1
00:00:21,990 --> 00:00:24,230
السلام عليكم و رحمة الله بسم الله الرحمن الرحيم

2
00:00:24,230 --> 00:00:27,590
اليوم ان شاء الله هنكمل الجزء التالت من مناقشة

3
00:00:27,590 --> 00:00:31,630
اللي هو الشبتر الرابع chapter ال cyclic groups

4
00:00:31,630 --> 00:00:36,310
المرة الماضية أنهينا سؤال عشرين و اتوقفنا عن سؤال

5
00:00:36,310 --> 00:00:41,970
واحد و عشرين سؤال واحد و عشرين سؤال تطبيقى مش صعب

6
00:00:41,970 --> 00:00:47,250
كتيرلو جينا نقرأه let g be a group and let a be an

7
00:00:47,250 --> 00:00:51,390
element of j لو ال a قص 12 بيساوي ال identity what

8
00:00:51,390 --> 00:00:55,410
can you say about the order of a نفس الفكرة في فرع

9
00:00:55,410 --> 00:00:58,710
بي لو ال a تقام بيساوي ال identity what can we say

10
00:00:58,710 --> 00:01:04,750
about the order of a طبعا الجواب على السؤالين هو

11
00:01:04,750 --> 00:01:10,330
جواب واحد ان order ال a في الأول هيقسم ال 12 في

12
00:01:10,330 --> 00:01:13,050
الفرع a و في بي هيقسم مين

13
00:01:16,270 --> 00:01:22,710
فى الفرع c suppose that ال order لجيب يسوي 24 جيب

14
00:01:22,710 --> 00:01:27,830
is cyclic و ال a أُس تمانية لا يساوي ال identity و

15
00:01:27,830 --> 00:01:31,730
ال a أُس اتناش لا يساوي ال identity show that ان

16
00:01:31,730 --> 00:01:38,530
order ال a او ال generated by a هو الجيب فرع c

17
00:01:38,530 --> 00:01:45,060
order الجيب يساوي 24 ال a أُس تمانيةلأ يساوي ال

18
00:01:45,060 --> 00:01:51,800
identity و ال a أُس 12 لأ يساوي ال identity طبعا

19
00:01:51,800 --> 00:01:59,840
في معلومة أخرى ان ال j is cyclic مدام

20
00:01:59,840 --> 00:02:06,220
ال j is cyclic و

21
00:02:06,220 --> 00:02:12,060
ال a ينتمي لل j هذا معناته ان order ال a هيقسم

22
00:02:12,060 --> 00:02:19,240
order منالـ J هذي احدى الكورلرز على النظرية الاولى

23
00:02:19,240 --> 00:02:23,300
انه اي عنصر في الـ cyclic group ال order له بيقسم

24
00:02:23,300 --> 00:02:26,740
order ل group في حالة ال finite case هذا معناته

25
00:02:26,740 --> 00:02:35,840
order ال A بيقسم ال 24 وبالتالي order ال A يا 1 يا

26
00:02:35,840 --> 00:02:47,310
2 يا 3 يا 4 يا 6 يا 8 يا 12ياربع وعشرين تقال نرفض

27
00:02:47,310 --> 00:02:51,610
بعضهم since

28
00:02:51,610 --> 00:02:59,330
ا ال تمانية لا يساوي ال identity هذا معناته order

29
00:02:59,330 --> 00:03:04,550
ال ا لا يساوي واحد لا يساوي اتنين لا يساوي اربع

30
00:03:04,550 --> 00:03:11,310
ولا يساوي تمانية اشطب الواحد اشطب الاتنين اشطب

31
00:03:11,310 --> 00:03:21,130
الاربع اشطب التمانيةنفس الفكرة also ال a أُس 12 لا

32
00:03:21,130 --> 00:03:27,550
يساوي ال identity معناته order ال a لا يساوي تلاتة

33
00:03:27,550 --> 00:03:34,870
ولا يساوي ستة ولا يساوي اتناش اشطب التلاتة اشطب

34
00:03:34,870 --> 00:03:38,290
الستة اشطب الاتناش ايش حيضل عندك؟ اربع وعشرين

35
00:03:38,290 --> 00:03:42,690
وبالتالي order ال a بدي يساوي اربع وعشرين اللي هو

36
00:03:42,690 --> 00:03:52,600
order ال jيكبر جيه الانصار

37
00:03:52,600 --> 00:03:57,140
اللي اسمه a موجود في الجروب جيه اللي هي cyclic و

38
00:03:57,140 --> 00:04:02,610
هي finiteهي group ال order لها 24 يكبر order ل A

39
00:04:02,610 --> 00:04:06,530
بيخسم ال 24 يكبر يا واحد يا اتنين يا تلاتة يا اربع

40
00:04:06,530 --> 00:04:09,890
يا ستة يا تمانية يا اتناش يا اربع عشرين هيجيت ال A

41
00:04:09,890 --> 00:04:12,450
و ال تمانية و ال A و ال اتناش لا يساوي ال identity

42
00:04:12,450 --> 00:04:15,990
بستثني ال واحد و التنين و الأربع و التمانية في

43
00:04:15,990 --> 00:04:19,790
الأول بعدين بستثني التلاتة و الستة و الأتناش من

44
00:04:19,790 --> 00:04:27,610
حيضلان دي خلص السؤال السؤال

45
00:04:27,610 --> 00:04:33,840
ال 22Any group of order 3 must be cyclic هذا

46
00:04:33,840 --> 00:04:36,680
هيناخدله تعاميم في chapter 7 لما ناخد ال grand

47
00:04:36,680 --> 00:04:41,300
theorem ان اي group of prime order لازم تكون

48
00:04:41,300 --> 00:04:48,020
cyclic لو كان ال J ال order إيه لها تلاتة ف J is

49
00:04:48,020 --> 00:04:50,700
cyclic

50
00:05:00,270 --> 00:05:09,970
let جيه بيه فيها تلت عناصر اكيد واحد منهم مين اخد

51
00:05:09,970 --> 00:05:19,870
ال a اخد ال b with ا لا يساوي ال a ا لا يساوي ال b

52
00:05:19,870 --> 00:05:24,710
ا لا يساوي ال b عشان اقول انه تلت عناصر اشمالهم

53
00:05:24,710 --> 00:05:27,090
distinct مختلفات

54
00:05:29,800 --> 00:05:36,980
هذا معناته ان a و b وين هيكون في الـ j كم حالة

55
00:05:36,980 --> 00:05:46,820
عندك تلاتة cases هذا معناته case واحد ان ال a و b

