1
00:00:21,240 --> 00:00:27,440
لازلنا في تشابتر ستة وهو الـ isomorphism المرة اللي 

2
00:00:27,440 --> 00:00:33,520
فاتت عرفنا الـ automorphism وعرفنا أنه عبارة عن

3
00:00:33,520 --> 00:00:37,880
isomorphism لكن من الـ group إلى نفس الـ group

4
00:00:37,880 --> 00:00:43,720
وبالتالي سميناه automorphism عرفنا كمان الـ Inner

5
00:00:43,720 --> 00:00:48,560
Automorphism induced by an element of a group G

6
00:00:48,560 --> 00:00:55,940
وقلنا الـ Phi A of X يساوي A X A inverse وسمينا

7
00:00:55,940 --> 00:01:02,640
هذا الـ Inner Automorphism من G الآن لو جمعنا كل

8
00:01:02,640 --> 00:01:08,570
الـ Automorphism في G وسميناهم الـ Automorphism لـ G

9
00:01:08,570 --> 00:01:14,310
جمعنا كل الـ inner automorphism وسميناهم الـ inner

10
00:01:14,310 --> 00:01:18,750
automorphism of G يفجر الرمز اللي قدام الـ

11
00:01:18,750 --> 00:01:24,110
automorphism لـ G كل الـ automorphism اللي موجودة في

12
00:01:24,110 --> 00:01:28,910
الـ group G الـ inner automorphism لـ G كل الـ inner

13
00:01:28,910 --> 00:01:34,490
automorphism of group G النظرية اللي عندنا بتقول لو

14
00:01:34,490 --> 00:01:38,210
كانت جي جروب يبقى الـ automorphism والـ inner

15
00:01:38,210 --> 00:01:45,270
automorphism لجروب جي كل واحد فيهم عبارة عن جروب

16
00:01:45,770 --> 00:01:49,370
بدي أحاول أثبت النقطة الأولى ومن ثم أثبت النقطة

17
00:01:49,370 --> 00:01:53,170
الثانية طبع الكتاب تركها .. تركه ملكه as an

18
00:01:53,170 --> 00:01:57,170
exercise يعني حطه الـ .. الـ .. الـ .. في التمرين

19
00:01:57,170 --> 00:02:02,190
تبعت ميم تبعت الكتاب على أساس أحله كـ exercise

20
00:02:02,190 --> 00:02:07,070
احنا هنبره إنه برهان عادي يبقى الخطوة الأولى بدي

21
00:02:07,070 --> 00:02:11,590
أثبت له إن الـ automorphism is a group يعني بدي أثبت

22
00:02:11,590 --> 00:02:16,150
إن الـ binary operation اللي على الـ automorphism اللي

23
00:02:16,150 --> 00:02:20,150
جيه is a binary operation associative الـ identity

24
00:02:20,150 --> 00:02:25,050
element الـ inverse element وهكذا نجي للنقطة

25
00:02:25,050 --> 00:02:31,510
الأولى لذلك بدي أقوله let فاي واحد وفاي اتنين

26
00:02:31,510 --> 00:02:39,110
موجودات في الـ automorphism اللاجئ يبقى

27
00:02:39,110 --> 00:02:44,530
بناء عليه مدام automorphism يبقى كل من فاي واحد وفاي

28
00:02:44,530 --> 00:02:53,530
اتنين is one to one and onto يبقى then فاي واحد وفاي

29
00:02:53,530 --> 00:03:01,210
اتنين is one to one and onto هذا بيعطينا من مبادئ

30
00:03:01,210 --> 00:03:06,910
الرياضيات إن الـ composition فيما بينهما فاي واحد في

31
00:03:06,910 --> 00:03:14,510
اتنين is one to one and onto كذلك من مبادئ

32
00:03:14,510 --> 00:03:18,330
الرياضيات لو كان عندي two functions كل واحدة فيهم

33
00:03:18,330 --> 00:03:21,730
one to one and onto يبقى الـ composition عليهم

34
00:03:21,730 --> 00:03:26,450
بيعطينا one to one and onto function بدي أشوف

35
00:03:26,450 --> 00:03:31,110
هالهدى بتخدم خاصية الـ isomorphism ولا لأ إن خدمت

36
00:03:31,110 --> 00:03:36,000
يبقى بصير هدى هذه موجودة في الـ automorphism

37
00:03:44,810 --> 00:03:53,910
يبقى بناء عليه هذي بتعطينا فاي وان لـ فاي تو of XY ليش

38
00:03:53,910 --> 00:03:57,970
هذا تعريف الـ composition of functions اللي أخدناه

39
00:03:57,970 --> 00:04:05,810
في calculus A هذا الكلام يساوي فاي واحد of  فاي

40
00:04:05,810 --> 00:04:11,070
اتنين أنا فرضه Automorphism لـ جي يعني Isomorphism إذا

41
00:04:11,070 --> 00:04:15,110
بناء عليه لما يأثر على الـ X و Y يبدو يساوي فاي في

42
00:04:15,110 --> 00:04:23,790
تو of X فاي في تو of Y يبقى فاي تو of X فاي في تو of

43
00:04:23,790 --> 00:04:33,230
Y ليش؟ since لإن الـ فاي تو is isomorphism طيب هذا

44
00:04:33,230 --> 00:04:42,890
الكلام يساوي يساوي فاي وان لـ فاي two of x وكمان فاي

45
00:04:42,890 --> 00:04:51,370
وان لـ فاي two of y لنفس السبب نظرا لإن فاي وان is

46
00:04:51,370 --> 00:04:57,510
an isomorphism يبقى هذا الكلام since فاي وان is an

47
00:04:57,510 --> 00:05:01,930
isomorphism طيب بدا الشغلانة الـ composition of

48
00:05:01,930 --> 00:05:06,930
functions بده رجعهم إلى أصلهم يبقى هذا معناه فاي

49
00:05:06,930 --> 00:05:12,890
واحد في اتنين كله as a function of x و فاي واحد في

50
00:05:12,890 --> 00:05:19,290
اتنين as a function of y يبقى بناء عليه أصبح فاي

51
00:05:19,290 --> 00:05:23,950
واحد في اتنين في اتنين is an isomorphism وبالتالي

