1
00:00:19,940 --> 00:00:25,840
السلام عليكم هنكمل

2
00:00:25,840 --> 00:00:33,420
اليوم section اربعة اتنين في ال section هذا كان

3
00:00:33,420 --> 00:00:38,780
اتبقى بس ان احنا نثبت النظرية اللى كتبتها على

4
00:00:38,780 --> 00:00:44,700
اللوحى النظرية هذه بتنص على ان لو كان في هندي

5
00:00:44,700 --> 00:00:53,020
function من A لRو c cluster point للset a وإذا كان

6
00:00:53,020 --> 00:00:59,120
limit ال function عن c exist وموجبة أو

7
00:00:59,120 --> 00:01:04,880
على التوالي إذا كانت limit f of x عن c موجودة

8
00:01:04,880 --> 00:01:09,080
وسالبة فيوجد

9
00:01:09,080 --> 00:01:14,990
نقدر نلاقي delta neighborhood دي delta لل cبحيث إن

10
00:01:14,990 --> 00:01:19,510
الدالة هتكون إذا كانت ال limit موجبة فالدالة هتكون

11
00:01:19,510 --> 00:01:26,670
موجبة على ال delta never hood ل C وإذا

12
00:01:26,670 --> 00:01:31,950
كانت ال limit سالبة فالدالة هتكون سالبة على جوار

13
00:01:31,950 --> 00:01:38,890
delta ل C هذه

14
00:01:38,890 --> 00:01:43,210
نظرية تشبه نظرية سابقة بخصوص limits of sequences

15
00:01:44,920 --> 00:01:48,400
النظرية اللي فاتت بتاعة الـ sequences المشابهة

16
00:01:48,400 --> 00:01:52,640
بتقول لو كانت ال sequence النهاية تبعتها limit x

17
00:01:52,640 --> 00:01:58,200
in exist وموجبة فلازم ال sequence تكون حدودها من

18
00:01:58,200 --> 00:02:02,420
capital N وانت طالع كلها موجبة و لو كانت ال limit

19
00:02:02,420 --> 00:02:06,640
لل sequence exist و سالبة فلازم حدود ال sequence

20
00:02:06,640 --> 00:02:10,900
من capital N وانت طالع كلها تكون سالبة فهذه شبيهة

21
00:02:10,900 --> 00:02:18,100
فيهاوالبرهان سهل وشبيه بالبرهان تبع النظرية

22
00:02:18,100 --> 00:02:24,320
المشابهة في حالة ال sequences فناخد الحالة assume

23
00:02:24,320 --> 00:02:27,360
ناخد

24
00:02:27,360 --> 00:02:32,400
الحالة اللي فيها ال limit ل

25
00:02:32,400 --> 00:02:40,060
f of x at c exists and equals عدد l موجب

26
00:02:53,880 --> 00:03:00,200
فإذا كانت ال limit موجبة بنا أثبت أن يوجد delta

27
00:03:00,200 --> 00:03:07,240
neverhood إلى آخر A فخلّينا

28
00:03:07,240 --> 00:03:17,740
ناخد let epsilon في الحالة دي let epsilon بساوي

29
00:03:17,740 --> 00:03:26,600
L على 2 فهذا عدد موجبالان by definition of limit

30
00:03:26,600 --> 00:03:32,640
of function by epsilon delta definition لأي

31
00:03:32,640 --> 00:03:38,140
epsilon موجبة زي هذه يوجد delta تعتمد على L على 2

32
00:03:38,140 --> 00:03:43,280
اللي هي ال epsilon عدد موجب بحيث انه لو كان X

33
00:03:45,890 --> 00:03:51,090
ينتمي إلى a و absolute x minus c أصغر من delta

34
00:03:51,090 --> 00:03:59,790
أكبر من 0 فهذا بتضمن أن absolute f of x minus L

35
00:03:59,790 --> 00:04:04,510
أصغر من إبسلم اللي هي عبارة عن L ع 2

36
00:04:08,170 --> 00:04:15,990
فحل المتباينة هذه في f of x فتصير f of x minus L

37
00:04:15,990 --> 00:04:24,930
أصغر من L على 2 أكبر من سالب L على 2 وهذا

38
00:04:24,930 --> 00:04:29,210
بيقدي أن

39
00:04:29,210 --> 00:04:30,350
f of x

40
00:04:34,740 --> 00:04:45,980
من هنا F of X تطلع أكبر من L على 2 لأنه لما أخد

41
00:04:45,980 --> 00:04:50,240
سالب L أنجلها عن ناحية التانية فتصير F of X أكبر

42
00:04:50,240 --> 00:04:55,700
من L سالب L على 2 تطلع L على 2 و ال L موجبة إذا L

43
00:04:55,700 --> 00:05:06,860
على 2 موجبة إذا هيك بنكون أثبتناإن ال F of X طلعت

44
00:05:06,860 --> 00:05:18,580
أكبر من سفر لمين لكل X تنتمي إلى A ومن

45
00:05:18,580 --> 00:05:28,080
المتباينة هذه هذا معناه X لا تساوي Cإن الـ X ينتمي

46
00:05:28,080 --> 00:05:34,480
إلى A و لا تساوي C يعني موجودة في A و مش موجودة في

