1
00:00:19,390 --> 00:00:23,870
بسم الله الرحمن الرحيم انتهينا في أول chapter من 

2
00:00:23,870 --> 00:00:27,410
الجبر الخطي و هو chapter 2 والآن بنروح لل

3
00:00:27,410 --> 00:00:31,030
chapter الثاني من الجبر الخطي و هو chapter 3

4
00:00:31,030 --> 00:00:35,870
من الكتاب المقرر هذا ال chapter يتحدث عن نقطتين 

5
00:00:35,870 --> 00:00:39,910
رئيسيتين النقطة الأولى هي ال vector spaces و

6
00:00:39,910 --> 00:00:43,890
النقطة الثانية هي ال linear transformations يعني

7
00:00:43,890 --> 00:00:48,830
التحويلات الخطية موضوعنا اليوم موضوع ال vector

8
00:00:48,830 --> 00:00:54,070
spaces وعلى مدار الأيام القادمة كذلك لكننا في هذا

9
00:00:54,070 --> 00:00:58,550
ال section فقط سنعطي تعريف لل vector space ونعطي

10
00:00:58,550 --> 00:01:04,670
بعض الأمثلة عليه فقط لا غير ومن ثم ننتقل إلى بقية 

11
00:01:04,670 --> 00:01:09,450
الأجزاء التي تتعلق بال vector spaces يبقى احنا

12
00:01:09,450 --> 00:01:16,950
عندنا vector spaces يعني الفضاءات الاتجاهية بدنا 

13
00:01:16,950 --> 00:01:22,530
نعطي تعريف للفضاء الاتجاهي ونشوف كيف نطبق التعريف

14
00:01:22,530 --> 00:01:28,090
على الأمثلة المختلفة بقول افترض أن capital V عبارة

15
00:01:28,090 --> 00:01:32,370
عن non-empty set of objects يبقى أنا عندي capital

16
00:01:32,370 --> 00:01:37,650
V هي عبارة عن مجموعة وهذه المجموعة تحتوي على عدد

17
00:01:37,650 --> 00:01:41,750
من العناصر in which two operations addition and

18
00:01:41,750 --> 00:01:45,610
multiplication by scalars are defined وعليها

19
00:01:45,610 --> 00:01:50,030
عمليتين معرفتين عملية بنسميها عملية الجمع والثانية

20
00:01:50,030 --> 00:01:54,650
عملية الضرب في مقدار قياسي أو مقدار ثابت لما نقول

21
00:01:54,650 --> 00:01:58,930
vector يبقى لو ضربناها في رقم نقول هذا هو scalar

22
00:01:58,930 --> 00:02:04,130
multiplication يعني ضرب قياسي يبقى احنا في عندنا

23
00:02:04,130 --> 00:02:08,670
set V الـ V هذا بدأ أضع عليها عمليتين العملية 

24
00:02:08,670 --> 00:02:14,070
الأولى عملية الجمع بين المتجهات الموجودة في V

25
00:02:14,070 --> 00:02:18,870
العملية الثانية أخد رقم من set of real numbers R

26
00:02:18,870 --> 00:02:25,370
وضربه في أي من المتجهات تبعات ال vector V يبقى هاي 

27
00:02:25,370 --> 00:02:28,970
العمليتين اللي أنا بقول عليهم معرفتين كانوا معرفة 

28
00:02:28,970 --> 00:02:29,550
ذاتي 

29
00:02:46,650 --> 00:02:52,470
عملية جمع متجهين من V هو متجه جديد موجود في V

30
00:02:52,470 --> 00:02:58,210
عملية ضرب scalar A في U هو بيعطيني متجه جديد هذا

31
00:02:58,210 --> 00:03:04,030
المتجه موجود في V كذلك R defined يبقى في هذه الحالة

32
00:03:04,030 --> 00:03:08,170
بيقول إن ال V وعليها عملية الجمع وعليها عملية 

33
00:03:08,170 --> 00:03:13,390
الضرب base color is a vector space أو linear space

34
00:03:13,390 --> 00:03:16,830
بعض الكتب بتقول عنه vector space و بعض الكتب بتقول 

35
00:03:16,830 --> 00:03:19,890
عنه linear space if the following properties are

36
00:03:19,890 --> 00:03:26,080
satisfied على V يبقى إذا تحقق الشروط العشرة التالية

37
00:03:26,080 --> 00:03:31,540
على هذه الست بقول الست هذي vector space إذا لم 

38
00:03:31,540 --> 00:03:36,640
يتحقق ولو شرط واحد يبقى بيبطل يصير vector space

39
00:03:36,640 --> 00:03:40,520
يبقى يبين لي أن هذا ما هو  vector space يكفي

40
00:03:40,520 --> 00:03:47,060
ألغي شرط من الشروط العشرة نأتي للشرط الأول أو

41
00:03:47,060 --> 00:03:51,080
الخاصية اللي هو لو أخدت عنصرين من V يبقى حاصل 

42
00:03:51,080 --> 00:03:56,420
الجمع مش بده يكون موجود في V وليس خارج V طالع 

43
00:03:56,420 --> 00:04:00,240
خارج V فبتبطل يصير vector space يبقى بدّه المجموع

44
00:04:00,240 --> 00:04:05,480
يكون داخل V ال condition التاني ال U زائد ال V

45
00:04:05,480 --> 00:04:10,020
يساوي ال V زائد ال U يعني عملية عملية جمع المنتجات

