1 00:00:01,230 --> 00:00:05,050 بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة التاسعة 2 00:00:05,050 --> 00:00:09,790 مساق رياضيات مفاصلة لطلبات الجامعة الإسلامية قسم 3 00:00:09,790 --> 00:00:14,250 الحوثف المتنقلة كلي التكنولوجيا المعلومات اليوم 4 00:00:14,250 --> 00:00:20,000 هيكون الحديث عن اللي هو طرق البرهان الرياضيهنحكي 5 00:00:20,000 --> 00:00:25,000 طبعا هو نزيج من chapter 5 و باقي chapter 1-7 6 00:00:25,000 --> 00:00:28,620 section 1-7 في chapter الأول اللي هو proof 7 00:00:28,620 --> 00:00:31,600 techniques and mathematical induction اللي هي طرق 8 00:00:31,600 --> 00:00:37,720 البرهان و اللي هي الاستقرار الرياضي الان في بعض 9 00:00:37,720 --> 00:00:41,720 الحقائق بس حابين نذكرها على السريع عسى انه تلزمنا 10 00:00:41,720 --> 00:00:46,210 بعد شويةThe product of the non-zero real numbers 11 00:00:46,210 --> 00:00:51,130 is non-zero يعني لو ضربنا عددين حقيقية و لا واحد 12 00:00:51,130 --> 00:00:54,870 فين صفر أكيد هيطلع مش صفار The square of non-zero 13 00:00:54,870 --> 00:00:57,710 real numbers is a positive real number اللي هو لو 14 00:00:57,710 --> 00:01:00,690 كان عندي a real number بيكون a تربيع اللي هو 15 00:01:00,690 --> 00:01:04,600 positive real numberالأن الـ even integer is of 16 00:01:04,600 --> 00:01:09,020 the form 2k لأن لو كان عندي اللي هو عدد زوجي بنقدر 17 00:01:09,020 --> 00:01:12,180 نكتبه على صورة 2k for some k element in and يعني 18 00:01:12,180 --> 00:01:16,300 هذه صورة العدد الزوجي أما العدد الفردي the odd 19 00:01:16,300 --> 00:01:20,820 integer is on the form 2k زائد 1 for some k 20 00:01:20,820 --> 00:01:28,560 element in andحاصل ضرب two even integers is even 21 00:01:28,560 --> 00:01:33,700 وحاصل ضرب two odd integers is odd a real number is 22 00:01:33,700 --> 00:01:36,960 a rational number if it is a common fraction that 23 00:01:36,960 --> 00:01:40,880 is on the form M على N of integers M and N و N لا 24 00:01:40,880 --> 00:01:45,260 تساوي سفر يعني بيقولي العدد النسبي هو العدد اللي 25 00:01:45,260 --> 00:01:49,240 بنقدر نكتبه على صورة M على N حيث و M و N عدد صحيحة 26 00:01:52,650 --> 00:01:57,730 الأن لا يساوي سفر a prime طبعا احنا اعرفناه هو 27 00:01:57,730 --> 00:02:00,670 عبارة عن positive integer بي أكبر من واحد اللي 28 00:02:00,670 --> 00:02:04,510 بيكسب بس على اللي هو الواحد والبي وطبعا هيكسب على 29 00:02:04,510 --> 00:02:11,340 السالب واحد والسالب بيالأن البرهان النظريات أو 30 00:02:11,340 --> 00:02:16,200 اللي هي الأنواع البرهين اللي هي فيه أنواع للبرهين 31 00:02:16,200 --> 00:02:20,720 اليوم بدنا نحكي عن واحد منهم اسمه الـ Direct Proof 32 00:02:20,720 --> 00:02:25,280 أو البرهان المباشر إذا اليوم بس هنحكي عن البرهان 33 00:02:25,280 --> 00:02:29,900 المباشر اللي هي بذكركم في اللي هو ال implication 34 00:02:29,900 --> 00:02:34,310 لما أخدنا ال implication بـ implies a Qقلنا هذه 35 00:02:34,310 --> 00:02:40,710 اللي هي لو بدنا عشان نثبت صحتها لو كانت بيه صحيحة 36 00:02:40,710 --> 00:02:45,850 عشان نثبت صحة الجملة كلها بيه implies q لازم نثبت 37 00:02:45,850 --> 00:02:49,790 ان q إيه شمالها صحيحة إذا ال direct proof هنا 38 00:02:49,790 --> 00:02:56,350 بعتمد على ماذا؟ بعتمد على إنه لو نفترض صحة بيه و 39 00:02:56,350 --> 00:03:01,570 بنبدأ اللي هو نستخدم اللي هواللي هي كل الحقائق 40 00:03:01,570 --> 00:03:04,790 اللي معناها وكل اللي هي المعطيات اللي معناها لما 41 00:03:04,790 --> 00:03:10,290 نصلّمين إلى صحة Q إذاً an implication B implies Q 42 00:03:10,290 --> 00:03:15,730 can be proved by showing that if B is true then Q 43 00:03:15,730 --> 00:03:20,730 is also trueإن ناخد مثال Give a direct proof of 44 00:03:20,730 --> 00:03:24,290 the theorem if N is odd then N تربيع is odd لأن 45 00:03:24,290 --> 00:03:28,130 عندي نظرية أو عندي سؤال أو عندي المثال اللي هو 46 00:03:28,130 --> 00:03:33,170 بقول لي لو كانت N is odd اثبتلي أن N تربيع إيش 47 00:03:33,170 --> 00:03:37,290 ماله is odd كيف بنثبت استخدام ال directive proof 48 00:03:37,290 --> 00:03:41,230 بنيجي بنفترض assume that the hypothesis B of this 49 00:03:41,230 --> 00:03:47,260 implication is true يعني بنفترض أن هذا صحيحوبنبدأ 50 00:03:47,260 --> 00:03:52,160 نستخدم هذه الحقيقة وحقائق معروفة للوصول إلى أن 51 00:03:52,160 --> 00:03:58,480 تربيع is odd then use the rules of inference and 52 00:03:58,480 --> 00:04:02,040 non-theorems to show that the conclusion you must 53 00:04:02,040 --> 00:04:07,230 be true اللي هو أن تربيع is oddيعني الآن بنفترض 54 00:04:07,230 --> 00:04:12,190 صحة أن بنبدأ نستخدم هذه كمعطيات و بنستخدم اللي هو 55 00:04:12,190 --> 00:04:16,210 أي حاجة احنا بنعرف أنها صحيحة و تم إثباتها في 56 00:04:16,210 --> 00:04:21,090 إثبات أن تربيع إيه شماله is odd الان ناخد ناخد 57 00:04:21,090 --> 00:04:25,530 نشوف نبرهن نبرهن هذا السؤال assume that n is odd 58 00:04:25,530 --> 00:04:29,190 إيش معناة n is odd يا جماعة هذا الان مثال على ال 59 00:04:29,190 --> 00:04:34,280 direct proof زي ما قلنا assume that n is oddاللي 60 00:04:34,280 --> 00:04:38,440 هو يعني and then and can be written as يعني and 61 00:04:38,440 --> 00:04:42,400 يمكن كتبتها على صورة اتنين كزائد واحد حيث وk is 62 00:04:42,400 --> 00:04:47,480 and إيش integer ال and أنا بدي مين بدي and تربيع 63 00:04:47,480 --> 00:04:51,620 نتبتها إذا ال and تربيع consequently ال and تربيع 64 00:04:51,620 --> 00:04:55,780 إيش هتساوي هذا المقدار لكل تربيع اتنين كزائد واحد 65 00:04:55,780 --> 00:05:01,770 لكل تربيعالان باجي بربع هذا الطرف بطلع عندى هو 4k 66 00:05:01,770 --> 00:05:06,750 تربيع زي 4k زي 1 تعرفوا تربعوها مربع الأول زي مربع 67 00:05:06,750 --> 00:05:10,450 الثاني زي الأول في الثاني في اتنين الان هذا الرقم 68 00:05:10,450 --> 00:05:14,850 اللى عندى انا بدأ اكتبه على اثبات النقودطب كيف 69 00:05:14,850 --> 00:05:18,330 بتبتد نقود؟ خد للأربعة من هدولة عامل مشترك أو 70 00:05:18,330 --> 00:05:21,670 اتنين عامل مشترك بيصير عند اتنين في اتنين كتر 71 00:05:21,670 --> 00:05:25,750 تربيع زي اتنين K زائد واحد هذا عبارة عن عدد صحيح 72 00:05:25,750 --> 00:05:29,930 لأن K صحيح و هذا K صحيح يعني بقدر اسم هذا العدد كل 73 00:05:29,930 --> 00:05:35,250 ام بيصير عبارة عن اتنين ام زائد واحدصار عندى العدد 74 00:05:35,250 --> 00:05:37,930 هذا انكتب اللى هو الان تربيع على صورة اتنين ام 75 00:05:37,930 --> 00:05:41,490 زائد واحد حيث ام هو هذا العدد اتنين ان التربيع 76 00:05:41,490 --> 00:05:45,850 زائد اتنين is an integer يعني اجدرت الان تربيع 77 00:05:45,850 --> 00:05:49,270 اكتب على صورة اتنين ام زائد واحد معناته انه اثبتت 78 00:05:49,270 --> 00:05:54,190 انه لما كانت unod اذا طلعت عندى الان تربيع can be 79 00:05:54,190 --> 00:05:58,790 written in this form it is odd هذا هو مثال على 80 00:05:58,790 --> 00:06:04,550 البرهان المباشرمثال آخر عن البرهان المباشر بقول 81 00:06:04,550 --> 00:06:08,550 show that the product of two rational numbers is a 82 00:06:08,550 --> 00:06:12,630 rational number بدنا نثبت أن حاصل ضرب two rational 83 00:06:12,630 --> 00:06:17,230 numbers أشمل يا جماعة is a rational number بدنا 84 00:06:17,230 --> 00:06:21,850 نبرهن البرهان كما يلي assume that M و N are 85 00:06:21,850 --> 00:06:25,250 rational numbers يعني بنفترض أن عندي في two 86 00:06:25,250 --> 00:06:29,990 rational numbers S1 اسمه M و S1 اسمه Nمدام M 87 00:06:29,990 --> 00:06:37,190 ريشونال نمبر إذا M ممكن كتابته على صورة ألف على با 88 00:06:37,190 --> 00:06:40,630 حيث ال با لا يساوي سفره الألف والبا أو ال إيه 89 00:06:40,630 --> 00:06:45,150 والبي عبارة عن أعداد صحيحة Similarly بنفس الأسلوب 90 00:06:45,150 --> 00:06:49,630 ال N ريشونال نمبر إذا N ممكن كتابته على صورة X على 91 00:06:49,630 --> 00:06:53,510 Y يعني N ممكن كتابته على صورة X على Y حيثه برضه Y 92 00:06:53,510 --> 00:06:58,420 لا تساوي سفره ال X أشماله والY أعداد صحيحةهدولة 93 00:06:58,420 --> 00:07:00,740 rational numbers from the definition of rational 94 00:07:00,740 --> 00:07:06,460 numbers الان مين بده هو اثبت انه the product of 95 00:07:06,460 --> 00:07:10,140 two rational numbers is rational يعني بدنا نودي 96 00:07:10,140 --> 00:07:15,880 دلان m في n و نثبتها انها روش rational so m في n 97 00:07:15,880 --> 00:07:21,400 بسيطالـ M هي A على B والـ N هي X على Y الـ N هذا 98 00:07:21,400 --> 00:07:24,380 بص تضربه في البص بيصير A في X والمقام في المقام 99 00:07:24,380 --> 00:07:29,140 بيصير على B في Y إذا صار عند الرقم M في N عبارة عن 100 00:07:29,140 --> 00:07:32,320 A في X عبارة عن Integer لأن هذا Integer وهذا 101 00:07:32,320 --> 00:07:36,110 Integerو B في Y انتجر لأن هذا انتجر وهذا انتجر 102 00:07:36,110 --> 00:07:39,390 وحاصل درب زي ما قلنا في الملاحظة الأولى مش هيكون 103 00:07:39,390 --> 00:07:44,210 صفر لأنه ولا واحد فيه صفر إذا صارت M في N مكتوبة 104 00:07:44,210 --> 00:07:48,350 على صورة انتجر على انتجر والانتجر اللي تحت مش صفر 105 00:07:48,350 --> 00:07:53,350 إذا ال M في N عبارة عن rational number يعني الآن 106 00:07:53,350 --> 00:07:57,690 صار ال product of two rational numbers is also a 107 00:07:57,690 --> 00:08:04,120 rational number وهذا أيضا مثال آخرعلى اللي هو الـ 108 00:08:04,120 --> 00:08:08,180 Direct Proof أو على البران المباشر الـ Direct 109 00:08:08,180 --> 00:08:14,080 Proof More Examples اللي هو أمثلة أخرى على الـ 110 00:08:14,080 --> 00:08:18,570 Direct Proof هتلاقوها برضه سهلةشوف الآن show that 111 00:08:18,570 --> 00:08:23,310 ال example تلاتة the sum of two odd integers is 112 00:08:23,310 --> 00:08:28,930 even يعني بدنا نقول أنه نثبت أنه مجموع اتنين odd 113 00:08:28,930 --> 00:08:34,230 integers هيكون أيش معله even انتجار كيف؟الان مدام 114 00:08:34,230 --> 00:08:40,230 اللي هو الاتنين عندى odd إذا بدنا نسميهم let n 115 00:08:40,230 --> 00:08:47,090 بتساوي اتنين k زائد واحد و m ايش بتساوي اتنين j 116 00:08:47,090 --> 00:08:53,690 زائد واحد ب odd integers ماشي الحال طيب الان 117 00:08:53,690 --> 00:09:02,720 مجموحا بدك تقول n زائد m ايش هيساوي؟2k و2j و1 زائد 118 00:09:02,720 --> 00:09:07,900 واحد يعني هيصير عند ال N زائد M عبارة عن 2k زائد 119 00:09:07,900 --> 00:09:15,510 2j زائد 2أذا الان خد الاتنين عامل مشترك فيهم بيصير 120 00:09:15,510 --> 00:09:20,390 N زائد M اللي هو مجموح N زائد M بيساوي اتنين في 121 00:09:20,390 --> 00:09:25,710 العامل المشترك K زائد J زائد 1 يعني ال N زائد M 122 00:09:25,710 --> 00:09:32,510 كتبناه على صورة 2 زائد اللي هو اتنين M prime مثلا 123 00:09:32,510 --> 00:09:35,970 اللي هو is even integer 124 00:09:44,650 --> 00:09:49,830 مش مكتوب المثال لكن سهل و انا حكيته بالتفصيل لان 125 00:09:49,830 --> 00:09:55,490 جرب اكتب ان زائد ام مجمحن و خد اتنين عن مشترك بطلع 126 00:09:55,490 --> 00:10:00,390 ان زائد ام عن اتنينإذا عندي N زائد M زي ما قلنا 2K 127 00:10:00,390 --> 00:10:05,470 زائد 1 زائد 2G زائد 1 اللي هو بسوء 2K زائد 2G زائد 128 00:10:05,470 --> 00:10:09,350 2 أخدنا 2 عامل مشترك من هدولة كلهم وضل عندي K زائد 129 00:10:09,350 --> 00:10:13,210 G زائد 1 وهذا عبارة عن اللي هو integer مضروف في 2 130 00:10:13,210 --> 00:10:16,770 إذا صار ال N زائد M is even هذه اللي هو مثال آخر 131 00:10:16,770 --> 00:10:20,020 على ال direct proofالان المثال الأخير على direct 132 00:10:20,020 --> 00:10:24,340 proof if M and N are both perfect squares يعني 133 00:10:24,340 --> 00:10:28,520 مربعات كاملة M و N ايش معناه مربع كامل يعني ال M 134 00:10:28,520 --> 00:10:32,880 بنقدر نكتبه على صورة B تربيع او ال N بنقدر نكتبه 135 00:10:32,880 --> 00:10:36,950 على صورة B تربيعبقول إذا n في m برضه is also a 136 00:10:36,950 --> 00:10:40,150 perfect square ده نشوف الان الان بدنا نفترض أن ن 137 00:10:40,150 --> 00:10:43,770 assume that m and n are perfect squares يعني m و n 138 00:10:43,770 --> 00:10:47,870 عبارة عن مربعات كاملة إيش يعني؟ يعني m بنقدر نكتبه 139 00:10:47,870 --> 00:10:51,870 على صورة S تربيع و n بتساوي عبارة عن T تربيع هدولة 140 00:10:51,870 --> 00:10:55,550 معناته أن m و n مربعات كاملة حيث أسوة T element 141 00:10:55,550 --> 00:11:00,320 تنزلإذا بدنا نثبت أن M في N برضه مربع كامل اضرب M 142 00:11:00,320 --> 00:11:05,640 في N بصير S تربيع في T تربيع اللي هو عبارة عن S في 143 00:11:05,640 --> 00:11:10,240 T في الكل تربيع أو اللي هو زي ما اعمل S في S في T 144 00:11:10,240 --> 00:11:13,640 في T انتوا عارفينه هذا الكلام سهل S في T اللي هو 145 00:11:13,640 --> 00:11:17,160 في S في T اللي هو عبارة عن S في T لكل تربيع يعني M 146 00:11:17,160 --> 00:11:21,280 في N كتبناه على صورة ST لكل تربيع ST عبارة عن رقم 147 00:11:21,280 --> 00:11:25,250 انتجار لأن هذا انتجار و هذا انتجاريعني MN كتبنا 148 00:11:25,250 --> 00:11:29,150 على صورة integer تربيع أو بمعنى آخر MN is also a 149 00:11:29,150 --> 00:11:33,610 perfect square هيك بيكون احنا اللي هو خلصنا الجزء 150 00:11:33,610 --> 00:11:38,230 الأول اللي هو عبارة عن ال direct proof اللي هو أو 151 00:11:38,230 --> 00:11:42,110 البرهان المباشر بدنا الآن نيجي إلى طريقة ثانية من 152 00:11:42,110 --> 00:11:44,190 طرق البرهان الرياضي 153 00:12:09,490 --> 00:12:13,110 الان نيجي لان للنوع الثاني من أنواع البرهان اللي 154 00:12:13,110 --> 00:12:19,450 هو بنا نسميه البرهان ال indirect proof او البرهان 155 00:12:19,450 --> 00:12:24,060 غير المباشربالظبط هنحكي الآن في البرهان غير مباشر 156 00:12:24,060 --> 00:12:28,200 عن حاجة اسمها Contrapositive أو Contraposition هذه 157 00:12:28,200 --> 00:12:32,440 طبعا مش غريبة عليكم ممكن حكينا عنها في بداية ال .. 158 00:12:32,440 --> 00:12:36,900 المادة قلنا ان implication B implies Q is 159 00:12:36,900 --> 00:12:40,920 equivalent هذه كلها لبعض is equivalent to 160 00:12:40,920 --> 00:12:44,620 Contrapositive إليها إيش Contrapositive يعني not Q 161 00:12:44,620 --> 00:12:50,440 implies not B يعني لو أحنا أثبتناnot Q implies not 162 00:12:50,440 --> 00:12:56,100 B يكون أثبتنا بـ B implies Q يعني عشان نثبت الـ B 163 00:12:56,100 --> 00:13:02,720 implies Q بنفترض عكس الـ Q إنها صحيحة و بنصل لعكس 164 00:13:02,720 --> 00:13:06,940 الـ B إنها صحيحة إذا قدرنا نصل لهيك بكون إن إحنا 165 00:13:06,940 --> 00:13:12,620 اللي هي أن تكون على بعضها دي كلها الـ B implies Q 166 00:13:12,620 --> 00:13:14,700 اللي أثبتناها 167 00:13:17,480 --> 00:13:21,460 أو اللي هو بنثبت ان not q implies not b زي ما قلنا 168 00:13:21,460 --> 00:13:25,860 او q is false implies اللي هو b is false فبكون 169 00:13:25,860 --> 00:13:29,940 عنده اللي هو ال contraposition اللي حكينا عنه اذا 170 00:13:29,940 --> 00:13:33,220 باختصار ال contraposition بنفترض اللي هو عكس ال q 171 00:13:33,220 --> 00:13:37,620 و بنصل لعكس ال b او بنفترض ال q is false يعني عكس 172 00:13:37,620 --> 00:13:43,280 ال q بنفترض و بنصل ل ال b is false يعني عكس ال b 173 00:13:43,280 --> 00:13:51,960 طيبالان نعود لمثال عملي للأمرالمثال العامل يجيب on 174 00:13:51,960 --> 00:13:55,400 indirect proof of the theorem اللي هي التالية ايش 175 00:13:55,400 --> 00:13:59,820 اللي بده نثبت بده يثبت if تلاتة زائد اتنين is odd 176 00:13:59,820 --> 00:14:03,940 then n is odd كيف بدنا نثبتها الآن هذه؟ هذي بدنا 177 00:14:03,940 --> 00:14:07,500 نثبتها بال indirect proof بالcontraposition اللي 178 00:14:07,500 --> 00:14:11,340 الآن بدنا نفترض عكس ال on is odd يعني نقول نفترض 179 00:14:11,340 --> 00:14:16,080 ان on is not odd ونصل لتلاتة n زائد اتنين is not 180 00:14:16,080 --> 00:14:20,000 oddإذا وصلنا لهك بيكون إحنا أثبتنا الـ Contra .. 181 00:14:20,000 --> 00:14:23,380 عملنا الـ Contraposition وبذلك الـ Contraposition 182 00:14:23,380 --> 00:14:28,940 بكافئ أنه 3N زاد 2 is odd يؤدي إلى N is odd إذن 183 00:14:28,940 --> 00:14:33,360 الآن اللي بدي أفعله بدي أفترض أن N is odd is not 184 00:14:33,360 --> 00:14:37,440 true يعني بدي أفترض أن N is not odd يعني بدي أفترض 185 00:14:37,440 --> 00:14:41,700 أن N is even و أصلكم لهذه is not odd يعني بمعنى 186 00:14:41,700 --> 00:14:47,130 آخر it is evenهذا الان اللي بدي أعمله خلّينا مع 187 00:14:47,130 --> 00:14:53,190 بعض نشوف كيف نفترض الان ان is even مدام ان is even 188 00:14:53,190 --> 00:14:56,610 اذا الان بتساوى اتنين k where k is an integer زي 189 00:14:56,610 --> 00:15:00,450 ما انتوا عارفين الان بناء على ذلك تلاتة ان زائد 190 00:15:00,450 --> 00:15:04,600 اتنين اللي هي المطلوبةبنعوض عن n بتنين k بصير 191 00:15:04,600 --> 00:15:08,060 تلاتة في اتنين k زائد اتنين يعني بمعنى اخر ستة k 192 00:15:08,060 --> 00:15:11,580 زائد اتنين بناخد اتنين الان عام المشترك بيصير 193 00:15:11,580 --> 00:15:15,460 اتنين في تلاتة k زائد واحد يعني اقدر اكتب اللي هو 194 00:15:15,460 --> 00:15:20,860 تلاتة n زائد اتنين على صورة اتنين مثلا حيث انزلنا 195 00:15:20,860 --> 00:15:25,300 انتجار او بمعنى اخر وصلنا انه تلاتة n زائد اتنين 196 00:15:25,300 --> 00:15:32,100 is evenأثبتنا الـ Contraposition لذلك تلاتة N زاد 197 00:15:32,100 --> 00:15:34,780 اتنين يعني ليس غير غير غير غير غير غير غير غير غير 198 00:15:34,780 --> 00:15:37,240 غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير 199 00:15:37,240 --> 00:15:38,440 غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير 200 00:15:38,440 --> 00:15:38,580 غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير 201 00:15:38,580 --> 00:15:39,140 غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير 202 00:15:39,140 --> 00:15:39,200 غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير 203 00:15:39,200 --> 00:15:39,520 غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير 204 00:15:39,520 --> 00:15:39,960 غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير غير 205 00:15:39,960 --> 00:15:43,900 غير غير غير غير 206 00:15:43,900 --> 00:15:46,720 غير 207 00:15:47,920 --> 00:15:52,160 مكافئ لهذا أنه أثبتنا أن is not odd أو بمعنى آخر 208 00:15:52,160 --> 00:15:56,200 even تؤدي إلى تلاتة زائد أن زائد اتنين is not odd 209 00:15:56,200 --> 00:16:00,320 يعني even وهيك بيكون أثبتنا اللي هو بواسط البرهان 210 00:16:00,320 --> 00:16:04,880 غير المباشر هذه الحقيقة وبيكون اللي هو أثبتنا 211 00:16:04,880 --> 00:16:09,060 بواسط حاجة اسمها الcontra positiveاللي هناخد مثال 212 00:16:09,060 --> 00:16:12,860 آخر على الـ Contrapositive let M N أو N element in 213 00:16:12,860 --> 00:16:16,840 N show that if M زيد N أكبر من خمسين then M أكبر 214 00:16:16,840 --> 00:16:20,220 من خمس وعشرين أو N أكبر من خمس وعشرين بقول لو كان 215 00:16:20,220 --> 00:16:24,160 عندي M وN integers بحيث أن M زيد N أكبر من خمسين 216 00:16:24,160 --> 00:16:29,640 لازم لازم يعطينا أن M أكبر من خمس وعشرين أو N أكبر 217 00:16:29,640 --> 00:16:33,000 من خمس وعشرينالـ Contrapositive لها أنه احنا 218 00:16:33,000 --> 00:16:37,320 بنفترض عكس الجملة هذه كلها على بعضها و بنصل لعكس 219 00:16:37,320 --> 00:16:41,480 هذه يعني بدنا نفترض ايش معناه عكس M أكبر من 25 or 220 00:16:41,480 --> 00:16:48,380 N أكبر من 25 ايش نفيه جملة or يعني Mأكبر من 25 221 00:16:48,380 --> 00:16:54,460 false and أن أكبر من 25 false إيش يعني؟ يعني أم 222 00:16:54,460 --> 00:17:01,240 أصغر أو يساوي 25 and أن أصغر أو يساوي 25 إذا 223 00:17:01,240 --> 00:17:05,780 assume not q اللي هي هذه يعني بمعنى آخر assume أن 224 00:17:05,780 --> 00:17:10,720 أم أصغر أو يساوي 25 and أن أصغر أو يساوي 25 بناء 225 00:17:10,720 --> 00:17:16,840 على هذا الحديثM زائد N أصغر أو سوى 25 زائد 25 يعني 226 00:17:16,840 --> 00:17:22,160 M زائد N أصغر أو سوى 50 مدام M زائد N أصغر أو سوى 227 00:17:22,160 --> 00:17:27,120 50 إذن هي عكس هذه اللي هي عكس M زائد N أكبر من 50 228 00:17:27,120 --> 00:17:34,270 إذن وصلنا نط Q نط هذهأدت إلى نط بي اللي هي نط هذه 229 00:17:34,270 --> 00:17:38,570 وهذا هو ال contrapositive فبنكون هيك احنا أثبتنا 230 00:17:38,570 --> 00:17:42,690 ال example بواسطة إثبات ال contrapositive أو 231 00:17:42,690 --> 00:17:47,630 بواسطة ال indirect approve الان في سؤال بيقولي 232 00:17:47,630 --> 00:17:54,090 approve or disapprove يعني اثبت او اللي هو اثبت 233 00:17:54,090 --> 00:17:58,950 صحة او اثبت عدم صحة that يعني بيقول الجملة التالية 234 00:17:58,950 --> 00:18:03,150 صحيحة ولا مش صحيحةبقول that the product of two 235 00:18:03,150 --> 00:18:06,730 irrational numbers is irrational بقول لي هل حاصل 236 00:18:06,730 --> 00:18:09,930 ضرب two irrational numbers لازم يطلع irrational 237 00:18:09,930 --> 00:18:15,330 عشان نثبت لازم نثبت لكل الحالات يعني نفترض انه اي 238 00:18:15,330 --> 00:18:19,070 اتنين irrational و نصل الهين irrational لو في حالة 239 00:18:19,070 --> 00:18:23,630 واحدة بس يعني مثال واحد اللي هو هذا بنتقش يعني لو 240 00:18:23,630 --> 00:18:28,440 جدرنا نجيباللي هو عددين irrational حاصر ضربهم مش 241 00:18:28,440 --> 00:18:32,040 irrational بتكون هذه الجملة مش صحيحة وفي هذه 242 00:18:32,040 --> 00:18:35,540 الحالة بنقول هذا العمل هو disapprove و ال 243 00:18:35,540 --> 00:18:39,240 disapprove بنجيب counter example يعني بنجيب مثال 244 00:18:39,240 --> 00:18:45,990 عدديبنبين فيه ان هذه الجملة غير صحيحة الان بيقول 245 00:18:45,990 --> 00:18:50,790 ايش الجملة؟ ان ال product of two irrational is 246 00:18:50,790 --> 00:18:54,590 irrational انا بقول هذا الكلام مش صحيح ليش؟ خد هاي 247 00:18:54,590 --> 00:18:58,250 مثال هاي جدر التنين irrational ايش irrational؟ 248 00:18:58,250 --> 00:19:01,570 يعني عدد لا يمكن كتابته على صورة ألف على با حيث 249 00:19:01,570 --> 00:19:06,700 ألف وبا أعداد صحيحة وبلده ساوى سفرالجدر التنين مش 250 00:19:06,700 --> 00:19:09,940 irrational وجدر التنين برضه مش irrational حاصل ضرب 251 00:19:09,940 --> 00:19:15,860 هنا بساوة 2 اللي هو rational إذا فعلا لجينا مثال 252 00:19:15,860 --> 00:19:21,580 يبين لإن حاصل ضرب 2 irrational ليس شرطا إنه يطلع 253 00:19:21,580 --> 00:19:26,000 irrational عشان هيك هذه الجملة مش صحيحة عشان هيك 254 00:19:26,000 --> 00:19:30,520 بنسميها ده اسمه disprovedisprove كيف؟ بنجيب 255 00:19:30,520 --> 00:19:35,860 counter example بحقق الجزء اللي هو حاصل الضرب ما 256 00:19:35,860 --> 00:19:40,260 يطلع شمين المطلوب يعني هاي عندى two irrational is 257 00:19:40,260 --> 00:19:44,320 irrational مش صحيح وهي مثل جدر التنين irrational 258 00:19:44,320 --> 00:19:48,500 جدر التنين irrational وحاصل ضرب ما طلعش irrational 259 00:19:49,200 --> 00:19:52,280 طلع rational number و هذا بقولك the product of two 260 00:19:52,280 --> 00:19:55,520 irrational numbers يعني is not necessarily 261 00:19:55,520 --> 00:20:00,280 irrational يعني need not to be irrational وهي مثال 262 00:20:00,280 --> 00:20:04,380 نيجي للسؤال اللي بعده بقول prove that إذا كانت n 263 00:20:04,380 --> 00:20:08,400 بتساوي a في b هذا بيعطينا a أصغر أو ساوي جذر ال n 264 00:20:08,400 --> 00:20:12,140 or b أصغر أو ساوي جذر ال n حيث ال a و ال b عبارة 265 00:20:12,140 --> 00:20:16,440 عن أعداد صحيحة موجبة كمان مرة بدنا نثبت أنه لو كان 266 00:20:16,440 --> 00:20:22,070 n بتساوي a في bهذا سيعطينا او a أصغر او ساوى جدر 267 00:20:22,070 --> 00:20:25,850 الآن او b أصغر او ساوى جدر الآن بدا نثبت هذا عن 268 00:20:25,850 --> 00:20:28,710 طريق مين اللي هو ال contraposition ايش بنا نثبت 269 00:20:28,710 --> 00:20:33,570 بدا نفرض عكس المطلوب هايو بدا نفرض عكس هذا و نصل 270 00:20:33,570 --> 00:20:39,160 لعكس هذايعني بنفترض أنه a أصغر أو يسوي b or b أصغر 271 00:20:39,160 --> 00:20:43,200 أو يسوي جدر الان هذه مش صحيحة كيف جملة هذه على 272 00:20:43,200 --> 00:20:48,840 بعضها or مش صحيحة معناته a أكبر من جدر الان and b 273 00:20:48,840 --> 00:20:52,220 أكبر من جدر الان لأنه لا في الor اللي هو and زي ما 274 00:20:52,220 --> 00:20:56,640 احنا عارفين إذا الأن بنفترض عكس هذا يعني بنفترض 275 00:20:56,640 --> 00:21:00,780 أنه a أكبر من جدر الان and b أكبر من جدر الان منه 276 00:21:00,780 --> 00:21:04,900 بنصل ل a في b أكبر من جدر الان في جدر الان اللي هو 277 00:21:04,900 --> 00:21:08,050 الانمدام a أكبر من ال .. من ال .. من ال .. من ال a 278 00:21:08,050 --> 00:21:12,330 b أكبر من ال n إذا يعني ال a b لا تساوي ال n مدام 279 00:21:12,330 --> 00:21:15,470 a لا تساوي ال a b لا تساوي ال n معناه توصلنا لمين 280 00:21:15,470 --> 00:21:18,570 إلى عكس هذا وهذا معناته أنه احنا بال 281 00:21:18,570 --> 00:21:22,650 contrapositive فرضنا عكس هذه ووصلنا لعكس هذه 282 00:21:22,650 --> 00:21:26,050 فبتكون الجملة الأصلية هذه كلها على بعض صحيحة 283 00:21:26,050 --> 00:21:30,010 وبنكون هذا أثبتناها الجملة عن طريق ال 284 00:21:30,010 --> 00:21:34,420 contrapositive أو ال contrapositionيعني أثبتنا fn 285 00:21:34,420 --> 00:21:38,600 بيساوي a و a أصغر أو أصغر جدر الان او b أصغر أو 286 00:21:38,600 --> 00:21:43,340 أصغر جدر الان الآن في طريقة أخرى أخيرة أو قبل 287 00:21:43,340 --> 00:21:47,000 الأخيرة بالبرهان الهي proof by contradiction 288 00:21:47,000 --> 00:21:51,370 الإثبات عن طريق التناقضما هو الإثبات عن طريق 289 00:21:51,370 --> 00:21:55,410 التناقض؟ طبعاً هذه مهمة كمان اللي هي an important 290 00:21:55,410 --> 00:21:58,470 implication يعني بدنا نثبت بيه implies a Q إيش 291 00:21:58,470 --> 00:22:05,490 بنسوي؟ بنفترض عكس لـQ و بنصل لتناقض بنصل لإيش 292 00:22:05,490 --> 00:22:10,770 بناقض المُعطَى أو بناقض حقيقة إحنا بنعرفها يعني 293 00:22:10,770 --> 00:22:13,990 اللي هو proved by contradiction يتلخص فيما يليه 294 00:22:14,240 --> 00:22:23,880 بنقول Assume B and Assume Not Q وبنصل لتناقض تشوف 295 00:22:23,880 --> 00:22:28,440 كيف بنحصل على تناقض show that هي مثال if the 296 00:22:28,440 --> 00:22:31,820 square of an integer number is odd then the 297 00:22:31,820 --> 00:22:38,970 integer is odd بيقول إذا كان مربعاللي هي عدد is 298 00:22:38,970 --> 00:22:43,950 odd اثبت انه العدد نفسه ايش is odd يعني لو كان n 299 00:22:43,950 --> 00:22:49,510 تربيع odd هيعطينا الان is odd الان assume that 300 00:22:49,510 --> 00:22:52,910 hypothesis B of this implication is true نفترض 301 00:22:52,910 --> 00:22:56,290 اللي هو ال hypothesis ايش ماله الفرضية أنها صحيحة 302 00:22:56,810 --> 00:23:01,570 وبنفرض عكس المطلوب وبنقول and the conclusion if 303 00:23:01,570 --> 00:23:05,890 you is false وبنفرض إن اللي هو المطلوب أو ال 304 00:23:05,890 --> 00:23:10,090 conclusion مش صحيحة وبعدين then use roles of 305 00:23:10,090 --> 00:23:13,330 inference and non-theorems to deduce contradiction 306 00:23:13,330 --> 00:23:17,330 وبعدين نبدأ نستخدم اللي هو معلوماتنا من النظريات 307 00:23:17,330 --> 00:23:21,590 ومن الحقائق للوصول إلى تناقض خلينا نشوف هذا الكلام 308 00:23:21,590 --> 00:23:26,140 عمليًاالان نفترض الان assume x تربيع is odd هذا 309 00:23:26,140 --> 00:23:29,880 المعطى فرضناه المعطى زي ما هو بنصبهوش الان و إيش 310 00:23:29,880 --> 00:23:35,460 بدنا نفرض بدنا نفرض إنه المطلوب غير متحقق يعني 311 00:23:35,460 --> 00:23:40,500 بدنا نفرض إن x is not odd مدان x is not odd إذا x 312 00:23:40,500 --> 00:23:44,980 أكيد evenمدام .. لأن أي عدد في الدنيا يا even يا 313 00:23:44,980 --> 00:23:50,040 إيش يقض مدام X even إذا ال X تربيع لل even هيطلع 314 00:23:50,040 --> 00:23:54,640 even لأن X even معناته على صورة 2N 2N لكل تربيع 315 00:23:54,640 --> 00:23:59,080 معناته 4N تربيع يعني X تربيع 4N تربيع is even إذا 316 00:23:59,080 --> 00:24:03,480 وصلنا لعكس mean اللي هو المطلوب يعني وصلنا ل X 317 00:24:03,480 --> 00:24:08,750 تربيع is evenو احنا في الأصل عندي X تربيع is odd 318 00:24:08,750 --> 00:24:12,450 صار عندي X تربيع is even و في نفس الوقت X تربيع is 319 00:24:12,450 --> 00:24:18,010 odd وهذا اللي هو Contradiction لأن وصلنا ل X تربيع 320 00:24:18,010 --> 00:24:21,510 is odd في الأصل و X تربيع is even يعني not odd 321 00:24:21,510 --> 00:24:25,150 يعني وصلنا ل X تربيع is odd and not odd which is a 322 00:24:25,150 --> 00:24:31,480 contradictionTherefore الفرضية الأولى إن فرضنا عكس 323 00:24:31,480 --> 00:24:35,820 المطلوب مش صحيحة إذن لما ال X تربيع is odd لازم 324 00:24:35,820 --> 00:24:42,060 تطلع ال X is odd هذا المرهان by contradiction الآن 325 00:24:42,060 --> 00:24:47,840 نيجي ناخد مثال آخر المثال كمانيبقول let m و n 326 00:24:47,840 --> 00:24:51,540 element in n show that if m زاد n أصغر من 90 then 327 00:24:51,540 --> 00:24:56,880 m أصغر من 45 or n أصغر من 45 by contradiction كيف؟ 328 00:24:56,880 --> 00:25:00,840 بنفترض المعطوعة زي ما هو بنفترض أن m زاد n أصغر من 329 00:25:00,840 --> 00:25:06,580 90 وبنفترض عكس المطلوب إذا by contradiction بنفترض 330 00:25:06,580 --> 00:25:11,020 من عكس المطلوبمشابهة دير بالكم لـ Contraposition 331 00:25:11,020 --> 00:25:16,320 بس هنا إحنا بنصل هذا اللي بنصل بعد خطوات إلى شيء 332 00:25:16,320 --> 00:25:21,780 بناقض إما المطلوب أو المعطى بناقض المعطى أو بناقض 333 00:25:21,780 --> 00:25:26,090 حقيقة بنعرفهاأما في الـ Contraposition كنا نفترض 334 00:25:26,090 --> 00:25:29,390 عكس هذا و نصل لعكس هذا في الـ Contraposition مش 335 00:25:29,390 --> 00:25:34,130 شرط تصل لعكس هذا ممكن تصل لإيش بناقض احنا حقيقة 336 00:25:34,130 --> 00:25:39,150 بنعرفها و ممكن تصل طبعا لمين لاللي هو بناقض المعطى 337 00:25:39,150 --> 00:25:42,150 يعني بنكون اللي هو Contraposition و كأنها حالة 338 00:25:42,150 --> 00:25:46,720 خاصة من Contradictionshow that if M زيادة N أصغر 339 00:25:46,720 --> 00:25:50,080 من تسعين then M أصغر من خمسة واربعين or N أصغر من 340 00:25:50,080 --> 00:25:53,420 خمسة واربعين بدنا نفترض الأن suppose M زيادة N 341 00:25:53,420 --> 00:25:59,280 أصغر من تسعين and suppose عكس هذا عكس هذا يعني 342 00:25:59,280 --> 00:26:03,000 بدنا نفترض الأن assume M زيادة N أصغر من تسعين مش 343 00:26:03,000 --> 00:26:06,920 تسعة وتمانين هذا تسعين طبعا and بنفترض عكس هذا إيش 344 00:26:06,920 --> 00:26:11,380 عكس هذا أن M أكبر أو يساوي خمسة واربعين وفي نفس 345 00:26:11,380 --> 00:26:16,720 الوقت لأنه نفي ال or andand n أكبر ويساوي 45 الان 346 00:26:16,720 --> 00:26:21,360 then m زائد n طبعا احنا ماخدين m زائد n أصغر من 347 00:26:21,360 --> 00:26:29,820 100 من 90 من 90 بس أنا غلط بس كتابة m زائد n الان 348 00:26:29,820 --> 00:26:33,720 بما أن هذه أكبر من 45 وهذه أكبر من 45 إذا حاصل 349 00:26:33,720 --> 00:26:38,210 جمحن أكبر ويساوي 45اللي صارت عندي M زاد N أكبر 350 00:26:38,210 --> 00:26:42,690 وسوء وخمسة واربعين و M زاد N أصغر من تسعين إذا هذا 351 00:26:42,690 --> 00:26:46,830 contradiction therefore اللي هو الفرضية اللي 352 00:26:46,830 --> 00:26:50,590 فرضناها مش صحيحة يعني بمعنى أخر لما ال M زاد N 353 00:26:50,590 --> 00:26:54,390 أصغر من تسعين يعطينا ال M أصغر من خمسة واربعين or 354 00:26:54,390 --> 00:27:00,110 N أصغر من مين من خمسة واربعين هذه تسعين برضهالان 355 00:27:00,110 --> 00:27:03,910 اخر جزء في المحاضرة هيكون ان ال mathematical 356 00:27:03,910 --> 00:27:08,830 induction او الاستقراء الرياضي هي طريقة للبرهان 357 00:27:08,830 --> 00:27:13,610 لبرهان بعض الجمل المعينة اللي بتكون بدلالة اللي هي 358 00:27:13,610 --> 00:27:18,200 ال natural numbers او ال integersif we have a 359 00:27:18,200 --> 00:27:21,680 propositional function P of N لو كان في عندنا اللي 360 00:27:21,680 --> 00:27:26,240 هي جملة بتعتمد على اللي هي من على N اللي هي ال 361 00:27:26,240 --> 00:27:29,840 natural number و بدنا نثبت أنه هذه الجملة P of N 