52
00:05:23,950 --> 00:05:30,380
Automorphism يبقى الـ automorphism لـ G is closed under

53
00:05:30,380 --> 00:05:34,500
the composition of functions أو الـ composition of

54
00:05:34,500 --> 00:05:38,940
functions is a binary operation على مين؟ على G

55
00:05:38,940 --> 00:05:45,220
يبقى يا بتروح تقولي هنا الـ automorphism

56
00:05:45,220 --> 00:05:54,740
automorphism لـ G is closed under the

57
00:05:59,540 --> 00:06:06,340
composition of functions يعني إذا كان بدل العبارة

58
00:06:06,340 --> 00:06:09,300
هذه بتقدر تقولي so the composition of a function

59
00:06:09,300 --> 00:06:14,700
is a binary operation على مين على الـ automorphism لمين

60
00:06:14,700 --> 00:06:20,300
إلى دي يعني إحنا حتى الآن أثبتنا مين الخاصية

61
00:06:20,300 --> 00:06:25,210
الأولى إن الـ operation is a binary operation بتقدر

62
00:06:25,210 --> 00:06:30,030
تقولها بينجو سين حطها binary operation عندك مشان

63
00:06:30,030 --> 00:06:34,390
تتأكد إن هذه الخطوة هي الخطوة الأولى في إثبات الـ

64
00:06:34,390 --> 00:06:40,690
group الخطوة الثانية خاصية associativity we know

65
00:06:40,690 --> 00:06:50,950
that احنا بنعرف إن that the composition of

66
00:06:50,950 --> 00:06:52,870
functions 

67
00:06:54,160 --> 00:06:59,880
is associative يبقى فيش داعي أروح نعملها لإننا

68
00:06:59,880 --> 00:07:05,000
عارفين إنها هذه يبقى اتحققت من الخاصية الثانية

69
00:07:05,000 --> 00:07:10,660
بدنا نروح نجيب خاصية الـ identity element الآن الـ I

70
00:07:10,660 --> 00:07:20,440
من G إلى G هذه is the identity function

71
00:07:21,740 --> 00:07:24,580
خليني أسألكم السؤال اللي طالع لما أخدتم مبادئ

72
00:07:24,580 --> 00:07:27,460
الرياضية الـ identity function one to one and onto

73
00:07:27,460 --> 00:07:34,460
ولا لأ؟ مظبوط؟ يبقى هذه الـ identity function which

74
00:07:34,460 --> 00:07:44,920
is one to one and onto مش عجبا هكذا and الـ I لو

75
00:07:44,920 --> 00:07:50,000
أثرت على الـ X في Y، أيش بتعطيه لك؟ الـ X في Y لأن

76
00:07:50,000 --> 00:07:56,920
الـ Identity function الـ X هذه ليست I of X وهذه I

77
00:07:56,920 --> 00:08:02,520
of Y إذا حققت الخاصية تبع الـ isomorphism صار one

78
00:08:02,520 --> 00:08:08,260
to one and onto و حقق الخاصية و من الـ group لنفسها

79
00:08:08,260 --> 00:08:15,880
يبقى هنا الـ I موجود في الـ automorphism الجيب يبقى

80
00:08:15,880 --> 00:08:21,440
أصبحت الـ I عبارة عن automorphism هذا هو الـ identity

81
00:08:21,440 --> 00:08:26,600
element يبقى is the identity

82
00:08:35,120 --> 00:08:42,320
Element of الـ automorphism

83
00:08:42,320 --> 00:08:49,620
اللي جيه بدك تعمل تشك تاخد الـ identity مع automorphism

84
00:08:49,620 --> 00:08:52,740
تاني و تعمل بينهم composites بينهم مالوش تأثير

85
00:08:52,740 --> 00:08:58,900
مافيش مشكلة طب الآن بدنا نيجي لمين؟ للمعكوس، الآن

86
00:08:58,900 --> 00:09:09,160
اف فاي موجود في الـ automorphism لجيب أحاول أن أثبت إن

87
00:09:09,160 --> 00:09:13,300
الـ Phi Inverse عبارة عن Automorphism إذا أثبتت إن

88
00:09:13,300 --> 00:09:16,780
الـ Phi Inverse عبارة عن Automorphism يبقى أثارة

89
00:09:16,780 --> 00:09:21,860
الـ Automorphism is a group وانتهينا من المثلة يعني

90
00:09:21,860 --> 00:09:27,060
كأننا نشتغل الآن ما أشتغلناه في الشابتر الثاني بعد

91
00:09:27,060 --> 00:09:34,080
تشابتر المقدمة وهو تشابتر الـ group يبقى then Phi is

92
00:09:34,080 --> 00:09:40,910
one to one and onto مش على جد هيك مادام فاي one to

93
00:09:40,910 --> 00:09:47,350
one and one to one يبقى معاكسه as one to one and

94
00:09:47,350 --> 00:09:53,650
one to كذلك function يبقى one to one and onto

95
00:09:53,650 --> 00:09:58,590
function هذا معناه إنه فاي انفرس عبارة عن one to

96
00:09:58,590 --> 00:10:03,510
one and onto function ضايل علينا مين؟ ضايل علينا

97
00:10:03,510 --> 00:10:07,670
نثبت إن فاي انفرس is an isomorphism يعني فاي انفرس

98
00:10:07,670 --> 00:10:11,250
of x y هو فاي انفرس of x وفاي انفرس of y أظن

99
00:10:11,250 --> 00:10:16,590
أثبتناها في النظرية قبل الماضية أو السبع نقاط

100
00:10:16,590 --> 00:10:20,810
أثبتناها فيهم طيب و

101
00:10:23,400 --> 00:10:31,860
Prove that احنا برهننا كذلك إن فاي انفرس of x y

102
00:10:31,860 --> 00:10:40,780
يساوي فاي انفرس of x فاي في انفرس of y برهنها سابقا

103
00:10:40,780 --> 00:10:47,440
يبقى صارت فاي انفرس exist وفي نفس الوقت حققت خاصية

104
00:10:47,440 --> 00:10:52,570
الـ isomorphism يبقى ه أو الـ automorphism هذا معناه

