00:32:54,020
الجامعة العادي يعني عملش معرف على الـ set of

312
00:32:54,020 --> 00:32:56,680
integers ومعرف على الـ set of rational numbers

313
00:32:56,680 --> 00:32:59,440
ومعرف على الـ set of .. يعني هدول يعتبروا إيه؟

314
00:32:59,440 --> 00:33:05,620
ثلاثة أمثلة يعني هدول three groups تحت العملية الـ

315
00:33:05,620 --> 00:33:09,780
plus هذا والـ groups هدول are abelian احنا بنعرف

316
00:33:09,780 --> 00:33:14,270
لما أقول A زائد B يعني اثنين زائد ثلاثة يساوي ثلاثة

317
00:33:14,270 --> 00:33:18,890
زي اثنين جامعة عادي صح ولا لا هذا على زد لو جيت

318
00:33:18,890 --> 00:33:24,610
على الـ IQ اثنين عدديا نسبيا مجموعهم عدد نسبي كذلك

319
00:33:24,610 --> 00:33:29,610
لو جيت مجموع عددين حقيقيا بيعطينا إيه؟ عدد حقيقي

320
00:33:29,610 --> 00:33:35,860
بجهة دي binary operation يبقى هنا بقوله because a

321
00:33:35,860 --> 00:33:43,060
plus is a by أو associative بالمرة كمان is

322
00:33:43,060 --> 00:33:46,080
associative

323
00:33:46,080 --> 00:33:53,300
binary operation

324
00:33:53,300 --> 00:33:56,320
on

325
00:33:56,320 --> 00:34:07,850
z والـ q وكذلك من الـ set of real numbers طب كويس

326
00:34:07,850 --> 00:34:11,170
أظن

327
00:34:11,170 --> 00:34:14,730
أخذنا هذه الكثير حكاية الـ associativity للأعداد

328
00:34:14,730 --> 00:34:18,730
الحقيقية ما هي النسبية والصحيحة جزء من الأعداد

329
00:34:18,730 --> 00:34:22,510
الحقيقية يبقى الأعداد الحقيقية لما أقول اثنين زي

330
00:34:22,510 --> 00:34:26,650
الثلاثة زي الخمسة هو ثلاثة زي الخمسة والإنتاج يضيف

331
00:34:26,650 --> 00:34:30,410
له اثنين عادي جدا ما فيش فيها مشكلة يبقى هذه بالنسبة

332
00:34:30,410 --> 00:34:35,590
للـ associative طب مين الـ identity element في حالة

333
00:34:35,590 --> 00:34:43,310
الجامعة الـ zero يبقى هنا is هذه النقطة الأولى

334
00:34:43,310 --> 00:34:49,810
النقطة الثانية النقطة الثانية الـ zero is the

335
00:34:49,810 --> 00:34:56,310
identity element because

336
00:35:00,180 --> 00:35:07,120
الـ zero زائد الـ بي مثلا يساوي بي زائد الـ zero بده

337
00:35:07,120 --> 00:35:15,720
يساوي الـ بي itself الكلام هذا for all بي اللي

338
00:35:15,720 --> 00:35:24,240
موجودة في z أوي q and الـ a طيب النقطة الثالثة

339
00:35:27,080 --> 00:35:33,000
لو أخدت element a موجود في أي منهما من المعكوس

340
00:35:33,000 --> 00:35:38,940
تبعه يعني مين العدد اللي بدي أضيفه إليه يطلع من؟

341
00:35:38,940 --> 00:35:50,730
يطلع zero سالم العدد يبقى هنا the inverse of أي

342
00:35:50,730 --> 00:36:00,010
اللي موجود في الـ Z أو الـ Q and ال R is سالب A

343
00:36:00,010 --> 00:36:10,770
since لأن الـ A زائد ناقص A يساوي ناقص A زائد A يساوي

344
00:36:10,770 --> 00:36:17,490
Zero لهمين الـ identity element طيب

345
00:36:17,490 --> 00:36:26,910
نمر اثنين نروح ناخد مثال آخر لو أخدت الآن z وتحت

