1
00:00:22,310 --> 00:00:26,410
بسم الله الرحمن الرحيم بدأنا المرة الماضية في

2
00:00:26,410 --> 00:00:31,130
موضوع الـ groups اللي هي المجموعات وعرفنا أن الـ set

3
00:00:31,130 --> 00:00:34,990
وعليها binary operation بقول عنها group إذا 

4
00:00:34,990 --> 00:00:39,190
حققت لي ثلاث خواص، الخاصية الأولى خاصية الـ

5
00:00:39,190 --> 00:00:43,650
associativity، الخاصية الثانية خاصية الـ identity

6
00:00:43,650 --> 00:00:47,350
element، الخاصية الثالثة هي خاصية الـ inverse

7
00:00:47,350 --> 00:00:53,380
element لأي element موجود في group G،  واخدنا على ذلك 

8
00:00:53,380 --> 00:00:59,440
قبل المثال أربعة، وهذا هو المثال رقم خمسة، يبقى الـ

9
00:00:59,440 --> 00:01:04,380
ZN هي عبارة عن المجموعة عناصرها Zero، واحد، اتنين،

10
00:01:04,380 --> 00:01:10,720
ثلاثة لغاية N ناقص واحد، العملية المعرفة عليها اللي 

11
00:01:10,720 --> 00:01:17,560
هي الـ addition modulo N، يبقى العملية اللي على ZN

12
00:01:17,560 --> 00:01:25,440
هي عملية الجمع العادية بس إيش كل ما يصير N بنهملهم.

13
00:01:25,440 --> 00:01:30,460
يعني المقياس تبعه هو N، هذه عبارة عن إيش؟ عبارة عن

14
00:01:30,460 --> 00:01:35,440
group under addition، ليش؟ الـ a اللي من Zero لغاية N 

15
00:01:35,440 --> 00:01:40,180
ناقص واحد، كلها أعداد عادية بس modulo N، ما زاد على

16
00:01:40,180 --> 00:01:45,140
الـ N ناقص واحد اللي هو N، ببدأ من Zero، إذا زاد واحد

17
00:01:45,140 --> 00:01:48,820
يصبح واحد، وإذا زاد اثنين يصبح اثنين، وكذلك، يبقى أنا

18
00:01:48,820 --> 00:01:51,940
عند الأعداد هذه، هذه الأعداد لو جمعتها، واحد زاد

19
00:01:51,940 --> 00:01:55,840
اثنين، اثنين زاد واحد، أي رقم إن أجمعه بدل ما عندناش

20
00:01:55,840 --> 00:02:01,280
مشكلة في هذه الحالة، اثنين لو جمعت أي عددين يعني 

21
00:02:01,280 --> 00:02:06,160
هذه الـ group abelian، لو جمعت أي عددين هيعطيك عدد

22
00:02:06,160 --> 00:02:14,750
موجود في هذه المجموعة، طيب النقطة الثانية لو عملت

23
00:02:14,750 --> 00:02:19,270
associative بين أي ثلاثة أعداد منهم، فهيطلع نفس

24
00:02:19,270 --> 00:02:23,770
العدد، مشكلتنا مش هذا، مشكلتنا من هو الـ identity

25
00:02:23,770 --> 00:02:28,530
element تحت عملية الجمع؟ من؟

26
00:02:31,650 --> 00:02:36,090
بدي معكوس أي عنصر موجود فيها.

27
00:02:39,720 --> 00:02:45,260
هذه بعض الكتب يا شباب بتعبر عنها ZN هكذا، وبتحط

28
00:02:45,260 --> 00:02:50,680
لعملية الجمع في دائرة، من حد ما تشوف عملية الجمع في 

29
00:02:50,680 --> 00:02:55,280
دائرة معناته هذه عملية الجمع modulo N، مشان

30
00:02:55,280 --> 00:02:59,700
يفرقوها ويميزوا بينها وبين عملية الجمع العادية.

31
00:02:59,700 --> 00:03:06,440
يبقى هنا Zero is the identity 

32
00:03:11,970 --> 00:03:24,010
the inverse of k الموجود في ZN، يعني مين العدد

33
00:03:24,010 --> 00:03:29,690
اللي بدي أضيفه لهذا العدد يطلع Zero أو يطلع N

34
00:03:29,690 --> 00:03:37,160
اللي همين N minus الـ k، يبقى the inverse of k  اللي هو 

35
00:03:37,160 --> 00:03:42,080
N minus الـ k، لأن احنا عندنا عملية جمع modulo N، لو

36
00:03:42,080 --> 00:03:46,260
جمعته الاثنين هدول بيطلع N، اللي همين N بيصير الـ Zero

37
00:03:46,260 --> 00:03:51,360
اللي هو N، الـ identity element، طيب هذه group بسيطة و

38
00:03:51,360 --> 00:03:55,660
زي ما تشوف هي abelian لأن اثنين زائد خمسة هي خمسة

39
00:03:55,660 --> 00:04:02,180
زائد اثنين وهكذا، طيب نروح لمثال أثقل شوية وأثقل

40
00:04:02,180 --> 00:04:14,520
شويات، مش شوية، بيقول let الـ UN be the set of all 

41
00:04:14,520 --> 00:04:23,500
positive integers

42
00:04:23,500 --> 00:04:25,220
less than

43
00:04:27,620 --> 00:04:40,840
less than الـ N، less than الـ N and relatively prime

44
00:04:40,840 --> 00:04:49,100
relatively prime to N، then

45
00:04:49,100 --> 00:05:02,620
الـ UN هذه الـ UN and the set UN is an

46
00:05:02,620 --> 00:05:11,000
abelian group under

47
00:05:11,000 --> 00:05:12,780
multiplication modulo N.

48
00:05:46,170 --> 00:05:55,400
بسبب، نرجع للست UN، هذه مين هي الـ UN؟ بقول الـ UN هي

49
00:05:55,400 --> 00:05:59,700
set of all positive integers، مجموعة الأعداد

50
00:05:59,700 --> 00:06:05,620
الصحيحة الموجبة واللي عليها شرط ثاني، less than N.

