1
00:00:20,960 --> 00:00:24,900
بسم الله الرحمن الرحيم ابتدأنا المرة الماضية بال

2
00:00:24,900 --> 00:00:29,980
eigenvalues وال eigenvectors عرفنا ال eigenvalue

3
00:00:29,980 --> 00:00:35,520
وال eigenvector واخذنا على ذلك ثلاثة أمثلة ولاحظنا

4
00:00:35,520 --> 00:00:42,140
أن eigenvalues قد تكون real وقد تكون complex وفي

5
00:00:42,140 --> 00:00:47,800
المثال الثاني طلعنا أن λ كانت real وفي المثال

6
00:00:47,800 --> 00:00:53,660
الثالث طلعنا λ complex وقد تكون مزيجا من ال

7
00:00:53,660 --> 00:00:58,700
complex و real في نفس المثال كما سنرى بعد قليل من

8
00:00:58,700 --> 00:01:03,500
خلال هذا المثال يبقى المثال بيفترض انه عندي

9
00:01:03,500 --> 00:01:08,000
المصفوفة A زي ما أنتم شايفين وطلب أني المطلوب

10
00:01:08,000 --> 00:01:11,260
الأول ال eigenvalues و ال eigenvectors لـ ال matrix

11
00:01:11,260 --> 00:01:16,340
A المطلوب الثاني قال هاتلي basis لكل eigenvector

12
00:01:16,340 --> 00:01:21,020
space بطلع عندنا بنقوله بسيطة تعالى نجيب اللي في

13
00:01:21,020 --> 00:01:25,260
الأول ال eigenvalues و ال eigenvectors اللي عندنا

14
00:01:25,260 --> 00:01:30,840
فبنجيب و نقول solution يبقى أول شغلة بروح نجيب

15
00:01:30,840 --> 00:01:39,000
المصفوفة λI ناقص ال A وتساوي هاي λ Zero

16
00:01:39,000 --> 00:01:44,860
Zero Zero λ Zero Zero λ بالشكل اللي عندنا

17
00:01:44,860 --> 00:01:50,220
هذا فاهمين في مصوفة الواحدة اللي هي I مطروح منها

18
00:01:50,220 --> 00:01:57,040
المصفوفة A Zero واحد واحد سالب واحد واحد سالب واحد و 1

19
00:01:57,040 --> 00:02:04,500
النتيجة كالتالي يبقى ال λ كما هي هنا ناقص واحد

20
00:02:04,500 --> 00:02:12,800
ناقص واحد هنا واحد فقط هنا ال λ ناقص واحد وهنا

21
00:02:12,800 --> 00:02:19,600
ناقص واحد الصف الثالث الصف الثالث اللي هو واحد

22
00:02:19,600 --> 00:02:28,180
وهنا سالب واحد وهنا λ ناقص واحد بالشكل اللي عندنا

23
00:02:28,180 --> 00:02:36,210
هذا بعد ذلك نجيب الـ determinant لمن؟ لـ λI

24
00:02:36,210 --> 00:02:43,770
ناقص الـ A يبقى نجيب المحدد لـ λI ناقص الـ A

25
00:02:43,770 --> 00:02:49,710
و من خلال فك هذا المحدد اللي سنفعله بالصفر نطلع

26
00:02:49,710 --> 00:02:54,190
القيم المختلفة لمن؟ لـ λI اللي عندنا يبقى

27
00:02:54,190 --> 00:02:59,510
هذا الكلام يجب أن يكون zero implies المحدد اللي

28
00:02:59,510 --> 00:03:06,010
قلناه يبقى هذه ال λ فيه المحدد الأصغر المناظر

29
00:03:06,010 --> 00:03:13,230
له يبقى λ ناقص واحد الكل تربيع ناقص واحد هذا

30
00:03:13,230 --> 00:03:19,650
الترم الأول الترم اللي بعده زائد واحد فيه نشطب صفه

31
00:03:19,650 --> 00:03:27,080
وعموده بيصير λ ناقص واحد نشطبنه صف وعموده

32
00:03:27,080 --> 00:03:33,320
λ ناقص واحد زائد واحد الترم الأخير ناقص واحد

33
00:03:33,320 --> 00:03:38,620
فيه نشطب صف وعموده بيصير سالب واحد سالب λ

34
00:03:38,620 --> 00:03:45,520
زائد واحد كل هذا الكلام بده يساوي zero يبقى هذه

35
00:03:45,520 --> 00:03:50,920
λ في λ تربيع ناقص اثنين λ زائد واحد

36
00:03:50,920 --> 00:03:58,200
ناقص واحد وهنا زائد λ وهنا زائد λ كمان بده

37
00:03:58,200 --> 00:04:04,750
يساوي مين؟ بده يساوي Zero طبعا ناقص واحد وزائد واحد

38
00:04:04,750 --> 00:04:11,770
مع السلامة يبقى صارت عندنا λ تكعيب ناقص اثنين

39
00:04:11,770 --> 00:04:17,890
λ تربيع زائد اثنين λ بده يسوي كده ايش؟ Zero

40
00:04:17,890 --> 00:04:23,430
لو أخذنا λ عامل مشترك بيظل عندنا مين؟ بيظل

41
00:04:23,430 --> 00:04:29,680
عندنا λ تربيع ناقص اثنين λ زائد اثنين كل

42
00:04:29,680 --> 00:04:34,340
هذا الكلام يبدو يساوي زيرو طبعا هذا لا نستطيع أن

43
00:04:34,340 --> 00:04:39,760
نحله اكواسي يبقى نروح ونستخدم القانون يبقى هذا

44
00:04:39,760 --> 00:04:47,420
يعطينا اما λ تساوي زيرو أو λ تساوي ناقص b

45
00:04:47,420 --> 00:04:54,140
يبقى زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ b تربيع ناقص