346
00:36:26,910 --> 00:36:35,250
عملية الضرب العادي z is

347
00:36:35,250 --> 00:36:46,010
not a group يبقى هذه ماهيّاش group under usual

348
00:36:46,010 --> 00:36:47,810
multiplication

349
00:36:50,890 --> 00:37:00,830
تحت عملية الضرب العادية ليش؟ because because

350
00:37:00,830 --> 00:37:14,270
if الـ a موجود في z and الـ a لا يساوي واحد وبحيث الـ

351
00:37:14,270 --> 00:37:20,450
a لا يساوي واحد الآن تحت عملية الضرب من الـ identity

352
00:37:20,450 --> 00:37:25,650
element الواحد ممتاز جدا يبقى هذا واحد لأن أي عدد

353
00:37:25,650 --> 00:37:29,910
اضربه في واحد بيطلع نفسي لوحده السؤال هو هل بقدر

354
00:37:29,910 --> 00:37:34,370
ألاقي element اضربه في أي عدد يطلع واحد

355
00:37:37,270 --> 00:37:43,510
أنا بدي في Z أنا بحكي على Z فقط أنا مقيد بالـ 6

356
00:37:43,510 --> 00:37:47,590
بتبعتي الـ 6 الأخرى ماليش علاقة فيها ومقيد بالـ

357
00:37:47,590 --> 00:37:52,950
operation اللي عندي بقدر ألاقي في الشمكانية يبقى F

358
00:37:52,950 --> 00:37:59,150
الـ A موجودة under الـ A لا تساوي واحد then there is

359
00:37:59,150 --> 00:38:12,610
أو there exists no element B اللي هو z such that

360
00:38:12,610 --> 00:38:21,170
بحيث أن الـ a في b بده يساوي الواحد الصحيح يعني for

361
00:38:21,170 --> 00:38:25,830
example if

362
00:38:25,830 --> 00:38:33,190
الـ a تساوي ثلاثة بقدر ألاقي عدد بي اضروف ثلاثة يطلع

363
00:38:33,190 --> 00:38:39,390
واحد بس بحيث العدد فيه z فالـ a تساوي ثلاثة then

364
00:38:39,390 --> 00:38:45,910
there is no integer

365
00:38:45,910 --> 00:38:55,950
بي such that بحيث أن ثلاثة بي بده يساوي واحد

366
00:38:55,950 --> 00:39:03,250
مالاجيش هذا العدد بتاتا يبقى هذه زد تحت عملية ضرب

367
00:39:03,250 --> 00:39:11,270
مالها طيب خليني أسأل كمان سؤال لو قلت لك الـ set of

368
00:39:11,270 --> 00:39:16,770
real numbers كويس؟ بس أصبر شوية الـ set of real

369
00:39:16,770 --> 00:39:26,430
numbers تحت عملية الضرب هل هي group؟ ليش؟ بالنسبة

370
00:39:26,430 --> 00:39:29,750
للصفر بلا جيش ولا inverse ليش أن الـ identity قلت

371
00:39:29,750 --> 00:39:34,890
هو مين بلا جيش ولا عدد اضربه في الصفر يطلع واحد

372
00:39:34,890 --> 00:39:40,730
صحيح يدي ليست جروب وهكذا إذا احنا الـ set مقيدين

373
00:39:40,730 --> 00:39:45,410
بالـ set بشكل الأعداد اللي موجودة فيها مقيد بالـ

374
00:39:45,410 --> 00:39:48,750
identity اللي عندي فيها مقيد بالـ binary

375
00:39:48,750 --> 00:39:52,150
operational اللي موجودة عندي حققت الشروط بقول جروب

376
00:39:52,150 --> 00:39:58,830
ما حققت بقوله ماهيّاش جروب طب لو جيت قولت لك تلاتة

377
00:39:58,830 --> 00:40:06,490
let i تساوي الجذر التربيعي للسالب واحد define

378
00:40:06,490 --> 00:40:10,090
define

379
00:40:10,090 --> 00:40:17,610
usual multiplication multiplication

380
00:40:17,610 --> 00:40:19,550
on

381
00:40:38,180 --> 00:40:46,550
عرفت حصل الضرب على set of complex numbers واحد ناقص