362 00:27:29,840 --> 00:27:34,420 صحيحة لكل natural number N طبعا احنا هنعتبر ال 363 00:27:34,420 --> 00:27:37,240 natural number اللي هي عبارة عن واحد اتنين تلاتة 364 00:27:37,240 --> 00:27:40,500 اربعة إلى مال انتهى مش هنعتبر السفر فيها في كل 365 00:27:40,500 --> 00:27:46,320 حديثنا اتفجنا نتفج عليك ان شاء اللهالان عشان نثبت 366 00:27:46,320 --> 00:27:49,240 هذه اللي هي ال بي of ان انها صحيحة على كل natural 367 00:27:49,240 --> 00:27:53,240 number بنعمل ما يلي اول اشي بنثبت انها صحيحة 368 00:27:53,240 --> 00:27:58,660 الجملة عند الان بتساوي واحد يعني بنثبت بي واحد is 369 00:27:58,660 --> 00:28:02,540 true show that بي واحد is true الخطوة الثانية هذه 370 00:28:02,540 --> 00:28:06,380 اللي بنسميها ال basic step الخطوة الثانية بنفترض 371 00:28:06,380 --> 00:28:12,790 ان ال بي صحيحة عند number kوبنثبت أنها صحيحة عند 372 00:28:12,790 --> 00:28:18,010 BK BK زائد واحد يعني بنفترض أنه B of K صحيحة 373 00:28:18,010 --> 00:28:23,050 وبنثبت B of K زائد واحد لكل K element in N الـ N 374 00:28:23,050 --> 00:28:25,970 هذا اللي بنسميها الـ B of K is true بنفرضها ده 375 00:28:25,970 --> 00:28:30,550 بنسميها induction hypothesisاللي هي فرضية 376 00:28:30,550 --> 00:28:36,190 الاستقراء a ومنها بنثبت bk زائد واحد لو خلصنا هذا 377 00:28:36,190 --> 00:28:40,950 الكلام هذه و هذه كلها على بعض أثبتناها بنكون 378 00:28:40,950 --> 00:28:45,510 أثبتنا اللي هو then b of n must be true for any n 379 00:28:45,510 --> 00:28:48,630 element in N هذا الطريقة بنسميها اللي هي ال 380 00:28:48,630 --> 00:28:53,290 mathematical induction أو الاستقراء الرياضي بنثبت 381 00:28:53,290 --> 00:28:57,260 الجملة صحيحة عند واحدبعدين مفترض أن صحة الجملة عند 382 00:28:57,260 --> 00:29:01,560 بك ومنها بنثبت أن نثبت صحة بك عند بك زائد واحد 383 00:29:01,560 --> 00:29:05,600 وبكون هي كأثبتنا أن هي صحيحة لكل أن element ان 384 00:29:05,600 --> 00:29:10,140 وخلّينا ناخد أمثلة عملية وهي أول مثال عملي بقول 385 00:29:10,140 --> 00:29:13,420 prove that واحد زائد تلاتة زائد خمسة زائد اتنين 386 00:29:13,420 --> 00:29:17,800 الناقص واحد بيساوي أن تربيع صحيحة هذا المقدار لو 387 00:29:17,800 --> 00:29:21,120 جمعته لبعض بيساوي دايما أن تربيع صحيحة لكل أن 388 00:29:21,120 --> 00:29:24,700 element انبندن اثبت هذه اللاحظة ان الجملة تعتمد 389 00:29:24,700 --> 00:29:27,500 على مين على الان اللي هي ايش ال natural numbers 390 00:29:27,500 --> 00:29:32,060 اذا ال mathematical induction بتظبط فيها طبعا هذه 391 00:29:32,060 --> 00:29:36,620 ايش معناته هي the sum of the first n odd integers 392 00:29:36,620 --> 00:29:40,600 يعني اول n من ال odd integers واحد زائد تلاتة زائد 393 00:29:40,600 --> 00:29:43,540 خمس زائد اتنين ان نقص واحد دول عدد ان ان لو جمعتها 394 00:29:43,540 --> 00:29:47,650 لبعض هيطلع ان بساوين ان تربيةالان مش هو هذا 395 00:29:47,650 --> 00:29:51,970 موضوعنا موضوعنا بنثبت ان هذه صحيحة دائما الان مثال 396 00:29:51,970 --> 00:29:54,730 عليها بس عشان نوضع عليها هذه اللي هي عبارة عن لو 397 00:29:54,730 --> 00:29:57,750 جيت جمعت واحد زائد تلاتة اللي هو عددين فرديين اللي 398 00:29:57,750 --> 00:30:01,810 هو اتنين تربيع اللي هي أربعة لو جيت جمعت العدد 399 00:30:01,810 --> 00:30:04,790 الأول فردي والتاني الفردي والتالت فردي هتطلع قداش 400 00:30:04,790 --> 00:30:10,170 اللي هي تسعة اللي هي تلتة تربيعأو 4 أعداد 1 2 3 4 401 00:30:10,170 --> 00:30:13,450 يعني واحد و تلات أو خمسة و سبعة اللي هو هيطلع 402 00:30:13,450 --> 00:30:19,150 قيمتنا 16 يعني أربعة تربية هذا بس مثال توضيحي لان 403 00:30:19,150 --> 00:30:22,090 نيجي لموضوعنا اللي هو برهان هذه by induction ال 404 00:30:22,090 --> 00:30:25,480 proofأول حاجة بدنا نثبت صحة الجملة هذه ال basic 405 00:30:25,480 --> 00:30:29,840 step الأولى بدنا نثبت صحة الجملة هذه صحيحة لمين 406 00:30:29,840 --> 00:30:34,920 لأن بتساوي واحد يعني لما نعوض هن بأن لازم يطلع 407 00:30:34,920 --> 00:30:38,820 الطرف الأيصر هذا بيساوي الطرف الأيمن لو عوضنا هن 408 00:30:38,820 --> 00:30:42,360 بأن طبعا لو عوضنا هن بأن واضح أنه بيطلع عندى واحد 409 00:30:42,360 --> 00:30:47,740 تربع يعني واحدطب نيجي نعوض هنا بان اللي هو لما انه 410 00:30:47,740 --> 00:30:51,020 بقى واحد بصير اتنين في واحد اللي هي اتنين نقص واحد 411 00:30:51,020 --> 00:30:54,060 واحد يعني مافيش اشي بجموع الا الواحد لحاله يعني 412 00:30:54,060 --> 00:30:57,980 هذه بس اللي هو اول term اللي هو الواحد الان the 413 00:30:57,980 --> 00:31:01,320 sum of the first odd number اللي هو واحد اللي هو 414 00:31:01,320 --> 00:31:05,280 الطرف الأيسر هذا وهذا بيساوي واحد تربيع والتانية 415 00:31:05,280 --> 00:31:09,210 متساويين مدام التانية متساويينإذا هذا الطرف بيساوي 416 00:31:09,210 --> 00:31:13,690 هذا for n بتساوي واحد إذا ال basic step بتحققت إذا 417 00:31:13,690 --> 00:31:17,630 صارت اللي هي الجملة دي صحيحة for n بتساوي واحد 418 00:31:17,630 --> 00:31:22,130 نيجي الآن نثبت إن افترض صحتها ال inductive step 419 00:31:22,130 --> 00:31:27,490 بدنا نقول assume that this is true for n بتساوي K 420 00:31:27,490 --> 00:31:31,470 إيش يعني؟ يعني بدنا نفرض صحة واحد زائد تلاتة زائد 421 00:31:31,470 --> 00:31:37,400 خمسة زائد مادة لل N K بنحط2k-1 تساوي الـ k تربيع 422 00:31:37,400 --> 00:31:41,340 يعني فرضنا صحة هذه الجملة عند n بتساوي k يعني 423 00:31:41,340 --> 00:31:45,700 عوضنا أنا k و أنا k الآن هذه صارت عندنا اللي هو 424 00:31:45,700 --> 00:31:51,460 مفترضين صحتها بدنا نثبت من خلالها أن الجملة صحيحة 425 00:31:51,460 --> 00:31:56,020 now we prove thatإن هذه صحيحة لـ K زائد واحد إيش 426 00:31:56,020 --> 00:32:00,280 معنات لـ K زائد واحد يعني لما ننشيل الان ونحط 427 00:32:00,280 --> 00:32:04,340 مكانها K زائد واحد بتصير واحد زائد تلاتة زائد خمسة 428 00:32:04,340 --> 00:32:08,440 زائد اتنين اللي هو K minus واحد زائد اللي هو آخر 429 00:32:08,440 --> 00:32:12,620 term هذا ميناللي هو اتنين في K زائد واحد نقص واحد 430 00:32:12,620 --> 00:32:16,780 يعني شيلت ال N هذه وحطيت مكانها K زائد واحد إذا 431 00:32:16,780 --> 00:32:19,780 كانت هذه مضايقاتكم سابقوها يعني أنا بقصد ونظل نجمع 432 00:32:19,780 --> 00:32:23,260 واحد زائد تلاتة زائد خمسة زائد سبعة لما نصل لآخر 433 00:32:23,260 --> 00:32:27,960 term هذا اللي حطينا مكان ال N اللي