56
00:05:46,820 --> 00:05:53,260
بدت ساوي ايه؟ لو ال a و b بدت ساوي ايه؟ يبقى b بدت

57
00:05:53,260 --> 00:05:58,060
ساوي ال identity وهذا مستحيل الحالة التانية

58
00:06:00,790 --> 00:06:05,990
إن ال A بيبقى تساوي ال B في هذه الحالة سيصبح ال A

59
00:06:05,990 --> 00:06:12,270
بيبقى تساوي ال identity وهذا مستحيل كيس

60
00:06:12,270 --> 00:06:19,110
ثلاثة إن ال A بيبقى تساوي ال identity وبالتالي ال

61
00:06:19,110 --> 00:06:26,070
B بيبقى تساوي ال A inverse طبعا صارت ال J عبارة عن

62
00:06:26,070 --> 00:06:28,930
ال identity و A و A inverse

63
00:06:33,620 --> 00:06:42,040
cyclics جيناتك ضايق من انتوا يك ب جيه is cycling

64
00:06:42,040 --> 00:06:46,000
وخلص

65
00:06:46,000 --> 00:07:00,360
واضح

66
00:07:00,360 --> 00:07:07,880
السؤال هذاواضح السؤال هذا طيب سؤال تلاتة عشرين

67
00:07:07,880 --> 00:07:12,220
اتكلمنا عنه في سياق الشرح اللي ابقى كنت اشرحه في

68
00:07:12,220 --> 00:07:17,020
ال chapter بقولك ال z of ليه عبارة عن ال integers

69
00:07:17,020 --> 00:07:23,620
مع الجامع هل كل subgroup من ال z cyclic؟ هل كل

70
00:07:23,620 --> 00:07:29,260
subgroup من ال z cyclic؟ لو أخدت H subgroup من ال

71
00:07:29,260 --> 00:07:32,680
z ال integers مع الجامع أكيد ال H cyclic

72
00:07:36,910 --> 00:07:43,350
ليش؟ since z itself is cyclic مدام الـ z is a

73
00:07:43,350 --> 00:07:47,710
cyclic group فكل sub group منه ايش هيكون؟ Cyclic

74
00:07:47,710 --> 00:07:53,330
طبعا ال H هتكون generated by some element مثلا M و

75
00:07:53,330 --> 00:07:59,030
ال M ينتمي ل z هدا مش معناته هدا معناته هي عبارة

76
00:07:59,030 --> 00:08:03,930
عن ال zero موجة بسالب M موجة بسالب اتنين Mموجب

77
00:08:03,930 --> 00:08:13,230
سالب تلاتة M الاخرى هذا

78
00:08:13,230 --> 00:08:16,790
السؤال

79
00:08:16,790 --> 00:08:23,010
23 السؤال 24 find

80
00:08:23,010 --> 00:08:26,470
for any element A in any group J prove that انه

81
00:08:26,470 --> 00:08:30,150
generated by A is a subgroup من ال centralizer A

82
00:08:34,580 --> 00:08:43,360
هذه تريفيال since a في a بيبقى تساوي a في a يكبر

83
00:08:43,360 --> 00:08:49,720
ال a أشماله كميوت مع نفسه مادامه كميوت مع نفسه

84
00:08:49,720 --> 00:08:54,440
يكبر a موجود في ال centralizer لل a يكبر generated

85
00:08:54,440 --> 00:09:03,060
by a sub group من ال centralizer وخلص اثبات خلص

86
00:09:04,830 --> 00:09:09,990
خلصوها ال 24 بسرعة أربع

87
00:09:09,990 --> 00:09:15,370
أسئلة اللي حليناها واضحة، في أي مشكلة فيها؟ في أي

88
00:09:15,370 --> 00:09:19,110
مشكلة في الأسئلة اللي حليناها؟ أي نقطة غير مفهومة؟

89
00:09:24,500 --> 00:09:28,860
هو يبدأ بالجنرالتر الـ A بالساقية هذي السبب بقى

90
00:09:28,860 --> 00:09:32,520
تبدأ في answer انت بتاخد A تقام بعدين تدبط ان A

91
00:09:32,520 --> 00:09:38,800
تقام commute مع ال A عارف تلات تسطر ليش تجي ع راسك

92
00:09:38,800 --> 00:09:42,140
بعدين كده بدأت ك A تقام بساقية مش ال A commute مع

93
00:09:42,140 --> 00:09:46,480
نفسه فموجود في ال centralizer تبع نفسه و بعدين

94
00:09:46,480 --> 00:09:48,960
موجود في ال centralizer تبع نفسه ال centralizer

95
00:09:48,960 --> 00:09:53,170
subgroup فال generated by Aهيكون subset من ال

96
00:09:53,170 --> 00:09:57,490
centralizer لأنه مدام ال a موجودة يعني فكل powers

97
00:09:57,490 --> 00:09:58,710
ال a موجودة يعني

98
00:10:03,030 --> 00:10:06,690
سؤال 25 أنا ما طلبتوش لكن هو محلول في الخلف و سهل

99
00:10:06,690 --> 00:10:12,130
انت بتشتغل في ال DN ال DN عبارة عن جزءين جزء مكونا

100
00:10:12,130 --> 00:10:16,490
من N من العناصر بتكون لل cyclic subgroup generated

101
00:10:16,490 --> 00:10:23,990
by R 360 على N و الجزء التاني عبارة عن مجموعة من

102
00:10:23,990 --> 00:10:27,350
ال reflections اللي ال order لكل واحد اش في ساوي

103
00:10:28,270 --> 00:10:32,210
تنين فعندك صحب الجروب ال order اللي هان فلو كان دي

104
00:10:32,210 --> 00:10:35,350
يقسم الان هتلاقي عدد من العناصر ال order اللي هم

105
00:10:35,350 --> 00:10:40,130
دي يساوي في الدي بالنسبة لسؤال ستة و عشرين

106
00:10:40,130 --> 00:10:45,290
generator ال z قلناهم موجة بسالب واحد generator اي

107
00:10:45,290 --> 00:10:52,390
group infinite و cyclic هيكون ال a و a inverse

108
00:10:52,390 --> 00:10:57,850
يعني في ال z السؤال ستة و عشرينالـ z ال generator

109
00:10:57,850 --> 00:11:02,810
إليها موجب سالب واحد طب لو كان عندك generated by a

