1
00:00:00,000 --> 00:00:04,180
بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين

2
00:00:04,180 --> 00:00:07,720
والصلاة والسلام على سيد المرسلين سيدنا محمد على 

3
00:00:07,720 --> 00:00:14,600
آله وصحبه أجمعين هذه هي المحاضرة الرابعة في مساق 

4
00:00:14,600 --> 00:00:18,960
قياضيات منفصلة لطلاب وطالبات الجامعة الإسلامية

5
00:00:18,960 --> 00:00:28,290
كلية ال IT قسم الحوسبة المتنقلة المحاضرة اليوم هي 

6
00:00:28,290 --> 00:00:34,090
المحاضرة الأولى أيضا في chapter 4 وهو المعنون ب

7
00:00:34,090 --> 00:00:39,210
number theory and cryptography اللي هي بنقصد فيها

8
00:00:39,210 --> 00:00:44,010
نظرية الأعداد والتشفير والتشفير هو عبارة عن تطبيق 

9
00:00:44,010 --> 00:00:50,230
على نظرية الأعداد. ال section الأول اللي هنتحدث عنه

10
00:00:50,230 --> 00:00:53,910
اليوم اللي هو divisibility and modular arithmetic 

11
00:00:54,520 --> 00:01:02,080
اللي هو شو معناه القسمة أو قابلية القسمة وحنشوف

12
00:01:02,080 --> 00:01:05,920
دالتين واحدة دالة اسمها المد وواحدة دالة اسمها

13
00:01:05,920 --> 00:01:12,840
div  ونشوف إيش اللي بنقصد فيهم. الآن نحكي أول شيء عن

14
00:01:12,840 --> 00:01:18,380
ال division. الآن ال division اللي هي القسمة نشوف

15
00:01:18,380 --> 00:01:24,020
شو معناه ال a divides b؟ إيش معناه أنه عدد يقسم

16
00:01:24,020 --> 00:01:30,720
عدد آخر اسمه b؟ طبعا حديثنا كله بيصب في اللي هو في

17
00:01:30,720 --> 00:01:33,860
ال integers يعني احنا كل الأعداد اللي بنتناولها

18
00:01:33,860 --> 00:01:39,190
اليوم هي عبارة عن أعداد صحيحة. الآن بنقول if a and b

19
00:01:39,190 --> 00:01:42,590
are integers يعني لو كان عندي a و b عبارة عن أعداد

20
00:01:42,590 --> 00:01:46,870
صحيحة with a لا تساوي صفر. مدام قال with a لا تساوي

21
00:01:46,870 --> 00:01:53,230
صفر شكلنا هنقسم على a لأن القسمة على a مرفوضة فعشان

22
00:01:53,230 --> 00:01:58,120
هيك مفترضين أن a لا تساوي صفر. الآن بيقول then a

23
00:01:58,120 --> 00:02:03,140
divides b يعني بيقول أن a تقسم b. شو معنى a تقسم b؟

24
00:02:03,140 --> 00:02:07,700
اللي هو if there exists an integer c such that ال

25
00:02:07,700 --> 00:02:13,440
b بتساوي ال a في c. في هذه الحالة بيقول a divides b.

26
00:02:13,730 --> 00:02:18,310
يعني إكترنا نكتب b على صورة a في integer آخر أو

27
00:02:18,310 --> 00:02:23,090
في عدد صحيح آخر. زي ما نقول ستة بتساوي اثنين في ثلاثة.

28
00:02:23,090 --> 00:02:29,150
فبتكون الاثنين تقسم من الستة. يعني بمعنى آخر a

29
00:02:29,150 --> 00:02:35,630
divides b اللي هو a is a factor of b يعني a عامل

30
00:02:35,630 --> 00:02:41,660
من عوامل b أو divisor of b أو قاسم من قواسم الـ b.

31
00:02:41,660 --> 00:02:46,160
إذا لما نقول a divides b بنقصد أنه a عامل من عوامل

32
00:02:46,160 --> 00:02:52,900
b وبنقصد a قاسم من قواسم الـ b أو بنقصد b عبارة عن

33
00:02:53,170 --> 00:02:58,210
من مضاعفات الـ a. يعني b is multiple of a. كل

34
00:02:58,210 --> 00:03:04,230
التعبير الثلاثة دول a قاسم من قاسم الـ b أو a عامل 

35
00:03:04,230 --> 00:03:09,010
من عوامل الـ b أو b من مضاعفات الـ a كلها المقصود

36
00:03:09,010 --> 00:03:16,380
فيها أن a divides b. ما هي الـ notation تبعتها؟ نقول

37
00:03:16,380 --> 00:03:20,660
a divides b وهي a وهي عصره بينهم b. شكل العصره هي 

38
00:03:20,660 --> 00:03:26,720
شبه عمودية يعني a divides b denotes that a divides

39
00:03:26,720 --> 00:03:32,420
b أو a تقسم b. الآن قلنا أن a تقسم b معناه أن ال

40
00:03:32,420 --> 00:03:35,740
a عامل من عامل b. يعني لو جينا قسمنا ال b على ال a

41
00:03:35,740 --> 00:03:40,190
هتطلع integer. يعني الآن لما نقول a تقسم b بنعني أنه

42
00:03:40,190 --> 00:03:45,650
على طول العدد b على العدد a. فده معناه يعني بيقول لك

43
00:03:45,650 --> 00:03:49,890
b على العدد a هيطلع إيش مالو؟ انتجر زي ما هنا هاي مش