46
00:04:54,140 --> 00:05:01,970
أربعة a c على اثنين في a 

47
00:05:01,970 --> 00:05:08,750
ويساوي اثنين زائد أو ناقص طبعا ثمانية بشيل منها

48
00:05:08,750 --> 00:05:13,530
أربعة بظل أربعة بالسالب لو طلعت الأربعة برا بصير

49
00:05:13,530 --> 00:05:18,990
بـ اثنين الجذر التربيعي لسالب واحد اللي هو i كله على

50
00:05:18,990 --> 00:05:25,700
اثنين يبقى واحد زائد أو ناقص i إذا صار عندي λ

51
00:05:25,700 --> 00:05:30,400
real اللي هو بالزيرو و λ complex اللي هو i

52
00:05:30,400 --> 00:05:34,100
زائد واحد و i ناقص واحد و زي ما أنتم شايفين

53
00:05:34,100 --> 00:05:42,120
الجذران تخيليان ومترافقان في نفس الوقت فمن فكرة

54
00:05:42,120 --> 00:05:48,060
المحدد العنصر التالي كده من فكرة المحدد العنصر

55
00:05:48,060 --> 00:05:51,740
التالي صح يعني بساطة ال λ واحد في λ ناقص

56
00:05:51,740 --> 00:05:52,740
واحد زائد واحد

57
00:05:56,640 --> 00:06:03,200
هذه طيب نمشي معاك وبنعتبر كلامك صحيح وكلامك صحيح

58
00:06:03,200 --> 00:06:09,540
لغاية ما يثبت العكس 100% كيف؟ احنا بنفك باستخدام

59
00:06:09,540 --> 00:06:14,160
عناصر الصف الأول لهذا المحدد نقول لك ال

60
00:06:14,160 --> 00:06:19,880
determinant تمام؟ يبقى حسب شرط القاتل شرط شرط هذا

61
00:06:19,880 --> 00:06:25,940
مع السالب يبقى هذا الإشارة الموجبة بيصير واحد بعد

62
00:06:25,940 --> 00:06:31,580
ذلك أشطب صفه وعموده بيصير واحد في λ ناقص واحد

63
00:06:31,580 --> 00:06:37,140
ناقص ناقص ايش بيصير زائد يبقى λ ناقص واحد زائد

64
00:06:37,140 --> 00:06:42,640
واحد يبقى كلامي ولا كلامك مش مشكلة وجهات النظر قد

65
00:06:42,640 --> 00:06:49,360
تكون صحيحة وقد تكون غير صحيحة يبقى النتيجة تماما

66
00:06:49,360 --> 00:06:52,200
بيبقى من المياه ثلاث قيم واحدة واحدة واحدة

67
00:06:52,200 --> 00:06:54,400
واحدة واحدة واحدة واحدة واحدة واحدة واحدة

68
00:06:54,400 --> 00:06:56,320
واحدة واحدة واحدة واحدة واحدة واحدة

69
00:06:56,320 --> 00:06:59,280
واحدة واحدة واحدة واحدة واحدة واحدة

70
00:06:59,280 --> 00:07:00,340
واحدة واحدة واحدة واحدة واحدة واحدة

71
00:07:00,340 --> 00:07:03,840
واحدة واحدة واحدة واحدة واحدة واحدة

72
00:07:03,840 --> 00:07:03,980
واحدة واحدة واحدة واحدة واحدة واحدة

73
00:07:03,980 --> 00:07:12,480
واحدة واحدة واحدة واحدة

74
00:07:12,480 --> 00:07:20,240
الوا يبقى احنا λI ناقص ال a كله في ال vector

75
00:07:20,240 --> 00:07:24,000
x بدي يساوي zero مش هذه المعادلة الأساسية اللي

76
00:07:24,000 --> 00:07:27,640
عندنا دائما وابدا اذا بدنا نروح نطبقها على أرض

77
00:07:27,640 --> 00:07:32,850
الواقع λI ناقص a هي المصوفة هذه يبقى هذه

78
00:07:32,850 --> 00:07:37,470
المصفوفة اللي عندنا هذه اللي هي λ وهنا ناقص

79
00:07:37,470 --> 00:07:44,450
واحد ناقص واحد واحد λ ناقص واحد ناقص واحد

80
00:07:44,450 --> 00:07:51,130
واحد ناقص واحد λ ناقص واحد في x اللي هي x

81
00:07:51,130 --> 00:07:59,190
واحد x اثنين x ثلاثة بده يساوي zero zero zero بيد

82
00:07:59,190 --> 00:08:05,510
الشكل الآن بدي أبدأ أحط λ تساوي Zero لو λ

83
00:08:05,510 --> 00:08:09,750
حطيناها ب Zero بصير المعادلة على الشكل التالي هاي

84
00:08:09,750 --> 00:08:15,690
Zero وهنا ناقص واحد وهنا ناقص واحد وهنا واحد وهنا

85
00:08:15,690 --> 00:08:20,990
ناقص واحد وهنا ناقص واحد وهنا واحد وهنا ناقص واحد

86
00:08:20,990 --> 00:08:27,690
وهنا ناقص واحد كله في من؟ في X واحد X اثنين X

87
00:08:27,690 --> 00:08:35,720
ثلاثة بده يساوي Zero و Zero هذا الآن بناط بيعطيني لو

88
00:08:35,720 --> 00:08:41,400
ضربت ثلاث معادلات المعادلة الأولى x واحد بتروح بال

89
00:08:41,400 --> 00:08:47,580
zero يبقى ناقص x اثنين ناقص x ثلاثة بده يساوي zero

90
00:08:48,300 --> 00:08:57,500
المعادلة الثانية بتعطيني x1 - x2 - x3 بده يساوي 0

