1
00:00:21,400 --> 00:00:24,020
بسم الله الرحمن الرحيم إن شاء الله شباب اليوم
2
00:00:24,020 --> 00:00:28,240
هنفوت في الوحدة الرابعة اللي عنوانها cyclic groups
3
00:00:28,240 --> 00:00:31,580
خلينا بس نراجع شوية معروفاتنا في اللي درسناها
4
00:00:31,580 --> 00:00:35,300
سابقا في الوحدة الثالثة و الوحدة الثانية و وحدة
5
00:00:35,300 --> 00:00:42,900
المقدمة يمكن لو طلعت على ال..النص التاريخي هنا أو
6
00:00:42,900 --> 00:00:45,760
المقولة اللي موجودة لواحد اسمه Alex مش عارف أشهرها
7
00:00:45,760 --> 00:00:50,540
في العام 1991 بتكلم عن لفظة الـ group نفسها اللي
8
00:00:50,540 --> 00:00:54,080
صارت أهم من لفظة physics وchemistry وحتى
9
00:00:54,080 --> 00:00:57,900
mathematics itself الفكرة هنا يا شباب بالنسبة لل
10
00:00:57,900 --> 00:01:02,820
chapter الرابع or the cyclic groups هي كالتالي في
11
00:01:02,820 --> 00:01:06,680
..عند أهل الرياضيات في عندهم هوث بحاجة اسمها
12
00:01:06,680 --> 00:01:08,540
classification أو التصنيف
13
00:01:11,260 --> 00:01:15,680
يعني لما بنيجي بنعرف هيكل جبري أو هيكل تحليلي
14
00:01:15,680 --> 00:01:20,040
مجموعة عليها بعض الخصائص والشروط بنحاول نصنف
15
00:01:20,040 --> 00:01:25,960
الأنواع هذه المجموعات يعني مثلا في شغلنا مفهوم
16
00:01:25,960 --> 00:01:35,620
للـ group هي مجموعة زائد عملية زائد
17
00:01:35,620 --> 00:01:37,860
أربع شروط
18
00:01:40,810 --> 00:01:47,590
هنلاحظ فيه عدد كبير من الحاجات اللي زي هيك أو
19
00:01:47,590 --> 00:01:51,310
المجموعات اللي معرفة عليها عملية وبتحقق الأربع
20
00:01:51,310 --> 00:01:55,910
شروط واللي بنسميها group لكن هل هذه كلها زي بعض؟
21
00:01:55,910 --> 00:02:04,430
هل هي نفس الشيء؟ هل هي صور مختلفة لنفس المفهوم؟
22
00:02:04,430 --> 00:02:09,040
بيجي هنا السؤال لما بدأت أتعامل مع الـ groups لجأت
23
00:02:09,040 --> 00:02:14,740
أنه عندي فرصة أني أصنع groups بأي order بدي إياها ممكن
24
00:02:14,740 --> 00:02:21,120
أبدأ بـ order 1,2,3,4,N أو بنتكلم عن ZN ممكن أتكلم
25
00:02:21,120 --> 00:02:27,160
عن الـ groups الـ order إلى infinity طيب هي نوع من
26
00:02:27,160 --> 00:02:32,370
أنواع التصنيف أني أصنف الـ group حسب عدد عناصرها في
27
00:02:32,370 --> 00:02:38,010
نوع ثاني أني هصنف الـ group حسب العملية نفسها بتحقق
28
00:02:38,010 --> 00:02:44,430
شرط إضافي ولا لأ زي مين الـ abelian والـ non
29
00:02:44,430 --> 00:02:52,430
abelian وكان عندي قسم لـ groups لصنفين صنف abelian
30
00:02:52,430 --> 00:02:58,030
وصنف non abelian الـ abelian نفسه بدنا نصنف فيه
31
00:02:58,030 --> 00:03:05,360
أيضا يعني في الـ abelian أنا بإمكاني ألاقي نوعين نوع
32
00:03:05,360 --> 00:03:14,640
زي الـ R مع الجمع ونوع زي الـ Z برضه مع الجمع
33
00:03:14,640 --> 00:03:20,860
لاحظوا نفس العملية وهذه أصلا جزء من ..يعني الـ Z
34
00:03:20,860 --> 00:03:27,790
جزء من مين؟ من الـ R لكن الـ Z مع الجمع بتحقق
35
00:03:27,790 --> 00:03:35,050
خاصية أنه جميع العناصر بقدر أكتبهم تركيبة معينة من
36
00:03:35,050 --> 00:03:40,330
عنصر ما يعني كل العناصر في الـ Z عبارة عن power
37
00:03:40,330 --> 00:03:45,550
لمين؟ للواحد طبعا الـ N عبارة عن واحد plus N ليه؟ N
38
00:03:45,550 --> 00:03:51,670
في واحد لأن عملية الضرب هنا تتحول ليش؟ لجمع في
39
00:03:51,670 --> 00:03:56,050
القارة ده كلام مش ممكن أعملهما عنده تنتين abelian
40
00:03:56,050 --> 00:04:02,450
فأنا لازم أصنف الـ groups اللي بتحقق هذا الكلام تحت
41
00:04:02,450 --> 00:04:06,830
إطار معين والـ groups اللي بتحققش هذا الكلام تحت
42
00:04:06,830 --> 00:04:12,630
إطار آخر الإطار تبع الـ group Z ومثيلاتها هنسميه الـ
43
00:04:12,630 --> 00:04:20,330
cyclic groups وهذا هيكون abelian لكن إيش ماله؟ مش
44
00:04:20,330 --> 00:04:26,350
cyclic ناخد من الـ Z الخاصية الأهم اللي خلتها
45
00:04:26,350 --> 00:04:31,550
مختلفة عن الـ R وهي أن كل العناصر تركيبة خطية من
46
00:04:31,550 --> 00:04:36,230
الواحد ونقول أن الـ group علشان تكون cyclic لازم
47
00:04:36,230 --> 00:04:40,990
تكون كل العناصر تركيبة خطية من عنصر معاه يعني
48
00:04:40,990 --> 00:04:44,270
بنسمي هذا العنصر اللي العناصر تركيبة ..أو مش
49
00:04:44,270 --> 00:04:48,490
تركيبة خطية منه power لهذا العنصر هذا العنصر هسميه
50
00:04:48,490 --> 00:04:55,820
مولد أو generator للـ group نجي للأهمية، ليش احنا