51
00:06:05,620 --> 00:06:12,160
يبقى أقل من العدد N وفي نفس الوقت relatively prime

52
00:06:12,160 --> 00:06:18,500
مع N، طب وقف شوية خلينا نعرف مين هذه الأرقام، لو جيت 

53
00:06:18,500 --> 00:06:25,220
قلت لك بدي الـ U خمسة، بس الواحد والثلاثة، طب والأربعة

54
00:06:25,220 --> 00:06:33,220
والاثنين، يبقى الأعداد كلهم واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة،

55
00:06:33,220 --> 00:06:38,180
كلهم are relatively prime to خمسة، يبقى هذه mainly

56
00:06:38,180 --> 00:06:42,960
وخمسة، لكن لو قلت U ستة، U ستة اللي هي واحد 

57
00:06:42,960 --> 00:06:47,580
وخمسة، في غيرهم بس هدول هم اللي relatively prime لـ

58
00:06:47,580 --> 00:06:53,270
U ستة، لو قلت لك U عشرة، لك تقول الواحد والثلاثة 

59
00:06:53,270 --> 00:06:58,870
والسبعة والتسعة، مش غيرهم، يبقى هي الـ U خمسة، الأعداد

60
00:06:58,870 --> 00:07:03,130
اللي أقل من الرقم المعطى اللي بيكون relatively

61
00:07:03,130 --> 00:07:09,990
prime لهذا الرقم، مثلا لو جت ليه خمسة عشر، يبقى الواحد 

62
00:07:09,990 --> 00:07:15,010
والاثنين والأربعة والسبعة

63
00:07:16,510 --> 00:07:22,530
والثمانية، تسعة لأ، العشرة لأ، أحد عشر، اثنا عشر لأ، ثلاثة عشر

64
00:07:22,530 --> 00:07:25,870
لأ، أربعة عشر لأ، يبقى لغاية ثمانية، لغاية ثلاثة عشر، وها

65
00:07:25,870 --> 00:07:30,730
كده، يبقى بجيب الأرقام اللي أقل من الرقم المعطى 

66
00:07:30,730 --> 00:07:34,390
واللي بيكون relatively prime لهذا الرقم، وكلهم

67
00:07:34,390 --> 00:07:39,210
أرقام صحيحة موجبة، هاي المقصود بالـ UN، يبقى هذه

68
00:07:39,210 --> 00:07:44,400
الست UN، مين الـ operation اللي عليها؟ gallery in 

69
00:07:44,400 --> 00:07:49,040
the UN is an abelian group under multiplication

70
00:07:49,040 --> 00:07:56,160
modulo N، يبقى العملية عملية ضرب modulo N، يعني

71
00:07:56,160 --> 00:08:01,280
المقياس تبعها هو مين؟ هو N، أول شيء بدنا نثبت إنه

72
00:08:01,280 --> 00:08:07,920
هذه group، طيب الـ group هذه بدي لسه ما قلتش إنه هذه

73
00:08:07,920 --> 00:08:14,220
binary operation under multiplication modulo N، هل هذه 

74
00:08:14,220 --> 00:08:19,440
binary operation على الـ UN أم لا؟ لم نقول ذلك، لكن

75
00:08:19,440 --> 00:08:26,280
أنا بدي آخذ عددين واضربهم في بعض وأشوف هل الاثنين

76
00:08:26,280 --> 00:08:31,940
هدول modulo N بيكونوا... إن كان طلع الـ remainder

77
00:08:31,940 --> 00:08:36,860
تبعهم موجود في الـ UN بيكون تم المطلوب، إن ما طلعش

78
00:08:36,860 --> 00:08:41,880
بيصير كلامنا مش صحيح، وفيش داعي أروح لبقية الشروط.

79
00:08:41,880 --> 00:08:46,360
تمام، إذا خلّيني أشوف الـ condition الأول، النقطة 

80
00:08:46,360 --> 00:08:51,480
الأولى، بدي أثبت إنه هذه binary operation، لذلك بدي 

81
00:08:51,480 --> 00:08:58,700
أقوله افترض إن الـ A والـ B موجودة في الـ UN، إيش بدي

82
00:08:58,700 --> 00:09:03,620
أثبت إنها binary operation؟ بدي أثبت إن الـ A B

83
00:09:03,620 --> 00:09:08,520
modulo N موجود وين؟ موجود في الـ UN، هذا اللي عايز

84
00:09:08,520 --> 00:09:11,720
أثبته، فبكويس بقوله then

85
00:09:14,480 --> 00:09:19,740
مرت علينا الـ division algorithm احنا صح؟ division

86
00:09:19,740 --> 00:09:25,080
algorithm ومر علينا الـ greatest common divisor، يبقى

87
00:09:25,080 --> 00:09:29,140
أنا بروح بختار المناسب اللي بيخدمني في هذه الحالة.

88
00:09:29,410 --> 00:09:34,290
لو جينا نقول لك الـ greatest common divisor لـ الـ A

89
00:09:34,290 --> 00:09:40,090
والـ N قداش بتقول إيه؟ واحد، ليش؟ لأن الـ elements

90
00:09:40,090 --> 00:09:45,870
اللي موجودة are relatively prime to N، يبقى and وفي

91
00:09:45,870 --> 00:09:49,910
نفس الوقت الـ greatest common divisor لـ الـ B و

92
00:09:49,910 --> 00:09:55,830
الـ N بتساوي قداش؟ إذاً كل واحدة منهم بقدر أكتبها على

93
00:09:55,830 --> 00:10:03,030
صيغة linear combination، يبقى باجي بقول AS1 زائد

94
00:10:03,030 --> 00:10:15,640
NT1 بدها تساوي واحد، الـ B S2 زائد الـ N T2 بدها تساوي

95
00:10:15,640 --> 00:10:26,580
واحد، وهذا for some اللي هو S1 و S2 و T1 و T2، كلها

96
00:10:26,580 --> 00:10:29,880
اللي موجودة وين؟ في الـ set of integers.

97
00:10:32,880 --> 00:10:38,280
طب أنا بدي أحصل الضرب A في B modulo N يكون موجودة

98
00:10:38,280 --> 00:10:42,900
في الـ UN، مشان هيك خليني أروح أضربهم في بعض وأشوف

99
00:10:42,900 --> 00:10:47,860
كده يكون الناتج اللي عندنا، إذا لو جيت أضربهم في

100
00:10:47,860 --> 00:10:54,400
بعض، فباجي بقول A S1 زائد N T1

101
00:10:57,930 --> 00:11:05,290
B S2 زائد الـ N T2 بدها تساوي واحد في واحد اللي هو واحد، طبعاً

102
00:11:05,290 --> 00:11:08,370
يبقى ضرب في الطرف الشمال في الشمال واليمين في 

103
00:11:08,370 --> 00:11:14,110
اليمين، تعال في كحاصل ضرب القوسين هدول، يبقى هذا A

104
00:11:14,110 --> 00:11:20,570
B S1 S2 زائد الـ element هذا ضربته هنا، إذا

105
00:11:20,570 --> 00:11:27,650
بدي أضربه في الثاني هذا، يبقى زائد N A S1 T2

106
00:11:27,650 --> 00:11:36,460
زائد بدي أضرب هذا هنا، يبقى زائد N في N في T1 في