هو K زائد واحد 434 00:32:27,960 --> 00:32:32,370 شيلت ال N هيها وحطيت K زائد واحدبتثبت ان هذا بساوي 435 00:32:32,370 --> 00:32:36,530 هذا المقدار لما اشير لان هنا برضه احط كمان ايش K 436 00:32:36,530 --> 00:32:40,370 زائد واحد فبصير K زائد واحد لكل تربيع هذا الان هو 437 00:32:40,370 --> 00:32:44,850 اللي بدكبته لو أثبتت معناته و أثبتت صحة الجملة هذه 438 00:32:44,850 --> 00:32:48,550 في حالة الان بتساوي K زائد واحد يلا نشوف مع بعض 439 00:32:48,550 --> 00:32:53,090 طبعا اكيد بنستعيني بهذه اكيد تشوف الاننأخد الطرف 440 00:32:53,090 --> 00:32:57,870 الأيمن هذا الأن أول حاجة من هنا من induction 441 00:32:57,870 --> 00:33:02,130 hypothesis هيها هذه بيساوي K تربيعي يعني واحد زي 442 00:33:02,130 --> 00:33:06,230 تلتة زي خمسة زي اتنين K minus واحد بيساوي K تربيعي 443 00:33:06,230 --> 00:33:10,050 بتعتمد على هدف الوصول من الطرف الأيسر هنا للطرف 444 00:33:10,050 --> 00:33:13,490 الأيمن ناخد الطرف الأيسر هذا ماشي الحال هي الطرف 445 00:33:13,490 --> 00:33:17,130 الأيسر هذا ايش هو؟ هو عبارة عن واحد زي تلت زي 446 00:33:17,130 --> 00:33:22,900 اتنين كده نقص واحد زي مين زي هذا هذابدخل هذه بيصير 447 00:33:22,900 --> 00:33:28,560 اتنين K زائد اتنين ناقص واحد زائد اتنين ناقص واحد 448 00:33:28,560 --> 00:33:32,440 يعني واحد يعني بيصير هذا المقدر هو عبارة عن اتنين 449 00:33:32,440 --> 00:33:38,450 K زائد واحد هذا لما فكه بيصير اتنين K زائد واحدطيب 450 00:33:38,450 --> 00:33:43,110 الجزء الأول هذا كله هيو من هان لهان هيو ماتينايا 451 00:33:43,110 --> 00:33:46,190 في ال induction hypothesis كتربيع فبيصير هذه 452 00:33:46,190 --> 00:33:51,270 كتربيع مكان كل هذا المقدر بيضل كمان جنبه من اتنين 453 00:33:51,270 --> 00:33:56,030 كزائد واحد هذا زائد هذا اللي هو مفقوق كزائد واحد 454 00:33:56,030 --> 00:33:59,110 لكل تربيع زي ما انتوا عارفين يعني ايش اللي وصلنا 455 00:33:59,110 --> 00:34:06,290 له وصلنا لأن هذهاللي هي بتساوي هذه يعني صار اللي 456 00:34:06,290 --> 00:34:11,390 هي الجملة لما ثبتت هذه بتساوي هذه صارت الجملة اللي 457 00:34:11,390 --> 00:34:16,590 فوق صحيحة ل K زائد واحد مدام خلصنا أطبطنا صحيحة ل 458 00:34:16,590 --> 00:34:22,850 K زائد واحد نكون اللي هو ال conclusion اللي هي ال 459 00:34:22,850 --> 00:34:26,170 mathematical induction اكتملت معناته أنه صارت هذه 460 00:34:26,170 --> 00:34:32,680 الجملة صحيحة لكل element inالذي لم يتابع جيدًا في 461 00:34:32,680 --> 00:34:35,340 هذا المثال يتابع في المثال اللي بعده برضه عن 462 00:34:35,340 --> 00:34:37,600 الmathematical induction الان يستخدم 463 00:34:37,600 --> 00:34:41,240 الmathematical induction لكي يثبت أن واحد زاد 464 00:34:41,240 --> 00:34:45,520 اتنين زائد ان ساوي ان في ان زائد واحد هذا كله مجسم 465 00:34:45,520 --> 00:34:49,930 على اتنين لكل ان element انالان بدنا نستخدم اللي 466 00:34:49,930 --> 00:34:53,190 هو ال mathematical induction اللي اتبعت هذا اكيد 467 00:34:53,190 --> 00:34:56,290 ال mathematical induction ليش؟ لأنه بده يبقى اللي 468 00:34:56,290 --> 00:34:58,550 هو لكل n element in n يعني بدنا نتبع صحة الجملة 469 00:34:58,550 --> 00:35:03,630 هذه لكل ال natural numbers n قولنا ال natural 470 00:35:03,630 --> 00:35:08,120 numbers بنقصد فيها من واحد إلى مالة نهايةنيجي أول 471 00:35:08,120 --> 00:35:11,400 خطوة أول خطوة زي ما اتفجناش بنثبت .. بنثبت صحة هذه 472 00:35:11,400 --> 00:35:15,340 الجملة اللي سميتها واحد انا بتثبت صحتها لان بتساوي 473 00:35:15,340 --> 00:35:19,520 واحد يعني لما نعود في الطرف الأيسر بواحد لازم يطلع 474 00:35:19,520 --> 00:35:22,660 ل .. بيساوي الطرف الأيسر لما .. لأي من لما نعود 475 00:35:22,660 --> 00:35:26,420 فيه بواحد ده نجرب لان basic step for ان بتساوي 476 00:35:26,420 --> 00:35:31,780 واحدsince الان لما نعوض هنا بواحد بيصير بس واحد 477 00:35:31,780 --> 00:35:36,200 يعني ماكنت جمعتش ولا شي لسه بيساوي واحد لأن الطرف 478 00:35:36,200 --> 00:35:40,380 الأيمن هنا ايش هو بيصير واحد في واحد زائد واحد 479 00:35:40,380 --> 00:35:43,900 واحد زائد واحد اتنين في واحد بواحد يعني اتنين على 480 00:35:43,900 --> 00:35:49,270 اتنين يساوي واحد اذا بما ان هذا الطرفبساوي واحد 481 00:35:49,270 --> 00:35:53,450 بساوي اللي هو الطرف الأيصر إذا صارت اللي هي واحد 482 00:35:53,450 --> 00:35:57,110 هذه الجملة واحد مقصود فيها الجملة دي كلها صارت هذه 483 00:35:57,110 --> 00:36:01,910 الجملة واحد is true for one بتساوي واحد رقمتها انا 484 00:36:01,910 --> 00:36:05,850 واحد عساس ان أسهر يسهر سهل التعامل معها إذا صارت 485 00:36:05,850 --> 00:36:09,030 هذه عبارة عن صحيحة لان بتساوي واحد إذا ال basic 486 00:36:09,030 --> 00:36:13,830 step اتحققاتي الآن بدنا نفترض صحة بدنا نيجي إلى ال 487 00:36:13,830 --> 00:36:17,960 inductive stepاللي هي inductive hypothesis اللي هي 488 00:36:17,960 --> 00:36:23,100 فرضية الاستقرار اللي هي أش بتقول نفترض أن الجملة 489 00:36:23,100 --> 00:36:28,020 صحيحة assume that واحد is true for أن بتساوي كي 490 00:36:28,020 --> 00:36:32,200 بدنا نفترض أن صحة الجملة هذه لأن بتساوي كي مدام 491 00:36:32,200 --> 00:36:36,920 فرضنا صحتها لأن بتساوي كي إذا واحد زائد اتنين لما 492 00:36:36,920 --> 00:36:41,810 نقصل عند كيهيها هتساوي هذه K يا دماغها مش K مش N 493 00:36:41,810 --> 00:36:47,470 بتساوي K في K زائد واحد بتساوي K في K زائد واحد 494 00:36:47,470 --> 00:36:51,790 إذن مدام فرضت إن هذا صحيح على K بشيل ال N و بحط 495 00:36:51,790 --> 00:36:55,450 مكانها K وهذا اللي هي induction hypothesis ال N 496 00:36:55,450 --> 00:37:02,110 منها بدي أثبت now we prove that one is true for N 497 00:37:02,110 --> 00:37:06,550 إيش بتساوي K زائد واحد يعني بمعنى أخر إيش بدي أثبت 498 00:37:06,550 --> 00:37:12,720 we prove that1 زائد 2 زائد k زائد 1 ماشي الحال إذا 499 00:37:12,720 --> 00:37:15,480 واحد زائد اتنين لما الأصل عند k زائد واحد لأنه 500 00:37:15,480 --> 00:37:18,760 شيلت الان إشمالها k زائد واحد طبعا الجاب اللي k 501 00:37:18,760 --> 00:37:20,880 زائد واحد هي ال k زي ما احنا عارفين أنه بنجمع واحد 502 00:37:20,880 --> 00:37:23,890 زائد اتنين زائد تلت زائد أربعة الاخرينبدأ أثبت 503 00:37:23,890 --> 00:37:27,630 بساوة مين أشيل كل K و أضع مكانها K زائد واحد يعني 504 00:37:27,630 --> 00:37:31,690 K زائد واحد في اللي هي برضه K زائد واحد زائد واحد 505 00:37:31,690 --> 