46
00:04:10,020 --> 00:04:14,690
عملية إبدالية لو ما كانت إبدالية it is not a vector

47
00:04:14,690 --> 00:04:19,210
space طيب الخاصيتين اللي اثنينهم تحققا بروحنا

48
00:04:19,210 --> 00:04:23,210
الخاصية الثالثة و هي خاصية ال associativity لو

49
00:04:23,210 --> 00:04:29,230
جمعت ال U إلى V زائد ال W تماما كما لو جمعت ال U

50
00:04:29,230 --> 00:04:34,530
زائد ال V إلى من إلى ال W و دي بيسميه خاصية الدمج 

51
00:04:34,530 --> 00:04:38,830
associative law أو associative property الآن أنتَ

52
00:04:38,830 --> 00:04:42,630
حققت الخواص الثلاث بروح لخاصية رابعة الخاصية

53
00:04:42,630 --> 00:04:46,450
الرابعة تقول لي في عندك عنصر اللي هو ال zero

54
00:04:46,450 --> 00:04:51,450
المُتّصل هذا موجود في V إذا والله كان Zero زائد V

55
00:04:51,450 --> 00:04:57,230
يساوي V زائد Zero يساوي V لكل ال V يبقى هذا بسميه

56
00:04:57,230 --> 00:05:01,970
Zero vector لمين؟ لل vector space V يعني بمعنى آخر 

57
00:05:01,970 --> 00:05:07,070
أن ال vector space V لازم يحتوي على العنصر الصفري 

58
00:05:07,070 --> 00:05:13,410
بالنسبة لعملية الجمع يبقى الـ zero هذا vector يبقى

59
00:05:13,410 --> 00:05:20,130
مش scalar يعني مش number وإنما هو vector تمام بحيث

60
00:05:20,130 --> 00:05:24,030
هذا ال zero vector لو جمعته إلى أي vector آخر من

61
00:05:24,030 --> 00:05:28,590
اليمين أو من الشمال بده يعطيني نفس ال vector هذا

62
00:05:28,590 --> 00:05:32,850
ال element بقول عليه ال zero vector خاصية الخامسة 

63
00:05:32,850 --> 00:05:37,470
لأي u موجود في capital V there exists لازم اللي

64
00:05:37,470 --> 00:05:42,980
أجي أسألي بـ U موجود في V يعني يعني إذا العنصر أو ال

65
00:05:42,980 --> 00:05:48,560
vector موجود في V لازم ألاقي سالب هذا العنصر موجود

66
00:05:48,560 --> 00:05:54,560
في V بحيث لو جمعت ال U وسالب U تماما كما لو جمعت 

67
00:05:54,560 --> 00:05:58,740
سالب U و U لأنه قال هنا commutative وندش بده

68
00:05:58,740 --> 00:06:02,830
يعطينا الـ zero vector مش الـ zero scalar لأن احنا

69
00:06:02,830 --> 00:06:09,790
بنجمع vectors سالب U هو vector يبقى U زائد ناقص U

70
00:06:09,790 --> 00:06:14,910
يساوي تماما ناقص الـ U زائد الـ U بده يساوي من الـ 

71
00:06:14,910 --> 00:06:19,180
zero vector هذه الخامسة الخاصية السادسة لو أخدت أي 

72
00:06:19,180 --> 00:06:23,740
scalar من ال set of real number A أخدت عنصر A من

73
00:06:23,740 --> 00:06:27,900
ال set of real number و أخدت ال U vector موجود في 

74
00:06:27,900 --> 00:06:35,880
V إذا حصل ضرب ل 2A في U بده يكون موجود في V تماما 

75
00:06:35,880 --> 00:06:40,070
تحققت الخاصية ده نروح بالخاصية اللي بعدها لو كان

76
00:06:40,070 --> 00:06:45,170
الـ A scalar و أخدت two vectors من V و روح ضرب كاسكلر 

77
00:06:45,170 --> 00:06:51,550
الـ A ضد الـ U زائد الـ V خضعت هذه لعمليات التوزيع

78
00:06:51,550 --> 00:06:56,850
أو distributive property خاصية التوزيع صارت هذه A

79
00:06:56,850 --> 00:07:03,190
ضد الـ U زائد A ضد الـ V مش عاجز هك و بس ضرب scalar

80
00:07:03,190 --> 00:07:08,090
مع جامعة و vector لأ جامعة و scalars مع ضرب مع مين

81
00:07:08,090 --> 00:07:12,750
مع vector الخاصية اللي بعدها لو كان ال a و ال b

82
00:07:12,750 --> 00:07:16,930
موجودة في R و ال u موجودة في V يبقى ال a زائد ال b

83
00:07:16,930 --> 00:07:21,450
و dot ال u بيساوي a dot ال u زائد ال b dot ال u كل

84
00:07:21,450 --> 00:07:28,160
هذا بيكون موجود في V طبعا يبقى بنجي للخاصية التاسعة

85
00:07:28,160 --> 00:07:34,580
لو كان عندي scalar A وعندي scalar B ضربت ال B في

86
00:07:34,580 --> 00:07:39,000
ال U والنتج روحت ضربت في A تماما كما لو ضربت ال

87
00:07:39,000 --> 00:07:43,360
two scalars من البداية في من في ال vector V بده

88
00:07:43,360 --> 00:07:48,960
يطلع عندي vector اسمه A B ضد ال U وهذا بيكون vector