105
00:10:52,570 --> 00:10:59,690
إن فاي انفرس موجود في الـ automorphism لمام الاجيه صار

106
00:10:59,690 --> 00:11:03,510
الـ automorphism الاجيه closed under the operation

107
00:11:03,510 --> 00:11:08,850
العملية associative الـ identity element موجود

108
00:11:08,850 --> 00:11:15,170
المعكوس لأي element موجود في الـ automorphism موجود يبقى

109
00:11:15,170 --> 00:11:23,170
الـ automorphism مالها is a group يبقى الـ automorphism لدي

110
00:11:23,170 --> 00:11:34,990
is a group under the composition of

111
00:11:34,990 --> 00:11:36,790
functions

112
00:11:38,510 --> 00:11:44,830
طيب كويس انتهينا من الأولى نيجي لنقطة ثانية الـ inner

113
00:11:44,830 --> 00:11:50,910
automorphism لـ G the set of all elements Phi A

114
00:11:50,910 --> 00:11:58,610
such that الـ Phi A of X بده يساوي الـ A X A inverse

115
00:11:58,610 --> 00:12:05,960
وهذا الكلام لكل الـ X اللي موجودة في G هذه عرفناها

116
00:12:05,960 --> 00:12:09,380
المرة اللي فاتت بالشكل اللي عنها ده، بدي أحاول

117
00:12:09,380 --> 00:12:14,840
أثبت إنه هذه is a group طب خليني أسألكوا السؤال

118
00:12:14,840 --> 00:12:19,960
التالي، لو قدرت أثبت إن الـ inner automorphism اللي

119
00:12:19,960 --> 00:12:25,000
جي subgroup من الـ automorphism اللي جي مش الـ inner

120
00:12:25,000 --> 00:12:32,000
بصير group لأن الـ subgroup هي مجموعة جزئية من

121
00:12:32,000 --> 00:12:36,560
المجموعة الأصلية بس تحت نفس العملية إذا لو قدرت

122
00:12:36,560 --> 00:12:41,540
أثبت إن الـ inner automorphisms اللي جيه هي عبارة عن

123
00:12:41,540 --> 00:12:45,580
subgroup من الـ automorphism اللي جيه بصير هذه group

124
00:12:45,580 --> 00:12:52,360
ونكون انتهينا من المسألة هذه يبقى بدنا نروح نثبتها

125
00:12:52,760 --> 00:13:00,500
بدنا نثبت إن الـ inner هذه is a group مشان أثبتها 

126
00:13:00,500 --> 00:13:04,440
group بدأ أثبتها sub group من ال-atom morphism لـ G

127
00:13:04,440 --> 00:13:14,920
الـ inner atom morphism لـ G is non-empty 

128
00:13:14,920 --> 00:13:16,280
ليش؟ because

129
00:13:19,280 --> 00:13:27,680
الـ Phi E موجودة في الـ Inner Atomorphism لـ جي يعني

130
00:13:27,680 --> 00:13:36,440
هذا هو الـ identity element because and الـ Phi E is

131
00:13:36,440 --> 00:13:47,260
the identity element and الـ Inner

132
00:13:47,260 --> 00:13:49,740
Atomorphism لـ G

133
00:14:01,130 --> 00:14:05,330
أنا بدعي أنه الـ identity element الآن بدي بين أن

134
00:14:05,330 --> 00:14:10,470
هذا هو الـ identity element تبع الـ atomorphism يبقى

135
00:14:10,470 --> 00:14:17,110
هذا بدي يعطيني أن الـ phi E of X يساوي الـ X يساوي

136
00:14:17,110 --> 00:14:22,410
شريك الـ X هذه لو ضربت في الـ identity element تتغير

137
00:14:22,410 --> 00:14:30,360
يعني لو قلت لك هذه E X صح ولا غلط؟ مية المية طب لو

138
00:14:30,360 --> 00:14:34,440
قلت لك كمان ضربت في معكوس الـ identity element مين

139
00:14:34,440 --> 00:14:39,600
معكوس الـ identity element الـ identity element نفسه

140
00:14:39,600 --> 00:14:47,140
يبقى سعر الـ Phi E ده موجود في الـ inner atom

141
00:14:47,140 --> 00:14:51,880
morphism لـ G ومن هنا الـ inner atom morphism لـ G is

142
00:14:51,880 --> 00:14:59,450
non-empty طب كويس الآن بدأ أخد two elements موجودات

143
00:14:59,450 --> 00:15:05,190
في الـ inner و أثبت أن الأول في معكوس الثاني موجود

144
00:15:05,190 --> 00:15:13,910
يبقى بداجي أقوله let code لفاي a وفاي b موجودات

145
00:15:13,910 --> 00:15:18,750
في الـ inner atomorphism لـ جي then

146
00:15:20,330 --> 00:15:28,470
بدي أخد فاي a فاي b inverse كله as a function of x

147
00:15:28,470 --> 00:15:34,330
وشوف هل هذا موجود في الـ inner ولا لأ بمعنى آخر هل

148
00:15:34,330 --> 00:15:40,430
بقدر أكتب حصل الضرب هذا على شكل inner atomorphism

149
00:15:40,430 --> 00:15:47,060
والله ما أقدرش هذا ما سنجيب عليه طيب هذا الكلام يساوي

150
00:15:47,060 --> 00:15:52,820
as a

151
00:15:52,820 --> 00:15:58,700
function of x طبعًا برهنا هذا الكلام سابقًا في

152
00:15:58,700 --> 00:16:03,440
نظريات السابقة بينا أن فاي a inverse الانفرس

153
00:16:03,440 --> 00:16:08,720
بنزله على من؟ على الـ element يبقى هاي نزلنا الـ

154
00:16:08,720 --> 00:16:12,470
inverse على من؟ على الـ element اللي جواهذا

155
00:16:12,470 --> 00:16:20,610
composition of functions يبقى فاي a لمين لفاي b

156
00:16:20,610 --> 00:16:27,150
inverse as a function of x يبقى هذه الـ فاي اللي برا

157
00:16:27,150 --> 00:16:32,810
هذه الـ فاي اللي برا a واللي جوا هذي بده أطبق عليها