91
00:08:57,500 --> 00:09:07,060
المعادلة الثالثة x1 - x2 - x3 بده يساوي 0

92
00:09:10,090 --> 00:09:15,910
ثلاث معادلة لكن في الحقيقة اثنتين فقط لغير لأن

93
00:09:15,910 --> 00:09:20,470
المعادلة الثانية والمعادلة الثالثة نفس الشيء يبقى

94
00:09:20,470 --> 00:09:27,390
بناء عليه بقدر أستنتج من هذا الكلام أن هذه X2 زائد

95
00:09:27,390 --> 00:09:32,010
X3 بده يساوي Zero يعني باعتبار ضربت في سالب واحد

96
00:09:32,380 --> 00:09:42,040
وهذه سنزيلها كما هي لـ X1 - X2 - X3 يبدو يساوي 0 لو

97
00:09:42,040 --> 00:09:46,960
جيت جماعة يبقى هدول وهدول مع السلامة يبقى X1

98
00:09:46,960 --> 00:09:54,210
تساوي كم؟ تساوي 0 إذا لو كانت x واحد تساوي 0 بظل x

99
00:09:54,210 --> 00:10:00,310
اثنين زائد x ثلاثة يساوي 0 إذا بصير عندي هنا x اثنين

100
00:10:00,310 --> 00:10:07,450
زائد x ثلاثة بدي يساوي 0 يبقى x اثنين بدي يساوي سالب

101
00:10:07,450 --> 00:10:15,840
x ثلاثة إذا مادام جبت هذه القيام بقدر أقول لو كانت

102
00:10:15,840 --> 00:10:23,100
مثلا X3 بيه أو X2 بيه سيان يبقى باجي بقول هنا if

103
00:10:23,100 --> 00:10:34,140
ال X3 بده يساوي ايه then the eigenvectors

104
00:10:35,830 --> 00:10:39,490
يبقى الـ eigenvectors بتكون على الشكل التالي

105
00:10:49,180 --> 00:10:54,240
يبقى x1 أطلع عنها بالـ zero وهذا الـ zero و x2

106
00:10:54,240 --> 00:10:59,560
يبقى

107
00:10:59,560 --> 00:11:07,560
ناقص a و a بالشكل هذا أو a في zero سالب واحد واحد

108
00:11:07,560 --> 00:11:12,440
بالشكل اللي عندنا هنا طيب هذا كله حتى الآن هو

109
00:11:12,440 --> 00:11:18,280
المطلوب ايه من المثال؟ جالي هاتلي ال eigenvalues و

110
00:11:18,280 --> 00:11:21,460
ال eigenvectors اللي أصمصوه في ايه؟ بعدين جالي

111
00:11:21,460 --> 00:11:26,680
هاتلي basis for each eigenvector space يبقى نمرأ

112
00:11:26,680 --> 00:11:32,360
بإيه؟ السؤال هو مش هذا كل ال eigenvectors على

113
00:11:32,360 --> 00:11:35,800
الشكل اللي قدامي هذا يا بنات؟ يبقى مين اللي بيجيب

114
00:11:35,800 --> 00:11:40,430
ال eigenvectors كلها؟ هو ال element اللي عندنا هذا

115
00:11:40,430 --> 00:11:44,150
هو اللي بولده مدى كله اضرب فيها مين ما يكون ايه

116
00:11:44,150 --> 00:11:49,070
يكون any real number يبقى كل ال eigen vectors على

117
00:11:49,070 --> 00:11:52,650
الشكل اللي عندنا هذا يبقى هدول اللي بيكونون ال

118
00:11:52,650 --> 00:11:56,930
eigen vector space طب لما يكون عندي element واحد

119
00:11:56,930 --> 00:12:00,650
يكون linearly dependent ولا linearly independent

120
00:12:00,650 --> 00:12:07,990
vector واحد linearly dependent ولا linearly

121
00:12:07,990 --> 00:12:11,250
independent؟ إذا كنت تقول لي إنه linearly

122
00:12:11,250 --> 00:12:14,370
dependent سأقول لك إنه يعتمد على من؟ طب هم فيش

123
00:12:14,370 --> 00:12:18,570
غيره تمام؟ يبقى وايت بيكون؟ linearly independent

124
00:12:18,570 --> 00:12:23,370
مستقل تماما وبالتالي هذا ال element هو ال basis

125
00:12:23,370 --> 00:12:28,830
لكل ال eigen vector space إذا باجي بقول له هنا the

126
00:12:28,830 --> 00:12:45,540
basis for the eigenvector space corresponding to

127
00:12:45,540 --> 00:12:53,720
λ تساوي zero as ال vector اللي عندنا zero

128
00:12:53,720 --> 00:12:58,020
سالب واحد واحد بالشكل اللي عندنا

129
00:13:00,790 --> 00:13:06,790
خلصنا لو كانت مين؟ لو كانت λ تساوي zero الآن

130
00:13:06,790 --> 00:13:11,290
بدنا نيجي يا بنات لو كانت ال λ تساوي قدرش

131
00:13:11,290 --> 00:13:17,030
العنصر الثاني هو واحد زائد i الشكل اللي عندنا هنا

132
00:13:17,030 --> 00:13:20,590
إذا بدي أجي إلى مين؟ بدي أجي إلى المعادلة اللي

133
00:13:20,590 --> 00:13:27,830
عندنا هذه بدي أشيل كلها وأحط مكانها 1 زائد i لما

134
00:13:27,830 --> 00:13:34,350
أحط 1 زائد i مكان هذه يبقى وبدنا نيجي نكون

135
00:13:34,350 --> 00:13:38,670
المعادلة اللي عندنا هذه ونشوف ايش اللي بده يصير

136
00:13:39,400 --> 00:13:45,360
يبقى هذه نتيجة لما حطيت λ تساوي zero الحين أنا

137
00:13:45,360 --> 00:13:51,740
بدي أشيل λ واحط مكانها واحد زائد i يبقى if

138
00:13:51,740 --> 00:14:00,500
λ we have أن λI ناقص ال A في ال X بده

139
00:14:00,500 --> 00:14:06,020
يساوي يطلع لي هنا كويس هذه ال λ بده أشيلها واكتب