107
00:11:36,460 --> 00:11:45,780
B في الـ S2، زائد في الثاني يبقى N تربيع T1 T2، كله

108
00:11:45,780 --> 00:11:52,040
بدها تساوي واحد، صحيح، أظن هذا فيه N خليها لحالها

109
00:11:52,390 --> 00:11:58,730
يبقى هذا الـ A B في الـ S1 S2 زائد شو رأيك هدول

110
00:11:58,730 --> 00:12:04,490
بدي آخذ منهم إن عامل مشترك، إيه شو بيظل عندك؟ A S

111
00:12:04,490 --> 00:12:13,930
1 T2 زائد T1 B S2 زائد N T1 T2

112
00:12:13,930 --> 00:12:20,810
كله بدها تساوي واحد، إيش تفسيرك لهذه العبارة؟ طلع أنا 

113
00:12:20,810 --> 00:12:25,270
عندي هنا رقم وهنا N، يبقى الـ A,B والـ N are

114
00:12:25,270 --> 00:12:28,990
relatively prime ولا لا؟ أو greatest common divisor

115
00:12:28,990 --> 00:12:34,390
لهم بدها تساوي واحد، يبقى هذا معناته إن الـ greatest

116
00:12:34,390 --> 00:12:40,290
common divisor للـ A والـ B والـ N بدها تساوي الواحد.

117
00:12:40,290 --> 00:12:50,050
هذا بدي يعطيك إن الـ A,B and الـ N are relatively

118
00:12:50,050 --> 00:12:57,000
prime، هذا شو معناه يا شباب؟ هذا معناه إن الـ A والـ B

119
00:12:57,000 --> 00:13:04,440
موجودين في الـ UN، يعني عملية ضرب modulo N is a

120
00:13:04,440 --> 00:13:10,080
binary operation، يبقى هذا معناته إن الـ multi

121
00:13:10,080 --> 00:13:18,900
plication modulo N is

122
00:13:18,900 --> 00:13:21,100
a binary

123
00:13:26,380 --> 00:13:31,700
operation، بدنا نيجي للنقطة الثانية، النقطة الثانية

124
00:13:31,700 --> 00:13:38,200
بدي أخليها عليك تمرن دق فيها في البيت، check that

125
00:13:38,200 --> 00:13:47,540
this operation is associative. 

126
00:13:50,690 --> 00:13:57,810
on الـ UN يعني وكذبت لي أنه إيه في B في C بده 

127
00:13:57,810 --> 00:14:04,130
يساوي إيه لحالها مضروبة في B وC النقطة التالتة مين

128
00:14:04,130 --> 00:14:10,930
الـ identity element لهذه الـ group واحد يبقى واحد

129
00:14:10,930 --> 00:14:17,010
is the identity element

130
00:14:19,980 --> 00:14:26,980
شو السبب إن لو ضاربته في a modulo n بطلع الـ a

131
00:14:26,980 --> 00:14:38,860
itself يبقى هذا because واحد في a modulo n بده

132
00:14:38,860 --> 00:14:46,240
يساوي الـ a modulo n اللي بده يساوي الـ a itself لكل

133
00:14:46,240 --> 00:14:48,680
الـ a الموجودة في الـ UN

134
00:14:51,590 --> 00:15:00,510
طب النقطة الرابعة بدّه الـ inverse the inverse of إيه

135
00:15:00,510 --> 00:15:07,130
اللي موجود في الـ U N is N

136
00:15:07,130 --> 00:15:13,070
مين قال هذا الكلام يعني لما أقول N زائد واحد على N

137
00:15:13,070 --> 00:15:19,130
كله مجسوم على N مش هيك على إيه طب هل هذا أنتج 

138
00:15:22,690 --> 00:15:27,290
طب كيف بدّه يصير عادي؟ برّة الـ z ده ده يعني مو صبطتش

139
00:15:27,290 --> 00:15:31,750
معاناة أو برّة الـ UN صحيح؟ يبقى هذا الكلام ليس

140
00:15:31,750 --> 00:15:37,230
صحيحًا يبقى لو جيه تقولك the inverse of L is X

141
00:15:37,230 --> 00:15:43,070
where X

142
00:15:43,070 --> 00:15:56,700
is the solution of the equation هو حل المعادلة ax

143
00:15:56,700 --> 00:16:04,260
modulo n بدّه يساوي مين؟ بدّه يساوي واحد لأن هذا 

144
00:16:04,260 --> 00:16:10,160
الواحد هو الـ identity element يبقى حل المعادلة هذه

145
00:16:10,160 --> 00:16:15,620
طبعًا هذا بيعتمد على الـ a من هي وعلى الـ n من هي إذا

146
00:16:15,620 --> 00:16:20,390
عرفت الـ n وعرفت الـ a بقدر أجيب له الـ x بسهولة وهذه

147
00:16:20,390 --> 00:16:24,210
القصة بصير سهلة يبقى هذه صارت appealing group

148
00:16:24,210 --> 00:16:29,490
لأنها حققت لمن؟ حققت للـ أربعة شروط يبقى لو أعطيتك

149
00:16:29,490 --> 00:16:34,970
مثال for example تفضل

150
00:16:34,970 --> 00:16:35,330
قول

151
00:16:39,840 --> 00:16:44,360
إحنا اللي بنقولك الحل تبع هذه المعادلة بيكون هو

152
00:16:44,360 --> 00:16:50,200
المعكوس تبع الـA وهذا يختلف من عنصر إلى آخر قد

153
00:16:50,200 --> 00:16:57,260
يكون الـA معكوس لنفسه وقد يكون معكوس آخر كما سأريك

154
00:16:57,260 --> 00:17:02,200
الآن إن كانت هذه الـ group لازم غصب عن و عن ما اسمك

155
00:17:02,200 --> 00:17:09,400
أنت ماهر ماهر إيه خريس غصب إن هو عنده مهر يخلص لازم

156
00:17:09,400 --> 00:17:12,940
يجي معكوس لهذا الـ المطور اللي بس بطل يصير group

157
00:17:12,940 --> 00:17:17,840
تمام؟ يبقى الـ group لازم كل عنصر في الـ group اللي

158
00:17:17,840 --> 00:17:22,800
جيه له معكوس طيب يبقى هو حالة نعطي مثال توضح لو

159
00:17:22,800 --> 00:17:27,920
أخذت you اللي بدك إياها مش ممكن تدحك أنت you إيش

160
00:17:27,920 --> 00:17:35,280
بدك إياها؟ you خمسة دي كم رشد؟ you عشر مثلا، you

161
00:17:35,280 --> 00:17:44,420
عشرة عشريش عناصرها الواحد والاتنين التلاتة

162
00:17:44,420 --> 00:17:54,460
أربعة خمسة ستة سبعة ثمانية تسعة يبقى ما عنديش إلا 