158
00:16:32,810 --> 00:16:38,560
التعريف اللي احنا جايلينه هنا يبقى هذه عبارة عن B

159
00:16:38,560 --> 00:16:46,220
inverse X B inverse Inverse طبق لهذا التعريف Phi A

160
00:16:46,220 --> 00:16:51,800
الـ element A X A inverse يبقى هذا الـ element X الـ

161
00:16:51,800 --> 00:16:57,850
element inverse بالشكل اللي عندنا هذا الآن بدي أطبق

162
00:16:57,850 --> 00:17:04,110
التعريف كمان مرة يبقى هذا بدي يعطيني الـ a b

163
00:17:04,110 --> 00:17:13,250
inverse x b inverse x b inverse inverse كل هذا

164
00:17:13,250 --> 00:17:20,410
الكلام في من؟ في الـ a inverse يبقى اعتبرت هذا كله

165
00:17:20,410 --> 00:17:24,790
element في domain الـ phi of A طبقت عليه التعريف

166
00:17:24,790 --> 00:17:30,030
اللي هناك A نفس الـ element الـ A inverse الآن

167
00:17:30,030 --> 00:17:35,170
بالدالي لخاصية الـ associativity يبقى بناء عليه هذا

168
00:17:35,170 --> 00:17:42,120
بقدر أقول A B inverse في الـ X فيه أطلع لي هذا الـ

169
00:17:42,120 --> 00:17:45,660
element inverse و هذا الـ element inverse بقدر

170
00:17:45,660 --> 00:17:51,360
أجمعهم بـ inverse واحد بعد ما أغير أو أبدل مواقعهم

171
00:17:51,360 --> 00:17:57,740
يبقى هذا الكلام اللي هو الـ a b inverse الكل

172
00:17:57,740 --> 00:18:02,480
inverse بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هذا inverse و

173
00:18:02,480 --> 00:18:07,160
هذا inverse جلبت وضعهم و خلت inverse للكل أطلع لي

174
00:18:07,160 --> 00:18:12,120
للمقدار بين القوسين هو هذا ولا لا يبقى صار الـ

175
00:18:12,120 --> 00:18:18,180
element هذا هو الـ element هذا بس inverse أليس هو

176
00:18:18,180 --> 00:18:25,760
تعريف inner atomorphism يعني هذا كأنه مين كأنه في

177
00:18:25,760 --> 00:18:32,300
a b inverse of x تمام

178
00:18:32,970 --> 00:18:40,210
يبقى ابتدأت بـ element في معكوسه الثاني طلع عندي Phi

179
00:18:40,210 --> 00:18:45,910
of AB inverse يعني إيش؟ يعني اللي هو inner

180
00:18:45,910 --> 00:18:53,370
atomorphism إذا هذا موجود في inner atomorphism لـ G

181
00:18:55,870 --> 00:19:00,910
ثبت هنا أنه non-empty أخدت الـ elements موجودات في

182
00:19:00,910 --> 00:19:06,350
الـ inner فردت الأول في معكوس الثاني طلع موجود وين

183
00:19:06,350 --> 00:19:12,810
في الـ inner atomorphism يبقى بناء عليه الـ inner

184
00:19:12,810 --> 00:19:20,150
atomorphism لـ جي is a subgroup من الـ atomorphism

185
00:19:20,150 --> 00:19:22,970
لـ جي هذا بيعطينا

186
00:19:48,290 --> 00:19:52,050
حد لو يتسائل بالنسبة للنظرية

187
00:19:55,710 --> 00:20:02,030
علي صوتك شوية عشان

188
00:20:02,030 --> 00:20:13,110
نثبت أنها non-empty ممتاز تعال

189
00:20:13,110 --> 00:20:17,810
هنا تعال تعال الحق الحق قول

190
00:20:26,310 --> 00:20:31,150
أنا ادعيت أن هذا هو الـ identity element هايو جايلك

191
00:20:31,150 --> 00:20:34,990
هذا is identity element أن جي جيت قلت لك مدام

192
00:20:34,990 --> 00:20:39,410
identity يبقى بده يساوي هيك مظبوط تأثيره على الـ

193
00:20:39,410 --> 00:20:43,350
element بيساوي الـ element هذه النتيجة بدي أحاول أحط

194
00:20:43,350 --> 00:20:49,510
على شكل inner atomorphism فروحت قلت الـ Phi يساوي X

195
00:20:49,510 --> 00:20:54,670
يساوي E X E inverse هذا شكل inner atomorphism

196
00:20:54,670 --> 00:21:02,070
وبالتالي هذا موجود هنا قسمة عالمية أربعة بيصير

197
00:21:02,070 --> 00:21:09,380
في A X بيساوي E X E inverse فاي E هي الـ identity هي

198
00:21:09,380 --> 00:21:14,840
جايلك من الأول في E موجودة وهي الـ identity مش الـ

199
00:21:14,840 --> 00:21:19,620
E الـ E هو الـ identity تبع الـ group لكن في E هو

200
00:21:19,620 --> 00:21:23,020
الـ identity element تبع الـ atom morphism وتبع الـ

201
00:21:23,020 --> 00:21:26,800
inner atom morphism در بالك يعني هدول functions

202
00:21:26,800 --> 00:21:32,580
وليست elements عادية تمام لكن صورها هي الـ elements

203
00:21:32,580 --> 00:21:36,400
اللي موجودة وين في نفس الـ group اللي عندنا جي حد

204
00:21:36,400 --> 00:21:41,380
يلاقي تساوي الآخر؟ طيب بدنا نروح و نوضع هذا الكلام

205
00:21:41,380 --> 00:21:49,800
بمثال example

206
00:22:12,580 --> 00:22:22,400
بقول الـ D4 بده يساوي الـ R0 R90 R180 و

207
00:22:22,400 --> 00:22:35,360
R270 H V D D prime find find أو

208
00:22:35,360 --> 00:22:38,340
جد ليه الـ inner

209
00:22:41,510 --> 00:22:47,710
لـ D4 بدنا الـ inner atomorphism لـ D4

210
00:22:47,710 --> 00:22:53,550
solution

211
00:23:03,160 --> 00:23:08,840
تعال نشوف اللي هو الـ elements المختلفة اللي بدنا