44
00:03:49,890 --> 00:03:53,970
هاد معناه a تقسم b. يعني الآن b على a هتطلع ال c

45
00:03:53,970 --> 00:03:58,330
يعني integer. إذا من الآن وطالع مجرد نقول a تقسم b

46
00:03:58,330 --> 00:04:02,110
معناه ال b على ال a هو عبارة عن عدد صحيح. طب لو

47
00:04:02,110 --> 00:04:05,850
بدنا نقول a does not divide b نرمز بالرمزية ده a

48
00:04:05,850 --> 00:04:10,030
وهي الشحطة الأولى وهي فجهها شحطة ثانية. يعني a does

49
00:04:10,030 --> 00:04:15,810
not divide b يعني a لا تقسم ال b. ناخذ أمثلة عددية

50
00:04:15,810 --> 00:04:19,830
الآن المثال الأول determine whether الثلاثة بتقسم

51
00:04:19,830 --> 00:04:23,940
السبعة و whether الثلاثة بتقسم 11. لإن احنا

52
00:04:23,940 --> 00:04:26,800
على طول الحد ما نشوف على طول الثلاثة ما بتقسمش السبعة

53
00:04:26,800 --> 00:04:31,640
ليش؟ لأن السبعة على الثلاثة مش عدد صحيح. إذا الثلاثة

54
00:04:31,640 --> 00:04:35,780
does not divide بيه. إذا أكيد ال solution هنقوله

55
00:04:35,780 --> 00:04:40,020
الثلاثة لا تقسم السبعة because اللي هو السبعة على

56
00:04:40,020 --> 00:04:44,520
الثلاثة ليست عدد صحيح. لأن ثلاثة بتقسم 12. كلكم قلتم

57
00:04:44,520 --> 00:04:47,660
هل جيت 12 على ثلاثة؟ أربعة. يعني الثلاثة لازم تقسم من

58
00:04:47,660 --> 00:04:52,080
12. إذا أكيد ثلاثة بتقسم 12 لأن 12 على ثلاثة هي عبارة

59
00:04:52,080 --> 00:04:56,600
عن إيش؟ طلعت الأربعة. أو بمعنى آخر 12 بتساوي 3 في 4.

60
00:04:56,600 --> 00:05:01,720
زي ما عملنا في ال a ال b بتساوي a في c. إذا الثلاثة 

61
00:05:01,720 --> 00:05:06,460
تقسم من 12. إذا الكلام سهل. طيب نيجي لخواص ال

62
00:05:06,460 --> 00:05:11,200
divisibility أو خواص قابلية ال a أو خواص القسمة.

63
00:05:11,200 --> 00:05:16,530
نشوف. اللي قال لو كان عند a وb وc عبارة عن integers 

64
00:05:16,530 --> 00:05:21,330
أعداد صحيحة والـ a لا تساوي صفر لأن شكل اللي هنقسم

65
00:05:21,330 --> 00:05:24,470
على الـ a عشان يجي الـ a لا تساوي الصفر. الآن بقول

66
00:05:24,470 --> 00:05:30,130
لي لو a بتجسم الـ b والـ a بتجسم ال c أكيد ال a

67
00:05:30,130 --> 00:05:34,850
هتجسم ال b زائد ال c. كلام منطقي. خد مثلا اثنين

68
00:05:34,850 --> 00:05:39,910
بتجسم الستة واثنين بتجسم العشرة. إذا اثنين بتجسم

69
00:05:39,910 --> 00:05:43,110
الستة زائد العشرة اللي هي الستة عشر. أكيد اثنين بتجسم

70
00:05:43,110 --> 00:05:47,210
الستة عشر. إذا دائما ال a بتجسم ال b و ال a بتجسم ال

71
00:05:47,210 --> 00:05:53,110
c. هذول بخزن المعلومة بتعطينا أن ال a بتجسم ال b

72
00:05:53,110 --> 00:05:58,700
زائد ال c. هنروح لبعد من هيك بعد شوية. الآن a بتجسم ال

73
00:05:58,700 --> 00:06:04,280
b. أكيد ال a هتجسم ال b في خمسة وال b في ستة وال

74
00:06:04,280 --> 00:06:08,180
b في سبعة وال b في ثمانية. يعني أكيد ال a بتجسم ال

75
00:06:08,180 --> 00:06:13,780
b في c لكل integer c. 100 مثال نستطيع أن نقولها. يعني

76
00:06:13,780 --> 00:06:18,460
اثنين بتقسم الستة أكيد اثنين بتقسم الستة في ثلاثة

77
00:06:18,460 --> 00:06:21,540
اللي هي 18. اثنين بتقسم الستة في خمسة في 30.

78
00:06:21,540 --> 00:06:25,840
اثنين بتقسم الستة في مليون. إذا اثنين هتقسم ال b في

79
00:06:25,840 --> 00:06:34,640
c اللي هو في حال اثنين بتقسم ال b. الآن الخاصية هذه

80
00:06:34,640 --> 00:06:38,380
الثالثة اللي بنسميها خاصية التعدي. ال a بتجسم ال b

81
00:06:38,380 --> 00:06:42,240
و ال b بتجسم ال c. مع بعض هدول لازم يعطلنا ال a

82
00:06:42,240 --> 00:06:47,460
بتجسم ال c. هذا الكلام سهل برضه لإن ال a بتجسم ال

83
00:06:47,460 --> 00:06:52,660
... خلنا نقول ال 2 بتجسم ال 6 وال 6 بتجسم ال 24.