51
00:04:55,820 --> 00:05:04,560
بَندرس التصنيف؟ سببين، السبب الأول، هذا بهمني لما
52
00:05:04,560 --> 00:05:08,740
أدرس لاحقا عملية الـ isomorphism والـ homomorphism،
53
00:05:08,740 --> 00:05:14,260
وبهمني لمعرفة أنه هدول الـ groups زي بعض فبحطهم مع
54
00:05:14,260 --> 00:05:19,080
بعض وبصير أتعامل مع رأس لهم وما ينطبق عليه ينطبق
55
00:05:19,080 --> 00:05:23,960
على الباقي الشغلة الثانية بسهل علي التعامل مع
56
00:05:23,960 --> 00:05:28,310
التركيبة الداخلية للـ groups كيف يعني؟ يعني أنا لو
57
00:05:28,310 --> 00:05:32,890
بشرط على group Cyclic الجروب الـ Cyclic بتحقق خصائص
58
00:05:32,890 --> 00:05:37,290
بتخليني هذه الخصائص بسهولة أقدر أتعامل مع الـ
59
00:05:37,290 --> 00:05:43,430
orders تبعت العناصر أتعامل مع خصائص العنصر نفسه
60
00:05:43,430 --> 00:05:48,070
لحل المعادلات المتعلقة بالعناصر الموجودة ضمن هذه
61
00:05:48,070 --> 00:05:49,550
الـ groups
62
00:05:52,750 --> 00:05:58,030
في حين مثلا اللي أبيه لأنه مش cyclic مقدرش أنفذ
63
00:05:58,030 --> 00:06:04,370
هذا الكلام إلا لما بدي أخد نظريات أكثر تقدما في الـ
64
00:06:04,370 --> 00:06:10,130
chapter الرابع اليوم ابنهي كل ما يتعلق بالـ cyclic
65
00:06:10,130 --> 00:06:15,410
groups من ناحية التركيب الداخلي في chapter عشرة أو
66
00:06:15,410 --> 00:06:20,530
chapter 11 تحديدًا بنتناول ما يتعلق بالـ Ability
67
00:06:20,530 --> 00:06:26,250
Group الـ finite من ناحية التركيب الداخلي بظل
68
00:06:26,250 --> 00:06:32,150
الصعوبة في التعامل مع مين؟ مع شغلتين الـ Ability
69
00:06:32,150 --> 00:06:36,960
Infinite والـ non-abelian طبعا الناس اللي بيشتغلوا
70
00:06:36,960 --> 00:06:39,680
في الجبر الحديث اللي هم نظرياتهم واللي هم شغلهم
71
00:06:39,680 --> 00:06:42,980
في هذا الموضوع اللي احنا مش هنتطرق له في هذا
72
00:06:42,980 --> 00:06:47,180
المساق إذا ضال وجد احنا هناخد شبطة راح دعش ما
73
00:06:47,180 --> 00:06:49,480
يتعلق بالـ finite abelian group لكن على الأقل
74
00:06:49,480 --> 00:06:54,700
هننهي من الـ cyclic groups بالنسبة للتعريف التعريف
75
00:06:54,700 --> 00:06:59,560
مر علينا سابقا خلال الوحدة السابقة اتكلمنا عن إيش
76
00:06:59,560 --> 00:07:10,510
بتعني كلمة cyclic Ego أي سؤال يا شباب؟ في أي سؤال؟
77
00:07:10,510 --> 00:07:20,830
طيب نلخص بعض الأمور كمثال
78
00:07:20,830 --> 00:07:31,830
واحد لو أخذنا Z with addition
79
00:07:34,660 --> 00:07:47,520
أخذنا Z مع عملية الجمع we can show that for any x
80
00:07:47,520 --> 00:07:57,220
أو N ينتمي لـ Z that الـ N بتتساوي واحد أس N أو
81
00:07:57,220 --> 00:08:04,250
عبارة عن الـ N في واحد أيضا الـ N بتتساوي سالب واحد
82
00:08:04,250 --> 00:08:10,570
أو سالب N اللي عبارة عن سالب N بسالب واحد يعني
83
00:08:10,570 --> 00:08:22,610
each element in Z is a power of
84
00:08:22,610 --> 00:08:33,480
واحد and a power of سالب واحد هذا بيخلينا نقول أن
85
00:08:33,480 --> 00:08:43,260
واحد و سالب واحد are generators of
86
00:08:43,260 --> 00:08:48,120
the group Z
87
00:08:48,120 --> 00:08:58,580
عبارة عن مولدات لعناصر الـ group Z and Z is a
88
00:08:58,580 --> 00:08:59,200
cyclic
89
00:09:06,930 --> 00:09:13,870
الجروب مثال آخر برضه على Z لكن على مين؟ على ZN لو
90
00:09:13,870 --> 00:09:19,770
جيت أنا قلت ZN اللي عبارة عن zero واحد اثنين
91
00:09:19,770 --> 00:09:27,070
ثلاثة land in minus one we
92
00:09:27,070 --> 00:09:30,750
can show also
93
00:09:32,960 --> 00:09:48,720
that any element in ZN is a power of واحد هل
94
00:09:48,720 --> 00:09:54,200
الواحد وبس لأ بقدر ألاقي عناصر أخرى هنطلق لها
95
00:09:54,200 --> 00:09:57,780
لاحقا هكون الواحد is a generator
96
00:10:00,210 --> 00:10:10,030
of Zn and Zn is cyclic طبعا ZN لما بتناولها من دون
97
00:10:10,030 --> 00:10:14,190
ما أحط عليها شروط إضافية فأنا بتكلم عن ZN مع عملية
98
00:10:14,190 --> 00:10:25,850
عملية الجمع modulo N طيب لو أخذنا مثلا
99
00:10:31,850 --> 00:10:43,490
U عشرة الـ U عشرة مين فيها؟ واحد، ثلاثة، سبعة،
100
00:10:43,490 --> 00:10:49,370
تسعة طبعا أنا مقدرش أقول generated by واحد، لأن
101
00:10:49,370 --> 00:10:54,040
الواحد عبارة عن إيش؟ على الـ identity لكن أنا مقدر
102
00:10:54,040 --> 00:10:58,880