212
00:23:08,840 --> 00:23:13,480
نجيبها من خلال الـ elements اللي عندنا نتكلم احنا

213
00:23:13,480 --> 00:23:17,620
على الـ inner مدام على الـ inner يبقى نتكلم على

214
00:23:17,620 --> 00:23:23,560
functions كلها بهذا الشكل تمام؟ بدي أروح أجيب هنا

215
00:23:23,560 --> 00:23:34,730
فاي R0 as a function of x طبعًا الـ X مين يا

216
00:23:34,730 --> 00:23:41,130
شباب الـ X أي عنصر من هدول مين ما كان يكون يبقى هذا

217
00:23:41,130 --> 00:23:45,870
لكل الـ X اللي موجودة في G يبقى هذا حسب الـ

218
00:23:45,870 --> 00:23:52,890
definition بده يساوي R0 X R0 inverse حد

219
00:23:52,890 --> 00:23:59,030
فيكم يقدر يقول لي قداش الناتج؟ قداش؟ X لأن هذا هو الـ

220
00:23:59,030 --> 00:24:02,450
identity element ومعكوس الـ identity element الـ

221
00:24:02,450 --> 00:24:06,210
identity element نفسه ويضربه في أي element بيعطينا

222
00:24:06,210 --> 00:24:12,790
نفس الـ element طيب كويس إذا تأثير في R0 على

223
00:24:12,790 --> 00:24:17,350
جميع عناصر جي بيعطيني جميع عناصر دي حط على شجرة

224
00:24:17,350 --> 00:24:24,350
الآن بداجة أخد في R180 as a function of

225
00:24:24,350 --> 00:24:33,860
X يبقى هذا الكلام يبدو يساوي R180 X R180 Inverse

226
00:24:33,860 --> 00:24:41,360
السؤال هو قبل ما أسافر أعطيتكم الـ center تبع الـ D4

227
00:24:41,360 --> 00:24:46,860
أو الـ Dn قلنا لكم إذا الـ N فردي يبقى الـ center

228
00:24:46,860 --> 00:24:53,340
ما فيه إلا الـ identity element وإذا الـ Dn الـ N

229
00:24:53,340 --> 00:24:58,140
زوجي يبقى فيها الـ Identity Element والـ R180 صحيح

230
00:24:58,140 --> 00:25:02,860
ولا لأ؟ إذا الـ R180 هذه موجودة في الـ Center يعني

231
00:25:02,860 --> 00:25:10,100
كوميوتس مع جميع عناصر D4 إذا هذه لو بدلتها هنا بيصير

232
00:25:10,100 --> 00:25:14,400
X R180 R180 Inverse اللي هي بالـ Identity يبقى ناتج

233
00:25:14,400 --> 00:25:15,660
كده بده يعطينا

234
00:25:19,650 --> 00:25:27,540
لأن الـ R 180 موجودة في الـ Center تبع الـ D4 طب من

235
00:25:27,540 --> 00:25:33,520
الاثنين هدول إذا الناتج هو نفسه معناته في R0

236
00:25:33,520 --> 00:25:37,200
تأثيرها على الـ elements بتساوي في R0 تأثيرها

237
00:25:37,200 --> 00:25:40,920
على الـ R180 تأثيرها على الـ elements يبقى

238
00:25:40,920 --> 00:25:49,640
أصبح في R0 بتساوي في R180 تمام يبقى

239
00:25:49,640 --> 00:25:53,600
هدول في الـ atom morphism عنصرين ولا عنصر واحد

240
00:25:54,780 --> 00:26:01,440
عنصرين ولا واحد واحد ممتاز جدًا طيب تعال نشوف فاي

241
00:26:01,440 --> 00:26:10,120
R270 تأثيرها على X يبقى هذه

242
00:26:10,120 --> 00:26:19,700
R270 X R270 inverse وتساوي إيش

243
00:26:19,700 --> 00:26:28,240
رأيك الـ R270 بقدر أكتبها R180 مضروبة في R90 صحيح

244
00:26:28,240 --> 00:26:33,500
ولا لا؟ لأن هذه نفسها الـ rotation هو نفسه ما عناه مش

245
00:26:33,500 --> 00:26:39,960
مشكلة طيب هنا الـ X الـ R270 .. اه هذه R270 و

246
00:26:39,960 --> 00:26:45,220
سبعين inverse حسب التعريف طبعًا يبقى R270 و

247
00:26:45,220 --> 00:26:49,120
سبعين inverse في الـ H مش خليني أسألكم السؤال

248
00:26:49,120 --> 00:26:56,640
التالي R270 كده إيش تساوي يا شباب R0

249
00:26:56,640 --> 00:27:06,420
طبعًا طيب R0 لو ضربتها في R90 inverse بيصير الـ

250
00:27:06,420 --> 00:27:17,440
R270 تساوي الـ R90 inverse يعني ضربت 

251
00:27:17,440 --> 00:27:24,200
الطرفين في مين؟ R تسعين انفرس يبقى بناء عليه الـ R

252
00:27:24,200 --> 00:27:30,500
ميتين وسبعين انفرس، الـ R ميتين وسبعين انفرس لو بدأ

253
00:27:30,500 --> 00:27:35,660
أخد الانفرس هنا، يقول هيعطيني من الانفرس هنا يبقى

254
00:27:35,660 --> 00:27:43,180
الـ R ميتين وسبعين انفرس بده يساوي الـ R تسعين طيب

255
00:27:45,430 --> 00:27:54,010
هذا الكلام بده يساوي هذه الـ R التي هي

256
00:27:54,010 --> 00:28:02,850
R تسعين inverse في R مية وتمانين inverseالـ 

257
00:28:02,850 --> 00:28:07,570
موجودة مع الـ Center يبقى لو جيب تهادي معهدش بصير

258
00:28:07,570 --> 00:28:15,670
الـ Identity Element يبقى بصير الناتج R 90 X R 90

259
00:28:15,670 --> 00:28:21,410
Inverse أليس تهادي على الصيغة اللي موجودة عندنا

260
00:28:21,410 --> 00:28:31,640
هذه؟ يبقى هذه Φ R تسعين يبقى هذه Φ R تسعين as a