110
00:11:02,810 --> 00:11:07,710
و order ال a بدي يسوي مالة نهاية مين ال generator

111
00:11:07,710 --> 00:11:15,410
هان؟ a و a inverse لأنه أصلا كل .. هنكتشف لاحقا أن

112
00:11:15,410 --> 00:11:21,650
كل cyclic group و infinite هتكون copy من ال z

113
00:11:22,690 --> 00:11:27,450
السابع و عشرين الـ c star the group of non-zero

114
00:11:27,450 --> 00:11:31,210
complex number under multiplication has a cyclic

115
00:11:31,210 --> 00:11:39,090
subgroup of order c star عبارة عن اللي هي كل ما

116
00:11:39,090 --> 00:11:47,330
عدا ال zero اللي هي ممكن نكتبها زي هيك black c كل

117
00:11:47,330 --> 00:11:52,780
ما عدا ال zero مع عملية الضربهذا ما نثبت أنه موجود

118
00:11:52,780 --> 00:11:58,300
فيها Cyclic group أو

119
00:11:58,300 --> 00:12:04,480
Cyclic subgroup في أوردر n لت ان ينتمي لإنه يشغل

120
00:12:04,480 --> 00:12:09,180
number بخط

121
00:12:09,180 --> 00:12:11,080
Complex analysis

122
00:12:14,570 --> 00:12:19,310
طيب هجيت أي polynomial ال coefficient اللي لها من

123
00:12:19,310 --> 00:12:25,270
ال C حلولها وين موجودة؟ اي polynomial ال

124
00:12:25,270 --> 00:12:28,650
coefficient اللي هي المعاملات تبعتها من ال complex

125
00:12:28,650 --> 00:12:32,290
number ال coefficient تبعتها وين؟ او ال solution

126
00:12:32,290 --> 00:12:37,250
تبعتها وين؟برضه في ال complex طبعا هذا سببه ان ال

127
00:12:37,250 --> 00:12:41,910
.. ال .. ال .. ال C مع الضرب و الجمع تملي حاجة

128
00:12:41,910 --> 00:12:44,810
احنا بنسميها algebraically closed field of

129
00:12:44,810 --> 00:12:48,610
characteristics zero طبعا هو اكمل تقريبا اللي هو

130
00:12:48,610 --> 00:12:51,370
اكمل ال .. ال .. ال هيئة الجبرية لإن كل ال

131
00:12:51,370 --> 00:12:57,050
polynomials بتكون محلولة داخله هجيت السؤال انا بدي

132
00:12:57,050 --> 00:13:01,730
اجيب subgroup ال order L, H, N و تكون cyclic في ال

133
00:13:01,730 --> 00:13:07,500
C فبدي أنصر يولدهاthe answer يولد هذه ال subgroup

134
00:13:07,500 --> 00:13:14,040
طبعا consider the

135
00:13:14,040 --> 00:13:23,380
equation x to n بساوي واحد هذه

136
00:13:23,380 --> 00:13:29,840
المعادلة we know that

137
00:13:29,840 --> 00:13:33,380
this equation

138
00:13:35,180 --> 00:13:43,600
أو the solution أو the roots of this أو of this

139
00:13:43,600 --> 00:13:50,060
polynomial أو equation are

140
00:13:50,060 --> 00:14:01,200
all lies in C ولا

141
00:14:01,200 --> 00:14:04,240
واحد منهم يساو Zero none

142
00:14:06,700 --> 00:14:16,400
of them is zero ولا واحد منهم

143
00:14:16,400 --> 00:14:28,660
ساو صفر let a,n بكل ال X في ال C اللي X أس N بده

144
00:14:28,660 --> 00:14:29,280
يساوي واحد

145
00:14:36,570 --> 00:14:41,190
بتعلم معايا احنا هن فى ال C و لو واحد منهم صفر

146
00:14:41,190 --> 00:14:49,150
فأول هنتقل لل C star using the

147
00:14:49,150 --> 00:14:53,610
concepts of

148
00:14:53,610 --> 00:14:59,830
complex analysis we

149
00:14:59,830 --> 00:15:02,870
can write

150
00:15:04,970 --> 00:15:12,650
الان عبارة عن الواحد و و تغبيه لإن و أس ان ماينس

151
00:15:12,650 --> 00:15:17,110
واحد where

152
00:15:17,110 --> 00:15:20,210
و

153
00:15:20,210 --> 00:15:23,710
is a primitive root

154
00:15:34,970 --> 00:15:45,650
of unity primitive and root of unity طبعا

155
00:15:45,650 --> 00:15:48,650
لو رجعت لل complex analysis احنا بتعرف ان هذه

156
00:15:48,650 --> 00:15:53,210
المعادلة كيف بنحلهاهنا x اثنان بدى يسوى واحد او

157
00:15:53,210 --> 00:15:55,250
انا بدي احلي المعادلة اللى عبارة عن z اثنان بدى

158
00:15:55,250 --> 00:15:59,670
يسوى واحد بروح بجيب الواحد على شكل اللى هو ال ال

159
00:15:59,670 --> 00:16:04,330
polar form و بتطلع ال theta تبعته صفر فبجمع صفر

160
00:16:04,330 --> 00:16:12,130
زاد اتنين k πاي على n ف ال w عبارة عن اللى هو

161
00:16:12,130 --> 00:16:22,010
cosine اتنين πايعلى n زاد i sin 2pi على n هذا من

162
00:16:22,010 --> 00:16:27,970
ال complex analysis هيتلاحظ أن باقي العناصر عبارة

163
00:16:27,970 --> 00:16:31,890
عن مين هنا

164
00:16:31,890 --> 00:16:41,370
unity النتيجة أن a n generated by w

165
00:16:46,100 --> 00:16:53,520
and since w أُس n بدأ تساوي واحد طبعاً لما ابدأ

166
00:16:53,520 --> 00:16:59,920
أجي أكمل أجيب w أُس n هترجع لمين للواحد w أُس n

167
00:16:59,920 --> 00:17:04,240
زاد الواحد هتروح لمين لل w بعدين ال powers تبعين

168
00:17:04,240 --> 00:17:14,260
ال w بصير اشمالهم يتكرر النتيجةان ان subgroup من

169
00:17:14,260 --> 00:17:18,080
الـ black sea تبعا black sea لما اشهد منصة صفر ده

170
00:17:18,080 --> 00:17:27,840
C star و ال order لان بدى يساوي ان and ان is

171
00:17:27,840 --> 00:17:34,860
cyclic مشكلة هنا ان اللي بدأ يجيح حل السؤال يكون

172
00:17:34,860 --> 00:17:40,320
عنده خلفية عن ال complex analysisلأ لأ مش .. هذه

173
00:17:40,320 --> 00:17:44,400
القاعدة انت خدتها في الثانوية المعادلة اللي هي كيف

174
00:17:44,400 --> 00:17:47,760
.. كيف .. كيف كنت تجيب جذور ال .. ال .. ال ..