أقول أن ثلاثة أس واحد بتساوي ثلاثة ثلاثة أس اثنين
103
00:10:58,880 --> 00:11:05,600
ثلاثة فثلاثة جدّيش تسعة ثلاثة أس ثلاثة عبارة عن
104
00:11:05,600 --> 00:11:10,940
سبعة وعشرين بضار جدّيش سبعة ثلاثة أس أربعة واحد
105
00:11:10,940 --> 00:11:19,120
معناته U عشرة بتساوي generated by ثلاثة أيضا هي
106
00:11:19,120 --> 00:11:28,660
generated by مين؟ U10 Generated by 7 وبالتالي U10 is
107
00:11:28,660 --> 00:11:31,780
Cyclic
108
00:11:31,780 --> 00:11:40,220
U10
109
00:11:40,220 --> 00:11:43,260
Cyclic لكن هل كل الـ UN Cyclic
110
00:11:48,530 --> 00:11:56,790
U10 Cyclic هل كل الـ U N Cyclic؟ أعطيني مثال
111
00:11:56,790 --> 00:12:05,390
على U U8 N مش Cyclic نجرب الـ U8 مين فيها الـ U8؟
112
00:12:05,390 --> 00:12:09,590
طيب
113
00:12:09,590 --> 00:12:15,550
هلاحظ أنه ثلاثة أس واحد ثلاثة ثلاثة تربيع عبارة عن
114
00:12:15,550 --> 00:12:20,510
واحد خمسة أس واحد خمسة لكن خمسة تربيع عبارة عن
115
00:12:20,510 --> 00:12:27,450
واحد سبعة أس واحد سبعة لكن سبعة تربيع برضه واحد
116
00:12:27,450 --> 00:12:33,550
وبالتالي U ثمانية ليست generated by ثلاثة وليست
117
00:12:33,550 --> 00:12:40,410
generated by خمسة وليست generated by سبعة هذا
118
00:12:40,410 --> 00:12:43,830
معناته U ثمانية is not
119
00:12:46,600 --> 00:12:55,140
Cyclic ليست جروب ولجروب هذه Cyclic الأربع أمثلة
120
00:12:55,140 --> 00:13:02,940
اللي كتبناها بتوضح ليه أن زد Cyclic زد N دائما
121
00:13:02,940 --> 00:13:07,620
Cyclic لأي N المثال الثالث والرابع بيقول الـ UN قد
122
00:13:07,620 --> 00:13:14,140
تكون Cyclic وقد لا تكون Cyclic واضح
123
00:13:17,290 --> 00:13:24,110
واضح شباب؟ طبعا
124
00:13:24,110 --> 00:13:39,630
هي الأمثلة الموجودة قدامك هنبدأ
125
00:13:39,630 --> 00:13:45,050
بعد هذا المثال في أولى نظريات الوحدة الرابعة
126
00:13:45,050 --> 00:13:45,910
theorem
127
00:13:49,560 --> 00:13:50,400
أربعة واحدة
128
00:14:08,250 --> 00:14:12,370
عشان أنا أقدر أتناول في نظرية لاحقة بعد نظرية 4-1
129
00:14:12,370 --> 00:14:16,850
اسمها الـ fundamental theorem of cyclic groups
130
00:14:16,850 --> 00:14:22,870
النظرية الأساسية للزمر الدورية لازم أنا أتناول
131
00:14:22,870 --> 00:14:31,180
مسألة وقتاش two powers لعنصر ما بيتساوى وقتاش بقول
132
00:14:31,180 --> 00:14:37,660
إن الـ Ai بتساوي الـ Aj في أي group لو أخدت أي عنصر هذا
133
00:14:37,660 --> 00:14:44,860
قدامه خيارين يا إما infinite order يا إما finite
134
00:14:44,860 --> 00:14:50,720
order بدنا نتناول في حالة الـ infinite order وقتاش
135
00:14:52,330 --> 00:14:56,690
الـ Ai بيتساوى الـ Aj مين هو الـ i والـ j اللي بيخلي
136
00:14:56,690 --> 00:15:01,050
هذا الكلام صحيح وفي حالة الـ finite الـ Ai والـ Aj
137
00:15:01,050 --> 00:15:06,670
وإمتى بيتساوى وإيش علاقة الـ i والـ j في هذه
138
00:15:06,670 --> 00:15:15,550
الحالة كنص النظرية خلينا نكتبه let G be
139
00:15:15,550 --> 00:15:18,730
a group
140
00:15:22,250 --> 00:15:32,050
A ينتمي للـ G الحالة الأولى if order الـ A بيساوي
141
00:15:32,050 --> 00:15:40,370
infinite يعني الـ A has infinite order then Ai
142
00:15:40,370 --> 00:15:50,930
بتساوي Aj if and only if الـ i بيساوي الـ j and
143
00:15:55,120 --> 00:16:02,260
generated by a بتبدأ بالـ identity a هي تربية هي
144
00:16:02,260 --> 00:16:09,300
تكيب ولا تنتهي أما
145
00:16:09,300 --> 00:16:15,080
في حالة ما يكون الـ order finite الوضع شوية بيتغير
146
00:16:15,080 --> 00:16:21,480
تنين
147
00:16:21,480 --> 00:16:32,290
if order الـ a بيساوي n then Ai
148
00:16:32,290 --> 00:16:41,850
بتساوي Aj if and only if الـ n تقسم الـ i - j مش
149
00:16:41,850 --> 00:16:49,910
بس هيك and generated by a ده تساوي الـ identity a
150
00:16:49,910 --> 00:17:00,830
a2 and a and a-1 في كل
151
00:17:00,830 --> 00:17:08,370
حالة بالنسبة لـ ai بيساوي aj في نتائج
152
00:17:08,370 --> 00:17:19,970
وإمتى بيتساوى الجزء الأول assume that أن order الـ a
153
00:17:19,970 --> 00:17:28,160
بدأ تساوي infinite هذا معناه إن an لا يساوي الـ
154
00:17:28,160 --> 00:17:38,480
identity for any n في الـ Z في
155
00:17:38,480 --> 00:17:46,250
اتجاه سهل if i بيساوي j to i بيبقى تساوي aj
156
00:17:46,250 --> 00:17:50,090
العكسي إنه i بيساوي j بيقودني إنه ai بيساوي