140
00:14:06,020 --> 00:14:13,060
بدالها واحد زائد i وعندك هنا ناقص واحد وهنا ناقص

141
00:14:13,060 --> 00:14:21,840
واحد وهنا واحد وهنا i زائد واحد وعندك ناقص واحد

142
00:14:21,840 --> 00:14:27,850
بيظل عندي بس هنا جدرش بس i وعندك هنا ناقص واحد كما

143
00:14:27,850 --> 00:14:34,230
هي وهنا واحد وهنا ناقص واحد وهنا كمان واحد زائد i

144
00:14:34,230 --> 00:14:41,730
بيظل i فقط لا غير في X واحد X اثنين X ثلاثة بده

145
00:14:41,730 --> 00:14:49,730
يساوي Zero Zero Zero يبقى الشلط كلها ده وحطيت

146
00:14:49,730 --> 00:14:55,170
مكانها واحد زائد i وبدنا نيجي نكون ال system of

147
00:14:55,170 --> 00:14:59,870
linear equations لو ضربنا وفكنا بصير المعادلة

148
00:14:59,870 --> 00:15:10,740
الأولى اللي هو X واحد زائد i في X واحد ناقص X2 ناقص

149
00:15:10,740 --> 00:15:22,290
X3 بيساوي 0 المعادلة الثانية X1 + i X2 اللي

150
00:15:22,290 --> 00:15:31,250
بعدها ناقص X3 بده يساوي Zero المعادلة الثالثة X1 X1

151
00:15:31,250 --> 00:15:42,890
ناقص X2 X1 ناقص X2 زائد i X3 بده يساوي Zero

152
00:15:46,690 --> 00:15:52,410
بدا نحل المعادلات مع بعضها ونطلع قيم ممكن بالروشن

153
00:15:52,410 --> 00:15:58,570
فورم أو بجاوسين أو بأي طريقة كانت أنا بفضل الآن

154
00:15:58,570 --> 00:16:04,150
الطريقة التالية لو جيت ضربت هذه في سالب واحد بيصير

155
00:16:04,150 --> 00:16:15,000
سالب X واحد سالب i X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

156
00:16:15,000 --> 00:16:18,620
X11 X12 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13

157
00:16:18,620 --> 00:16:18,760
X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13

158
00:16:18,760 --> 00:16:19,040
X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13

159
00:16:19,040 --> 00:16:20,000
X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13 X13

160
00:16:20,000 --> 00:16:32,230
X13 X13 X13 X13 زائد i X2 وناقص X ثلاثة يسوي من ال

161
00:16:32,230 --> 00:16:32,470
Zero

162
00:16:38,270 --> 00:16:46,390
يبقى هذه باقية لوحدها اللي همين ناقص i X1 زائد i

163
00:16:46,390 --> 00:16:54,030
زائد 1 في X2 بدري يساوي 0 هذا بدري يعطينا أن i

164
00:16:54,030 --> 00:17:05,570
زائد 1 في X2 بدري يساوي i X1 مرة ثانية بقول الآن

165
00:17:05,570 --> 00:17:09,510
جيت ضربت المعادلة الأولى في سالب واحد والمعادلة

166
00:17:09,510 --> 00:17:15,130
الثانية كما هي ما غيرتش فيها ولا حاجة يبقى هذه

167
00:17:15,130 --> 00:17:20,270
وصلتني لإيه صار هنا سالب هنا سالب هنا موجب هنا

168
00:17:20,270 --> 00:17:24,700
موجب المعادلة الثانية نزلتها زي ما هي هدول بيروحوا

169
00:17:24,700 --> 00:17:30,360
مع بعض وهذول بيروحوا هدي وهدي بياخد X2 عامل مشترك

170
00:17:30,360 --> 00:17:35,740
بيظل i زيادة واحد وهدي نزلتها زي ما هي نجلتها على

171
00:17:35,740 --> 00:17:40,800
الشجرة الثانية صار i زيادة واحد X2 بده يساوي i X

172
00:17:40,800 --> 00:17:46,430
واحد الآن اللي عملته هنا بدي اعمله مرة ثانية ما بين

173
00:17:46,430 --> 00:17:51,290
المعادلة الأولى والمعادلة الث

201
00:20:25,320 --> 00:20:30,480
يعطينا ما يأتي: هل المعادلة التي فوق هي نفس

202
00:20:30,480 --> 00:20:36,020
المعادلة التي تحت؟ مظبوط؟ يبقى هي نفسها حرفياً يبقى

203
00:20:36,020 --> 00:20:40,040
هذول مش معادلتين وإنما من؟ معادلة واحدة مدام 

204
00:20:40,040 --> 00:20:45,980
معادلة واحدة، إذا بقدر أقول هنا عندنا بدي يكون x

205
00:20:45,980 --> 00:20:53,480
واحد زائد اللي هو I ناقص واحد في الـ x2 بدي

206
00:20:53,480 --> 00:21:01,720
يساوي صفر أو الـ X1 بده يساوي 1 ناقص I في main

207
00:21:01,720 --> 00:21:07,000
بالـ X2 نجلناها على الشجة الثانية وأجى بإشارة main

208
00:21:07,000 --> 00:21:09,340
بإشارة سالب

209
00:21:29,010 --> 00:21:34,170
بناء على اللي عليها بقدر أجيب الـ eigenvectors يبقى

210
00:21:34,170 --> 00:21:39,490
باجي بقول هنا the eigenvectors

211
00:21:39,490 --> 00:21:46,550
corresponding to

212
00:21:48,910 --> 00:21:56,050
corresponding to lambda يساوي I زائد واحد والله

213
00:21:56,050 --> 00:22:05,450
واحد زائد I are in the form على الشكل التالي اللي