84
00:06:52,660 --> 00:06:59,040
إذا أكيد ال 2 بتجسم ال 24. الثلاثة بتجسم الستة

85
00:06:59,040 --> 00:07:03,240
والستة بتجسم ال 18. إذا الثلاثة بتجسم من

86
00:07:03,240 --> 00:07:09,960
ال 18. إذا خاصية التعدي متحققة أيضا. لأن نتيجة

87
00:07:09,960 --> 00:07:14,840
للنظرية اللي فوق اللي هو طبعا هذه كان البرهان

88
00:07:14,840 --> 00:07:19,220
المطلوب لكن احنا لسبب الظروف الآن أعطيناكم إياها

89
00:07:19,220 --> 00:07:22,820
بدون برهان وهنا حكينا أمثلة عددية عليها. المهم نفهم

90
00:07:22,820 --> 00:07:27,160
إيش اللي هو الخاصية دي. نيجي لل Corollary أو النتيجة

91
00:07:27,160 --> 00:07:31,420
لل theorem اللي عندنا. بقول لو كان a و b و c عبارة

92
00:07:31,420 --> 00:07:35,820
عن أعداد صحيحة وال a لا تساوي c يعني if a and b

93
00:07:35,820 --> 00:07:40,120
and c are integers وال a لا تساوي صفر such that

94
00:07:40,120 --> 00:07:44,300
ال a divides ال b وال a divides ال c يعني ال a

95
00:07:44,300 --> 00:07:48,990
بتقسم ال b وال a بتقسم ال c. إذا الـ a هتقسم مش بس

96
00:07:48,990 --> 00:07:52,690
الـ b زائد الـ c لأ هتقسم أي linear combination 

97
00:07:52,690 --> 00:07:57,610
بينهم. يعني هندمج هذه وهذه مع بعض ونحصل أن الـ a

98
00:07:57,610 --> 00:08:04,090
بتقسم الـ b m زائد الـ c n لكل m و n. إيش ال linear

99
00:08:04,090 --> 00:08:07,790
combination هذا؟ بنسميه ال b m زائد ال c n عبارة عن

100
00:08:07,790 --> 00:08:12,010
linear combination بين الـ b ومين؟ والـ c. إذا

101
00:08:12,010 --> 00:08:15,550
بنقول ما يلي يا جماعة إنه لو الـ a بتقسم الـ b و

102
00:08:15,550 --> 00:08:19,810
الـ a بتقسم الـ c حيكون عند الـ a بتقسم أي linear

103
00:08:19,810 --> 00:08:23,970
combination b m زائد مين؟ c m where m and n 

104
00:08:23,970 --> 00:08:28,670
integers. يعني ناخذ مثال عند الـ 3 بتقسم 12 والـ 3

105
00:08:28,670 --> 00:08:34,570
بتقسم الـ 15. أكيد الـ 3 بتقسم 12 في m زائد 15 في n

106
00:08:34,570 --> 00:08:39,520
لكل ال integers m و n. أنت جرب حط أي integers بيجي

107
00:08:39,520 --> 00:08:43,540
على بالك m و n هتلاقي الثلاثة بتجسم 12 m زائد 15

108
00:08:43,540 --> 00:08:44,540
m. ناخذ مثلا

109
00:08:54,500 --> 00:08:57,240
الثلاثة بتجسم 78. أكيد لأن الثمانية

110
00:08:57,240 --> 00:09:01,540
و7 و15 وجرب أعداد زي ما بدك هتلاقي مدام

111
00:09:01,540 --> 00:09:04,360
الثلاثة بتجسم 12 والثلاثة بتجسم 15

112
00:09:04,360 --> 00:09:07,200
الثلاثة هتجسم أي linear combination بين 12

113
00:09:07,200 --> 00:09:10,700
و15. إيش linear combination يعني؟ 12 في m

114
00:09:10,700 --> 00:09:17,220
زائد 15 في m لكل integers m. طيب الآن نيجي ل

115
00:09:17,220 --> 00:09:21,340
division algorithm أو اللي بنسميها خوارزمية القسمة.

116
00:09:21,340 --> 00:09:25,600
خوارزمية القسمة مش غريبة علينا بنعرفها بنعرفها من

117
00:09:25,600 --> 00:09:30,600
و احنا صغار. الآن لو قلت لك قسم لي العشرة على الخمسة

118
00:09:30,600 --> 00:09:34,080
هتقول لي العشرة على الخمسة بيساوي اثنين. بقول لك في متبقي

119
00:09:34,080 --> 00:09:38,580
قسم هتقول لي لا. يعني وكأنه العشرة لما قسمناها على خمسة

120
00:09:38,580 --> 00:09:42,240
طلعت ناتج قسمة اثنين ولا يوجد متبقي قسمة يعني

121
00:09:42,240 --> 00:09:47,080
متبقي القسمة صفر. لكن لو قلت لك قسم 11 على خمسة على

122
00:09:47,080 --> 00:09:51,000
خمسة هتقول 11 على خمسة بيساوي اثنين وبيزيد واحد.

123
00:09:51,000 --> 00:09:56,880
هذا الواحد هو متبقي القسمة والاثنين هي ناتج القسمة.

