1
00:00:19,740 --> 00:00:27,020
بسم الله الرحمن الرحيم هنواصل اليوم تغطية section 

2
00:00:27,020 --> 00:00:34,550
5-3 اللي بتعلق ب .. موضوع ال continuous functions

3
00:00:34,550 --> 00:00:40,590
على ال intervals على الفترات احنا بدينا ال ..

4
00:00:40,590 --> 00:00:46,690
بدينا الموضوع هذا المحاضرة السابقة و كان آخر نظرية

5
00:00:46,690 --> 00:00:50,890
أخدناها اللي هي ال maximum .. maximum minimum

6
00:00:50,890 --> 00:00:56,870
theorem نعود نستذكر بس نظرية الأخيرة هذه ال

7
00:00:56,870 --> 00:00:57,670
maximum

8
00:01:12,090 --> 00:01:21,410
ال maximum minimum theorem

9
00:01:21,410 --> 00:01:28,050
يقول

10
00:01:28,050 --> 00:01:36,050
إذا كانت if I is a closed and bounded interval 

11
00:01:36,050 --> 00:01:40,290
closed and bounded

12
00:01:46,350 --> 00:01:56,730
وإذا كانت الدالة من I إلى R مستمرة

13
00:01:56,730 --> 00:02:01,270
على

14
00:02:01,270 --> 00:02:02,470
الفترة I

15
00:02:07,590 --> 00:02:20,690
there exist x lower star و x upper star عناصر في I

16
00:02:20,690 --> 00:02:22,070
بحيث أن

17
00:02:24,550 --> 00:02:32,550
f of x lower star بساوي ال minimum ل range ال

18
00:02:32,550 --> 00:02:41,450
function f and f of x super star بساوي ال supremum

19
00:02:41,450 --> 00:02:49,410
ل range ال function f وبالتالي هذه بسميها ال

20
00:02:49,410 --> 00:02:52,930
absolute maximum

21
00:02:54,540 --> 00:03:03,820
value والقيمة هتبسميها ال absolute minimum

22
00:03:03,820 --> 00:03:06,900
value

23
00:03:06,900 --> 00:03:15,920
لل function f على الفترة I طبعا okay okay في اليوم

24
00:03:15,920 --> 00:03:22,580
هناخد نظريات برضه خاصة باتصال الدوال على الفترات

25
00:03:23,810 --> 00:03:30,090
فأول نظرية هتكون location location

26
00:03:30,090 --> 00:03:36,970
of roots theorem

27
00:03:36,970 --> 00:03:45,570
نظرية تحديد ال roots فنفس

28
00:03:45,570 --> 00:03:46,790
الحاجة let

29
00:03:49,750 --> 00:03:57,890
I be closed and bounded interval على الصورة AB and

30
00:03:57,890 --> 00:04:06,190
let f be a function from I to R be continuous

31
00:04:06,190 --> 00:04:09,790
function

32
00:04:09,790 --> 00:04:15,390
على الفترة المغلقة والمحدودة I if

33
00:04:17,630 --> 00:04:29,370
لو كان f of a أصغر من صفر أصغر من f of b أو f of b

34
00:04:29,370 --> 00:04:38,610
أصغر من صفر أصغر من f of a then

35
00:04:38,610 --> 00:04:48,980
there exist c ينتمي للفترة المفتوحة من a إلى b بحيث

36
00:04:48,980 --> 00:04:57,540
أن f of c بيساوي صفر فالنظرية

37
00:04:57,540 --> 00:05:08,100
هذه ممكن أن نلخصها بالرسمة التالية محاور

38
00:05:08,100 --> 00:05:13,280
الإحداثيات وممكن يكون في ending حاجة زي هذه

39
00:05:22,650 --> 00:05:28,930
فهي function هذه عبارة عن ال graph y بساوي f of x

40
00:05:28,930 --> 00:05:37,750
ال function هذه متصلة على الفترة المغلقة من a ل d

41
00:05:37,750 --> 00:05:42,890
وهي 

42
00:05:42,890 --> 00:05:51,450
عندي f of a أصغر من صفر وهي عندي

43
00:05:59,190 --> 00:06:02,510
النظرية بتقول لو كان في دالة متصلة زي هذه على

44
00:06:02,510 --> 00:06:07,830
فترة مغلقة من a ل b وكان f of a أصغر من الصفر و

45
00:06:07,830 --> 00:06:16,370
الصفر أصغر من f of b لابد أن نجد نقطة C بين A و B

46
00:06:16,370 --> 00:06:21,030
بحيث أن قيمة الـ function عندها بيساوي صفر وواضح

47
00:06:21,030 --> 00:06:26,270
أن نقطة C هي قيمة الـ function عندها بيساوي صفر

48
00:06:26,270 --> 00:06:30,830
ممكن برضه يكون العكس يعني الملحوظة هذه يكون شكلها

49
00:06:30,830 --> 00:06:31,430
زي هيك

50
00:06:35,680 --> 00:06:41,700
فيكون يعني عندي هنا ال F of B هي السالبة بقى وهي

51
00:06:41,700 --> 00:06:46,580
عند ال A فال F of B هي الموجبة بقى برضه نفس النتيجة

52
00:06:46,580 --> 00:06:47,620
okay تمام؟

53
00:06:55,410 --> 00:06:59,790
البرهان النظرية هذه يعني it's زي ما بيقولوا it's

54
00:06:59,790 --> 00:07:06,630
quite technical يعني فيه شوية تفاصيل تقنية زيادة أنه 

55
00:07:06,630 --> 00:07:13,090
طويل شوية فاحنا عشان بصدر نهاية الفصل ما بنحبش ناخد

56
00:07:13,090 --> 00:07:16,330
.. ناخد .. ناخد في الـ proofs الطويلة فهنسيبكم تقرأوا

57
00:07:16,330 --> 00:07:19,530
البرهان إذا see the textbook

58
00:07:25,030 --> 00:07:32,130
إذا ممكن بدؤوكم يمكن تقرأوا البرهان من الكتاب و

59
00:07:32,130 --> 00:07:36,770
تحاولوا تفهموه طبعا البرهان طويل ما بنجيبش طبعا

60
00:07:36,770 --> 00:07:41,990
ال proofs الطويلة في هدف الامتحانات okay فهذا بالنسبة

61
00:07:41,990 --> 00:07:46,930
للبرهان الآن هاي مثال مثلا مثال example

62
00:07:54,050 --> 00:07:58,270
Show that the

63
00:07:58,270 --> 00:08:03,470
equation f

64
00:08:03,470 --> 00:08:11,510
of x بتساوي x في e أس x سالب اتنين بتساوي صفر has

65
00:08:11,510 --> 00:08:14,210
a root

66
00:08:20,420 --> 00:08:29,980
in الـ interval من صفر لواحد لنثبت

67
00:08:29,980 --> 00:08:35,200
أن المعادلة f of x بيساوي صفر عشان f of x بيساوي

68
00:08:35,200 --> 00:08:43,100
الدالة هذه لها جذور يعني بنقدر نلاقي أي

69
00:08:43,100 --> 00:08:54,460
هذا يعني show أن يوجد C ينتمي للفترة المغلقة من صفر

70
00:08:54,460 --> 00:09:01,900
لواحد بحيث أن f of C بيساوي صفر ففي الحالة اللي

71
00:09:01,900 --> 00:09:07,360
بنقول أن C root جذر للمعادلة أو C zero لل

72
00:09:07,360 --> 00:09:14,900
function F فبنثبت الكلام هذا فحسب النظرية هذه

73
00:09:27,630 --> 00:09:35,370
F of X بيساوي X في E to X سالب اتنين is continuous

74
00:09:35,370 --> 00:09:40,650
متصلة على الفترة المغلقة من صفر لواحد

75
00:09:47,890 --> 00:09:51,510
لأن X في E to X هي دالة متصلة طرحنا منها ثابت

76
00:09:51,510 --> 00:09:56,750
دالة متصلة على R كذلك

77
00:09:56,750 --> 00:10:06,460
أنا عندي F of صفر بيساوي سالب اتنين أصغر من صفر و F

78
00:10:06,460 --> 00:10:15,300
of واحد بيساوي E ثاني اتنين وال E معروف أنه عدد

79
00:10:15,300 --> 00:10:21,100
أكبر من اتنين فهذا أكبر من صفر إذا هاي شروط ال

80
00:10:21,100 --> 00:10:28,500
location of roots theorem كلها متحققة hence by

81
00:10:28,500 --> 00:10:33,700
location of roots theorem

82
00:10:36,360 --> 00:10:42,300
يوجد C ينتمي للفترة المغلقة من صفر إلى واحد بحيث

83
00:10:42,300 --> 00:10:55,640
أن F of C بيساوي صفر إذا هنا اثبتنا أن C is a root

84
00:10:55,640 --> 00:11:01,400
of equation F of X

85
00:11:04,080 --> 00:11:09,640
بيساوي X في E أس X minus اتنين بيساوي صفر وهو

86
00:11:09,640 --> 00:11:16,360
المطلوب إذا هنا اثبتنا أن فعلا المعادلة هذه لها

87
00:11:16,360 --> 00:11:22,720
جذر في الفترة هذا الجذر يقع هو عدد C يقع في الفترة

88
00:11:22,720 --> 00:11:28,180
من صفر لواحد عدد من صفر لواحد طبعا ممكن هذا العدد

89
00:11:28,180 --> 00:11:35,450
C نعمله تقريب إلى أقرب يعني بحيث يكون النسبة الخطأ

90
00:11:35,450 --> 00:11:41,470
من القيمة الحقيقية تبقى تكون أقل من واحد على ألف

91
00:11:41,470 --> 00:11:46,210
أو واحد على مية أو واحد على عشر ألف فالكتاب موضح

92
00:11:46,210 --> 00:11:51,610
لكم هي هنا في المثال كيف نجيب تقريب نحصل على العدد

93
00:11:51,610 --> 00:11:55,730
صفر بحيث نطلع تقريبا قريب من القيمة الحقيقية

94
00:11:55,730 --> 00:11:59,030
والفرق بينها ومن القيمة الحقيقية واللي هنحصل عليها في

95
00:11:59,030 --> 00:12:05,240
المثال تكون أقل من واحد على ألف أو شيء زيها فممكن تقرأ

96
00:12:05,240 --> 00:12:09,960
وتشوف الكلام هذا في الكتاب لكن احنا اللي يهمنا أن

97
00:12:09,960 --> 00:12:15,460
ال equation هذه ضمننا أن في لها root في الفترة

98
00:12:15,460 --> 00:12:18,740
هذه حسب ال location of roots في الفترة الباقية

99
00:12:18,740 --> 00:12:24,520
كانت تخلي ال root هذا يعني تجيب له قيمة قريبة جدا

100
00:12:24,520 --> 00:12:30,020
من القيمة الحقيقية هذه مجرد يعني تفاصيل حسابية

101
00:12:30,020 --> 00:12:36,320
okay فحاولوا تقرأوها من الكتاب لو سمحتوا الآن هذه

102
00:12:36,320 --> 00:12:47,540
النظرية بتقود إلى نظرية ثانية وهي

103
00:12:47,540 --> 00:12:55,380
Bolzano's

104
00:12:55,380 --> 00:12:57,140
intermediate

105
00:13:04,990 --> 00:13:25,730
value theorem let

106
00:13:25,730 --> 00:13:29,210
I be any interval

107
00:13:36,870 --> 00:13:50,310
and f from I to R be continuous على

108
00:13:50,310 --> 00:14:00,830
الفترة I إذا كان A و B أعداد في الفترة I and

109
00:14:03,830 --> 00:14:16,170
K عدد حقيقي such that F of A أصغر من K أصغر من F

110
00:14:16,170 --> 00:14:20,150
of B then

111
00:14:20,150 --> 00:14:31,610
النتيجة أنه يوجد C ينتمي للفترة I وهذا العدد C يقع

112
00:14:31,610 --> 00:14:32,010
بين

113
00:14:38,340 --> 00:14:48,280
between a and b such that بحيث أن f of c تطلع

114
00:14:48,280 --> 00:14:56,720
بيساوي قيمة k لنعمل

115
00:14:56,720 --> 00:14:58,740
رسمة قبل أن أظهر المظهر

116
00:15:17,560 --> 00:15:37,280
فممكن يكون في عندي function زي هذه مثلا فهي

117
00:15:37,280 --> 00:15:43,320
في عندي فترة I الدالة معرفة ومتصلة عليها

118
00:15:45,810 --> 00:15:52,110
يعني هذه الفترة من هنا إلى هنا I وممكن يكون في

119
00:15:52,110 --> 00:15:59,510
عندي أعداد A و B فممكن يكون مثلا هذه ال A وهذه ال B

120
00:15:59,510 --> 00:16:04,630
فهذه

121
00:16:04,630 --> 00:16:10,450
F of A فهذه

122
00:16:10,450 --> 00:16:11,430
F of A

123
00:16:16,610 --> 00:16:22,070
وهي F of B فلو

124
00:16:22,070 --> 00:16:25,290
كان

125
00:16:25,290 --> 00:16:38,180
K عدد بين F of A و F of B فهي F of B وهي F of A فـ K

126
00:16:38,180 --> 00:16:45,220
عدد بين F of A و F of B فلهذا العدد نقدر نلاقي C

127
00:16:45,220 --> 00:16:49,420
عدد C عدد

128
00:16:49,420 --> 00:16:53,960
C بين A و B وبالتالي ينتمي للفترة I

129
00:16:57,560 --> 00:17:06,760
إذا C بين A و B وينتمي للفترة I بحيث أن صورة C

130
00:17:06,760 --> 00:17:12,380
هي صورة الـ C بيساوي العدد K هذا هو بولزانو

131
00:17:12,380 --> 00:17:16,560
intermediate value theorem نظرية القيمة الوسيطية

132
00:17:16,560 --> 00:17:22,740
نظرية القيمة الوسيطية لبولزانو ملاحظة نظرية هذه مش

133
00:17:22,740 --> 00:17:23,880
صعبة سهلة

134
00:17:43,340 --> 00:17:48,440
Proof البرهان بيعتمد على ال maximum minimum theorem

135
00:17:48,440 --> 00:17:55,160
وعلى اللي هو location of roots theorem ففي عندي

136
00:17:55,160 --> 00:17:58,740
هنا حلتين لاحظوا أن a و b أعداد حقيقية

137
00:18:19,180 --> 00:18:25,800
النتيجة بتكون واضحة لو كان a بيساوي b فـ f of a

138
00:18:25,800 --> 00:18:31,470
بتطلع بيساوي f of b وبالتالي أي k بين f of a وf of b

139
00:18:31,470 --> 00:18:35,690
هيساوي واحدة منهم وبالتالي ال k بيساوي f of a خذ

140
00:18:35,690 --> 00:18:40,790
ال c بيساوي a أو b فالنتيجة إيه واضحة بديهية يعني

141
00:18:40,790 --> 00:18:49,030
متحققات القائمة so assume أن 

142
00:18:49,030 --> 00:18:52,630
a لا يساوي b then

143
00:18:54,390 --> 00:18:58,750
by tricotomy property إذا كان في عددين لا يساويان بعض

144
00:18:58,750 --> 00:19:06,610
فبطلع a أصغر من b أو b أصغر من a فنأخذ الحالة

145
00:19:06,610 --> 00:19:14,850
الأولى case one لو كان a أصغر من b ففي الحالة هذه

146
00:19:21,390 --> 00:19:29,810
لو كان الـ a أصغر من b فبدي أعرف define

147
00:19:29,810 --> 00:19:39,130
في الحالة هذه define g of x على أنها الدالة

148
00:19:39,130 --> 00:19:43,990
اللي هي بالساوي f 

149
00:19:43,990 --> 00:19:47,990
of x ناقص 

150
00:19:47,990 --> 00:19:48,470
k

151
00:19:51,460 --> 00:19:56,340
فطبعًا الـ function g الـ function f متصل على

152
00:19:56,340 --> 00:20:01,680
الفترة I هو متصل على الفترة المغلقة من a إلى b

153
00:20:01,680 --> 00:20:07,080
اللي هي جزء من الفترة I فالـ function g اللي 

154
00:20:07,080 --> 00:20:11,760
بتساوي f ناقص ثابت مثلها متصل على نفس الفترة إذا g 

155
00:20:11,760 --> 00:20:18,450
is continuous على الفترة المغلقة من a إلى b اللي هي

156
00:20:18,450 --> 00:20:22,130
بالمناسبة مجموعة جزئية من I لأن الـ A و الـ B

157
00:20:22,130 --> 00:20:26,530
موجودين في I و

158
00:20:26,530 --> 00:20:35,210
كذلك لاحظوا أن G of A بيساوي F of A ناقص K وهذا من

159
00:20:35,210 --> 00:20:44,570
هنا من الفرض هذا بيطلع أصغر من صفر وهذا أصغر من F

160
00:20:44,570 --> 00:20:52,070
of B ناقص K F of B ناقص K بيطلع موجب اللي هو

161
00:20:52,070 --> 00:20:58,110
بيساوي G of B إذا هذه شروط ال location of roots ال

162
00:20:58,110 --> 00:21:01,990
theorem كلها متحققة هي و اندي فانش جي متصلة على فترة

163
00:21:01,990 --> 00:21:06,560
مغلقة ومحدودة وقيمة الـ G عند الـ left endpoint

164
00:21:06,560 --> 00:21:11,980
سلبية وقيمة الـ G عند ال right endpoint موجبة and

165
00:21:11,980 --> 00:21:16,220
then by then 

166
00:21:16,220 --> 00:21:28,020
by location of roots theorem يوجد

167
00:21:28,020 --> 00:21:37,570
C ينتمي للفترة I يعني يوجد C ينتمي للفترة

168
00:21:37,570 --> 00:21:46,150
المفتوحة من A و B اللي هي subset من I بحيث أن صورة

169
00:21:46,150 --> 00:21:54,170
الـ C عندها بيساوي صفر لكن أنا عندي G of C من تعريف 

170
00:21:54,170 --> 00:22:02,490
الـ function G G of C بيساوي F of C ناقص K حل

171
00:22:02,490 --> 00:22:09,850
المعادلة هذه في F of C فبطلع F of C بيساوي K كما هو

172
00:22:09,850 --> 00:22:15,270
مطلوب زي ما هو مطلوب أن هيك بتكون برهانة نظرية بس

173
00:22:15,270 --> 00:22:20,540
في الحالة اللي فيها بتكون A أصغر من B يبقى ندرين

174
00:22:20,540 --> 00:22:25,300
النظرية في الحالة التالية case 2 اللي فيها الـ b

175
00:22:25,300 --> 00:22:29,920
أصغر من a ففي

176
00:22:29,920 --> 00:22:37,080
الحالة هذه خلّيني أعرف المرة هذه function h على

177
00:22:37,080 --> 00:22:45,820
أنها بتساوي K ناقص f of x فواضح clearly 

178
00:22:48,290 --> 00:22:57,210
واضح أن الـ H زيها زي الـ F متصلة is continuous على

179
00:22:57,210 --> 00:23:06,690
الفترة المغلقة والمحدودة من A لـ B and H 

180
00:23:06,690 --> 00:23:15,910
of A بيساوي K ناقص K ناقص F of A بيطلع سالب K

181
00:23:15,910 --> 00:23:23,460
ناقص F of A ومن الفرض هذا بيطلع سالب وهذا أصغر من 

182
00:23:23,460 --> 00:23:36,300
K ناقص f of b اللي هو بيطلع h of b كذلك K لو 

183
00:23:36,300 --> 00:23:41,600
طرحت من الـ k f of b فبيطلع موجب الفرق إذا الآن في 

184
00:23:41,600 --> 00:23:45,200
هذه function h continuous على فترة مغلقة ومحدودة 

185
00:23:45,970 --> 00:23:49,610
وقيمتها عند الـ left endpoint سالبة وعند الـ right

186
00:23:49,610 --> 00:23:58,170
point موجبة إذا كل شروط ال location of roots في 

187
00:23:58,170 --> 00:24:04,550
المتحققة so by

188
00:24:04,550 --> 00:24:12,790
location of roots theorem يوجد

189
00:24:12,790 --> 00:24:23,950
C ينتمي إلى الفترة مظبوط هيك؟ كده كده كده كده كده

190
00:24:23,950 --> 00:24:30,130
كده كده كده كده

191
00:24:30,130 --> 00:24:31,150
كده كده كده كده كده

192
00:24:36,660 --> 00:24:43,600
هيك صح K ناقص F of B بيطلع سالب و هنا هاد المفروض 

193
00:24:43,600 --> 00:24:53,120
تكون A و هاد A صحيح، بظبط، صح، إذا H of A اللي هي

194
00:24:53,120 --> 00:24:58,180
K ناقص F of A هي K اطرح منها F of A بيطلع موجب 

195
00:24:58,940 --> 00:25:03,460
بينما K ناقص F of B بيطلع سالب، مظبوط هيك، إذا U

196
00:25:03,460 --> 00:25:10,920
يوجد C بين B و A وهي طبعًا فترة contained in R بحيث

197
00:25:10,920 --> 00:25:19,420
أن H of C بيساوي صفر، لكن H of C من تعريفها هي 

198
00:25:19,420 --> 00:25:24,400
عبارة عن K ناقص F of C وبالتالي هذا بيقدر حل

199
00:25:24,400 --> 00:25:30,190
المعادلة هذه في F of C فبطلع F of C بيساوي K وهو

200
00:25:30,190 --> 00:25:35,010
المطلوب إذا في الحالتين أثبتنا أن يوجد C في الفترة

201
00:25:35,010 --> 00:25:43,510
I بين A و B وقيمتها عند C بيساوي K إذا هيك بيكون

202
00:25:43,510 --> 00:25:47,930
برهاننا Bolzano's Intermediate Value

203
00:25:55,030 --> 00:26:03,170
الآن هذه النظرية في عليها نتيجة مهمة

204
00:26:20,170 --> 00:26:26,910
let I بيساوي closed and bounded interval and if the 

205
00:26:26,910 --> 00:26:37,070
function from I to R be continuous ومتصلة على

206
00:26:37,070 --> 00:26:42,590
الفترة I تمام؟

207
00:26:42,590 --> 00:26:45,910
لو كان

208
00:26:48,570 --> 00:27:01,130
K عدد حقيقي satisfies

209
00:27:01,130 --> 00:27:08,250
بيحقق الشرط التالي أن K .. العدد K هذا أكبر من أو

210
00:27:08,250 --> 00:27:16,090
ساوي ال infimum لـ set f of I اللي هو range الـ F اللي 

211
00:27:16,090 --> 00:27:20,590
هي القيمة الصغيرة المطلقة لـ F على I وأصغر من أو يساوي

212
00:27:20,590 --> 00:27:24,890
ال supremum لـ range الـ F اللي هي ال absolute 

213
00:27:24,890 --> 00:27:29,850
maximum value لـ الـ function F على I ففي الحالة هذه

214
00:27:29,850 --> 00:27:42,260
من نقدر نلاقي C there exist C ينتمي للفترة I بحيث

215
00:27:42,260 --> 00:27:51,400
أن F of C بيساوي العدد K وبرهان

216
00:27:51,400 --> 00:28:00,440
النظرية هذه سهل By

217
00:28:00,440 --> 00:28:05,440
maximum minimum theorem

218
00:28:11,040 --> 00:28:14,040
الـ maximum minimum theorem بتقول لو كان في هذه

219
00:28:14,040 --> 00:28:18,640
function متصلة على فترة مغلقة ومحدودة فالـ

220
00:28:18,640 --> 00:28:24,020
function هذه بتأخذ قيمتها العظمى المطلقة وقيمتها

221
00:28:24,020 --> 00:28:29,360
الصغرى المطلقة وقيمتها العظمى المطلقة على الفترة I

222
00:28:29,360 --> 00:28:34,920
يعني في أعداد في الفترة I عندها الـ function بتأخذ

223
00:28:34,920 --> 00:28:37,760
قيمتها العظمى المطلقة وقيمتها الصغرى المطلقة

224
00:28:40,910 --> 00:28:51,330
إذاً there exist x lower star و x super star عناصر

225
00:28:51,330 --> 00:29:00,870
في I بحيث أن الـ F of x lower star بيساوي infimum

226
00:29:01,750 --> 00:29:10,230
لسيت f of i and f of x super star بيساوي الـ

227
00:29:10,230 --> 00:29:15,050
supremum لسيت

228
00:29:15,050 --> 00:29:26,270
f of i تمام

229
00:29:26,270 --> 00:29:27,750
hence

230
00:29:31,910 --> 00:29:41,670
by حسب ال hypothesis ال hypothesis star من الفرض

231
00:29:41,670 --> 00:29:44,750
ال star اللي هو إحنا فرضين أن الـ key عدد K هذا

232
00:29:44,750 --> 00:29:55,670
بيحقق المتباينة يعني we have لدينا الـ k أكبر من أو

233
00:29:55,670 --> 00:30:06,970
ساوي f of x lower star أصغر من أو يساوي f

234
00:30:06,970 --> 00:30:15,370
of x upper star و 

235
00:30:15,370 --> 00:30:21,630
الـ function and if is continuous على الفترة المغلقة

236
00:30:21,630 --> 00:30:33,690
من x lower star إلى x super star أو

237
00:30:33,690 --> 00:30:41,650
لعكس ممكن يكونوا متبادلة ثانية أو x super star x

238
00:30:41,650 --> 00:30:46,320
lower star تعتمد على مين اللي أصغر من الثانية إذا

239
00:30:46,320 --> 00:30:50,760
كانت هذه أصغر من هذه فهذه تطلع فترة داخل I و F 

240
00:30:50,760 --> 00:30:54,340
continuous على I أيضًا continuous على أي فترة جزئية

241
00:30:54,340 --> 00:30:58,060
منها وإذا كان ال X Superstar أصغر من X Lower Star 

242
00:30:58,060 --> 00:30:59,380
فنأخذ الفترة أيضًا

243
00:31:03,410 --> 00:31:08,850
شروط بولزانو فيروس تراسي فيرم هاي في عندي نقطتين A

244
00:31:08,850 --> 00:31:16,070
و B بينتموا للفترة I و F continuous على I

245
00:31:28,770 --> 00:31:35,190
وعندي a و b بينتموا للفترة I وعندي K أكبر من أو 

246
00:31:35,190 --> 00:31:47,070
ساوي F of A أصغر من أو يساوي F of B so by Bolzano's

247
00:31:57,180 --> 00:32:09,500
يوجد C ينتمي للفترة I بين X

248
00:32:09,500 --> 00:32:21,000
lower star و X super star بحيث أن f of c بيساوي

249
00:32:21,000 --> 00:32:25,580
العدد K وهذا

250
00:32:25,580 --> 00:32:30,820
اللي بدنا نقوله يعني أثبتنا يوجد c ينتمي للفترة I

251
00:32:30,820 --> 00:32:38,800
وصورة c بيساوي العدد K وهو المطلوب إذا هذه النتيجة

252
00:32:38,800 --> 00:32:44,440
على بلزانو intermediate valley theorem برهنها بكل

253
00:32:44,440 --> 00:32:51,920
بساطة وبكل أريحية واضح البرهان في أي استفسار أن 

254
00:32:51,920 --> 00:32:55,420
البرهان هنا تبع النظرية هذه بعتمد على maximum 

255
00:32:55,420 --> 00:32:59,680
minimum maximum minimum theorem نظرية القيم

256
00:32:59,680 --> 00:33:03,360
القصوى أخذناها المحاضرة اللي فاتت وعلى Bolzano

257
00:33:03,360 --> 00:33:11,040
intermediate value theorem okay

258
00:33:11,040 --> 00:33:11,480
تمام

259
00:33:15,690 --> 00:33:23,230
طيب الـ ..

260
00:33:23,230 --> 00:33:29,290
نأخذ نظرية

261
00:33:29,290 --> 00:33:38,950
يمكن

262
00:33:38,950 --> 00:33:43,350
ما نحتاجش هدول نمسح

263
00:33:43,350 --> 00:33:44,010
اللوح هذا

264
00:34:03,530 --> 00:34:11,490
فيرم let I بيساوي closed bounded interval be closed

265
00:34:11,490 --> 00:34:25,090
and bounded closed and bounded interval and let f

266
00:34:25,090 --> 00:34:49,240
from I to R دي continuous متصلة على الفترة I then

267
00:34:49,240 --> 00:34:57,280
النتيجة أن الـ set أو الـ range الـ range للـ

268
00:34:57,280 --> 00:35:08,740
function I is a closed and bounded closed and

269
00:35:08,740 --> 00:35:17,460
bounded interval that

270
00:35:17,460 --> 00:35:18,920
is هذا يعني 

271
00:35:21,810 --> 00:35:26,930
هذا يعني .. يعني النص أو نتيجة النظرية دي من كلها 

272
00:35:26,930 --> 00:35:33,850
مختصرة في عبارة واحدة وهي أن a continuous function

273
00:35:33,850 --> 00:35:44,230
a continuous function preserves .. preserves

274
00:35:44,230 --> 00:35:49,610
بتحافظ closed 

275
00:35:51,530 --> 00:35:56,510
and bounded intervals

276
00:35:56,510 --> 00:36:00,870
الدوال

277
00:36:00,870 --> 00:36:05,130
المتصلة بتحافظ على الـ closed و الـ bounded interval

278
00:36:05,130 --> 00:36:10,350
يعني الـ function f بتأخذ I اللي هي closed bounded

279
00:36:10,350 --> 00:36:13,610
interval بتعطيني صورتها closed bounded interval

280
00:36:13,610 --> 00:36:19,410
زيها من نفس الصنف من نفس النوع لبرهان ذلك 

281
00:36:29,060 --> 00:36:44,440
ف let M يساوي الـ infimum لـ range الـ F و

282
00:36:44,440 --> 00:36:50,720
capital M يساوي الـ supremum لـ range الـ F

283
00:36:56,430 --> 00:37:11,770
both M and N exist in R by maximum 

284
00:37:11,770 --> 00:37:15,290
minimum theorem

285
00:37:19,900 --> 00:37:25,120
نظرية القيمة القصوى بتقول إنه إذا كانت f function

286
00:37:25,120 --> 00:37:30,180
متصلة على closed bounded interval فالـ .. الـ .. الـ

287
00:37:30,180 --> 00:37:34,560
function إلها قيمة صغرى مطلقة و إلها قيمة عظمى

288
00:37:34,560 --> 00:37:39,300
مطلقة سمها قيمة صغرى مطلقة M و قيمة العظمى

289
00:37:39,300 --> 00:37:44,760
المطلقة capital M تمام؟

290
00:37:44,760 --> 00:37:47,580
clearly

291
00:37:54,210 --> 00:38:02,370
F of X أكبر من أو يساوي M أصغر من أو يساوي م لكل X

292
00:38:02,370 --> 00:38:10,630
في I قيمة الدالة عند أي X في المجال تبعها أصغر من

293
00:38:10,630 --> 00:38:15,090
أو يساوي قيمة العظمى المطلقة و أكبر في نفس المجال

294
00:38:15,090 --> 00:38:17,370
أكبر من أو يساوي قيمة الصغرى المطلقة

295
00:38:21,460 --> 00:38:26,040
فهذا بيؤدي which

296
00:38:26,040 --> 00:38:40,440
implies هذا بيؤدي أنه الـ .. أنه f of I contained

297
00:38:40,440 --> 00:38:47,680
في الفترة المغلقة من small m لـ capital M المتبادلة

298
00:38:47,680 --> 00:38:53,400
الأخيرة هذه تثبت أن الـ set هذه subset من هذه لأنه

299
00:38:53,400 --> 00:38:59,880
خذوا أي عنصر هنا فأي عنصر هنا عبارة عن f of x for

300
00:38:59,880 --> 00:39:07,100
some x ينتمي لـ I صح فأي f of x for some x ينتمي لـ

301
00:39:07,100 --> 00:39:12,730
I هيمحصور من small m و capital M وبالتالي ينتمي

302
00:39:12,730 --> 00:39:16,610
للفترة المغلقة هذه، لأن كل عنصر أنا هو عنصر في

303
00:39:16,610 --> 00:39:22,490
الفترة المغلقة، لأن هذا الاحتواء صحيح، تمام؟ الآن

304
00:39:22,490 --> 00:39:24,770
احنا بنثبت المساواة

305
00:39:30,090 --> 00:39:36,190
إن الـ range للـ function f يساوي كل الفترة المغلقة

306
00:39:36,190 --> 00:39:44,150
من small m لـ capital M فلإثبات

307
00:39:44,150 --> 00:39:55,350
ذلك هي عندي أنا to prove this it

308
00:39:55,350 --> 00:39:56,090
remains

309
00:39:59,390 --> 00:40:07,930
it remains to show يبقى إثبات دا في إثبات إن احنا

310
00:40:07,930 --> 00:40:12,370
لثبت الاحتواء المعاكس the reverse inclusion

311
00:40:18,550 --> 00:40:28,670
إذا يبقى إثبات إن الفترة المغلقة من small m to

312
00:40:28,670 --> 00:40:35,970
capital M contained in F of I فكيف نثبت إحنا set

313
00:40:35,970 --> 00:40:41,570
subset من الأخرى نسميه

314
00:40:41,570 --> 00:40:45,950
برهان بإيه بتتبع العناصر يعني بناخد عنصر في

315
00:40:45,950 --> 00:40:49,540
المجموعة الأولى نثبت العناصر في المجموعة الثانية

316
00:40:49,540 --> 00:40:53,080
هذا بيسموه في رياضيات الـ chasing of elements

317
00:40:53,080 --> 00:41:03,880
argument برهان بتتبع العناصر فقالت why ينتمي

318
00:41:03,880 --> 00:41:12,580
للفترة المغلقة من small m لـ capital M طيب هذا

319
00:41:12,580 --> 00:41:19,540
بيؤدي الـ y أكبر من أو يساوي small m أصغر من أو

320
00:41:19,540 --> 00:41:31,720
يساوي capital M وهذا عبارة عن الـ infimum لـ range

321
00:41:31,720 --> 00:41:39,460
الـ function f وهذا يساوي الـ supremum لـ range

322
00:41:39,460 --> 00:41:40,500
الـ function f

323
00:41:47,540 --> 00:41:57,540
وعندي الـ .. إذا حسب الـ .. الـ corollary تبع النظرية

324
00:41:57,540 --> 00:42:04,060
هذه فإن عندي الـ function if continuous على الفترة

325
00:42:04,060 --> 00:42:10,520
المغلقة a,b فعندي if continuous على الفترة المغلقة

326
00:42:10,520 --> 00:42:18,800
a,b وعندي k اللي هو y عدد محصور بين الـ infimum لـ f

327
00:42:18,800 --> 00:42:28,520
of i و الـ supremum لـ f of i by

328
00:42:28,520 --> 00:42:36,090
above corollaryالقرن اللي لـ Bolzano Intermediate

329
00:42:36,090 --> 00:42:43,390
Value Theorem يقول إن يوجد C ينتمي للفترة I بحيث

330
00:42:43,390 --> 00:42:50,090
أن F of C يساوي

331
00:42:50,090 --> 00:42:58,170
العدد Y اللي هو قابل الـ K في نص النظرية الـ C ينتمي

332
00:42:58,170 --> 00:43:05,170
لـ I إذاً F of C تنتمي لـ F للست F of I إذاً أنا

333
00:43:05,170 --> 00:43:09,410
بدأت بـ Y ينتمي للفترة المغلقة طلع Y ينتمي لـ F of

334
00:43:09,410 --> 00:43:17,570
I Therefore Hence هيك

335
00:43:17,570 --> 00:43:20,750
منكون أثبتنا أن الفترة المغلقة من small m

336
00:43:20,750 --> 00:43:31,990
لـ capital M is contained في الـ set f of i هذا

337
00:43:31,990 --> 00:43:37,490
بيبرهن الـ claim و النظرية لأن هيك بيكون برهننا الـ

338
00:43:37,490 --> 00:43:42,010
claim وبالتالي برهننا النظرية لأن هيك هي أثبتت أن

339
00:43:42,010 --> 00:43:45,950
الـ image لـ الـ closed bounded interval I طلعت

340
00:43:45,950 --> 00:43:49,970
closed bounded interval صح و هو المطلوب

341
00:43:53,870 --> 00:44:00,730
Okay واضح البرهان؟ في أي استفسار على البرهان؟

342
00:44:00,730 --> 00:44:08,030
في هنا تحذير warning تحذير

343
00:44:08,030 --> 00:44:15,070
in

344
00:44:15,070 --> 00:44:30,000
the above theorem we had F of I التي هي F للفترة

345
00:44:30,000 --> 00:44:35,320
المغلقة من A لـ B طلعت

346
00:44:35,320 --> 00:44:39,900
بالساوي الفترة المغلقة من small m لـ capital M حيث

347
00:44:39,900 --> 00:44:43,980
small m is the absolute minimum value و capital M

348
00:44:43,980 --> 00:44:47,140
is the absolute maximum value of the function F on

349
00:44:47,140 --> 00:44:54,980
the interval I و هذا ليس بالضرورة مش شرط هذه الفترة

350
00:44:54,980 --> 00:45:03,750
تكون الفترة من F of A لـ F of B هذه الفترة ماحدش قال

351
00:45:03,750 --> 00:45:08,370
أو مقدر يزم أن تكون الفترة المغلقة من F of A لـ F of B

352
00:45:08,370 --> 00:45:13,750
هذا مش صحيح okay النظرية ما بتقولش الكلام هذا

353
00:45:13,750 --> 00:45:18,490
بتقولش الكلام هذا فقط هذا غلط مش شرط الـ image

354
00:45:18,490 --> 00:45:23,050
للفترة I بالساوي الفترة المغلقة من F of A لـ F of B

355
00:45:23,050 --> 00:45:30,640
فخذوا بالكم من إيه من التحذير هذا Okay إذاً هن

356
00:45:30,640 --> 00:45:34,720
أثبتنا إن لو كانت الـ function تبعتي متصلة على فترة

357
00:45:34,720 --> 00:45:39,420
مغلقة أو محدودة فصورتها بتطلع مغلقة أو محدودة

358
00:45:39,420 --> 00:45:45,280
وبالتالي الـ function preserves الـ .. الـ .. الـ

359
00:45:45,280 --> 00:45:50,640
intervals طيب

360
00:45:50,640 --> 00:45:53,940
الـ .. النظرية دي إلها تعميم

361
00:46:03,890 --> 00:46:10,730
preservation of intervals

362
00:46:10,730 --> 00:46:14,770
theorem لو

363
00:46:14,770 --> 00:46:21,050
كانت الفترة let I be any interval مش شرط تكون ..

364
00:46:21,050 --> 00:46:28,070
مش شرط تكون close about it .. be any interval and

365
00:46:28,070 --> 00:46:43,200
let إذاً من I إلى R يكون مستمر على الفترة I ثم

366
00:46:43,200 --> 00:46:49,260
ستة F من I هي معرفة

367
00:46:53,620 --> 00:46:57,220
النظرية هذه بتقول لو كانت f دالة متصلة مجال

368
00:46:57,220 --> 00:47:03,960
تبعها أي فترة مغلقة، محدودة، مش محدودة، half-open،

369
00:47:03,960 --> 00:47:06,580
open-half-open interval اللي لقاش، أي لوحة من الـ

370
00:47:06,580 --> 00:47:11,820
intervals اللي شفناهم في chapter واحد فصورتها أيضا

371
00:47:11,820 --> 00:47:15,500
لازم تطلع interval وبالتالي الـ continuous function

372
00:47:15,500 --> 00:47:19,880
بتحافظ على الفترة، على الفترات يعني بتأخذ فترة في

373
00:47:19,880 --> 00:47:24,780
مجالها بتعطيل صورتها فترة هذه الفترة ما بنعرفش كيف

374
00:47:24,780 --> 00:47:29,620
نوعها لكن اللي بنقدر نظمه في النظرية السابقة أنه

375
00:47:29,620 --> 00:47:33,300
لو كانت الفترة I هذه closed bounded فصورتها هتطلع

376
00:47:33,300 --> 00:47:36,960
closed bounded أما لو كانت من نوع آخر فصورتها مش

377
00:47:36,960 --> 00:47:42,200
شرط تكون من نفس النوع ماحدش قال الكلام هذا فلبرهان

378
00:47:42,200 --> 00:47:47,780
ذلك لبرهان

379
00:47:47,780 --> 00:47:48,260
ذلك

380
00:47:53,440 --> 00:48:01,040
خلينا ناخد let alpha و beta belong to except f of

381
00:48:01,040 --> 00:48:14,580
I with alpha أصغر من beta خلينا

382
00:48:14,580 --> 00:48:15,640
نستذكر بس

383
00:48:22,460 --> 00:48:27,560
في نظرية أخدناها قبل هيك الـ theorem اتنين خمسة

384
00:48:27,560 --> 00:48:44,300
واحد بتقول if S subset of R contains at least two

385
00:48:44,300 --> 00:48:48,500
elements and satisfies

386
00:48:52,530 --> 00:48:58,810
Satisfies الخاصية واحد إن لو كان X و Y تنتمي لـ S و

387
00:48:58,810 --> 00:49:04,850
X أصغر من Y هذا بيؤدي إن الفترة من X إلى Y

388
00:49:04,850 --> 00:49:10,670
contained in S then

389
00:49:10,670 --> 00:49:13,790
set S is an interval

390
00:49:17,430 --> 00:49:19,470
إن إن هذه النظرية أخدناها في الـ chapter .. في الـ

391
00:49:19,470 --> 00:49:23,830
chapter الأول بتقول لو كان في عندي set subset

392
00:49:23,830 --> 00:49:29,520
من R فيها على الأقل عنصرين وبتحقق الـ set هذه بتحقق

393
00:49:29,520 --> 00:49:33,580
الخاصية واحد property one أنه لأي x و y في الـ set

394
00:49:33,580 --> 00:49:39,300
و x أصغر من y الفترة من x لـ y بتكون موجودة داخل الـ

395
00:49:39,300 --> 00:49:43,880
set في الحالة هذه الـ set نفسها S تطلع interval إذا

396
00:49:43,880 --> 00:49:50,820
أنا بدي أثبت to show طيب

397
00:49:50,820 --> 00:49:51,780
أنا عندي

398
00:49:54,280 --> 00:50:00,060
هذه أخذت نقطتين في الـ set هذه هي الـ set الـ set S

399
00:50:00,060 --> 00:50:04,600
هذه أخذت نقطتين و Alpha أصغر من Beta و بتثبت أنها

400
00:50:04,600 --> 00:50:08,700
بتحقق الخاصية واحد عشان أثبت أنها interval أنا

401
00:50:08,700 --> 00:50:13,160
عندي Alpha و Beta تنتمي لـ F of I لأن Alpha تساوي

402
00:50:13,160 --> 00:50:22,570
F of A for some a تنتمي إلى I و Beta تساوي F of B

403
00:50:22,570 --> 00:50:30,330
for some B تنتمي إلى I وبالتالي

404
00:50:30,330 --> 00:50:36,950
..

405
00:50:36,950 --> 00:50:39,790
بالتالي ..

406
00:50:47,200 --> 00:50:59,180
أنا عندي الـ Bolzano طيب طيب to show to

407
00:50:59,180 --> 00:51:09,420
show f of I is an interval we

408
00:51:09,420 --> 00:51:20,550
need to show أن الـ set f of i satisfies property

409
00:51:20,550 --> 00:51:23,830
واحد

410
00:51:23,830 --> 00:51:33,430
of theorem اتنين خمسة واحد فهي

411
00:51:33,430 --> 00:51:36,830
عندي alpha و beta تنتمي لـ f of i و alpha أصغر من

412
00:51:36,830 --> 00:51:40,690
beta ف

413
00:51:40,690 --> 00:51:42,290
to show

414
00:51:44,880 --> 00:51:56,020
الفترة من Alpha إلى Beta contained in F of I let K

415
00:51:56,020 --> 00:52:00,300
ينتمي إلى الفترة المغلقة من Alpha إلى Beta

416
00:52:04,220 --> 00:52:11,680
أكبر من أو يساوي alpha هي تساوي f of a وأصغر من

417
00:52:11,680 --> 00:52:21,460
أو يساوي beta هي تساوي f of b وبالتالي so by

418
00:52:21,460 --> 00:52:26,440
Bolzano's

419
00:52:26,440 --> 00:52:31,120
intermediate

420
00:52:31,120 --> 00:52:32,940
value theorem

421
00:52:35,620 --> 00:52:48,960
يوجد C ينتمي إلى I between Alpha

422
00:52:48,960 --> 00:52:59,400
و Beta بحيث أن F of C يساوي K أو

423
00:52:59,400 --> 00:53:08,640
K يساوي F of C  طبقا لما إذا ال C تنتمي لـ I إذا F of C تنتمي

424
00:53:08,640 --> 00:53:13,380
لـ F of I إذا 

425
00:53:13,380 --> 00:53:18,200
هاني أثبتت إنه كل K في الفترة المغلقة من Alpha إلى

426
00:53:18,200 --> 00:53:25,850
Beta طلع ينتمي لـ F of I وبالتالي إذن بيطلع عند

427
00:53:25,850 --> 00:53:31,270
الفترة المغلقة من Alpha إلى Beta  الـ subset من F of

428
00:53:31,270 --> 00:53:38,830
I وبالتالي إذا الـ set F of I بتحقق الـ property 

429
00:53:38,830 --> 00:53:46,810
واحد إذا by theorem .. by theorem اثنين خمسة واحد

430
00:53:46,810 --> 00:53:53,650
الـ set F of I بتطلع interval is an interval

431
00:53:56,670 --> 00:54:03,570
و هذا بيكمل النظرية إذا هذا بيكمل البرهان هيك

432
00:54:03,570 --> 00:54:10,630
بنكون خلصنا الـ section خمسة تلاتة و باقي عننا

433
00:54:10,630 --> 00:54:16,190
section خمسة أربعة هناخده في المحاضرة الجاية نحاول

434
00:54:16,190 --> 00:54:24,130
نشوف زمنا نخلصه ولا لأفال .. شكرا لحسن إصغائكم و

435
00:54:24,130 --> 00:54:26,910
يعطيكم العافية و نشوفكم إن شاء الله المرة الجاية