175
00:17:47,760 --> 00:17:54,440
الواحد الصحيح ال .. الواحد الصحيح هو بده إجاوب أو

176
00:17:54,440 --> 00:17:59,580
صرف إجاوب الوردر لها فاشتغلت علي هذه المعادلةأنا

177
00:17:59,580 --> 00:18:04,440
مش هقدر أخد أنصر عشوائي و أضل أرفع فيه الأساس و

178
00:18:04,440 --> 00:18:08,740
بعدين أجيبه بواحد إلا لما أكون عارف واحد معين بعرف

179
00:18:08,740 --> 00:18:18,920
أنه لما بعرفه هو لأنه بيعطيني واحد عشو

180
00:18:18,920 --> 00:18:28,090
فيه بعد 27؟ أو 26؟ 27؟عندي سؤال تسعة و عشرين list

181
00:18:28,090 --> 00:18:33,550
all the elements of O أخضر تمانية ان زد تمانتلاف

182
00:18:33,550 --> 00:18:37,130
محلول .. محلول السؤال هذا ورا تحلي السؤال اللي

183
00:18:37,130 --> 00:18:42,700
بعدهأو حتى لو مش تمانية و تمانية ترليون نفس الفكرة

184
00:18:42,700 --> 00:18:47,080
list all elements of order تمانية عشان تشتغل على

185
00:18:47,080 --> 00:18:50,700
order تمانية بدك تجيب واحد ال order له تمانية و

186
00:18:50,700 --> 00:18:52,600
تكمل بعد هيك عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان

187
00:18:52,600 --> 00:18:53,280
تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل

188
00:18:53,280 --> 00:18:54,720
عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان

189
00:18:54,720 --> 00:18:54,980
تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل

190
00:18:54,980 --> 00:19:01,340
عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل

191
00:19:03,140 --> 00:19:07,240
بتجيب واحد منهم اللي هو عبارة عن واحد قص تمانية

192
00:19:07,240 --> 00:19:11,040
مليون ع تمانية يعني واحد قص مليون عن المليون بترفع

193
00:19:11,040 --> 00:19:13,880
على القصص اللي بتكون relative to prime ع تمانية

194
00:19:13,880 --> 00:19:18,300
واحد و تلاتة و خمسة و سبعة فهي الأرقام اللي او

195
00:19:18,300 --> 00:19:21,440
العناصر اللي في زيد تمانية مليون اللي ال order

196
00:19:21,440 --> 00:19:24,180
اللي تمانية هتكون المليون و التلاتة مليون و الخمسة

197
00:19:24,180 --> 00:19:29,770
مليون و السبعة مليون نفس الفكرةلو كان ال .. ال

198
00:19:29,770 --> 00:19:33,230
يعني copy من ال z تمانية مليون generated by a و ال

199
00:19:33,230 --> 00:19:38,250
order ل a تمانية مليون هل السؤال تلاتين؟ ساعات

200
00:19:38,250 --> 00:19:42,290
عشرين بتقول ساعات عشرين أحله بحله مع أنه سهل يعني

201
00:19:42,290 --> 00:19:45,610
بدك

202
00:19:45,610 --> 00:19:49,830
ال .. ال .. ال order لل a بيبقى تساوي تمانية و a

203
00:19:49,830 --> 00:19:57,430
ينتمي ل z تمانية مليون أول شي ده number

204
00:20:00,790 --> 00:20:11,490
of elements in زد تمانية مليون with order تمانية

205
00:20:11,490 --> 00:20:16,530
is five تمانية له بيساوي أربعة because أو since

206
00:20:16,530 --> 00:20:26,110
the group is cyclic to find one of them

207
00:20:32,650 --> 00:20:42,450
we have that واحد اص تمانية مليون على تمانية اللي

208
00:20:42,450 --> 00:20:53,590
واحد اص مليون اللي عبارة عن مليون has order تمانية

209
00:20:53,590 --> 00:20:57,130
sure

210
00:20:59,400 --> 00:21:05,520
هو بده الارض بده العناصر بلاش اخدها ايه وهنا بقولك

211
00:21:05,520 --> 00:21:11,040
find الارض على بيبن ساوة تمانية و ال بي ينتمي بزية

212
00:21:11,040 --> 00:21:15,460
تمانية مليون اوجد العناصر بي اللي الارض اغلى

213
00:21:15,460 --> 00:21:18,720
تمانية بزية تمانية مليون باق العناصر هالجيتها

214
00:21:18,720 --> 00:21:26,560
شهدكون these

215
00:21:26,560 --> 00:21:27,060
elements

216
00:21:33,300 --> 00:21:46,100
R مليون أس واحد مليون أس ثلاثة مليون أس خمسة و

217
00:21:46,100 --> 00:21:52,960
مليون و السبعة اللي هما يبقى عن المليون و التلاتة

218
00:21:52,960 --> 00:21:58,720
مليون و الخمسة مليون و السبعة مليون

219
00:22:02,150 --> 00:22:05,190
طب انت تكمل السؤال بنفس الطريقة بس بدل الواحد مش

220
00:22:05,190 --> 00:22:10,650
هتاخد A فهيصير A أُس مليون A أُس ثلاثة مليون A أُس

221
00:22:10,650 --> 00:22:16,290
خمسة مليون أو A أُس سبعة مليون سؤال

222
00:22:16,290 --> 00:22:20,810
تلاتين order

223
00:22:20,810 --> 00:22:32,300
ال A قد تنين N زي الواحد وA B A inverse بيساوي P

224
00:22:32,300 --> 00:22:38,240
inverse show that P

225
00:22:38,240 --> 00:22:45,800
تربيع بيساوي ال identity السؤال

226
00:22:45,800 --> 00:22:48,160
التلاتين سؤال حلو بيشغل

227
00:23:26,320 --> 00:23:32,360
عشان اقول ان ال P تربيه بدي ساوي ال identity لازم