261
00:28:31,640 --> 00:28:39,440
function of X يبقى بناء عليه أصبح عند هنا مين Φ

262
00:28:39,440 --> 00:28:48,640
R ميتين وسبعين بده يساوي Φ R تسعين هذه بروزناها

263
00:28:48,640 --> 00:28:54,030
وهذه بروزناها النتيجة اللي حصلنا عليها يبقى خلصنا

264
00:28:54,030 --> 00:28:59,650
من R نود ومن R تسعين ومن R مية وتمانين ومن R

265
00:28:59,650 --> 00:29:07,710
ميتين وسبعين بدنا نجي لامام لـ Φ H as a function

266
00:29:07,710 --> 00:29:19,670
of X يبقى H X H inverse هذا الكلام يساوي بالدجل الـ

267
00:29:19,670 --> 00:29:26,360
H عندنا ورحت فتحت على الجدول صفحة واحد وثلاثين

268
00:29:26,360 --> 00:29:33,100
تابع الكتاب اللامان لـ دي فور صفحة واحد وثلاثين

269
00:29:33,100 --> 00:29:40,460
وروح تدور على H ممكن تساوي هلاجيها R مية وتمانين

270
00:29:40,460 --> 00:29:47,490
في V يبقى R مية وتمانين في V هي الـ H إذا ممكن

271
00:29:47,490 --> 00:29:56,890
أشيلها وأكتب R مية وتمانين V في الـ X في الـ R مية

272
00:29:56,890 --> 00:30:05,800
وتمانين V inverse  كلها طب ليش كتبتها هيك؟ عشان أسهل

273
00:30:05,800 --> 00:30:10,180
عملية الاختصارات يعني بدي أحاول أكتبها بدلالة من؟

274
00:30:10,180 --> 00:30:14,560
بدلالة الـ R180 كون الـ R180 في الـ center إذا

275
00:30:14,560 --> 00:30:20,780
بتختصرني نص الشيء اللي موجود طيب هذا الكلام يساوي

276
00:30:20,780 --> 00:30:23,060
R180

277
00:30:25,010 --> 00:30:33,570
في V في الـ X هذه الـ inverse الـ V inverse R مية و

278
00:30:33,570 --> 00:30:40,030
تمانين inverse طب هذه لو جبت عندها دي بقى كم بصير

279
00:30:40,030 --> 00:30:48,770
بالـ identity ايش بصير عندنا هنا VX V inverse يبقى

280
00:30:48,770 --> 00:30:57,900
هذه مين هذه Φ V of X يبقى بناء عليه أصبح عندي Φ

281
00:30:57,900 --> 00:31:06,700
H هي عبارة عن Φ V بقى اللي عندي أخر حاجة Φ D

282
00:31:06,700 --> 00:31:14,780
Prime as a function of X يبقى هي D Prime X D Prime

283
00:31:14,780 --> 00:31:21,100
Inverse بنفس الطريقة اللي جبت فيها H بدي أروح أجيب

284
00:31:21,100 --> 00:31:28,460
D' بروح بفتح الجدول صفحة واحد وثلاثين على الـ D'

285
00:31:29,220 --> 00:31:35,820
على من؟ على الـ D' بدي R مية وتمانين عشان يجيب لي

286
00:31:35,820 --> 00:31:42,530
D' بصير R مية وتمانين في D يبقى بشيلها وبكتب

287
00:31:42,530 --> 00:31:51,250
بدالها R مية وتمانين في D في X في الـ R مية و

288
00:31:51,250 --> 00:31:58,270
تمانين في D كل هذا الكلام inverse يبقى هذا الكلام

289
00:31:58,270 --> 00:32:02,370
بيصير R مية وتمانين في D

290
00:32:12,070 --> 00:32:18,930
يبقى هذه مع هذه بمين؟ بالـ identity element تمام

291
00:32:18,930 --> 00:32:26,920
يبقى النتيجة هتعطيك DX D inverse هذه هي عبارة عن

292
00:32:26,920 --> 00:32:35,380
Φ D of x يبقى بناء عليه أصبح Φ D prime

293
00:32:35,380 --> 00:32:38,300
بده يساوي Φ D

294
00:32:40,110 --> 00:32:45,830
يبقى الثمانية inner automorphism

295
00:32:45,830 --> 00:32:54,030
صاروا كده؟ أربعة وليست ثمانية، الأربع صاروا على

296
00:32:54,030 --> 00:32:55,850
الشكل التالي

297
00:33:11,130 --> 00:33:19,170
يبقى هنا صار الـ inner automorphism لـ D4 هو عبارة

298
00:33:19,170 --> 00:33:26,130
عن الـ Φ R نوت طبعًا يساوي Φ R مية وتمانين والثاني

299
00:33:26,130 --> 00:33:33,850
Φ R تسعين اللي يساوي Φ R ميتين وسبعين والثالث

300
00:33:33,850 --> 00:33:39,690
اللي هو Φ H والرابع اللي هو Φ D بهذا الشكل

301
00:33:40,480 --> 00:33:46,740
يبقى هدول الـ inner automorphism لمن؟ لـ G السؤال هو

302
00:33:46,740 --> 00:33:53,380
هل الـ inner automorphism لـ G أقل من ذلك واللهيهم

303
00:33:53,380 --> 00:33:58,720
الأربعة فيش غيرهم بمعنى آخر هل الأربعة هدول بقدر

304
00:33:58,720 --> 00:34:04,040
أخسرهم لثلاثة ولا لاثنين تعالوا نشوفوا نتأكد من

305
00:34:04,040 --> 00:34:09,640
هذا الكلام أنا أدعي أن هذه الأربعة are distinct

306
00:34:10,700 --> 00:34:21,380
يبقى هنا this أو the elements له five R node وfive

307
00:34:21,380 --> 00:34:29,580
R تسعين وfive H and five

308
00:34:29,580 --> 00:34:31,260
D are distinct

309
00:34:34,120 --> 00:34:38,580
إذا Distinct معناته ايه؟ معناته إنه فعلا الـ

310
00:34:38,580 --> 00:34:43,080
Inner Automorphism فيه الـ D والـ G ما فيش فيه إلا