214
00:22:05,450 --> 00:22:11,800
هو main الحد الأولاني أو X واحد كانت بواحد ناقص I

215
00:22:11,800 --> 00:22:18,060
اللي هو واحد اه استنى شوية ما حطناش رموز احنا احنا

216
00:22:18,060 --> 00:22:25,670
قلنا بس يبقى هذه باجي بقوله هنا F مثلاً x2

217
00:22:25,670 --> 00:22:33,450
تساوي ايه؟ إذا اكتب

218
00:22:33,450 --> 00:22:40,110
هالك أوضع شوية فباجي بقول x1 و x2 و

219
00:22:40,110 --> 00:22:46,630
x3 بده يساوي x1 طلعناها عنا بقدرش 

220
00:22:46,630 --> 00:22:54,070
بواحد ناقص I في x2 يبقى 1 ناقص I في A و x

221
00:22:54,070 --> 00:23:00,270
2 ب A و x3 ب A كذلك اللي هو بده يساوي A

222
00:23:00,270 --> 00:23:06,390
في 1 ناقص I و هنا 1 1 بالشكل اللي عندنا

223
00:23:06,390 --> 00:23:06,610
هنا

224
00:23:24,200 --> 00:23:32,100
هي المجموعة اللي همين 1 ناقص I وهنا 1 وهنا

225
00:23:32,100 --> 00:23:37,710
1 بالشكل اللي عندنا هنا يبقى اللي عملته لل eigen

226
00:23:37,710 --> 00:23:42,070
value I زي واحد بيروح أعمله الـ eigen value الأخيرة

227
00:23:42,070 --> 00:23:48,310
اللي هي 1 ناقص I يبقى باجي بقوله if lambda تساوي

228
00:23:48,310 --> 00:23:57,790
1 ناقص I then lambda I ناقص الـ A في الـ x يساوي

229
00:23:57,790 --> 00:23:59,090
Zero implies

230
00:24:01,550 --> 00:24:08,510
هذا الكلام يبقى مكان اللي بدي أضيفه من؟ 1 ناقص

231
00:24:08,510 --> 00:24:14,910
I يبقى I 1 ناقص I وهنا ناقص 1 وهنا ناقص 1

232
00:24:14,910 --> 00:24:26,020
1 وهنا 1 ناقص I بصير هنا ناقص I وهنا ناقص

233
00:24:26,020 --> 00:24:33,620
1 كما هي وهنا 1 ناقص 1 وهنا 1 ناقص I

234
00:24:33,620 --> 00:24:41,620
يبقى كمان ناقص I في x1 x2 x3 بده

235
00:24:41,620 --> 00:24:46,440
يساوي صفر و صفر و صفر يبقى هذه المعادلة اللي

236
00:24:46,440 --> 00:24:49,900
عندي كتبت على الشكل هذا يبقى الآن بدي أضرب

237
00:24:49,900 --> 00:24:56,020
المصفوفتين وساوي الطرفين ببعض في خطوة واحدة إذا

238
00:24:56,020 --> 00:25:03,940
المعادلة الأولى x1 ناقص I x2 يبقى x1

239
00:25:03,940 --> 00:25:22,860
ناقص IX1 - IX1 - X2 - X3 == 0 المعادلة X1 - IX2

240
00:25:22,860 --> 00:25:25,760
- IX2

241
00:25:27,710 --> 00:25:36,930
ناقص x3 بده يساوي 0 المعادلة الثالثة اللي هو x1

242
00:25:36,930 --> 00:25:46,070
ناقص x2 ناقص i x3 بده يساوي من؟ بده يساوي الـ 0

243
00:25:50,270 --> 00:25:57,590
طيب ايش رأيك لو جينا ضربنا المعادلة الأولى في I لو 

244
00:25:57,590 --> 00:26:04,590
جيت ضربت المعادلة هذه في I ايش بصير؟ I X 1 هذه 

245
00:26:04,590 --> 00:26:10,730
بنيت I في I I تربيع I تربيع ناقص 1 مع ناقص بصير

246
00:26:10,730 --> 00:26:20,790
زائد X1 ناقص I X2 ناقص I X3 بده يسوي 0 هذه

247
00:26:20,790 --> 00:26:32,070
المعادلة بدي أخليها زي ما هي X1 ناقص I X2 ناقص X

248
00:26:32,070 --> 00:26:41,990
3 بده يسوي 0 ايش عملت لي هذه؟ كيف؟ هذه؟

249
00:26:43,220 --> 00:26:52,160
هذه I X1 هنا زائد X1 مظبوط وهنا ناقص I X2 ناقص

250
00:26:52,160 --> 00:27:02,280
I X3 بده يساوي صفر هذه X1 ناقص I X2 ناقص X3

251
00:27:02,280 --> 00:27:08,360
مظبوط ضرب لكن هل جاب لي هذا نتيجة أم لا ما جاب لي

252
00:27:08,360 --> 00:27:16,200
ولا حاجة إلا إذا كان ضربت الثانية في سالب 1 اه

253
00:27:16,200 --> 00:27:19,700
لو ضربت الثانية في سالب 1 بمشي الحال يبقى اضرب 

254
00:27:19,700 --> 00:27:23,960
الثانية في سالب 1 يبقى ايه؟ السالب 1 وهي موجب

255
00:27:23,960 --> 00:27:28,960
وهي موجب هيك جبنا نتيجة صحيحة تمام؟ يبقى لو جيت

256
00:27:28,960 --> 00:27:30,280
جماعة يا بنات

257
00:27:33,000 --> 00:27:38,400
بتروح هذه و هذه و هذه و هذه مع السلامة بظل عندنا