228
00:23:32,360 --> 00:23:40,180
اطلع ال P من العلاقة اللي قدامك يعني P A في B في A

229
00:23:40,180 --> 00:23:43,920
inverse بدي ساوي P inverse تعالى نخربش على جدب

230
00:23:43,920 --> 00:23:47,960
عشان نعرف كيف نبدأ نحل السؤال عشان يكون ال P تربيه

231
00:23:47,960 --> 00:23:52,650
بدي ساوي ال identity فP بدي ساوي ايش؟بإنفارس

232
00:23:52,650 --> 00:23:56,990
بإنفارس

233
00:23:56,990 --> 00:24:00,470
بإنفارس

234
00:24:00,470 --> 00:24:05,810
بإنفارس بإنفارس بإنفارس بإنفارس بإنفارس بإنفارس

235
00:24:05,810 --> 00:24:09,110
بإنفارس بإنفارس بإنفارس بإنفارس بإنفارس بإنفارس

236
00:24:09,110 --> 00:24:09,130
بإنفارس بإنفارس بإنفارس بإنفارس بإنفارس بإنفارس

237
00:24:09,130 --> 00:24:16,330
بإنفارس بإنفارس بإنفارس

238
00:24:16,330 --> 00:24:19,570
بإنفارس

239
00:24:19,570 --> 00:24:27,570
بإCommute تبقى ده ليه طيب فى شفى معضلة لحد تلان ما

240
00:24:27,570 --> 00:24:32,030
استعملتوش اللى هو إيش order ال A بدي ساوي odd لما

241
00:24:32,030 --> 00:24:35,710
يكون order ال A بدي ساوي odd ف generated by ال A

242
00:24:35,710 --> 00:24:40,070
ال order اللي هي إيش تانين إيه أن زاد ال واحد

243
00:24:40,070 --> 00:24:45,310
فمعناته generated by ال A هى نفسة generated by ال

244
00:24:45,310 --> 00:24:45,890
A تربية

245
00:24:48,590 --> 00:24:52,770
طيب لما يكون ال A P بدي ساو P A معناته ال A أنصر

246
00:24:52,770 --> 00:24:59,670
وين؟ في ال centralizer ال P ال A أنصر في ال

247
00:24:59,670 --> 00:25:03,390
centralizer ال P ف generated by ال A subset من

248
00:25:03,390 --> 00:25:07,790
centralizer ال P طب generated by ال A هنافسة

249
00:25:07,790 --> 00:25:14,120
generated by ال A تربية فA تربيةأنصر في الـ

250
00:25:14,120 --> 00:25:19,100
centralizer الـ P فأنا لو أثبتت أن A تربيع P بيكون

251
00:25:19,100 --> 00:25:22,440
حصلت

252
00:25:22,440 --> 00:25:28,940
المطلوب بس بي .. A تربية P بيكون حصلت المطلوب بس

253
00:25:28,940 --> 00:25:32,900
بي .. A تربية P بيكون حصلت المطلوب بس بي .. A

254
00:25:32,900 --> 00:25:33,200
تربية P بيكون حصلت المطلوب بيكون حصلت المطلوب

255
00:25:33,200 --> 00:25:36,880
بيكون حصلت المطلوب بيكون حصلت المطلوب بيكون حصلت

256
00:25:36,880 --> 00:25:39,440
المطلوب بيكون حصلت المطلوب بيكون حصلت المطلوب

257
00:25:39,440 --> 00:25:47,400
بيكون حصلعبارة عن A P A inverse لكل inverse اللي

258
00:25:47,400 --> 00:25:58,980
يشبه تساوي A P inverse A inverse طيب

259
00:25:58,980 --> 00:26:07,540
هذه عبارة عن A A P A inverse في A inverse اللي

260
00:26:07,540 --> 00:26:13,950
عبارة عن A P inverse A inverseوبالتالي هذه هي

261
00:26:13,950 --> 00:26:20,990
نفسها طبعا أنا بدأت من تحت عشان أفهم نقطة البداية

262
00:26:20,990 --> 00:26:27,070
تبعتي مين هي لازم أبدأ بهذه و بهذه هعيد تشكيل الحل

263
00:26:27,070 --> 00:26:35,850
و أصل للمطلوب since

264
00:26:35,850 --> 00:26:39,030
a

265
00:26:39,030 --> 00:26:47,890
p a inverseبدي سوى P inverse خد inverse الطرفين A

266
00:26:47,890 --> 00:26:54,750
P A inverse بدي تسوى P inverse ولكل inverse هذه

267
00:26:54,750 --> 00:27:02,170
هتصير A P inverse A inverse بدي تسوى P

268
00:27:10,610 --> 00:27:14,950
طيب خلّيه على جانب اتذكر ايش الكون اللي بنجيبه

269
00:27:14,950 --> 00:27:21,770
احنا بنثبت ان a تربيه b a inverse ايش ده تساوي بي

270
00:27:21,770 --> 00:27:27,730
بقى دي اي سالب اتنين هقعد

271
00:27:27,730 --> 00:27:34,330
امسك ال a تربيه بي a inverse كيف ده تيجيه also a b

272
00:27:34,330 --> 00:27:38,690
inverse a inverse ده تساوي مين بي انفرس

273
00:27:43,670 --> 00:27:51,510
أنا أنا أخدت A P Inverse A Inverse ماشي

274
00:27:51,510 --> 00:27:59,530
هجيت أضرب A A A B A Inverse A Inverse هد يبقى عنين

275
00:27:59,530 --> 00:28:10,650
A P Inverse A Inverse الي مين الي B هي فوق هي

276
00:28:10,650 --> 00:28:17,330
فوق Pهذه عبارة عن a تربيع بي a سالب اتنين ايش

277
00:28:17,330 --> 00:28:27,310
بيساوي بي يعني a تربيع بي بتساوي بي a تربيع ايش

278
00:28:27,310 --> 00:28:34,030
يعني a تربيع بي بتساوي بي a تربيع يعني a تربيع

279
00:28:34,030 --> 00:28:40,430
ينتمي ل centralizer ال بي وبالتالي generated by ال

280
00:28:40,430 --> 00:28:52,240
a تربيعsome group من الـcentralizer الـB Now order

281
00:28:52,240 --> 00:29:01,040
الـA بيساوى 2N زي الواحد odd ايش يعني؟

282
00:29:01,040 --> 00:29:09,030
ايش يعني؟ يعني generated by الـA تربيةبدي اساوي