47
00:05:34,480 --> 00:05:44,280
singleton set C و المتباينة هذه هذي معناها إن X

48
00:05:44,280 --> 00:05:46,460
ينتمي ل V Delta

49
00:05:56,010 --> 00:06:00,790
x-c أصغر من دلتا بكافئ

50
00:06:10,030 --> 00:06:17,770
إن X أصغر من C زائد Delta أكبر من C سارب Delta

51
00:06:17,770 --> 00:06:21,550
فهذا

52
00:06:21,550 --> 00:06:27,890
معناه X تمتني لفترة مفتوحة Delta-neighborhood ل-C

53
00:06:29,570 --> 00:06:34,830
Okay تمام اذا f of x اللي اعطاها موجبة لكل x في a

54
00:06:34,830 --> 00:06:43,250
ومختلفة عن c وايضا من هنا ال x أيضا تنتمي ل delta

55
00:06:43,250 --> 00:06:48,850
neighborhood ل c وبالتالي تنتمي لتقاطع المجمعتين

56
00:06:48,850 --> 00:06:55,270
اذا هذا بثبت المظرية في حالة لما يكون ال limit

57
00:06:55,270 --> 00:06:56,490
تبعتي موجبة

58
00:07:00,240 --> 00:07:08,880
لو كانت ال limit سالبة فالبرهان مشابه لأن ال

59
00:07:08,880 --> 00:07:18,680
proof of the caseلما تكون ال limit ل f of x لما x

60
00:07:18,680 --> 00:07:30,600
تقول ل c بساوي العدد سالب is similar to

61
00:07:30,600 --> 00:07:38,200
above case مشابه

62
00:07:38,200 --> 00:07:50,120
للبرهان السابق علىفي الحالة هذه take start with

63
00:07:50,120 --> 00:07:55,920
epsilon بساوي سالب ال ع اتنين وهذا بطلع عدد موجب

64
00:07:55,920 --> 00:08:01,060
يعني ابدوا البرهان بدل ما بدنا بepsilon بساوي ال ع

65
00:08:01,060 --> 00:08:04,340
اتنين ابدوا ابسون .. ابسون بساوي

66
00:08:14,820 --> 00:08:20,320
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان

67
00:08:20,320 --> 00:08:20,800
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان

68
00:08:20,800 --> 00:08:20,860
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان

69
00:08:20,860 --> 00:08:24,600
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان

70
00:08:24,600 --> 00:08:24,640
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان

71
00:08:24,640 --> 00:08:25,080
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان

72
00:08:25,080 --> 00:08:33,380
البرهان البرهان

73
00:08:34,550 --> 00:08:40,910
لأن ال L سالمة و هذا صحيح لكل X في جوار Delta ل C

74
00:08:40,910 --> 00:08:46,530
و في A minus single to C okay؟ لأن حاسبكم أنتم

75
00:08:46,530 --> 00:08:50,990
تكتبوا البرهان تبع الحالة التانية تمام؟ واضح؟ في

76
00:08:50,990 --> 00:08:54,850
أي سؤال أو سفسار؟ تمام؟

77
00:09:00,180 --> 00:09:08,120
Okay إذا نبدأ section جديد

78
00:09:08,120 --> 00:09:26,200
section

79
00:09:26,200 --> 00:09:29,460
أربعة تلاتة

80
00:09:33,950 --> 00:09:47,190
بعض التطبيقات .. بعض التطبيقات لـ

81
00:09:47,190 --> 00:09:53,590
limit concept

82
00:10:04,410 --> 00:10:12,090
بعض التعاملات أو توصية بعض مفاهيم النهايات احنا

83
00:10:12,090 --> 00:10:16,470
قبل هيك درسنا في section 4.1 و 4.2 ال limit of

84
00:10:16,470 --> 00:10:20,450
function او ال two sided limit لل function عن نقطة

85
00:10:20,450 --> 00:10:24,810
معينة اليوم هندرس ال one sided limit ل function عن

86
00:10:24,810 --> 00:10:30,960
نقطة and cluster point للمجال تبعهامقصود بال one

87
00:10:30,960 --> 00:10:34,040
sided limit اللي هو limit من اليمين أو limit من

88
00:10:34,040 --> 00:10:38,740
اليسار ونشوف ما هي علاقة ال one sided limit بال

89
00:10:38,740 --> 00:10:43,320
two sided limit فنعرف

90
00:10:43,320 --> 00:10:47,880
الأول definition نعرف ال one sided limit

91
00:10:47,880 --> 00:10:53,000
definition let

92
00:10:55,520 --> 00:11:03,780
fb function from a to r and c be a cluster point

93
00:11:03,780 --> 00:11:06,840
cluster

94
00:11:06,840 --> 00:11:22,340
point of a واحد او

95
00:11:22,340 --> 00:11:34,220
خلّيالـ cluster point of المجموعة A

96
00:11:34,220 --> 00:11:40,880
تقاطع الفترة المفتوحة من C إلى infinity اللي هي كل

97
00:11:40,880 --> 00:11:47,240
ال X مجموعة كل العناصر X تنتبه إلى A حيث X أكبر من

98
00:11:47,240 --> 00:11:53,520
C نقول

99
00:11:57,140 --> 00:12:03,280
إن العدد alien 10 إلى R is

100
00:12:03,280 --> 00:12:14,600
a right .. is a right hand limit .. right hand

101
00:12:14,600 --> 00:12:29,490
limit of ال function F at ..x بساوي c if الشرط

102
00:12:29,490 --> 00:12:35,570
التالي بتحقق لكل

103
00:12:35,570 --> 00:12:40,630
إبسلون given

104
00:12:40,630 --> 00:12:43,970
إبسلون

105
00:12:43,970 --> 00:12:51,040
أكبر من السفر يوجد delta تعتمد علىepsilon عدد موجة

106
00:12:51,040 --> 00:13:01,180
بهاث انه لو كان x ينتمي ل a و x minus c أكبر من

107
00:13:01,180 --> 00:13:07,760
سفر أصغر من delta فهذا بتضمن ان absolute f of x

108
00:13:07,760 --> 00:13:13,540
minus l أصغر من epsilon in

109
00:13:13,540 --> 00:13:17,720
this case in

110
00:13:17,720 --> 00:13:28,480
this casewe write نكتب أن ال limit لل function f

111
00:13:28,480 --> 00:13:37,920
عندما x تقول إلى c من اليمين بساوي العدد ال ..