258
00:27:38,400 --> 00:27:46,760
من؟ بظل عندنا ما يأتي اللي هو I X1 و بظل عندنا

259
00:27:46,760 --> 00:27:55,920
هنا ناقص I ناقص 1 X3 بده يسوى صفر يبقى بناء

260
00:27:55,920 --> 00:27:58,460
عليه I ناقص 1

261
00:28:12,940 --> 00:28:16,020
هذا الكلام كله مش لازم الآن

262
00:28:20,410 --> 00:28:26,870
يبقى المعادلة الثانية هذه لو جيت ضربتها كمان في

263
00:28:26,870 --> 00:28:37,710
سالب  في I يبقى بصير I X1 زائد X1 هنا زائد

264
00:28:37,710 --> 00:28:45,260
والله ناقص I X2 ناقص I X3 بده يسوى صفر هذه هنا

265
00:28:45,260 --> 00:28:53,380
بدها ضربها في ناقص يبقى ناقص X1 زائد X2 هنا 

266
00:28:53,380 --> 00:29:00,040
ضربناها في ناقص بيصير زائد I X3 بده يساوي صفر

267
00:29:00,040 --> 00:29:09,440
هدول مع السلامة طيبهو I X3 و سالب I X3 مع

268
00:29:09,440 --> 00:29:18,620
السلامة يبقى ضال عندنا هنا من؟ اللي هو سالب

269
00:29:18,620 --> 00:29:29,700
I زائد ناقص 1 X2 زائد I X1 بدري يساوي صفر أو اللي 

270
00:29:29,700 --> 00:29:37,810
همين I ناقص 1 في الـ X2 بدري يساوي I X1 طلع لي في

271
00:29:37,810 --> 00:29:41,590
الاثنين هذول يا بنات النتيجة اللي وصلنا لها و

272
00:29:41,590 --> 00:29:45,090
النتيجة اللي وصلنا لها يبقى اثنين هذول ما لهم

273
00:29:45,090 --> 00:29:50,390
بيساووا بعض يبقى مدام بيساووا بعض يبقى هذا بد

274
00:29:50,390 --> 00:29:56,450
يظهر ان I ناقص 1 في الـ X2 يساوي I ناقص 

275
00:29:56,450 --> 00:30:03,030
1 في الـ X3 يبقى كمان X2 بد يساوي من؟

276
00:30:03,030 --> 00:30:10,710
بد يساوي X3 بداية للمعادلة الثانية والثالثة 

277
00:30:10,710 --> 00:30:16,030
تمام زي المرة الماضية يبقى المعادلة الثانية ها دي

278
00:30:16,030 --> 00:30:22,690
ها ها بالضبط تماماً باجي بقول هاي X1 ناقص I X 

279
00:30:22,690 --> 00:30:28,490
2 ناقص X2 شيلنا X3 وحطينا بدلها X

280
00:30:28,490 --> 00:30:36,640
2 يساوي صفر والمعادلة الثانية X1 ناقص X2

281
00:30:36,640 --> 00:30:44,900
ناقص I X2 كله بده يساوي صفر لاحظ ان المعادلة هذه

282
00:30:44,900 --> 00:30:49,380
هي نفس المعادلة فوق يبقى هدول معادلتين إذا هدول

283
00:30:49,380 --> 00:30:58,560
الاثنتين في الحقيقة هي معادلة واحدة وهي X1 ناقص

284
00:30:58,560 --> 00:31:05,600
I زائد 1 X2 بده يساوي صفر إذا هذا الكلام

285
00:31:05,600 --> 00:31:12,640
بده يعطينا ان X1 بده يساوي I زائد 1 في X 

286
00:31:12,640 --> 00:31:19,580
2 إذا بالمثل لو جيت قلت لو كانت X2 تساوي

287
00:31:19,580 --> 00:31:20,240
A

288
00:31:22,840 --> 00:31:32,020
الـ X1 بدر يساوي I زائد 1 في الـ A والـ X2 بدر

289
00:31:32,020 --> 00:31:40,040
يساوي A والـ X3 بدر يساوي الـ A إذا بقدر أجيب اللي

290
00:31:40,040 --> 00:31:47,740
هو الـ Eigen vector Z يبقى باجي بقوله هنا

291
00:31:53,120 --> 00:32:03,600
Eigen vectors corresponding to 

292
00:32:03,600 --> 00:32:17,240
lambda تساوي الـ 1 ناقص I 1 ناقص I are 

293
00:32:17,240 --> 00:32:28,460
in the form بالشكل التالي X1 X2 X 

294
00:32:28,460 --> 00:32:35,300
3 تساوي X1 تفاجأنا اللي هي بقدرش أي زائد 

295
00:32:35,300 --> 00:32:43,840
1 في أي أي زائد 1 في أي و أي و أي بشكل لأن

296
00:32:43,840 --> 00:32:51,140
هذا أو بنقدر نقول الـ A في A زائد 1 1 1

297
00:32:51,910 --> 00:32:58,290
يبقى كأنه تماماً زي من؟ زي اللي عندنا هذا مع الفارق

298
00:32:58,290 --> 00:33:03,570
المركبة الأولى بدل ما هي 1 زي die المرافق لها

299
00:33:03,570 --> 00:33:09,590
وهي 1 ناقص I يبقى باجي بقوله هنا نمرة بيه the

300
00:33:09,590 --> 00:33:19,390
basis for the eigen vector space

301
00:33:21,390 --> 00:33:27,530
is the set هي عبارة عن الـ set اللي فيها vector 

302
00:33:27,530 --> 00:33:35,390
1 I زائد 1 1 بالشكل اللي عندنا هنا حد 

303
00:33:35,390 --> 00:33:37,990
فيكم لأي تساؤل هنا؟

304
00:33:40,590 --> 00:33:45,490
على أي حال، هذه السؤالة ربط بين المثالين السابقين

305
00:33:45,490 --> 00:33:51,790
المثال الرقم 2 كان كله الأعداد الحقيقي والمثال

306
00:33:51,790 --> 00:33:56,550
الثالث كان كله الأعداد التخيلية إذا قد يكون الأعداد