157
00:17:50,090 --> 00:17:54,910
aj وهذا أمر منطقي نجي لاتجاه الثاني Assume
158
00:17:54,910 --> 00:18:06,190
that ai بيبقى تساوي لا يساوي بلاش في z بيحطها
159
00:18:06,190 --> 00:18:09,190
في الـ natural number اتكلم عن الـ order يكون
160
00:18:09,190 --> 00:18:17,180
positive assume that ai بدأت تساوي aj هذا
161
00:18:17,180 --> 00:18:30,360
معناه let أو assume that إن j أو i لا يساوي j
162
00:18:30,360 --> 00:18:34,300
أنا
163
00:18:34,300 --> 00:18:38,480
بدي أثبت إن i بيساوي j هفتخد إن i لا يساوي j
164
00:18:42,320 --> 00:18:51,960
without loss of generality بدون فقدان التعميم ذات
165
00:18:51,960 --> 00:18:59,660
i أكبر من j ما هو الـ i لا يساوي الـ j يا الـ i أكبر
166
00:18:59,660 --> 00:19:06,840
يا الـ j أكبر فحنفترض أنه الـ i أكبر حاجة الـ Ai بدأت
167
00:19:06,840 --> 00:19:16,070
تساوي Aj يعني Ai-j بدأت تساوي الـ identity هداش
168
00:19:16,070 --> 00:19:22,170
حيخليني أقول but
169
00:19:22,170 --> 00:19:32,190
an لا يساوي الـ identity لكل n في الـ N هداش
170
00:19:32,190 --> 00:19:37,190
معناه معناه لازم الـ i - الـ j تساوي zero
171
00:19:37,190 --> 00:19:39,390
وبالتالي
172
00:19:42,900 --> 00:19:49,260
إذا حسيني أندي تناقض هان كيف بقول كيف
173
00:19:49,260 --> 00:19:53,700
بقول إن الـ i - الـ j بتساوي الـ identity والـ i
174
00:19:53,700 --> 00:20:00,460
- j ينتمي للـ N والـ An لا يساوي الـ identity
175
00:20:00,460 --> 00:20:08,140
لأي n في N هذا contradiction فاني أعملها هان
176
00:20:08,140 --> 00:20:12,440
وبالتالي i بدأت تساوي
177
00:20:17,690 --> 00:20:24,410
طيب هذا معناه إن generated by a بتتساوي الـ
178
00:20:24,410 --> 00:20:33,450
identity ايه تربية ايه تكييب and ai and aj
179
00:20:33,450 --> 00:20:38,610
are distinct خلي
180
00:20:38,610 --> 00:20:44,810
اعمله since ai and aj are distinct from
181
00:20:44,810 --> 00:20:45,290
any
182
00:20:50,630 --> 00:21:00,130
i يساوي j هجات الـ powers للـ A Ai و Aj
183
00:21:00,130 --> 00:21:04,730
لا يتساوى إلا لو تساوى الـ i و الـ j لما الـ i و
184
00:21:04,730 --> 00:21:08,170
الـ j ما يتساووش هذه القيم اللي بتطلع معاش بتكون
185
00:21:08,850 --> 00:21:15,310
مختلفة ما بوصلش في لحظة معينة لعنصر موجود قبل هيك كل
186
00:21:15,310 --> 00:21:19,550
مرة باعطي power جديد بيعطي ناشر عنصر جديد وبالتالي
187
00:21:19,550 --> 00:21:25,650
هذه المجموعة مش هتنتهي وبهيك تكون خلص إثبات الجزء
188
00:21:25,650 --> 00:21:35,250
الأول أي
189
00:21:35,250 --> 00:21:35,950
سؤال؟
190
00:21:46,140 --> 00:21:50,120
عشان الـ order بيساوي infinity مدام الـ order بيساوي
191
00:21:50,120 --> 00:21:53,220
infinity مش هيساوي عدد محدود يعني ما فيش power للـ a
192
00:21:53,220 --> 00:21:59,980
بيعطيك الـ identity غير الـ zero عشان إنالو أنا
193
00:21:59,980 --> 00:22:03,020
خلّيتها N ينتمي لـ Z طب ما هو أصلاً A و zero
194
00:22:03,020 --> 00:22:06,620
بيعطيني الـ identity فاخدتها في الـ N حد هيقول لي
195
00:22:06,620 --> 00:22:09,920
طيب والأعداد السالبة ما هو أصلاً لو الـ A-
196
00:22:09,920 --> 00:22:13,360
n بيساوي الـ identity فالـ An هيساوي الـ identity
197
00:22:13,360 --> 00:22:18,320
وبالتالي لما أنا أقول n في الـ N ف أنا بلغ الموجب و
198
00:22:18,320 --> 00:22:28,500
بلغ السالب وبكتفي بمين بالصفر جزء الثاني assume
199
00:22:30,900 --> 00:22:40,420
that هو أخضر الـ A بدأت تساوي الـ n يعني An
200
00:22:40,420 --> 00:22:46,840
بدأت تساوي الـ Identity إيش المطلوب يثبته نرجع للنص
201
00:22:46,840 --> 00:22:49,880
أنه
202
00:22:49,880 --> 00:22:55,540
Ai بتساوي Aj if and only if الـ n بتقسم الـ
203
00:22:55,540 --> 00:23:05,690
i - j في اتجاه سهل إذا i بيساوي الـ j ثم Ai
204
00:23:05,690 --> 00:23:10,770
بيبقى بيساوي Aj لحظة، أنا هبدأ بنفس البداية،
205
00:23:10,770 --> 00:23:19,130
بنفس الطريقة اللي بدأتها جهة ثانية Assume that A
206
00:23:19,130 --> 00:23:21,930
i بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى
207
00:23:21,930 --> 00:23:23,430
بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى بيبقى Aj
208
00:23:27,170 --> 00:23:33,150
هنثبت إن الـ i - الـ j من مضاعفات الـ n أو الـ n
209
00:23:33,150 --> 00:23:43,730
بتقسم الـ i - j هذا معناه الـ Ai-j
