1
00:00:19,840 --> 00:00:25,640
بسم الله الرحمن الرحيم ابتداءً من section 5-2 وحتى

2
00:00:25,640 --> 00:00:31,340
هذه اللحظة وإحنا بنشتغل على معادلة خطية من الرتبة

3
00:00:31,340 --> 00:00:36,680
النونية بمعاملات ثابتة المعاملات المتغيرة حتى الآن 

4
00:00:36,680 --> 00:00:41,220
ما عندناش علاقة فيها ورحنا فرضنا أن الحل بيكون على

5
00:00:41,220 --> 00:00:46,440
صيغة Y تساوي E أس X ومنها جبنا المعادلة المميزة

6
00:00:46,440 --> 00:00:50,560
لهذه المعادلة فكانت على الشكل التالي قلنا هذه

7
00:00:50,560 --> 00:00:55,160
المعادلة لها إحدى ثلاث حالات يمكن أن تكون الجذور

8
00:00:55,160 --> 00:01:02,440
حقيقية ومختلفة ويمكن أن تكون الجذور حقيقية ومكررة

9
00:01:02,440 --> 00:01:07,840
وقد تكون complex ومكررة والله أعلم كما سنراه ويمكن

10
00:01:07,840 --> 00:01:13,780
أن تكون اللي هو complex يبقى يا إما حقيقية ومختلفة 

11
00:01:13,780 --> 00:01:19,260
يا إما حقيقية ومكررة أو complex ومكررة يا إما

12
00:01:19,260 --> 00:01:23,940
complex فقط درسنا في المحاضرة الماضية والمحاضرة 

13
00:01:23,940 --> 00:01:29,640
السابقة الحالتين الأولين وهي لو كانت الجذور حقيقية

14
00:01:29,640 --> 00:01:36,240
ومختلفة وكذلك لو كانت الجذور تخيلية واليوم بدنا

15
00:01:36,240 --> 00:01:41,660
ناخد لو كانت الجذور حقيقية ومكررة أو complex 

16
00:01:41,660 --> 00:01:46,540
ومكررة فبقى بقول اللي كنا اللي بدنابه اللي هو اللي 

17
00:01:46,540 --> 00:01:49,740
بدنا ناه المرة اللي فاتت واللي قبلها فقلنا افترض 

18
00:01:49,740 --> 00:01:53,820
أن E أس X هو عبارة عن حل المعادلة لرقم Star

19
00:01:53,820 --> 00:01:56,840
جبنا المشتقة الأولى والثانية والثالثة والرابعة 

20
00:01:56,840 --> 00:02:00,510
النونية وعوضنا في المعادلة واختصرنا وصلنا إلى

21
00:02:00,510 --> 00:02:03,330
المعادلة رقم Star اللي سميتها ال auxiliary

22
00:02:03,330 --> 00:02:06,910
equation المعادلة المساعدة أو ال characteristic

23
00:02:06,910 --> 00:02:13,010
equation المعادلة المميزة للمعادلة Star تمام؟ if

24
00:02:13,010 --> 00:02:15,590
the roots of this equation are repeated then we

25
00:02:15,590 --> 00:02:19,910
have two cases يبقى إذا الجذور مكررة في عندي

26
00:02:19,910 --> 00:02:23,870
حالتين الحالة الأولى حالة ال real repeated والحالة

27
00:02:23,870 --> 00:02:28,930
الثانية حالة ال complex repeated إذا لو كانت الجذور

28
00:02:28,930 --> 00:02:34,690
حقيقية ومكررة الحالة الأولى يبقى r1 هيساوي r2 هيساوي

29
00:02:34,690 --> 00:02:42,330
r3 هيساوي rn ويساوي rz يبقى الحل الأول E أس R X

30
00:02:42,330 --> 00:02:49,310
الحل الثاني E أس R X يبقى أنا بكرر يبقى بضربه بس

31
00:02:49,310 --> 00:02:55,130
في X X E أس X الحل التالت X تربيع E أس X

32
00:02:55,130 --> 00:02:59,530
الحل الرابع X تكعيب E أس X لو جبت ده جبت الحل 

33
00:02:59,530 --> 00:03:01,850
طبعًا هدول لو روحت حسبتهم بلاقيهم كلهم linearly 

34
00:03:01,850 --> 00:03:05,850
independent يبقى شكل الحل العام في هذه الحالة بيكون

35
00:03:05,850 --> 00:03:12,570
على صورة C1 زي C2X زي C3X تربيع زي CNX أس n ناقص

36
00:03:12,570 --> 00:03:17,430
واحد E أس R اللي طلعت عندنا هنا اللي بتعت التكرار

37
00:03:17,430 --> 00:03:22,050
يبقى هذا شكل الحل العام لو كانت الجذور حقيقية

38
00:03:22,050 --> 00:03:27,840
ومكررة طب لو كانت complex نجي للحالات التانية if

39
00:03:27,840 --> 00:03:31,780
the roots are repeated complex conjugate يبقى هي

40
00:03:31,780 --> 00:03:37,700
مكررة وفي نفس الوقت complex وقلنا إذا في عندي جذر 

41
00:03:37,700 --> 00:03:42,520
complex يبقى الجذر المرافق له برضه موجود يبقى هيكون

42
00:03:42,520 --> 00:03:49,640
عندي فيه تكرار ل complex والconjugate تبعه تمام؟ يبقى