89
00:07:48,960 --> 00:07:53,220
موجود في الـ vector الأصلي طبقًا للخاصية اللي 

90
00:07:53,220 --> 00:07:57,640
عندنا هذه تمام تحقق الخاصية التاسعة بيروح الخاصية 

91
00:07:57,640 --> 00:08:02,860
العاشرة لو أخدت الواحد as a scalar يعني كأنه

92
00:08:02,860 --> 00:08:08,400
الخاصية دي حالة خاصة من من اللي فوق أخدت ال U هو 

93
00:08:08,400 --> 00:08:12,180
vector و أخدت الواحد as a scalar ضربت الواحد في U

94
00:08:12,180 --> 00:08:18,850
بيطلع النتج يساوي U اللي هو موجود في V يبقى إذا

95
00:08:18,850 --> 00:08:23,930
تحققت هذه الخواص العشر في هذه الحالة بقول يبقى

96
00:08:23,930 --> 00:08:28,430
اللي في عندي هذا ماله vector space بدنا نبدأ نطبق

97
00:08:28,430 --> 00:08:31,710
الكلام اللي احنا بنقوله على أرض الواقع بأمثلة

98
00:08:31,710 --> 00:08:35,950
مختلفة ونشوف مين ممكن يطلع vector space أو ممكن

99
00:08:35,950 --> 00:08:42,150
ما يطلعش vector space وإذا ما طلعش مين من الخواص لا

100
00:08:42,150 --> 00:08:46,790
تتحقق في هذه الحالة بقيت يصير ما هو  vector

101
00:08:46,790 --> 00:08:52,980
space  جاء ياخد المثال الأول افترض ال V كل العناصر

102
00:08:52,980 --> 00:08:59,700
الـ zero X1 و X2 بحيث X1 و X2 موجود في R يعني ايش؟ 

103
00:08:59,700 --> 00:09:04,700
يعني بدي اخذ كل ال vectors اللي كل vector مكون من

104
00:09:04,700 --> 00:09:08,560
ال three components بحيث المركبة الأولى دائما و

105
00:09:08,560 --> 00:09:12,920
أبدأ zero لو ما هي zero إذا مش عندنا برا مالناش 

106
00:09:12,920 --> 00:09:17,560
علاقة فيها يبقى احنا بدنا نجمع يعني مثلا لو جيت

107
00:09:17,560 --> 00:09:22,140
قلت يا بنات هذا كل واحدة فيكو عبارة عن عنصر في ال

108
00:09:22,140 --> 00:09:26,560
vector space الشكل هذي تمام جيت قلت للبنات السطر

109
00:09:26,560 --> 00:09:30,930
هذا كله انتج للناحية الثانية يبقى كأنه أنا أخدت 

110
00:09:30,930 --> 00:09:35,490
حالة خاصة من الأصلية المركبة الأولى كلها zero في 

111
00:09:35,490 --> 00:09:42,390
كل three tuple تمام؟ بدأت أشوف هل هذا تحت عملية

112
00:09:42,390 --> 00:09:47,030
الجمع العادية وتحت عملية الضرب العادية هل هو

113
00:09:47,030 --> 00:09:52,990
vector space أم لا طلع هنا كل العناصر اللي المركبة

114
00:09:52,990 --> 00:09:56,610
الأولى دائما و أبدا ب zero طب و المركبة الثانية و

115
00:09:56,610 --> 00:10:01,430
الثالثة  أش ما كان يكون وما حطيتش عليهم قيود يمكن 

116
00:10:01,430 --> 00:10:06,250
سالب يمكن موجب يمكن Zero كل أنا مقيد بالمركبة 

117
00:10:06,250 --> 00:10:10,510
الأولى لازم تكون Zero و قلت لك X1 و X2 موجودة في

118
00:10:10,510 --> 00:10:14,510
R موجودة بسالب كسر مش عارف ايه Zero ماليش علاقة بيه

119
00:10:14,510 --> 00:10:17,210
أش ما يكون شكله ما يكون إن شاء الله يكون جذور

120
00:10:17,210 --> 00:10:22,210
تربيعية وجذور تكعيبية لأنها set أي عناصر موجودة في 

121
00:10:22,210 --> 00:10:27,060
ال set of real number طيب under the usual addition

122
00:10:27,060 --> 00:10:33,680
عملية الجمع العادية تبع ال vectors and the usual

123
00:10:33,680 --> 00:10:38,040
multiplication of scalar وعملية الضرب العادي لل

124
00:10:38,040 --> 00:10:42,280
vectors في scalar و أخذنا سابقا إنه عملية لو ضربت 

125
00:10:42,280 --> 00:10:47,160
element في vector بدّي أضربه في جميع ال components مش

126
00:10:47,160 --> 00:10:51,720
هيك يبقى ده اسمه الضرب العادي والجمع بجمع

127
00:10:51,720 --> 00:10:57,070
component was كل عنصر مع نظيره بيقول then ال V is

128
00:10:57,070 --> 00:11:02,490
a vector space because يبقى هذا اللي فوق تحت عملية 

129
00:11:02,490 --> 00:11:06,010
الجمع العادية والضرب العادية دي بيكون vector

130
00:11:06,010 --> 00:11:10,030
space ما هو السبب بيقول لو أخدت three vectors

131
00:11:10,030 --> 00:11:15,770
موجودة في V طلعي المركبة طلعي كلّه المركبة الأولى