210
00:23:43,730 --> 00:23:46,090
إيش ده تساوي الـ identity
211
00:23:49,390 --> 00:23:55,070
طيب حاجة الجيت أشغل على الأن هنمسح الجملة هذه
212
00:23:55,070 --> 00:24:00,190
كتبناها ونرجع نكتب جملة بعدها نكتبها الـ i - j
213
00:24:00,190 --> 00:24:04,070
مدام
214
00:24:04,070 --> 00:24:08,730
أنا ما حطيت الشروط على i و j فهذا قد يكون سالب وقد
215
00:24:08,730 --> 00:24:14,850
يكون موجب قد يكون zero أنا علشان أبعد عن حالتين
216
00:24:14,850 --> 00:24:19,110
حالة الـ zero وحالة السالب هفترض زي ما فرضت هنا أن
217
00:24:19,110 --> 00:24:22,470
الـ i أكبر من الـ j إفتراض إن الـ i أكبر من الـ j يعني
218
00:24:22,470 --> 00:24:28,270
إن أنا دخلت على أسلوب الإثبات الغير مباشر يعني بال
219
00:24:28,270 --> 00:24:31,790
contradiction وبالتالي لازم أفترض إن الـ i لا يساوي
220
00:24:31,790 --> 00:24:38,630
الـ j assume in contrary that
221
00:24:40,640 --> 00:24:56,260
إن الـ i لا يساوي j c الـ i أكبر من الـ j Now A
222
00:24:56,260 --> 00:25:02,080
i بيبقى تساوي Aj يعني Ai-j
223
00:25:02,080 --> 00:25:07,660
إيش بديه يساوي الـ identity طبعاً تنساش إن الـ i
224
00:25:07,660 --> 00:25:21,810
- j أكبر من الصفر يعني بينتمي لمين ينتمي طيب
225
00:25:21,810 --> 00:25:26,910
using اللي
226
00:25:26,910 --> 00:25:36,090
هو الـ division algorithm سمعني
227
00:25:36,090 --> 00:25:41,770
الـ division algorithm أنا بقدر أقول إن الـ i -
228
00:25:41,770 --> 00:25:45,570
j بدأت
229
00:25:45,570 --> 00:25:52,150
تساوي الـ qn + r والـ r أقل من الـ n وأكبر
230
00:25:52,150 --> 00:26:00,690
من الصفر صح؟ في غلط إن
231
00:26:00,690 --> 00:26:03,970
أنا شيلت اليسار لما أنا بدي أقول إن اليسار مش
232
00:26:03,970 --> 00:26:05,910
موجود بدي مبرر
233
00:26:08,360 --> 00:26:15,240
بدي وبقى طب و ليش أنا بدي أثبتها هنا هل أنا محتاج
234
00:26:15,240 --> 00:26:28,960
أنفيها طيب
235
00:26:28,960 --> 00:26:34,500
يبدو إني بدأت خطأ ممكن أنا أجاوب لعدل بعد هيك طيب
236
00:26:34,500 --> 00:26:46,500
now Ar عبارة عن Ai-j - qn بدأت
237
00:26:46,500 --> 00:26:53,580
تساوي Ai-j × A-qn اللي عبارة
238
00:26:53,580 --> 00:26:58,920
عن الـ identity × An-q identity ×
239
00:26:58,920 --> 00:27:07,270
identity بدأت تساوي إيش identity يعني Ar ده يساوي
240
00:27:07,270 --> 00:27:12,330
الـ identity طيب
241
00:27:12,330 --> 00:27:17,350
تعالوا نشوف وين الأخطاء اللي وجعنا فيها أول حاجة
242
00:27:17,350 --> 00:27:22,130
شباب أناش المطلوب يثبته مش
243
00:27:22,130 --> 00:27:27,270
المطلوب يثبته أول حاجة المطلوب أثبت إن الـ n تقسم
244
00:27:27,270 --> 00:27:32,470
الـ i - الـ j أناش
245
00:27:32,470 --> 00:27:32,970
فرضت
246
00:27:39,300 --> 00:27:43,240
ما شيله علاقة؟ إيش اللي علاقة؟ يعني بقى هذا أول خطأ
247
00:27:43,240 --> 00:27:47,580
شوية
248
00:27:47,580 --> 00:27:52,440
بس وهذا الخطأ جاب وراه أخطاء ثانية فرض إن الـ i لا
249
00:27:52,440 --> 00:27:59,880
يساوي j وقولت إن الـ i أكبر من الـ j طبعاً
250
00:27:59,880 --> 00:28:05,860
وهذا مبني على هذا أنا مطلوب إني أثبت إن الـ n تقسم
251
00:28:05,860 --> 00:28:11,460
هل لو الـ I أكبر من الـ J، الـ N قد لا
252
00:28:11,460 --> 00:28:16,280
تقسم الـ I minus J، ما لهوش
253
00:28:16,280 --> 00:28:22,740
علاقة. إذاً، فبنرجع نعدل فرضياتنا ونعدل الدزق هذا
254
00:28:22,740 --> 00:28:25,920
بناء على الفرض اللي احنا فرضناه، إذاً فأنا بدي أفترض
255
00:28:25,920 --> 00:28:34,650
هنا إيش؟ أن الـ N لا تقسم الـ I minus J، تقسم أو لا
256
00:28:34,650 --> 00:28:41,970
تقسم؟ لا تقسم. هل هذي هي الازمة هالجيت؟ لأ لأ
257
00:28:41,970 --> 00:28:48,110
هجيت الـ A أُس I minus الـ J، بدي أساوي الـ E. أنا لما
258
00:28:48,110 --> 00:28:52,550
قلت إنه I minus الـ J في الـ .. بناء على إيش؟ على
259
00:28:52,550 --> 00:28:58,130
إنه الـ I أكبر من الـ J. طيب بصراحة، الـ I أكبر من
260
00:28:58,130 --> 00:29:00,210
الـ J، يبقى دي ونحن سيه؟ في الـ Z
261
00:29:04,420 --> 00:29:08,320
Using Division Algorithm معرفة على مين؟ عزد في هذه
262
00:29:08,320 --> 00:29:14,580
الخطوة. سليمة. هرجت. هنرجع هان لما أنا قلت لك إنه
263
00:29:14,580 --> 00:29:18,860
ممنوع نشيل المساواة إلا بمبرر. صار المبرر موجود ولا
264
00:29:18,860 --> 00:29:24,480