163
00:17:54,460 --> 00:18:01,250
هذه العناصر تمام الواحد هو الـ identity element يبقى

164
00:18:01,250 --> 00:18:07,290
إحنا كله modulo عشرة بدي أشوف التلاتة مين معكوسها

165
00:18:07,290 --> 00:18:12,750
ماهو العدد اللي بدي أضربه في التلاتة modulo عشرة

166
00:18:12,750 --> 00:18:18,310
يعطينا الواحد الصحيح مين؟ السبعة سبعة في تلاتة

167
00:18:18,310 --> 00:18:22,670
واحد وعشرين شيل منهم عشرتين يبقى الـ identity

168
00:18:22,670 --> 00:18:27,090
element يبقى التلاتة هو معكوس السبعة والسبعة هي

169
00:18:27,090 --> 00:18:34,070
معكوس من الأدلي والتلاتة يبقى التلاتة is the

170
00:18:34,070 --> 00:18:44,560
inverse element of سبعة طب التسعة مين معكوسها؟ نفسها

171
00:18:44,560 --> 00:18:49,620
لإن التسعة في تسعة وثمان عشرات بظلمين الـ identity

172
00:18:49,620 --> 00:19:02,500
element and تسعة is the inverse of itself يبقى

173
00:19:02,500 --> 00:19:05,180
التسعة هو معكوس لنفسه

174
00:19:10,080 --> 00:19:23,920
يبقى خريص لقيناله معكوس ولا لا طبعًا

175
00:19:23,920 --> 00:19:29,500
هذه الـ group شباب عليها سنة كتيرة وعليها شغل كتير

176
00:19:29,500 --> 00:19:35,320
يبقى هذه الـ group very important طيب ننتقل الآن

177
00:19:35,320 --> 00:19:45,710
إلى المثال اللي بعده يبقى مثال سبعة مثال سبعة بيقول

178
00:19:45,710 --> 00:19:55,490
the set لو أخدت الـ z وعليها عملية الطرح of

179
00:19:55,490 --> 00:20:06,590
integers of integers under subtraction

180
00:20:10,490 --> 00:20:14,950
هل يا ترى هذه group ولا ما هيّاش group؟ اه ده السؤال

181
00:20:14,950 --> 00:20:23,050
أنا أدعي is not a group because

182
00:20:27,790 --> 00:20:31,090
طبعًا لو طرحت أي عنصر من بعض سواء طالع إنّها تجميل

183
00:20:31,090 --> 00:20:35,370
وجود والله سالم فيها وموجود في z إذا عملية الطرح

184
00:20:35,370 --> 00:20:39,250
على z is a binary operation ما فيش فيها مشكلة لكن

185
00:20:39,250 --> 00:20:44,890
هل هذه associative أم لا الله أعلم يبقى هنا

186
00:20:44,890 --> 00:20:52,350
because if التلاتة مثلًا والخمسة والسبعة موجودة في

187
00:20:52,350 --> 00:21:04,340
z then أنا بدي تلاتة ناقص وعندك خمسة ناقص سبعة بدي

188
00:21:04,340 --> 00:21:08,340
أستخدم خاصية الـ associativity أشوف أصحيها عليها

189
00:21:08,340 --> 00:21:13,420
ولا لأ يبقى هذا تلاتة ناقص خمسة ناقص سبعة مقداش يا

190
00:21:13,420 --> 00:21:19,180
شباب ناقص اثنين يعني تلاتة زيدي اثنين يساوي مقداش

191
00:21:19,180 --> 00:21:27,320
خمسة بطولكن تلاتة ناقص خمسة ناقص سبعة ويساوي

192
00:21:27,320 --> 00:21:34,420
تلاتة ناقص خمسة سالب اثنين سالب اثنين سالب سبعة

193
00:21:35,270 --> 00:21:39,810
سالب تسعة يبقى هذا الكلام معناه إن العملية

194
00:21:39,810 --> 00:21:46,390
associative ولا not associative يبقى هذا معناه إنّ

195
00:21:46,390 --> 00:21:57,210
subtraction عملية الطرح is not associative من هنا

196
00:21:57,210 --> 00:22:04,380
زعمنا قبل قليل إنّها ليست group إذا عملية الأعداد أو

197
00:22:04,380 --> 00:22:11,260
مجموعة الأعداد الصحيحة تحت عملية الطرح ما هيّاش group

198
00:22:11,260 --> 00:22:21,340
المثال رقم ثمانية بيقول إذا set R star مين هي هذه

199
00:22:21,340 --> 00:22:30,220
الـ star اللي هي عبارة عن الـ set R بدي أشيل منها الـ

200
00:22:30,220 --> 00:22:44,300
zero six star of non zero real numbers non

201
00:22:44,300 --> 00:22:56,160
zero real numbers is a group under the ordinary

202
00:23:00,560 --> 00:23:01,520
السبق

203
00:23:39,270 --> 00:23:45,230
مرة ثانية الـ set of real numbers اللي هي اللي بدي

204
00:23:45,230 --> 00:23:49,750
أشيل منها الـ zero وبدي أسميها R star يبقى مجموعة

205
00:23:49,750 --> 00:23:55,450
الأعداد الحقيقية استثنت منها الـ zero عرفت عليها

206
00:23:55,450 --> 00:24:02,970
عملية الضرب العادية طبعًا الأعداد الـ real numbers

207
00:24:03,810 --> 00:24:07,670
أضرب أي two real numbers في بعض بيطلع إيه اش ولا

208
00:24:07,670 --> 00:24:12,910
بيطلع يعني natural اطلع real تمام يبقى هذا معناه

209
00:24:12,910 --> 00:24:16,370
إن الـ multiplication is a binary operation اثنين

210
00:24:16,370 --> 00:24:22,470
عملية الضرب العادية is associative عالمين على الـ

211
00:24:22,470 --> 00:24:25,970
set of real numbers يبقى ده اللي عندي بدّه الـ

212
00:24:25,970 --> 00:24:31,290
identity element وبدّه الـ inverse element يبقى 

213
00:24:31,290 --> 00:24:39,780
because we know that إحنا بنعرف إن الـ multi

214
00:24:39,780 --> 00:24:50,540
plication is a binary binary

215
00:24:50,540 --> 00:25:00,180
associative binary associative operation

216
00:25:09,630 --> 00:25:17,030
بالنسبة للدرب الوحيد هو

217
00:25:17,030 --> 00:25:30,340
الـ identity element of R star طب لو أخدت عنصر A

218
00:25:30,340 --> 00:25:36,380
معكوسه في R والله K موجود في R مين معكوسه بيكون؟

219
00:25:36,380 --> 00:25:40,640
ممتاز جدًا يبقى مقلوبه هو بيكون معكوسه لأن لو ضربت 