132
00:11:15,770 --> 00:11:25,990
والمركبة الأولى والمركب الأولى كلّه بأسفار موجودة 

133
00:11:25,990 --> 00:11:31,690
في V بداية أشوف الخواص العاشرة هل ال U زائد ال V

134
00:11:31,690 --> 00:11:37,070
موجود في V ولا لأ يبقى بداية للخاصية الأولى نمر 

135
00:11:37,070 --> 00:11:42,370
واحد بياخذ ال U زائد ال V يبقى هذا بده يعطيني 

136
00:11:42,370 --> 00:11:48,130
Zero و X واحد و X اثنين زائد Zero و Y واحد و Y

137
00:11:48,130 --> 00:11:55,140
اثنين و Y يساوي احنا قلنا هذه عملية الجمع عادية لمين؟

138
00:11:55,140 --> 00:11:59,040
للـ vectors يبقى عملية الجمع العادية بجمع

139
00:11:59,040 --> 00:12:08,440
component y 0 مع 0 بقدرش 0 X1 زائد Y1 X2 زائد Y2

140
00:12:08,440 --> 00:12:12,630
موجودة في V ولا يا بنات؟ موجود في V ليش؟ لأن الـ

141
00:12:12,630 --> 00:12:17,290
element الأول أو المركبة الأولى في كل vector يساوي

142
00:12:17,290 --> 00:12:23,030
0 إذا تحقق الخاصية الأولى بدّي أجرب الخاصية

143
00:12:23,030 --> 00:12:28,750
الثانية نمرة 2 بدي أخد ال U زائد ال V يبقى .. بدّي 

144
00:12:28,750 --> 00:12:33,970
أجمعه لغاية يا بنات يبقى هنا 0 زائد 0 ب 0 X1 زائد 

145
00:12:33,970 --> 00:12:44,370
Y1 X2 زائد Y2 موجودة في V موجودة في V أنا بدي خاصية 

146
00:12:44,370 --> 00:12:51,790
الإبدال أليس التهادي تساوي Zero one الآن X واحد زائد

147
00:12:51,790 --> 00:12:57,030
Y واحد مش هدول X واحد و Y واحد أعداد موجودة في 

148
00:12:57,030 --> 00:13:01,810
الست في real numbers عملية جمع الأعداد العادية هذه

149
00:13:01,810 --> 00:13:05,210
عملية إبدالية ولا لا؟ أنا بقول خمسة زائد ستة و

150
00:13:05,210 --> 00:13:09,030
الله ستة زائد خمسة ما هي نفس الشيء إذا باجي بقول

151
00:13:09,030 --> 00:13:16,210
هذا Y واحد زائد X واحد و Y اثنين زائد X اثنين اللي 

152
00:13:16,210 --> 00:13:23,350
بقدر أقول هذه Zero و Y واحد و Y اثنين زائد Zero X

153
00:13:23,350 --> 00:13:28,490
واحد و X اثنين صحيح ولا لأ؟ يعني فصلت هذا ال vector

154
00:13:28,490 --> 00:13:32,710
إلى مجموع two vectors طب الأول مين هو؟ مش V

155
00:13:32,710 --> 00:13:38,930
و الثاني يبقى V زائد ال U يبقى بدأت ب U زائد ال V

156
00:13:38,930 --> 00:13:44,130
وصلت إلى V زائد ال U يبقى تحقق الخاصية الأولى

157
00:13:44,130 --> 00:13:48,800
والخاصية الثانية عندنا بدنا نروح لمين؟ للخاصية 

158
00:13:48,800 --> 00:13:54,360
الثالثة يبقى باخذ U زائد V زائد W

159
00:13:59,340 --> 00:14:04,300
و X1 و X2 زائد ال V زائد ال W بدّي أجمع على طول 

160
00:14:04,300 --> 00:14:10,640
الخط هاي عند ال V وهذه ال W بدي أجمعها مباشرة يبقى

161
00:14:10,640 --> 00:14:22,570
Zero Y1 زائد Z1 و Y2 زائد Z2 الآن بدأجي أجمع صار

162
00:14:22,570 --> 00:14:25,650
عندي vector وعندي vector ثاني بدأ أجمع component

163
00:14:25,650 --> 00:14:33,650
twice 00 ب 0 يبقى بيصير عندي X واحد زائد Y واحد

164
00:14:33,650 --> 00:14:46,190
زائد Z واحد و X اثنين زائد Y اثنين زائد Z اثنين 

165
00:14:46,190 --> 00:14:54,460
بالشكل اللي عندنا طيب هذا الكلام بده يساوي بدأجي 

166
00:14:54,460 --> 00:14:59,700
للي وصلت له هذا هدول كلهم real number عملية الجمع 

167
00:14:59,700 --> 00:15:04,160
على ال real number إدماجية ولا لا؟ يبقى خلاص إذا

168
00:15:04,160 --> 00:15:09,860
بقدر أكتب هذه على الشكل التالي هي عبارة عن Zero و

169
00:15:09,860 --> 00:15:17,480
X واحد زائد Y واحد زائد Z واحد تمام هذا ال term

170
00:15:17,480 --> 00:15:25,640
الأول و ال term الثاني بقدر اقول X واحد زائد Y

171
00:15:25,640 --> 00:15:30,840
واحد زائد Z واحد وهذه بقول X اثنين زائد Y اثنين 