382
00:40:46,550 --> 00:40:51,330
واحد i ناقص i ناقص i حيث i هو الجذر التربيعي

383
00:40:51,330 --> 00:40:56,550
للسالب واحد يبقى دول complex ولا لا وعليهم عملية

384
00:40:56,550 --> 00:41:01,430
ضرب العادية تبع ال complex number السؤال هو هل هذه

385
00:41:01,430 --> 00:41:05,470
group ولا لا في الأول بدي أشوف هل ال

386
00:41:05,470 --> 00:41:12,990
multiplication هذه لو ضربت أي عددين في بعض من دول

387
00:41:12,990 --> 00:41:18,430
بيبقى complex ولا بيبطل يصير complex any real

388
00:41:18,430 --> 00:41:22,270
number is complex هذا complex وهذا complex وهذا

389
00:41:22,270 --> 00:41:25,670
complex وهذا complex وهذا complex يبقى العملية هذه

390
00:41:25,670 --> 00:41:30,790
طيب لو ضربت ال i في ناقص i أليست مثل ناقص i في i

391
00:41:30,790 --> 00:41:34,950
لأن العملية إبدالية هذا ناقص واحد في i زي i في

392
00:41:34,950 --> 00:41:40,230
ناقص واحد سياد يبقى هذه اللي هي عبارة عن

393
00:41:40,230 --> 00:41:45,610
associative binary operation يبقى let then

394
00:41:52,020 --> 00:41:58,380
النقطة الآن هي نقطة

395
00:41:58,380 --> 00:42:03,500
عملية عملية عملية عملية عملية عملية

396
00:42:03,500 --> 00:42:06,700
عملية عملية

397
00:42:10,880 --> 00:42:17,480
طب كويس، مين ال identity element؟ واحد، يبقى واحد

398
00:42:17,480 --> 00:42:22,740
is the identity element

399
00:42:24,480 --> 00:42:28,440
يبقى الواحد هو عنصر الواحد اللي دي لو ضربته في أي

400
00:42:28,440 --> 00:42:32,580
واحد من هدول بيطلع نفس الواحد هدول طيب السؤال مين

401
00:42:32,580 --> 00:42:38,060
معكوس السالب واحد؟ السالب واحد itself يبقى السالب واحد

402
00:42:38,060 --> 00:42:44,740
is the inverse of itself يبقى هو معكوس لنفسي هنا

403
00:42:44,740 --> 00:42:55,030
سالب واحد is the inverse of itself طيب مين معكوس

404
00:42:55,030 --> 00:42:58,590
الواحد؟ الواحد نفسه، ضربه نفسه بيطلع واحد، ما عنديش

405
00:42:58,590 --> 00:43:01,650
أمر يبقى هذا ال identity دائما و أبدا شباب ال

406
00:43:01,650 --> 00:43:06,150
identity هو معكوسه لنفسه، يتدورش عليه أي group

407
00:43:06,150 --> 00:43:08,810
تطلع في الدنيا عندك ال identity إن هو معكوسه

408
00:43:08,810 --> 00:43:13,490
لنفسها طيب الآن مين معكوس ال i؟ ال سالب i طب و

409
00:43:13,490 --> 00:43:20,880
السالب i؟ لو ضربت i في i ب i تربيع اللي بسالب واحد و

410
00:43:20,880 --> 00:43:27,520
عندك سالب بصير موجبة بواحد يبقى هنا باجي بقول له ال

411
00:43:27,520 --> 00:43:34,580
i is the inverse of سالب i

412
00:43:39,980 --> 00:43:46,020
من هذول التلاتة مع اللي فوق يبقى صلة هذه ال group

413
00:43:46,020 --> 00:43:52,260
تحت عملية ضرب is a group يبقى هذا بدي يعطيلك إن g

414
00:43:52,260 --> 00:43:59,920
تحت عملية الضرب اللي عندنا هذه is a group يبقى هذه

415
00:43:59,920 --> 00:44:02,160
عبارة عن مجموعة

416
00:44:17,760 --> 00:44:23,720
مثال رقم أربعة مثال

417
00:44:23,720 --> 00:44:31,880
رقم أربعة هذا سؤال تلاتة من الكتاب بيقول لي show