124
00:09:56,880 --> 00:09:59,880
هذا اللي بتقوله بالظبط ال division algorithm. when

125
00:09:59,880 --> 00:10:03,220
an integer is divided by a positive integer there

126
00:10:03,220 --> 00:10:06,900
is a quotient and remainder يعني في ذاتها قسمة وفي 

127
00:10:06,900 --> 00:10:12,560
متبقي قسمة لما نقسم اللي هو العدد على positive number

128
00:10:12,560 --> 00:10:17,980
دي اللي هو مقسوم عليه this is traditionally called

129
00:10:17,980 --> 00:10:22,780
the division algorithm أو خوارزمية القسمة وخلّينا

130
00:10:22,780 --> 00:10:27,620
نشوف إيش خوارزمية القسمة أو نظرية الخوارزمية

131
00:10:27,620 --> 00:10:31,320
القسمة بتقول بقى يعني صلوا على النبي عليه الصلاة

132
00:10:31,320 --> 00:10:35,400
والسلام if a is an integer and d is a positive

133
00:10:35,400 --> 00:10:38,940
integer يعني a أي انتجر سالم موجبة بالإبداكية حتى 

134
00:10:38,940 --> 00:10:42,560
لو كان صفر مش فارغة هقلناه و ال d positive integer

135
00:10:42,560 --> 00:10:47,340
أكبر من صفر لما نقسم ال a على ال d هيطلع ناتج قسمة

136
00:10:47,340 --> 00:10:54,550
بدي أسميه Q والمتبقي اللي هو بدي أسميه R بعد ذلك

137
00:10:54,550 --> 00:10:58,790
يوجد

138
00:10:58,790 --> 00:11:05,370
ناتج قسمة واحد Q ومتبقي واحد R بحيث أن R أكبر أو يساوي صفر

139
00:11:05,370 --> 00:11:13,050
وصغر من D دائماً عندما تقسم ال A على ال D يعني

140
00:11:13,050 --> 00:11:17,750
11 على خمسة و تقول 11 على خمسة بيطلع اثنين و بضال

141
00:11:17,750 --> 00:11:22,290
واحد الواحد هذا سبناه ليش سبناه لأنه أصلاً هو أكبر أو

142
00:11:22,290 --> 00:11:25,650
يساوي صفر و أصغر من المقسوم عليه اللي هي الخمسة

143
00:11:25,650 --> 00:11:29,450
فدائماً ال remainder بيكون أكبر أو يساوي صفر و أصغر

144
00:11:29,450 --> 00:11:35,160
من المقسوم عليه ال D إذاً لما نقعد نقسم ال A على ال

145
00:11:35,160 --> 00:11:40,920
D بيطلع لنا ناتج قسمة اسمه Q وفيه remainder اسمه R

146
00:11:40,920 --> 00:11:45,700
عشان هيك بنقول A بتساوي D في Q زائد R زي ما قولنا

147
00:11:45,700 --> 00:11:53,020
ل 11 بساوي ال 5 في 2 ب 10 زائد ال 1 ال 1 هو ال

148
00:11:53,020 --> 00:11:58,060
remainder وال 2 هو ناتج القسمة هو الخمسة اللي

149
00:11:58,060 --> 00:12:04,040
قسمنا عليها إذاً الآن الـ A بيتساوى DQ زائد الـ R حيث

150
00:12:04,040 --> 00:12:10,160
الـ A هو المقسوم والـ D المقسوم عليه والـ Q ناتج

151
00:12:10,160 --> 00:12:15,140
القسمة والـ R هو المتبقي D is called the divisor

152
00:12:15,870 --> 00:12:19,670
الآن المقسوم عليه A is called the dividend اللي هو

153
00:12:19,670 --> 00:12:24,690
المقسوم و Q is called the quotient ناتج القسمة و R

154
00:12:24,690 --> 00:12:29,370
is called the remainder من هذا الحديث الآن بدنا

155
00:12:29,370 --> 00:12:34,580
نستقي مع بعض دالتين نعرفن كما يلي definitions of

156
00:12:34,580 --> 00:12:38,300
functions واحدة اسمها div واحدة اسمها mod بدنا

157
00:12:38,300 --> 00:12:42,980
نصطلح مع بعض شو معناه أن احنا بنقول ايه div دي

158
00:12:42,980 --> 00:12:47,360
اللي بنقصد فيها أنه لما جينا قسمنا ال a على ال d

159
00:12:48,000 --> 00:12:52,640
طلع عندي ناتج قسمة ناتج القسمة هذا اللي بتسميه a

160
00:12:52,640 --> 00:12:59,060
ضاض d بقصد فيه ناتج قسمة a على d هذا ناتج القسمة

161
00:12:59,060 --> 00:13:06,200
طيب أهم ال d إيش بقصد فيه هو المتبقي من ناتج قسمة a

162
00:13:06,200 --> 00:13:11,460
على d إذا a ضاض d مقصود فيه لما أقسم a على d

163
00:13:11,460 --> 00:13:15,650
بيطلع اللي هي ناتج القسمة لما أقسم الـ a على d

164
00:13:15,650 --> 00:13:19,170
بيطلع عندي remainder فبقصد ال a mod ال d هو عبارة

165
00:13:19,170 --> 00:13:22,710
عن مين المتبقي أو ال remainder اتفقنا علينا دول

166
00:13:22,710 --> 00:13:29,150
الدالتين يللا خلينا نشوف أمثلة عددية طيب احنا نشوف

167
00:13:29,150 --> 00:13:35,190
أمثلة عددية المثال العددي لل division algorithm هو ما