283
00:29:09,030 --> 00:29:14,650
generated by الـ A أُس common divisor للتانين

284
00:29:14,650 --> 00:29:22,610
والتانين N زاد الواحد اللي هو A أُس واحد يعني

285
00:29:22,610 --> 00:29:28,700
generated by الـ Aأحنا خدنا قاعدة انه ال generated

286
00:29:28,700 --> 00:29:32,800
by a to m هو نفس ال generated by a أصل grease

287
00:29:32,800 --> 00:29:38,360
common divisor لm و order ال a حط ال m اتنين و

288
00:29:38,360 --> 00:29:42,160
order ال a اتنين n زادي ال واحد هدولة relatively

289
00:29:42,160 --> 00:29:45,840
prime فال grease common divisor له مقداش واحد

290
00:29:45,840 --> 00:29:50,020
فgenerated by ال a تربيع هي نفس ال generated by ال

291
00:29:50,020 --> 00:30:00,670
a طيب اش يعنييعني generated by ال A صارت sub group

292
00:30:00,670 --> 00:30:08,170
من مين؟ من ال centralizer ال B إيش يعني؟ يعني AB

293
00:30:08,170 --> 00:30:22,110
بدت ساوي PA AB بدت ساوي PA يعني ABA inverse إيش

294
00:30:22,110 --> 00:30:29,740
بدت ساوي؟B بس ABA inverse إيش بتساوي أصلا؟ B

295
00:30:29,740 --> 00:30:34,040
inverse يعني B inverse بتساوي B و الخلاصة اللي

296
00:30:34,040 --> 00:30:40,800
احنا مطلوب نجيبها أنه B تغبيا بتساوي ال identity

297
00:30:40,800 --> 00:30:44,840
واضح؟

298
00:30:44,840 --> 00:30:47,820
واضح السؤال يا شباب؟

299
00:31:04,450 --> 00:31:09,130
بس وقت فيه .. فيه أفكار يعني طلعت كيف فكرنا في حل

300
00:31:09,130 --> 00:31:13,710
و بدأنا من وين؟ من اللي مطلوب نثبته، اشتغلنا

301
00:31:13,710 --> 00:31:17,550
ووصلنا لمين؟ للشغل اللي المطلوب احنا نشتغل عليها

302
00:31:17,550 --> 00:31:25,530
عشان نصلّى المطلوب بصراحة

303
00:31:25,530 --> 00:31:25,810
كتب

304
00:31:45,950 --> 00:31:50,790
سنة واحدة و تلاتين على السريع بقولك

305
00:31:50,790 --> 00:31:58,490
لو كانت ال order لل J مثلا بيساوي M finite بقولك

306
00:31:58,490 --> 00:32:04,130
أثبت أنه يوجد يوجد

307
00:32:04,130 --> 00:32:08,090
N such that أن A أُس N بدت ساوي ال identity لكل A

308
00:32:08,090 --> 00:32:14,280
في ال J طبعا انا بقولكالـ N هي عبارة عن ال least

309
00:32:14,280 --> 00:32:19,920
common multiple ل order A حيث A في الـ G مش شغل

310
00:32:19,920 --> 00:32:26,100
على هذه القاعدة خد ال N المطلوبة هي least common

311
00:32:26,100 --> 00:32:31,320
multiple ل order العناصر الموجودة فين في الـ G

312
00:32:31,320 --> 00:32:39,380
سؤال 32 تبع ال lattice 32 33 34 35 تكلمنا عنهم فضل

313
00:32:41,970 --> 00:32:46,870
31 يقولك اثبت انه يوجد عدد بترفع كل عناصر الجي الو

314
00:32:46,870 --> 00:32:51,170
بيعطيك ال identity انا بقولك العدد هذا هو ال least

315
00:32:51,170 --> 00:32:58,450
common multiple لكل ال orders وبالتالي اي عنصر ال

316
00:32:58,450 --> 00:33:03,120
n هذا multiple لل order تبعهفلما ترفع ال a to n

317
00:33:03,120 --> 00:33:08,840
هسير ال a او order ال a في رقم ال a مع order ال a

318
00:33:08,840 --> 00:33:11,180
بيعطيك ال اد ان انت بتخلص الموضوع طبعا انت عشان

319
00:33:11,180 --> 00:33:14,600
تشغل في finite case فالعناصر تبعتي ال a finite

320
00:33:14,600 --> 00:33:21,060
يعني عددها محدود وال order الها برضه محدود وبتالي

321
00:33:21,060 --> 00:33:23,980
انت بتشغل ال least common multiple العدد محدود من

322
00:33:23,980 --> 00:33:28,600
العناصر وكل رقم داخل في الحسبة ايضا محدود فالنتيجة

323
00:33:28,600 --> 00:33:33,570
ان رقم اللي هيطلع معاك هو رقمأو عدد طبيعي مش هيكون

324
00:33:33,570 --> 00:33:37,650
infinity هان واضح؟

325
00:33:37,650 --> 00:33:41,950
طب مش نستفيد منه order ال J بسوا M نستفيد منه هان؟

326
00:33:41,950 --> 00:33:45,710
لأ يعني المعضلة أن أنت بتشتغل في finite case فكل

327
00:33:45,710 --> 00:33:59,970
ال order تبعت ال J الكبير تبعهم M بفطوش ال M طيب

328
00:33:59,970 --> 00:34:01,670
سؤال 36 في شغل برضه

329
00:34:07,140 --> 00:34:18,500
ثم اثبت ان الـ j عبارة عن union of a proper صحيح

330
00:34:18,500 --> 00:34:23,500
بيجيبوا اركزوا على كلمة proper if and only if j is

331
00:34:23,500 --> 00:34:35,800
not cyclic اثبت

332
00:34:35,800 --> 00:34:42,770
ان الـ jبارة عن اتحاد proper subgroup if and only

333
00:34:42,770 --> 00:34:47,650
if J is not cyclic طب أنا ده الإثبات اتجاهين

334
00:34:47,650 --> 00:35:01,490
assume that we can write J بارة عن union H حيث و H

335
00:35:01,490 --> 00:35:09,120
proper subgroup من الـ Jان احنا بنقدر نكتب ال j

336
00:35:09,120 --> 00:35:14,960
على شكل اتحاد ل subgroups عشان انا اميزها خليها

337
00:35:14,960 --> 00:35:19,400
اصغر من ال j ل

338
00:35:19,400 --> 00:35:27,140
subgroups proper من ال j ايش بدي اثبت انا ان ال j