418
00:44:31,880 --> 00:44:41,860
that the set اللي هي مين؟ واحد واثنين وتلاتة

419
00:44:41,860 --> 00:44:45,680
وأربعة under

420
00:44:50,830 --> 00:45:01,410
multiplication modulo خمسة modulo خمسة is an

421
00:45:01,410 --> 00:45:14,950
abelian group is an abelian group but ولكن اللي هو

422
00:45:14,950 --> 00:45:26,710
واحد واثنين و تلاتة under multiplication

423
00:45:26,710 --> 00:45:30,410
modulo

424
00:45:30,410 --> 00:45:34,850
أربعة

425
00:45:34,850 --> 00:45:39,970
is not a group

426
00:46:15,380 --> 00:46:20,710
سؤال مرة ثانية السؤال يعتبر سؤالين عندما أعطيني

427
00:46:20,710 --> 00:46:25,010
أربعة أعداد واحد اثنين تلاتة عرفنا عليهم عملية ضرب

428
00:46:25,010 --> 00:46:30,430
modulo خمسة عملية ضرب بالمقياس خمسة قال لي أثبت إن

429
00:46:30,430 --> 00:46:34,050
هذه عبارة عن abelian group abelian سهلة تلاتة في

430
00:46:34,050 --> 00:46:36,550
اثنين هي اثنين في تلاتة تلاتة في أربع هي أربع في

431
00:46:36,550 --> 00:46:40,050
تلاتة اثنين في أربع هي أربع في اثنين والباقي في

432
00:46:40,050 --> 00:46:43,070
واحد ما هي بطلع نفسها تمام؟ إذا أنا حكيت ال

433
00:46:43,070 --> 00:46:46,630
abelian هذه تحصيل حاصل يبقى أنا بالزمن ال

434
00:46:46,630 --> 00:46:51,690
associative و بالزمن من؟ ال binary operation في

435
00:46:51,690 --> 00:46:55,830
الأول و لزمنا ال identity و المعكوس بقوله بسيطة

436
00:46:55,830 --> 00:47:00,370
جدا الآن بدي أشوف هل هي associ .. هي قبل ال

437
00:47:00,370 --> 00:47:04,190
associative هل هي binary operation ولا لا بقوله

438
00:47:04,190 --> 00:47:10,110
الله كويس يعني لو تعرفت أي عنصرين في بعضهم بدي

439
00:47:10,110 --> 00:47:14,170
يكون ناتج داخل الستة دي إن حدث ذلك بقوله هذه

440
00:47:14,170 --> 00:47:18,880
binary operation الآن تعال خدلي اثنين في واحد اثنين

441
00:47:18,880 --> 00:47:21,840
موجودة تلاتة في واحد تلاتة موجودة أربعة في واحد

442
00:47:21,840 --> 00:47:26,960
بأربعة موجودة نمسك اثنين اثنين في تلاتة ستة modulo

443
00:47:26,960 --> 00:47:31,740
خمسة بيظل قداش؟ واحد موجود اثنين في أربعة تمانية

444
00:47:31,740 --> 00:47:36,080
modulo خمسة تلاتة موجود خلصنا اثنين ضربنا في تلاتة

445
00:47:36,080 --> 00:47:39,940
و أربعة لأن تلاتة في أربعة باطمعشر modulo خمسة

446
00:47:39,940 --> 00:47:45,980
بأثنين موجود يبقى داشت صارت binary operation يبقى

447
00:47:45,980 --> 00:47:55,650
باجي بقوله أول شيء ال multiplication modulo

448
00:47:55,650 --> 00:48:12,890
خمسة is a binary operation on the set اللي واحد

449
00:48:12,890 --> 00:48:17,950
واثنين وتلاتة وأربعة because السبب

450
00:48:20,570 --> 00:48:29,870
ال a, b modulo خمسة موجود في الست واحد واثنين

451
00:48:29,870 --> 00:48:35,430
وتلاتة وأربعة لكل ال a و ال b شو رأيك أسميها

452
00:48:35,430 --> 00:48:41,430
للسهولة أسميها s و هذا يبدأ أسميها s يبغى لكل ال a