168
00:13:35,190 --> 00:13:38,610
يعني what are the quotient and remainder when 101

169
00:13:38,610 --> 00:13:45,250
is divided by 11 بنشوف إيش اللي هو الناتج القسمة

170
00:13:45,250 --> 00:13:50,410
ومتبقي القسمة لما نقسم 101 على 11 أكيد كلكم كان

171
00:13:50,410 --> 00:13:56,870
101 على 11 في 99 و بيظهر بينهم قد إيش بزيادة 2 فاكيد

172
00:13:56,870 --> 00:14:02,600
اللي هو هيكون عندي 101 بيساوي 11 اللي هو ضرب تسعة

173
00:14:02,600 --> 00:14:08,040
زائد اثنين تسعة هذا هو ناتج القسمة والاثنين هو

174
00:14:08,040 --> 00:14:12,480
متبقي القسمة عشان هيك بنكتبهم بالطريقة اللي اتفقنا

175
00:14:12,480 --> 00:14:16,860
عليها قبل شوية اللي هو بيصير عندي اللي هو عندي

176
00:14:16,860 --> 00:14:24,760
المتبقي القسمة اللي هو 2 فبنكتب 101 mod 11 بما أن في

177
00:14:24,760 --> 00:14:30,560
متبقي القسمة لما نقسم 101 ل 11 بيطلع 2 وبنكتب 101

178
00:14:30,560 --> 00:14:34,740
mod 11 معناته الدالة هذه بتعني أنه لما نقسم 101

179
00:14:34,740 --> 00:14:40,720
ل 11 بيكون ناتج القسمة 100 اللي هو 9 زي ما شفنا

180
00:14:40,720 --> 00:14:42,740
اللي عاملينه احنا هنا في ال division

181
00:14:46,330 --> 00:14:52,950
السؤال الثاني هو what are the quotient and

182
00:14:52,950 --> 00:14:59,090
remainder when -11 is divided by 3 ناقص 11 ناقص 11 ناقص

183
00:14:59,090 --> 00:15:05,190
11 ناقص 11 ناقص

184
00:15:05,190 --> 00:15:07,770
11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص

185
00:15:07,770 --> 00:15:12,600
11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 في هذه الحالة

186
00:15:12,600 --> 00:15:16,720
بيصير ناقص 11 بيساوي ثلاثة في ناقص أربعة زائد واحد

187
00:15:16,720 --> 00:15:19,900
لما نقسم الناقص ماحدش يقول ناقص ثلاثة لأنه بيصير

188
00:15:19,900 --> 00:15:23,020
ثلاثة في ناقص ثلاثة بيساوي ناقص تسعة ناقص تسعة

189
00:15:23,020 --> 00:15:26,520
بيصير ناقص أحد عشر بيساوي ناقص تسعة ناقص اثنين و ال

190
00:15:26,520 --> 00:15:29,920
remainder لازم المتبقي يكون إيه شماله أكبر من صفر

191
00:15:29,920 --> 00:15:33,420
و أصغر من ثلاثة لأن احنا لما نقدر نقسم أي عدد على

192
00:15:33,420 --> 00:15:40,830
ال remainder بيطلع أنه عدد صحيح لو زاد عن اللي هو

193
00:15:40,830 --> 00:15:44,490
.. لو ال remainder طلع بالسالب لأ احنا ما بنقبلش

194
00:15:44,490 --> 00:15:48,130
بنوحد الكلام كله مع بعض كلنا نقسم زي بعض و طلعنا

195
00:15:48,130 --> 00:15:51,810
remainder زي بعض و ناتج قسمنا زي بعض عشان هيك

196
00:15:51,810 --> 00:15:55,650
بنطلب ال remainder يكون بين الصفر و بين الثلاثة زي

197
00:15:55,650 --> 00:16:00,230
ما كنا نعمل زمان في قسمة الأعداد الصحيحة على بعض

198
00:16:00,230 --> 00:16:04,090
الآن هذا بيصير ناقص 11 بيساوي ثلاثة في ناقص 4 زائد من

199
00:16:04,090 --> 00:16:08,980
1 الآن هذا اللي هو الواحد هو عبارة عن ال remainder

200
00:16:08,980 --> 00:16:13,880
عشان هيك بنقول الواحد اللي هو بيساوي ناقص أحد عشر mod

201
00:16:13,880 --> 00:16:19,620
ثلاثة نقول إن دالة المد هذه تعني قسمة ناقص أحد عشر ع

202
00:16:19,620 --> 00:16:24,380
ثلاثة بيطلع متبقي القسمة بيساوي واحد يعني هذه تدل

203
00:16:24,380 --> 00:16:30,390
على متبقي القسمة الآن اللي هو ناقص 11 ضاض 3 تعني

204
00:16:30,390 --> 00:16:34,610
اللي هو ناتج قسمة ناقص 11 على 3 اللي هو إيش طلع

205
00:16:34,610 --> 00:16:40,030
عندي ناقص 4 و هيك بنوجد اللي هو ناتج القسمة و

206
00:16:40,030 --> 00:16:47,990
بنوجد مين اللي هو متبقي القسمة الآن إن دخلنا على

207
00:16:47,990 --> 00:16:52,510
حاجة اسمها ال congruence relation أو اللي هي علاقة

208
00:16:52,510 --> 00:16:56,690
التطابق الآن إيش اللي بنقصد فيها علاقة التطابق؟