43
00:03:49,640 --> 00:03:54,760
ما هو شكل الحل في هذه الحالة بقول E أس X في حتة 

44
00:03:54,760 --> 00:03:58,620
ال complex المرة اللي فاتت قلنا E أس X C1 Cos X

45
00:03:58,620 --> 00:04:02,520
و C2 Sin X مش شكل ال section الماضي طب الأول لما

46
00:04:02,520 --> 00:04:06,080
كان عندي تكرار بدي أعمله بمعاملة التكرار اللي 

47
00:04:06,080 --> 00:04:13,210
أخذناه معاه ال repeated بعد كتابة الـ computer

48
00:04:13,210 --> 00:04:22,330
الأصلية E أس X E أس X

49
00:04:24,230 --> 00:04:28,270
C أس X أس S ناقص الواحد

50
00:04:42,570 --> 00:04:46,950
بقول لك آه ما هم النص هم النص التالي المرافق تمام؟

51
00:04:46,950 --> 00:04:51,850
إذا راحت قلت هنا C أس X أس S minus ال one في cosine

52
00:04:51,850 --> 00:04:58,590
ال BX زائد برضه polynomial تانية B1 B2 X B3 X

53
00:04:58,590 --> 00:05:05,770
تربيع لغاية BSX أس S ناقص one في sine ال BX يبقى

54
00:05:05,770 --> 00:05:10,070
إذا عندي تكرار في ال complex هي الصيغة إذا في عندي

55
00:05:10,070 --> 00:05:14,630
تكرار في ال real يبقى الصيغة اللي فوق خلاصنا هيك 

56
00:05:14,630 --> 00:05:17,970
بيكون غطينا ال section إذا ال rules كانت real and

57
00:05:17,970 --> 00:05:22,170
repeated أو complex and repeated كما سنرى الآن من 

58
00:05:22,170 --> 00:05:26,610
خلال الأمثلة حد فيكم يحب يسأل أسئلة قبل أن ندخل

59
00:05:26,610 --> 00:05:28,170
إلى الأمثلة؟

60
00:05:30,210 --> 00:05:33,850
طيب نجي للمثال الأول اللي هو السؤال 9 من الكتاب

61
00:05:33,850 --> 00:05:36,210
بقول هات لي ال general solution لل differential

62
00:05:36,210 --> 00:05:40,110
equation اللي عندنا هذه بروح بسميها Star يبقى

63
00:05:40,110 --> 00:05:44,310
الخطوة الأولى بدي أبدأ زي ما بدأت هنا بدي أقوله 

64
00:05:44,310 --> 00:05:54,030
let Y تساوي E أس RX be a solution of the 

65
00:05:54,030 --> 00:05:59,530
differential equation Star then

66
00:06:02,030 --> 00:06:09,570
يبقى ثم المعادلة

67
00:06:09,570 --> 00:06:18,050
المميزة L هي R تكعيب ناقص 6 R تربيع زائد 12

68
00:06:18,050 --> 00:06:25,500
R ناقص 8 يساوي كم؟ يساوي Zero نحلل هذه المعادلة 

69
00:06:25,500 --> 00:06:29,700
من الدرجة الثالثة لما نحلل هذه المعادلة من الدرجة 

70
00:06:29,700 --> 00:06:35,320
الثالثة لما نحلل هذه المعادلة من الدرجة الثالثة

71
00:06:35,320 --> 00:06:40,460
لما نحلل هذه المعادلة من الدرجة الثالثة لما نحلل

72
00:06:40,460 --> 00:06:45,800
هذه المعادلة 

73
00:06:45,800 --> 00:06:51,400
من الدرجة الثالثة وإذا وصلت للثانية بكل أمر إيه سهل

74
00:06:51,400 --> 00:06:56,040
جدا في هذه الحالة يبقى في الحالة اللي عندها دي لو 

75
00:06:56,040 --> 00:07:01,760
جيت أخد مثلًا R تكعيب ناقص 8 مع بعض في جزء

76
00:07:01,760 --> 00:07:10,080
الباقي هذا أخد منه مثلًا ناقص 6 R عامل مشترك بضل

77
00:07:10,080 --> 00:07:16,880
قداش عندي R ناقص 2 كله بده يساوي Zero أخدت ال

78
00:07:16,880 --> 00:07:21,420
term الأول والأخر مع بعضهما في قوس والباقي أخذتهم

79
00:07:21,420 --> 00:07:25,200
في قوس ثاني ومن القوس الثاني أخدت سالب 6 أر

80
00:07:25,200 --> 00:07:30,090
عامل مشترك هذا القوس الأول عبارة عن إيه؟ فرق بين