453
00:48:41,430 --> 00:48:47,850
و ال b اللي موجودة وين في s يبقى حاصل ضرب أي اثنين

454
00:48:47,850 --> 00:48:52,430
كله موجود وين؟ موجود لذلك بايناري وبرجانت اثنين هذا

455
00:48:52,430 --> 00:48:55,870
ضرب عادي بس باخد الموديولو في الآخر يبقى

456
00:48:55,870 --> 00:49:03,570
associative ولا لا يبقى هنا كمان لاحظ إن note إن

457
00:49:03,570 --> 00:49:09,510
multiplication modulo

458
00:49:09,510 --> 00:49:12,310
خمسة

459
00:49:15,220 --> 00:49:21,640
is associative بدك

460
00:49:21,640 --> 00:49:25,640
تشكل بساطرة هذا ما في مشكلة احنا ال i هو ال

461
00:49:25,640 --> 00:49:29,040
identity الواحد يبقى هذا سهل لكن ضالي عند مين

462
00:49:29,040 --> 00:49:31,700
الاثنين والتلاتة والاربعة يبقى بقدر أخدهم مع بعض

463
00:49:31,700 --> 00:49:37,040
أو يبقى خلصت ال group كله مظبوط يعني for example

464
00:49:40,060 --> 00:49:49,900
لو أخدت اثنين أستار تلاتة أستار أربعة طيب، هذا

465
00:49:49,900 --> 00:49:56,040
اثنين في تلاتة بستة موديولو خمسة صح ولا لأ؟ يبقى

466
00:49:56,040 --> 00:50:02,220
ستة موديولو خمسة فيها قداش؟ واحد يبقى بظل واحد

467
00:50:02,220 --> 00:50:11,280
أستار أربعة أربعة مد يولو خمسة يبقى هذا بده يساوي

468
00:50:11,280 --> 00:50:18,860
أربعة and لو أخدت اثنين star تلاتة star أربعة

469
00:50:18,860 --> 00:50:27,510
ويساوي تلاتة في أربعة ب 12 modulo 5 ب 2 يبقى يساوي 2

470
00:50:27,510 --> 00:50:35,110
star 2 يعني 2 في 2 ب 4 modulo 5 اللي هي ب 4 يبقى هذا

471
00:50:35,110 --> 00:50:41,450
بده يعطينا 4 يبقى star هذه هي نفس هذه بالظبط يبقى

472
00:50:41,450 --> 00:50:44,750
العملية أساسية وضل بس دور مين الواحد واحد اللي

473
00:50:44,750 --> 00:50:47,490
هيقدمه لأخر بالنسبة لعملية الدور لأن هو ال

474
00:50:47,490 --> 00:50:53,510
identity element يبقى على طول الخطبة نقول واحد is

475
00:50:53,510 --> 00:51:01,430
the identity element لأن

476
00:51:01,430 --> 00:51:05,250
الواحد في أي رقم من الباقي modulo وخمسة هيعطيني

477
00:51:05,250 --> 00:51:12,230
نفس الرقم مش هيغير حاجة طيب مين معكوس أي واحد فيهم

478
00:51:12,230 --> 00:51:14,270
يلا شوف

479
00:51:17,900 --> 00:51:24,760
من معكوس أي رقم من هذه الأرقام اثنين

480
00:51:24,760 --> 00:51:30,440
والتلاتة معكوسات لبعض لأن اثنين في تلاتة modulo

481
00:51:30,440 --> 00:51:34,040
وخمسة بطلع قداش؟ واحد اللي هو ال identity element

482
00:51:34,040 --> 00:51:42,230
طب والأربعة في أربعة يبقى أربعة معكوس لنفسه و اثنين

483
00:51:42,230 --> 00:51:46,430
معكوس للتلاتة و ال identity هو معكوس لنفسه إذا صار

484
00:51:46,430 --> 00:51:56,550
كل عنصر له معكوس يبقى هنا باجي بقول every element