112
00:13:37,920 --> 00:13:44,920
تمام؟ لأن هذا تعريف ال limit from the right أو ال

113
00:13:44,920 --> 00:13:49,460
right hand limit لل function f عند النقطة c

114
00:14:05,180 --> 00:14:13,440
إذا أنا عندي هذه خط الأعداد وهي النقطة C وانا عندي

115
00:14:13,440 --> 00:14:21,900
ال C هي cluster point ل

116
00:14:21,900 --> 00:14:26,180
A .. لكل ال X موجود في A و أكبر من C

117
00:14:32,710 --> 00:14:37,650
فبنقول إن ال limit عند x بالساوية c أو ال function

118
00:14:37,650 --> 00:14:42,150
في إلها right-hand limit و ال right-hand limit هي

119
00:14:42,150 --> 00:14:48,410
العدد L إذا كان لأي إبسلون أكبر من السفر بتقدر

120
00:14:48,410 --> 00:14:53,390
نلاقي delta عدد موجة بيعتمد على إبسلون بحيث لكل x

121
00:14:53,390 --> 00:15:01,510
في المجموعة A إذا كانت ال X هذه على يمين ال C

122
00:15:05,140 --> 00:15:12,460
والمسافة بينها وبين الـ C أصغر من Delta فبتطلع

123
00:15:12,460 --> 00:15:19,860
المسافة بين F و XL أصغر من Y بالمثل

124
00:15:19,860 --> 00:15:24,100
ممكن نعرف ال limit from the right يعني أنا بدي

125
00:15:24,100 --> 00:15:27,800
أعرف ال limit from the right أو ال right hand

126
00:15:27,800 --> 00:15:34,750
limitهي نفس let f be function from A to R و C

127
00:15:34,750 --> 00:15:41,010
cluster point للمجموعة A تقاطع الفترة المفتوحة من

128
00:15:41,010 --> 00:15:50,850
سالب مالة نهاية إلى C اللي هي كل ال X في A حيث X

129
00:15:50,850 --> 00:15:58,490
هتكون أصغر من مرة هذه أصغر من Cفنقول إن الـ real

130
00:15:58,490 --> 00:16:06,070
number L هو بدل right hand limit هيكون left hand

131
00:16:06,070 --> 00:16:10,550
limit of f at c if given epsilon there exists

132
00:16:10,550 --> 00:16:15,310
delta depends on epsilon بحيث أنه لكل x ينتمي إلى

133
00:16:15,310 --> 00:16:21,900
aلكل X هنتمي إلى A وال X طبعا موجودة في الفترة هذه

134
00:16:21,900 --> 00:16:28,600
يعني ال X المرة هذه على يسار المرة هذه ال X هتكون

135
00:16:31,420 --> 00:16:35,260
موجودة في A وفي الفترة المفتوحة من سالب مالنهاية

136
00:16:35,260 --> 00:16:44,720
إلى C يعني ال X هتكون على يسار ال C وبالتالي هنا

137
00:16:44,720 --> 00:16:51,240
ال C minus المسافة بين X و C absolute X minus C

138
00:16:51,240 --> 00:16:57,640
هتطلع بساوي C minus X فلو كانت المسافة هذه أصغر من

139
00:16:57,640 --> 00:16:59,660
Delta وطبعا أكبر من سفر

140
00:17:09,550 --> 00:17:18,370
هذا الشرط سيصبح c-x أصغر من دلتا أكبر من سفر فهذا

141
00:17:18,370 --> 00:17:22,910
لازم يضمن أن absolute of f of x minus l أصغر من

142
00:17:22,910 --> 00:17:29,610
إبسمن في الحالة هذه بيقول إن ال limit لf of x لما

143
00:17:29,610 --> 00:17:31,850
x تقول لc من اليسار

144
00:17:34,230 --> 00:17:39,550
بس n بساوي LL okay انها تعريف ال lift hand limit

145
00:17:39,550 --> 00:17:44,890
او ال limit from the lift okay تعديل

146
00:17:44,890 --> 00:17:50,770
بسيط بس طيب

147
00:17:50,770 --> 00:17:58,170
ال limits هذه هنشوف يعني بعد شوية ان ال one sided

148
00:17:58,170 --> 00:18:03,210
limits ده functional نقطةممكن يعني التنتين يكونوا

149
00:18:03,210 --> 00:18:09,750
موجودين عند النقطة ويلهم نفس القيمة أو ممكن

150
00:18:09,750 --> 00:18:15,430
التنتين يكونوا موجودين عند نقطة لكن قيمهم مختلفة

151
00:18:15,430 --> 00:18:20,270
زي الـ Signum function عند الصفر شوفنا أن ال limit

152
00:18:20,270 --> 00:18:23,350
تبعتها من اليمين واحد و ال limit تبعتها من اليسار

153
00:18:23,350 --> 00:18:27,850
ثالث واحدإذا ممكن ال two sided limits يكونوا

154
00:18:27,850 --> 00:18:33,630
موجودات لكن they are different مختلفات، ممكن برضه

155
00:18:33,630 --> 00:18:37,790
one sided limit تكون موجودة and the other may not

156
00:18:37,790 --> 00:18:42,090
exist، ممكن ما تكونش موجودة من أساسه

157
00:18:44,810 --> 00:18:54,930
ممكن ال one sided limits ولا واحدة فيهم تكون

158
00:18:54,930 --> 00:19:03,250
موجودة فكل الحلقات هذه هنشوفها في أمثلة لاحقة لكن

159
00:19:03,250 --> 00:19:08,030
الأول خلّينا نبرهن النظرية التالية

160
00:19:13,670 --> 00:19:18,750
طبعا هنا بنحب ال ..