81
00:07:30,090 --> 00:07:34,970
المكعبين يبقى 

82
00:07:34,970 --> 00:07:42,970
هاي R ناقص 2 في R تربيع زائد 2 R زائد

83
00:07:42,970 --> 00:07:49,070
4 ناقص 6 R في R ناقص 2 كله يساوي Zero

84
00:07:49,700 --> 00:07:55,340
ممكن أخد ال R ناقص 2 عامل ومشترك من الكل يبقى 

85
00:07:55,340 --> 00:08:00,920
R ناقص 2 عامل مشترك بيظل R تربيع زائد 2 

86
00:08:00,920 --> 00:08:07,460
R زائد 4 ناقص 6 R هذا كله يساوي Zero إذا 

87
00:08:07,460 --> 00:08:15,960
هذه R ناقص 2 في R تربيع ناقص 4 R زائد

88
00:08:15,960 --> 00:08:23,210
4 كله يساوي Zero هذا معناه أن R ناقص 2 وهذه 

89
00:08:23,210 --> 00:08:29,350
معناته R ناقص 2 الكل تربيع يساوي من؟ Zero يبقى 

90
00:08:29,350 --> 00:08:35,450
معناته R ناقص 2 الكل تكعيب يساوي قداش؟ Zero إذا

91
00:08:35,450 --> 00:08:41,230
صار الجذر اللي عندي حقيقي والله تخيلي حقيقي مكرر

92
00:08:41,230 --> 00:08:47,590
كم مرة؟ يبقى بروح بقوله أن هذا بده يعطينا أن ال R

93
00:08:47,590 --> 00:08:54,570
تساوي 2 of multiplicity

94
00:08:54,570 --> 00:08:55,950
3

95
00:08:59,930 --> 00:09:06,230
أو 3 مكرر إيه 3 مرات يبقى كويس يبقى أنا

96
00:09:06,230 --> 00:09:11,750
طالع عندي حقيقي ومكرر أي صيغة الحقيقي ومكرر بروح

97
00:09:11,750 --> 00:09:17,530
بقوله the general solution

98
00:09:38,390 --> 00:09:45,990
مثال رقم 2 هو

99
00:09:45,990 --> 00:09:51,880
سؤال 17 من الكتاب بيقول لي y to the derivative of IV

100
00:09:51,880 --> 00:09:58,920
زائد 2 y double prime زائد ال y كل هذا بده

101
00:09:58,920 --> 00:10:08,620
يساوي كده؟ بده يساوي Zero يبقى solution let

102
00:10:08,620 --> 00:10:20,330
y تساوي e أس rx be a solution of the Differential

103
00:10:20,330 --> 00:10:25,270
equation Star مين هي ال Star اللي هي المعادلة

104
00:10:25,270 --> 00:10:30,710
الأصلية اللي عندنا معناته بدي أجيب المعادلة

105
00:10:30,710 --> 00:10:37,110
المساعدة the characteristic equation of the

106
00:10:37,110 --> 00:10:46,240
equation Star is يبقى R أس كذا شبنات هذه IV كده 

107
00:10:46,240 --> 00:10:55,800
يعني؟ 4 زائد 2 R تربيع زائد 1 يساوي 0 أظن هذه

108
00:10:55,800 --> 00:11:01,740
عبارة عن مين؟ عبارة عن R تربيع زائد 1 لكل تربيع

109
00:11:01,740 --> 00:11:07,740
يساوي مين؟ يساوي 0 يبقى الجذور الحياة طلع عندي مكرر

110
00:11:07,740 --> 00:11:15,040
كم مرة؟ كده؟ كم مرة الجذر مكرر؟ مرتين وبتطلع للأس 

111
00:11:15,040 --> 00:11:19,680
اللي عندي قداش عندي أس قداش عندي عدد مراتي

112
00:11:19,680 --> 00:11:24,220
التكرار تمام يبقى بناء عليه بس تعالى نشوف الجذر

113
00:11:24,220 --> 00:11:29,920
هذا قداش يبقى هذا ال R تربيع زائد 1 يساوي Zero

114
00:11:29,920 --> 00:11:34,800
يبقى ال R تربيع يساوي سالب 1 يبقى ال R تساوي 

115
00:11:34,800 --> 00:11:45,130
زائد أو ناقص I تمام with repeated

116
00:11:45,130 --> 00:11:53,750
والله that repeated that repeated

117
00:11:53,750 --> 00:11:57,670
two times

118
00:12:00,210 --> 00:12:04,910
يبقى يا بقول العبارة هذه مكررة مرتين يا بقول

119
00:12:04,910 --> 00:12:10,170
العبارة اللي عندنا هذه with multiplicity 2 يبقى 

120
00:12:10,170 --> 00:12:13,730
صيغة هذه أو صيغة هذه الاثنين are the same نفس

121
00:12:13,730 --> 00:12:19,890
الصيغة اللي عندنا هذه تمام؟ طيب، الآن يبقى بناء 

122
00:12:19,890 --> 00:12:23,590
عليه بيصير ال general solution على الشكل التالي

123
00:12:23,590 --> 00:12:27,770
يبقى the general solution

124
00:12:45,370 --> 00:12:51,990
يبقى بطير الأولى بظل بس ما يأتي هنا مكرر كم مرة 

125
00:12:53,530 --> 00:13:03,930
يبقى C1 زائد C2X في cosine ال X لأن B عندنا يعني A

126
00:13:03,930 --> 00:13:14,070
تساوي Zero و B تساوي 1 زائد B1 زائد B2X في sin

127
00:13:14,070 --> 00:13:21,430
X بالشكل اللي عندنا هذا example

128
00:13:21,430 --> 00:13:21,870
3

129
00:13:27,460 --> 00:13:36,040
Y to the derivative of V زائد 4 Y تكعيب أو Y

130
00:13:36,040 --> 00:13:41,980
to the derivative of V3 بده يساوي Zero نفس التكتيك