485
00:51:56,550 --> 00:52:05,310
in s has an inverse

486
00:52:07,290 --> 00:52:22,690
since الواحد is the inverse of واحد بعدها

487
00:52:22,690 --> 00:52:35,280
اثنين is the inverse of تلاتة since لأن اثنين في

488
00:52:35,280 --> 00:52:43,720
تلاتة modulo خمسة بده يساوي واحد and الأربعة is

489
00:52:43,720 --> 00:52:58,530
the inverse of itself since اللي هما مين؟ أربعة مضروبة

490
00:52:58,530 --> 00:53:06,150
في أربعة modulo خمسة يساوي واحد يبقى كل عنصر له

491
00:53:06,150 --> 00:53:14,310
معكوس يبقى بناء عليه أصبحت هذه group يبقى هنا ال s

492
00:53:14,310 --> 00:53:23,330
تساوي واحد واثنين وتلاتة وأربعة is a group under

493
00:53:29,300 --> 00:53:33,920
multiplication multiplication modulo

494
00:53:35,390 --> 00:53:41,550
خمسة طب أنا لسه خلصت الشطر الأول من السؤال جالي

495
00:53:41,550 --> 00:53:47,530
لكن المجموعة هذه modulo أربعة is not a group بقوله

496
00:53:47,530 --> 00:53:52,670
كويس إيش عرفك؟ بدي ولو شرط واحد يختل من الشروط

497
00:53:52,670 --> 00:53:59,510
اللي عندي بتبطل تصير a group صح ولا لا؟ طيب حد

498
00:53:59,510 --> 00:54:01,530
بقدر يجيب لي هذا الشرط

499
00:54:06,800 --> 00:54:11,660
ممتاز جدا تعال نشوف تلاتة هذه بيقول ما لهاش معكوس

500
00:54:11,660 --> 00:54:17,320
ليش؟ لأني قلت تلاتة في تلاتة تسعة تسعة شيل منهم

501
00:54:17,320 --> 00:54:24,200
أربعتين بيظل واحد إذا التلاتة معكوس لنفسي صح يبقى

502
00:54:24,200 --> 00:54:31,020
معكوسها اتنين في تلاتة ايه بستة شيل منهم أربعة

503
00:54:31,020 --> 00:54:35,500
بيطلع اتنين يبقى ده مش اتنين معكسه مش التلاتة لكن

504
00:54:35,500 --> 00:54:41,720
اتنين في اتنين أربعة تعني زيرو يبقى اتنين أو هذه

505
00:54:41,720 --> 00:54:45,680
ماهيّاش closed under يعني هذه ال operation ماهيّاش

506
00:54:45,680 --> 00:54:50,780
binary operation لأن ال element موجود في نفس ال set

507
00:54:50,780 --> 00:54:57,180
يبقى هذه بقول له that set اللي هو واحد و اتنين و

508
00:54:57,180 --> 00:55:11,200
تلاتة under multiplication modulo أربعة is not

509
00:55:11,200 --> 00:55:15,920
a group since

510
00:55:18,430 --> 00:55:25,610
الاتنين مستار اتنين يساوي أربعة modulo أربعة ليه

511
00:55:25,610 --> 00:55:30,730
تساوي زيرو وهذا does not belong للست واحد واتنين 

512
00:55:30,730 --> 00:55:34,930
وتلاتة يبقى الشرط الأول تبقى binary operation لأنه

513
00:55:34,930 --> 00:55:38,110
تحت عملية ضرب modulo أربعة التي بيكون موجود في

514
00:55:38,110 --> 00:55:43,260
الست هذه هذا مش موجود يبقى يبعتلك الله لازلنا في

515
00:55:43,260 --> 00:55:48,000
الأمثلة السهلة حتى هذه اللحظة لسه عندنا أمثلة

516
00:55:48,000 --> 00:55:53,000
كثيرة بدنا على قلبي كمان محاضرتين مشان نخلص

517
00:55:53,000 --> 00:55:57,500
الأمثلة على موضوع ال group لأن هذا الأساس اللي

518
00:55:57,500 --> 00:56:02,420
بدنا نبني عليه كل دراستنا في موضوع ال groups بعد

519
00:56:02,420 --> 00:56:04,080
ذلك يعطيكم العجب