172
00:15:30,840 --> 00:15:39,220
زائد Z اثنين تمام إذا هذه بقدر أقول تساوي بدأت 

173
00:15:39,220 --> 00:15:44,300
أحطها على شكل مجموع two vectors إذا بقدر أقول هذا

174
00:15:44,300 --> 00:15:54,100
Zero و X واحد زائد Y واحد و X اثنين زائد Y اثنين

175
00:15:54,100 --> 00:16:00,580
زائد ضال عندي Zero و ضال عندي Z واحد و ضال عندي Z

1

201
00:18:48,400 --> 00:18:58,430
أقول له  U + (-U) = 0 

202
00:18:58,430 --> 00:19:10,130
X1 + X2 + 0  -X1 - X2 تمام نجمع 0 مع 0 ب 0

203
00:19:10,130 --> 00:19:18,110
X1 و نقص X1 ب 0 X2 و نقص X2 ب 0 مين هو هذا؟ هذا ال

204
00:19:18,110 --> 00:19:27,610
zero vector. Similarly بنفس الطريقة سالب

205
00:19:27,610 --> 00:19:33,810
U + (-U) = the zero vector إذا تحققت الخاصية

206
00:19:33,810 --> 00:19:39,590
رقم خمسة بدنا نحقق باقي الخواص خليني أمسح اللي فوق

207
00:19:39,590 --> 00:19:45,610
هذا طيب هذا اللي مالهوش لزوم من هنا وفوق نمسحه

208
00:19:56,930 --> 00:20:01,810
خلصنا الخاصية الخامسة وانتقلنا للخاصية السادسة، خاصية

209
00:20:01,810 --> 00:20:06,230
السادسة بيقول لو كان أخذت scalar موجود في R و U 

210
00:20:06,230 --> 00:20:11,430
موجود في V فحصل ضربه ما بدي يكون موجود في V يبقى 

211
00:20:11,430 --> 00:20:18,390
بدي أخد هنا F ، الـ A موجود في R scalar و الـ U اللي

212
00:20:18,390 --> 00:20:25,310
هي يساوي (0, X1, X2) موجودات في V then

213
00:20:25,310 --> 00:20:33,740
بدي أخد الـ A في الـ U يبقى هذه A بدي أضربها في الـ 0 

214
00:20:33,740 --> 00:20:39,420
X1 و X2 يساوي الـ A في الـ 0 بقداش يا بنات؟

215
00:20:39,420 --> 00:20:46,200
Zero وهنا A X1 وهنا A X2، إيش رأيك في ال vector 

216
00:20:46,200 --> 00:20:50,120
اللي طلع موجود في V ولا لأ؟ لأن المركبة الأولى

217
00:20:50,620 --> 00:20:55,820
والباقية في نفس المكان،  يكون يبقى هذا موجود في ال vector

218
00:20:55,820 --> 00:21:01,020
space V وبالتالي اتحققت الخاصية السادسة بدنا نروح 

219
00:21:01,020 --> 00:21:05,700
للخاصية السابعة، الخاصية السابعة بيقول لو كان A 

220
00:21:05,700 --> 00:21:13,980
موجود في R و U و V موجودة في U يبقى هنا F الـ A

221
00:21:13,980 --> 00:21:21,940
موجودة في R and الـ U اللي هي (0, 0, X1, X2) 

222
00:21:21,940 --> 00:21:30,080
و الـ V (0, Y1, Y2) موجودات في

223
00:21:30,080 --> 00:21:40,020
V then بدي أخد الـ A Dot الـ U زائدي الـ V يبقى الـ A

224
00:21:40,020 --> 00:21:46,430
Dot الـ U زائد الـ V بدي أجمع component twice يبقى 

225
00:21:46,430 --> 00:21:55,970
(0, X1 + Y1, X2 + Y2) بدي 

226
00:21:55,970 --> 00:22:05,350
أضرب يبقى هاد 0 و a في (x1 + y1) و a 

227
00:22:05,350 --> 00:22:17,030
في (x2 + y2) ليش ضربتك؟ لأن ضرب عادي طيب

228
00:22:17,030 --> 00:22:27,330
هذا الكلام بده يساوي بدو يساوي (0, ax1 + ay1, 

229
00:22:27,330 --> 00:22:32,650
ax2 + ay2) 

230
00:22:32,650 --> 00:22:39,820
هذا صار vector واحد، شو رأيك

231
00:22:39,820 --> 00:22:45,900
ممكن أجزه الى two vectors، إيش ال two vectors يعني؟

232
00:22:45,900 --> 00:22:53,700
ممكن أقول هذا (0, ax1, ax2) زائد

233
00:22:53,700 --> 00:23:02,480
(0, ay1, ay2) لو جمعتهم بيطلع عندي هذا

234
00:23:02,480 --> 00:23:08,260
مرة ثانية طيب بدي أركز على خواص ال scalar أظن بقدر أخد 

235
00:23:08,260 --> 00:23:19,160
a عامل مشترك من الكل برا بيظل (0, x1, x2) زائد a (0, y1,

236
00:23:19,160 --> 00:23:29,950
y2) يبقى هذا A الأولاني هو الـ U والتاني A في الـ V 

237
00:23:29,950 --> 00:23:36,290
الشكل اللي عنها يبقى بناء على A ضد U زائد V يبقى A 