131
00:13:41,980 --> 00:13:45,900
اللي عملته فوق حتى تبقى هنا بالضبط تمامًا يبقى حاجة

132
00:13:45,900 --> 00:13:52,400
أقوله solution بعد ما سمي هذا المعادلة رقم Star

133
00:13:53,240 --> 00:14:03,440
Assume that the solution of 

134
00:14:04,340 --> 00:14:14,240
the equation Star is y تساوي u أس x بناء عليه

135
00:14:14,240 --> 00:14:24,140
the characteristic equation is R خمسة زائد

136
00:14:24,140 --> 00:14:28,640
4 R تكعيب زائد 4

137
00:14:31,980 --> 00:14:37,860
زائد 4 R تكعيب بده يساوي مين بده يساوي Zero

138
00:14:37,860 --> 00:14:41,460
يبقى 

139
00:14:41,460 --> 00:14:46,360
بناء عليه لو أخدت R تكعيب عامل مشترك بيظل R 

140
00:14:46,360 --> 00:14:53,080
تربيع زائد قداش زائد 4 بده يساوي Zero يبقى

141
00:14:53,080 --> 00:14:58,120
الأولى مكررة كام مرة وقداش حقيقية ولا complex 

142
00:15:02,290 --> 00:15:12,070
يبقى هنا R واحد تساوي R 2 تساوي R 3 والله

143
00:15:12,070 --> 00:15:16,470
R واحد تساوي

144
00:15:16,470 --> 00:15:21,910
Zero of Multiplicity

145
00:15:21,910 --> 00:15:25,350
of 3 and

146
00:15:26,950 --> 00:15:35,030
And ال R تساوي الثانية اللي هو زائد أو ناقص 2I

147
00:15:35,030 --> 00:15:39,930
لما أخد الجذر التربيعي لأ باطلع زائد أو ناقص 2I

148
00:15:39,930 --> 00:15:45,790
يبقى بناء عليه بده أكتب ال general solution لمن

149
00:15:45,790 --> 00:15:48,690
لهذه المعادلة

150
00:15:57,470 --> 00:16:07,130
يبقى باجي بقوله the general solution of the

151
00:16:07,130 --> 00:16:15,770
differential equation Star is y to the seventh

152
00:16:16,710 --> 00:16:24,930
الأولى real و مكرر 3 مرات يبقى إيش بقوله C1 C2 X

153
00:16:24,930 --> 00:16:31,550
C3 X تربيع في E أس Zero نفجر دايمش بواحد انسى 

154
00:16:31,550 --> 00:16:37,070
الباقي من Complex يبقى زائد C4

155
00:16:49,580 --> 00:16:54,960
المثال الرابع عبارة عن سؤال أتينا به في إحدى

156
00:16:54,960 --> 00:17:03,400
الامتحانات بيقول suppose that افترض

157
00:17:03,400 --> 00:17:05,500
أنه suppose that 

158
00:17:08,290 --> 00:17:21,190
ال L of Y بده يساوي 0 is a homogeneous linear 

159
00:17:21,190 --> 00:17:24,350
differential 

160
00:17:24,350 --> 00:17:30,370
equation with

161
00:17:30,370 --> 00:17:37,450
constant coefficients with constant

162
00:17:43,160 --> 00:17:46,180
بمعاملات ثابتة بمعاملات ثابتة بمعاملات ثابتة of 

163
00:17:46,180 --> 00:17:59,460
order 11 which has a

164
00:17:59,460 --> 00:18:01,420
characteristic equation

165
00:18:08,660 --> 00:18:20,420
ال P of R بده يساوي R زائد 2 و R ناقص 3 أس

166
00:18:20,420 --> 00:18:30,400
4 و R تربيع زائد 2 R زائد 5 لكل تكعيب

167
00:18:30,400 --> 00:18:37,820
هذا الكلام بده يساوي قداش Zero Find the

168
00:18:38,660 --> 00:18:50,580
General solution of the given differential

169
00:18:50,580 --> 00:18:52,620
equation

170
00:19:20,490 --> 00:19:27,810
السؤال مرتين بقول كل اللي قعدت أكتبه أسميهم هنا؟ 

171
00:19:27,810 --> 00:19:34,170
قول كيف اللي جامد كتب وأنت لأ يعني؟ يلا كل أحد

172
00:19:34,170 --> 00:19:38,030
اسمه ورقم اليامي، اللي ما كتبش يكتب، على بالك هنا

173
00:19:39,800 --> 00:19:44,180
سؤال جلبناه في إحدى الامتحانات بيقول ما يأتي طبعًا

174
00:19:44,180 --> 00:19:47,200
هذا بنشوف هل الطالب أنا بهمني يش يجيب المعادلة أنا 

175
00:19:47,200 --> 00:19:50,720
أعطيتُه المعادلة بس بده يشوفه بيعرف يجيب الحل ولا 

176
00:19:50,720 --> 00:19:56,580
لا كاللي أنا عندي معادلة تفاضلية على الشكل L of Y 

177
00:19:56,580 --> 00:19:59,800
ال ساوي Zero هذه homogeneously in differential 

178
00:19:59,800 --> 00:20:08,620
equation وبحيث ال order إيه اللي هيساوي 11 يعني هذه

179
00:20:08,620 --> 00:20:13,88

201
00:22:05,290 --> 00:22:12,580
ألف بواحد جيم ب خمسة كله على اثنين في واحد يبقى R