209
00:16:56,690 --> 00:17:00,110
خلينا نشوف إيش اللي هو تعريف علاقة التطابق دي، إيش

210
00:17:00,110 --> 00:17:03,670
معناه الـcongruence؟ لو كان عندي A وB عبارة عن

211
00:17:03,670 --> 00:17:07,050
أعداد صحيحة integers and M is a positive integer

212
00:17:07,050 --> 00:17:12,420
والـ M إيش ماله؟ عدد صحيح موجب بنقول أن a is

213
00:17:12,420 --> 00:17:17,180
congruent to b modulo m يعني a تطابق b modulo m

214
00:17:17,180 --> 00:17:23,200
يعني a تطابق b اللي هو بالنسبة للمقياس m إذا حققت

215
00:17:23,200 --> 00:17:29,060
مالي ال m تقسم ال b ناقص a أو تقسم ال a ناقص b

216
00:17:29,060 --> 00:17:33,420
في هذه الحالة بنقول a تطابق ال b modulo m وبنرمز

217
00:17:33,420 --> 00:17:37,790
لها بالرمز اللي عندي a is congruent to B modulo M

218
00:17:37,790 --> 00:17:46,650
نعني بها أن M تقسم اللي هو ال A ناقص B تقسم ال A

219
00:17:46,650 --> 00:17:52,030
ناقص B هذا معناه أن A تطابق ال B modulo M الآن

220
00:17:52,030 --> 00:17:57,510
هذه على بعضها بنسميها is a congruence أو بنسميها

221
00:17:57,510 --> 00:18:03,870
تطابقة و ال M هو ال modulus أو هو مقياس التطابق

222
00:18:03,870 --> 00:18:08,180
بنسميه الآن اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

223
00:18:08,180 --> 00:18:08,440
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

224
00:18:08,440 --> 00:18:09,560
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

225
00:18:09,560 --> 00:18:10,360
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

226
00:18:10,360 --> 00:18:10,480
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

227
00:18:10,480 --> 00:18:12,300
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

228
00:18:12,300 --> 00:18:12,320
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

229
00:18:12,320 --> 00:18:13,660
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

230
00:18:13,660 --> 00:18:14,520
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

231
00:18:14,520 --> 00:18:16,420
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

232
00:18:16,420 --> 00:18:17,660
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي

233
00:18:17,660 --> 00:18:24,600
يكون المتطابقتين إذا كان ال a و ال b

234
00:18:24,600 --> 00:18:28,740
اللي هي نفس ال remainder لو قسمناها على ال m يعني

235
00:18:28,740 --> 00:18:33,260
لو قسمنا ال b على ال m هنلاقي اللي هو ناتج القسمة

236
00:18:33,260 --> 00:18:39,660
b على m R1 و ناتج قسمة a على m R2 في حالة ما يكون

237
00:18:39,660 --> 00:18:44,980
المتطابقتين لازم ال R1 إيش يساوي R2 عشان هيك two

238
00:18:44,980 --> 00:18:49,390
integers are congruent modulo m if and only if they

239
00:18:49,390 --> 00:18:53,690
have the same remainder when divided by m

240
00:18:53,690 --> 00:18:59,810
لو كانت ال a لا تطابق ال b بنرمز ال a لا تطابق ال b

241
00:18:59,810 --> 00:19:03,430
modulo m وهذا ماذا بتحدث؟ بتحدث لما نلاقي ال m لا

242
00:19:03,430 --> 00:19:08,430
تقسم ال a ناقص b أو لما نلاقي ال remainder لل b

243
00:19:08,430 --> 00:19:13,250
لما نقسمها على m يختلف عن ال remainder لل a لما

244
00:19:13,250 --> 00:19:18,910
نقسمها على m طيب خلينا نشوف احنا مثال أو

245
00:19:18,910 --> 00:19:23,510
أمثلة عددية نشوف المثال العددي بيقول determine

246
00:19:23,510 --> 00:19:27,670
whether ال 17 is congruent to 5 ولا لأ أو بعدين

247
00:19:27,670 --> 00:19:31,630
modulo 6 طبعاً and whether ال 24 and ال 14 are

248
00:19:31,630 --> 00:19:35,030
congruent modulo 6 الآن بده يشوف السبعة عشر والخمسة

249
00:19:35,030 --> 00:19:39,830
هل المتطابقتين modulo 6 قلنا أحد أمرين ابني جي

250
00:19:39,830 --> 00:19:44,810
بنقول السبعة عشر ناقص خمسة بيطلع اثنا عشر الستة بتقسم 

251
00:19:44,810 --> 00:19:49,390
إذن إذا السبعة عشر بتقسم الخمسة modulo 6 الآن طريقة

252
00:19:49,390 --> 00:19:53,910
أخرى اللي هي أنه بنجيب نجسم السبعة عشر على الستة

253
00:19:53,910 --> 00:19:58,410
المتبقي جدّيش خمسة هو نفس المتبقي لما الخمسة نجسمها 

254
00:19:58,410 --> 00:20:01,250
على الستة لأن المتبقي بيطلع خمسة ونتج القسم صفر

255
00:20:01,250 --> 00:20:07,160
طبيعي إذن الآن السبعة عشر تطابق خمسة modulo ستة لأن أحد

256
00:20:07,160 --> 00:20:12,540
سببين يا إما الستة بتقسم حاصل طرحين يا إما هذا لما 