238
00:23:36,290 --> 00:23:44,270
ضد U زائد A ضد V وبالتالي تحققت الخاصية السابعة

239
00:23:44,750 --> 00:23:51,810
بنروح للخاصية الثامنة يبقى باجي بقوله ثمانية if

240
00:23:51,810 --> 00:24:00,710
الـ A و الـ B موجودة في R and الـ U (0, X1, X

241
00:24:00,710 --> 00:24:09,870
2) موجودة في V then بدي أخد الـ A زائد الـ B Dot

242
00:24:09,870 --> 00:24:20,230
من Dot الـ U يساوي A زائد B ضات الـ U

243
00:24:26,050 --> 00:24:29,870
هذا مجموع two real numbers يبقى real number واحد

244
00:24:29,870 --> 00:24:35,310
يبقى بدي أضرب جوبه حسب الضرب العادي يبقى هذا بقداش؟

245
00:24:35,310 --> 00:24:44,530
بـ 0، نجي للي بعدها هذه a زائد الـ B في الـ X1 وهنا 

246
00:24:44,530 --> 00:24:51,770
a زائد الـ B في من؟ في الـ X2 وهيقفلنا الجزء، هذه بقدر

247
00:24:51,770 --> 00:24:57,750
أقول عليها ما يأتي، يساوي هاي 0 زي ما هي وهذه

248
00:24:57,750 --> 00:25:01,930
بقدر أفكها لأن الـ X1 والـ X2 real number

249
00:25:01,930 --> 00:25:08,270
والـ A و الـ B real number يبقى A X1 زائد B X

250
00:25:08,270 --> 00:25:18,280
1 , A X2 زائد B X2 ممكن أجزه إلى two 

251
00:25:18,280 --> 00:25:28,180
vectors يبقى هذه بقدر أقول (0, ax1, ax2) زائد 

252
00:25:28,180 --> 00:25:39,510
(0, bx1, bx2) ممكن أخد الـ A برا يبقى الـ A في 

253
00:25:39,510 --> 00:25:50,050
(0, X1, X2) زائد B في (0, X1, X

254
00:25:50,050 --> 00:25:57,030
2) يبقى هذه بدأت تساوي A ضد الـ U زائد B ضد الـ

255
00:25:57,030 --> 00:26:03,150
U وبالتالي تحققت الخاصية رقم ثمانية يبقى ثمانية

256
00:26:07,780 --> 00:26:18,160
الخاصية التاسعة يبقى الفرض

257
00:26:18,160 --> 00:26:28,520
التاسعة، بدأت أخد F الـ A والـ B موجودة في R and الـ

258
00:26:28,520 --> 00:26:36,780
U (0, X1, X2) موجودة في V then بدأت أخد الـ

259
00:26:36,780 --> 00:26:46,120
A في الـ B ضد الـ U يساوي A في ض ضد الـ U يبقى بدي اضرب

260
00:26:46,120 --> 00:26:52,220
B في كل عنصر من العناصر اللي عندنا يبقى هاي 0 و

261
00:26:52,220 --> 00:27:00,280
B X1 و B X2، الشكل اللي عندنا هنا الآن بدي 

262
00:27:00,280 --> 00:27:07,280
اضرب الـ A يبقى هذا الكلام بدي يساوي A في 0 ب

263
00:27:07,280 --> 00:27:17,690
0 يبقى A B X1 و A B X2 بالشكل اللي عندنا

264
00:27:17,690 --> 00:27:24,790
هنا، هذا الكلام بده يساوي الآن الـ A و الـ B و الـ X1 

265
00:27:24,790 --> 00:27:29,830
كلهم real numbers وكذلك الـ A و الـ B و الـ X2 كله

266
00:27:29,830 --> 00:27:36,350
real numbers يبقى بقدر أقول هذا 0 وهذا A B X1

267
00:27:36,350 --> 00:27:43,980
وفي نفس الوقت A B X2 بقدر أخد الـ a B برا يبقى 

268
00:27:43,980 --> 00:27:51,160
هذا a B برا كله في مين؟ في الـ (0, x1, x2)

269
00:27:51,160 --> 00:27:59,360
يبقى هذا a B ضد الـ U يبقى تحققت الخاصية رقم 9

270
00:27:59,360 --> 00:28:07,540
بنانتقل للخاصية رقم 10 الأخيرة بدي 1. (0, x1, x2) يبقى 1 

271
00:28:07,540 --> 00:28:12,520
في (0, x1, x2) 

272
00:28:13,880 --> 00:28:17,600
الواحد لما نضربه في 0 بيبقى ده جمناته بـ 0 

273
00:28:17,600 --> 00:28:23,660
الواحد في الـ X1 بالـ X1، الواحد في الـ X2 بالـ X2 يبقى 

274
00:28:23,660 --> 00:28:29,940
هذا أعطاني مين؟ الـ U يبقى قلنالك من البداية أن هذا

275
00:28:29,940 --> 00:28:35,040
vector space ليش قلنا؟ because وروحنا وجينا العشر

276
00:28:35,040 --> 00:28:39,660
خواص كلها محققة يبقى أصبح هذا اللي عندنا اللي هو

277
00:28:39,660 --> 00:28:45,840
vector space، طبعاً مش كل ستة بنعطيها لك بتكون vector