220
00:25:40,640 --> 00:25:45,060
اثنين في بعض بيطلع من؟ الـ identity element يبقى

221
00:25:45,060 --> 00:25:57,010
باجي بقوله the inverse element of A اللي موجود في R

222
00:25:57,010 --> 00:26:06,330
star is واحد على إيه since إيه في واحد على إيه بدّه

223
00:26:06,330 --> 00:26:14,010
يساوي واحد طب السؤال هو ليش استبعد الـ zero؟ أيوة

224
00:26:14,010 --> 00:26:18,610
يبقى الـ zero ما لهوش معكس لو ضربته في أي رقم لا يمكن

225
00:26:18,610 --> 00:26:24,410
يطلع من؟ لا يمكن يطلع الواحد الصحيح على الإطلاق

226
00:26:26,780 --> 00:26:39,060
مثال تسعة بيقول الدراسات جي ال to over R الـ general

227
00:26:39,060 --> 00:26:43,720
linear group of two by two matrices over R اللي هي

228
00:26:43,720 --> 00:26:52,760
كل المصوفات A, B, C, D بحيث أن الـ A والـ B والـ C والـ D 

229
00:26:52,760 --> 00:27:00,120
موجودة في set of real numbers وفي نفس الوقت الـ A D

230
00:27:00,120 --> 00:27:03,820
ناقص B C لا يساوي Zero

231
00:27:07,870 --> 00:27:13,870
under matrix multiplication

232
00:27:13,870 --> 00:27:24,050
is

233
00:27:24,050 --> 00:27:26,110
a group

234
00:27:41,310 --> 00:27:45,450
طبعًا إحنا درسنا في الجبر الخطي المصوفة لنظامها

235
00:27:45,450 --> 00:27:49,590
اثنين في اثنين يبقى فيها صفين وعمودين يبقى هذه

236
00:27:49,590 --> 00:27:54,490
المصفوفة بقول إن نظامها اثنين في اثنين أو الـ size

237
00:27:54,490 --> 00:27:59,350
تبعها اثنين في اثنين مش اثنين في اثنين يساوي أربعة

238
00:27:59,770 --> 00:28:02,750
الاثنين الأولى تدل على رقم الصفوف والاثنين الثانية

239
00:28:02,750 --> 00:28:07,670
تدل على رقم الأعمدة يبقى هذه بدي أسميها الـ general

240
00:28:07,670 --> 00:28:13,130
linear group of two by two matrices over R هكذا

241
00:28:13,130 --> 00:28:19,790
تقرأ general linear group of two by two matrices

242
00:28:19,790 --> 00:28:25,210
over R مين هي هذه أنا ما همّنيش التسمية بهمني التركيب

243
00:28:25,210 --> 00:28:29,930
الداخلي مين هي هذه يبقى هي كل المصوفات اللي نظامها

244
00:28:29,930 --> 00:28:34,550
اثنين في اثنين والـ elements اللي داخل المصفوفة

245
00:28:34,550 --> 00:28:39,150
كلهم عناصر موجودة فيها سواء كان zero ولا واحد ولا

246
00:28:39,150 --> 00:28:43,830
نص ولا ثلث ولا أي رقم سالب موجب كثير ما عندناش

247
00:28:43,830 --> 00:28:49,660
مشكلة and وفي نفس الوقت الـ A D ناقص B C ليسوا Zero

248
00:28:49,660 --> 00:28:56,420
يطلع لي A D ناقص B C شو يعني هنا يعني المحدد تبع

249
00:28:56,420 --> 00:29:01,520
المصفوفة المحدد تبع المصفوفة ليسوا Zero يبقى إحنا كل

250
00:29:01,520 --> 00:29:09,580
المصفوفات اللي عناصرها بيكونوا أعداد حقيقية 

251
00:29:09,580 --> 00:29:14,760
ومحدداتها لا تساوي صفراً عرفت عليها عملية ضرب

252
00:29:14,760 --> 00:29:19,780
العادية تبع المصفوفات under matrix multiplication

253
00:29:19,780 --> 00:29:25,840
عملية ضرب المصفوفات بدعي أنا هذا أن هذا is a group

254
00:29:25,840 --> 00:29:30,220
نرجع للجبر الخطي أظن حاصل ضرب ثلاث مصفوفات

255
00:29:30,220 --> 00:29:34,820
associative ولا لا اثنين لما نضرب مصفوفتين نظامهم

256
00:29:34,820 --> 00:29:38,390
اثنين في اثنين تطلع مصفوفة النظام أربعة في أربعة و

257
00:29:38,390 --> 00:29:42,650
الله اثنين في اثنين يبقى اثنين في اثنين كذلك إذا

258
00:29:42,650 --> 00:29:48,610
عملية ضرب المصفوفات is a binary operation يبقى

259
00:29:48,610 --> 00:29:55,150
بقوله النقطة الأولى we know that من الجبر الخطي

260
00:29:55,150 --> 00:30:04,170
we know from linear algebra that

261
00:30:08,510 --> 00:30:16,590
matrix multiplication is

262
00:30:16,590 --> 00:30:25,210
an associative binary

263
00:30:25,210 --> 00:30:28,390
operation

264
00:30:28,390 --> 00:30:33,050
on

265
00:30:45,410 --> 00:30:53,190
النقطة الثانية the identity element

266
00:30:55,420 --> 00:31:00,180
In the general linear group of two by two matrices

267
00:31:00,180 --> 00:31:06,100
over R, which is 1,000,000,000,000,000,000,000,000

268
00:31:06,100 --> 00:31:14,820
,000,000,000,000,000

269
00:31:14,820 --> 00:31:16,120
,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

270
00:31:16,120 --> 00:31:17,440
,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

271
00:31:17,440 --> 00:31:18,320
,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

272
00:31:18,320 --> 00:31:20,040
,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

273
00:31:42,710 --> 00:31:48,570
بنبدل عناصر القطر الرئيسي ونغير إشارات عناصر

274
00:31:48,570 --> 00:31:58,290
القطر الثانوي يبقى دي واحد على أ دي ناقص بي سي في

275
00:31:58,290 --> 00:32:04,650
المصفوفة هذه أ دي بيصير هنا وال أ مكانها بنبدل ال أ

276
00:32:04,650 --> 00:32:11,070
وال د مكان بعض ونغير إشارات عناصر القطر الثانويين

277
00:32:13,760 --> 00:32:19,640
يبقى من هنا صارت هذه group السؤال هو is it abelian

278
00:32:19,640 --> 00:32:26,900
group أيوة يبقى هنا ال general linear group of two

279
00:32:26,900 --> 00:32:39,500
by two matrices is not abelian because السبب أن ال