307
00:33:56,550 --> 00:34:01,050
الـ Eigenvalues هي مزيج بين القيم الحقيقية والقيم

308
00:34:01,050 --> 00:34:06,380
التخيلية كما في المثال اللي بين إيدينا هذاعلى أي 

309
00:34:06,380 --> 00:34:12,840
حال هنا stop انتهى هذا section وبانتهى هذا 

310
00:34:12,840 --> 00:34:18,980
section نأخذ الأسئلة تبعته ثم نذهب إلى الـ section 

311
00:34:18,980 --> 00:34:26,060
الذي يليه يبقى بدنا المسائل من 1 لـ 15 يبقى

312
00:34:26,060 --> 00:34:33,480
exercises 4.1 المسائل من 1 لـ 15 

313
00:34:37,360 --> 00:34:41,980
أنت أنا ما آسف مش 4.1 4.2 مش لازمنا

314
00:34:41,980 --> 00:34:45,360
بنروح لـ 4.3

315
00:35:05,760 --> 00:35:10,080
يبقى section 4.3 اللي هو الـ

316
00:35:10,080 --> 00:35:12,380
diagonalization

317
00:35:19,230 --> 00:35:25,430
هيش diagonalization جاء من كلمة diagonal تمام

318
00:35:25,430 --> 00:35:29,430
diagonal اللي هو قطري diagonalization كيف بيدخلي

319
00:35:29,430 --> 00:35:34,990
المصفوفات اللي عندنا مصفوفة قطرية فقط يعني كيف جميع 

320
00:35:34,990 --> 00:35:40,790
العناصر أسفرا ما عدا عناصر القطر الرئيسي هنعطي

321
00:35:40,790 --> 00:35:46,090
definition ونشوف كيف نطبق هذا الـ definition يبقى

322
00:35:46,090 --> 00:36:03,280
definition بقول if A and B are two n by n matrices

323
00:36:03,280 --> 00:36:06,300
مصفوفات

324
00:36:06,300 --> 00:36:15,600
نظام n في n we say that we say that أن الـ A is

325
00:36:15,600 --> 00:36:17,700
similar

326
00:36:21,820 --> 00:36:29,300
similar to B if there exists a non singular

327
00:36:29,300 --> 00:36:41,920
matrix if there exists a non singular matrix

328
00:36:41,920 --> 00:36:45,180
capital

329
00:36:45,180 --> 00:36:49,120
K such that

330
00:36:53,440 --> 00:37:08,360
بحيث أن الـ B بده يساوي K inverse A K

331
00:37:08,360 --> 00:37:14,740
مارك نمرا

332
00:37:14,740 --> 00:37:35,070
1 if A if A is similar to B then B is

333
00:37:35,070 --> 00:37:52,040
similar to A نمرا 2 A is similar to itself 

334
00:38:24,360 --> 00:38:29,880
هنعمل عملية الـ diagonalization ببعض التعريفات

335
00:38:29,880 --> 00:38:32,740
التعريف الأول اللي عندنا بيقول

336
00:38:55,670 --> 00:39:03,170
ماذا نقول احنا؟ أيوة أنتِ، ماذا نقول؟ خليكي معانا

337
00:39:03,170 --> 00:39:08,250
وإلا، ديني بالك، بضلك برا تفكري براعتك، تصريش،

338
00:39:08,250 --> 00:39:13,050
خليكي معانا، تصريش من بني سرحان، طيب، نيجي الآن

339
00:39:13,050 --> 00:39:18,470
مرة ثانية بقول مرة ثانية لكي يخد باله الجميع بقول

340
00:39:18,470 --> 00:39:24,430
الآن عندي مصفوفتين A و B اثنتين هذول نظامهم infinite

341
00:39:24,430 --> 00:39:29,590
اثنتين من نفس النظام بقول أن الـ A هي similar to B

342
00:39:29,590 --> 00:39:35,470
إذا قدرت تلاقي مصفوفة أخرى K بحيث المصفوفة هذه ايش

343
00:39:35,470 --> 00:39:42,190
كتب عليها؟ non singular يعني ايش؟ يعني المحدد ده 

344
00:39:42,190 --> 00:39:47,050
يساوي صفر يعني المعكوس موجود تبعها تمام؟ إذا كنت

345
00:39:47,050 --> 00:39:51,730
ألاجي مصفوفة K بحيث المعكوس هيكون موجود وبالتالي 

346
00:39:51,730 --> 00:39:58,090
تبقى B تساوي K inverse في A K إن حدث ذلك بقول يبقى

347
00:39:58,090 --> 00:40:04,680
A similar to B طيب كويس الـ remark بتقول لو كانت الـ

348
00:40:04,680 --> 00:40:10,780
A similar to B then B similar to A لحظة ما يأتي

349
00:40:10,780 --> 00:40:15,340
لما تبقى هذه ك .. هذه بدي تكون main المعكوس تبعها

350
00:40:15,340 --> 00:40:19,300
يعني أيش ما تكون المصروفة هذه بديها تكون هذه main 

351
00:40:19,300 --> 00:40:23,660
هذه المعكوس تبعها طيب بدنا نثبت أن لو كانت الـ A

352
00:40:23,660 --> 00:40:28,840
similar to B then B similar to A يبقى بدجي أقول

353
00:40:28,840 --> 00:40:39,310
لأن الـ A be similar to B هذا معناه ايش؟ there 

354
00:40:39,310 --> 00:40:49,210
exist A there exist A non singular matrix 

355
00:40:49,210 --> 00:40:53,070
K 

356
00:40:53,070 --> 00:41:04,920
such that بحيث أن الـ B بدي يساوي K inverse AK يبقى 

357
00:41:04,920 --> 00:41:10,660
أنا طبقنا التعريف مباشرة هذه تقرأ من أن A similar 