202
00:22:12,580 --> 00:22:18,120
الأخيرة هذه بدها تساوي سالب اثنين زائد أو ناقص

203
00:22:18,120 --> 00:22:22,740
أربعة في الخمسة و العشرين بالسالب شيل منهم أربعة

204
00:22:22,740 --> 00:22:29,800
بالسالب ستة عشر تحت الجذر أربعة I يبقى زائد أو ناقص

205
00:22:29,800 --> 00:22:35,700
أربعة I كله على اثنين يعني ناقص واحد زائد أو ناقص

206
00:22:35,700 --> 00:22:46,310
اثنين I هذا مكرر كم مرة؟ ثلاث مرات تمام يبقى الجذر

207
00:22:46,310 --> 00:22:50,530
الأول مكرر ثلاث مرات و ال conjugate تبعه مكرر ثلاث

208
00:22:50,530 --> 00:22:58,390
مرات يبقى هذا is of multiplicity 

209
00:22:58,390 --> 00:23:03,970
three مدام هيك إذا بقدر أجيب من ال general

210
00:23:03,970 --> 00:23:10,670
solution يبقى بروح بقول له the general solution

211
00:23:12,490 --> 00:23:23,850
of the equation L of Y بده يساوي Zero as Y تساوي

212
00:23:25,470 --> 00:23:34,770
الحل الأول يبقى C1E-2X ما له داعي هذا بيختلف عن

213
00:23:34,770 --> 00:23:42,410
اللي بعده اللي بعده مكرر أربع مرات يبقى زائد C2

214
00:23:42,410 --> 00:23:54,860
زائد C3X زائد C4X تربيع زائد C5X تكعيب كل هذا مضروب

215
00:23:54,860 --> 00:24:04,280
في كوساين 3X يبقى هذا ريال مرات أربع مرات 

216
00:24:04,280 --> 00:24:08,340
خلصنا منه يبقى خلصنا من الريال ضايل عليه لمين؟

217
00:24:08,340 --> 00:24:15,840
ضايل علينا ال complex يبقى زائد الآن ال A عندي

218
00:24:15,840 --> 00:24:24,850
كده؟ مثال بواحد يبقى E أس ناقص X أفتح قوس الآن 

219
00:24:24,850 --> 00:24:30,590
هذا مكرر كده؟ ثلاث مرات خلصنا السيهات يبقى بقدر

220
00:24:30,590 --> 00:24:38,470
أقول لهم إيه؟ E واحد زائد E اثنين X زائد E ثلاثة X

221
00:24:38,470 --> 00:24:47,800
تربيع هي الثلاث في كوساين PX كده ال P؟ باثنين يبقى

222
00:24:47,800 --> 00:24:59,020
اثنين X زائد B واحد زائد B اثنين X زائد B ثلاثة

223
00:24:59,020 --> 00:25:07,940
X تربيع كله مضروب في ساين اثنين X الشكل اللي 

224
00:25:07,940 --> 00:25:12,460
عندنا يبقى هذا شكل ال general solution يبقى هذا ما 

225
00:25:12,460 --> 00:25:16,580
شاء الله جاب لي ثلاث حالات كلهم بسؤال واحد ليش؟ لأن

226
00:25:16,580 --> 00:25:21,380
الأول مختلف عن الجذور المختلفة الثاني real و مكرر

227
00:25:21,380 --> 00:25:25,950
أربع مرات هذا ال complex مكرر ثلاث مرات يبقى هذا

228
00:25:25,950 --> 00:25:28,530
السؤال جاب لهذا ال section و ال two sections

229
00:25:28,530 --> 00:25:34,670
الماضية كلها بسؤال واحد و لذلك بنيجي نقول انتهى

230
00:25:34,670 --> 00:25:39,770
هذا ال section و إلي كنا أرقام المسائل ل exercises

231
00:25:39,770 --> 00:25:47,990
5-4 المسائل التالية اللي هو من 1 إلى 25

232
00:25:50,860 --> 00:25:56,200
ننتقل الآن إلى ال section اللي يليه section خمسة

233
00:25:56,200 --> 00:26:09,080
خمسة اللي همين كوشي كوشي أويلر equations معدلات

234
00:26:09,080 --> 00:26:15,960
كوشي أويلر definition a

235
00:26:15,960 --> 00:26:20,000
linear differential

236
00:26:26,860 --> 00:26:35,040
الشكل التالي بي نود X to the power n Y to the

237
00:26:35,040 --> 00:26:42,980
derivative n زائد بيون X أس n ناقص الواحد Y to the

238
00:26:42,980 --> 00:26:49,700
derivative n ناقص الواحد زائد أفضل مستمرين لغاية ما

239
00:26:49,700 --> 00:27:00,260
نصل إلى B N minus one X Y prime زائد B N Y كله بده

240
00:27:00,260 --> 00:27:09,120
يساوي Zero هذه المعادلة اللي هي رقم ستة where حيث

241
00:27:09,120 --> 00:27:15,890
ال B نود و ال b1 و لغاية ال bn minus ال one و ال

242
00:27:15,890 --> 00:27:25,910
bn هدول كلهم are constants are constants هذه is

243
00:27:25,910 --> 00:27:33,290
called بنسميها المعادلة Cauchy-Euler equation يبقى