280
00:32:39,500 --> 00:32:48,980
a b لا يساوي BA وال A وال B موجودات في ال general

281
00:32:48,980 --> 00:32:53,380
linear group of two by two matrices over R دير

282
00:32:53,380 --> 00:32:59,720
بالك ما كتبتش for all A وB لأنه يمكن يوصف بيحصل

283
00:32:59,720 --> 00:33:03,380
أحيان يطلع ال A في B ويساوي ال B في ال A لكن مش

284
00:33:03,380 --> 00:33:07,340
دائماً يعني لو جيت حالة حالتين ثلاثة بيشدوا عن

285
00:33:07,340 --> 00:33:12,170
القاعدة لكن ال general الكلام هذا ما لهمش صحيح يبقى

286
00:33:12,170 --> 00:33:17,530
هذا مثال عملي فعلاً ومتعرف عليه واشتغلناه في ال

287
00:33:17,530 --> 00:33:22,090
linear algebra أن هذه ال group عبارة عن non

288
00:33:22,090 --> 00:33:26,850
abelian group تمام و ال identity element عرفنا

289
00:33:26,850 --> 00:33:37,290
ممكن نيجي ناخد منها حالة خاصة يا جماعة إيه

290
00:33:37,290 --> 00:33:38,730
بيه لا يساوي بيه

291
00:33:41,490 --> 00:33:49,370
هي واحد على أ دي ناقص بي سي

292
00:33:49,370 --> 00:33:53,030
دي ناقص بي سي اللي هو المحدد طبعاً

293
00:34:01,350 --> 00:34:06,390
أنا كان بإمكاني أقول لك هذه matrix is an

294
00:34:06,390 --> 00:34:11,050
associative binary operation ال binary operation

295
00:34:11,050 --> 00:34:15,270
كان بإمكاني أعملها لك كالتالي أنا عندي شرط إن

296
00:34:15,270 --> 00:34:20,970
المحدد لا يساوي صفر صح ولا لا إذا لو أخدت مصفوفتين

297
00:34:20,970 --> 00:34:26,980
محددهم لا يساوي صفر لو ضربتهم في بعض وأخدت المحدد

298
00:34:26,980 --> 00:34:29,740
تبعهم و دي يطلع معناه لا يساوي ذلك لأن ال

299
00:34:29,740 --> 00:34:33,220
determinant لل A في ال B يساوي ال determinant لل A

300
00:34:33,220 --> 00:34:37,740
في ال determinant يعني كان بإمكاني ها دي ها ها

301
00:34:37,740 --> 00:34:41,450
اللي ال binary operation أقول كان أنا عندي ال

302
00:34:41,450 --> 00:34:48,010
determinant لـA لا يساوي 0 و ال determinant لـB لا

303
00:34:48,010 --> 00:34:52,750
يساوي 0 صح ولا لأ حسب ال condition اللي هما طينيها

304
00:34:52,750 --> 00:34:59,350
الآن لو أخدت ال determinant للـA في الـB حسب

305
00:34:59,350 --> 00:35:02,570
معلوماتنا من ال linear algebra اللي احنا قلنا

306
00:35:02,570 --> 00:35:07,170
عليها ال linear algebra يبقى هذا بده يساوي

307
00:35:07,170 --> 00:35:14,630
determinantللـ A determinant للـ B تمام؟ يبقى هذا

308
00:35:14,630 --> 00:35:20,110
كله ما له لا يساوي Zero معناته حصل الضرب هذا موجود

309
00:35:20,110 --> 00:35:23,530
وين؟ موجود في الـ U من هنا هذه صارت binary

310
00:35:23,530 --> 00:35:26,990
operation و لا associative يا أخدناها في الثانوية

311
00:35:26,990 --> 00:35:33,650
وكذلك أخدناها وين؟ في الجبر الخطي طيب ممكن نيجي

312
00:35:33,650 --> 00:35:39,030
نروح ناخد حالة خاصة من ال general linear group هذه

313
00:35:39,030 --> 00:35:44,270
بدل المحدد لا يساوي 0 بدي أقول محدد يساوي 1 صحيح

314
00:35:44,270 --> 00:35:48,370
وهذه بسميها ال special linear group of two by two

315
00:35:48,370 --> 00:35:53,430
matrices over R وهذه كمان بتلعب دور كبير في عين

316
00:35:53,430 --> 00:35:57,850
الجبر عندنا في المسائل المختلفة

317
00:36:10,900 --> 00:36:19,600
نمرة عشرة the set هي ال special linear a group

318
00:36:19,600 --> 00:36:26,860
of two by two matrices over R اللي هي كل المصفوفات

319
00:36:26,860 --> 00:36:33,580
اللي على الشكل اللي عندنا a,b,c,d بحيث أن ال a و

320
00:36:33,580 --> 00:36:43,020
ال b و ال c و ال d هذه موجودة موجودة في ال Q أو ال

321
00:36:43,020 --> 00:37:01,080
R أو ال C or ZP or ZP and وفي نفس الوقت and

322
00:37:03,500 --> 00:37:17,060
الـ a d ناقص بي سي يساوي واحد هذه

323
00:37:17,060 --> 00:37:32,400
is called the special linear a group of degree

324
00:37:34,480 --> 00:37:42,220
of degree two over a يبقى دي بدل مكانة general هنا

325
00:37:42,220 --> 00:37:47,720
قلنا special حالة خاصة منها المحدد يساوي واحد و

326
00:37:47,720 --> 00:37:57,140
برضه هذه ما لها is هذه a group under matrix

327
00:37:57,140 --> 00:37:59,100
multiplication

328
00:38:11,310 --> 00:38:17,870
طيب تعالى نتفهم شوية ال general أنا أخدتها بس على

329
00:38:17,870 --> 00:38:23,330
set of real numbers هنا إيش كاتب؟ كاتب ال elements

330
00:38:23,330 --> 00:38:28,470
هدول ممكن يكونوا rational number و ممكن يكونوا

331
00:38:28,470 --> 00:38:32,470
real number و ممكن يكونوا complex number و ممكن

332
00:38:32,470 --> 00:38:39,290
يكونوا ZP حيث ال P is prime يبقى ال P هذا شباب هذا

333
00:38:39,290 --> 00:38:46,600
prime يعني ممكن أخد العناصر من زد اثنين و من زد

334
00:38:46,600 --> 00:38:51,020
ثلاثة و من زد خمسة و من زد سبعة و من زد أحد عشر و من

335
00:38:51,020 --> 00:38:58,440
زد ثلاثة عشر لكن باخدهامش من مين باخدهامش من z6 باخدهامش

336
00:38:58,440 --> 00:39:03,800
من z8 باخدهامش من z9 يبقى شرطنا أن zp prime يعني