161
00:19:18,750 --> 00:19:24,870
النوّه أن كل نظريات اللي أثبتناها في section 4.1

162
00:19:24,870 --> 00:19:31,790
أو 4.2 بخصوص ال two sided limit هتكون صحيحة بخصوص

163
00:19:31,790 --> 00:19:38,030
ال right limit و كذلك صحيحة بخصوص ال left hand

164
00:19:38,030 --> 00:19:38,430
limit

165
00:19:41,100 --> 00:19:46,240
فعلى سبيل المثال وليس الحصر احنا أخدنا sequential

166
00:19:46,240 --> 00:19:51,240
criterion sequential criterion for two sided limit

167
00:19:51,240 --> 00:19:56,580
الآن هنكتب برضه sequential criterion for right

168
00:19:56,580 --> 00:20:09,420
limit sequential criterion for right

169
00:20:09,420 --> 00:20:10,100
hand

170
00:20:25,970 --> 00:20:35,670
limits let f from a to r be function and c be

171
00:20:35,670 --> 00:20:37,330
cluster

172
00:20:39,230 --> 00:20:47,910
point of A then the following statements are

173
00:20:47,910 --> 00:20:54,190
equivalent الأبارات التالية متكافئة واحد ال limit

174
00:20:54,190 --> 00:21:01,810
ل F of X as X tends to C from the right exist

175
00:21:01,810 --> 00:21:06,030
وبساوي عدد L اتنين

176
00:21:13,830 --> 00:21:20,370
for for every sequence

177
00:21:20,370 --> 00:21:36,530
x in contained in a تقاطع c و infinity such that

178
00:21:38,210 --> 00:21:47,290
limit x in as n tends to infinity بيساوي c we have

179
00:21:47,290 --> 00:21:51,090
limit

180
00:21:51,090 --> 00:21:59,170
لل image of the sequence x in بيساوي العدد L

181
00:22:10,340 --> 00:22:17,060
البرهان شبيه بالبرهان الخاص بالـ two-sided limit

182
00:22:17,060 --> 00:22:24,100
فمثلا لو بدنا نبرهن proof لو بدى برهن الأبعار

183
00:22:24,100 --> 00:22:30,720
الأولى بتأدي للتانية فبنقول assume .. نبدأ ب

184
00:22:30,720 --> 00:22:38,240
assume أن ال limit ال right limitالـ F عند الـ C

185
00:22:38,240 --> 00:22:44,240
exist بساوي L وبدنا

186
00:22:44,240 --> 00:22:48,680
نثبت أن الـ two بيطلع العبارة تنين بتطلع صحيحة

187
00:22:48,680 --> 00:22:55,400
لبرهان العبارة to prove two

188
00:22:55,400 --> 00:22:56,260
holds

189
00:22:59,500 --> 00:23:08,320
لت نبدأ لت xn contained in a تقاطع c إلى infinity

190
00:23:08,320 --> 00:23:12,360
بsequence

191
00:23:12,360 --> 00:23:19,040
such that ال limit تبعتها as n tends to infinity

192
00:23:19,040 --> 00:23:24,440
بساوي c إذا أنا باخد sequence في المجموعة a

193
00:23:24,440 --> 00:23:30,410
وحدودها كلهم أكبر من cو بفرض أن ال limit لل

194
00:23:30,410 --> 00:23:38,870
sequence يادي بيساوي العدد c نحتاج أن نظهر عشان

195
00:23:38,870 --> 00:23:46,250
نثبت اتنين باقي نثبت أن ال limit نحتاج أن نظهر أن

196
00:23:46,250 --> 00:23:53,530
ال limit لل image of the sequence xn as n tends to

197
00:23:53,530 --> 00:24:01,630
infinity بساوي Lهيك بنكون أثبتنا أن العبارة 2

198
00:24:01,630 --> 00:24:10,150
صحيحة، مصبوط، صح؟ طيب لبرهان ذلك to

199
00:24:10,150 --> 00:24:11,130
see this

200
00:24:16,090 --> 00:24:19,390
بدأ اثبت ان ال limit لل sequence هذه بساوي عدد L

201
00:24:19,390 --> 00:24:23,890
فبستخدم تعريف epsilon capital N لل limit فلازم

202
00:24:23,890 --> 00:24:31,510
نبدأ with epsilon أكبر من السفر ب given طيب مش

203
00:24:31,510 --> 00:24:41,970
احنا فرضينSince الـ right limit ل F and C موجود أو

204
00:24:41,970 --> 00:24:46,770
بالساوي L من تعريف ال right limit there exists

205
00:24:46,770 --> 00:24:52,230
delta depends on epsilon positive number بحيث إنه

206
00:24:52,230 --> 00:25:02,200
لو كانت ال X تنتمي إلى A و X minus C أكبر من 0أصغر