278
00:28:45,840 --> 00:28:51,660
space و بضروح أبدأ أطبق الخواص العشرة، تمام؟ يعني

279
00:28:51,660 --> 00:28:56,840
ليس بالضرورة إن راح أطول خاصية ما تحققش، يبقى أروح

280
00:28:56,840 --> 00:29:00,240
أدور على الباقي، ما أدورش على الباقي، خلاص، not vector

281
00:29:00,240 --> 00:29:03,940
space وباس، لقيت الأولى اتحققت بروح للتانية وما 

282
00:29:03,940 --> 00:29:07,400
اتحققتش، الثانية not vector space وبسيب الباقي و

283
00:29:07,400 --> 00:29:12,520
هكذا يعني، وين خاصية بتتحققش بقول يبقى هذا ماهو 

284
00:29:12,520 --> 00:29:16,880
vector space وبنتهي، الدلة الثانية الأولى اتحققت

285
00:29:16,880 --> 00:29:20,680
إنها بروح للتالت بروح للرابع لما إذا اتحققوا 

286
00:29:20,680 --> 00:29:24,400
العشرة كلهم يبقى هو vector space، يبقى إذا اختلت أي 

287
00:29:24,400 --> 00:29:28,320
خاصية من الخاصة العشر بكون معله ماهو vector

288
00:29:28,320 --> 00:29:35,680
space هذا أول مثال على هذا الموضوع، لا يزال عندنا 

289
00:29:35,680 --> 00:29:45,140
العديد من الأمثلة، دي المثال رقم اثنين هذا 

290
00:29:45,140 --> 00:29:50,320
إذا طلع vector space إذا ما طلعش vector space 

291
00:29:50,320 --> 00:29:55,990
يمكن تسوي خطوة واحدة ولا لا؟ وإذا أنت دقيقة نظر

292
00:29:55,990 --> 00:30:00,090
وشاطرة في الحسابات ومجرد النظر بتقولي هذه البرشم

293
00:30:00,090 --> 00:30:04,230
تنفعش للخاصية الفلانية على طول من دون مجرمي وتروح

294
00:30:04,230 --> 00:30:09,030
تكتبي ليها وبتكشف الباقي 100% تمام، نعطي المثال 

295
00:30:09,030 --> 00:30:17,970
رقم اثنين example two هذا سؤال خمسة من الكتاب 

296
00:30:17,970 --> 00:30:20,690
بيقول let V to sound

297
00:30:24,960 --> 00:30:34,460
كل العناصر على الشكل (1, X, Y) بحيث X و Y 

298
00:30:34,460 --> 00:30:39,800
موجودة في set of real numbers under usual addition 

299
00:30:40,930 --> 00:30:49,930
under usual addition تحت عملية الجمع العادية and

300
00:30:49,930 --> 00:30:57,030
وفي نفس الوقت usual scalar multiplication، usual

301
00:30:57,030 --> 00:31:03,250
scalar multiplication 

302
00:31:03,250 --> 00:31:06,370
تحت 

303
00:31:06,370 --> 00:31:18,190
عملية الضرب والجمع العادية then is not

304
00:31:18,190 --> 00:31:26,430
a vector space

305
00:31:32,720 --> 00:31:37,520
ومجرد النظر هذا الـ V اللي عندنا هذه تحت عملية

306
00:31:37,520 --> 00:31:40,760
الجمع العادية والضرب العادية ليست في الاقتراضية 

307
00:31:40,760 --> 00:31:44,520
ليه؟ بدي واحدة تحكي، بس واحدة ترفع أيديها وتحكي 

308
00:31:44,520 --> 00:31:49,680
أنا بقول فيش zero element ما عنديش الحالة هذا وجهة 

309
00:31:49,680 --> 00:31:55,200
نظر، في وجهة نظر ثانية؟ قبل الـ zero طيب شوفي اللي

310
00:31:55,200 --> 00:32:01,520
قبل الـ zero، اجمع اثنين، اجمع لو جمعت اثنين ايش 

311
00:32:01,520 --> 00:32:02,100
بيطلع؟ 

312
00:32:06,540 --> 00:32:11,420
يبقى عملية الجمع لا تتحقق، صحيح ولا لأ؟ بروح بقوله 

313
00:32:11,420 --> 00:32:15,500
هذا is not a vector space because

314
00:32:19,270 --> 00:32:26,570
الـ U بدها تساوي (1, X1, Y1) و الـ V

315
00:32:26,570 --> 00:32:33,150
دوسر (1, X2, Y2) موجودة في capital V

316
00:32:33,150 --> 00:32:42,170
then الـ U زائد الـ V بدو يساوي (2, X1 + 

317
00:32:42,170 --> 00:32:48,860
X2, X1 خليها بس لسهولة يا بنات خليها X

318
00:32:48,860 --> 00:32:57,060
1 و X2، وهذي Y1 و Y2 تمام يبقى X

319
00:32:57,060 --> 00:33:04,800
1 + Y1، X2 + Y2) does not

320
00:33:04,800 --> 00:33:09,740
belong to V مش موجودة في V لأن أنا بدي ال

321
00:33:09,740 --> 00:33:14,550
component اللي قداش تكون يبقى في حالة ال zero ينفع

322
00:33:14,550 --> 00:33:18,830
يصير vector space لكن في حالة الواحد ما نفعش يكون

323
00:33:18,830 --> 00:33:24,230
vector space، ماهو vector space، طيب مثال ثلاثة 