244
00:27:33,290 --> 00:27:40,730
هذه Cauchy-Euler equation

245
00:27:41,900 --> 00:27:47,200
معادلة كوشي أويلر طب لو حبينا نشوف شكلها في

246
00:27:47,200 --> 00:27:52,980
second order كأنه بداخل حلقة خاصة منها in second

247
00:27:52,980 --> 00:28:07,620
order in second order the general form الشكل العام

248
00:28:07,620 --> 00:28:18,210
of the كوشي أويلر الواقع

249
00:28:18,210 --> 00:28:28,990
هو X تربيع واي دبل داش برايم زائد ألفا X واي

250
00:28:28,990 --> 00:28:33,950
برايم زائد بيتا واي X تربيع X تربيع is equal

251
00:28:33,950 --> 00:28:38,310
to zero to

252
00:28:38,310 --> 00:28:40,370
solve

253
00:28:42,550 --> 00:28:54,230
The differential equation is star there are two

254
00:28:54,230 --> 00:29:00,530
methods في

255
00:29:00,530 --> 00:29:09,930
عندنا طريقتين الطريقة الأولى يبقى first method

256
00:29:16,350 --> 00:29:29,170
Change The Differential Equation Into Differential

257
00:29:29,170 --> 00:29:38,950
Equation Star Into A

258
00:29:38,950 --> 00:29:44,450
Differential Equation With

259
00:29:47,970 --> 00:29:55,470
constant coefficients coefficients

260
00:29:55,470 --> 00:30:03,750
as follow فالتالي

261
00:30:03,750 --> 00:30:05,470
let

262
00:30:07,020 --> 00:30:14,660
الـ X بدي يساوي E أس T هذا بدي لك أنه T تساوي لنا

263
00:30:14,660 --> 00:30:23,620
ال X هذا بدي أديلك أنه DT على DX يساوي 1 على X

264
00:31:05,620 --> 00:31:08,800
حكينا في ال section اللي فات و اللي جابله و اللي 

265
00:31:08,800 --> 00:31:14,860
جابله كان في three sections الماضية كله عن مين؟ عن

266
00:31:14,860 --> 00:31:20,220
المعادلات اللي المعاملات تبعتها ثوابت ننتقل الآن

267
00:31:20,220 --> 00:31:26,980
لو كانت المعادلات المعاملات تبعتها متغيرات و لها

268
00:31:26,980 --> 00:31:31,600
شكل محدد بدنا نعرف مين هو هذا الشكل المحدد و ما هو

269
00:31:31,600 --> 00:31:36,080
اسمه فبقول إيش الـ Linear differential equation of

270
00:31:36,080 --> 00:31:42,120
the form طلع لي كويس يبقى هذا ال Xn و Xn-1 و X ..

271
00:31:42,120 --> 00:31:45,940
ما كانش موجود في المعادلة السابقة كانوا ال B0 و ال

272
00:31:45,940 --> 00:31:52,040
B1 و ال Bn كل هدول ثوابت تمام؟ إذا المعادلة اللي

273
00:31:52,040 --> 00:31:57,400
عندي بالشكل هذا X مرفوعة للأس N Y2 نفس derivative

274
00:31:57,400 --> 00:32:03,090
N و نبدأ ننزل بواحد X أس واحد ناقص واحد Y to the

275
00:32:03,090 --> 00:32:06,970
derivative of N ناقص واحد اللي بعده بواحد X أس

276
00:32:06,970 --> 00:32:09,710
واحد ناقص اثنين Y to the derivative of N ناقص اثنين

277
00:32:09,710 --> 00:32:13,750
ضلّينا ماشيين لغاية ما وصلنا B وان ناقص ال one X

278
00:32:13,750 --> 00:32:18,730
أس وان Y prime زائد بي وان ال X صارت أس Zero يعني 

279
00:32:18,730 --> 00:32:25,210
بواحد بالطير Y تساوي Zero البيهات هدول كلهم ثوابت 

280
00:32:25,360 --> 00:32:29,460
يبقى أي معادلة على هذا الشكل اللي بسميها Cauchy

281
00:32:29,460 --> 00:32:33,880
-Euler equation طب ال Cauchy-Euler equation هذه

282
00:32:33,880 --> 00:32:38,240
بدنا نحاول نحلها مش نحلها بدي أقول لو عندي شكل

283
00:32:38,240 --> 00:32:43,130
خاص منها لو بدي مثل معادلة من الرتبة الثانية يبقى

284
00:32:43,130 --> 00:32:46,650
باجي بقول المعادلة من الرتبة الثانية شكلها X تربيع

285
00:32:46,650 --> 00:32:51,230
و Y دبل داش برايم المعامل هنا طلع مقداره بواحد ظ أو كان فيه 

286
00:32:51,230 --> 00:32:55,650
معامل و جسمناه عليه يبقى صارت X تربيع و Y دبل داش برايم

287
00:32:55,650 --> 00:33:00,170
الدرجة الثانية الرتبة الثانية زائد constant اللي 

288
00:33:00,170 --> 00:33:04,090
هو جسمناه هنا بي وان أو بي وان مقسوما على بي نوت 

289
00:33:04,090 --> 00:33:06,450
سميته Alpha X

290
00:33:14,840 --> 00:33:20,960
يبقى كمان هذه المعادلة كوشي أويلر بس من الرتبة الثانية