337
00:39:03,800 --> 00:39:09,340
بمعنى آخر أن هذه المصفوفات المجموعة المصفوفات

338
00:39:09,340 --> 00:39:14,260
العناصر ممكن يكونوا من ال Q بس والمحدد لا يساوي

339
00:39:14,260 --> 00:39:18,740
zero ممكن يكونوا من ال real numbers والمحدد لا

340
00:39:18,740 --> 00:39:21,360
يساوي zero ممكن يكونوا من ال complex numbers

341
00:39:21,670 --> 00:39:26,050
والمحدد لا يساوي Zero ممكن يكونوا من ال ZP والمحدد

342
00:39:26,050 --> 00:39:30,510
ما له لا يساوي Zero الآن لو قلت هدول من ال real

343
00:39:30,510 --> 00:39:34,670
number بيصير هذه حالة خاصة من مين؟ من السؤال اللي

344
00:39:34,670 --> 00:39:39,030
جبله ال identity element هو واحد Zero Zero واحد

345
00:39:39,030 --> 00:39:44,570
معكوس المصفوفة هو نفس المعكوس اللي عندنا هذا بس هذا

346
00:39:44,570 --> 00:39:49,450
إيش بيصير؟ بروح بواحد لأن المحدد يساوي واحد يبقى

347
00:39:49,450 --> 00:40:01,580
باجي بقوله هنا الواحد هو المصفوفة اللي هو ال matrix

348
00:40:01,580 --> 00:40:05,060
اللي

349
00:40:05,060 --> 00:40:14,360
هي واحد زيرو زيرو واحد is the identity element

350
00:40:16,350 --> 00:40:21,410
In the special linear group of two by two matrices

351
00:40:21,410 --> 00:40:31,730
over R The inverse of الـ A والـ B والـ C والـ D

352
00:40:31,730 --> 00:40:36,070
اللي موجودة في ال general linear group of two by

353
00:40:36,070 --> 00:40:41,490
two ال special linear group of two by two matrices

354
00:40:59,540 --> 00:41:07,060
ما ينطبق على R ينطبق على ال special linear of two

355
00:41:07,060 --> 00:41:14,180
by two matrices over q و over c و over zp يبقى

356
00:41:14,180 --> 00:41:25,700
this is a true for ال general for ال special الـ

357
00:41:25,700 --> 00:41:32,940
Special Linear Group of 2x2 matrices over Q والـ

358
00:41:32,940 --> 00:41:39,580
Special Linear Group of 2x2 matrices over C والـ

359
00:41:39,580 --> 00:41:46,480
Special Linear Group of 2x2 matrices over ZT

360
00:41:48,480 --> 00:41:53,700
أظن هدول كلهم طبيعي بسهولة الحسابات لكن تعالى نحسب

361
00:41:53,700 --> 00:42:01,380
لك شغلة زي هذه نعطيك مصفوفة موجودة في zp ونشوف إيش

362
00:42:01,380 --> 00:42:10,100
اللي حصل for example consider

363
00:42:13,480 --> 00:42:26,520
زد بي هي زد فايف يبقى

364
00:42:26,520 --> 00:42:33,500
then اللي هو غرض واحد zero zero واحد is the

365
00:42:33,500 --> 00:42:40,020
identity element

366
00:42:42,350 --> 00:42:46,330
طب بنفع يا شباب أقول في زد خمسة في عندنا واحد خمسة

367
00:42:46,330 --> 00:42:54,070
ثلاثة أربعة واحد خمسة ثلاثة أربعة بنفع؟ لا الخمسة

368
00:42:54,070 --> 00:43:00,710
مش موجودة هذا زد خمسة معاك من zero واحد اثنين

369
00:43:00,710 --> 00:43:06,090
ثلاثة لغاية أربعة أقل من أنه بتبدأ من وين؟ بتبدأ

370
00:43:06,090 --> 00:43:13,020
من ال zero يبقى الأرقام اللي بدك تاخدها تبقى zero

371
00:43:13,020 --> 00:43:17,820
واحد اثنين ثلاثة أربعة فقط لغير ما تزيد عليهم هاي

372
00:43:17,820 --> 00:43:23,220
واحدة الثانية بد المحدد تبعه يكون كده مشان يكون

373
00:43:23,220 --> 00:43:27,000
يكون كلامها صحيح طيب يبقى هذا هو ال identity

374
00:43:27,000 --> 00:43:30,460
element لمين لل group هذي

375
00:43:34,350 --> 00:43:49,710
the inverse of a b c d is نفس القصة d a ناقص b و

376
00:43:49,710 --> 00:44:00,380
هنا ناقص c نعطي مثال عددي غالي يعني ناخد مصفوفة

377
00:44:00,380 --> 00:44:05,360
عناصرها من زد خمسة ونشوف كيف بدنا نجبلها من

378
00:44:05,360 --> 00:44:07,260
المعكوس

379
00:44:26,010 --> 00:44:34,470
تساوي مثلا تلاتة أربعة أربعة أربعة بالشكل اللي

380
00:44:34,470 --> 00:44:38,230
عندنا بدأ

381
00:44:38,230 --> 00:44:46,270
أشوف هل المصفوفة هذه موجودة في ال special linear

382
00:44:46,270 --> 00:44:51,030
group هذه ولا لأ بمعنى آخر العناصر تبقى تلاتة و

383
00:44:51,030 --> 00:44:54,970
أربعة و أربعة و أربعة موجودة في Z خمسة كلام مظبوط

384
00:44:54,970 --> 00:45:01,770
اثنين هل المحدد بدي يساوي واحد أم لا ماجي بقوله هذا

385
00:45:01,770 --> 00:45:11,410
بدي determinant  للـ A يبقى تلاتة في أربعة ناقص اللي

386
00:45:11,410 --> 00:45:16,830
هو أربعة في أربعة كل هذا موديولو

387
00:45:19,400 --> 00:45:24,280
يبقى هذا الكلام يبدو يساوي تلاتة في أربعة اثنا عشر

388
00:45:24,280 --> 00:45:33,440
ناقص ستة عشر موديولو خمسة ويساوي ناقص أربعة موديولو

389
00:45:33,440 --> 00:45:40,100
خمسة طيب الناقص أربعة هذه لو ضفت لها المقياس اللي

390
00:45:40,100 --> 00:45:46,890
هو خمسة بيطلع كده واحد يبقى هذه بيطلع واحد module

391
00:45:46,890 --> 00:45:51,870
وخمسة يعني بواحد يبقى بناء عليها شباب ال

392
00:45:51,870 --> 00:45:56,350
determinant للـ A ساوى واحد معناته المصفوفة

393
00:45:56,350 --> 00:46:03,790
هذه موجودة يبقى هذا معناه أن المصفوفة تلاتة أربعة