311
00:34:43,080 --> 00:34:49,600
الأربع عناصر هدول أو الأربع Inner Automorphism مشان

312
00:34:49,600 --> 00:34:54,540
أثبتهم Distinct يكفيني counter example واحد لكل

313
00:34:54,540 --> 00:34:59,670
واحدة فيهم تعالوا نشوفوا الآن أنا أدعي إنهم هذول

314
00:34:59,670 --> 00:35:06,830
distinct إذا لو جيت قلت Φ R نود وبده أخليه

315
00:35:06,830 --> 00:35:15,910
يأثر مثلًا على H أخد H عشوائيًا من الـ D4 يبقى هذا

316
00:35:15,910 --> 00:35:23,290
بده يساوي R نود H R نود اللي هو Φ H الآن

317
00:35:23,290 --> 00:35:31,170
بدأ أخد Φ R تسعين as a function of H يبقى هذا

318
00:35:31,170 --> 00:35:39,850
الكلام بده يساوي R تسعين H R تسعين inverse ويساوي

319
00:35:39,850 --> 00:35:46,370
برضه بده أرجع للجدول R تسعين H اللي في صفحة واحدة

320
00:35:46,370 --> 00:35:55,890
وثلاثين R تسعين HR تسعين تضربها في H بيطلع D

321
00:35:55,890 --> 00:36:02,590
Prime يبقى هذه D Prime R تسعين inverse اللي هي

322
00:36:02,590 --> 00:36:09,250
بمين؟ بـ R ميتين والسبعين يبقى R ميتين والسبعين الـ D

323
00:36:09,250 --> 00:36:13,950
Prime في الـ R ميتين والسبعين عندك D Prime في الـ R

324
00:36:13,950 --> 00:36:20,340
ميتين والسبعين اللي هو بيعطيلك V بيعطيلك V هذه

325
00:36:20,340 --> 00:36:29,460
أعطتني H وهذه أعطتني V إذا لا يمكن للـ R لـ Φ R

326
00:36:29,460 --> 00:36:37,460
تسعين إنه يساوي مين؟ إنه يساوي الـ Φ R نود الآن

327
00:36:37,460 --> 00:36:45,240
بالمثل لو جيت قلت Φ R تسعين بدي أبحثها مع مين؟ مع

328
00:36:45,240 --> 00:36:50,710
Φ H بدي أثبت إنه ما فيش تساوي فيما بينهما يبقى Φ R

329
00:36:50,710 --> 00:36:57,030
تسعين مثلًا لو خلتها تأثر على R تسعين يبقى ما بيصيرش

330
00:36:57,030 --> 00:37:05,510
R تسعين R تسعين R تسعين inverse اللي هو بقد ايش؟ R

331
00:37:05,510 --> 00:37:14,770
تسعين الآن بدي أنا أخد Φ H R تسعين يبقى هذا

332
00:37:14,770 --> 00:37:24,750
الكلام يساوي H R تسعين H inverse يبقى

333
00:37:24,750 --> 00:37:30,090
H inverse Y يساوي بالدجل الـ H R تسعين برضه من

334
00:37:30,090 --> 00:37:37,710
صفحة واحدة وثلاثين بدي من؟ بدي الـ H R تسعين عندك الـ

335
00:37:37,710 --> 00:37:46,570
H R تسعين اللي هي بـ D' طب والـ H inverse مش هي

336
00:37:46,570 --> 00:37:54,720
H يا شباب ولا لا؟ سكت الشعب العناصر اللي عندنا هذه

337
00:37:54,720 --> 00:37:59,260
هو الـ H تربيعها تساوي V تربيعها تساوي D تربيعها 

338
00:37:59,260 --> 00:38:03,460
تساوي D' تربيعها تساوي الـ identity قلنا يبقى الـ H

339
00:38:03,460 --> 00:38:06,900
والـ H inverse D' D inverse V' V inverse D prime يا D

340
00:38:06,900 --> 00:38:10,480
prime inverse، مظبوط؟ إذا أشيلتها وحطيت قيمتها،

341
00:38:10,480 --> 00:38:16,680
الآن بدي أشوف الـ DH مين هي، يبقى لو جيت لـ D في H،

342
00:38:16,680 --> 00:38:25,460
D في H باللي بقى 270 يبقى هذه بدها تساوي الـ R 270

343
00:38:25,460 --> 00:38:30,980
وسبعين يبقى من الاثنين هدول معناه هذا الكلام اللي

344
00:38:30,980 --> 00:38:37,780
هو Φ R تسعين لا يمكن أن تساوي الـ Φ H اللي

345
00:38:37,780 --> 00:38:43,590
عندنا بقى اللي عندنا مين بقى الـ Φ D الآن احنا

346
00:38:43,590 --> 00:38:47,850
بياننا هي الثانية الأولى نياتي وهي الثانية

347
00:38:47,850 --> 00:38:53,850
الثانية وهي الثانية اللي بعضهم Φ R تسعين برضه

348
00:38:53,850 --> 00:38:59,770
بده يخلي يأثر على R تسعين أعطاني R تسعين itself

349
00:38:59,770 --> 00:39:08,140
بده أخد آخر واحدة Φ D لما تأثر على R تسعين يبقى

350
00:39:08,140 --> 00:39:16,660
هذا الكلام يساوي DR تسعين D inverse هو يساوي بدي

351
00:39:16,660 --> 00:39:22,760
أجيب له الـ D R تسعين من الجدول الـ D R تسعين عبارة

352
00:39:22,760 --> 00:39:30,140
عن V يبقى هذه V والـ D inverse هي عبارة عن D بدي

353
00:39:30,140 --> 00:39:38,300
أجيب له الـ V في D يبقى الـ V في D اللي يبقى R ميتين

354
00:39:38,300 --> 00:39:46,120
وسبعين يبقى هذه تساوي R ميتين وسبعين ملي الاثنين هدول

355
00:39:46,120 --> 00:39:54,260
بس تنتج إن الـ Φ R تسعين لا يمكن أن تساوي الـ Φ D

356
00:39:55,610 --> 00:40:00,970
اللي عملته أنا لسه شغلة أثبت إن الـ Φ R تسعين لا