257
00:20:12,540 --> 00:20:16,180
نقسم على هذا وهذا لما نقسم على هذا بيعطي نفس

258
00:20:16,180 --> 00:20:21,520
النتيجة نفس اللي هو ال remainder طيب الآن يجي نحكم

259
00:20:21,520 --> 00:20:24,240
على مين؟ على الرابعة والعشرين والرابعة عشر هل congruent

260
00:20:24,240 --> 00:20:27,100
modulo ستة ولا لأ؟ أكيد كلكم قالوا الرابعة والعشرون نقص

261
00:20:27,100 --> 00:20:30,900
الرابعة عشر بتساوي عشرة الستة بتقسمش العشرة إذن

262
00:20:30,900 --> 00:20:35,580
الرابعة والعشرون لا تطابق الرابعة عشر modulo ستة أو

263
00:20:35,580 --> 00:20:40,080
مقياس ستة الآن لو أحد قال لا ما هو أنا بتطلع لها

264
00:20:40,080 --> 00:20:44,080
نظرة أخرى الرابعة والعشرون لو جسمناها على الستة بتطلع

265
00:20:44,080 --> 00:20:47,560
ال remainder صفر لأنه تقبل القسمة عليها لكن الرابعة

266
00:20:47,560 --> 00:20:49,920
عشر لما نجسمها على الستة بتطلع عندي remainder

267
00:20:49,920 --> 00:20:52,260
اثنين إذن ال remainder هنا وال remainder هنا

268
00:20:52,260 --> 00:20:56,320
مختلفات إذن they are not Congruent أحد الأمرين اللي

269
00:20:56,320 --> 00:21:02,220
بتشتغلوه هو صحيح ندى الآن نشوف أخذنا شغلتين الآن

270
00:21:02,220 --> 00:21:07,310
أخذنا اللي هو إيه؟ تطابق الـ P modulo M اللي هو و

271
00:21:07,310 --> 00:21:11,230
الـ a mod m بتساوي b بدنا نشوف العلاقة the

272
00:21:11,230 --> 00:21:14,450
relation between أو the relationship between mod m

273
00:21:14,450 --> 00:21:20,130
and mod m notations يعني هذه اللي بالغامق هذه اللي

274
00:21:20,130 --> 00:21:25,350
بنقصد فيها دالة a mod m اللي هي نقصدنا فيها دالة

275
00:21:25,350 --> 00:21:30,350
لما عرفنا هي وال dive الآن a تطابق b mod m اللي

276
00:21:30,350 --> 00:21:35,560
هي علاقة بين اللي هي integers a و b قلنا إيش هذا

277
00:21:35,560 --> 00:21:40,100
بتعني؟ بتعني أن a تطابق b modulo m اللي هي معناتها

278
00:21:40,100 --> 00:21:45,480
أن m بتجسم ال a minus b أو بمعنى آخر قلنا معناتها

279
00:21:45,480 --> 00:21:52,300
أن المتبقي القسمة من a على m هو نفس متبقي القسمة

280
00:21:52,300 --> 00:21:57,650
من b على m بينما هذه يا جماعة اللي بتعني a mod m

281
00:21:57,650 --> 00:22:04,790
أنه لما نجسم ال a على m متبقي القسمة بساوي b ماشي

282
00:22:04,790 --> 00:22:09,870
إذن لما نقول a mod m بساوي b يعني متبقي قسمة a على

283
00:22:09,870 --> 00:22:15,430
m بساوي b أما هنا a تطابق b mod m أنه متبقي القسمة

284
00:22:15,430 --> 00:22:23,690
a على m هو نفسه متبقي القسمة b لما نقسمه على m الآن

285
00:22:23,690 --> 00:22:27,050
هذا الكلام حكيته أنا it وطبق me the relation on

286
00:22:27,050 --> 00:22:30,110
the six integers هذه علاقة على الستة integers بينما

287
00:22:30,110 --> 00:22:33,370
هذه عبارة عن دالة اتفاقنا عليها اللي هي the

288
00:22:33,370 --> 00:22:37,230
notation denotes the function أو a function

289
00:22:37,230 --> 00:22:40,870
العلاقة بين التنتين الآن هنشوف that the

290
00:22:40,870 --> 00:22:44,550
relationship between these two is made clear in

291
00:22:44,550 --> 00:22:47,950
this theorem هتكون واضحة من خلال هذه النظرية اللي

292
00:22:47,950 --> 00:22:51,230
أمامنا شوفوا يا جماعة صلى الله عليه الصلاة والسلام

293
00:22:51,600 --> 00:22:56,700
لو كان عندي a و b integers و m positive integers

294
00:22:56,700 --> 00:23:03,700
احنا ال a تطابق b modulo m هي تكافئ تماما يعني if

295
00:23:03,700 --> 00:23:09,620
and only if هذه على بعضها هذه تكافئ تماما أن نقول

296
00:23:09,620 --> 00:23:17,760
a mod m بساوي b mod m لأن بي mod ام إيش بتعني؟ أن متبقي

297
00:23:17,760 --> 00:23:22,600
قسمة ال b على m يساوي متبقي قسمة ال a على m لأن

298
00:23:22,600 --> 00:23:25,800
هذه بتعني متبقي قسمة ال a على m وهذه بتعني متبقي

299
00:23:25,800 --> 00:23:29,860
قسمة ال b على m هذه معناتها مساواة يعني متبقي

300
00:23:29,860 --> 00:23:33,760
قسمة هذه على هذه بساوي متبقي قسمة هذه على هذه هو