394
00:46:03,790 --> 00:46:09,490
أربعة أربعة belongs للـ special linear group of two

395
00:46:09,490 --> 00:46:17,130
by two matrices over z five طيب بدنا نجيب المعكوس

396
00:46:17,130 --> 00:46:29,770
تبعها باجي بقول الآن the inverse matrix of اللي هي

397
00:46:29,770 --> 00:46:37,010
تلاتة أربعة أربعة أربعة is المحدد بواحد صحيح يبقى

398
00:46:37,010 --> 00:46:42,110
بنقسم عليه يبقى باجي بقوله بيصير هنا أربعة و هنا

399
00:46:42,110 --> 00:46:48,210
تلاتة بدلنا عناصر القطر الرئيسي مكان بعض عناصر قطر

400
00:46:48,210 --> 00:46:56,850
الفرعي بيكون بالمن؟ بالصالب بالشكل هذا طيب

401
00:46:56,850 --> 00:47:02,290
لو جينا لبعضكم وقلنا له طب أربعة في تلاتة باثنا عشر

402
00:47:02,630 --> 00:47:09,590
ناقص 16 يظهر ناقص 4 يعني واحد طيب أنا بدي أجيبها

403
00:47:09,590 --> 00:47:15,470
لك بطريقة أخرى لو جيت قلت لك بالشكل اللي عندنا هنا

404
00:47:15,470 --> 00:47:20,550
لأن هتيجي تقول الـ ZP فش فيها سالب أربعة وسالب

405
00:47:20,550 --> 00:47:25,790
أربعة زد P تبدأ من وندي Zero واحد اثنين لغاية P

406
00:47:25,790 --> 00:47:29,950
ناقص واحد ما نشوفش عندي سالب طب والسالب هذا كيف

407
00:47:29,950 --> 00:47:35,510
جبته بقول لك بسيطة جدا الآن هذا السالب بدي أحوله إلى

408
00:47:35,510 --> 00:47:40,730
موجب الموجب بخليها زي ما هي السالب أنا زد خمسة

409
00:47:40,730 --> 00:47:46,570
يبقى المقياس عندي قداش خمسة إذا بدي أروح أضيف خمسة

410
00:47:46,570 --> 00:47:51,810
للسالب أربعة بيطلع قداش واحد يبقى هذا عندنا واحد و

411
00:47:51,810 --> 00:47:57,590
هذه واحد وهذه تلاتة تمام؟

412
00:47:59,780 --> 00:48:06,160
أنا أدعي أن هذه المصفوفة هي معكوس من؟ معكوس

413
00:48:06,160 --> 00:48:11,920
المصفوفة الأصلية، مشان يبقى كلام صحيح لو ضربتها من

414
00:48:11,920 --> 00:48:16,400
اليمين أو من الشمال بدي يطلع من؟ مصفوفة الوحدة

415
00:48:16,400 --> 00:48:20,540
يبقى دير بالك، أي مصفوفة أخرى تأخذها بعد ذلك

416
00:48:20,540 --> 00:48:23,520
موجودة في ال especially بقيت عاملها بنفس الطريقة

417
00:48:23,830 --> 00:48:26,990
يعني أنا مش جايبها للناس اللي هو إنما مش هنعلمك

418
00:48:26,990 --> 00:48:33,550
كيفية الحسابات في ZP بدك تجيب عناصر المصفوفة لعناصر

419
00:48:33,550 --> 00:48:38,830
اليوم اللي ميكونوا من ZP اثنين النتيجة اللي اتضارب

420
00:48:38,830 --> 00:48:45,210
نتيجة اللي أخد المحدد بدك تتقيد بخاصة ZP وشروط ال

421
00:48:45,210 --> 00:48:48,590
special linear group أن المحدد تبعها بده يساوي 
422
00:48:48,590 --> 00:48:56,450
بده يساوي واحد الآن لو ضربت

423
00:48:56,450 --> 00:48:59,950
اثنين في بعض إذا ما طلعش مصفوفة الوحدة بيصير كلامي

424
00:48:59,950 --> 00:49:07,160
غلط اثنين أنا لما أدعي أن هذه المعكوس المصفوفة هذه

425
00:49:07,160 --> 00:49:12,240
لازم العناصر اللي يطلعوا دول يكون موجودات في Z فيه

426
00:49:12,240 --> 00:49:15,760
يبقى الواحد والتلاتة والأربعة والواحد كلهم

427
00:49:15,760 --> 00:49:21,520
موجودة في Z خمسة مظبوط يبقى كله من Z خمسة الآن أنا

428
00:49:21,520 --> 00:49:26,560
لازم أقول it was كذا because ليش هذه هي المعكوس

429
00:49:26,560 --> 00:49:32,280
أنا الآن حسبت عمليا بس بدي أثبتها رياضيا لو قلت

430
00:49:32,280 --> 00:49:35,560
تلاتة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

431
00:49:35,560 --> 00:49:37,500
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

432
00:49:37,500 --> 00:49:38,180
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

433
00:49:38,180 --> 00:49:41,000
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

434
00:49:41,000 --> 00:49:43,560
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

435
00:49:43,560 --> 00:49:44,860
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

436
00:49:44,860 --> 00:49:45,360
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

437
00:49:45,360 --> 00:49:51,580
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة 

438
00:49:53,510 --> 00:49:57,510
طيب الصفر الثاني في العمود الثاني تلاتة وأربعة في

439
00:49:57,510 --> 00:50:03,870
تلاتة باثنا عشر اثنا عشر وتلاتة خمسة عشر أربعة في أربع

440
00:50:03,870 --> 00:50:11,870
ستة عشر وأربعة وعشرين الآن أربعة في واحد بأربعة وأربعة في

441
00:50:11,870 --> 00:50:18,250
تلاتة باثنا عشر اللي هي ستة عشر لكن أنا بدي هذا كله

442
00:50:18,250 --> 00:50:24,590
موديول خمسة موديول الخمسة هنا واحد زيرو وهنا زيرو

443
00:50:24,590 --> 00:50:30,610
واحد هو الـ identity matrix يبقى فعلا هذه هي هذه

444
00:50:30,610 --> 00:50:35,490
اللي هي المصفوفة ومعكوس هذه المصفوفة هي المصفوفة اللي

445
00:50:35,490 --> 00:50:39,310
عندنا يبقى عند الحسابات في زد خمسة في زد سبعة في

446
00:50:39,310 --> 00:50:45,240
زد أحد عشان بدك تحسب بنفس الطريقة اللي عندنا ازلنا

447
00:50:45,240 --> 00:50:50,920
في المحاضرة القادمة مع مزيد من الأمثلة على Legros