339
00:35:27,140 --> 00:35:30,900
not cyclic كيف بدي استعمل او اي طريقة بدي استعملها

340
00:35:30,900 --> 00:35:34,800
ايش افضل طريقة بدي استعملها

341
00:35:40,760 --> 00:35:46,760
شباب كيف بنثبت ان الجروب ليس Cyclic نثبت

342
00:35:46,760 --> 00:35:54,100
ان ولا عنصر ال order له بيساوي order للجروب طب

343
00:35:54,100 --> 00:35:58,780
انت لا تنساش ان ال j finite ال order لل j بيساوي n

344
00:35:58,780 --> 00:36:07,780
finite طب هذه العملية سهلة ولا صعبة؟انت بتاخد عنصر

345
00:36:07,780 --> 00:36:11,840
عشوائي بتثبت ان ال order إله لا يساوي n مين

346
00:36:11,840 --> 00:36:14,860
الأسهل؟

347
00:36:14,860 --> 00:36:20,540
مين الأسهل؟ أستعمل الأسطوب المباشر ولا الغير

348
00:36:20,540 --> 00:36:26,100
مباشر؟ أستعمل ال direct ولا ال indirect؟ الأسهل

349
00:36:26,100 --> 00:36:31,020
هان أستعمل ال indirect assume that

350
00:36:31,020 --> 00:36:33,940
J is cyclic

351
00:36:37,530 --> 00:36:44,250
هذا معناته ان الـ J is generated by some A هذا

352
00:36:44,250 --> 00:36:50,090
معناته الـ A ينتمي للـ J اللي هي ال union لـ H

353
00:36:50,090 --> 00:36:56,230
subgroup من الـ J لـ H لأن الـ G عبارة عن اتحاد

354
00:36:56,230 --> 00:37:00,210
بربر subgroups والـ A في الـ J يقبل A موجود في

355
00:37:00,210 --> 00:37:09,130
الاتحاد هذا معناته الـ A ينتمي ل some H for someH

356
00:37:09,130 --> 00:37:14,190
proper subgroup من الجيه ال A عنصر في proper

357
00:37:14,190 --> 00:37:20,410
subgroup من جيه من الجيه هذا معناته انه generated

358
00:37:20,410 --> 00:37:27,790
by ال A صارت subgroup من مين من ال H مين generated

359
00:37:27,790 --> 00:37:30,390
by ال A يا شباب جيه

360
00:37:36,010 --> 00:37:44,290
J subgroup من الـH و الـH أصلا subgroup من مين من

361
00:37:44,290 --> 00:37:52,190
الـJ صارت الـJ subgroup من بوبر subgroup منها يعني

362
00:37:52,190 --> 00:37:59,350
المبنى اللي انت فيه صار جزء من الغرفة تخيل كيف

363
00:37:59,350 --> 00:38:04,960
المبنى طيبة صار جزء من الغرفة اللي انت فيها هناطب

364
00:38:04,960 --> 00:38:10,700
و الناس اللي برا الغرفة وين موجودين؟ صارت تناقض

365
00:38:10,700 --> 00:38:16,000
لإنه حاسيب معاك ال J بوبر sub group من نفسها و هذا

366
00:38:16,000 --> 00:38:25,400
مستحيل تناقض contradiction so J is not cyclic

367
00:38:25,400 --> 00:38:29,660
و

368
00:38:29,660 --> 00:38:33,160
أصلا ال H بوبر صحيح

369
00:38:39,820 --> 00:38:46,980
طيب الجزء التاني لسه شوف

370
00:38:46,980 --> 00:38:53,600
قارط سؤال كويس احنا بنثبت ان ال J اتحاد مجموعات

371
00:38:53,600 --> 00:39:00,240
جزئية proper منها if and only if هي مش cyclic فلو

372
00:39:00,240 --> 00:39:04,000
كانت اتحاد ل proper subgroup اثبتت انها مش cyclic

373
00:39:04,000 --> 00:39:09,370
لان لو كانت cyclic هسي في مشكلةيقبل جيه not cyclic

374
00:39:09,370 --> 00:39:16,590
حاجة تنتج الاتجاه العكسي نقول assume that

375
00:39:16,590 --> 00:39:26,530
جيه is not cyclic اش يعني يعني

376
00:39:26,530 --> 00:39:34,670
لكل a في الجيه generated by ال a لا يساوي الجيه اش

377
00:39:34,670 --> 00:39:41,380
يعنييعني generated by ال A ال proper subset من

378
00:39:41,380 --> 00:39:47,720
مين؟ من ال J هذا

379
00:39:47,720 --> 00:39:55,560
معناته الاتحاد A في ال J مش

380
00:39:55,560 --> 00:40:02,060
كلهم subset من ال J فالاتحاد تبعه مش هيكون

381
00:40:05,460 --> 00:40:10,220
كل واحد من هدول subset من ال j فاتحادهم هيظل

382
00:40:10,220 --> 00:40:16,020
subset من ال j طبعا

383
00:40:16,020 --> 00:40:21,200
انا بتكلم عليهم كاتحاد ك set مش ك subgroup لإن لو

384
00:40:21,200 --> 00:40:23,780
عندك two subgroup الاتحاد تبعه مش ضرر يكون

385
00:40:23,780 --> 00:40:34,740
subgroup اعطيها واحد now if a في ال jف a ينتمي ل

386
00:40:34,740 --> 00:40:41,980
generated by ال a ف a ينتمي لل union يعني

387
00:40:41,980 --> 00:40:49,440
ال j صارت subset من ال union و

388
00:40:49,440 --> 00:40:56,560
اعطيها اتنين واحد و اتنين هتصير ال j هي الاتحاد

389
00:40:59,600 --> 00:41:04,300
صارت الجي عبارة عن اتحاد subgroup منها وكل واحدة

390
00:41:04,300 --> 00:41:13,300
منهم هدولة اشملها with generated

391
00:41:13,300 --> 00:41:21,140
by ال a is a proper subgroup of

392
00:41:21,140 --> 00:41:26,700
جي لكل a في الجي صارت عبارة عن اتحاد proper

393
00:41:26,700 --> 00:41:27,420
subgroup

394
00:41:31,040 --> 00:41:36,440
واضحة؟ لأن اثبات السؤال لها .. لأ لها .. هذا ال F