357
00:40:00,970 --> 00:40:05,030
بتساوي هذه ولا بتساوي هذه ولا بتساوي هذه الآن أنت

358
00:40:05,030 --> 00:40:09,710
بتكتب إن الـ Φ H ما تساويش هذه Φ H ما تساويش هذه وΦ

359
00:40:09,710 --> 00:40:14,590
H ما تساويش هذه وبعدين Φ D يبقى بروح بقوله

360
00:40:14,590 --> 00:40:15,910
similarly

361
00:40:18,410 --> 00:40:28,530
similarly for اللي هو Φ H and Φ D thus وهكذا

362
00:40:28,530 --> 00:40:35,850
هكذا الـ inner automorphism اللي D4 هو عبارة

363
00:40:35,850 --> 00:40:46,050
عن الـ Φ R نود والـ Φ R تسعين والـ Φ H و

364
00:40:46,050 --> 00:40:55,540
الـ Φ D فقط لا غير طيب بدي أسأل السؤال التالي أنا

365
00:40:55,540 --> 00:41:01,360
أخد تأثير الـ R node على H والـ R node على H طب لو

366
00:41:01,360 --> 00:41:08,060
غيرت الـ H هذه يمكن يطلع اثنين زي بعض اه دير بالك

367
00:41:08,060 --> 00:41:13,370
اصبر شوية اصبر عليّ شوية أنا هنا أثبت له إن الـ R

368
00:41:13,370 --> 00:41:18,690
نود الـ R نود هي الـ R مية وتمانين على مين؟ على

369
00:41:18,690 --> 00:41:25,270
X هل الـ X اخترت رمز معين ولا جيت على ثمانية رموز

370
00:41:25,270 --> 00:41:30,770
على ثمانية ممتاز إذا إذا أنا لما أقول هذه لا تساوي

371
00:41:30,770 --> 00:41:36,190
قد تساوي على بعض الرموز ولا تساوي على البعض الآخر

372
00:41:36,190 --> 00:41:41,050
يبقى أنا بس جبت counter example أنها لا تساوي in

373
00:41:41,050 --> 00:41:46,430
general لكن قد يحدث تساوي آخر لا مشكلة في ذلك لأن

374
00:41:46,430 --> 00:41:52,620
أنا بدي عدم التساوي يكون على الكل بلا استثناء إذا

375
00:41:52,620 --> 00:41:58,260
لو لجيت رمز واحد من الثمانية التساوي غير حاصل زي 

376
00:41:58,260 --> 00:42:04,160
ما شوفت هنا يبقى هدول يمكن أن يتساوى رغم أن هم

377
00:42:04,160 --> 00:42:08,680
ممكن يتساوى على بعض العناصر لكن in general على D4

378
00:42:08,680 --> 00:42:15,720
كلها بحصلش تساوي واضح كلامي؟ أيوة مش سامع إيش 

379
00:42:15,720 --> 00:42:18,220
بتقول هل صوتك

380
00:42:23,350 --> 00:42:24,650
مين المتساوين؟

381
00:42:33,630 --> 00:42:38,550
ماعنديش مشكلة أنا بقول لك أنه ممكن يحصل تساوي لكن

382
00:42:38,550 --> 00:42:42,710
إذا بدك التساوي على جميع العناصر وليس على بعضها

383
00:42:42,710 --> 00:42:47,130
عشان يحصل التساوي طبعا إذا أنا من الثمان عناصر

384
00:42:47,130 --> 00:42:52,650
فبعد if لو جيت عنصر واحد التساوي غير حاصل إذا in

385
00:42:52,650 --> 00:42:56,670
general التساوي غير حاصل عشان يكون تساوي بدي يكون

386
00:42:56,670 --> 00:43:02,510
لجميع العناصر X يعني جميع عناصر D4 الثمانية بلا

387
00:43:02,510 --> 00:43:06,710
استثناء يبقى بناء عليه هدول عناصر ال inner

388
00:43:06,710 --> 00:43:11,790
automorphism تبعت منهم تبعات ال D4 اللي هو طلبهم

389
00:43:11,790 --> 00:43:18,570
وبالتالي انتهى هذا السؤال ننتقل الآن إلى سؤال

390
00:43:20,250 --> 00:43:24,970
السؤال الآخر وهو very important ولو أنه لم يبقى

391
00:43:24,970 --> 00:43:45,030
له وقت السؤال الآخر بيقول ما يأتي خليه

392
00:43:45,030 --> 00:43:47,330
بلكن كمان example

393
00:43:51,320 --> 00:44:02,000
example بقول الكمبيوتر احسب لي ال automorphism لـ Z

394
00:44:02,000 --> 00:44:04,080
منين لـ Z عشرة

395
00:44:12,500 --> 00:44:17,500
أنا بدي احسب له كل الـ automorphism لـ Z10 يعني أنا بدي

396
00:44:17,500 --> 00:44:24,460
function من Z10 إلى Z10 تبقى وأنت وأنت وأنت و تخدم

397
00:44:24,460 --> 00:44:29,800
خاصية من الـ isomorphism كل function بهذه الطريقة

398
00:44:29,800 --> 00:44:35,480
بتبقى موجود وين؟ في الـ automorphism لمين؟ لـ Z10 طبعا

399
00:44:35,480 --> 00:44:41,590
هنثبت أن هدول أربعة فقط لغيروهذا ما سيكون في

400
00:44:41,590 --> 00:44:45,690
المحاضرة بعض الظهر لإنه ما ضلش معانا واجد إلا تمام؟

401
00:44:45,690 --> 00:44:49,230
هذا أنا بغششك من الحين إذا معاك الكتاب موجودة في

402
00:44:49,230 --> 00:44:53,890
الكتاب تمر عليها ولن تفهم منها إلا القليل أنا

403
00:44:53,890 --> 00:44:58,290
متأكد مش هتفهم إن هو كتاب إلا القليل لكن إن شاء

404
00:44:58,290 --> 00:45:02,510
الله بنوضحها لك وبنفهمها لك في المحاضرة القادمة

405
00:45:02,510 --> 00:45:04,170
إن شاء الله يعطيكم العفو