291
00:33:20,960 --> 00:33:26,060
تمام الآن كيف بنحل المعادلة الأصلية هذه هي

292
00:33:26,060 --> 00:33:32,690
star في عندي هناك طريقتان للحل واحدة الحل بطريقة 

293
00:33:32,690 --> 00:33:38,850
التعويض التعويض له فائدة ينقل المعادلة من معادلة

294
00:33:38,850 --> 00:33:44,260
بمعاملات متغيرة إلى معادلة بمعاملات ثابتة وإذا

295
00:33:44,260 --> 00:33:48,160
وصلنا إلى معادلة بمعاملات ثابتة بروح بنحلها بمين؟

296
00:33:48,160 --> 00:33:51,600
بالطرق الثلاث اللي فاتت complex roots real

297
00:33:51,600 --> 00:33:55,840
repeated real and different roots يبقى بأي طريقة 

298
00:33:55,840 --> 00:33:59,520
من الطرق الثلاث الطريقة الثانية بس نخلص الأولى بصير 

299
00:33:59,520 --> 00:34:03,940
خير بنروح على ثانية طب الطريقة الأولى هذه بقول في

300
00:34:03,940 --> 00:34:09,350
أن تعويضة هذه التعويضة بواسطتها بقدر أشيل كل 

301
00:34:09,350 --> 00:34:13,570
المتغيرات اللي موجودة وين في المعادلة هذه طب ماهي 

302
00:34:13,570 --> 00:34:19,830
التعويضة هذه؟ مجلبك تحط X يساوي E أس T فقط ده يعني

303
00:34:19,830 --> 00:34:25,190
ماذا يترتب على ذلك؟ بقدر آخذ لن للطرفين فبصير T

304
00:34:25,190 --> 00:34:30,190
تساوي من؟ لن ال X لو جبت DT على DX بصير قداش 

305
00:34:30,190 --> 00:34:35,090
قيمتها واحد على X خلي المعلومة هذه عندك و تعال

306
00:34:35,090 --> 00:34:44,770
لمن؟ للمسألة تبعتنا أنا بدي أجيب دي واي على DX مش 

307
00:34:44,770 --> 00:34:49,850
هذه Y' اللي عندنا و بعدين بدي أجيب YW دبل داش طبقا لمن؟

308
00:34:49,850 --> 00:34:54,570
طبقا للتعويض هذه يعني بدل ما المعادلة كانت بدللة X

309
00:34:54,570 --> 00:34:59,290
و Y بدي أخليها بدللة T و Y و أشوف إيش بدي يصير

310
00:34:59,290 --> 00:35:06,670
شكلها يبقى هذا الكلام بقدر أقول DY على DT في DT

311
00:35:06,670 --> 00:35:12,290
على DX طب ال دي تي على دي إكس بقداش؟ واحد على إكس،

312
00:35:12,290 --> 00:35:17,630
يبقى هذا الكلام بده يساوي واحد على إكس في دي واي

313
00:35:17,630 --> 00:35:24,930
على دي تي تمام بدنا نجيب المشتقة الثانية يبقى لو 

314
00:35:24,930 --> 00:35:29,790
جيت أخدت ال D أو ال YW دبل داش هذه اللي هي ال Y 

315
00:35:29,790 --> 00:35:36,310
دبل داش و هذه ال YW دبل داش يبقى ال YW دبل داش على الشكل

316
00:35:36,310 --> 00:35:44,190
التالي اللي هي D تربيع Y على DX تربيع يعني D على 

317
00:35:44,190 --> 00:35:51,360
DX لDY على DX مش هيك المشتقة الثانية خدتها في

318
00:35:51,360 --> 00:35:57,900
calculus ايه؟ هذا الكلام بده يساوي دي على دي إكس

319
00:35:57,900 --> 00:36:01,680
لمين؟ دي واي على دي إكس هيها جبت من الحالة الأولى

320
00:36:01,680 --> 00:36:06,180
ليه قيمتها؟ واحد على إكس في دي واي على دي تي يبقى

321
00:36:06,180 --> 00:36:12,780
واحد على إكس في دي واي على دي تي هذه العلاقة عبارة 

322
00:36:12,780 --> 00:36:18,340
عن مشتقة من حاصل ضرب دالتين يبقى مشتقة الأولى في 

323
00:36:18,340 --> 00:36:22,760
الثانية زائد الأولى في مشتقة الثانية يبقى مشتقة 

324
00:36:22,760 --> 00:36:27,940
الأولى في قيمتها سالب واحد على إكس تربيع يبقى هاي 

325
00:36:27,940 --> 00:36:31,800
سالب واحد على إكس تربيع ليش؟ لأنه بفضلها بالنسبة

326
00:36:31,800 --> 00:36:36,210
إلى إكس أنا قاعد بفضلها بالنسبة لـ X في مين؟ في 

327
00:36:36,210 --> 00:36:43,430
الدالة الثانية ال dy على dt زائد 1 على x كما هي

328
00:36:43,430 --> 00:36:49,210
بدي أشتق الدالة الثانية اللي هو d على dx اللي 

329
00:36:49,210 --> 00:36:58,230
عندنا ل dy على dt يبقى بناء عليه أصبح عند ال y

330
00:36:58,230 --> 00:37:05,350
دبل داش تساوي اللي هو السالب 1 على x تربيع في

331
00:37:05,350 --> 00:37:15,350
dy على dt زائد 1 على x هذه أمانات بقدر أكتبها على