324
00:33:24,230 --> 00:33:32,530
مثال ثلاثة له سؤال سبعة من الكتاب كذلك سؤال سبعة 

325
00:33:32,530 --> 00:33:42,530
بيقول let الـ V تساوي كل المصفوفات A بحيث الـ A is

326
00:33:42,530 --> 00:33:48,370
two by two matrix، كل المصفوفات اللي نظامها اثنين 

327
00:33:48,370 --> 00:33:56,450
في اثنين with determinant للـ A لا يساوي 0

328
00:33:56,450 --> 00:34:02,970
under usual

329
00:34:09,830 --> 00:34:19,150
addition and scalar multiplication 

330
00:34:19,150 --> 00:34:26,610
of

331
00:34:26,610 --> 00:34:38,460
matrices then إيش رأيك؟ الـ V مش عارف اكتب هي

332
00:34:38,460 --> 00:34:42,420
vector space ولا not vector space، نيجي مين هي الـ V

333
00:34:42,420 --> 00:34:51,200
في الأول الـ V كل المصفوفات A اللي نظامها 2 في 2 و

334
00:34:51,200 --> 00:34:55,760
اللي محددها ما له لا يساوي 0 اللي محدد فيها لا 

335
00:34:55,760 --> 00:34:59,550
يساوي 0 يبقى كل المصوات اللي نظامها اثنين في اثنين

336
00:34:59,550 --> 00:35:04,850
و اللي محددة لا يساوي تجمعتهم وحطيتهم في V، عرفت

337
00:35:04,850 --> 00:35:09,510
عليها عملية جمع المصوفات العادي وهو جمع component

338
00:35:09,510 --> 00:35:14,630
-wise وعرفت عليها ضرب المصوفة في scalar وهو ضرب ال

339
00:35:14,630 --> 00:35:17,730
real number في كل عنصر من العناصر المصوفة اللي 

340
00:35:17,730 --> 00:35:21,670
كانت usual addition and usual multiplication تمام 

341
00:35:21,990 --> 00:35:27,530
تحت العمليتين الاثنين هدول هل الـ V Vector Space أم

342
00:35:27,530 --> 00:35:35,990
لا؟ طبعاً لأ أبسط شغلة بدي Zero Matrix، هل الـ Zero

343
00:35:35,990 --> 00:35:40,270
Matrix المحدد تبعها لا يساوي 0؟ لأ طبعاً، يبقى جد

344
00:35:40,270 --> 00:35:48,990
إن الـ V is not a vector space because

345
00:35:54,180 --> 00:36:10,760
it does not contain the zero matrix since 

346
00:36:15,640 --> 00:36:23,320
الـ Determinant للمصفوفة 0 يبقى 0 يبقى

347
00:36:23,320 --> 00:36:28,760
الخاصية تبع العنصر الصفري لم تتحقق لذلك هذا ليس

348
00:36:28,760 --> 00:36:37,320
Vector Space فبالمثال 

349
00:36:37,320 --> 00:36:47,640
رقم أربعة بقول Let capital V كل العناصر على الشكل (X

350
00:36:47,640 --> 00:36:57,480
، Y ، Z) بحيث إن الـ X و Y و Z موجودة في set of real 

351
00:36:57,480 --> 00:37:03,900
numbers، define addition

352
00:37:03,900 --> 00:37:07,380
define 

353
00:37:07,380 --> 00:37:09,780
addition and 

354
00:37:16,800 --> 00:37:26,020
multiplication on the by الـ

355
00:37:26,020 --> 00:37:40,400
(X1, Y1, Z1) زائد (X2, Y2, Z2) بده يساوي اللي 

356
00:37:40,400 --> 00:37:54,760
هو (X1, Y1, Z1) وهنا (X2, Y2, Z2)، X1 + X2، Y1

357
00:37:54,760 --> 00:38:06,920
+ Y2 وهنا Z1 + Z2، هذا الجمع and 

358
00:38:06,920 --> 00:38:11,000
ال

359
00:38:11,000 --> 00:38:25,540
a في (x, y, z) يساوي (ax, y, z)، then الـ V 

360
00:38:25,540 --> 00:38:28,580
is الله أعلم

361
00:38:40,130 --> 00:38:46,110
كيف؟ آه بس بنضربها في المركبة الأولى، يعني عملية 

362
00:38:46,110 --> 00:38:50,690
الجمع كما هي component-wise والإيه بس بنضربها في 

363
00:38:50,690 --> 00:38:59,410
المركبة الأولى فقط لا غير، تمام؟ يعني إنه هذه ال

364
00:38:59,410 --> 00:39:07,410
Sid هي هيك قصيرة، فاهم

365
00:39:07,410 --> 00:39:13,190
يعني هذه ال Sid خاص فيه لأنه .. خاص فيه .. فاهم

366
00:39:17,540 --> 00:39:21,240
هل هذا vector space ولا ماهو vector space، بتخيل

367
00:39:21,240 --> 00:39:28,220
أنه ماهو vector space سبق because لو أخذت يبقى 

368
00:39:28,220 --> 00:39:40,920
هذا is not a vector space because لو 

369
00:39:40,920 --> 00:39:47,910
أخذت يا مناد (a + b) في من؟ في U يبقى هذا 

370
00:39:47,910 --> 00:39:57,190
بيصير (a + b) في