301
00:23:33,760 --> 00:23:38,910
بالضبط هذا اللي هو A تطابق B mod M يعني متطابق قسمة

302
00:23:38,910 --> 00:23:44,750
A على M اللي هو نفسه متطابق قسمة B على M وكأنه هذا

303
00:23:44,750 --> 00:23:51,070
التعبير هو هذا التعبير ولكن بصورة أخرى ماشي الحال؟

304
00:23:51,070 --> 00:23:58,070
طيب الآن إذا هذا بكافة اللي هو هذه الكلمتين بخزن

305
00:23:58,070 --> 00:24:02,820
هذول اللي عندنا أو كافاته خلينا نشوف مثال الآن الـ

306
00:24:02,820 --> 00:24:09,780
31 و 351 متطابقتين ليش؟ لأن 351 ناقص 31 تطلع 320

307
00:24:09,780 --> 00:24:14,340
العشرة بتجسمها إذن فعلاً متطابقتين بالنسبة للمقياس

308
00:24:14,340 --> 00:24:20,600
عشرة الآن طيب الآن إني جيت نشوف اللي هو ال .. ال ..

309
00:24:20,600 --> 00:24:25,380
ال .. نظرة أخرى لهذه أن هذا وهذول اللي هي نفس ال

310
00:24:25,380 --> 00:24:30,320
remainder لما نجسمها للعشرة هذا هو الآن 31 لما

311
00:24:30,320 --> 00:24:35,160
تجسمها على عشرة بيطلع متبقي واحد 351 لما تجسمها

312
00:24:35,160 --> 00:24:39,580
على عشرة بيطلع متبقي واحد إذن هذا بيساوي هذا يعني

313
00:24:39,580 --> 00:24:44,640
اللي هي التطابقات وبالمناسبة التطابقات اللي هو

314
00:24:44,640 --> 00:24:49,300
موضوع ال congruences هذه هي أصلاً لودادتنا أو

315
00:24:49,300 --> 00:24:54,900
خلينا نقول اللي بتعلمنا كيف أو قدام هنعرف أنظمة

316
00:24:54,900 --> 00:24:59,020
العد من خلالها نظام العد الثاني نظام العد الثلاثي

317
00:24:59,020 --> 00:25:03,200
الرباعي الخماسي العشاري اللي بنتعامل فيه أو الست عشري

318
00:25:03,200 --> 00:25:07,580
أو الثمانية اللي بدنا إياه اللي هو النظام العد اللي

319
00:25:07,580 --> 00:25:11,800
هو اللي بتبع من المقياس يعني مقياس عشرة بنصير مجول

320
00:25:11,800 --> 00:25:15,240
عن نظام العد العشاري مقياس اثنين بنصير مجول عن

321
00:25:15,240 --> 00:25:19,440
نظام العد الاثنين وهكذا وإن شاء الله هنجيه قدام

322
00:25:19,780 --> 00:25:24,780
الآن بيكون هيك احنا خلصنا اللي هو اللي بدنا إياه في

323
00:25:24,780 --> 00:25:28,540
هذا ال section وعندي ال homework التالي بدنا إياه

324
00:25:28,540 --> 00:25:32,580
تجيبوليه ببعتلكم عن واتس بظبط إيش اللي بدنا إياه الآن

325
00:25:32,580 --> 00:25:36,920
السؤال الأول بيقول لي 31 تطابق ماذا modulo سبعة هل

326
00:25:36,920 --> 00:25:40,140
بالطابق الخامسة، بالطابق ال 211؟ يمكن الطابق

327
00:25:40,140 --> 00:25:42,720
واحدة، اثنتين، ثلاث، كل واحدة من هناك تشوف مين

328
00:25:42,720 --> 00:25:46,420
بالطابق ال 31 modulo السبعة وتحط اللي تحتها خط

329
00:25:46,420 --> 00:25:51,430
وتقول لي ليش بالطابقها والثاني لماذا بالطبق عشرة؟

330
00:25:51,430 --> 00:25:55,430
find اللي هو عشرة ضايف ثلاثة عشر ضايف ثلاثة قد إيش

331
00:25:55,430 --> 00:25:59,890
قيمته 101 ضايف ثلاثة وعشرين برضه نفس الشيء وبعدين

332
00:25:59,890 --> 00:26:04,170
أوجد عشرة modulo ثلاثة الآخر هذول إيجاد زي ما شرحنا

333
00:26:04,170 --> 00:26:07,530
قبل شوية الآن question الثالث which of the

334
00:26:07,530 --> 00:26:09,710
following divides the positive integer a؟ يعني

335
00:26:09,710 --> 00:26:15,070
عندي في positive integer a مين من هذول divides

336
00:26:15,070 --> 00:26:19,950
which of the following divides the positive

337
00:26:19,950 --> 00:26:25,510
integer a إيه أو خلينا نقول which of the following

338
00:26:25,510 --> 00:26:52,400
أو a divides which of the following a divides

339
00:26:52,400 --> 00:26:57,500
which of the following يعني مش هنا اللي بدنا نوجد

340
00:26:57,500 --> 00:27:02,920
منه هل ال a بتجسم هذول ولا لأ؟ a بتجسم مين منهم بدك

341
00:27:02,920 --> 00:27:07,360
تحددها وهيك بكون خلصنا ال section الأول وإلى

342
00:27:07,360 --> 00:27:11,840
لقاء آخر والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته