1
00:00:21,840 --> 00:00:28,120
المحاضرة اللي فاتت بدينا في عرض بعض ال

2
00:00:28,120 --> 00:00:32,760
applications of the supremum property وبعتقد أن

3
00:00:32,760 --> 00:00:37,680
احنا أخذنا أول مثال اللي هو المثال هذا مظبوط 

4
00:00:37,680 --> 00:00:40,980
فقولنا

5
00:00:40,980 --> 00:00:46,160
إن المثال هذا لو أخدت أي bounded set bounded

6
00:00:46,160 --> 00:00:56,150
above وعرفت المجموعة a زائد s بالطريقة هذه فأثبتنا

7
00:00:56,150 --> 00:01:00,770
وممكن بسهولة إثبات أن ال supremum للمجموعة الجديدة

8
00:01:00,770 --> 00:01:09,870
A plus S بتساوي A plus ال supremum لـ S وشوفنا

9
00:01:09,870 --> 00:01:15,630
البرهان بالتفصيل المرة اللي فاتت وكان هنا البرهان

10
00:01:15,630 --> 00:01:18,390
بعتمد على أن الـ set اللي bounded above

11
00:01:32,250 --> 00:01:36,230
الـ set S هي bounded above لأن ال supremum تبعها

12
00:01:36,230 --> 00:01:42,940
exists by the supremum property وشوفنا بعد هيك أنه 

13
00:01:42,940 --> 00:01:49,660
الـ .. العدد a زائد u بيطلع upper bound للـ set هذه و

14
00:01:49,660 --> 00:01:53,500
بعدين أثبتنا أن هذا العدد هو أصغر upper bound أو

15
00:01:53,500 --> 00:01:59,320
supremum للـ set هذه وبالتالي هيك بنكون أثبتنا أن 

16
00:01:59,320 --> 00:02:03,760
supremum للـ set هذه موجود و بيساوي العدد a زائد u

17
00:02:03,760 --> 00:02:09,420
اللي هو a زائد supremum S المثال الثاني

18
00:02:16,520 --> 00:02:20,320
لو أخدت two functions المجال الـ domain تبعهم 

19
00:02:20,320 --> 00:02:25,300
مجموعة D subset من R وكتبت 

20
00:02:25,300 --> 00:02:29,280
F of D على أنها مجموعة كل العناصر F of X حيث و X

21
00:02:29,280 --> 00:02:34,400
ينتمي لـ D فالـ set F of D هذه هي الـ range تبع الـ

22
00:02:34,400 --> 00:02:39,120
function F صح؟ هي المدى تبع الـ function F  و كذلك

23
00:02:39,120 --> 00:02:46,000
الـ set G of D هي الـ range تبع الـ function G 

24
00:02:48,510 --> 00:02:53,250
فلو فرضنا أن الـ set f of d و الـ set g of d bounded

25
00:02:53,250 --> 00:03:01,530
set R فطبعا حسب ال supremum property المجموعات دول 

26
00:03:01,530 --> 00:03:06,430
كل واحدة لها supremum كذلك حسب ال infimum property

27
00:03:07,290 --> 00:03:11,050
المجموعتين هذول كل واحدة فيهم إلها infimum، الـ

28
00:03:11,050 --> 00:03:15,350
infimum تبعهم exists إذا نفرض إن المجمعتين هذول

29
00:03:15,350 --> 00:03:18,570
bounded عشان إيه نضمن وجود ال supremum والinfimum 

30
00:03:18,570 --> 00:03:26,450
لكل واحدة منهم الآن في عندي بدي أبرهن حاجة ثانية لو

31
00:03:26,450 --> 00:03:31,930
كان الفرض f of x أصغر من أو يساوي g of x بتحقق لكل 

32
00:03:31,930 --> 00:03:38,040
x ينتمي لـ D بيطلع ال supremum للمجموعة F of D بيطلع أصغر من

33
00:03:38,040 --> 00:03:44,660
أو يساوي ال supremum للمجموعة G of D وبرهان هذا

34
00:03:44,660 --> 00:03:54,220
البرهان يعني سهل أنا كاتب إنه easy exercise لكن 

35
00:03:54,220 --> 00:04:02,780
ممكن تبرهنه ممكن تبرهنه بكل سهولة فهي نكتب الـ proof

36
00:04:06,320 --> 00:04:14,320
of part one للجزء الأول فخلّينا 

37
00:04:14,320 --> 00:04:19,400
نثبت fix x

38
00:04:19,400 --> 00:04:29,400
ينتمي إلى d ناخد عنصر x ينتمي إلى d عشوائي by 

39
00:04:29,400 --> 00:04:31,240
hypothesis من الفرض 

40
00:04:33,710 --> 00:04:40,970
من الفرض أنا عندي f of x أصغر من أو يساوي g of x

41
00:04:40,970 --> 00:04:52,470
للـ x هذه و لأي x دي صح هذا من الفرض و g of x g of

42
00:04:52,470 --> 00:05:00,550
x أصغر من أو يساوي ال supremum للـ set g of d

43
00:05:04,610 --> 00:05:14,410
طبعا هذا زي ما قلنا exists by supremum property

44
00:05:14,410 --> 00:05:20,970
باستخدام خاصية الـ

45
00:05:20,970 --> 00:05:26,910
supremum .. هذا .. هذا عنصر في الـ set هذا g of x عنصر

46
00:05:26,910 --> 00:05:32,550
في الـ set g of d صح؟وهذا upper bound ال supremum لـ g of 

47
00:05:32,550 --> 00:05:38,690
d و هذا عنصر في الـ set g of d فهذا أكيد أكبر من أو يساوي

48
00:05:38,690 --> 00:05:43,610
ال upper bound للـ set اللي بينتمي إليها فهذا صحيح 

49
00:05:43,610 --> 00:05:56,610
الآن هذا صحيح لكل x since x belonged to D was 

50
00:05:56,610 --> 00:05:57,610
arbitrarily

51
00:06:03,450 --> 00:06:10,110
arbitrary  إن إن بيطلع عندي F of X أصغر من أو يساوي 

52
00:06:10,110 --> 00:06:20,490
ال supremum لـ G of D وهذا صحيح لكل X في D هذا 

53
00:06:20,490 --> 00:06:29,900
معناه إنه العدد هذا هذا العدد أكبر من أو يساوي كل 

54
00:06:29,900 --> 00:06:36,960
عناصر الـ set F of D صح؟ هي هذا معناه أن الـ 

55
00:06:36,960 --> 00:06:47,600
supremum لـ set G of D is an upper bound an upper

56
00:06:47,600 --> 00:06:50,860
bound

57
00:06:50,860 --> 00:06:53,780
لمين؟ 

58
00:06:54,920 --> 00:07:01,100
of set f of d بصح؟ 

59
00:07:01,100 --> 00:07:07,040
لأن هيك كل عنصر f of x في f of d أصغر من أو يساوي

60
00:07:07,040 --> 00:07:18,980
العدد هذا، صح؟ طيب since ال supremum لـ set f of d 

61
00:07:18,980 --> 00:07:25,890
exists in R طبعا برضه by supremum property لأن احنا 

62
00:07:25,890 --> 00:07:31,890
فرضين أن الـ set هذه bounded صح فال supremum تبعها

63
00:07:31,890 --> 00:07:37,110
موجود الآن الـ set هذه ال supremum تبعها موجود

64
00:07:37,110 --> 00:07:42,750
والعدد هذا هذا العدد عبارة عن upper bound لـ set

65
00:07:42,750 --> 00:07:46,850
إذا ما العلاقة بين ال upper bound هذا للـ set وال

66
00:07:46,850 --> 00:07:53,650
supremum للـ set؟ في واحد أكبر من أو يساوي الثاني لأن 

67
00:07:53,650 --> 00:07:59,770
بما أن هذا الكلام صحيح نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن

68
00:07:59,770 --> 00:08:01,050
نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن

69
00:08:01,050 --> 00:08:01,350
نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن

70
00:08:01,350 --> 00:08:04,050
نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن

71
00:08:04,050 --> 00:08:05,880
نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن هذا

72
00:08:05,880 --> 00:08:10,820
أصغر upper bound للـ set f of d وهذا upper bound للـ set

73
00:08:10,820 --> 00:08:15,440
f of d إذا ال supremum بيطلع أصغر من أو يساوي ال

74
00:08:15,440 --> 00:08:22,480
upper bound اللي هو supremum g of d وهو المطلوب 

75
00:08:22,480 --> 00:08:29,800
وهذا بيثبت الجزء الأول okay تمام إذا الجزء الأول مش 

76
00:08:29,800 --> 00:08:33,680
صعب وهنا أثبتنا واضح

77
00:08:37,050 --> 00:08:42,310
برهان الجزء الثاني برضه شبيه فيه الجزء الثاني، إيش

78
00:08:42,310 --> 00:08:47,510
بيقول ليه؟ الفرض، لاحظوا الفرق بين الفرض تبع الجزء

79
00:08:47,510 --> 00:08:54,910
الثاني والجزء الأول الفرض

80
00:08:54,910 --> 00:09:00,210
هنا إن f of x أصغر من أو يساوي g of y لكل x و y في 

81
00:09:00,210 --> 00:09:00,450
D

82
00:09:04,010 --> 00:09:09,170
هذا أشمَل وهذا أعمل من هذا وهذا أقوى من هذا لاحظوا

83
00:09:09,170 --> 00:09:14,690
إنه لو هذا صح فهذا بيطلع صح اللي فوق لكن الـ x مش 

84
00:09:14,690 --> 00:09:18,430
صحيح طيب 

85
00:09:18,430 --> 00:09:22,130
إذا .. إذا هذا الكلام صحيح فهذا بيقدي إن الـ

86
00:09:22,130 --> 00:09:26,410
supremum لـ F of D بيطلع أصغر من أو يساوي ال infimum

87
00:09:26,410 --> 00:09:31,110
لـ set G of D نشوف 

88
00:09:31,110 --> 00:09:32,710
الـ .. نبرهن الكلام هذا

89
00:09:50,270 --> 00:10:02,090
البرهان الجزء الثاني البرهان 

90
00:10:02,090 --> 00:10:05,030
الجزء الثاني هذا conditional statement هي الفرض

91
00:10:05,030 --> 00:10:11,370
وهي النتيجة الـ conclusion فبنفرض أن الفرض هذا صحيح 

92
00:10:11,370 --> 00:10:23,770
و بنثبت يثبت يثبت عنصر Y في D من الفرض بيطلع عندي f

93
00:10:23,770 --> 00:10:29,530
of x أصغر من أو يساوي g of y وهذا صحيح لكل x في دي

94
00:10:29,530 --> 00:10:38,280
و الـ y ثابت يعني هذا من الفرض صحيح لكل x في دي طيب، 

95
00:10:38,280 --> 00:10:45,040
الآن هذا معناه أن العدد هذا g of y هي في y أنصه 

96
00:10:45,040 --> 00:10:49,600
ثابت هي أكبر .. هذا العدد أكبر من أو يساوي كل الـ F

97
00:10:49,600 --> 00:10:54,100
of X لكل X دي معناه هذا upper bound للـ set F of D

98
00:10:54,100 --> 00:10:59,020
الآن g of y عبارة عن upper bound للـ set F of D من

99
00:10:59,020 --> 00:11:01,860
هنا، مظبوط؟ تمام؟

100
00:11:04,040 --> 00:11:07,840
وبالتالي الـ least upper bound لـ F of D بيطلع أصغر 

101
00:11:07,840 --> 00:11:12,080
من أو يساوي الـ upper bound لـ F of D اللي هو G of Y لأن 

102
00:11:12,080 --> 00:11:13,620
هذه المتباينة صحيحة

103
00:11:18,050 --> 00:11:22,770
اخترناها was arbitrary fixed احنا اخترناها عشوائي

104
00:11:22,770 --> 00:11:27,470
arbitrary وثبتناها أن الكلام المتباينة هذه الآن صحيح

105
00:11:27,470 --> 00:11:33,110
لكل y أن المتباينة هذه صحيحة true for every y في D

106
00:11:33,110 --> 00:11:39,510
هذا معناه من المتباينة هذه percentage إنه العدد

107
00:11:39,510 --> 00:11:45,350
ال supremum لـ F of D هذا عبارة عن lower bound

108
00:11:45,350 --> 00:11:51,030
لمجموعة العناصر g of y حيث y ينتمي لـ d يعني العدد 

109
00:11:51,030 --> 00:11:58,210
هذا عبارة عن lower bound للـ set g of d عظيم صح؟ طيب 

110
00:11:58,210 --> 00:12:04,230
ال infimum لـ g of d exists وهذا العدد lower bound

111
00:12:04,230 --> 00:12:08,950
للـ set هذه و ال infimum هذا عبارة عن الـ greatest 

112
00:12:08,950 --> 00:12:12,970
lower bound لـ G و D إذا الـ greatest lower bound

113
00:12:12,970 --> 00:12:18,810
دايما بيكون أكبر من أو يساوي أي lower bound إذا الـ 

114
00:12:18,810 --> 00:12:23,090
lower bound هذا أصغر من أو يساوي الـ greatest lower 

115
00:12:23,090 --> 00:12:28,610
bound لـ G و D و هذا اللي هو هذا النتيجة اللي احنا

116
00:12:28,610 --> 00:12:34,800
عايزين نصل لها okay تمام واضح؟ إذن هذا برهاني جزء

117
00:12:34,800 --> 00:12:48,220
الثاني الآن في ملاحظة الملاحظة هذه بتقول إنه يعني

118
00:12:48,220 --> 00:12:56,120
ممكن طالبة طلعت تسأل أو تستفسر أو تتساءل طب ما هذا 

119
00:12:56,120 --> 00:13:01,400
الشرط تبعين زي هذا ما فيش فرق بينهم فاحنا بنقول لأ

120
00:13:01,400 --> 00:13:05,480
هذا الشرط التحت أقوى من اللي فوق اللي تحت لو كان 

121
00:13:05,480 --> 00:13:09,160
التحت صحيح بيقدي للي فوق لكن لو كان اللي فوق صحيح

122
00:13:09,160 --> 00:13:14,300
هذا ما بيقدي للي تحت هذا الشرط أقوى من اللي فوق 

123
00:13:14,300 --> 00:13:20,240
فممكن واحدة فيكم تسأل تقول طب لو احنا أخذنا الفرض

124
00:13:20,240 --> 00:13:24,840
هذا لو فرضنا أن هذا الكلام صح هل ممكن نحصل على 

125
00:13:24,840 --> 00:13:30,580
نتيجة اللي تحته؟ الإجابة لأ، الإجابة لأ، هذا مش 

126
00:13:30,580 --> 00:13:36,900
ممكن، إذا الـ .. لو شيلنا الفرض هذا و بدلناه بالفرض

127
00:13:36,900 --> 00:13:41,820
اللي فوق فالنتيجة هذه لا يمكن نحصل عليها، مش شرط

128
00:13:41,820 --> 00:13:53,110
تكون صحيحة أو مثال يوضح إنه لا يمكن استبدال الفرض

129
00:13:53,110 --> 00:13:58,610
تبع الجزء الثاني بالفرض تبع الجزء الأول ونحصل نحصل

130
00:13:58,610 --> 00:14:00,630
على نتيجة الجزء الثاني

131
00:14:12,790 --> 00:14:16,530
فناخد على سبيل المثال أو counterexample بيسميه في 

132
00:14:16,530 --> 00:14:22,910
رياضيات لو أخدت f of x بيساوي x تربيع دالة تربيع

133
00:14:22,910 --> 00:14:26,830
و g of x الـ identity function و أخدت الـ domain

134
00:14:26,830 --> 00:14:30,950
المشترك لـ f و g الـ closed unit interval 

135
00:14:34,300 --> 00:14:40,040
فطبعا بنلاحظ أن f of x اللي هي x تربيع لكل x في الـ

136
00:14:40,040 --> 00:14:45,220
closed unit interval x تربيع أصغر من أو يساوي x، 

137
00:14:45,220 --> 00:14:51,180
مظبوط؟ و X بيساوي G of X فهي في عندي الـ two

138
00:14:51,180 --> 00:14:54,460
functions هدول بالمناسبة الـ two functions هدول 

139
00:14:54,460 --> 00:14:59,220
كلاهم كلاهم bounded bounded below by zero bounded

140
00:14:59,220 --> 00:15:08,940
above by الـ range تبعهم الـ range تبعهم F of D و G of D

141
00:15:08,940 --> 00:15:14,900
of D ك sets كمجموعات بطلوا subset من المجموعة من

142
00:15:14,900 --> 00:15:20,520
السفر لواحد، وبالتالي كلا هما bounded above by واحد

143
00:15:20,520 --> 00:15:27,000
و bounded below by صفر، إذن

144
00:15:27,000 --> 00:15:32,420
هذه المجموعات هي bounded وهي عند ال function f of

145
00:15:32,420 --> 00:15:36,860
x أصغر من أو يساوي g of x لكل x دي، هذا الفرض تبع

146
00:15:36,860 --> 00:15:41,600
الجزء واحد اللي شوفناه قبل شوية، لكن النتيجة تبع

147
00:15:41,600 --> 00:15:45,560
الجزء التالي لا تتحقق، تعالى نشوف هي ال supremum ل

148
00:15:45,560 --> 00:15:52,190
f of d هي مجموعة f of d الواحد

149
00:15:52,190 --> 00:15:56,430
أكبر 

150
00:15:56,430 --> 00:16:00,090
من الصفر الصفر

151
00:16:00,090 --> 00:16:05,650
برضه عبارة عن greatest lower bound أو الانفم من

152
00:16:05,650 --> 00:16:09,950
المجموعة هذه، واضح أن الصفر lower bound للسفر هذه

153
00:16:09,950 --> 00:16:15,580
وهو greatest lower bound، إذاً هي عند الـ supremum

154
00:16:15,580 --> 00:16:20,220
لـ F of D أكبر من الـ infimum لـ G of D، وهذا نفي 

155
00:16:20,220 --> 00:16:23,700
نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة

156
00:16:23,700 --> 00:16:24,240
نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة

157
00:16:24,240 --> 00:16:26,120
نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة

158
00:16:26,120 --> 00:16:26,240
نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة

159
00:16:26,240 --> 00:16:26,440
نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة

160
00:16:26,440 --> 00:16:32,560
نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة

161
00:16:49,380 --> 00:16:56,900
كنتيجة على الـ completeness property في عندي نتيجة

162
00:16:56,900 --> 00:17:05,420
كتير مهمة، وهنستخدمها كتير، معناها اللي هو ال

163
00:17:05,420 --> 00:17:10,120
material اللي هناخدها لاحقا، اللي هو ال Archimedean

164
00:17:10,120 --> 00:17:16,220
property أو خاصية Archimedes، إيه الخاصية هذه بتقول

165
00:17:17,950 --> 00:17:23,890
لأي عدد حقيقي x في عدد طبيعي أكبر منه، أعطيني أي 

166
00:17:23,890 --> 00:17:29,650
عدد حقيقي x سواء كان صفر أو موجب أو سالب، بقدر

167
00:17:29,650 --> 00:17:36,970
أعطيكي عدد طبيعي أكبر منه أو بقدر أوجدلك عدد طبيعي

168
00:17:36,970 --> 00:17:42,760
يكون أكبر منه، البرهان تبع النظرية هذه بيعتمد على

169
00:17:42,760 --> 00:17:47,040
الـ completeness property، فلبرهان ذلك نبدأ بالـ

170
00:17:47,040 --> 00:17:54,320
Fix X في R ونثبتها ونعمل برهان بالتناقض، نحن عايزين

171
00:17:54,320 --> 00:17:58,840
نثبت أنه للـ Fix X اللي احنا ثبتناها يوجد

172
00:18:01,850 --> 00:18:07,810
عايزين نثبت العبارة، أن العبارة هذه تكون صحيحة، يوجد

173
00:18:07,810 --> 00:18:12,430
عدد طبيعي أكبر من X، فبدا أعمل برهان بالتناقض، بدا

174
00:18:12,430 --> 00:18:17,610
أفرض أن نفي العبارة هذه هو الصح، إذا ن assume ال

175
00:18:17,610 --> 00:18:21,030
contrary أن نفي العبارة هذه الصح، طب نفي العبارة

176
00:18:21,030 --> 00:18:27,750
هذه الصح، there exist ما بصير لكل N في N عكس

177
00:18:27,750 --> 00:18:32,730
المتباينة هذه اللي هو n أصغر من أو يساوي x، إذن هنا

178
00:18:32,730 --> 00:18:37,550
ال contrary أو النفي، نفي النتيجة هذه، معناها أن كل 

179
00:18:37,550 --> 00:18:44,610
الأعداد الطبيعية أصغر من أو يساوي x، هذا معناه أن ال

180
00:18:44,610 --> 00:18:51,230
x هذا upper bound لـ set N وبالتالي الـ set N إلها

181
00:18:51,230 --> 00:18:54,850
upper bound أو bounded above، إذا by the supremum

182
00:18:54,850 --> 00:19:00,590
أو completeness of property، الـ set N بطلع يوجد

183
00:19:00,590 --> 00:19:04,970
إلها supremum، الـ supremum تبعها exist and are،

184
00:19:04,970 --> 00:19:12,410
سميه، فلنسميه u، فلنسميه u، تمام؟ في

185
00:19:12,410 --> 00:19:19,340
لمة واحد اثنين عشر، لمة واحدة اثناء عشر كده بتقول لو كان

186
00:19:19,340 --> 00:19:28,300
U أو u بساوي ال supremum لست S if and only if لكل

187
00:19:28,300 --> 00:19:35,920
epsilon أكبر من الصفر نقدر نلاقي S epsilon في الست 

188
00:19:35,920 --> 00:19:42,460
S بحيث انه U سالب epsilon أصغر من S epsilon

189
00:19:45,010 --> 00:19:50,110
طب أقل، أنا عندي فيه U بساوي Supremum ل N، S بساوي 

190
00:19:50,110 --> 00:19:55,450
6 N كل الأعداد الطبيعية، هي عندي Supremum ل N اللي

191
00:19:55,450 --> 00:20:01,890
هو U exist، إذا حسب لمة واحد اثنين عشر لو أخدت epsilon 

192
00:20:01,890 --> 00:20:06,670
لو أخدت epsilon بالساوية واحد، هذا عدد موجب، إذا لهذا

193
00:20:06,670 --> 00:20:11,690
ال epsilon بقدر ألاقي عدد S epsilon هسمي M هنا بدل S

194
00:20:11,690 --> 00:20:16,930
epsilon في اللمة، عدد طبيعي بحيث أنه لما أخد U minus

195
00:20:16,930 --> 00:20:20,670
epsilon اللي هو الواحد، هذا بيطلع أصغر من S epsilon

196
00:20:20,670 --> 00:20:25,050
اللي هو M، إذاً هذا نحصل عليه من لمة واحدة واثنين

197
00:20:25,050 --> 00:20:30,870
عشر، طيب المتباين هذه، ودي واحد، نجري واحد على مين

198
00:20:30,870 --> 00:20:35,010
فبيطلع U أصغر من M زائد واحد، طيب ال M عدد طبيعي

199
00:20:35,010 --> 00:20:40,130
إذاً M زائد واحد عدد طبيعي صح؟ إذاً هذا M زائد

200
00:20:40,130 --> 00:20:47,360
واحد عدد طبيعي وأكبر من U، و U قلنا ال U هو ال

201
00:20:47,360 --> 00:20:50,520
supremum ل N يعني upper bound بيطلع upper bound ل

202
00:20:50,520 --> 00:20:55,860
N، فكيف U upper bound ل set N للعداد الطبيعية، وفي

203
00:20:55,860 --> 00:20:59,620
عنصر في العداد الطبيعية أكبر منه، لأن هذا بيديني

204
00:20:59,620 --> 00:21:06,380
تناقض لكون U هو upper bound ل set للعداد الطبيعية

205
00:21:06,380 --> 00:21:13,060
إذا وصلنا إلى تناقض، وبالتالي هذا بكمل البرهانة، إذا

206
00:21:13,060 --> 00:21:16,980
الفرض تبعنا التناقض هذا، تقول إن ال assumption

207
00:21:16,980 --> 00:21:24,720
تبعنا هذا، إن الكلام هذا صح كان خطر، إذا الصح نفيه

208
00:21:24,720 --> 00:21:29,480
اللي هو المطلوب، okay، تمام، إذا هذه ال Archimedean

209
00:21:29,480 --> 00:21:35,460
property هذه، ال Archimedean property، الآن ال

210
00:21:35,460 --> 00:21:39,580
Archimedean property هذه أو خاصية Archimedes إلها

211
00:21:39,580 --> 00:21:45,520
صور أخرى متعددة، وهذه الصور هي موجودة في كوريلري

212
00:21:45,520 --> 00:21:50,700
واحد ستة عشر، إذا

213
00:21:50,700 --> 00:21:58,060
النتيجة هذه في أن صور أخرى لـ ال Archimedean

214
00:21:58,060 --> 00:22:06,500
property ف

215
00:22:07,840 --> 00:22:11,520
Alternative forms يعني صور أخرى لـ Archimedean

216
00:22:11,520 --> 00:22:16,520
property، let YUZ be positive real numbers، إذن 

217
00:22:16,520 --> 00:22:19,760
YUZ تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة

218
00:22:22,550 --> 00:22:28,990
أول نتيجة، يوجد n عدد طبيعي بحيث أن الـ z أصغر من n

219
00:22:28,990 --> 00:22:35,410
مضروب في y، إذا لو عندي عددين حقيقين موجبين z وy

220
00:22:35,410 --> 00:22:39,790
بقدر ألاقي عدد طبيعي بحيث أن ال z أصغر من n مضروب

221
00:22:39,790 --> 00:22:49,740
في y، كذلك لأي عدد حقيقي موجب y بقدر ألاقي عدد طبيعي

222
00:22:49,740 --> 00:22:54,740
مقلوبه أصغر من العدد الموجب Y، طبعا مقلوب العدد

223
00:22:54,740 --> 00:22:59,220
الطبيعي دائما موجب، كذلك

224
00:22:59,220 --> 00:23:04,820
لأي عدد حقيقي موجب Z بقدر ألاقي عدد طبيعي بحيث أن

225
00:23:04,820 --> 00:23:09,920
العدد الموجب Z أكبر من أو يساوي N سالب واحد وأصغر

226
00:23:09,920 --> 00:23:16,770
من N، إذن التلات خواص هدولة كل واحدة منهم بنسميها

227
00:23:16,770 --> 00:23:20,730
Archimedean property أو صورة أخرى من ال

228
00:23:20,730 --> 00:23:25,590
Archimedean property، الجزء

229
00:23:25,590 --> 00:23:30,250
الأخير هذا هو عبارة عن مثال وليس ال Archimedean

230
00:23:30,250 --> 00:23:37,810
يعني هذا استثناء، يعني مجرد set بالساوي ال sequence

231
00:23:37,810 --> 00:23:44,140
واحد على n، متتالية العداد الحقيقية 1 على N حيث N

232
00:23:44,140 --> 00:23:49,540
عدد طبيعي، فال set هذه هنثبت أن ال infimum إلها هو

233
00:23:49,540 --> 00:23:59,860
الصفر، طيب إذا نشوف ونثبت العزاء الأولى، الجزء 

234
00:23:59,860 --> 00:24:00,780
الأول

235
00:24:06,710 --> 00:24:15,270
الجزء A لإثبات الجزء A خلّينا نعرف X بساوي Z على Y

236
00:24:15,270 --> 00:24:19,930
طبعا Z وY أعداد حقيقية موجبة، إذن خارج قسمتهم أعداد

237
00:24:19,930 --> 00:24:26,090
موجب، إذن هذا عبارة عن عدد حقيقي موجب، يعني ال X هذا

238
00:24:26,090 --> 00:24:33,170
عبارة عن real number وموجب، فحسب ال Archimedean

239
00:24:33,170 --> 00:24:42,860
property، لأي x عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي أكبر من الـ

240
00:24:42,860 --> 00:24:48,000
x، إذا الـ x اللي أنا أخده Z على y بقدر ألاقي عدد

241
00:24:48,000 --> 00:24:53,440
طبيعي n أكبر منه، يعني Z على y أصغر من n، لو ضربت

242
00:24:53,440 --> 00:25:01,550
المتباينة هذه في y، y عدد موجب، فهيصير عندي Z أصغر من

243
00:25:01,550 --> 00:25:08,110
n في y، وهذه هي النتيجة تبع الجزء الأول، okay، إذا

244
00:25:08,110 --> 00:25:13,270
هيك يكون أثبتنا الجزء الأول، واضح؟ لإثبات الجزء

245
00:25:13,270 --> 00:25:19,410
الثاني، لو أخدنا في الجزء الأول لو أخدت Z بساوي

246
00:25:19,410 --> 00:25:30,500
واحد، فهيصير عندي 1 أصغر من n في y، ال Z هذا عدد

247
00:25:30,500 --> 00:25:35,780
موجب، فلو أخد ال Z بالساوية واحد، هذا عدد موجب، فحسب

248
00:25:35,780 --> 00:25:41,420
النتيجة a بيطلع عندي Z أصغر من n، يوجد عدد طبيعي n

249
00:25:41,420 --> 00:25:48,080
بحيث أن Z أصغر من ny، يعني 1 أصغر من ny، الآن نضرب

250
00:25:48,080 --> 00:25:53,910
في 1 على n، 1 على n عدد موجب، لو ضربنا الطرفين بالعدد

251
00:25:53,910 --> 00:25:57,850
الموجب بواحد علينا بيطلع 1 علينا أصغر من Y، وهذا

252
00:25:57,850 --> 00:26:01,330
اللي احنا عايزينه، تمام، إن هذا برهان الجزء الثاني

253
00:26:01,330 --> 00:26:14,310
لبرهان الجزء الثالث، الجزء

254
00:26:14,310 --> 00:26:14,730
C

255
00:26:18,400 --> 00:26:23,700
بنثبت أنه لأي عدد حقيقي موجب Z فيه عدد طبيعي بحيث

256
00:26:23,700 --> 00:26:30,940
أن Z محصورة بين N سالب واحد و M تمام، نعرف الست EZ

257
00:26:30,940 --> 00:26:36,380
على إنها كل الأعداد الطبيعية M اللي بتكون أكبر من

258
00:26:36,380 --> 00:26:46,880
Z، الآن هذه المجموعة غير خالية، لأنه

259
00:26:51,070 --> 00:26:57,610
لأن الـ Z هذا عدد موجب، وبالتالي في الآخر هو عدد

260
00:26:57,610 --> 00:27:01,950
حقيقي، ف by Archimedean property

261
00:27:10,880 --> 00:27:17,220
اللي هي 115 رقمها، نظرية 115 بتقول أي عدد حقيقي z

262
00:27:17,220 --> 00:27:26,880
يوجد عدد .. يوجد عدد طبيعي، يوجد m في n بحيث أن z

263
00:27:26,880 --> 00:27:32,820
أصغر من n، إذا

264
00:27:32,820 --> 00:27:42,120
المجموعة هذه على الأقل فيها عنصر واحد اللي هو الـ

265
00:27:42,120 --> 00:27:49,100
M هذا، أو خليني اسميه MZ تمام

266
00:27:49,100 --> 00:27:58,000
الـ Archimedean property تضمن أنه للعدد Z هذا اللي

267
00:27:58,000 --> 00:28:05,100
هو يعني احنا فرضين أن العدد موجب، الـ set هذه بقدر

268
00:28:05,100 --> 00:28:10,460
ألاقي عدد طبيعي MZ أكبر من Z، وبالتالي المجموعة هذه

269
00:28:10,460 --> 00:28:15,580
تحتوي تحتوي على العنصر هذا على الأقل، لأن هذه

270
00:28:15,580 --> 00:28:22,720
مجموعة غير خالية، واضحة النقطة هذه؟ الآن في خاصية

271
00:28:22,720 --> 00:28:29,920
الترتيب أو بنسميها ال well ordering property، وهذه

272
00:28:29,920 --> 00:28:34,400
في الحقيقة بتدرسها في نهاية في آخر chapter في

273
00:28:34,400 --> 00:28:40,640
مبادئ رياضيات، ال well ordering property بتقول إن

274
00:28:40,640 --> 00:28:46,240
every non-empty subset of N has a least element

275
00:28:46,240 --> 00:28:51,020
يعني أي مجموعة غير خالية من مجموعة الأعداد

276
00:28:51,020 --> 00:28:55,880
الطبيعية لازم اللي جي لها least element، لازم يكون

277
00:28:55,880 --> 00:29:00,520
لها أصغر عنصر، يعني خدي أنت على الجربة حتى خدي أي

278
00:29:00,520 --> 00:29:04,060
مجموعة جزئية من العدالة الطبيعية هتجد أن فيها عنصر

279
00:29:04,060 --> 00:29:08,620
فيها هو أصغر عنصر، فهذا طبعا حسب ال well ordering

280
00:29:08,620 --> 00:29:12,880
property، يعني درس المبادئ، وأنا شخصيا لما بدرس 

281
00:29:12,880 --> 00:29:16,400
مبادئ بحاول يعني أمر عليها أو أعطيها حتى لو يعني

282
00:29:16,400 --> 00:29:21,620
بصورة مختصرة بقرابش الناس الثانية لما بدرسوا 

283
00:29:21,620 --> 00:29:25,340
المبادئ بعتقد ممكن ما وصلوش إليها لكن مش مشكلة هاي

284
00:29:25,340 --> 00:29:26,400
نحن بنحكيلكم عنها

285
00:29:29,700 --> 00:29:35,480
إذا هي عندي هذه عبارة عن subset من مجموعة الأعداد

286
00:29:35,480 --> 00:29:40,060
الطبيعية و non-empty إذا لازم يكون فيها least

287
00:29:40,060 --> 00:29:45,640
element إذا بقدر ألاقي NZ في مجموعة الأعداد

288
00:29:45,640 --> 00:29:49,300
الطبيعية و هذا ال NZ هو least element لل set هذه

289
00:29:49,300 --> 00:29:56,530
الغير خالية okay تمام إذا هنا يوجد عنصر nz عدد

290
00:29:56,530 --> 00:30:02,390
طبيعي وهذا العدد الطبيعي هو ال least element ل

291
00:30:02,390 --> 00:30:09,530
easy طيب

292
00:30:09,530 --> 00:30:17,350
الآن هذا أصغر عنصر في ال set هذه يعني معناه nz لو

293
00:30:17,350 --> 00:30:25,080
طرحت من nz طرحت منها واحد فطبعا هذا أصغر من NZ هذا

294
00:30:25,080 --> 00:30:34,920
أصغر من NZ صح؟ مظبوط؟ وهذا أصغر عنصر لل set easy

295
00:30:34,920 --> 00:30:41,700
هذا أصغر عنصر وهذا أصغر منه إذا هذا العنصر مش

296
00:30:41,700 --> 00:30:49,690
ممكن يكون موجود بال set easy صح؟ لأن هذا أصغر من

297
00:30:49,690 --> 00:30:53,370
أصغر

298
00:30:53,370 --> 00:30:59,410
عنصر في ال set طيب،

299
00:30:59,410 --> 00:31:04,290
معناه أن هذا nz سالب واحد ما هوش في ez

300
00:31:09,210 --> 00:31:13,650
يعني هذا العنصر مش موجود في set ez هذا هي

301
00:31:13,650 --> 00:31:21,730
معناته بيحققش الصفة المميزة لل set ez متى

302
00:31:21,730 --> 00:31:27,210
العنصر بيكون موجود هنا إذا بيحقق الصفة هذه أو

303
00:31:27,210 --> 00:31:30,390
المتباينة هذه طب إذا كان العنصر لا ينتمي لل set

304
00:31:30,390 --> 00:31:36,240
معناته بيحققش المتباينة دي بيحقق ما فيها إذا هي بيحقق

305
00:31:36,240 --> 00:31:43,740
ما فيها هاي nz-1 بدل ما يكون أكبر بيصير أصغر من أو 

306
00:31:43,740 --> 00:31:47,900
يساوي ال z إذا كون العنصر هذا مش موجود في ez

307
00:31:47,900 --> 00:31:56,560
معناته بيطلع أصغر من أو يساوي ال z وال z هو أصغر

308
00:31:56,560 --> 00:31:59,440
عنصر لل set ez

309
00:32:06,800 --> 00:32:16,820
ف ال z أصغر من n احنا قلنا أنه ال ..

310
00:32:16,820 --> 00:32:18,760
أو أصغر من ال nz

311
00:32:44,130 --> 00:32:50,890
الآن زي هذا عنصر يعني

312
00:32:50,890 --> 00:32:57,270
هذا بينتمي إلى ال set ez لأنه أصغر عنصر فيها

313
00:32:57,270 --> 00:33:06,070
فينتمي إليها فإن زي ينتمي ل ez معناته العنصر زي

314
00:33:06,070 --> 00:33:11,050
هذا أكبر من ال z العنصر زي أكبر من ال z ومن هنا أن

315
00:33:11,050 --> 00:33:17,910
زي سالب واحد مش موجود في ez فهو أصغر من أو يساوي

316
00:33:17,910 --> 00:33:24,290
ال z وبالتالي هيك بنكون أثبتنا المتباينة هذه اللي

317
00:33:24,290 --> 00:33:29,090
هو اللي احنا عايزينه في الجزء c لأن هيك بنكون

318
00:33:29,090 --> 00:33:34,420
كملنا برهان الجزء c الأقل بالنسبة للجزء الأخير هذا

319
00:33:34,420 --> 00:33:42,460
يعني عبارة عن ليس مش alternative form لل

320
00:33:42,460 --> 00:33:46,180
Archimedean property ليس صورة أخرى لخاصية

321
00:33:46,180 --> 00:33:51,500
Archimedean بس مجرد مثال، مجرد مثال أعطى ست والست

322
00:33:51,500 --> 00:33:56,290
هذه bounded bounded above by one bounded below by

323
00:33:56,290 --> 00:34:02,570
zero لبرهان

324
00:34:02,570 --> 00:34:12,350
ذلك البرهان سهل نشوف

325
00:34:12,350 --> 00:34:12,950
البرهان

326
00:34:29,410 --> 00:34:34,370
كمان مرة ال set هذه هي عبارة عن .. نكتبها إيش هي

327
00:34:34,370 --> 00:34:37,710
ال

328
00:34:37,710 --> 00:34:44,490
set is عبارة عن ال set of all واحد على n حيث n is

329
00:34:44,490 --> 00:34:45,650
natural number

330
00:34:51,720 --> 00:34:59,580
واضح أن العنصر أصغر من أو يساوي واحد على n لكل n 

331
00:34:59,580 --> 00:35:11,180
ينتمي إلى n صح؟ وبالتالي إذا zero is lower lower

332
00:35:11,180 --> 00:35:22,090
bound لمين of set s وبالتالي ال infimum إذا it has

333
00:35:22,090 --> 00:35:25,890
an infimum by the infimum property ال infimum

334
00:35:25,890 --> 00:35:30,630
property بتقول كل set bounded below بيكون ال في

335
00:35:30,630 --> 00:35:37,070
إلها infimum say w بيساوي infimum s إذا هنا say

336
00:35:37,070 --> 00:35:41,290
دعنا نسمي ال infimum هذا اللي إحنا ضمنين وجوده

337
00:35:41,290 --> 00:35:48,760
باستخدام ال infimum property دعنا نسميه w تمام؟ إذا

338
00:35:48,760 --> 00:35:55,540
الـ ال w هذا هو أكبر هو أكبر lower bound لست

339
00:35:55,540 --> 00:36:02,640
s والعنصر lower bound إذا أكيد ال w أكبر من أو يساوي

340
00:36:02,640 --> 00:36:09,100
والعنصر صح؟ العنصر قلنا هذه lower bound لست و ال w

341
00:36:09,100 --> 00:36:11,960
هو ال infimum اللي هو أكبر lower bound إذا ال w

342
00:36:11,960 --> 00:36:16,830
أكبر من أو أكبر من أو يساوي العنصر طب احنا عايزين

343
00:36:16,830 --> 00:36:22,630
نثبت احنا عايزين في النهاية نثبت أن ال w هذا

344
00:36:22,630 --> 00:36:27,490
اللي هو ال infimum بيساوي العنصر هذا اللي عايزين

345
00:36:27,490 --> 00:36:33,570
نثبته أنا عندي w أكبر من أو يساوي العنصر لكن أنا بدي

346
00:36:33,570 --> 00:36:39,750
أثبت أن ال w بيساوي العنصر، تمام؟

347
00:36:39,750 --> 00:36:41,510
فلإثبات ذلك

348
00:36:47,400 --> 00:36:54,780
خلّينا ناخد أي إبسلون أكبر من العنصر فحسب

349
00:36:54,780 --> 00:36:59,600
ال Archimedean property اللي هو الجزء ب المكافئ

350
00:36:59,600 --> 00:37:04,640
Archimedean property لأي عدد موجب إبسلون بقدر

351
00:37:04,640 --> 00:37:08,880
ألاقي عدد طبيعي مقلوبه وأصغر من إبسلون، صح؟ هذا

352
00:37:08,880 --> 00:37:12,000
الجزء ب من النتيجة

353
00:37:14,540 --> 00:37:18,960
إن أنا في عندي هي 1 على n أصغر من epsilon يوجد

354
00:37:18,960 --> 00:37:24,760
n هذا الطبيعي بحيث 1 على n أصغر من epsilon و 1

355
00:37:24,760 --> 00:37:30,700
على n هذه عنصر ال 1 على n هذه عبارة عن عنصر في ال

356
00:37:30,700 --> 00:37:37,180
set s و ال w هذه lower bound إلها ال w هذه هو ال

357
00:37:37,180 --> 00:37:44,890
minimum لل set s و 1 على n عنصر في s إذا ال w بيطلع

358
00:37:44,890 --> 00:37:48,490
أصغر من أو يساوي أي عنصر في ال set لأنه lower bound

359
00:37:48,490 --> 00:37:53,830
صح؟ وقبل شوية قلنا إن ال w هي u بس نتجنا إن ال w

360
00:37:53,830 --> 00:37:57,990
اللي هو ال infimum أكبر من أو يساوي العنصر اللي هو

361
00:37:57,990 --> 00:38:02,190
lower bound وهذا أكبر lower bound الآن هذه ال

362
00:38:02,190 --> 00:38:06,850
epsilon عشوائية إن الكلام هذا صحيح لكل epsilon

363
00:38:06,850 --> 00:38:13,170
أكبر من العنصر إذا في عندي نظرية واحد ثمانية بتقول

364
00:38:13,170 --> 00:38:19,630
ليه؟ كانت بتقول إن لو كان ال a عدد غير سالب و أصغر

365
00:38:19,630 --> 00:38:24,810
من epsilon لكل epsilon أكبر من العنصر فهذا بيقود إلى أن

366
00:38:24,810 --> 00:38:33,630
a بيساوي العنصر، صح؟ هذه نظرية واحد ثمانية، صح؟ هي ال

367
00:38:33,630 --> 00:38:39,230
w التي هي ال a أكبر من أو يساوي العنصر وأصغر من

368
00:38:39,230 --> 00:38:44,590
إبسلون لكل إبسلون عدد موجب فحسب النظرية هذه بيطلع

369
00:38:44,590 --> 00:38:50,590
w بيساوي العنصر وهذا اللي احنا عايزينه نثبته، تمام؟ إذن

370
00:38:50,590 --> 00:38:56,050
هذا بيثبت أن ال infimum للست دي أو لل sequence

371
00:38:56,050 --> 00:39:03,650
واحد على n هو العنصر، تمام؟ وهنا استخدمنا في البرهان

372
00:39:03,650 --> 00:39:09,010
ال Archimedean property الصورة بيه من ال

373
00:39:09,010 --> 00:39:24,610
Archimedean property في

374
00:39:24,610 --> 00:39:27,390
النظرية هذه احنا أثبتنا قبل هيك

375
00:39:32,670 --> 00:39:41,530
احنا أثبتنا سابقا في

376
00:39:41,530 --> 00:39:51,490
السابق أثبتنا أنه في كان نظرية أو مثال بتقول أن

377
00:39:51,490 --> 00:39:55,550
جذر 2 is not a rational number

378
00:39:58,290 --> 00:40:04,470
أو العدد جذر اثنين is irrational نعم مظبوط فطبعا

379
00:40:04,470 --> 00:40:08,730
في البرهان هذا اعتمدنا في البرهان على أن جذر

380
00:40:08,730 --> 00:40:12,850
اثنين هذا عدد حقيقي يعني exist هو أحد العداد

381
00:40:12,850 --> 00:40:20,950
الحقيقية وفرضنا عملنا برهان غير مباشر فرضنا أنه

382
00:40:20,950 --> 00:40:26,450
جذر اثنين ينتمي ل q أو عدد نسبي ووصلنا إلى تناقض

383
00:40:26,450 --> 00:40:32,380
تمام اليوم بنرجع للوراء شوية وبنقول احنا هنا في

384
00:40:32,380 --> 00:40:36,220
النظرية هذه في البرهان أو في النظرية هذه افترضنا

385
00:40:36,220 --> 00:40:42,140
جدلا أو افترضنا مسبقا أن جذر اثنين هذا عدد حقيقي

386
00:40:42,140 --> 00:40:47,600
اليوم هنرجع ونثبت أن existence of جذر اثنين يعني

387
00:40:47,600 --> 00:40:51,720
جذر اثنين هذا بنثبت أن هو فعلا عدد حقيقي مش عدد

388
00:40:51,720 --> 00:40:53,040
آخر مش عدد تخيّلي

389
00:40:55,660 --> 00:41:02,360
فهذا يعني البرهان أو 

390
00:41:02,360 --> 00:41:05,560
نظريها دي بالظبط بتقول انه جذر اثنين وعدد حقيقي

391
00:41:05,560 --> 00:41:14,760
يعني يوجد عدد حقيقي موجب x ومربعه هو اثنين okay

392
00:41:16,030 --> 00:41:20,890
فبرهان النظرية هذه يعني ممكن شوية طويل لكن موجود

393
00:41:20,890 --> 00:41:29,250
عندكم بالتفصيل ويعني موجود إلى أعزاء ويعني مش صعب

394
00:41:29,250 --> 00:41:35,490
أنكم يعني تقرؤوا بمجموعتهم و تفهموه فأرجو أنكم

395
00:41:35,490 --> 00:41:39,990
تقرؤوا البرهان و تحاولوا تفهموه و ممكن يعني المرة

396
00:41:39,990 --> 00:41:45,510
الجاية إن شاء الله نسأل نحاول نمر عليه أو نحاول

397
00:41:45,510 --> 00:41:52,090
نبرهن نقصر عليه، طبعا؟ إذا نكتفي بهذا القدر ونكمل

398
00:41:52,090 --> 00:41:53,230
إن شاء الله المرة الجاية