332
00:37:15,350 --> 00:37:19,210
الشكل التالي d على dt 

333
00:37:28,420 --> 00:37:34,550
مظبوط؟ الـ D على DX اللي عندنا كتب D على DT في DT

334
00:37:34,550 --> 00:37:39,710
على DX D على DT لمين؟ للمقدار اللي عندنا هنا تمام 

335
00:37:39,710 --> 00:37:45,650
تمام يعني هذه صارت قداش ناقص واحد على X تربيع DY

336
00:37:45,650 --> 00:37:54,270
على DT زائد هذه بقداش DT على DX واحد على X إذا بدي

337
00:37:54,270 --> 00:37:58,730
أشيل هذه هنا و أحط بدل واحد على X و عندي واحد على X

338
00:37:59,950 --> 00:38:08,110
بصير واحد على X تربيع و هذه عبارة عن D²Y على DT²

339
00:38:08,110 --> 00:38:13,810
مظبوط يعني كأن المثل واحد على X تربيع خليكي برا

340
00:38:13,810 --> 00:38:24,830
و D²Y على DT² ناقص DY على DT مظبوط بنفس الطريقة لو 

341
00:38:24,830 --> 00:38:26,990
بدي المشتقة ثالثة similarly

342
00:38:30,730 --> 00:38:36,470
لو رحت جبت المشتقة الثالثة هتساوي اللي هو مين؟ 

343
00:38:36,470 --> 00:38:44,870
واحد على X تكعيب فيه اللي هو D تكعيب Y على DT

344
00:38:44,870 --> 00:38:53,450
تكعيب ناقص ثلاثة D تربيع Y على DT تربيع زائد اثنين

345
00:38:53,450 --> 00:38:56,990
DY على DT

346
00:39:01,350 --> 00:39:05,850
طيب استنى شوية لو بدي أجيبه مش هتكرر على بنفس

347
00:39:05,850 --> 00:39:10,010
الطريقة أو الخامسة أو السادسة وهلمّ جرّع طيب إيش 

348
00:39:10,010 --> 00:39:14,890
استفدت من هذه؟ أنت بتقول هنا هذه التعويضة بدها تضيع

349
00:39:14,890 --> 00:39:18,290
لل variables اللي عندنا هذا اللي هو ال X تربيع و ال

350
00:39:18,290 --> 00:39:22,350
X أو كل ال Xات اللي هنا بتروح لو أعطيكي مثال بسيط

351
00:39:22,350 --> 00:39:26,890
خليني مع المعادلة اللي عندنا هذه X تربيع في مين؟

352
00:39:26,890 --> 00:39:31,250
في YW دبل داش وين YW دبل داش؟ هذا هو ال وايضة

353
00:39:31,250 --> 00:39:35,630
بالإبراهيم، صح؟ لو كان طلبها فيك السربية، بتروح مع

354
00:39:35,630 --> 00:39:39,530
اللي برة، بيظل هذا، يبقى صارت المعادلة with

355
00:39:45,670 --> 00:39:52,310
بتحل بيولي المعادلة بمعاملات متغيرة إلى معادلة 

356
00:39:52,310 --> 00:39:57,390
بمعاملات ثابتة وروح بحلّها بمين؟ بالطرق السابقة التي

357
00:39:57,390 --> 00:40:03,130
كنت بحل قبلها هذه الطريقة الأولى طريقة ثانية برضه

358
00:40:03,130 --> 00:40:08,070
بدي أعمل نفس فكرة المعادلة المميزة بس احنا كنا لما

359
00:40:08,070 --> 00:40:13,430
كان فش عند X بقولت افترض الحل على صيغة Y تساوي E

360
00:40:13,430 --> 00:40:20,790
أس RX هنا لأ بدي افترض الحل هو Y تساوي X أس R و

361
00:40:20,790 --> 00:40:25,330
بدي أروح أجيب المعادلة المميزة لمين؟ لهذه المعادلة

362
00:40:25,330 --> 00:40:30,430
يبقى الحل الثاني second solution يبقى second 

363
00:40:34,480 --> 00:40:48,460
طريقة الثانية بتقول let ال y يساوي x plus r be a

364
00:40:48,460 --> 00:40:59,760
solution of the differential equation star on

365
00:41:01,670 --> 00:41:06,570
على الفترة من Zero لغاية infinity يبقى على X

366
00:41:06,570 --> 00:41:13,850
الموجبة فقط then لو بدي y prime يا بنات قداش تساوي

367
00:41:13,850 --> 00:41:23,430
R X أس R ناقص ال one لو بدي ال y دبل داش يبقى R

368
00:41:23,430 --> 00:41:31,530
في R-1 في X أس R-2 لو بدي المشتقة الثالثة 

369
00:41:34,070 --> 00:41:45,590
يجب أن تقوم باستخدام R-1-2-X-R-3 وهلمّ جرّع إذا

370
00:41:45,590 --> 00:41:54,530
جيت للمشتقة النونية أو المشتقة رقم M مثلا يجب أن

371
00:41:54,530 --> 00:42:01,380
تقوم باستخدام في R ناقص واحد في R ناقص اثنين وظلّ

372
00:42:01,380 --> 00:42:13,000
مستمر لوين يا بنات ل R