لأ. الشغلة إنه الآن لو تقسم الـ I minus J، فأنا بروحش
265
00:29:24,480 --> 00:29:31,810
بعمل هان، بشيل المساواة، بكمل: a-r بيساوي a-i-j-q-n
266
00:29:31,810 --> 00:29:40,350
بصل إن a-r بيساوي الـ identity، since r أكبر أو
267
00:29:40,350 --> 00:29:46,950
يساوي الـ zero. a-r بيساوي الـ identity. طبعاً، الـ r ما
268
00:29:46,950 --> 00:29:51,150
بين الـ n وأكبر من الـ zero. الـ a-r بيساوي الـ
269
00:29:51,150 --> 00:29:53,990
identity order للـ a بيساوي n
270
00:29:57,830 --> 00:30:01,950
A contradiction. مين
271
00:30:01,950 --> 00:30:07,110
هو الـ contradiction؟ هذا الـ order هو n، وصار عندي
272
00:30:07,110 --> 00:30:13,990
عدد مش صفري أقل من الـ n بيعطينا الـ identity. so وين
273
00:30:13,990 --> 00:30:23,600
الخلل؟ إنه لازم الـ R يساوي zero، والـ N تقسم الـ I
274
00:30:23,600 --> 00:30:27,340
minus J، وبالتالي الجزئية الأولى من المرحلة
275
00:30:27,340 --> 00:30:33,000
الثانية تم إثباتها. أعيد بسرعة عشان .. أعيد بسرعة
276
00:30:33,000 --> 00:30:39,040
لأنه طريقة الإثبات صار فيها تعديل. أنا فرضت ..
277
00:30:39,040 --> 00:30:43,380
بالعمد. يعني أنت عمد فيك ولا عشان تتعلم ولا .. مش
278
00:30:43,380 --> 00:30:45,880
دائماً بكون عاملة بالعمد. أحياناً أنا بخ .. ب .. يعني
279
00:30:45,880 --> 00:30:52,700
أنا أخلطت في شغلة وبرجع أعدلها. طيب، فعرضت هنا إن الـ
280
00:30:52,700 --> 00:30:58,460
A Os I بدأ تساوي A Os J، فأنا بشتغل على عكس المطلوب
281
00:30:58,460 --> 00:31:03,360
فرضت إن الـ N لا تقسم الـ I minus J، وصلت إن I minus
282
00:31:03,360 --> 00:31:07,620
J بده يساوي الـ identity، والـ I minus J في الـ Z، والـ N
283
00:31:07,620 --> 00:31:11,560
عدد طبيعي، فأنا بقدر أشتغل بالـ division algorithm، و
284
00:31:11,560 --> 00:31:15,540
أكتب هذا الكلام. وعلشان الـ N لا تقسم I minus J
285
00:31:15,540 --> 00:31:19,760
الـ r لازم تساوي Zero. وصلت بعد الحسابات إن I minus
286
00:31:19,760 --> 00:31:23,560
R بده يساوي الـ identity. طيب، I minus R بده يساوي الـ
287
00:31:23,560 --> 00:31:31,230
identity، والـ R عدد طبيعي، يعني يكون أكبر من الـ
288
00:31:31,230 --> 00:31:36,210
order. لكن هو أصغر من الـ order، فصار تناقض. يعني لازم
289
00:31:36,210 --> 00:31:43,870
الـ R يساوي 0، والـ N تقسم الـ I minus G. الجهة
290
00:31:43,870 --> 00:31:48,630
الثانية بسطر واحد. لو الـ I بيساوي الـ G، فالـ A و I
291
00:31:48,630 --> 00:31:49,990
بيساوي A و G
292
00:31:57,620 --> 00:32:05,680
خلّيني أكتب الجهة الثانية مرة أخرى. Assume أن
293
00:32:05,680 --> 00:32:15,420
N تقسم I minus J، معناته إن I minus J تتساوي Q
294
00:32:15,420 --> 00:32:26,520
ضربناها في N، والـ T من أين؟ من Z. الجهة A أُس I minus
295
00:32:26,520 --> 00:32:31,240
الـ J عبارة عن A أُس T N، يعني عبارة عن A أُس N أُس
296
00:32:31,240 --> 00:32:36,020
T، بدت تساوي الـ Identity. A أُس I minus الـ J بدت تساوي
297
00:32:36,020 --> 00:32:44,700
الـ Identity. A أُس I بدت تساوي A أُس G. طيب،
298
00:32:44,700 --> 00:32:49,260
فضل هذه؟
299
00:32:49,260 --> 00:32:55,310
ركز معايا. فرضت إن الـ A أُس I بيبقى تساوي A أُس J
300
00:32:55,310 --> 00:33:02,950
فرضت
301
00:33:02,950 --> 00:33:09,290
الـ B. فرضت إن الـ A أُس I بيبقى تساوي A أُس J. فرضت
302
00:33:09,290 --> 00:33:09,690
أن الـ B. فرضت إن الـ A أُس I بيبقى تساوي A أُس J
303
00:33:09,690 --> 00:33:12,050
فرضت إن الـ N تقسم الـ I minus J. فرضت إن الـ N لا
304
00:33:12,050 --> 00:33:19,000
تقسم الـ I minus J. يبقى a-i يبقى a-j يبقى a-j يبقى
305
00:33:19,000 --> 00:33:20,000
a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى
306
00:33:20,000 --> 00:33:20,200
يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى
307
00:33:20,200 --> 00:33:21,480
a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j
308
00:33:21,480 --> 00:33:22,100
يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى
309
00:33:22,100 --> 00:33:30,580
a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى a-j يبقى
310
00:33:30,580 --> 00:33:38,510
a-j يبقى a-j يبقى a-j. الـ A أُس I minus الـ G
311
00:33:38,510 --> 00:33:42,570
Identity. A أُس سالب Q N عبارة عن A أُس N أُس سالب
312
00:33:42,570 --> 00:33:46,630
Q، برضه Identity. Identity في Identity بيعطيك الـ
313