395
00:41:36,440 --> 00:41:40,000
and only F لها .. لها .. لها .. لها ال F و لها ال

396
00:41:40,000 --> 00:41:40,480
only F

397
00:42:24,110 --> 00:42:28,890
37 show that the group of positive rational number

398
00:42:28,890 --> 00:42:37,850
under multiplication is not cyclic يعني Q زائد مع

399
00:42:37,850 --> 00:42:45,270
ضرب not cyclic Q

400
00:42:45,270 --> 00:42:54,070
زائد يعني الأعداد النسبية الموجبةهأقول assume الـ

401
00:42:54,070 --> 00:43:00,750
Q generated by some a على b with

402
00:43:00,750 --> 00:43:06,510
the greatest common divisor ل a و b بدي يسوي واحد

403
00:43:06,510 --> 00:43:14,710
حيث ال a و ال b موجودين في ال initial number طب

404
00:43:14,710 --> 00:43:19,250
علشان ماخدتهمش في ال z لإن أنا بتعامل مع مين؟ مع

405
00:43:19,250 --> 00:43:29,550
positiveهي التنين بدا تساوي a على b قص

406
00:43:29,550 --> 00:43:39,730
أن طبعا .. طبعا clearly أن لا يساوي zero لأن

407
00:43:39,730 --> 00:43:45,710
التنين لا يساوي a على b قص صفر ليها واحد also

408
00:43:47,400 --> 00:43:56,140
if n بدت ساوي واحد فالتنين بدت ساوي a على b هذا

409
00:43:56,140 --> 00:44:06,220
معناته ان ال q star generated by تنين او

410
00:44:06,220 --> 00:44:11,000
q زاد generated by تنين هذا معناته ان التلاتة بدت

411
00:44:11,000 --> 00:44:17,610
ساوي تنين أسام for someم في الـ z وهذا مستحيل

412
00:44:17,610 --> 00:44:20,930
التلقى

413
00:44:20,930 --> 00:44:27,910
تلقى تسوى power للتنين طيب if n بدت ساوى سالب واحد

414
00:44:27,910 --> 00:44:35,730
يعني ال a على b بدت ساوى نص وبالتالي التلت بدت

415
00:44:35,730 --> 00:44:41,330
ساوى نص أُص م والم من ال z يعني التلقى تبدى ساوى

416
00:44:41,330 --> 00:44:47,950
تنين أُص م والم من ال z وهذا تناقضيكبى الان لا صفر

417
00:44:47,950 --> 00:44:53,270
ولا واحد ولا سالب واحد يكبى يا أكبر من واحد يا

418
00:44:53,270 --> 00:45:00,430
أصغر من سالب واحد if n أكبر من الواحد يكبى اتنين

419
00:45:00,430 --> 00:45:06,590
بدت ساوي a على b أس n بدت ساوي a أس n على b أس n

420
00:45:06,590 --> 00:45:13,530
وبالتالي a أس n بدت ساوي اتنين b أس n

421
00:45:17,400 --> 00:45:22,520
هذا معناته تنين تقسم ال a أُس n وبالتالي تنين تقسم

422
00:45:22,520 --> 00:45:31,640
ال a يكبر a بدت ساوي تنين k و ال k من ال n يكبر

423
00:45:31,640 --> 00:45:37,280
اتنين p أُس n بدت ساوي تنين k أُس n بدت ساوي تنين

424
00:45:37,280 --> 00:45:42,060
أُس n k أُس n يكبر p أُس n بدت ساوي تنين n minus

425
00:45:42,060 --> 00:45:48,600
واحدك اص ان تنساش ان الان اكبر من الواحد يكبر الان

426
00:45:48,600 --> 00:45:53,160
ماينوس الواحد على الاقل واحد يكبر هنا فيه اتنين

427
00:45:53,160 --> 00:45:57,580
موجود وبالتالي اتنين تقسم ال بي اص ان يكبر اتنين

428
00:45:57,580 --> 00:46:05,020
تقسم ال بي اعطي هذه star وهذه double star هيعطيك

429
00:46:05,020 --> 00:46:10,480
ان الجيس common divisor ل a و b اكبر او يسوى اتنين

430
00:46:10,480 --> 00:46:17,140
وده مستحيلليش؟ لإن أنا جالي اللي جيزكوا مدفع

431
00:46:17,140 --> 00:46:22,640
زورجات دي إيش؟ واحد طبعا لا صفر ولا واحد ولا أكبر

432
00:46:22,640 --> 00:46:29,560
من الواحد ولا سالب واحد إيش بيضال عندي؟ if n أقل

433
00:46:29,560 --> 00:46:39,860
من سالب واحد نفس الفكرة هسي معاك a على b أسنة بدت

434
00:46:39,860 --> 00:46:48,200
ساوي إيش؟ تنين يعنيطبعا ال N أقل من سلب واحد فسلب

435
00:46:48,200 --> 00:46:57,420
ال N أكبر من ال واحد معناته A على B طبعا

436
00:46:57,420 --> 00:47:04,480
مش هجلبها لغاية هتصير B على A السلب N بدت سوى 2

437
00:47:04,480 --> 00:47:11,440
وبالتالي B السلب N بدت سوى 2 A السلب N

438
00:47:19,340 --> 00:47:24,340
يكبر تنين تقسم ال B والسالب N يكبر تنين تقسم ال B

439
00:47:24,340 --> 00:47:30,220
Similarly تنين

440
00:47:30,220 --> 00:47:35,260
هتقسم ال E والسالب N يكبر تنين هتقسم ال A وهذا ما

441
00:47:35,260 --> 00:47:39,140
هيعطيك تناقض يكبر لا صفر ولا واحد ولا أكبر من

442
00:47:39,140 --> 00:47:42,880
الواحد ولا سالب واحد ولا أصغر من سالب واحد مين

443
00:47:42,880 --> 00:47:47,420
ضال؟ So Q

444
00:47:48,780 --> 00:47:53,720
زائد is not cyclic

445
00:47:53,720 --> 00:47:57,440
يعطيكوا العافية بنجا فان السؤال هذا وحضرة القادمة

446
00:47:57,440 --> 00:48:02,140
ان شاء الله هنكمل من سؤال تمانية وتلاتين بس هنحاول

447
00:48:02,140 --> 00:48:08,080
انه ننهي المناقشة يعني لن مش هحل كل الأسئلة اللي

448
00:48:08,080 --> 00:48:10,900
ضايلة مطلوبة هعطيك فقط هنتائج إليها