358
00:41:10,660 --> 00:41:16,520
to B أنا بدي أثبت من أن B similar to A طب كويسة من

359
00:41:16,520 --> 00:41:20,800
أت أيه ايش رأيكم؟ بالداخل المصوفة هذه اضربها من 

360
00:41:20,800 --> 00:41:25,040
جهة اليمين في K inverse واضربها من جهة الشمال في

361
00:41:25,040 --> 00:41:35,450
من؟ في K يبقى بناء عليه بصير عندنا هنا K بك انفرس بده

362
00:41:35,450 --> 00:41:45,850
يساوي K في الـ K inverse في الـ A في الـ K K inverse

363
00:41:45,850 --> 00:41:50,070
بالشكل اللي عندنا هذا ايش بيعطينا؟

364
00:41:52,890 --> 00:41:56,130
و مصفوفة الواحدة تضربها في أي مصفوفة، ماذا بتعطيك؟

365
00:41:56,130 --> 00:42:04,030
نفس المصفوفة يبقى بصير عندنا الـ A تساوي K في الـ B 

366
00:42:04,030 --> 00:42:10,210
في الـ K inverse بالشكل اللي عندنا هذا هذا معناه ان

367
00:42:10,210 --> 00:42:16,530
B similar to A؟ لا مش صحيح بالشكل هذا لا أنا بدي 

368
00:42:16,530 --> 00:42:22,730
الأولى inverse والثانية بدون مظبوط لكن K هادي بقدر

369
00:42:22,730 --> 00:42:27,650
أكتبها K inverse inverse صح ولا لا؟ مش المصفوفة ايه

370
00:42:27,650 --> 00:42:32,350
تساوي A inverse inverse يبقى بقدر أكتب هادي على 

371
00:42:32,350 --> 00:42:41,240
الشكل التالي أن الـ A يساوي K inverse Inverse B 

372
00:42:41,240 --> 00:42:47,220
K إنفرس يبقى

401
00:46:16,690 --> 00:46:24,070
الآن B اللي بدنا إياها هي عبارة عن K inverse 

402
00:46:24,070 --> 00:46:31,010
ويساوي K inverse طلعناها 2 سالب 1 سالب 1

403
00:46:31,010 --> 00:46:39,410
1 في مين في اللي هو الـ a 1 1 ناقص 2

404
00:46:39,410 --> 00:46:44,950
4 في المصوفة K itself بالشكل اللي عندنا هنا

405
00:46:44,950 --> 00:46:51,110
اللي أنا أقولش اللي احنا رفعينه diagonalization

406
00:46:51,110 --> 00:46:55,730
عارفين حصل الضرب لازم يعطيني الـ diagonal matrix

407
00:46:55,730 --> 00:47:00,550
وإلا بصير في عندي غلطة يبقى تأكد أن اللي بدي يطلع

408
00:47:00,550 --> 00:47:06,070
عندي هو diagonal matrix يبقى هذا الكلام بده يساوي

409
00:47:06,070 --> 00:47:10,490
هذه المصوفة الأولى اللي 2 سالب 1 سالب 1

410
00:47:10,490 --> 00:47:15,550
و1 بدي أضرب هدول في بعض منها الصف الأول في 

411
00:47:15,550 --> 00:47:18,370
العمود الأول أظن بيعطيني 2 هيك صح؟

412
00:47:37,200 --> 00:47:42,820
مظبوط حصلت ضربك؟ يساوي

413
00:47:43,600 --> 00:47:46,700
مصوفة اللي عندنا هذا برضه الصف الأول في العمود

414
00:47:46,700 --> 00:47:52,700
الأول هي 4 ونقص 2 بطلع 2 الصف الثاني

415
00:47:52,700 --> 00:47:57,320
في العمود 2 في 3 بـ 6 ونقص 6 بجداش

416
00:47:57,320 --> 00:48:02,320
بـ 0 الصف الثاني في العمود الأول ناقص 2 وزايد

417
00:48:02,320 --> 00:48:07,580
2 يبقى 0 الصف الثاني في العمود الثاني يبقى

418
00:48:07,580 --> 00:48:13,270
سالب 3 وزايد 6 بجداش بـ 3 بالشكل اللي عندنا

419
00:48:13,270 --> 00:48:19,470
هذا يبقى أسوحة المصفوفة اللي عندنا 2 0 0 3 لحظة هذا

420
00:48:19,470 --> 00:48:24,590
مين هذا هو الـ diagonal matrix يبقى هذا هو الـ

421
00:48:24,590 --> 00:48:28,310
diagonal الـ matrix اللي عندنا بالضبط تماما يبقى

422
00:48:28,310 --> 00:48:34,390
شغلنا خلال هذا الـ section كله كيف أحول المصفوفة

423
00:48:34,390 --> 00:48:40,400
إلى مين إلى diagonal matrix لحظة لو رحنا ندور على

424
00:48:40,400 --> 00:48:45,120
2 و الـ 3 دول مين هم هدول اللي جايين هم الـ

425
00:48:45,120 --> 00:48:50,100
eigenvalues أول ما بدينا الـ eigenvalues أخذنا أول

426
00:48:50,100 --> 00:48:54,420
مثال وطلعناهم 2 real فكانت واحدة 2

427
00:48:54,420 --> 00:49:02,010
واحدة 3 يبقى نفس الشيء ما علينا بعد قليل هروح

428
00:49:02,010 --> 00:49:08,670
نحط تعريف للـ diagonalizable matrix ونبدأ نشتغل كيف

429
00:49:08,670 --> 00:49:13,990
بدي أخلي المصوفة اللي عندي تبقى diagonal matrix هذا

430
00:49:13,990 --> 00:49:18,770
ما سنتعرضله في المحاضرة القادمة إن شاء الله تعالى

431
00:49:18,770 --> 00:49:19,710
أعطيكم العافية