207
00:25:02,200 --> 00:25:09,760
من دلتا هذا معناه بيقدي أنه absolute f of x minus

208
00:25:09,760 --> 00:25:22,600
L أصغر من إبسم نسمي ال implication هذي star now

209
00:25:22,600 --> 00:25:30,880
for the aboveالدلتا أكبر من السفر لدلتا هذه

210
00:25:30,880 --> 00:25:34,720
الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا

211
00:25:34,720 --> 00:25:36,800
هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة

212
00:25:36,800 --> 00:25:38,440
لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع

213
00:25:38,440 --> 00:25:41,400
الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه

214
00:25:41,400 --> 00:25:41,660
الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا

215
00:25:41,660 --> 00:25:42,040
هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة

216
00:25:42,040 --> 00:25:43,160
لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع

217
00:25:43,160 --> 00:25:51,140
الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه

218
00:25:51,140 --> 00:25:57,180
الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلت

219
00:25:57,830 --> 00:26:05,110
natural number عدد طبيعي بحيث انه لو كان ال N أكبر

220
00:26:05,110 --> 00:26:12,510
من أو ساوي capital N فهذا بتضمن ان absolute xn

221
00:26:12,510 --> 00:26:20,090
minus c أصغر من delta نسمي ال implication هذه

222
00:26:20,090 --> 00:26:21,050
double star

223
00:26:30,480 --> 00:26:44,680
hence و بالتالي star and double star imply بيؤدوا

224
00:26:44,680 --> 00:26:51,860
إلى ما يلي انه لو كانت ال N أكبر من أو ساوي

225
00:26:51,860 --> 00:26:56,360
capital N فمن

226
00:26:56,360 --> 00:26:57,380
double star

227
00:26:59,860 --> 00:27:04,940
لو كانت n أكبر من أو ساوي capital N فمن double

228
00:27:04,940 --> 00:27:21,340
star بطلع absolute xn minus c أصغر من delta هذا

229
00:27:21,340 --> 00:27:24,800
بيقدّي أن xn

230
00:27:26,360 --> 00:27:35,400
minus C أكبر من سفر أصغر من Delta ليه؟ لأن ال XM

231
00:27:35,400 --> 00:27:44,420
موجودة تنتمي لإيه؟ هو أكبر من C، لذلك هذا لأن XM

232
00:27:44,420 --> 00:27:48,400
أكبر

233
00:27:48,400 --> 00:27:58,050
من Cفبالتالي absolute xn-c أكبر من 0 وبالتالي

234
00:27:58,050 --> 00:28:06,790
absolute xn-c absolute عدد موجب بساوي نفسه لأن ال

235
00:28:06,790 --> 00:28:15,750
absolute value هنا ل xn-c بساوي xn-c لأن xn أكبر

236
00:28:15,750 --> 00:28:18,110
من c وطبعا

237
00:28:21,830 --> 00:28:32,590
هذا أكبر من السفر لأن xn لا تساوي c أكبر من c الان

238
00:28:32,590 --> 00:28:39,310
من ال star هذا بيقدي by starالـ star بتقول إذا

239
00:28:39,310 --> 00:28:45,330
كانت ال X أو هنا في الحالة تبعتنا X in ال X in هذه

240
00:28:45,330 --> 00:28:49,990
تنتمي لإيه؟ ال X in هي تنتمي لإيه؟ و بعدين هي عندي

241
00:28:49,990 --> 00:28:56,470
X in سالب C أكبر من سفر أصغر من Delta إذا by star

242
00:28:56,470 --> 00:29:06,950
بتطلع absolute F of X in minus L أصغر من Y تمام؟

243
00:29:10,290 --> 00:29:18,790
الان نلاحظ ان ابسلون was arbitrary ابسلون

244
00:29:18,790 --> 00:29:28,230
was arbitrary since

245
00:29:28,230 --> 00:29:36,890
ابسلون أكبر من السفر was arbitrary اذا هيك بنكون

246
00:29:36,890 --> 00:29:43,470
احنا أثبتناإنه لأي إبسلون أو لكل إبسلون يوجد Delta

247
00:29:43,470 --> 00:29:50,890
لأ لكل إبسلون يوجد capital N يعتمد على ال Delta

248
00:29:50,890 --> 00:29:55,070
وبالتالي تعتمد على إبسلون لأن ال Delta تعتمد على

249
00:29:55,070 --> 00:30:01,410
إبسلون بحيث إنه لكل N أكبر من أو سوى capital N طلع

250
00:30:01,410 --> 00:30:06,190
عندي absolute f of xn minus L أصغر من إبسلونإذاً

251
00:30:06,190 --> 00:30:12,750
by epsilon capital N definition of limit بيطلع هيك

252
00:30:12,750 --> 00:30:18,710
بيكون أثبتنا أنه limit ال sequence f of x n as n

253
00:30:18,710 --> 00:30:23,710
tends to infinity بساوي L وهذا اللي بدنا يعني هذا

254
00:30:23,710 --> 00:30:26,570
اللي احنا ايه اللي عايزين نثبته

255
00:30:29,870 --> 00:30:35,490
إذاً هيك منكون أثبتنا أنه إيه اتنين holds وبالتالي

256
00:30:35,490 --> 00:30:41,670
هيك هذا بيكمل برهان واحد implies two okay تمام؟