00:33:46,630 --> 00:33:50,610
Identity. يكبر A أُس R بيبقى يساوي الـ Identity. هجيت
314
00:33:50,610 --> 00:33:54,850
أي عدد طبيعي برفع الـ A له وبيعطيني الـ Identity
315
00:33:54,850 --> 00:33:59,470
لازم يكون أكبر من مين؟ من الـ order، لأن الـ order هو
316
00:33:59,470 --> 00:34:03,230
أصغر عدد طبيعي بيخلي الـ A يروح لمين؟
317
00:34:05,600 --> 00:34:08,900
هو المفروض يكون أكبر، لكن حسب الـ Divisional Root
318
00:34:08,900 --> 00:34:14,080
ما هو أصغر، فصار عندي تناقض، وبالتالي لازم الـ R
319
00:34:14,080 --> 00:34:19,860
تساوي صفر، والـ order أو الـ A، الـ N تقسم الـ I minus
320
00:34:19,860 --> 00:34:30,620
J. تجاه العكس سهل، يعني ما فيش فيه تأخير. كيف؟ ما
321
00:34:30,620 --> 00:34:34,600
هو حسب الـ Divisional Root، مستحيل يساوي الـ N، طالما
322
00:34:34,600 --> 00:34:38,820
بتجسم الباقي دائماً أقل من اللي بتجسم عليه، وإلا لو
323
00:34:38,820 --> 00:34:44,820
بيساوي اللي بتجسم عليه، هيظل باقي بتضالي
324
00:34:44,820 --> 00:34:53,820
الجزئية الأخيرة يا شباب
325
00:34:53,820 --> 00:34:59,060
أنا بدي أثبت إنه generated by A بس هدول هذه
326
00:34:59,060 --> 00:35:04,390
خطوتين. الخطوة الأولى إنه كل واحد من هدول مختلف عن
327
00:35:04,390 --> 00:35:13,210
الثاني. الخطوة الثانية إنه أي واحد من برا، يعني أي
328
00:35:13,210 --> 00:35:19,970
power أقل من الصفر أو أكبر من الـ N-1، لازم يكون
329
00:35:19,970 --> 00:35:25,510
موجود هنا. طيب now four
330
00:35:26,720 --> 00:35:35,540
أني I أقل من الـ N، أكبر أو يساوي الصفر. J أقل من الـ
331
00:35:35,540 --> 00:35:51,020
N، أكبر أو يساوي الصفر. if I لا يساوي J، then I minus
332
00:35:51,020 --> 00:35:59,650
J من الـ N وبين السالب N، والـ I minus J لا يساوي Zero
333
00:35:59,650 --> 00:36:02,810
وبالتالي
334
00:36:02,810 --> 00:36:08,230
A أس I minus J مش هيساوي الـ identity
335
00:36:11,870 --> 00:36:15,810
العدد الوحيد اللي ما ترفع الـ a له يعطيك الـ
336
00:36:15,810 --> 00:36:20,350
identity من هو؟ الصفر بس. الصفر الـ i minus الـ j لا
337
00:36:20,350 --> 00:36:24,330
تساوي إيه، بمعناته الـ a أُس i minus الـ j ما بيسويش
338
00:36:24,330 --> 00:36:31,630
الـ identity، و بالتالي a أُس i لا يساوي a أُس j، يعني
339
00:36:31,630 --> 00:36:41,760
if i لا يساوي j، والـ I بين الـ N والـ 0، والـ J بين
340
00:36:41,760 --> 00:36:48,320
الـ N والـ 0. المحصلة A أُس I and A أُس J are
341
00:36:48,320 --> 00:36:57,300
distinct، يعني هدولة كلهم مختلفين ولا واحد فيهم
342
00:36:57,300 --> 00:37:00,180
بيساوي الثاني. now
343
00:37:02,790 --> 00:37:12,250
إذا M أكبر أو يساوي الـ N أو M أصغر من الـ Zero، ثم
344
00:37:12,250 --> 00:37:16,430
بمعالجة
345
00:37:16,430 --> 00:37:21,590
الـ Division الـ
346
00:37:21,590 --> 00:37:32,410
M بدأ تساوي مثلاً الـ Q شرطة N زاد R شرطة، والـ R شرطة
347
00:37:32,410 --> 00:37:41,550
بين الـ N والـ 0. أي عدد غير هدول الـ 0,1,2,N,N-1
348
00:37:41,550 --> 00:37:48,250
لما بدي أجسمه على الـ N، هيدلر المين ضار بين مين؟
349
00:37:48,250 --> 00:37:55,810
طيب الـ A أُس M بدت تساوي A أُس Q شرطة N زاد R شرطة
350
00:37:55,810 --> 00:38:01,930
A أُس N أُس Q شرطة في A أُس R شرطة، هذا بيساوي الـ
351
00:38:01,930 --> 00:38:14,790
identity في A أُس R شرطة. A أُس R شرطة، وهذا ينتمي، يعني
352
00:38:14,790 --> 00:38:20,630
بأي M أكبر من الـ N، أصغر من الصفر، موجود هنا ولا مش
353
00:38:20,630 --> 00:38:26,070
موجود هنا؟ يجب كل الـ powers للـ A اللي محصورين بين
354
00:38:26,070 --> 00:38:31,010
الصفر والـ N-1 مختلفين وموجودين، لكن الـ powers
355
00:38:31,010 --> 00:38:37,090
اللي جابوا للصفر وبعد الـ N برضه مكررين بالسماء
356
00:38:37,090 --> 00:38:43,810
الواحد من هدول. النتيجة إنه generated by A موجود
357
00:38:43,810 --> 00:38:44,630
فيه بس هدول
358
00:38:49,050 --> 00:38:53,310
طبعاً، لأن أنا عملت خطوتين: أثبتت إن هدول موجودين، و
359
00:38:53,310 --> 00:38:56,990
أثبتت إنه مش موجود غيرهم. كيف أثبتت إنهم موجودين؟
360
00:38:56,990 --> 00:39:02,450
أثبتتهم distinct، مختلفين. مدام مختلفين، مش مكررين، و
361
00:39:02,450 --> 00:39:08,770
بالتالي كل واحد موجود بشخصه. طبعاً، اللي غيرهم، كل واحد
362
00:39:08,770 --> 00:39:15,210
من الـ powers اللي جاب لي الصفر بعد الـ N، موجود له