00:37:34,850 على اتنين يعني الآن أنا بدأ أثبت هذه الجملة 506 00:37:34,850 --> 00:37:38,990 بالاستعانة بمين بال induction hypothesis اللي 507 00:37:38,990 --> 00:37:43,150 فرضته هذا اللي هي دي K في K بساوة K في K زائد واحد 508 00:37:43,150 --> 00:37:46,910 على اتنين دعونا نشوف كده الآن ناخد الطرف الأيمن 509 00:37:46,910 --> 00:37:52,010 هذا proofنروف لهذه .. نروف لهذه هي عندنا أخدت 510 00:37:52,010 --> 00:37:56,750 الطرف الأيسر هنا هي من هنا لهنا بدأ أشيل هذا من 511 00:37:56,750 --> 00:38:00,970 هنا لهنا واحد زائد اتنين و أتقل عند ال K و أعوضها 512 00:38:00,970 --> 00:38:05,370 من هذا اللي فرضته هذا معناه جن عنها دي K حسب هنا 513 00:38:05,370 --> 00:38:10,050 إيش هذي بيصير بدل هذه من هنا لهنا اللي هي K في K 514 00:38:10,050 --> 00:38:13,830 زائد واحد على اتنين بعوض عنها بيصير K في K زائد 515 00:38:13,830 --> 00:38:18,790 واحد على اتنين زائد الأصلي هذه K زائد واحدالان هنا 516 00:38:18,790 --> 00:38:21,670 بده واحد المقامات هنا المقام اللي تحت واحد هنا 517 00:38:21,670 --> 00:38:26,310 اتنين بل لما واحدهم بيصير كيف ك زائد واحد زائد 518 00:38:26,310 --> 00:38:30,790 اللي هو مين اتنين في ك زائد واحد الكل على اتنين 519 00:38:30,790 --> 00:38:35,050 عشان واحدة المقاماتو يساوي الان هنا في عامل مشترك 520 00:38:35,050 --> 00:38:37,710 بقدر اخد ال K زائد واحد ايش ما لها عامل مشترك 521 00:38:37,710 --> 00:38:41,510 فباخد عامل مشترك من هنا اللي هي ال K زائد واحد من 522 00:38:41,510 --> 00:38:45,290 هنا بظل اللي هي ال K و هنا بظل التنين فبصير مضروبة 523 00:38:45,290 --> 00:38:48,770 في ال K زائد التنين و الكل مكسوم على اتنين هذه 524 00:38:48,770 --> 00:38:52,950 بالظبط هي عبارة عن K زائد واحد مضروبة في ال K زائد 525 00:38:52,950 --> 00:38:56,810 اتنين هي عبارة عن K زائد واحد زائد واحد على اتنين 526 00:38:56,810 --> 00:39:02,330 اذا صارت اللي هو هذا المقداربساوي هذا المقدار يعني 527 00:39:02,330 --> 00:39:08,730 أثبتت اللي هو هذه اللي هو أثبتت صحة واحد لمين لان 528 00:39:08,730 --> 00:39:12,610 بتساوي K زائد واحد ومدام أثبتتها لK زائد واحد 529 00:39:12,610 --> 00:39:15,910 معناته أنا اللي هو خلصت ال induction hypothesis 530 00:39:15,910 --> 00:39:19,570 معناته جملتيها دي صارت صحيحة لكل N element in N 531 00:39:19,570 --> 00:39:23,630 يعني لو لخصنا أيش اللي سوناه أثبتنا صحة هذه أول 532 00:39:23,630 --> 00:39:28,010 إشي لان بتساوي واحد و بعدين فرضنا صحتها لان بتساوي 533 00:39:28,010 --> 00:39:33,240 Kومنها أثبتنا صحتها ل K زائد واحد وهذا كله على بعض 534 00:39:33,240 --> 00:39:35,920 هو اللي بنسميه ال mathematical induction أو 535 00:39:35,920 --> 00:39:40,240 الاستقراء الرياضي وبكون هيك أثبتناها لكل N element 536 00:39:40,240 --> 00:39:43,540 in N ناخد مثال أخر شوفوا المثال صلوا على النبي 537 00:39:43,540 --> 00:39:46,600 عليه الصلاة والسلام اللي بيقول show that N أصغر من 538 00:39:46,600 --> 00:39:51,320 2N لكل N element in N طبعا عارفينها ديالان كيف 539 00:39:51,320 --> 00:39:54,420 نرتبطها؟ برضه بنرتبطها بـ Mathematical Induction 540 00:39:54,420 --> 00:39:58,880 لأنه اللي هي جملة تعتمد على اللي هو ال integers أو 541 00:39:58,880 --> 00:40:02,180 الأعداد الطبيعية نشوف ال proof أول حاجة ال basic 542 00:40:02,180 --> 00:40:06,380 stepال basic step اللي هي P of واحد هذا سمنها 543 00:40:06,380 --> 00:40:10,600 الجملة P of n يعني P of واحد يعني n عند n بتساوي 544 00:40:10,600 --> 00:40:15,400 واحد هذه بتساوي واحد وهذه بتساوي اتنين صح؟ اذا 545 00:40:15,400 --> 00:40:19,160 الواحد اصغر من اتنين اذا فعلا اللي هي n اللي هي 546 00:40:19,160 --> 00:40:23,700 واحد اصغر من اتنين is true دائما يعني صارت ال P 547 00:40:23,700 --> 00:40:27,660 واحد is true لإن الواحد اصغر من اتنين في واحد اللي 548 00:40:27,660 --> 00:40:31,640 هو بيساوي ايش اتنينالـ Inductive step بدنا نفترض 549 00:40:31,640 --> 00:40:37,060 الآن Assume that B of K is true وبدنا نثبت منها 550 00:40:37,060 --> 00:40:41,200 إنها BK زائد واحد is true إذن الآن بدنا نفترض إن B 551 00:40:41,200 --> 00:40:47,440 of K is true يعني نفترض صحة هذه الجملة عند K عند N 552 00:40:47,440 --> 00:40:52,240 بالساوية K مثلا مثلا هي عند K إذن K أصغر من 2Kطيب، 553 00:40:52,240 --> 00:40:56,560 لأن we need to show that B of K زائد واحد is true 554 00:40:56,560 --> 00:41:00,360 يعني بدنا نثبت صحة الجملة عند K زائد واحد، إيش 555 00:41:00,360 --> 00:41:04,460 يعني؟ بدنا نثبت صحة إن K زائد واحد هي أصغر من 556 00:41:04,460 --> 00:41:08,300 اتنين في K زائد واحد، لو أثبتنا هذه، بيكون خلصنا 557 00:41:08,300 --> 00:41:12,890 ال induction hypothesisطيب الان بدنا نتبت هذه الان 558 00:41:12,890 --> 00:41:17,530 بدي استخدم اكيد هذه عند ال K أصغر من ال 2 K ماشي 559 00:41:17,530 --> 00:41:21,870 الحال منها لو ضفت الان واحد ده الجهتين بيصير K 560 00:41:21,870 --> 00:41:26,810 زائد واحد أصغر من اتنين K زائد واحد اكيد بتطلع صح 561 00:41:26,810 --> 00:41:32,080 يعنيالان عند ال K زائد واحد اصغر من اتنين K زائد 562 00:41:32,080 --> 00:41:36,220 اتنين اكيد لان هذا زيادة عن هذا بواحد طيب من هدولة 563 00:41:36,220 --> 00:41:41,740 مع بعض التنتين بيصير اتنين K زائد واحد هذه اصغر من 564 00:41:41,740 --> 00:41:45,800 اتنين K اتنين في K زائد واحد اخدت اتنين ايه شمالها 565 00:41:45,800 --> 00:41:52,940 عامل مشترك الان اثبتت هذهمن هذه وهذه أثبتها من فوق 566 00:41:52,940 --> 00:41:57,840 التامتين مع بعض together بيصير عنده اللي هو k زائد 567 00:41:57,840 --> 00:42:01,700 واحد أصغر من هذه وهذه بدورها أصغر من هذه إذا 568 00:42:01,700 --> 00:42:05,660 بخاصية التعد هذه أصغر من هذه يعني k زائد واحد أصغر 569 00:42:05,660 --> 00:42:09,600 من اتنين في k زائد واحد وبهيك احنا بنكون أثبتنا 570 00:42:09,600 --> 00:42:14,000 اللي هو صحة الجملة عند k زائد واحد اللي هي اللي 571 00:42:14,000 --> 00:42:19,040 فوق هذه معناته إذا صارت صحيح على كل element inويا 572 00:42:19,040 --> 00:42:24,880 سيدي هاي كمان اللي هو الآن بنصل ل اللي هو عندي ال 573 00:42:24,880 --> 00:42:29,600 homework اللي بدنا ياه اللي هو للمحاضرة هذه كلها 574 00:42:29,600 --> 00:42:34,080 على طرق البرهان اللي هو ال direct proof أو ال 575 00:42:34,080 --> 00:42:37,700 indirect proof أو ال mathematical induction وإلى 576 00:42:37,700 --> 00:42:41,600 لقاء آخر السلام عليكم ورحمة الله وبركاته