257
00:30:41,670 --> 00:30:46,490
بالمثل ممكن انبرهن اتنين implies one

258
00:30:55,620 --> 00:31:03,360
the proof of اتنين implies العبارة

259
00:31:03,360 --> 00:31:11,200
التانية implies الأولى is similar is

260
00:31:11,200 --> 00:31:18,600
similar to is

261
00:31:18,600 --> 00:31:22,000
similar to proof of

262
00:31:24,130 --> 00:31:34,570
the sequential criterion for two-sided limit

263
00:31:34,570 --> 00:31:45,850
exercises

264
00:31:45,850 --> 00:31:50,980
يعني اتمرنوا عليهاانا ارجع لبرهان ال sequential

265
00:31:50,980 --> 00:31:55,520
criterion for two-sided limit وشوفوا اقرأوا

266
00:31:55,520 --> 00:31:59,600
البرهان و اعملوا التعديلات البسيطة على البرهان لان

267
00:31:59,600 --> 00:32:03,920
هنا احنا نتعامل مع right hand limit او limit from

268
00:32:03,920 --> 00:32:07,500
the right rather than two-sided limit زي ما عملنا

269
00:32:07,500 --> 00:32:12,920
في البرهان تبع واحد implies اتنين okay فحاسيبكم

270
00:32:12,920 --> 00:32:17,740
انتوا تكتبوا البرهان تبع اتنين بيقدي لواحدبنفس

271
00:32:17,740 --> 00:32:21,700
الطريقة اللى برهنها فى حالة ال two sided limit

272
00:32:21,700 --> 00:32:30,080
okay تمام فى اى سؤال طبعا ممكن برضه ايضا يوجد

273
00:32:30,080 --> 00:32:35,500
ممكننا نثبت sequential criterion for left hand

274
00:32:35,500 --> 00:32:42,620
limit او limit from the left نفس الطريقةOkay فيعني

275
00:32:42,620 --> 00:32:47,080
احنا مش هنكتب طبعا نظرية دي هنعتبرها نظرية قائمة و

276
00:32:47,080 --> 00:32:53,010
صحيحة و مش بدون برهان okay تمام؟إذن هذه واحدة من

277
00:32:53,010 --> 00:32:58,650
النظريات اللي برهناها في section 4.1 و 4.2 و

278
00:32:58,650 --> 00:33:04,470
بالمثل كل نظريات اللي برهناهم لـ two sided limit

279
00:33:04,470 --> 00:33:10,590
في section 4.1 و 4.2 هنعتبرهم قائمين أو نعتبر

280
00:33:10,590 --> 00:33:15,330
نظريات هذه صحيحة لـ left limit و right limit

281
00:33:22,080 --> 00:33:37,560
في نظرية أخرى مهمة وهي التعطيل

282
00:33:37,560 --> 00:33:43,000
العلاقة بين ال two sided limits و ال one sided

283
00:33:43,000 --> 00:33:49,100
limits ف

284
00:33:51,870 --> 00:34:01,250
if b function from a to r and let c be a cluster

285
00:34:01,250 --> 00:34:05,450
point

286
00:34:05,450 --> 00:34:08,690
of

287
00:34:08,690 --> 00:34:15,310
المجموعة a تقاطع الفترة المفتوحة from c to

288
00:34:15,310 --> 00:34:24,070
infinity and of a تقاطعالـ open interval from

289
00:34:24,070 --> 00:34:32,250
negative infinity to c then

290
00:34:32,250 --> 00:34:42,450
الـ two-sided limit للـ function f and c بتكون

291
00:34:42,450 --> 00:34:47,730
موجودة وبتساوي

292
00:34:47,730 --> 00:34:54,760
عدد L if and only ifالـ one-sided limit أو الـ

293
00:34:54,760 --> 00:35:02,120
limit from the right the limit at C from the right

294
00:35:02,120 --> 00:35:12,860
exist و بساوي L and the limit of F at C from the

295
00:35:12,860 --> 00:35:19,360
left exist و بتساوي نفس العدد L وهذه نظرية أخذناها

296
00:35:19,360 --> 00:35:21,520
في تفاضل ألف إذا بتذكروا

297
00:35:24,420 --> 00:35:29,460
متى ال limit عند نقطة في مجالها او cluster point

298
00:35:29,460 --> 00:35:34,940
لمجالها بتكون exist بالساوية عدد اذا كانت ال limit

299
00:35:34,940 --> 00:35:37,980
من اليمين موجودة و ال limit من اليسار موجودة و

300
00:35:37,980 --> 00:35:47,600
التنتين متساويتين و بساوي نفس العدد هناك

301
00:35:47,600 --> 00:35:50,500
بس ماكنش البرهان المطلوب منكم المرة دي احنا

302
00:35:50,500 --> 00:35:58,420
مطالبينبالبرهان البرهان يعني كتير سهل ينتج من

303
00:35:58,420 --> 00:36:06,780
التعريفات proof ف .. هحاول أبرهنلكم ال F part هذا

304
00:36:06,780 --> 00:36:16,520
مسمى ال F part يعني هفرض أنه assume أنه

305
00:36:16,520 --> 00:36:17,780
ال one sided limits

306
00:36:24,700 --> 00:36:29,160
the limit from the right exist وبساوي L وكذلك

307
00:36:29,160 --> 00:36:36,000
limit from the left موجودة

308
00:36:36,000 --> 00:36:41,840
وبساوي العدد L وعايز اثبت ان ال limit from the two

309
00:36:41,840 --> 00:36:48,940
sides exist اذا هنا هذا الفرض المطلوب

310
00:37:02,770 --> 00:37:09,030
أكلم الـ two-sided limit لـ الـ function f at x