363
00:39:17,180 --> 00:39:23,000
power مساوي في هذه المجموعة أو في السرد اللي موجود
364
00:39:23,000 --> 00:39:29,700
قدامك، وبالتالي بهذه الخطوة أنا بكون أنهيت النظرية
365
00:39:29,700 --> 00:39:36,700
الأولى أو نظرية 4-1، أي
366
00:39:36,700 --> 00:39:41,200
سؤال أي
367
00:39:41,200 --> 00:39:41,980
سؤال يا شباب
368
00:39:57,040 --> 00:40:06,240
هنا؟ طيب، اللي هي الجزء الأخير هذا. هذا جزئين، الجزء
369
00:40:06,240 --> 00:40:12,960
الأول اللي هو المربع هذا، الموجودين
370
00:40:12,960 --> 00:40:16,880
مختلفين
371
00:40:16,880 --> 00:40:23,840
يعني العناصر هذه، أشملها مختلفة. ما عادش بعدك تقول يا
372
00:40:23,840 --> 00:40:28,440
عم إيه أو السبعة أو إيه أو الستمانتاش زي بعض، فأنت
373
00:40:28,440 --> 00:40:33,440
ليش حاططهم؟ الخطوة الثانية اللي المربع الأزرق
374
00:40:33,440 --> 00:40:41,400
الوا .. والباقي
375
00:40:41,400 --> 00:40:51,200
القوة مكررة. ماذا يعني؟ أي أُس آخر غير هدول موجود
376
00:40:51,200 --> 00:40:58,600
لكناش بشكل تاني في two corollaries على هذه النظرية
377
00:40:58,600 --> 00:41:05,260
corollary
378
00:41:05,260 --> 00:41:05,800
واحد
379
00:41:15,560 --> 00:41:30,080
إن order of a بيسوي order generated by a if
380
00:41:30,080 --> 00:41:33,120
order
381
00:41:33,120 --> 00:41:37,720
of a بيسوي infinity then order generated by a
382
00:41:37,720 --> 00:41:43,780
عبارة عن order المجموعة هذه كده
383
00:41:43,780 --> 00:41:45,220
عدد العناصر هنا يا شباب
384
00:41:48,100 --> 00:41:54,200
final طيب لو كان order ال a بدي يساوي n then
385
00:41:54,200 --> 00:42:01,240
order generated by a اللي هو ال order لل e a a
386
00:42:01,240 --> 00:42:05,320
تربية ل عند a and n minus one كده عدد العناصر هنا
387
00:42:05,320 --> 00:42:13,280
برضه and المحصرة ان order ال a بيساوي order
388
00:42:13,280 --> 00:42:15,720
generated by a
389
00:42:30,400 --> 00:42:36,480
corollary 2 زمان
390
00:42:36,480 --> 00:42:44,920
يا شباب لما كنا نشتغل على order
391
00:42:44,920 --> 00:42:50,480
العنصر و نقول انه بيساوي n فأي power بيعطيك ان
392
00:42:50,480 --> 00:42:54,740
العنصر بيساوي identity كنا نقول ان هذا ال power
393
00:42:54,740 --> 00:42:59,760
أكبر من ال n هل جيت مش هنقول اكبر من الان هنقول ان
394
00:42:59,760 --> 00:43:04,760
الان يقسمه هذا بذكرني في نظرية الاعداد لما شغلت
395
00:43:04,760 --> 00:43:07,940
على الجريس greatest common divisor في التعريف تبع الجريس
396
00:43:07,940 --> 00:43:13,760
greatest common divisor كان اي greatest common divisor اخر للجريس
397
00:43:13,760 --> 00:43:18,280
greatest common divisor اكبر منه بعدين اصبح الجريس greatest
398
00:43:18,280 --> 00:43:25,720
common divisor مضاعف لهذا ال greatest common divisor الاخر هنا نفس
399
00:43:25,720 --> 00:43:33,910
الفكرةفإذا أردر الـ A هو N و A أُس K هو الـ
400
00:43:33,910 --> 00:43:43,770
Identity فإن N يقسم الـ K إثبات سهل إذا
401
00:43:43,770 --> 00:43:50,250
أردر ال A هو N و A أُس K هو الـ Identity فإن N
402
00:43:50,250 --> 00:43:51,510
تقسم الـ K
403
00:43:57,750 --> 00:44:06,590
كيف؟ النظرية مباشرة كمثال
404
00:44:06,590 --> 00:44:12,590
سريع جامع من المحاضرة لو كان ال order لل A بدي
405
00:44:12,590 --> 00:44:18,390
ساوي ستة ف generated by ال A عبارة عن ال identity
406
00:44:18,390 --> 00:44:25,930
A A تربيع A تكعيب A أس أربعة A أس خمسة طبعا ليش
407
00:44:25,930 --> 00:44:31,810
سموها Cyclic او زمر دوارة؟ هاي ال identity يا شباب
408
00:44:31,810 --> 00:44:41,800
هان ال a هان ال a تربيع هان ال a تكعيب ال a أس 4 الـ
409
00:44:41,800 --> 00:44:47,240
A أس 5 الـ Identity اللي هو A أس 6 بلف مرتين على A أس
410
00:44:47,240 --> 00:44:52,320
7 الـ A أس 2 هو نفسه A أس 8 الـ A أس 3 عبارة عن الـ
411
00:44:52,320 --> 00:44:57,820
A أس 9 الـ A أس 4 عبارة عن الـ A أس 10 و هكذا بتصير
412
00:44:57,820 --> 00:45:05,850
القوة اشمالها بتلف في دائرةيعطيكوا العافية طبعا هي
413
00:45:05,850 --> 00:45:10,070
كده احنا انهينا الجزء الاول في الوحدة الرابعة
414
00:45:10,070 --> 00:45:13,810
وحاضرة جهة ان شاء الله هناخد الجزء التاني هناخد ال
415
00:45:13,810 --> 00:45:18,850
fundamental theorem of cyclic groups يعطيكوا
416
00:45:18,850 --> 00:45:19,170
العافية