311
00:37:09,030 --> 00:37:14,530
بساوي c exist و بساوي نفس القيمة أو نفس الأعداد L

312
00:37:14,530 --> 00:37:27,010
لبرهان ذلك to see this لبرهان ذلك بنحاول نطبق

313
00:37:27,010 --> 00:37:33,000
تعريف epsilon deltaلـ limit of function فبنبدأ

314
00:37:33,000 --> 00:37:41,140
بنقول let epsilon أكبر من السفر be given طيب

315
00:37:41,140 --> 00:37:47,380
أنا من الفرض أنا فارض تعالى نستفيد من الفرض للوصول

316
00:37:47,380 --> 00:37:51,720
إلى المطلوب هذا برهان مباشر البرهان المباشر ده

317
00:37:51,720 --> 00:37:57,420
ناخد الفرض بنشتغل عليه بنحط عليه شوية برات و بعدين

318
00:37:57,420 --> 00:38:05,060
بنطلع منهالمطلوب فمن الفرض فرضين احنا ان ال limit

319
00:38:05,060 --> 00:38:14,060
ل f of x as x tends to c positive لما انه ال limit

320
00:38:14,060 --> 00:38:20,020
من اليمين عن c بساوي L y أكبر من سفر given by

321
00:38:20,020 --> 00:38:25,190
definitionthere exists delta واحد بالساوي delta

322
00:38:25,190 --> 00:38:32,830
واحد تعتمد على epsilon عدد موجب بحيث أنه لو كان x

323
00:38:32,830 --> 00:38:40,650
ينتمي إلى a و x minus c أكبر من سفر أصغر من delta

324
00:38:40,650 --> 00:38:48,350
واحد فهذا بتضمن أن absolute f of x minus l أصغر من

325
00:38:48,350 --> 00:38:48,810
epsilon

326
00:38:52,780 --> 00:39:00,720
نسمي الـ implication head star also كذلك بما أن

327
00:39:00,720 --> 00:39:08,420
احنا فرضين ان ال limit ل f of x as x tends to c

328
00:39:08,420 --> 00:39:13,900
from the left exist وequal نفس العدد L، اذا by

329
00:39:13,900 --> 00:39:18,980
definition of left hand limitthere exists delta

330
00:39:18,980 --> 00:39:21,880
تانية مش صارت الـ delta هذه تكون نفس الـ delta

331
00:39:21,880 --> 00:39:27,040
اللي فوق ماحد بيقدر يجزم ذلك فنسميها delta تانية

332
00:39:27,040 --> 00:39:32,980
there exists delta two depends طبعا بالتأكيد تعتمد

333
00:39:32,980 --> 00:39:38,560
على إبسلون وعدد موجة بحيث أنه حسب التعريف لكل x

334
00:39:39,250 --> 00:39:46,270
تنتمي إلى a و c minus x أكبر من سفر أصغر من delta

335
00:39:46,270 --> 00:39:54,290
و 2 طبعا هذا بتضمن أن absolute f of x minus n less

336
00:39:54,290 --> 00:40:00,710
than epsilon انسمي ال implication هذه double star

337
00:40:00,710 --> 00:40:05,390
خلينا

338
00:40:05,390 --> 00:40:11,530
ناخد كالعادة deltaنعرف delta على إنها minimum ال

339
00:40:11,530 --> 00:40:17,530
minimum الأصغر بين delta واحد و delta اتنين طبعا

340
00:40:17,530 --> 00:40:21,890
هذه بالتأكيد هيطلع الصغيرة بين الاتنين هتكون واحدة

341
00:40:21,890 --> 00:40:27,770
منهم وبالتالي تطلع عدد موجب وتعتمد على epsilon إذن

342
00:40:27,770 --> 00:40:30,930
هيثبت أن يوجد delta تعتمد على epsilon و ال delta

343
00:40:30,930 --> 00:40:36,110
هي عدد موجب الان for this delta تعالى نشوف

344
00:40:40,450 --> 00:40:49,310
لو كان x ينتمي ل a و absolute x minus c أكبر من

345
00:40:49,310 --> 00:40:54,510
صفر أصغر من دلتا الان

346
00:40:54,510 --> 00:40:57,850
بناخد delta بساوي ال minimum ل delta واحد و delta

347
00:40:57,850 --> 00:41:02,060
اتنينطبعا بما ان دلتا واحد ودلتا اتنين اعداد موجب

348
00:41:02,060 --> 00:41:06,080
اذا دلتا اعداد موجب وكذلك تعتمد على epsilon لان

349
00:41:06,080 --> 00:41:10,380
دلتا واحد ودلتا اتنين تعتمد على epsilon الان لو

350
00:41:10,380 --> 00:41:16,720
أخدت x تنتمي لمجموعة a و ال x صارت مختلفة عن ال c

351
00:41:16,720 --> 00:41:23,320
و المسافة بينها و بين ال c أصغر من دلتا هذا معناه

352
00:41:23,320 --> 00:41:34,510
هذا معناه انهال X لا تساوي C وبالتالي

353
00:41:34,510 --> 00:41:48,230
ال X ممكن تكون اصغر من C او ال X اكبر من C فهذا

354
00:41:48,230 --> 00:41:55,630
بيقدي انه ال .. ال

355
00:41:55,630 --> 00:42:04,400
.. ال .. اذا كانت ال Xإذا كانت الـ X أكبر من C لو

356
00:42:04,400 --> 00:42:08,980
كانت الـ X أكبر من C فهذا بقدّي أن absolute X

357
00:42:08,980 --> 00:42:15,200
minus C بساوي X minus C بصير الـ absolute value

358
00:42:15,200 --> 00:42:20,560
هذه عبارة عن X minus C هو أكبر من 0 أصغر من Delta

359
00:42:20,560 --> 00:42:29,800
ولو كانتال X أصغر من C فال absolute value هذه

360
00:42:29,800 --> 00:42:37,360
بيصير C minus X أكبر من سفر أصغر من Delta في

361
00:42:37,360 --> 00:42:41,460
الحالة الأولى ال Delta تبعتي هذه أصغر من أو ساوي

362
00:42:41,460 --> 00:42:47,120
Delta واحد صح؟ ال Delta هذه هي ال minimum ل Delta

363
00:42:47,120 --> 00:42:50,760
واحد و Delta اتنين وبالتالي أصغر من أو ساوي Delta

364
00:42:50,760 --> 00:42:58,090
واحد وبالتالي من ال starإذا كانت x تنتمي إلى a و x

365
00:42:58,090 --> 00:43:03,990
minus c أكبر من سفر أصغر من دلتا واحد من ال star

366
00:43:03,990 --> 00:43:11,770
بيطلع عندي absolute f of x minus L أصغر من يوإذا

367
00:43:11,770 --> 00:43:17,510
كانت ال X أصغر من ال C فبطلع absolute X سالب C

368
00:43:17,510 --> 00:43:22,870
بيطلع بيساوي C سالب X أصغر من Delta وطبعا X مستويش

369
00:43:22,870 --> 00:43:29,190
C أكبر من 0 وال Delta هذه من تعريفها أصغر من أو

370
00:43:29,190 --> 00:43:35,300
يساوي Delta 2باستخدام double star ال implication

371
00:43:35,300 --> 00:43:41,420
double star لما يكون ال X تنتمي ل A و C minus X

372
00:43:41,420 --> 00:43:46,640
أكبر من 0 أصغر من Delta 2 هذا بيقدر أن absolute F

373
00:43:46,640 --> 00:43:53,680
of X minus L أصغر من إبسن إذن في كل الأحوال هذه

374
00:43:53,680 --> 00:43:58,180
بتقدر أن absolute F of X minus L أصغر من إبسن

375
00:43:58,180 --> 00:43:59,400
تمام؟

376
00:44:02,170 --> 00:44:06,090
طب ما هذا هو تعريف epsilon delta لل limit of

377
00:44:06,090 --> 00:44:12,270
function صح؟ إذا نيجي بنقول هنا since epsilon أكبر

378
00:44:12,270 --> 00:44:15,870
من السفر was arbitrary

379
00:44:17,410 --> 00:44:22,850
إذا احنا بنكون أثبتنا لكل إبسلون أكبر من سفر يوجد

380
00:44:22,850 --> 00:44:27,950
Delta تعتمد على إبسلون عدد موجب بحيث لكل X تنتمي ل

381
00:44:27,950 --> 00:44:32,210
A و Absolute X minus C أكبر من سفر أصغر من Delta

382
00:44:32,210 --> 00:44:37,810
طلع عندي Absolute F of X في الحالتين minus L أصغر

383
00:44:37,810 --> 00:44:41,630
من إبسلون وبالتالي إذا هذا صحيح لكل إبسلون

384
00:44:41,630 --> 00:44:45,620
وبالتالي by إبسلون Delta definition of limitأو

385
00:44:45,620 --> 00:44:54,600
function we have أثبتنا أن ال limit ل f of x as x

386
00:44:54,600 --> 00:45:01,380
tends to c بساوي العدد L okay تمام، إذا هذا بثبت

387
00:45:01,380 --> 00:45:04,840
اللي هو لو كان ال two sided limits موجودين

388
00:45:04,840 --> 00:45:10,730
متساويتين، لأ لو كان ال one sided limitsكلا هما

389
00:45:10,730 --> 00:45:15,530
موجودة و بساوة قيمة مشتركة L ف ال two sided limit

390
00:45:15,530 --> 00:45:20,130
تطلع exist و قيمتها بساوة القيمة المشتركة الان

391
00:45:20,130 --> 00:45:28,210
برهان العكس أسهل لذن هكتب هنا ال proof of

392
00:45:28,210 --> 00:45:36,650
the canvas is easier أسهل

393
00:45:38,760 --> 00:45:44,180
So exercise it يعني

394
00:45:44,180 --> 00:45:49,780
اتمرّض عليها لو كانت ال two-sided limit exist فمن

395
00:45:49,780 --> 00:45:55,840
السهل أن نثبت أن ال right hand limit exist و ال

396
00:45:55,840 --> 00:46:00,600
left hand limit exist و كلهم لهم نفس القيمة okay

397
00:46:00,600 --> 00:46:05,170
تمام؟إذا هنوقف هنا و في المحاضرة الجاية ان شاء

398
00:46:05,170 --> 00:46:09,710
الله هناخد أمثلة على one-sided limits إما في اتين

399
00:46:09,710 --> 00:46:13,350
موجودين و متساوياتين أو اتنين موجودين و مختلفتين

400
00:46:13,350 --> 00:46:18,190
أو واحدة موجودة و اتنين مش موجودة و هكذا، هنشوف كل

401
00:46:18,190 --> 00:46:24,670
الأنواع و كل ال situations، تمام؟ okay شكرا لكم و

402
00:46:24,670 --> 00:46:26,550
نشوفكم ان شاء الله المرة القادمة